Käytännön geodesia Maa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Käytännön geodesia Maa-6.2222"

Transkriptio

1 Käytännön geodesia Maa IV luokan takymetrijono mittaus Jyväskylä II luokan verkko IV luokka GPS III luokan verkko IV luokan takymetrijono mittaus Säynätsalo IV luokka GPS IV luokka GPS Jyväskylän kaupungin runkoverkon uudelleenmittauksen 1999 geometria (Maa-6227 Geodesian maastoharjoitukset) Martin Vermeer 12 helmikuuta 2015

2

3 Kurssiesite Laajuus 3 op Opetusjakso III Osaamistavoitteet Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija osaa käyttää GPS käytännön runkomittaustyössä esim kuntien mittaustoimessa, sekä oivaltaa miten GPS:n antamat koordinaatit ja korkeudet eroavat perinteisistä koordinaateista ja korkeuksista Osaa suunnittella erityyppisiä mittauksia Tuntee niiden havaintoyhtälöt, osaa linearisoida ne, osaa arvioida saavutettava tarkkuus Osaa muunnoskaavojen ja -parametrien laskenta; keskistysmittaukset, karttaprojektiot; ymmärtää rekognosoinnin ja pistekorttien merkitystä Osaa selittää monikulmio- ja korkeusjonojen ja jonoverkkojen tarkkuuskäyttäytyminen ja sen perusteella suunnittella niitä Ymmärtää mittaustarkkuusluokat ja verkkohierarkia ja on tutustunut laajemmin pienimmän neliösumman menetelmän käyttöön verkkotasoituksessa Ymmärtää datumin ja datuminmuunnoksen käsite ja merkitys kaksi- ja kolmiulotteisesti; paikalliset ja geosentriset datumit ja koordinaattijärjestelmät On valmis osallistumaan käytännön maastotyöhön Sisältö Taso-, korkeus- ja avaruusrunkoverkkojen suunnittelu, mittaus ja laskenta 2D+1D ja 3D -lähestymistapa Havaintoyhtälöiden rakentaminen pienimmän neliösumman verkkotasoitusta varten Mittausten tarkkuus ja tarkkuusluokittelu Tilastollinen testaus Koordinaatti- ja vertausjärjestelmät, vertausellipsoidi, datumit ja datum-muunnokset GPS-verkkojen laskenta ja tarkkuus Erityyppisten mittausten ja -verkkojen yhteiskäyttö ja integrointi Kalibrointi Esitiedot Maa-6211/214 tai Maa Korvaavuudet Korvaa opintojakson Maa-6222 Kohderyhmä Suoritustavat Tentti ja harjoitukset, josta yksi on Metsähovin retki Työmäärä toteutustavoittain Luennot 8 2 t = 16 t Materiaalin itsenäinen opiskelu, tenttivalmistelu 24 t Harjoitustyö, itsenäinen työskentely = 36 t Metsähovi 4 t Yhteensä 80 t Arvostelu Tentin arvosana on kokonaissuorituksen arvosana, 1-5 Oppimateriaalit Luentomoniste Taustamateriaalina Blachut, Chrzanowski, Saastamoinen: Urban Surveying and Mapping; Cooper: Control Surveys in Civil Engineering Opetuskieli Suomi

4 ii Kurssin henkilökunta ja yhteystiedot Martin Vermeer, huone M309 Vastaanottoajat CEFR-taso Lisätietoja

5 Sisältö iii Sisältö 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen 1 11 Linearisointi Skalaaritapaus Vektoritapaus Havaintoyhtälöiden linearisointi 4 12 Varianssien kasautumislaki 5 13 Geodeettinen päätehtävä 6 2 Datumit Yksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kompleksinen esitystapa Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) Kolmulotteinen datummuunnos (2) 17 3 Koordinaattijärjestelmät Yleistä Suorakulmaiset geosentriset koordinaatit Vertausellipsoidi WGS84-vertausjärjestelmä Toposentrinen koordinaattijärjestelmä Geodeettinen datum Geodeettisten datumien välinen muunnos Suuntakorjaus paikallisesta horisontista vertausellipsoidiin Ellipsoidisten normaalien erisuuntaisuus Pituuskorjaus 31 4 Keskistykset, asematasoitus Vaakakeskistys Korkeuskeskistys GPS-keskistys Vaakakulmien asematasoitus Kulmamuunnos Jäännösvirheet ja vapausasteet Asematasoituksen laskentataulukko 38 5 Vaaitus Vaaitusrefraktio Vaaituksen satunnaiset virheet Vaaituksen systemaattiset virheet Vaaituksen karkeat virheet Yksittäisen vaaitusjonon laskeminen 45 6 Korkeuden mittaus ja käsittely Refraktiokerroin 49

6 iv Sisältö 62 Pystykulma Trigonometrinen korkeudenmittaus Periaate, virhepropagaatio Trigonometrinen vaaitus Refraktion ja Maan kaarevuuden vaikutus Vastakkaiset yht aikaiset mittaukset xyh -jonomittaus, tarkka trigo Mittatanko 56 7 Monikulmiojonon laskenta Suljettu monikulmiojono Alku- ja loppuliitossuunnan laskeminen Suuntien tasoitus Koordinaattien tasoitus Laskentakaavio Huomautuksia Avoin monikulmiojono Lähtösuunta Jonon laskenta 65 8 Ehtoyhtälöiden tasoitus Teoria Esimerkki: kolmioehto Monikulmiojonotasoitus ehtoyhtälötasoituksena Ilman painotusta Painotuksen kera Jonon laskenta Painokertoimien valinnasta Realistiset painoluvut Relatiivinen pistekeskivirhe, loppupistekeskivirhe Karkeiden virheiden löytäminen Sulkuvirheiden testaus Tasoitetun pisteen keskivirhe 74 9 Kriteerivarianssit Esimerkki: jono Verkon varianssi-kovarianssimatriisi Verkon kriteerimatriisi Varianssi- ja kriteerimatriisin vertailu Pienimmän neliösumman tasoitus Teoreettinen tausta Pienimmän neliösumman ratkaisu Harhattomuus Jäännösvirheiden varianssi Vinoetäisyys avaruudessa Atsimutimittaus Zeniittikulmamittaus Käytännön esimerkki Tasoituslaskun variantit ja sovellukset Pakkoehtojen käyttö ratkaisun kiinnittamiseksi Ehto- ja havaintoyhtälöiden välinen yhteys 92

7 Sisältö v 1121 Testaussuureen laskenta Vaaitus ehtoyhtälöiden esimerkkinä Esimerkki: vaaitusverkko Helmert-muunnosparametrien estimointi Vapaa asemapiste Vapaan asemapisteen laskuesimerkki Helmert-tasomuunnos kahdesta tunnetusta pisteestä Helmert-parametrien virheiden kasautuminen GPS-mittaus ja laskenta Yleistä Rekognosointi Vektoreiden mittaus Vektoreiden määrä Verkon geometria Mittausten kesto ja aikataulu Ratatiedot Antennit ja pystytys Havaintogeometria, havainto-yhtälöt Tuntemattomien varianssimatriisi ja varianssit Esimerkki: atsimutisymmetrinen geometria Erotushavaintojen havaintoyhtälöt Vektorimittaukset Geodeettiset mittaukset ja laskennat Runkkoverkkojen hierarkia ja tarkkuusluokitus Valtakunnalliset runkoverkot Alemman luokan runkoverkot Perinteisiä ja satelliittimittauksia kkj -järjestelmän määritys Korkeusjärjestelmät ja geoidin rooli Muunnokset eri järjestelmien välillä Maastomittaus käytännössä Geodesian laboratorion maastomittaukset Maastomittauksessa käytetyt tekniikat Staattinen GPS-mittaus Digitaalinen tarkkavaaitus Trigonometrinen vaaitus: tarkka trigo Monikulmiojonomittaus Case: Jyväskylän maastomittaus 130

8

9 1 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen 11 Linearisointi Geodesiassa, kuten monessa muussakin tieteissä, on usein olemassa kahden suuren väliset yhteydet jotka käyttäytyvät epälineaarisesti Esimerkit tästä ovat havaintosuureiden ja tuntemattomien välinen yhteys, tai kahden eri koordinaattijärjestelmän koordinaattien välinen yhteys Kuitenkin monet teoriat, kuten esim pienimmän neliösumman (PNS) tasoitusmenetelmä, perustuvat lineaarisiin kaavoihin, joiden matematiikka on huomattavasti yksinkertaisempaa Myös virheiden (varianssien) kasautumislaki pätee vain lineaarisille riippuvuussuhteille suureiden välillä Käytännössä usein muodollisesti epälineaarinen yhteys, esim pistekoordinaatin ja pisteeseen mitatun suunnan välillä, on melkein lineaarinen pisteen sijainnin epävarmuusalueen sisällä Onhan mittaustarkkuus geodesiassa varsin suuri: pisteen sijainnin epävarmuus voi olla senttimetrien luokkaa kun pisteiden välinen etäisyys voi olla satoja metrejä tai kilometrejä Silloin voidaan tutkia, alkuperäisten suureiden sijasta, yhteyttä niiden pienten erotussuureiden välillä joka on lähestulkoon lineaarinen Asia näytetään Taylor-sarjakehitelmän avulla 111 Skalaaritapaus Yleensä jos on kaksi suurta, jonka välinen on funktionaalinen yhteys: y = f (x), voidaan linearisoida valitsemalla likiarvo x 0 ja kehittämällä funktio sarjakehitelmään (Taylorsarjaan) likiarvon lähistöllä Saadaan: y = f (x 0 ) + df dx (x x 0 ) + x=x0 eli y y 0 a (x x 0 ), (11) jossa y 0 f (x 0 ) ja a = df dx Tätä voidaan kirjoittaa muotoon x=x0 y = a x mitä usein lyhennetään seuraavan muotoon y = ax, kun vain muistetaan että x, y ovat linearisoidut (siis: x 0, y 0 suhteen lasketut erotus-)arvot

10 2 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen y Linearisointiväli y = f(x) y = y 0 + a (x x 0 ) y 0 x x 0 Kuva 11: Yksiulotteinen kuvaus ja linearisointi 112 Vektoritapaus Jos on kaksi vektorisuurta, x = [ x 1 x 2 x n ] T R n ja y = [ y 1 y 2 y m ] T R m, jonka välillä on funktionaalinen yhteys eli y 1 y 2 y m = y = F (x) = F (x 1, x 2,, x n ), F 1 (x) F 2 (x) F m (x) = F 1 (x 1, x 2,, x n ) F 2 (x 1, x 2,, x n ) F m (x 1, x 2,, x n ) [ tilanne mutkistuu Tässäkin tapauksessa voidaan valita likiarvovektori x 0 = ja vastaava likiarvovektori y 0 F (x 0 ), jonka jälkeen taas y = y 0 + F (x 1, x 2,, x n ) ( ) x 1 x 1 x (0) 1 x=x 0 + F (x 1, x 2,, x n ) ( ) x n xn x (0) n, x=x 0 + F (x 1, x 2,, x n ) x 2, x (0) 1 x (0) 2 x (0) n ( ) x 2 x (0) 2 + x=x 0 eli y i = y (0) i + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x 1 x 1 x (0) 1 + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x=x 0 x 2 x 2 x (0) 2 + x=x 0 + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x n xn x (0) n +, i = 1,, m x=x 0 ] T, Tässä kaavassa on m eri riviä, ja jokaisella rivillä on n eri (lineaarista) termiä Tämä yhtälöryhmän yhteenvedoksi kirjoitetaan seuraava matriisiyhtälö: y = y 0 + A (x x 0 ) +,

11 11 Linearisointi 3 x 2 F : R 2 R 2 y 2 x 1 y 1 Kuva 12: Kaksiulotteinen kuvaus jossa matriisi A on F 1 F 1 F 1 x 1 x 2 x n F 2 F 2 F 2 A = x 1 x 2 x n F m F m F m x 1 x 2 x n Tämä matriisi on kahden abstraktisen vektoriavaruuden R n ja R m välisen vektorikuvauksen F : R n R m ns Jakobin 1 matriisi Matriisi kuvaa paikallisesti, siis pisteen x = x 0 lähistöllä, millä tavalla pienet häiriöt x-vektorissa kulkevat y-vektoriin: y y y 0 A (x x 0 ) = A x, jos määritetään x = x x 0 ja y = y y 0 Siis erotussuureiden x, y välillä kuvaus on paikallisesti lineaarinen Tämä on ns linearisointi Yleisessä tapauksessa m n Erikoisessa tapauksessa, että m = n, voidaan ajatella, että kuvauksella F olisi käänteiskuvaus G = F 1, jolla x = G (y) Paikallisesti, likipisteen x 0 ympäristössä, voidaan tästä sanoa: Jos matriisi A on singulaarinen, ts sen determinantti det (A) = 0, merkitsee tämä, että kuvauksella F ei ole olemassa paikallisesti (siis pisteessä x 0, ja mahdollisesti ei myöskään sen sopivan pienellä lähialueella) käänteistä kuvausta Tämä merkitsee taas, että voi olla useita (itse asiassa äärettömän useita) eri arvoa x joilla on kaikki sama kuva y = F (x) Toisaalta jos det A 0, sellainen käänteiskuvaus on (sopivan pienikokoisella likipisteen x 0 lähistöllä) olemassa Tulkinta det A kuvaa, miten tilavuudet kuvautuvat F -kuvauksen alla: esim jos n = m = 2, se kuvaa, miten pikkuneliön pinta-ala R n -avaruudessa kuvautuu parallellogrammin pinta-alaan R m - avaruuteen, eli niiden kahden pinta-alan suhde Jos n = m = 3, se kuvaa vastaavasti suhde 1 Carl Gustav Jacob Jacobi, , juutalaissaksalainen matemaatikko, Königsbergin yliopisto

12 4 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen R n -avaruuden kuution ja sen R m -avaruuden parallellepipeedin tilavuuksien välillä Jos suhde on nolla, niin ilmeisesti neliö litistyy viivapätkäksi ja kuutio taso-parallellogrammiksi, ja kuvaus on ilmeisen singulaarinen 113 Havaintoyhtälöiden linearisointi Käsitellään esimerkkina funktionaalinen yhteys tuntemattomien x ja havaintosuureiden l välillä, joka on todellisessa havaintogeometriassa harvoin lineaarinen Joudutaan linearisoimaan: olkoon ei-lineaariset havaintoyhtälöt l + v = F ( x), (12) missä F ( ) on moniulotteinen, yleensä ei-lineaarinen havaintofunktio Mallit linearisoidaan kehittämällä ne taas Taylor-sarjaan karkeasti arvioitujen ratkaisukoordinaattien ( likiarvojen ) ympärillä, ja käyttämällä sarjasta vain ensimmäisen asteen termit Mikäli käytetyt likikoordinaatit eivät ole riittävän hyviä, joudutaan laskemaan ratkaisu iteratiivisesti Valitaan likiarvot x 0 ja yhteensopivasti l 0 joille siis pätee: l 0 = F (x 0 ) (13) eli (huomaa, että tuntemattomien määrä on m ja havaintosuureiden määrä n): ( ) l (0) i = F i x (0) 1, x (0) 2, x (0) m 1, x (0) m, i = 1 n Tämä vähennetään kaavasta (12) ja tehdään sarjakehitelmä: ( l i l (0) i ) ( ) + v i = F i ( x 1, x 2, x m ) F i x (0) 1, x (0) 2, x (0) m m j=1 F i x j xj =x (0) j ( ) x j x (0) j Kutsutaan A ij = F i x j xj =x (0) j ns second order design matrixin 2 alkiot Itse matriisi on silloin F 1 F 1 F 1 x 1 x 2 x m F 2 F 2 F 2 A = x 1 x 2 x m F n F n F n x 1 x 2 x m 2 Suom (toisen kertaluvun) rakennematriisi, i = 1 n, j = 1 m, (14) x1 =x (0) 1,x 2=x (0) 2,xm=x(0) m

13 12 Varianssien kasautumislaki 5 Tässä n on havaintojen, m tuntemattomien määrä Jos kutsutaan (l F (x 0 )) l ( x x 0 ) x ( korvaavat eli linearisoidut havaintosuureet ja tuntemattomat), saadaan linearisoiduiksi havainto-yhtälöiksi: l + v = A x (15) Tästä laskettava pienimmän neliösumman ratkaisu minimoi residuaalien neliöllinen summa v T Q 1 ll v, mistä syystä sitä kutsutaan pienimmän neliösumman menetelmäksi Matriisi Q ll, lyhyesti Q, on havaintojen tarkkuutta ja mahdollista keskinaista tilastollista riippuvuutta (korrelaatiota) kuvaava havaintovektorin varianssimatriisi 3, ks luku 12 Kaavassa (15) jätetään usein myös pois yksinkertaisuuden vuoksi -suureet ovat tyypillisesti paljon pienempiä kuin kokonaiset suureet Siksi numeriikka onnistuu hyvin vaikka A-matriisin elementit eivät olisi eksakteja Kuitenkin kaava (13) on aina laskettava eksaktisti 12 Varianssien kasautumislaki Jos stokastinen suure y on stokastisen suureen x lineaarinen funktio, ts voidaan kirjoittaa myös y = Lx, σ y = Lσ x, missä σ x, σ y ovat suureiden x ja y keskivirheet Samalla voidaan kirjoittaa E { y } = E {Lx} = LE {x} ( odotusarvojen kasautumislaki ), missä E { } on odotusarvo-operaattori, lineaarinen operaattori Jos määritetään varianssi seuraavasti: seuraa, että Var {x} = σ 2 x E { (x E {x}) 2}, σ 2 y = L 2 σ 2 x Tämä on varianssien kasautumislaki yksinkertaiselle stokastiselle suureelle Mikäli stokastisella suureella x = [ x 1 x 2 x n ] T ja y = [ y1 y 2 y m ] T on useita komponentteja (abstrakti vektorisuure ), pätee y = Lx, (16) E { y } = LE {x} 3 Tarkemmin: havaintovektorin painokerroinmatriisi Yleisesti kirjoitetaan Σ ll = σ 2 0Q ll, jossa Σ ll on varianssimatriisi ja σ 0 ns painoyksikön keskivirhe

14 6 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen ja Var ( y ) = LVar (x) L T, (17) missä nyt L ja varianssit ovat matriiseja L 11 L 12 L 1n L = L 21, L m1 L mn m n-kokoinen matriisi; Var(x) = Σ xx = σx 2 1 σ x1 x 2 σ x1 x n σ x2 x 1 σx 2 2 σ xnx1 σx 2 n, n n-kokoinen, neliönmuotoinen matriisi; ja Var ( y ) = Σ yy = σy 2 1 σ y1 y 2 σ y1 y m σ y2 y 1 σy 2 2, m m-kokoinen neliömatriisi Tässä varianssit: ja kovarianssit: ja samoin y:n komponenteille σ ymy 1 σ 2 y m σ 2 x i = Var (x i ) = E { (x i E {x i }) 2}, σ xi x j = Cov ( x i, x j ) = E { (xi E {x i }) ( x j E { x j })}, Kaava (17) kutsutaan yleiseksi varianssien kasautumislaiksi Kaavan (16) ilmaisema lineaarisuusominaisuus saadaan tarvittaessa aikaan linearisoimalla, josta puhuttiin aikaisemmin 13 Geodeettinen päätehtävä Varianssien kasautumislain sovelluksena tarkastetaan geodeettinen päätehtävä, missä suuntaja etäisyysmittauksen tunnetut epätarkkuudet kulkevat eli kasautuvat tuntemattoman pisteen koordinaattien epätarkkuuksiksi Geodeettinen päätehtävä: annettuna mittaussuureet s, A sekä lähtöpisteen P koordinaatit x P, y P, määritä tuntemattoman pisteen koordinaatit x = x P + s cos A, y = y P + s sin A

15 13 Geodeettinen päätehtävä 7 Ongelma ratkaistaan seuraavalla tavalla Otetaan likiarvot s 0, s = s 0 + s ja A 0, A = A 0 + A ja kirjoitetaan Taylor-sarjakehitelmä: cos A x = x P +s 0 cos A 0 + s cos A 0 +s 0 A A = x 0 { }} { + x P + s 0 cos A 0 x { }} { [ ] [ ] s cos A0 s 0 sin A 0 A ja samalla tavalla y = y 0 + y { }} { [ ] [ ] s sin A0 s 0 cos A 0 A Nyt meillä on (jättämällä, mutta muistamalla, 0-indeksit, ja tekemällä x- ja y-vektorit stokastisiksi eli satunnaismuuttujiksi): y [ x y ] [ s, x A ] [ cos A s sin A, ja L = sin A s cos A ja yllä olevat kaavat voidaan nyt kirjoittaa: y = Lx ] [ ; sekä Var (x) = σ 2 s 0 0 σ 2 A ] Varianssimatriisin Var ( y ) = = = [ σx 2 σ xy σ xy σy 2 ] = LVar (x) L T = [ ] [ ] [ ] cos A s sin A σs 2 0 cos A sin A = sin A s cos A 0 σa 2 s sin A s cos A [ σs 2 cos 2 A + σas 2 2 sin 2 A cos A sin A ( ) ] σs 2 s 2 σa 2 cos A sin A (, σs 2 s 2 σa) 2 σ 2 s sin 2 A + σas 2 2 cos 2 A jossa alkiot laskettiin varianssien kasautumislain (17) avulla 4 Sijoittamalla vielä saadaan vaihtoehtoinen muoto: cos A = x x P s, sin A = y y P s 4 Jos ilmaistaan suunnan A varianssi gooneissa, voidaan sijoittaa kaikkiin alla oleviiin kaavoihin ( ) 2 σa 2 σa [g] =, ρ jossa ρ on radiaanin suuruus käytetyssä asteyksikössä, tässä tapauksessa ρ = Samoin kun käytetään kaarisekunteja: silloin ( σa 2 σa [ ) 2 ] =, ρ jossa nyt ρ = =

16 8 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen N σ x Q sσ A A s σ y σ s P Kuva 13: Virhe-ellipsin geometria σ 2 x = Var ( x) = ( ) 2 x xp σs 2 + (y y P ) 2 σ 2 s A, σy 2 = Var ( y ) ( ) 2 y yp = σs 2 + (x x P ) 2 σ 2 s A, σ xy = Cov ( x, y ) [ (σs ) ] 2 = σ 2 A (x x P ) (y y P ), (18) s jossa x x P = s cos A, y y P = s sin A Näin havaintotyön keskivirheet σ s, σ A muunnetaan koordinaattikeskivirheiksi σ x, σ y Kuten näkyy, vaikuttavat tarkkuuteen vaikuttavat sekä havaintojen tarkkuus σ s, σ A että geometria A, s Virhe-ellipsi on tilastomatemaattinen varmuusalue kaksiulotteisen pisteen ratkaisulle Tätä käytetään eri testeissä Pisteen tarkkuuden mitaksi on olemassa sopivampi suure joka ei riipu koordinaattiakseleiden suunnasta Sellainen mitta saadaan seuraavasti: virhe-ellipsi on oikeastaan varianssimatriisin kuvaaja: jos pisteen P koordinaattien, tai kahden pisteiden P, Q, koordinaattierojen, x, y varianssimatriisi kirjoitetaan [ x V = Var y ] [ = Var (x) Cov ( x, y ) Cov ( x, y ) Var ( y ) Tämän matriisin invariantit ovat sen ominaisarvoja ja -vektoreita: Kaavan (V λi) x = 0 ratkaisuja (λ i, x i ) Jos käännetään koordinaatiston akselit näin, että ne ovat samansuuntaisia ellipsin pääakseleiden kanssa, saadaan V = [ s 2 σ 2 A 0 0 σ 2 s ja on selvä, että λ 1 = s 2 σ 2 A ja λ 2 = σ 2 s Yleisemmin ratkaistaan determinanttiyhtälö V 11 λ V 12 V 22 λ = 0, V 21 ] ]

17 13 Geodeettinen päätehtävä 9 ( mistä ns karakteristinen ) polynomi: (V 11 λ) (V 22 λ) V12 2 = 0, siis λ 2 (V 11 + V 22 ) λ + V11 V 22 V12 2 = 0, mistä 5 ja λ 1 + λ 2 = V 11 + V 22 = Var (x) + Var (y) = σ 2 x + σ 2 y (19) λ 1 λ 2 = V 11 V 22 V 2 12 = det (V ) = σ 2 xσ 2 y σ 2 xy (110) (missä σ 2 xy lasketaan kaavan (18) mukaan) Suureet (19, 110) ovat invariantit (siis: aina sama, koordinaattiakseleiden orientoinnista riippumatta) ja etenkin suure (19), jota kutsutaan pisteen P pistevarianssiksi σ 2 P, on sopiva pistetarkkuuden mitta: σ 2 P = σ 2 x + σ 2 y Pistekeskivirhe σ P on tämän pistevarianssin neliöjuuri 5 Ominaisarvot ovat λ 1,2 = 1 [ ] V 11 + V 22 ± (V 11 + V 22 ) 2 4 (V 11 V 22 V ) = = 1 [ ] V 11 + V 22 ± (V 11 V 22 ) 2 + 4V12 2 = 2 [1 = 1 ] 2 2 (V 11 + V 22 ) ± 2 (V 11 V 22 ) + V12 2, ja ellipsin pitkä ja lyhyt akselit puolikkaat ovat λ 1, λ 2 Myös akseleiden suunnat voidaan määrittää: tutki koordinaattien lineaariyhdistelmä joka on suuntakulman θ funktio Varianssien kasautumislain avulla saadaan z (θ) = x sin θ + y cos θ, Var (z (θ)) = V 11 sin 2 θ + V 22 cos 2 θ + 2 sin θ cos θv 12 ; ellipsin akselit ovat tämän θ-funktion stationaariset arvot, Differentioimalla eli ja d Var (z) = 0 dθ 2 sin θ cos θ (V 11 V 22 ) + 2 ( cos 2 θ sin 2 θ ) V 12 = 0 sin 2θ (V 11 V 22 ) + 2 cos 2θ V 12 = 0 θ = 1 ( 2 arctan 2V ) 12 + k 100 gon = V 11 V 22 V 12 = arctan [ V (V 11 V 22 ) ] + k 100 gon, 2 + V 2 12 käyttämällä arctangentin puolikulmakaava

18 10 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen

19 11 Datumit Luku 2 Datum-käsite voidaan matemaattisesti käsitellä tapana kiinnittää verkkoratkaisussa tiettyjen pisteiden koordinaatit oletettuun likiarvoihinsa Kiinnitettävien pisteiden valinta on mielivaltainen, siis datumin määrittely on mielivaltainen Esim syy, miksi Suomeen luotiin ja Suomessa käytettiin pitkään N60-korkeusdatumia jonka lähtöpiste on Helsingissä, on täysin poliittinen Lähtöpiste olisi voinut olla Turussakin 21 Yksiulotteiset datuminmuunnokset Yksiulotteinen datuminmuunnos on yksinkertainen translaatio eli arvojen siirto vakiomäärällä Esim korkeusjärjestelmä jossa tietty piste on määritetty lähtöpisteeksi eli datumpisteeksi, jonka arvo on 0, voidaan muunta toiseksi siirtämällä kaikki arvot näin, että uuden datumpisteen arvoksi saadaan 0 Olkoon pistejoukon korkeusarvot tietyssä datumissa H i, ja tietyssä toisessa datumissa H i Olkoon lisäksi käytettävässä joukolle korkeuksien likiarvot H 0 i Kuten myöhemmin tullaan näkemään, onko likiarvojen olemassaolosta hyötyä kun formuloidaan lineaariset havaintoyhtälöt Ensimmäisen datumin lähtöpiste olkoon A ja toisen datumin lähtöpiste B Silloin Jos määritetään H A = H 0 A, H B = H 0 B H i H i H 0 i, H i H i H 0 i, seuraa, että H A = H B = 0 Nyt johdetaan datuminmuunnoskaava! Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi sen olevan muotoa H = H + a, missä a on vakio Kaavan delta-muoto on H = H + a eli H i = H i + a

20 12 Luku 2 Datumit Pisteille A ja B saadaan ja koska H A = H B = 0, saadaan Tästä yleinen muunnoskaava pisteille i: H A = H A + a H B = H B + a a = H A = H B H i = H i H B, H i = H i H A, ts sekä eteenpäin (A-datumista B-datumiin) että taaksepäin muunnoskaava Matriisikielellä: [ H i H A ja [ Hi H B (nähdään helposti, että [ ] = ] = ] [ [ [ ] [ Hi H B ] [ H i ] = H A [ eli matriisi on oma käänteismatriisinsä Tämä matriisi kutsutaan S-muunnosmatriisiksi) Tietenkin näissä kaavoissa ] ] ], H i = [ H 1 H 2 H n ] T, jolloin Myös H 1 H 2 H n H A = = H 1 H 2 H n H B , eli matriisi on oma käänteismatriisinsa Translaatiovakio on tavoitedatumin lähtöpisteen korkeuspoikkeama likiarvosta, laskettuna lähtödatumissa

21 22 Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteinen datuminmuunnos on useimmiten yhdenmuotois- eli Helmert 1 -muunnos, kaavana [ x y ] [ c d = d c ] [ x y ] + [ a b ], ( neliparametrinen Helmert ) jossa a, b, c, d ovat muunnoksen parametrit: translaatio (siirto) a, b ja rotaatio/skaalaus c, d Selkeämpi kirjoitustapa: [ x y ] [ cos θ sin θ = (1 + m) sin θ cos θ ] [ x y ] + [ a b ], missä c = (1 + m) cos θ ja d = (1 + m) sin θ Usein m ja θ ovat pieniä, jolloin voidaan kirjoittaa likimäärin: [ x y ] [ ] [ ] [ ] 1 θ x a = (1 + m) + = θ 1 y b { } [ ] [ ] 1 + m θ (1 + m) x a = + = θ (1 + m) 1 + m y b {[ ] [ ]} [ ] [ ] m θ 1 θm x a = + + θ m θm 1 y b [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m θ x 1 0 x a + + θ m y 0 1 y b [ ] [ ] [ ] [ ] m θ x 0 x a + +, θ m y b y 0 eli [ x x y y ] [ m θ = θ m ] [ x 0 y 0 ] + [ a b ], (21) missä x 0, y 0 x, y ovat likiarvoja; uudelleen järjestäminen antaa (helposti verifioitavissa kirjoittamalla vain kaavat (21) ja (22) raa asti auki): [ x x y y ] [ = x 0 y y 0 x Helmert-muunnoksen parametrien havaintoyhtälö ] m θ a b, (22) Kaikkien tuntemattomien määrittäminen edellyttää tietysti riittävä määrä havaintoja eli pistekoordinaattieroja vasemmalla puolella Kahden pisteen koordinaatit on minimi 1 Friedrich Robert Helmert, kuuluisa Saksalainen geodeetti

22 14 Luku 2 Datumit 23 Kompleksinen esitystapa Lähdetään Helmert-kaavasta (21) ja kirjoitetaan sen kompleksilukujen avulla 2 : z z = µz 0 + α, missä z x + iy, z x + iy, µ m + iθ, z 0 x 0 + iy 0 ja α a + ib Määrittämällä taas delta-suureet z z z 0, z z z 0, saadaan z = α + z + z 0 µ Vaaditaan nyt tavoitedatumin kahden lähtöpisteen A, B koordinaattipoikkeamat nollaksi: Eli Vähennyslaskun avulla: z A = z B = 0 α + z A + z 0 Aµ = 0 α + z B + z 0 Bµ = 0 z A z B + ( z 0 A z 0 B) µ = 0 eli : µ = z A z B z 0 A z0 B Seuraavaksi ratkaistaan α takaisinsijoituksen avulla: α = z A + z 0 A z A z B z 0 A z0 B Parametrit α, µ ovat nyt ratkaistuina ja voimme kirjoittaa yleinen muunnoskaava pisteille i: z i = z i z A + z 0 z A z B A z 0 A z0 B z 0 i z A z B z 0 A z0 B = z i z A ( ) z 0 i z 0 z A z B A z 0 A = z0 B ( ) ( z 0 = z i i z 0 A z 0 z 0 A 1 z A + i z 0 A z0 B z 0 A z0 B ( ) ( z 0 = z i i z 0 B z 0 z 0 A z A i z 0 A z0 B z 0 B z0 A = ) z B = ) z B (23) 2 Vastaavasti Helmert-muunnoksen parametrien havaintoyhtälöksi (kaava 22) saadaan [ ] [ ] z z = z 0 µ 1 α [ ] a b Huomaa, että kompleksilukujen a + bi ja 2 2 matriisien välillä on olemassa isomorfismi, eli b a ne käyttäytyvät samalla tavalla

23 24 Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) 15 Kaava (23) kutsutaan S-muunnokseksi Se kuvaa pientä yhdenmuotoisuus- eli Helmert-muunnosta millä päästään erään koordinaattijärjestelmän tietystä realisaatiosta (eli lähtöpisteiden vallinnasta) toiseen Kaavassa (23) korjaustermit jotka sisältävät z A, z B ovat pieniä, yhtä pieniä kuin nämä deltasuureet itse Oletetaan vielä, että lähtökoordinaattijärjestelmän lähtöpisteet olivat C ja D, eli että z C = z D = 0; silloin voimme kirjoittaa kaava (23) seuraavaan matriisimuotoon (selvyyden vuoksi on z i kirjoitettu auki vektoriksi [ z 1 z n ] T : z 1 z n z C z D = ( z z 0 B z 0 A z0 B ( z 0 1 n z 0 B z ( 0 A z0 B z C z 0 B ( z 0 A z0 B z D z 0 B z 0 A z0 B ) ) ) ) ( ) z 0 1 z 0 A z 0 B z0 A ( ) z 0 n z 0 A z ( 0 B z0 A ) z 0 C z 0 A ( z 0 B z0 A ) z 0 D z 0 A z 0 B z0 A z 1 z n z A z B tai vaihtoehtoisella notaatiolla, jossa datum on merkattu lähtöpisteillä [AB]tai [CD]: z [AB] 1 z [AB] n z [AB] C z [AB] D = ( z z 0 B z 0 A z0 B ( z 0 1 n z 0 B z ( 0 A z0 B z C z 0 B ( z 0 A z0 B z D z 0 B z 0 A z0 B ) ) ) ) ( ) z 0 1 z 0 A z 0 B z0 A ( ) z 0 n z 0 A z ( 0 B z0 A ) z 0 C z 0 A ( z 0 B z0 A ) z 0 D z 0 A z 0 B z0 A z [CD] 1 z [CD] n z [CD] A z [CD] B Tämä matriisi on neliön muotoinen ja kääntämiskelpoinen 3 Ks kuva Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) Myös kolmessa ulottuvuudessa käytetään yleisesti Helmert-muunnos Tässä tapauksessa meillä on kaksi joukkoa kolmiulotteisia, suorakulmaisia koordinaatteja, esim toisaalta paikallinen perinteisiin geodeettisiin mittauksiin perustuva koordinaattiratkaisu, ja toisaalta globaalinen ratkaisu, joka perustuu satelliittipaikannusmittauksiin (GPS) Sitä käytetään myös eri satelliittiratkaisujen välillä Siinä tapauksessa järjestelmien väliset muunnosparametrit ovat paljon pienempiä, mutta myös tarkempia 3 Osaatko kertoa mitään laskematta, minkä näköinen käänteismatriisi on?

24 16 Luku 2 Datumit z 0 i z i z i z C C z A A D B Kuva 21: S-muunnos Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa ei saa olettaa, että kahden järjestelmän koordinaattiakselit ovat samansuuntaisia Parametrien määrä on silloin seitsemän: X Y Z = (1 + m) 1 e z e y e z 1 e x e y e x 1 X Y Z + t x t y t z (24) Tässä muunnosparametrit ovat m, e x, e y, e z, t x, t y, t z 4 Tässä m on mittakaavapoikkeama (K = 1 + m on muunnoksen mittakaava), [ t x t y t z ] T on origon siirtymä- eli translaatiovektori, ja e x, e y, e z ovat kiertokulmat, joita oletetaan olevan pieniä 5 Usein m:n yksikkönä käytetään ppm (parts per million) ja e x, e y, e z ilmaistaan kaarisekunteina Kaikissa laskutoimituksissa on kuitenkin käytettävä radiaaneja Kaavaa voidaan kirjoittaa symbolisesti X = (1 + m) RX + t, (25) jossa X = [ X Y Z ] T, X = [ X Y Z ] T, t = [ tx t y t z ] T ja rotaatiomatriisi on R = 1 e z e y e z 1 e x e y e x 1 4 Kiertokulmien e x, e y, e z oikeaan suuntaan on kiinnittävä huomiota Jopa ammattikirjallisuudessa esiintyy virheitä! 5 Elleivät ne olisi pieniä, sisältäisi rotaatiomatriisi monimutkaisia trigonometrisia ilmaisuja itse e-kulmien sijasta

25 25 Kolmulotteinen datummuunnos (2) 17 Joskus m jätetään pois; erityisesti satelliittimittauksessa jotka perustuvat konventionaaliseen valon nopeuteen, c = ms 1 ; koska myös satelliittimittaukset tapahtuvat ilmakehän läpi, ei voi kuitenkaan aina olettaa, että alueelliset mittaukset ja näihin perustuvat verkkoratkaisut olisivat aina mittakaavoiltaan oikeita Valitettavasti kolmessa ulottuvuudessa ei ole olemassa kompleksilukujen vastine On yritetty käyttää Hamiltonin keksimät kvaterniot 6, mutta tulokset eivät olleet yhtä tyydyttäviä kuin tasokoordinaateissa kompleksiluvukuja käyttäessä 25 Kolmulotteinen datummuunnos (2) Yllä kuvattua datummuunnosta (24) kutsutaan usein Burša-Wolf esitystavaksi Tässä muunnoskaavassa rotaatio R (ja skaalaus 1 + m) tapahtuu Maan massakeskipisteen suhteen, jonka jälkeen suoritetaan translaatio t Usein paremmin käyttäytyvä muunnoskaava on Molodenskii-Badekas, jossa rotaatio ja skaalaus tapahtuu koko pistekentän painopisteen, X, suhteen Tässä tapauksessa translaatio kuvaa tämän painopisteen siirtymistä: X = X + (1 + m) R ( X X ) + t Tässä tapauksessa R ja m ovat identtisiä Burša-Wolfin vastaavien kanssa; kuitenkin t t Voimme johtaa X = (1 + m) RX + X (1 + m) RX + t, josta vertailemalla kaavan (25) kanssa saa seuraava yhteys kahden translaatiovektorin välillä: eli t = X (1 + m) RX + t t = t taas olettamalla, että m, e x, e y, e z ovat pieniä 7 m e z e y e z m e x e y e x m Molodenskii-Badekas -esitystavan etuna on, että pistekentän kohdalla translaatio ja rotaatio ovat melkein riippumattomia toisistaan Tämä tulee esille, kun ratkaistaan tuntemattomat parametrit pistekentän annetuista koordinaateista kummassa datumissa: silloin translaatio- ja rotaatioparametrien väliset korrelaatiot häviävät Haittana toisaalta on, että tämä optimaalisuus toimii vain pistekentän alueella, se ei ole globaalisesti voimassa X, 6 Kvaterniot ovat lukuja Q = a + ix + jy + kz, joiden laskusäännöt ovat: ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik = j, i 2 = j 2 = k 2 = 1 Ne ovat jollain tavalla samanlaisia kuin kompleksiluvut, muttei niin käteviä Keksijä oli Sir William R Hamilton ( ) Dublinista (http://wwwmathstcdie/pub/histmath/people/hamilton/) Ks myös 7 Huomaa, että jos X = 0, silloin t = t, eli B-W on sama kuin M-B jossa pistekentän painopiste on Maan massakeskipisteessä, X, Y, Z-järjestelmän origossa

Radiotekniikan sovelluksia

Radiotekniikan sovelluksia Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina

Lisätiedot

JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta

JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 6: EUREF-FIN:n ja KKJ:n välinen kolmiulotteinen yhdenmuotoisuusmuunnos ja sen tarkkuus Versio: 1.0 / 3.2.2016

Lisätiedot

Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä

Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Markku Poutanen Geodeettinen laitos Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Taustaa Uuden koordinaattijärjestelmän perusteet JHS ja käyttöönotto Uusi korkeusjärjestelmä

Lisätiedot

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (

Lisätiedot

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Mittausten laadun tarkastus ja muunnoskertoimien laskenta Kyösti Laamanen 2.0 4.10.2013 Prosito 1 (9) SISÄLTÖ 1 YLEISTÄ...

Lisätiedot

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä Tasoituslaskun periaate Kun mittauksia on tehty enemmän kuin on toisistaan teoreettisesti riippumattomia suureita, niin tasoituslaskun tehtävänä ja päätarkoituksena on johtaa tuntemattomille sellaiset

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio

Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä sisältää määritelmät, koordinaatisto on sen realisaatio maastossa ja karttaprojektio tämän esitysmuoto kaksiulotteisella kartalla

Lisätiedot

EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA

EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA 1 (10) EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA 5.3.2012 2 (10) Sisältö: 1 Johdanto... 3 1.1 Muunnosasetukset paikkatieto-ohjelmistoissa... 3 1.2 Lisätiedot... 3 2 Korkeusjärjestelmän muunnos NN

Lisätiedot

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN JA KORKEUDET Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN:n joitain pääominaisuuksia ITRF96-koordinaatiston kautta globaalin koordinaattijärjestelmän paikallinen/kansallinen realisaatio

Lisätiedot

Koordinaatistoista. Markku Poutanen Geodeettinen laitos. Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio

Koordinaatistoista. Markku Poutanen Geodeettinen laitos. Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaatistoista Markku Poutanen Geodeettinen laitos Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä sisältää määritelmät, Reference system contains definitions koordinaatisto

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

EUREF ja GPS. Matti Ollikainen Geodeettinen laitos. EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo

EUREF ja GPS. Matti Ollikainen Geodeettinen laitos. EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo EUREF ja GPS Matti Ollikainen Geodeettinen laitos EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo Kuinka EUREF sai alkunsa? EUREF (European Reference Frame) o Perustettiin Kansainvälisen geodeettisen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

1. PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 MAAPALLON MUOTO

1. PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 MAAPALLON MUOTO 1. PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 MAAPALLON MUOTO Vertausellipsoidi Geoidi Geoidi on valtamerien keskivedenpintaan liittyvä pinta, jolla painovoima on vakio ja joka on kohtisuorassa luotiviivan suuntaa vastaan. Geodeettiset

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Parempaa tarkkuutta satelliittimittauksille EUREF/N2000 - järjestelmissä Ympäristösi parhaat tekijät 2 EUREF koordinaattijärjestelmän käyttöön otto on Suomessa sujunut

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa

KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa ESITYKSEN SISÄLTÖ: Koordinaattijärjestelmän uudistus (EUREF-FIN) Korkeusjärjestelmän uudistus (N2000) MML:n tasokiintopistemittaukset MML:n korkeuskiintopistemittaukset Mittaukset

Lisätiedot

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Markku.Poutanen@fgi.fi

Markku.Poutanen@fgi.fi Global Navigation Satellite Systems GNSS Markku.Poutanen@fgi.fi Kirjallisuutta Poutanen: GPS paikanmääritys, Ursa HUOM: osin vanhentunut, ajantasaistukseen luennolla ilmoitettava materiaali (erit. suomalaiset

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Luento 4: Kiertomatriisi

Luento 4: Kiertomatriisi Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 28.9.2004) Luento 4: Kiertomatriisi Mitä pitäisi oppia? ymmärtää, että kiertomatriisilla voidaan kiertää koordinaatistoa ymmärtää, että

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Tähtitieteelliset koordinaattijärjestelemät

Tähtitieteelliset koordinaattijärjestelemät Tähtitieteelliset Huom! Tämä materiaali sisältää symbolifontteja, eli mm. kreikkalaisia kirjaimia. Jos selaimesi ei näytä niitä oikein, ole tarkkana! (Tällä sivulla esiintyy esim. sekä "a" että "alpha"-kirjaimia,

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

SINI- JA KOSINILAUSE. Laskentamenetelmät Geodeettinen laskenta - 1-1988-1999 M-Mies Oy

SINI- JA KOSINILAUSE. Laskentamenetelmät Geodeettinen laskenta - 1-1988-1999 M-Mies Oy SINI- JA KOSINILAUSE SINILAUSE: Kolmiossa kulman sinien suhde on sama kuin kulman vastaisten sivujen suhde. Toisin sanoen samassa kolmiossa SIN Kulma / Sivu = Vakio (Jos > 100 gon: Kulma = 200 kulma).

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä

JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä EUREF-II -päivä 2012 Marko Ollikainen Kehittämiskeskus Maanmittauslaitos MAANMITTAUSLAITOS TIETOA MAASTA Mittausohjeiden uudistamisesta

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot