2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava

Transkriptio

1 . Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava Tulon nollasäännöstä näkee silloin tällöin omituisia sovellutuksia. Jotkut näet ajattelevat, että on olemassa myöskin tulon -sääntö tai tulon "mikä-tahansa"- sääntö. Jos on esimerkiksi ratkaistavana yhtälö ( 3), mikä ei tietystikään nyt ole normaalimuodossa, mutta siitä ajatellaan näin, että tulo täsmälleen silloin, kun sen jompikumpi tekijä on. Suoritus jatkuu sitten lennokkaaseen tyyliin tai 3 ja edelleen tai 9. Tällainen toiminta matematiikan kokeessa tuottaa pyöreä nollan. Voi hämmästyneenä kysyä, missä on tällaisen suorittajan käytännön ajattelu? Tulon "kuutossääntö" voidaan tietysti ajateltavan olevan olemassa. Kahden tekijän tulo voi olla kuusi silloin kun toinen tekijä, mikäli samanaikaisesti toinen tekijä on ykkönen ja vain ykkönen. Ei matematiikassa ole ilman muuta selvää, että jos on olemassa tulon nollasääntö, on olemassa myös täysin analoginen tulon -sääntö. Esim. Ratkaise yhtälö Tässä ei ole mahdollista käyttää tulon nollasääntöä, kun vasenta puolta ei osata jakaa ensiasteen tekijöihin. Käytetään ns. neliöksi täydentämismenetelmää, mitä käyttäen kohta itse yhtälön ratkaisukaavakin johdetaan. Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen on siis kaavamaista toimintaa. Neliöksi täydentäminen tarkoittaa jommankumman kaavoista (a + ) a + a + (a ) a a + soveltamista takaperin. Tällä pyritään muotoon (koira) A, missä on eräänlainen "koiran vatsassa" oleva välitulos, ja missä sitten A tunnetaan. Siirretään aluksi annetun yhtälön vakiotermi toiselle puolelle: + 5 ja suoritetaan ns. neliöksi täydentäminen. Vasemmalla on :n neliö ja termi. Näiden ajatellaan vastaavan inomin neliössä termejä a ja

2 a. Kun a:ta vastaa nyt ja a:tä vastaa, niin nähdään, että :n vastine on kakkonen. Lisätään tämän, siis kakkosen neliö yhtälön kummallekin puolelle. Kun paremmin rutinoidutaan ja sitten vielä terminologisoidutaan, neliöksi täydentämisessä on kysymys siitä, että lisätään ensimmäisen asteen termin kertoimen puolikkaan neliö (kunhan : kerroin on ). Saadaan ( + ) ( + ) tai + 3 tai 5. Tarkistus: : OK 5: ( 5) + ( 5) OK Esim. Ratkaise neliöksitäydentämismenetelmällä 0. Siirretään kuutonen toiselle puolelle ja lisätään sitten yhtälöön molemmin puolin ensiasteen termin kertoimen puolikkaan neliö. Ensiasteen termi on, sen puolikas on ½, jonka neliö on. + + Tarkistus: 3 :3 ½ ( ½) ( ) 5 5 ½ tai ½ 3 tai OK : ( ) 5( ) OK

3 Huom.! Ylläolevien esimerkkien seikkaperäinen suoritus "oikaistaan" seuraavaan tapaan: 5 ( ½) ½ ± ½ ± 5, 5 missä plus-merkki antaa toisen juuren ja miinus-merkki toisen. Toisen asteen yhtälö saadaan ns. supistettuun normaalimuotoon jakamalla yhtälö toisen asteen termin kertoimella: a + + c 0 :a c a a c ja kun viimeksi saatuun sijoitetaan p ja q, niin tullaan yhtälöön a a + p + q 0. Tämän yhtälön ratkaisukaavan johto jätetään harjoitustehtäväksi, jonka suoritus onnistuu täsmälleen kahden viimeksi esitetyn esimerkin tapaan. Tulokseksi saadaan p p ± ( ) q Supistetun normaalimuodon ratkaisukaavan käyttö on edullista oikeastaan vain silloin, kun ensiasteen termin kerroin on parillinen, jolloin sen puolikaskin on vielä kokonaisluku. Näin ei välttämättä läheskään aina ole, vaan joudutaan käsittelemään murtolukuja, ne ovatkin nykynuoren laskurutiinilla melko hankalia suorittaa. Sitä paitsi kyseistä kaavaa harva vaivautuu enää opettelemaankaan.

4 Johdetaan nyt yhtälön a + + c 0 ratkaisukaava. Kun aluksi jaetaan a:lla olettaen, ettei se ole nolla, ja saadaan c a a Siirretään vakiotermi toiselle puolelle ja lisätään jälleen yhtälöön ja kummallekin puolelle ensiasteen termin kertoimen puolikkaan neliö. Kerroinhan on, a sen puolikas on, a ja puolikkaan neliö on. a Se kummallekin puolelle lisätään: + ( + + ) a a + a a a + a a ac c a a ac a Mikäli ac > 0, niin oikeaa puolta voidaan pitää lausekkeen neliönä (edellyttäisi, että a > 0, mikä on järjestettävissä) ja siis ac ( ) + a a ± ac + a a ac a ± ac a

5 ****************************************************************** LAUSE 8: Yhtälö a + + c 0 on mekaanisesti ratkaistavissa käyttäen ratkaisukaavaa ± ac a ****************************************************************** Esim. 3 Ratkaise yhtälö Tämä on normaalimuotoinen yhtälö, jossa a 3, ja c ± 3 ± 3 tai 3 ± Vastaus: tai 3 Huom.! Ennen ratkaisukaavaan sijoittamista yhtälö on ehdottomasti saatettava normaalimuotoon, ellei heti alkuun hahmota, termien ollessa missä järjestyksessä hyvänsä, osin jopa eri puolilla yhtäsuuruusmerkkiä, että ratkaisukaavaan on a:n paikalle sijoitettava nimenomaan toisen asteen termin kerroin, :n tilalle se, mikä on :n edessä ja c:n paikalle vakio. Kaiken tavaran on joka tapauksessa oltava yhtäsuuruusmerkin samalla puolella. Ennen lukujen kaavaan sijoittamista saattaa olla hyvä kertoa tai jakaa yhtälöä sopivalla luvulla. Nimittäin toisen asteen yhtälön saa myös puolittain kertoa tai jakaa sopivalla luvulla. Ihan monimutkaisen suuria tai hankalia lukuja ei kannata sijoittaa. Kannattaa miettiä tarkoin sekin, jättääkö esimerkiksi toisen asteen termin kertoimeksi negatiivisen luvun. Siinä jo merkkivirheen vaara pyörii ja yleensäkin on huomattava, että kertoimet a, ja c on sijoitettava etumerkkeineen ja huolella.

6 Ratkaisukaava soveltuu vaillinaistenkin yhtälöiden käsittelyyn, mutta näissä sitä käyttävät heikosti rutinoituneet henkilöt. Missään tapauksessa asioiden sisäänmenovaiheessa ratkaisukaavan käyttäminen vaillinaisiinkin yhtälöihin ei ole väärin. Esim. Ratkaise yhtälö a) 3 0 ) a) 3 c) ± 3( 0) ± 3 ± tai 5 tai 3 ) ± 3 0 ± 9 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä luvulla 9 ei neliöjuurta ole. c) + 0 ± 8 ± 8 0 eli Käsitellyistä kolmesta esimerkistä näkyy, että toisen asteen yhtälöllä voi olla kaksi ratkaisua, voi olla yksi ratkaisu tai sitten ei ole ratkaisua ollenkaan. Viimeksi käsitelty tapaus on esimerkki yhtälöstä, jonka normaalimuodossa oleva vasen puoli on suoraan täydennettäväksi neliöksi, onhan + 0 ( ) 0. Kun mietitään asiaa, niin osataan aika äkkiä päätellä, että vain nollan neliö on nolla.