DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
|
|
- Olivia Elstelä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
2 LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Hyrräyhtälöt. Liikeyhtälöiden muodostaminen. Lagrangen formalismi: Lagrangen liikeyhtälö ja määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille systeemeille. Liikeyhtälöt, virtuaaliset siirtymät ja D Alembertin periaate.
3 KERTAUS
4 KERTAUS: MEKANIIKAN PERUSLAIT Kinetiikka = liikkeen ja sen syyn (voimien ja niiden momenttien) tarkastelu. Liikemäärän taseen periaate: Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien voimien summa f = d (mv) = ṁv + m v = m v = ma dt Liikemäärän momentin taseen periaate: Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien ulkoisten voimien aiheuttaminen momenttien summa m = l Lisäksi: massan säilymisen, energian taseen ja entropian kasvun periaatteet.
5 LIIKEMÄÄRÄN JA LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: MÄÄRITELMIÄ Jäykän kappaleen liikkeen tarkasteluun tarvitsemme: Liikemäärä: p = m(v A + ω ρ AC ) Liikemäärän momentti 1: Liikemäärän momentti 2: = mv C l = J A ω l = ρ AC m v A + J A ω Liikemäärän momentti 1: kun piste A on massakeskipiste C tai kiinteä piste Liikemäärän momentti 2: kun piste A on mielivaltainen kappaleen piste
6 KERTAUS: HYRRÄYHTÄLÖT Lähtien liikemäärän momentin taseen yhtälöstä m = dl dt, saadaan hyrräyhtälöt välikoordinaatistossa m ξ = I O ω ξ + Iω ζ Ω η I O ω η Ω ζ m η = I O ω η + I O ω ξ Ω ζ Iω ζ Ω ξ m ζ = I ω ζ + I O ω η Ω ξ I O ω ξ Ω η, joissa (huom! J O on oletettu diagonaaliseksi) Ulkoinen momentti: Välikoordinaatiston kulmanopeus: Kappaleen absoluuttinen kulmanopeus: m = m ξ e ξ + m η e η + m ζ e ζ Ω = Ω ξ e ξ + Ω ηe η + Ω ζ e ζ ω = ω ξ e ξ + ω ηe η + ω ζ e ζ hitausmatriisin J O alkiot (origon suhteen): J ξξ = J ηη = I 0 ja J ζζ = I ja on käytetty oletuksia Kappale on pyörähdyssymmetrinen (tai riittää J ξξ = J ηη) Välikoordinaatiston ζ-akseli yhtyy symmetria-akseliin.
7 KERTAUS: HYRRÄYHTÄLÖT Miten tämä kalvo liittyy hyrräyhtälöihin? ṁ = ( ) dlo = dt XY Z ( ) dlo + Ω l O, dt ξηζ
8 KERTAUS: LIIKEYHTÄLÖIDEN MUODOSTAMINEN Yleisen jäykän kappaleen liikkeen yhtälöiden muodostaminen ulkomuistista on vaikeaa niiden monimutkaisuuden vuoksi. Kuitenkin meillä on nyt kaikki tarpeelliset yksinkertaiset ja jopa helpohkosti muistettavat rakennuspalikat niiden muodostamiseen! Massan vaikutusmitat, kulmanopeuden esitykset eri koordinaatistoissa, kappaleen partikkelin nopeuden esitykset, liikemäärä ja liikemäärän momentti, sekä liikelait f = ma ja m = dl/dt
9 DYNAMIIKKA II: L7: LAGRANGEN FORMALISMI I Arttu Polojärvi
10 OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Tietää Lagrangen liikeyhtälöihin liittyvät peruskäsitteet ja -määrittelyt soveltaakseen niitä dynamiikan ongelmissa. Ymmärtää kuinka muodostetaan liike-energian lauseke erilaisille systeemeille. Osaa soveltaa Lagrangen formalismia työkaluna liikeyhtälöiden muodostamisessa.
11 LAGRANGEN FORMALISMI (LF)
12 LF: LIIKEYHTÄLÖT JA MÄÄRITELMIÄ Lagrangen liikeyhtälöt N-partikkelin partikkelisysteemille, jolla n vapausastetta (hyvin samantyyppiset jäykälle kappaleelle): Yleistetyt koordinaatit: q j, j = 1, 2,..., n Paikkavektorit: r i = r i(q 1, q 2,..., q n), i = 1, 2,... N Yleistetty voima: Q j = Liike-energia: T = 1 2 Liikeyhtälöt: N (F i + f i ) r i, q j N m iṙ i ṙ i j = 1, 2,..., n d dt ( T q j ) T q j = Q j, j = 1, 2,..., n
13 LF: LIIKE-ENERGIA JA SEN LAUSEKKEEN ERI MUOTOJA Katsotaan ensin yllä esiintyvää liike-energiaa. Johdetaan alkuun partikkelisysteemin ja jäykän kappaleen liike-energialle esitykset A on mv. siirtopiste: A on massakeskipiste C: A on kiinteä piste (v A = 0): T = 1 2 mv A v A + mv A (ω ρ AC ) ωt J A ω T = 1 2 mv C v C ωt J C ω T = 1 2 ωt J Aω, jotka saadaan myös jäykälle kappaleelle (taas kerran: ääretön määrä partikkeleita).
14 LF: LIIKE-ENERGIAN LAUSEKKEEN JOHTO Varmaan tuttu liike-energian lauseke T = (1/2)mv 2 prtikkelisysteemin tapauksessa T = 1 2 N m i v i v i Muistetaan partikkelin nopeudelle yhtälö v i = v A+ω ρ Ai ja aletaan sieventämään
15 LF: LIIKE-ENERGIAN LAUSEKKEEN JOHTO Liike-energian T lauseke saadaan auottua sievennettyä kompakteiksi esityksiksi T = 1 N m i(v A + ω ρ 2 Ai ) (v A + ω ρ Ai ) = 1 N N m i v A v A + v A (ω m i ρ 2 Ai ) + 1 N m i (ω ρ 2 Ai ) (ω ρ Ai ) = 1 2 mv A v A + mv A (ω ρ AC ) N m i (ω ρ Ai ) (ω ρ Ai ), Viimeinen termi auki huomioimalla yhteys (a b) c = a (b c) johon sijoitetaan 1 2 a = ω b = ρ Ai c = ω ρ Ai N m i(ω ρ Ai ) (ω ρ Ai ) = 1 N 2 ω m iρ Ai (ω ρ Ai ) = 1 2 ω JAω } {{ } =J A ω (ks. luento 6) Johon tulee vielä sijoittaa yhteys a b = a T b seuraavan sivun esityksiin pääsemiseksi.
16 LF: LIIKE-ENERGIAN LAUSEKKEEN JOHTO Saadaan siis sivennettyä liike-energialle kolme varsin kompaktia esitystapaa A on mv. siirtopiste: A on massakeskipiste C: A on kiinteä piste (v A = 0): T = 1 2 mva va + mva (ω ρ AC) ωt J Aω T = 1 2 mv C v C ωt J C ω T = 1 2 ωt J A ω Siirtopiste A:n helpoimpiin LY:hin johtava valinta riippuu yleensä ongelmasta. Näitä systemaattisesti käyttämällä saadaan esitettyä systeemin liike-energia.
17 LF: ESIMERKKI LIIKE-ENERGIASTA Piste A on rakenteen nivel: partikkelin hitausmomentti J A = ml 2 ja kulmanopeus ϕ joten saadaan (v A = 0) T = 1 2 ωt J A ω = 1 2 ml2 ϕ2. A kiinnitetty massaan (A=C): massan nopeus ṙ(ϕ) = l ϕe ϕ jolloin puolestaan saadaan (partikkelin, eli massan, J C = 0) T = 1 2 mv C v C = 1 2 ml2 ϕ2.
18 LF: YLEISTETYT KOORDINAATIT JA VAPAUSASTEET Vapausasteiden lukumäärä on systeemin aseman (konfiguraatio) yksikäsitteisesti kuvaavien koordinaattien lukumäärä. Koordinaatit voidaan valita eri tavoin mutta vapausasteiden lukumäärä on tietylle systeemille vakio. Kinemaattiset rajoitteet: sitovat vapausasteita toisiinsa ja rajoittavat ongelman systeemin liikeen mahdollisuuksia ja siten myös systeemin vapausasteita (esim. ensimmäisen kuvan kappaleet A ja B pysyvät liuskalla ja eivät siis uppoa siihen).
19 LF: YLEISTETYT KOORDINAATIT JA VAPAUSASTEET Yleistetyt koordinaatit q i ovat toisistaan riippumattomia ja määrittävät systeemin aseman yksikäsitteisesti rikkomatta sen kinemaattisia rajoitteita. Jos systeemissä on N partikkelia ja n vapausastetta voidaan sen partikkeleiden asema kuvata paikkavektoreilla N = 2 & n = 1 Oletus: pallonivel O:ssa r i = r i (q 1, q 2, q 3,..., q n, t) i = 1, 2, 3,..., N Huomaa tässä, että n ei ole välttämättä ole sama kuin N. Yleistyt koordinaatit voidaan valita usealla eri tavalla, mutta niiden lukumäärä on tietylle systeemille vakio. N = 1 & n = 3
20 LF: ESIMERKKI Heilurille tuttu yleistetty koordinaatti q = ϕ (n = 1), ja käyttäen tätä siis voidaan kirjoittaa r = r(q) = r(ϕ) joka siis toisaalta auki kirjoitettuna on r(ϕ) = l(sin ϕi + cos ϕj). Oletus: x osoittaa vasemmalle, y alas. Kinemaattinen rajoite heilurille: r = l.
21 LF: ESIMERKKI Tutustutaan sitten vaan ihan määritelmiin: Oheisen kuvan mukaisessa systeemissä partikkelin (massa m) liike on rajattu kiilan kaltevalle tasolle. Kiila itsessään suorittaa kuvan mukaisesti sinimuotoista liikettä. Systeemissä ei vaikuta kitkavoimia. Muodosta systeemin Lagrangen liikeyhtälöt tapauksessa, jossa yleistetyksi koordinaatiksi valitaan vasemman kuvan x ja oikean kuvan s. r P = r P (x) r P = r P (s)
22 LF: DIFFERENTIAALEJA JA DERIVOINTIA Kuinka toimitaan operaatioiden d dt ( T q j ) T q j = Q j kanssa? Tarkastellaan paikkavektorin r i = r i (q 1,..., q n, t) differentiaalista muutosta dr i = ri q 1 dq 1 + ri q 2 dq ri t dt = n r i q j dq j + ri t dt josta saadaan jakamalla dt:llä ja huomioiden viimeiselle termille dt/dt = 1 dr i dt = r i dq 1 q 1 dt + r i dq 2 q 2 dt r i dt t dt = r i q 1 + r i q r i q 1 q 2 t = r i q j + ri q j t = ṙi J Eri operaattorit: / t=partial derivative ja d/dt=total derivative. Tapauksessa / t ei huomioitaisi, että eri muuttujat voivat olla ajasta riippuvia.
23 LF: DIFFERENTIAALEJA JA DERIVOINTIA Erityisen usein tulee vastaan liike-energian lausekkeita muotoa (oletetaan tässä q = xi) T = 1 2 mv v = 1 2 mẋ2 ja T ẋ = mẋ mutta T x = 0. Ensi viikolla usein vastaan tulee (potentiaalienergian) lausekkeita, jotka ovat muotoa f(x) = mgx jolle f ẋ = 0. Suure ja sen muutosnopeus oletetaan osittaisderivaatassa toisistaan riippumattomiksi.
24 LF: VIRTUAALISET SIIRTYMÄT Virtuaalisia siirtymiä tarvitaan virtuaalisen työn lausekkeen johdossa, joka puolestaan sitten taas johtaa Lagrangen liikeyhtälöihin. Virtuaalinen siirtymä on paikkavektorin variaatio yleistettyjen koordinaattien suhteen δr i = r i q 1 δq 1 + r i q 2 δq 2 + r i q 3 δq r i q n δq n = n j=1 r i q j δq j Toisaalta virtuaalinen siirtymä voidaan kirjoittaa komponenttimuodossa kuten vektori δr i = δx ii + δy ij + δz ik = n j=1 x i q j δq ji + n j=1 y i q j δq jj + n j=1 z i q j δq jk Kinemaattisesti luvalliset virtuaaliset siirtymät eivät riko tehtävän kinemaattisia rajoitteita differentiaalisen (hyvin pienen) siirtymän mielessä. Meille hyvä valinta. Kinemaattisesti luvattomat virtuaaliset siirtymät puolestaan rikkovat systeemin kinemaattisia rajoitteita. Voi käyttää esim. statiikan tehtävissä näppärästi. Virtuaalisia siirtymiä tarkastellessa systeemin aika tulee ajatella jäädytetyksi: esim. voimat säilyttävät tarkasteluhetken arvonsa ja suuntansa (pikkasen abstrakti juttu).
25 LF: VIRTUAALISET SIIRTYMÄT JA D ALEMBERTIN PERIAATE Käytetään partikkelin i voimaresultantille (voimien summa partikkelille) merkintää K i = F i + Z i i = 1, 2, 3... N, jossa F i on partikkelin i ulkoisten voimien ja Z i partikkelin i rajoitevoimien resultantti. Saadaan N kappaletta liikeyhtälöitä (LY) eli kaikille partikkeleille pädettävä liikelaki K i m i a i = 0 (ihan perus Newtonin liikelaki). Valitaan N mv. vektoria b i = b xi i+b yi j+b zi k ja otetaan edellisistä LY:stä pistetuloja N (K i m i a i ) b i = 0, joten (K i m i a i ) b i = 0, joista jälkimmäinen on vain liikeyhtälöiden summa. N (K i m ia i) δr i = 0, jossa δr i on virtuaalinen siirtymä (mutta siis voisi vielä tässä olla tavallinen vektori).
26 LF: VIRTUAALISET SIIRTYMÄT JA D ALEMBERTIN PERIAATE Jos valitaan kinemaattisesti sallitut virtuaaliset siirtymät δr i saadaankin edellisestä N N N (K i m ia i) δr i = (F i + Z i m ia i) δr i = (F i m ia i) δr i = 0 } {{ } D Alembertin periaate joissa siis Z i δr i = 0 ja yhtälöihin jääkin ainoastaan lopulta vain ulkoiset voimat F i. Kinemaattisesti sallitut δr i ovat aina kohtisuorassa rajoitevoimia vastaan! Hyöty meille: kinemaattisesti sallitut δr i ei rajoitevoimia liikeyhtälöissä!
27 LF: ESIMERKKEJÄ RAJOITEVOIMIEN SUUNNISTA Piirrä näistä vapaakappalekuvat jos ei tunnu uskottavalta! Massojen liike rajoitettu suoralle (i = 1, 2) kinem. sallittu δr i i Rajoitevoimat ( lattian tukivoimat) N i j N i δr i eli N i δr i = 0. Massan liike rajoitettu ympyräradalle kinem. sallittu δr e ϕ Rajoitevoima (nyt sauvavoima) S e r S δr eli S δr = 0.
28 LF: VIRTUAALINEN TYÖ Määritelmä: virtuaalinen työ δw saadaan N partikkelin systeemille yhtälöstä N N n r i δw = K i δr i = K i δq j = q j j=1 n N j=1 K i r i q j }{{} Q j (määritelmä) δq j = n Q j δq j Edellisillä kalvoilla todetusta seuraa: kinemaattisesti sallitussa virtuaalisessa siirtymässa rajoitevoiminen tekemä virtuaalinen työ häviää (Z i δr i Z i δr i = 0). j=1 g N g N δr N δr = 0 N δr 0 Virtuaalisia siirtymiä tarkastellessa systeemin aika tulee ajatella jäädytetyksi: voimat säilyttävät tarkasteluhetken arvonsa ja suuntansa. (kuvien tapauksissa N vakio.) δr
29 LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA YLEISTETTY VOIMA Huomataan vielä, että joskus Q j :t saa helposti edellisestä δw :n määritelmästä N n δw = K i δr i = Q j δq j. j=1 Kuvan systeemin massaton osa C on pakkoliikkeessä x C = a sin ωt, jossa a ja ω ovat vakioita. Venymätön lanka yhdistää kappaleen A (massa m 1 ) jouseen 2 kulkien kitkattomasti laakeroidun sylinterin (massa m 2) yli. Muodosta systeemin liikeyhtälöt, kun yleistetyksi koordinaatiksi valitaan kuvan x. Painovoimaa ei tarvitse huomioida.
30 LF: MITÄ HYÖTYÄ JA MUISTETTAVAA? Jatketaan yhtälöiden johtoa seuraavissa kalvoissa, mutta jos nyt voidaan muistuttaa listasta asioita, jotka aina liittyvöt Lagrangen liikeyhtälöihin. Yleinen menettely systeemin liikeyhtälöiden muodostamiseen. Aina saman verran liikeyhtälöitä kuin systeemin yleistettyjä koordinaatteja! Aina minimimäärä yhtälöitä systeemin liikkeen kuvaamisessa. Todella tehokasta: T ja Q j määritelmien mukaan, sievennä, derivoi LY:t. Huomaathan: yleistetyt voimat Q j eivät ole vektoreita vaan skalaareita! Abstraktiotaso nousee jonkin verran Newtonin mekaniikkaan verrattuna!
DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta: jäykkä kappale, kulma-asema, Eulerin kulmat, kulmanopeus. Suhteellinen liike: Vektorin muutosnopeudet eri koordinaatistoissa.
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotKlassisen mekaniikan historiasta
Torstai 4.9.2014 1/18 Klassisen mekaniikan historiasta Nikolaus Kopernikus (puolalainen pappi 1473-1543): aurinkokeskeinen maailmankuva Johannes Kepler (saksalainen tähtitieteilijä 1571-1630): planeettojen
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 3 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 3 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Lyhyt kertaus edellisen luennon asioista. Jäykkä kappale, kappalekoordinaatisto ja kulma-asema. Eulerin kulmat kulma-aseman ja nopeuden
LisätiedotKertausta: Vapausasteet
Maanantai 8.9.2014 1/19 Kertausta: Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 1.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut 5.1-5.4) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 1 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 1 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Yleisiä asioita syksyn 2015 kurssista. Johdanto: Dynamiikka osana mekaniikkaa ja sen tarkastelukohteet. Dynamiikan ongelmien ratkaiseminen.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä
Lisätiedotkertausta Esimerkki I
tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin
LisätiedotEnergia, energian säilyminen ja energiaperiaate
E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
LisätiedotJäykän kappaleen mekaniikkaa
Jäykän kappaleen mekaniikkaa 29. joulukuuta 2005 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Jäykän kappaleen mekaniikka 2 2.1 Pyörivä koordinaatisto...................... 2 2.2 Vakio Ω.............................. 3 2.3
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotSTATIIKKA. TF00BN89 5op
STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotHamiltonin formalismia
Perjantai 3.10.2014 1/20 Hamiltonin formalismia Olemme valmiit siirtymään seuraavalle tasolle klassisen mekaniikan formalismissa, jonka aloitti Hamilton n. 1830. Emme käytä tätä formalismia minkään vaikeamman
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla
LisätiedotVoiman momentti M. Liikemäärä, momentti, painopiste. Momentin määritelmä. Laajennettu tasapainon käsite. Osa 4
Osa 4 Liikemäärä, momentti, painopiste Voiman momentti M Voiman vääntövaikutusta mittaava suure on momentti. Esim. automerkkien esitteissä on mainittu moottorin momentti ("vääntö"). Moottorin antama voima
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
Lisätiedot2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotRTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa
RTEK-2000 Statiikan perusteet 1. välikoe ke 27.2. LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op 1. välikoealue luennot 21.2. asti harjoitukset
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
LisätiedotMassakeskipiste Kosketusvoimat
Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotRAK Statiikka 4 op
RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L3 Luento : Jäykän kappaleen tasapaino
KJR-C1001: Statiikka L3 Luento 27.2.2018: Jäykän kappaleen tasapaino Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon (ja laskuharjoitusten) jälkeen opiskelija
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 25.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voimasysteemien samanarvoisuus ja jakaantuneen voiman käsite (Kirjan luvut 4.7-4.9) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mikä on
LisätiedotLiike pyörivällä maapallolla
Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotKlassista mekaniikkaa - kahden kappaleen probleema
Klassista mekaniikkaa - kahden kappaleen probleema 24. marraskuuta 2005 Sisältö 1 Periaatteet 2 1.1 Liikemäärämomentti....................... 4 1.2 Partikkelisysteemi......................... 5 2 Kahden
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotLuento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotKerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)
Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
Lisätiedot4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike
Mansfield and O Sullivan: Understandin physics, painos 1999, kpl 4. Näitä löytyy myös Youn and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 4, osin myös luvuissa 3 ja 5. 4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike
Lisätiedot