Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Transkriptio

1 Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö Esimerkki funktion raja-arvosta Lauseke f() = 1 cos määrittelee reaauuttujan reaaliarvoisen funktion f, jonka lähtöjoukko muodostuu nollasta eroavista reaaliluvuista. Periaatteessa f(0) voidaan määritellä miten tahansa. Luontevaa kuitenkin on ensin tutkia, miten funktio f kättät, kun on lähellä origoa. Jos funktion arvot lähestvät jotakin kiinteää arvoa, kun lähest origoa, kseistä arvoa sanotaan funktion raja-arvoksi origossa. Tällöin on mös luontevaa määritellä f(0) juuri täksi arvoksi (jolloin funktiosta f tulee jatkuva funktio). Numeeriset kokeilut antavat seuraavat tulokset: funktio funktio (reaali-) lähtöjoukko jatkuvuus = ±0.5, f()= ; = ±0.05, f()= ; = ±0.005, f()= ; = ±0.0005, f()= Nättäisi siis, että funktion raja-arvo origossa on = 1. (Numeerisissa kokeiluissa on tosin oltava varovainen, koska pöristsvirheet voivat llättäen aiheuttaa jopa täsin virheellisiä tuloksia.) Esimerkin tapauksessa raja-arvo todellakin on = 1 ja merkitään pöristsvirhe 1 cos = 1 0.

2 Funktion raja-arvo /6 Sisältö Funktion raja-arvon määritelmä Yleisesti reaalifunktion raja-arvon käsite määritellään seuraavalla tavalla: Jotta funktion f raja-arvo pisteessä a olisi b (merkitään a f() =b), on tilanteen oltava sellainen, että asetetaanpa miten tiukka etäissvaatimus tahansa, funktion arvot ovat tätä etäisttä lähempänä arvoa b, kun muuttuja rajoitetaan riittävän lähelle tarkastelukohtaa a. Mitä tiukempi etäissvaatimus on, sitä pienempään pisteen a mpäristöön muuttuja on leensä rajoitettava. Jokaista positiivista etäissknnstä vastaa kuitenkin aina jokin, ehkä hvinkin pieni alue pisteen a mpärillä, jossa vaatimus toteutuu. Funktion arvosta pisteessä a ei tällöin vaadita mitään; funktion ei tarvitse edes olla tässä pisteessä määritelt. Täsmällisemmin lausuttuna edellä oleva voidaan ilmaista seuraavasti: Funktion f raja-arvo pisteessä a on b, jos jokaista etäissknnstä ɛ (> 0) kohden on olemassa pisteen a mpäristöä rajaava luku δ (mös > 0) siten, että f() b <ɛ, kun a <δja a. Itseisarvolausekkeet a ja f() b on stä mieltäälukujen jaa, vastaavasti f() ja b välisiksi etäisksiksi. funktio (reaali-) itseisarvo (reaaliluvun) f(a) ɛ b a δ

3 Funktion raja-arvo 3/6 Sisältö Toispuoliset raja-arvot; raja-arvo ja raja-arvo äärettömdessä Funktio saattaa kättätä mös siten, että muuttujan lähestessä kohtaa a sen arvot lähestvät eri arvoja riippuen siitä kummalta puolen lähest arvoa a. Tällaisessa tilanteessa puhutaan funktion oikeanpuolisesta ja vasemmanpuolisesta raja-arvosta. Näitä merkitään f() ja f(), a+ a jolloin luvun a perässä oleva plusmerkki tarkoittaa oikeanpuolista, miinusmerkki vasemmanpuolista lähestmistä. Esimerkki tällaisesta funktiosta on arctan(1/) origossa, jolle arcus-funktio arctan(1/) = π ja arctan(1/) 0+ 0 = π. π = arctan (1/) 1 1 π Funktion raja-arvoa voidaan tarkastella mös, kun muuttuja lähest ääretöntä positiivisessa tai negatiivisessa suunnassa. Tällöin merkitään f() =b tai f() =b. Missä tahansa rajaprosessissa funktion arvot voivat mös lähestä positiivista tai negatiivista ääretöntä (jolloin raja-arvon ei sanota olevan olemassa, koska se ei ole (äärellinen) reaaliluku). Merkinnät ovat ilmeiset: f() =, a f() =, jne.

4 Funktion raja-arvo 4/6 Sisältö Funktioiden raja-arvon laskeminen Funktioiden raja-arvojen ja lukujonojen raja-arvojen laskeminen on usein hvin samantppistä. Pohjana ovat itsestään selvien (ts. määritelmän perusteella selvien) tulosten ohella summan, erotuksen, tulon ja osamäärän raja-arvoa koskevat lauseet ja tunnetut funktioiden ominaisuudet. Viimeksi mainittuja ovat mm. tiedot alkeisfunktioiden jatkuvuudesta ja edempänä mainitut standardiraja-arvot (jotka todistetaan suoraan määritelmään vedoten). Samat varovaisuusvaatimukset itsestään selvksien osalta kuin lukujonojen raja-arvoja laskettaessa on tietenkin otettava huomioon. Raja-arvon laskemisessa tarvitaan usein seuraavia kaavoja, joissa oletetaan, että funktioiden f ja g raja-arvot a f() ja a g() ovat olemassa: raja-arvo (lukujonon) alkeisfunktio jatkuvuus (f() ± g()) = f() ± g(); a a a (cf()) = c f() (cvakio); a a (f()g()) = f() g(); a a a a f() g() = a f() a g(). Osamäärää koskevassa kaavassa tulee luonnollisesti nimittäjien olla 0.

5 Funktion raja-arvo 5/6 Sisältö Esimerkkejä funktioiden raja-arvoista Samantppinen tekniikka kuin lukujonojen raja-arvojen laskemisessa soveltuu usein mös funktioiden raja-arvoille. Raja-arvoista voi mös saada tietoa piirtämällä esimerkiksi laskimella tai tietokoneella funktioiden kuvaajia pöristsvirheiden aiheuttamia häiriöitä varoen. 1) Olkoon a>0.kun a, saa seuraava lauseke muodon 0/0, jolloin sen raja-arvoa ei voida suoraan päätellä. Laventaminen sopivasti johtaa kuitenkin tulokseen: a a = ( a)( + a) ( a)( + a) = a a a. Laskun viimeisessä vaiheessa on kätett tietoa neliöjuurifunktion jatkuvuudesta. raja-arvo (lukujonon) kuvaaja ) Funktio f() =sin(1/) on määritelt, kun 0. Koska sinifunktion arvot sini ovat argumentista riippumatta itseisarvoltaan 1, on ilmeisestikin 0 sin(1/) = sin(1/). Jos nt 0, puristuu funktion arvo nollan ja nollaa lähestvän lausekkeen väliin, jolloin tulee olla 0 sin(1/) =0. (Kuva alempana.) 3) Funktiolla f() = sin(1/) ei ole raja-arvoa origossa eikä edes eri suuria oikean- ja vasemmanpuolisia raja-arvoja. Kuten oheinen kuva nättää, funktio heilahtelee sitä tiheämmin arvojen 1 ja 1 välillä, mitä lähempänä origoa ollaan. = 1 = = sin (1/) =sin(1/) 1 pöristsvirhe laventaminen neliöjuurifunktio jatkuvuus

6 Funktion raja-arvo 6/6 Sisältö Funktioiden standardiraja-arvoja Seuraavista raja-arvoista kolme ensimmäistä muodostavat pohjan kseessä olevien alkeisfunktioiden derivaattojen johtamiselle. Neljäs osoittaa, että eksponenttifunktio kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa muuttujan potenssi. e =1; ln(1 + ) =1; sin =1; e =, p pluonnollinen luku. Kolmannessa, siniä koskevassa kaavassa on argumentin oltava radiaaneissa. Raja-arvo voidaan tietenkin laskea mös siten, että lausutaan asteissa; tällöin se ei kuitenkaan ole 1. Ensimmäinen kaava johtaa siihen, että eksponenttifunktion derivaatta on se itse (ks. alkeisfunktioiden derivointia). Kaava puolestaan on seuraus Neperin luvun määritelmästä, kuten seuraava osoittaa. Merkitsemällä t =1/ saadaan ln(1 + ) ( = t ln 1+ 1 ) ( =ln 1+ 1 t. t t) raja-arvo (standardi-, lukujonon) derivointi (alkeisfunktioiden) eksponenttifunktio logaritmifunktio potenssifunktio sini radiaani aste Neperin luku Jos 0, niin t ±. Neperin luvun määritelmästä seuraa, että t (1 + 1/t) t = e; pieni lisäpäättel osoittaa, että näin on mös, jos t.eo. lausekkeen raja-arvo on siis ln e =1, kun 0, ja toinen kaava on todistettu. Ensimmäinen kaava voidaan palauttaa tähän merkitsemällä = e 1 eli = ln(1 + ), jolloin 0, jos ja vain jos 0. Tällöin e 1 = 1. ln(1 + ) Huomattakoon, että eo. päättelissä nojaudutaan tietoon eksponentti- ja logaritmifunktioiden jatkuvuudesta: Esimerkiksi tiedosta (1 + 1/t) t e seuraa jatkuvuus ln[(1 + 1/t) t ] ln e vain, jos logaritmifunktio tiedetään jatkuvaksi pisteessä e. Kolmannen ja neljännen kaavan johtoa ei tässä lähemmin käsitellä.