Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Transkriptio

1 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3

2 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima riippuen työntämiskohdasta ja suunnasta Voiman vääntövaikutus riippuu kolmesta asiasta Voiman F suuruudesta Voiman vaikutuskohdan etäisyydestä kääntymisakselista Voiman suunnasta Sopiva suure kuvaamaan asiaa on voiman vääntömomentti rf sin [] = Nm ( J ) Vääntömomentti on voiman vastine pyörimisliikkeessä Voiman vaikutuspiste

3 Vääntömomentti on Vaikutuspisteen etäisyys akselista (r) voiman tangentiaalinen komponentti (Fsin) (Kuva a) Voima voiman vaikutussuoran kohtisuora etäisyys (d) pyörimisakselista (Kuva b) Vääntömomentti on suurimmillaan, kun voima on kohtisuorassa r:n suuntaa vastaan eli = 90. Silloin = Fr

4 Esimerkki

5

6 Voimien F1, F2, F3,... kokonaismomentti on momenttien summa net Jos akseli pysyy paikallaan, se vaikuttaa kappaleeseen sellaisella voimalla, että yhteenlaskettu voima on nolla (eli kappaleen kiihtyvyys a on nolla): F F F F... 0 net axle F axle ei aiheuta vääntömomenttia, koska voiman varsi on nolla (eli voiman vaikutussuora kulkee akselin kautta). 1 2 F,,... 1, F2 F3 Minkä voimista F 1, F 2, arvioit aiheuttavan suurimman vääntömomentin, minkä pienimmän?

7 Voimien F1, F2, F3,... kokonaismomentti on momenttien summa net Jos akseli pysyy paikallaan, se vaikuttaa kappaleeseen sellaisella voimalla, että yhteenlaskettu voima on nolla (eli kappaleen kiihtyvyys a on nolla): F F F F... 0 net axle F axle ei aiheuta vääntömomenttia, koska voiman varsi on nolla (eli voiman vaikutussuora kulkee akselin kautta). 1 2 F,,... 1, F2 F3 Minkä voimista F 1, F 2, arvioit aiheuttavan suurimman vääntömomentin, minkä pienimmän?

8 Gravitaation aiheuttama vääntömomentti Gravitaation aiheuttama vääntömomentti vaakasuorassa olevan akselin suhteen saadaan laskemalla yhteen kaikkien massa-alkioiden vääntömomentit. Jos origo asetetaan akselin kohdalle, on grav i i g mi xi i Mx Gravitaation aiheuttama vääntömomentti saadaan ajattelemalla kappaleen koko massan M olevan massakeskipisteessä: grav Mgx cm cm Merkin selitys: Kun x cm > 0, on t grav < 0 (kuvan tilanne) ja kun x cm < 0, on t grav > 0. Massakeskipisteen asema suhteessa akselin asemaan.

9 Kappale on tasapainossa eli ei pyri pyörähtämään, jos akseli tai tukipiste on suoraan massakeskipisteen alapuolella. Silloin gravitaation voimanvarsi on 0. Massakeskipistettä kutsutaan usein myös painopisteeksi (gravitaatiokeskipisteeksi). Ne ovatkin sama asia, jos g:n arvo on sama joka kohdassa kappaletta. t grav = 0

10 Pyörimisliikkeen dynamiikka r Kuvan tilanteessa massa m on etäisyydellä r pyörimisakselista.vain voiman tangentin suuntainen komponentti F t = F thrust sin aiheuttaa vääntömomenttia. Sama voima antaa ratakiihtyvyyden a t = r Newton II F t ma Kerrotaan r:llä t mr mr 2 on yksittäisen massa-alkion hitausmomentti. Tulos voidaan yleistää: 2 rf t mr Vasen puoli on vääntömomentti t, joten vääntömomentti t aiheuttaa kappaleelle kulmakiihtyvyyden net I Newtonin II laki pyörimisliikkeelle 2 mr Huom. Vääntömomentti on laskettu saman pisteen suhteen, jota käytetään pyörähdyskulman määrittämiseen.

11 Pyörimisliikkeen ja etenemisliikkeen dynamiikkojen vastaavuudet Jos kulmakiihtyvyys on = 0, kappale on joko pyörimättä ( = 0) tai pyörii tasaisella kulmanopeudella ( = vakio).

12 Esimerkki

13

14 Statiikka Staattinen tasapaino tarkoittaa, että kappale ei etene eikä pyöri. Kappaleeseen vaikuttava nettovoima ja nettovääntömomentti ovat molemmat = 0 F 0, τ 0 net net Jos kappale ei pyöri, niin se ei pyöri minkään akselin suhteen, mikä tarkoittaa, että täydellisessä tasapainossa olevaan kappaleeseen ei vaikuta nettovääntömomenttia minkään pisteen suhteen. Strategia statiikan tehtävien ratkaisemiseen Valitse mikä tahansa piste ja vaadi, että nettovääntömomentti sen suhteen = 0 Määritä kunkin voiman varsi tarkastelupisteen suhteen (vaikutussuoran kohtisuora etäisyys pisteestä) Määritä kunkin vääntömomentin etumerkki Sovella yhtälöitä F 0, τ 0 net net kirjoittamalla ne summina i ( F ) i x i y 0, ( F ) 0, 0 Ratkaise yhtälöt Arvioi tulosten järkevyys. i i i

15 Esimerkki Lankku (M = 90 kg, L = 6.0 m) on kahden tuen varassa. Tuet ovat etäisyydellä D = 1.5 m toisistaan ja symmetrisesti lankun keskipisteen molemmin puolin. Pekka (70 kg) kiipeä lankun toiseen päähän. Keikahtaako lankku? Etsitään lankku-pekka-systeemin painopisteen paikka: x CM 0M M m M m ( L/2) m L. 2 m x-akselin origo on valittu lankun painopisteen kohdalle. Valitaan oikeanpuoleisen tuen kosketuspiste vääntömomenttien tarkastelupisteeksi: lankku D Mg, 2 Pekka L D mg 2 2 Lankun ja Pekan kokonaisvääntömomentti on 1 net lankku Pekka g( M m) D ml 2 1 g(90 70) kg(1.5 m) (70 kg) (6.0 m) 2 1 g180 kg. 2 Toisen tuen tukivoima aiheuttaa sekin negatiivisen vääntömomentin. Koska kokonaisvääntömomentti ei häviä, lankku keikahtaa.

16 Esimerkki

17

18

19

20