Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c.

Transkriptio

1 Epäyhtälö Kahden lausekkeen A ja B välisiä järjestysrelaatioita A < B, A B, A > B ja A B nimitetään epäyhtälöiksi. Esimerkiksi 2 < 6, 9 10, 5 > a ja ( + 1) ovat epäyhtälöitä. Epäyhtälössä esiintyvän tuntemattoman muuttujan sellaiset lukuarvot, jotka toteuttavat epäyhtälön, ovat epäyhtälön ratkaisuja. Esimerkiksi = 3 on epäyhtälön 2 < 8 eräs ratkaisu. Epäyhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan epäyhtälön kaikkien ratkaisujen määräämistä. Etsittäessä ratkaisua epäyhtälöä pelkistetään eli se saatetaan yksinkertaisemmaksi yhtäpitäväksi epäyhtälöksi eli epäyhtälöksi, jolla on samat ratkaisut kuin alkuperäisellä epäyhtälöllä. Pelkistämiseen voidaan käyttää seuraavia sääntöjä. Pelkistyssäännöt Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c. Esimerkki 1. Jos epäyhtälön + 2 < 3 molemmille puolille lisätään luku 2, saadaan yhtäpitävä epäyhtälö < 3 2 eli epäyhtälö < 1. Epäyhtälössä voidaan siirtää yhteenlaskettavia puolelta toiselle, kunhan samalla muutetaan niiden etumerkit: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a + b < c a < c b ja a + b c a c b. Esimerkki 2. Jos epäyhtälössä luku 2 siirretään oikealle puolelle, saadaan yhtäpitävä epäyhtälö 3 2, jonka ratkaisu on 1. Epäyhtälön molemmilla puolilla esiintyvä sama yhteenlaskettava voidaan jättää pois epäyhtälön kummaltakin puolelta. Esimerkki 3. Epäyhtälö + 2 > 3 eli epäyhtälö + 2 > on yhtäpitävä epäyhtälön > 1 kanssa. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla positiivisella luvulla: kun a, b ja c ovat reaalilukuja ja c > 0, niin a < b ac < bc, a b ac bc, a < b a/c < b/c, a b a/c b/c.

2 Esimerkki 4. Epäyhtälön /2 < 3 ratkaisu on < 6, ja epäyhtälön 2 4 ratkaisu on 2. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla negatiivisella luvulla, mikäli samalla vaihdetaan erisuuruus-merkin suunta: kun a, b ja c ovat reaalilukuja ja c < 0, niin a < b ac > bc, a b ac bc, a < b a/c > b/c, a b a/c b/c. Esimerkki 5. Kertomalla puolittain luvulla 2 epäyhtälön /( 2) < 3 ratkaisuksi saadaan > 6. Jakamalla puolittain luvulla 2 epäyhtälön ( 2) 4 ratkaisuksi saadaan 2. Ensimmäisen asteen epäyhtälö Ensimmäisen asteen epäyhtälö on epäyhtälö, joka pelkistyy muotoon a < b tai muotoon a b, missä a ja b ovat annettuja reaalilukuja ja a 0. Jos tässä a > 0, niin epäyhtälön a < b ratkaisu on < b/a ja epäyhtälön a b ratkaisu on b/a. Jos taas a < 0, niin epäyhtälöiden a < b ja a b ratkaisut ovat > b/a ja b/a. Esimerkki /( 2) 3. Esimerkki < < < 15 > 15/( 3) > 5. Esimerkki 8. 2(2 1) 8 > 5( 4) > > > 10 < 10. Esimerkki 9. Esimerkki 10. Kertomalla puolittain luvulla 10 saadaan /10 1/10. Jos a < b, niin kertomalla puolittain luvulla 1 saadaan a > b.

3 Korkeamman asteen epäyhtälö Olkoot a 1,, a m ja b 1,, b n nollasta eroavia reaalilukuja. Tällöin on voimassa: 1) a 1 a 2 a m > 0 luvuista a 1,, a m parillinen määrä on negatiivisia. 2) a1a2 a m > 0 luvuista a 1,, a m, b 1,, b n parillinen määrä on b1b2 bn negatiivisia. Esimerkki 11. Nollasta eroavan reaaliluvun neliö on positiivinen: a 2 > 0 aina, kun a 0. Tulossa a 2 = a a negatiivisten tekijöiden lukumäärä on näet 0 tai 2, siis aina parillinen. Näitä sääntöjä käytetään apuna nk. merkkikaaviota käytettäessä. Merkkikaavio Merkkikaaviolla tarkoitetaan sitä, että tulo- tai osamäärämuotoisen lausekkeen kunkin tekijän merkki (+/-) selvitetään erikseen ja tulokset yhdistetään käyttämällä edellä esitettyjä sääntöjä (a) ja (b). Esimerkki 12. Tulomuotoa (+1)( 3)(5 2) > 0 olevat epäyhtälöt voidaan ratkaista laatimalla tekijöistä alla olevan kuvion mukainen merkkikaavio, jossa lukusuora on pilkottu osiin tekijöiden nollakohtien toimiessa rajoina. Tulon merkkisäännön perusteella epäyhtälön ratkaisu on < 1 tai 2,5 < < 3. Ratkaisujen muodostama joukko eli epäyhtälön ratkaisujoukko on siis (, 1) (2,5;3) tulo ,5 3 Murtoepäyhtälö Esimerkki 13. Muotoa ( + 1)(2 ) 0 olevat murtoepäyhtälöt ratkaistaan vastaavasti laatimalla osoittajan ja nimittäjän tekijöistä merkkikaavio. Koska epäyhtälössä on merkki, osoittajan nollakohdat = 1 ja = 2 kuuluvat myös ratkaisuun. Sen

4 sijaan nimittäjän nollakohta = 0 on suljettava pois ratkaisusta, koska nollalla jakamista ei ole määritelty. Merkkikaaviosta nähdään, että epäyhtälön ratkaisu on 1 < 0 tai 2, joten sen ratkaisujoukko on [ 1,0) [2, ) osamäärä Esimerkiksi lausekkeen + 1 merkkiä määrättäessä kannattaa ensin etsiä sellainen muuttujan arvo, jolle + 1 = 0. Tällainen arvo on = 1, ja tästä syystä - akselille merkitään pystyviiva tähän kohtaan merkkikaaviossa. Ennen kohtaa = 1 lausekkeen + 1 arvo on negatiivinen (voit varmistua asiasta kokeilemalla jotain lukua kyseiseltä lukusuoran osalta), ja tästä syystä kaavioon merkitään (miinus). Kohdan = 1 jälkeen (ykköstä suuremmilla arvoilla) lausekkeen + 1 arvo on positiivinen, joten ensimmäisen pystyviivan oikealle puolelle merkitään +. Esimerkki 14. Monet epäyhtälöt voidaan palauttaa edellä olleisiin 4 3 < < 0 2( ) 4 < < 0 3 < 0. Merkkikaaviosta saadaan ratkaisu 1 < < osamäärä

5 Itseisarvoepäyhtälö Kaikilla reaaliluvuilla, y ja r on voimassa: 1) r r r. 2) r r r. 3) y 2 y 2. Huomaa erityisesti, että kohtaa (b) ei voida ilmoittaa yhtenä välinä, vaan se täytyy ilmoittaa erikseen tai-sanaa käyttäen. Jos (a) kohta sen sijaan kirjoitetaan kahteen osaan, niin on käytettävä ja-sanaa. Esimerkki < 3 3 < 2 1 < 3 2 < 2 < 4 1 < < 2. Esimerkki Esimerkki < 3 3 < 2 1 < 3 5 < 1 < 1 > 1/5 > 1 > 1/5. Esimerkki < 2 ( + 1) 2 < ( 2) < < < 3 < 1/2.