Käytännön geodesia Maa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Käytännön geodesia Maa-6.2222"

Transkriptio

1 Käytännön geodesia Maa IV luokan takymetrijono mittaus Jyväskylä II luokan verkko IV luokka GPS III luokan verkko IV luokan takymetrijono mittaus Säynätsalo IV luokka GPS IV luokka GPS Jyväskylän kaupungin runkoverkon uudelleenmittauksen 1999 geometria (Maa-6227 Geodesian maastoharjoitukset) Martin Vermeer 12 helmikuuta 2015

2

3 Kurssiesite Laajuus 3 op Opetusjakso III Osaamistavoitteet Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija osaa käyttää GPS käytännön runkomittaustyössä esim kuntien mittaustoimessa, sekä oivaltaa miten GPS:n antamat koordinaatit ja korkeudet eroavat perinteisistä koordinaateista ja korkeuksista Osaa suunnittella erityyppisiä mittauksia Tuntee niiden havaintoyhtälöt, osaa linearisoida ne, osaa arvioida saavutettava tarkkuus Osaa muunnoskaavojen ja -parametrien laskenta; keskistysmittaukset, karttaprojektiot; ymmärtää rekognosoinnin ja pistekorttien merkitystä Osaa selittää monikulmio- ja korkeusjonojen ja jonoverkkojen tarkkuuskäyttäytyminen ja sen perusteella suunnittella niitä Ymmärtää mittaustarkkuusluokat ja verkkohierarkia ja on tutustunut laajemmin pienimmän neliösumman menetelmän käyttöön verkkotasoituksessa Ymmärtää datumin ja datuminmuunnoksen käsite ja merkitys kaksi- ja kolmiulotteisesti; paikalliset ja geosentriset datumit ja koordinaattijärjestelmät On valmis osallistumaan käytännön maastotyöhön Sisältö Taso-, korkeus- ja avaruusrunkoverkkojen suunnittelu, mittaus ja laskenta 2D+1D ja 3D -lähestymistapa Havaintoyhtälöiden rakentaminen pienimmän neliösumman verkkotasoitusta varten Mittausten tarkkuus ja tarkkuusluokittelu Tilastollinen testaus Koordinaatti- ja vertausjärjestelmät, vertausellipsoidi, datumit ja datum-muunnokset GPS-verkkojen laskenta ja tarkkuus Erityyppisten mittausten ja -verkkojen yhteiskäyttö ja integrointi Kalibrointi Esitiedot Maa-6211/214 tai Maa Korvaavuudet Korvaa opintojakson Maa-6222 Kohderyhmä Suoritustavat Tentti ja harjoitukset, josta yksi on Metsähovin retki Työmäärä toteutustavoittain Luennot 8 2 t = 16 t Materiaalin itsenäinen opiskelu, tenttivalmistelu 24 t Harjoitustyö, itsenäinen työskentely = 36 t Metsähovi 4 t Yhteensä 80 t Arvostelu Tentin arvosana on kokonaissuorituksen arvosana, 1-5 Oppimateriaalit Luentomoniste Taustamateriaalina Blachut, Chrzanowski, Saastamoinen: Urban Surveying and Mapping; Cooper: Control Surveys in Civil Engineering Opetuskieli Suomi

4 ii Kurssin henkilökunta ja yhteystiedot Martin Vermeer, huone M309 Vastaanottoajat CEFR-taso Lisätietoja

5 Sisältö iii Sisältö 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen 1 11 Linearisointi Skalaaritapaus Vektoritapaus Havaintoyhtälöiden linearisointi 4 12 Varianssien kasautumislaki 5 13 Geodeettinen päätehtävä 6 2 Datumit Yksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kompleksinen esitystapa Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) Kolmulotteinen datummuunnos (2) 17 3 Koordinaattijärjestelmät Yleistä Suorakulmaiset geosentriset koordinaatit Vertausellipsoidi WGS84-vertausjärjestelmä Toposentrinen koordinaattijärjestelmä Geodeettinen datum Geodeettisten datumien välinen muunnos Suuntakorjaus paikallisesta horisontista vertausellipsoidiin Ellipsoidisten normaalien erisuuntaisuus Pituuskorjaus 31 4 Keskistykset, asematasoitus Vaakakeskistys Korkeuskeskistys GPS-keskistys Vaakakulmien asematasoitus Kulmamuunnos Jäännösvirheet ja vapausasteet Asematasoituksen laskentataulukko 38 5 Vaaitus Vaaitusrefraktio Vaaituksen satunnaiset virheet Vaaituksen systemaattiset virheet Vaaituksen karkeat virheet Yksittäisen vaaitusjonon laskeminen 45 6 Korkeuden mittaus ja käsittely Refraktiokerroin 49

6 iv Sisältö 62 Pystykulma Trigonometrinen korkeudenmittaus Periaate, virhepropagaatio Trigonometrinen vaaitus Refraktion ja Maan kaarevuuden vaikutus Vastakkaiset yht aikaiset mittaukset xyh -jonomittaus, tarkka trigo Mittatanko 56 7 Monikulmiojonon laskenta Suljettu monikulmiojono Alku- ja loppuliitossuunnan laskeminen Suuntien tasoitus Koordinaattien tasoitus Laskentakaavio Huomautuksia Avoin monikulmiojono Lähtösuunta Jonon laskenta 65 8 Ehtoyhtälöiden tasoitus Teoria Esimerkki: kolmioehto Monikulmiojonotasoitus ehtoyhtälötasoituksena Ilman painotusta Painotuksen kera Jonon laskenta Painokertoimien valinnasta Realistiset painoluvut Relatiivinen pistekeskivirhe, loppupistekeskivirhe Karkeiden virheiden löytäminen Sulkuvirheiden testaus Tasoitetun pisteen keskivirhe 74 9 Kriteerivarianssit Esimerkki: jono Verkon varianssi-kovarianssimatriisi Verkon kriteerimatriisi Varianssi- ja kriteerimatriisin vertailu Pienimmän neliösumman tasoitus Teoreettinen tausta Pienimmän neliösumman ratkaisu Harhattomuus Jäännösvirheiden varianssi Vinoetäisyys avaruudessa Atsimutimittaus Zeniittikulmamittaus Käytännön esimerkki Tasoituslaskun variantit ja sovellukset Pakkoehtojen käyttö ratkaisun kiinnittamiseksi Ehto- ja havaintoyhtälöiden välinen yhteys 92

7 Sisältö v 1121 Testaussuureen laskenta Vaaitus ehtoyhtälöiden esimerkkinä Esimerkki: vaaitusverkko Helmert-muunnosparametrien estimointi Vapaa asemapiste Vapaan asemapisteen laskuesimerkki Helmert-tasomuunnos kahdesta tunnetusta pisteestä Helmert-parametrien virheiden kasautuminen GPS-mittaus ja laskenta Yleistä Rekognosointi Vektoreiden mittaus Vektoreiden määrä Verkon geometria Mittausten kesto ja aikataulu Ratatiedot Antennit ja pystytys Havaintogeometria, havainto-yhtälöt Tuntemattomien varianssimatriisi ja varianssit Esimerkki: atsimutisymmetrinen geometria Erotushavaintojen havaintoyhtälöt Vektorimittaukset Geodeettiset mittaukset ja laskennat Runkkoverkkojen hierarkia ja tarkkuusluokitus Valtakunnalliset runkoverkot Alemman luokan runkoverkot Perinteisiä ja satelliittimittauksia kkj -järjestelmän määritys Korkeusjärjestelmät ja geoidin rooli Muunnokset eri järjestelmien välillä Maastomittaus käytännössä Geodesian laboratorion maastomittaukset Maastomittauksessa käytetyt tekniikat Staattinen GPS-mittaus Digitaalinen tarkkavaaitus Trigonometrinen vaaitus: tarkka trigo Monikulmiojonomittaus Case: Jyväskylän maastomittaus 130

8

9 1 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen 11 Linearisointi Geodesiassa, kuten monessa muussakin tieteissä, on usein olemassa kahden suuren väliset yhteydet jotka käyttäytyvät epälineaarisesti Esimerkit tästä ovat havaintosuureiden ja tuntemattomien välinen yhteys, tai kahden eri koordinaattijärjestelmän koordinaattien välinen yhteys Kuitenkin monet teoriat, kuten esim pienimmän neliösumman (PNS) tasoitusmenetelmä, perustuvat lineaarisiin kaavoihin, joiden matematiikka on huomattavasti yksinkertaisempaa Myös virheiden (varianssien) kasautumislaki pätee vain lineaarisille riippuvuussuhteille suureiden välillä Käytännössä usein muodollisesti epälineaarinen yhteys, esim pistekoordinaatin ja pisteeseen mitatun suunnan välillä, on melkein lineaarinen pisteen sijainnin epävarmuusalueen sisällä Onhan mittaustarkkuus geodesiassa varsin suuri: pisteen sijainnin epävarmuus voi olla senttimetrien luokkaa kun pisteiden välinen etäisyys voi olla satoja metrejä tai kilometrejä Silloin voidaan tutkia, alkuperäisten suureiden sijasta, yhteyttä niiden pienten erotussuureiden välillä joka on lähestulkoon lineaarinen Asia näytetään Taylor-sarjakehitelmän avulla 111 Skalaaritapaus Yleensä jos on kaksi suurta, jonka välinen on funktionaalinen yhteys: y = f (x), voidaan linearisoida valitsemalla likiarvo x 0 ja kehittämällä funktio sarjakehitelmään (Taylorsarjaan) likiarvon lähistöllä Saadaan: y = f (x 0 ) + df dx (x x 0 ) + x=x0 eli y y 0 a (x x 0 ), (11) jossa y 0 f (x 0 ) ja a = df dx Tätä voidaan kirjoittaa muotoon x=x0 y = a x mitä usein lyhennetään seuraavan muotoon y = ax, kun vain muistetaan että x, y ovat linearisoidut (siis: x 0, y 0 suhteen lasketut erotus-)arvot

10 2 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen y Linearisointiväli y = f(x) y = y 0 + a (x x 0 ) y 0 x x 0 Kuva 11: Yksiulotteinen kuvaus ja linearisointi 112 Vektoritapaus Jos on kaksi vektorisuurta, x = [ x 1 x 2 x n ] T R n ja y = [ y 1 y 2 y m ] T R m, jonka välillä on funktionaalinen yhteys eli y 1 y 2 y m = y = F (x) = F (x 1, x 2,, x n ), F 1 (x) F 2 (x) F m (x) = F 1 (x 1, x 2,, x n ) F 2 (x 1, x 2,, x n ) F m (x 1, x 2,, x n ) [ tilanne mutkistuu Tässäkin tapauksessa voidaan valita likiarvovektori x 0 = ja vastaava likiarvovektori y 0 F (x 0 ), jonka jälkeen taas y = y 0 + F (x 1, x 2,, x n ) ( ) x 1 x 1 x (0) 1 x=x 0 + F (x 1, x 2,, x n ) ( ) x n xn x (0) n, x=x 0 + F (x 1, x 2,, x n ) x 2, x (0) 1 x (0) 2 x (0) n ( ) x 2 x (0) 2 + x=x 0 eli y i = y (0) i + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x 1 x 1 x (0) 1 + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x=x 0 x 2 x 2 x (0) 2 + x=x 0 + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x n xn x (0) n +, i = 1,, m x=x 0 ] T, Tässä kaavassa on m eri riviä, ja jokaisella rivillä on n eri (lineaarista) termiä Tämä yhtälöryhmän yhteenvedoksi kirjoitetaan seuraava matriisiyhtälö: y = y 0 + A (x x 0 ) +,

11 11 Linearisointi 3 x 2 F : R 2 R 2 y 2 x 1 y 1 Kuva 12: Kaksiulotteinen kuvaus jossa matriisi A on F 1 F 1 F 1 x 1 x 2 x n F 2 F 2 F 2 A = x 1 x 2 x n F m F m F m x 1 x 2 x n Tämä matriisi on kahden abstraktisen vektoriavaruuden R n ja R m välisen vektorikuvauksen F : R n R m ns Jakobin 1 matriisi Matriisi kuvaa paikallisesti, siis pisteen x = x 0 lähistöllä, millä tavalla pienet häiriöt x-vektorissa kulkevat y-vektoriin: y y y 0 A (x x 0 ) = A x, jos määritetään x = x x 0 ja y = y y 0 Siis erotussuureiden x, y välillä kuvaus on paikallisesti lineaarinen Tämä on ns linearisointi Yleisessä tapauksessa m n Erikoisessa tapauksessa, että m = n, voidaan ajatella, että kuvauksella F olisi käänteiskuvaus G = F 1, jolla x = G (y) Paikallisesti, likipisteen x 0 ympäristössä, voidaan tästä sanoa: Jos matriisi A on singulaarinen, ts sen determinantti det (A) = 0, merkitsee tämä, että kuvauksella F ei ole olemassa paikallisesti (siis pisteessä x 0, ja mahdollisesti ei myöskään sen sopivan pienellä lähialueella) käänteistä kuvausta Tämä merkitsee taas, että voi olla useita (itse asiassa äärettömän useita) eri arvoa x joilla on kaikki sama kuva y = F (x) Toisaalta jos det A 0, sellainen käänteiskuvaus on (sopivan pienikokoisella likipisteen x 0 lähistöllä) olemassa Tulkinta det A kuvaa, miten tilavuudet kuvautuvat F -kuvauksen alla: esim jos n = m = 2, se kuvaa, miten pikkuneliön pinta-ala R n -avaruudessa kuvautuu parallellogrammin pinta-alaan R m - avaruuteen, eli niiden kahden pinta-alan suhde Jos n = m = 3, se kuvaa vastaavasti suhde 1 Carl Gustav Jacob Jacobi, , juutalaissaksalainen matemaatikko, Königsbergin yliopisto

12 4 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen R n -avaruuden kuution ja sen R m -avaruuden parallellepipeedin tilavuuksien välillä Jos suhde on nolla, niin ilmeisesti neliö litistyy viivapätkäksi ja kuutio taso-parallellogrammiksi, ja kuvaus on ilmeisen singulaarinen 113 Havaintoyhtälöiden linearisointi Käsitellään esimerkkina funktionaalinen yhteys tuntemattomien x ja havaintosuureiden l välillä, joka on todellisessa havaintogeometriassa harvoin lineaarinen Joudutaan linearisoimaan: olkoon ei-lineaariset havaintoyhtälöt l + v = F ( x), (12) missä F ( ) on moniulotteinen, yleensä ei-lineaarinen havaintofunktio Mallit linearisoidaan kehittämällä ne taas Taylor-sarjaan karkeasti arvioitujen ratkaisukoordinaattien ( likiarvojen ) ympärillä, ja käyttämällä sarjasta vain ensimmäisen asteen termit Mikäli käytetyt likikoordinaatit eivät ole riittävän hyviä, joudutaan laskemaan ratkaisu iteratiivisesti Valitaan likiarvot x 0 ja yhteensopivasti l 0 joille siis pätee: l 0 = F (x 0 ) (13) eli (huomaa, että tuntemattomien määrä on m ja havaintosuureiden määrä n): ( ) l (0) i = F i x (0) 1, x (0) 2, x (0) m 1, x (0) m, i = 1 n Tämä vähennetään kaavasta (12) ja tehdään sarjakehitelmä: ( l i l (0) i ) ( ) + v i = F i ( x 1, x 2, x m ) F i x (0) 1, x (0) 2, x (0) m m j=1 F i x j xj =x (0) j ( ) x j x (0) j Kutsutaan A ij = F i x j xj =x (0) j ns second order design matrixin 2 alkiot Itse matriisi on silloin F 1 F 1 F 1 x 1 x 2 x m F 2 F 2 F 2 A = x 1 x 2 x m F n F n F n x 1 x 2 x m 2 Suom (toisen kertaluvun) rakennematriisi, i = 1 n, j = 1 m, (14) x1 =x (0) 1,x 2=x (0) 2,xm=x(0) m

13 12 Varianssien kasautumislaki 5 Tässä n on havaintojen, m tuntemattomien määrä Jos kutsutaan (l F (x 0 )) l ( x x 0 ) x ( korvaavat eli linearisoidut havaintosuureet ja tuntemattomat), saadaan linearisoiduiksi havainto-yhtälöiksi: l + v = A x (15) Tästä laskettava pienimmän neliösumman ratkaisu minimoi residuaalien neliöllinen summa v T Q 1 ll v, mistä syystä sitä kutsutaan pienimmän neliösumman menetelmäksi Matriisi Q ll, lyhyesti Q, on havaintojen tarkkuutta ja mahdollista keskinaista tilastollista riippuvuutta (korrelaatiota) kuvaava havaintovektorin varianssimatriisi 3, ks luku 12 Kaavassa (15) jätetään usein myös pois yksinkertaisuuden vuoksi -suureet ovat tyypillisesti paljon pienempiä kuin kokonaiset suureet Siksi numeriikka onnistuu hyvin vaikka A-matriisin elementit eivät olisi eksakteja Kuitenkin kaava (13) on aina laskettava eksaktisti 12 Varianssien kasautumislaki Jos stokastinen suure y on stokastisen suureen x lineaarinen funktio, ts voidaan kirjoittaa myös y = Lx, σ y = Lσ x, missä σ x, σ y ovat suureiden x ja y keskivirheet Samalla voidaan kirjoittaa E { y } = E {Lx} = LE {x} ( odotusarvojen kasautumislaki ), missä E { } on odotusarvo-operaattori, lineaarinen operaattori Jos määritetään varianssi seuraavasti: seuraa, että Var {x} = σ 2 x E { (x E {x}) 2}, σ 2 y = L 2 σ 2 x Tämä on varianssien kasautumislaki yksinkertaiselle stokastiselle suureelle Mikäli stokastisella suureella x = [ x 1 x 2 x n ] T ja y = [ y1 y 2 y m ] T on useita komponentteja (abstrakti vektorisuure ), pätee y = Lx, (16) E { y } = LE {x} 3 Tarkemmin: havaintovektorin painokerroinmatriisi Yleisesti kirjoitetaan Σ ll = σ 2 0Q ll, jossa Σ ll on varianssimatriisi ja σ 0 ns painoyksikön keskivirhe

14 6 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen ja Var ( y ) = LVar (x) L T, (17) missä nyt L ja varianssit ovat matriiseja L 11 L 12 L 1n L = L 21, L m1 L mn m n-kokoinen matriisi; Var(x) = Σ xx = σx 2 1 σ x1 x 2 σ x1 x n σ x2 x 1 σx 2 2 σ xnx1 σx 2 n, n n-kokoinen, neliönmuotoinen matriisi; ja Var ( y ) = Σ yy = σy 2 1 σ y1 y 2 σ y1 y m σ y2 y 1 σy 2 2, m m-kokoinen neliömatriisi Tässä varianssit: ja kovarianssit: ja samoin y:n komponenteille σ ymy 1 σ 2 y m σ 2 x i = Var (x i ) = E { (x i E {x i }) 2}, σ xi x j = Cov ( x i, x j ) = E { (xi E {x i }) ( x j E { x j })}, Kaava (17) kutsutaan yleiseksi varianssien kasautumislaiksi Kaavan (16) ilmaisema lineaarisuusominaisuus saadaan tarvittaessa aikaan linearisoimalla, josta puhuttiin aikaisemmin 13 Geodeettinen päätehtävä Varianssien kasautumislain sovelluksena tarkastetaan geodeettinen päätehtävä, missä suuntaja etäisyysmittauksen tunnetut epätarkkuudet kulkevat eli kasautuvat tuntemattoman pisteen koordinaattien epätarkkuuksiksi Geodeettinen päätehtävä: annettuna mittaussuureet s, A sekä lähtöpisteen P koordinaatit x P, y P, määritä tuntemattoman pisteen koordinaatit x = x P + s cos A, y = y P + s sin A

15 13 Geodeettinen päätehtävä 7 Ongelma ratkaistaan seuraavalla tavalla Otetaan likiarvot s 0, s = s 0 + s ja A 0, A = A 0 + A ja kirjoitetaan Taylor-sarjakehitelmä: cos A x = x P +s 0 cos A 0 + s cos A 0 +s 0 A A = x 0 { }} { + x P + s 0 cos A 0 x { }} { [ ] [ ] s cos A0 s 0 sin A 0 A ja samalla tavalla y = y 0 + y { }} { [ ] [ ] s sin A0 s 0 cos A 0 A Nyt meillä on (jättämällä, mutta muistamalla, 0-indeksit, ja tekemällä x- ja y-vektorit stokastisiksi eli satunnaismuuttujiksi): y [ x y ] [ s, x A ] [ cos A s sin A, ja L = sin A s cos A ja yllä olevat kaavat voidaan nyt kirjoittaa: y = Lx ] [ ; sekä Var (x) = σ 2 s 0 0 σ 2 A ] Varianssimatriisin Var ( y ) = = = [ σx 2 σ xy σ xy σy 2 ] = LVar (x) L T = [ ] [ ] [ ] cos A s sin A σs 2 0 cos A sin A = sin A s cos A 0 σa 2 s sin A s cos A [ σs 2 cos 2 A + σas 2 2 sin 2 A cos A sin A ( ) ] σs 2 s 2 σa 2 cos A sin A (, σs 2 s 2 σa) 2 σ 2 s sin 2 A + σas 2 2 cos 2 A jossa alkiot laskettiin varianssien kasautumislain (17) avulla 4 Sijoittamalla vielä saadaan vaihtoehtoinen muoto: cos A = x x P s, sin A = y y P s 4 Jos ilmaistaan suunnan A varianssi gooneissa, voidaan sijoittaa kaikkiin alla oleviiin kaavoihin ( ) 2 σa 2 σa [g] =, ρ jossa ρ on radiaanin suuruus käytetyssä asteyksikössä, tässä tapauksessa ρ = Samoin kun käytetään kaarisekunteja: silloin ( σa 2 σa [ ) 2 ] =, ρ jossa nyt ρ = =

16 8 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen N σ x Q sσ A A s σ y σ s P Kuva 13: Virhe-ellipsin geometria σ 2 x = Var ( x) = ( ) 2 x xp σs 2 + (y y P ) 2 σ 2 s A, σy 2 = Var ( y ) ( ) 2 y yp = σs 2 + (x x P ) 2 σ 2 s A, σ xy = Cov ( x, y ) [ (σs ) ] 2 = σ 2 A (x x P ) (y y P ), (18) s jossa x x P = s cos A, y y P = s sin A Näin havaintotyön keskivirheet σ s, σ A muunnetaan koordinaattikeskivirheiksi σ x, σ y Kuten näkyy, vaikuttavat tarkkuuteen vaikuttavat sekä havaintojen tarkkuus σ s, σ A että geometria A, s Virhe-ellipsi on tilastomatemaattinen varmuusalue kaksiulotteisen pisteen ratkaisulle Tätä käytetään eri testeissä Pisteen tarkkuuden mitaksi on olemassa sopivampi suure joka ei riipu koordinaattiakseleiden suunnasta Sellainen mitta saadaan seuraavasti: virhe-ellipsi on oikeastaan varianssimatriisin kuvaaja: jos pisteen P koordinaattien, tai kahden pisteiden P, Q, koordinaattierojen, x, y varianssimatriisi kirjoitetaan [ x V = Var y ] [ = Var (x) Cov ( x, y ) Cov ( x, y ) Var ( y ) Tämän matriisin invariantit ovat sen ominaisarvoja ja -vektoreita: Kaavan (V λi) x = 0 ratkaisuja (λ i, x i ) Jos käännetään koordinaatiston akselit näin, että ne ovat samansuuntaisia ellipsin pääakseleiden kanssa, saadaan V = [ s 2 σ 2 A 0 0 σ 2 s ja on selvä, että λ 1 = s 2 σ 2 A ja λ 2 = σ 2 s Yleisemmin ratkaistaan determinanttiyhtälö V 11 λ V 12 V 22 λ = 0, V 21 ] ]

17 13 Geodeettinen päätehtävä 9 ( mistä ns karakteristinen ) polynomi: (V 11 λ) (V 22 λ) V12 2 = 0, siis λ 2 (V 11 + V 22 ) λ + V11 V 22 V12 2 = 0, mistä 5 ja λ 1 + λ 2 = V 11 + V 22 = Var (x) + Var (y) = σ 2 x + σ 2 y (19) λ 1 λ 2 = V 11 V 22 V 2 12 = det (V ) = σ 2 xσ 2 y σ 2 xy (110) (missä σ 2 xy lasketaan kaavan (18) mukaan) Suureet (19, 110) ovat invariantit (siis: aina sama, koordinaattiakseleiden orientoinnista riippumatta) ja etenkin suure (19), jota kutsutaan pisteen P pistevarianssiksi σ 2 P, on sopiva pistetarkkuuden mitta: σ 2 P = σ 2 x + σ 2 y Pistekeskivirhe σ P on tämän pistevarianssin neliöjuuri 5 Ominaisarvot ovat λ 1,2 = 1 [ ] V 11 + V 22 ± (V 11 + V 22 ) 2 4 (V 11 V 22 V ) = = 1 [ ] V 11 + V 22 ± (V 11 V 22 ) 2 + 4V12 2 = 2 [1 = 1 ] 2 2 (V 11 + V 22 ) ± 2 (V 11 V 22 ) + V12 2, ja ellipsin pitkä ja lyhyt akselit puolikkaat ovat λ 1, λ 2 Myös akseleiden suunnat voidaan määrittää: tutki koordinaattien lineaariyhdistelmä joka on suuntakulman θ funktio Varianssien kasautumislain avulla saadaan z (θ) = x sin θ + y cos θ, Var (z (θ)) = V 11 sin 2 θ + V 22 cos 2 θ + 2 sin θ cos θv 12 ; ellipsin akselit ovat tämän θ-funktion stationaariset arvot, Differentioimalla eli ja d Var (z) = 0 dθ 2 sin θ cos θ (V 11 V 22 ) + 2 ( cos 2 θ sin 2 θ ) V 12 = 0 sin 2θ (V 11 V 22 ) + 2 cos 2θ V 12 = 0 θ = 1 ( 2 arctan 2V ) 12 + k 100 gon = V 11 V 22 V 12 = arctan [ V (V 11 V 22 ) ] + k 100 gon, 2 + V 2 12 käyttämällä arctangentin puolikulmakaava

18 10 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen

19 11 Datumit Luku 2 Datum-käsite voidaan matemaattisesti käsitellä tapana kiinnittää verkkoratkaisussa tiettyjen pisteiden koordinaatit oletettuun likiarvoihinsa Kiinnitettävien pisteiden valinta on mielivaltainen, siis datumin määrittely on mielivaltainen Esim syy, miksi Suomeen luotiin ja Suomessa käytettiin pitkään N60-korkeusdatumia jonka lähtöpiste on Helsingissä, on täysin poliittinen Lähtöpiste olisi voinut olla Turussakin 21 Yksiulotteiset datuminmuunnokset Yksiulotteinen datuminmuunnos on yksinkertainen translaatio eli arvojen siirto vakiomäärällä Esim korkeusjärjestelmä jossa tietty piste on määritetty lähtöpisteeksi eli datumpisteeksi, jonka arvo on 0, voidaan muunta toiseksi siirtämällä kaikki arvot näin, että uuden datumpisteen arvoksi saadaan 0 Olkoon pistejoukon korkeusarvot tietyssä datumissa H i, ja tietyssä toisessa datumissa H i Olkoon lisäksi käytettävässä joukolle korkeuksien likiarvot H 0 i Kuten myöhemmin tullaan näkemään, onko likiarvojen olemassaolosta hyötyä kun formuloidaan lineaariset havaintoyhtälöt Ensimmäisen datumin lähtöpiste olkoon A ja toisen datumin lähtöpiste B Silloin Jos määritetään H A = H 0 A, H B = H 0 B H i H i H 0 i, H i H i H 0 i, seuraa, että H A = H B = 0 Nyt johdetaan datuminmuunnoskaava! Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi sen olevan muotoa H = H + a, missä a on vakio Kaavan delta-muoto on H = H + a eli H i = H i + a

20 12 Luku 2 Datumit Pisteille A ja B saadaan ja koska H A = H B = 0, saadaan Tästä yleinen muunnoskaava pisteille i: H A = H A + a H B = H B + a a = H A = H B H i = H i H B, H i = H i H A, ts sekä eteenpäin (A-datumista B-datumiin) että taaksepäin muunnoskaava Matriisikielellä: [ H i H A ja [ Hi H B (nähdään helposti, että [ ] = ] = ] [ [ [ ] [ Hi H B ] [ H i ] = H A [ eli matriisi on oma käänteismatriisinsä Tämä matriisi kutsutaan S-muunnosmatriisiksi) Tietenkin näissä kaavoissa ] ] ], H i = [ H 1 H 2 H n ] T, jolloin Myös H 1 H 2 H n H A = = H 1 H 2 H n H B , eli matriisi on oma käänteismatriisinsa Translaatiovakio on tavoitedatumin lähtöpisteen korkeuspoikkeama likiarvosta, laskettuna lähtödatumissa

21 22 Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteinen datuminmuunnos on useimmiten yhdenmuotois- eli Helmert 1 -muunnos, kaavana [ x y ] [ c d = d c ] [ x y ] + [ a b ], ( neliparametrinen Helmert ) jossa a, b, c, d ovat muunnoksen parametrit: translaatio (siirto) a, b ja rotaatio/skaalaus c, d Selkeämpi kirjoitustapa: [ x y ] [ cos θ sin θ = (1 + m) sin θ cos θ ] [ x y ] + [ a b ], missä c = (1 + m) cos θ ja d = (1 + m) sin θ Usein m ja θ ovat pieniä, jolloin voidaan kirjoittaa likimäärin: [ x y ] [ ] [ ] [ ] 1 θ x a = (1 + m) + = θ 1 y b { } [ ] [ ] 1 + m θ (1 + m) x a = + = θ (1 + m) 1 + m y b {[ ] [ ]} [ ] [ ] m θ 1 θm x a = + + θ m θm 1 y b [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m θ x 1 0 x a + + θ m y 0 1 y b [ ] [ ] [ ] [ ] m θ x 0 x a + +, θ m y b y 0 eli [ x x y y ] [ m θ = θ m ] [ x 0 y 0 ] + [ a b ], (21) missä x 0, y 0 x, y ovat likiarvoja; uudelleen järjestäminen antaa (helposti verifioitavissa kirjoittamalla vain kaavat (21) ja (22) raa asti auki): [ x x y y ] [ = x 0 y y 0 x Helmert-muunnoksen parametrien havaintoyhtälö ] m θ a b, (22) Kaikkien tuntemattomien määrittäminen edellyttää tietysti riittävä määrä havaintoja eli pistekoordinaattieroja vasemmalla puolella Kahden pisteen koordinaatit on minimi 1 Friedrich Robert Helmert, kuuluisa Saksalainen geodeetti

22 14 Luku 2 Datumit 23 Kompleksinen esitystapa Lähdetään Helmert-kaavasta (21) ja kirjoitetaan sen kompleksilukujen avulla 2 : z z = µz 0 + α, missä z x + iy, z x + iy, µ m + iθ, z 0 x 0 + iy 0 ja α a + ib Määrittämällä taas delta-suureet z z z 0, z z z 0, saadaan z = α + z + z 0 µ Vaaditaan nyt tavoitedatumin kahden lähtöpisteen A, B koordinaattipoikkeamat nollaksi: Eli Vähennyslaskun avulla: z A = z B = 0 α + z A + z 0 Aµ = 0 α + z B + z 0 Bµ = 0 z A z B + ( z 0 A z 0 B) µ = 0 eli : µ = z A z B z 0 A z0 B Seuraavaksi ratkaistaan α takaisinsijoituksen avulla: α = z A + z 0 A z A z B z 0 A z0 B Parametrit α, µ ovat nyt ratkaistuina ja voimme kirjoittaa yleinen muunnoskaava pisteille i: z i = z i z A + z 0 z A z B A z 0 A z0 B z 0 i z A z B z 0 A z0 B = z i z A ( ) z 0 i z 0 z A z B A z 0 A = z0 B ( ) ( z 0 = z i i z 0 A z 0 z 0 A 1 z A + i z 0 A z0 B z 0 A z0 B ( ) ( z 0 = z i i z 0 B z 0 z 0 A z A i z 0 A z0 B z 0 B z0 A = ) z B = ) z B (23) 2 Vastaavasti Helmert-muunnoksen parametrien havaintoyhtälöksi (kaava 22) saadaan [ ] [ ] z z = z 0 µ 1 α [ ] a b Huomaa, että kompleksilukujen a + bi ja 2 2 matriisien välillä on olemassa isomorfismi, eli b a ne käyttäytyvät samalla tavalla

23 24 Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) 15 Kaava (23) kutsutaan S-muunnokseksi Se kuvaa pientä yhdenmuotoisuus- eli Helmert-muunnosta millä päästään erään koordinaattijärjestelmän tietystä realisaatiosta (eli lähtöpisteiden vallinnasta) toiseen Kaavassa (23) korjaustermit jotka sisältävät z A, z B ovat pieniä, yhtä pieniä kuin nämä deltasuureet itse Oletetaan vielä, että lähtökoordinaattijärjestelmän lähtöpisteet olivat C ja D, eli että z C = z D = 0; silloin voimme kirjoittaa kaava (23) seuraavaan matriisimuotoon (selvyyden vuoksi on z i kirjoitettu auki vektoriksi [ z 1 z n ] T : z 1 z n z C z D = ( z z 0 B z 0 A z0 B ( z 0 1 n z 0 B z ( 0 A z0 B z C z 0 B ( z 0 A z0 B z D z 0 B z 0 A z0 B ) ) ) ) ( ) z 0 1 z 0 A z 0 B z0 A ( ) z 0 n z 0 A z ( 0 B z0 A ) z 0 C z 0 A ( z 0 B z0 A ) z 0 D z 0 A z 0 B z0 A z 1 z n z A z B tai vaihtoehtoisella notaatiolla, jossa datum on merkattu lähtöpisteillä [AB]tai [CD]: z [AB] 1 z [AB] n z [AB] C z [AB] D = ( z z 0 B z 0 A z0 B ( z 0 1 n z 0 B z ( 0 A z0 B z C z 0 B ( z 0 A z0 B z D z 0 B z 0 A z0 B ) ) ) ) ( ) z 0 1 z 0 A z 0 B z0 A ( ) z 0 n z 0 A z ( 0 B z0 A ) z 0 C z 0 A ( z 0 B z0 A ) z 0 D z 0 A z 0 B z0 A z [CD] 1 z [CD] n z [CD] A z [CD] B Tämä matriisi on neliön muotoinen ja kääntämiskelpoinen 3 Ks kuva Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) Myös kolmessa ulottuvuudessa käytetään yleisesti Helmert-muunnos Tässä tapauksessa meillä on kaksi joukkoa kolmiulotteisia, suorakulmaisia koordinaatteja, esim toisaalta paikallinen perinteisiin geodeettisiin mittauksiin perustuva koordinaattiratkaisu, ja toisaalta globaalinen ratkaisu, joka perustuu satelliittipaikannusmittauksiin (GPS) Sitä käytetään myös eri satelliittiratkaisujen välillä Siinä tapauksessa järjestelmien väliset muunnosparametrit ovat paljon pienempiä, mutta myös tarkempia 3 Osaatko kertoa mitään laskematta, minkä näköinen käänteismatriisi on?

24 16 Luku 2 Datumit z 0 i z i z i z C C z A A D B Kuva 21: S-muunnos Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa ei saa olettaa, että kahden järjestelmän koordinaattiakselit ovat samansuuntaisia Parametrien määrä on silloin seitsemän: X Y Z = (1 + m) 1 e z e y e z 1 e x e y e x 1 X Y Z + t x t y t z (24) Tässä muunnosparametrit ovat m, e x, e y, e z, t x, t y, t z 4 Tässä m on mittakaavapoikkeama (K = 1 + m on muunnoksen mittakaava), [ t x t y t z ] T on origon siirtymä- eli translaatiovektori, ja e x, e y, e z ovat kiertokulmat, joita oletetaan olevan pieniä 5 Usein m:n yksikkönä käytetään ppm (parts per million) ja e x, e y, e z ilmaistaan kaarisekunteina Kaikissa laskutoimituksissa on kuitenkin käytettävä radiaaneja Kaavaa voidaan kirjoittaa symbolisesti X = (1 + m) RX + t, (25) jossa X = [ X Y Z ] T, X = [ X Y Z ] T, t = [ tx t y t z ] T ja rotaatiomatriisi on R = 1 e z e y e z 1 e x e y e x 1 4 Kiertokulmien e x, e y, e z oikeaan suuntaan on kiinnittävä huomiota Jopa ammattikirjallisuudessa esiintyy virheitä! 5 Elleivät ne olisi pieniä, sisältäisi rotaatiomatriisi monimutkaisia trigonometrisia ilmaisuja itse e-kulmien sijasta

25 25 Kolmulotteinen datummuunnos (2) 17 Joskus m jätetään pois; erityisesti satelliittimittauksessa jotka perustuvat konventionaaliseen valon nopeuteen, c = ms 1 ; koska myös satelliittimittaukset tapahtuvat ilmakehän läpi, ei voi kuitenkaan aina olettaa, että alueelliset mittaukset ja näihin perustuvat verkkoratkaisut olisivat aina mittakaavoiltaan oikeita Valitettavasti kolmessa ulottuvuudessa ei ole olemassa kompleksilukujen vastine On yritetty käyttää Hamiltonin keksimät kvaterniot 6, mutta tulokset eivät olleet yhtä tyydyttäviä kuin tasokoordinaateissa kompleksiluvukuja käyttäessä 25 Kolmulotteinen datummuunnos (2) Yllä kuvattua datummuunnosta (24) kutsutaan usein Burša-Wolf esitystavaksi Tässä muunnoskaavassa rotaatio R (ja skaalaus 1 + m) tapahtuu Maan massakeskipisteen suhteen, jonka jälkeen suoritetaan translaatio t Usein paremmin käyttäytyvä muunnoskaava on Molodenskii-Badekas, jossa rotaatio ja skaalaus tapahtuu koko pistekentän painopisteen, X, suhteen Tässä tapauksessa translaatio kuvaa tämän painopisteen siirtymistä: X = X + (1 + m) R ( X X ) + t Tässä tapauksessa R ja m ovat identtisiä Burša-Wolfin vastaavien kanssa; kuitenkin t t Voimme johtaa X = (1 + m) RX + X (1 + m) RX + t, josta vertailemalla kaavan (25) kanssa saa seuraava yhteys kahden translaatiovektorin välillä: eli t = X (1 + m) RX + t t = t taas olettamalla, että m, e x, e y, e z ovat pieniä 7 m e z e y e z m e x e y e x m Molodenskii-Badekas -esitystavan etuna on, että pistekentän kohdalla translaatio ja rotaatio ovat melkein riippumattomia toisistaan Tämä tulee esille, kun ratkaistaan tuntemattomat parametrit pistekentän annetuista koordinaateista kummassa datumissa: silloin translaatio- ja rotaatioparametrien väliset korrelaatiot häviävät Haittana toisaalta on, että tämä optimaalisuus toimii vain pistekentän alueella, se ei ole globaalisesti voimassa X, 6 Kvaterniot ovat lukuja Q = a + ix + jy + kz, joiden laskusäännöt ovat: ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik = j, i 2 = j 2 = k 2 = 1 Ne ovat jollain tavalla samanlaisia kuin kompleksiluvut, muttei niin käteviä Keksijä oli Sir William R Hamilton ( ) Dublinista (http://wwwmathstcdie/pub/histmath/people/hamilton/) Ks myös 7 Huomaa, että jos X = 0, silloin t = t, eli B-W on sama kuin M-B jossa pistekentän painopiste on Maan massakeskipisteessä, X, Y, Z-järjestelmän origossa

Radiotekniikan sovelluksia

Radiotekniikan sovelluksia Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina

Lisätiedot

Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä

Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Markku Poutanen Geodeettinen laitos Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Taustaa Uuden koordinaattijärjestelmän perusteet JHS ja käyttöönotto Uusi korkeusjärjestelmä

Lisätiedot

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (

Lisätiedot

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Mittausten laadun tarkastus ja muunnoskertoimien laskenta Kyösti Laamanen 2.0 4.10.2013 Prosito 1 (9) SISÄLTÖ 1 YLEISTÄ...

Lisätiedot

Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio

Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä sisältää määritelmät, koordinaatisto on sen realisaatio maastossa ja karttaprojektio tämän esitysmuoto kaksiulotteisella kartalla

Lisätiedot

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN JA KORKEUDET Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN:n joitain pääominaisuuksia ITRF96-koordinaatiston kautta globaalin koordinaattijärjestelmän paikallinen/kansallinen realisaatio

Lisätiedot

Koordinaatistoista. Markku Poutanen Geodeettinen laitos. Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio

Koordinaatistoista. Markku Poutanen Geodeettinen laitos. Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaatistoista Markku Poutanen Geodeettinen laitos Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä sisältää määritelmät, Reference system contains definitions koordinaatisto

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

EUREF ja GPS. Matti Ollikainen Geodeettinen laitos. EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo

EUREF ja GPS. Matti Ollikainen Geodeettinen laitos. EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo EUREF ja GPS Matti Ollikainen Geodeettinen laitos EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo Kuinka EUREF sai alkunsa? EUREF (European Reference Frame) o Perustettiin Kansainvälisen geodeettisen

Lisätiedot

1. PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 MAAPALLON MUOTO

1. PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 MAAPALLON MUOTO 1. PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 MAAPALLON MUOTO Vertausellipsoidi Geoidi Geoidi on valtamerien keskivedenpintaan liittyvä pinta, jolla painovoima on vakio ja joka on kohtisuorassa luotiviivan suuntaa vastaan. Geodeettiset

Lisätiedot

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Parempaa tarkkuutta satelliittimittauksille EUREF/N2000 - järjestelmissä Ympäristösi parhaat tekijät 2 EUREF koordinaattijärjestelmän käyttöön otto on Suomessa sujunut

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa

KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa ESITYKSEN SISÄLTÖ: Koordinaattijärjestelmän uudistus (EUREF-FIN) Korkeusjärjestelmän uudistus (N2000) MML:n tasokiintopistemittaukset MML:n korkeuskiintopistemittaukset Mittaukset

Lisätiedot

Luento 4: Kiertomatriisi

Luento 4: Kiertomatriisi Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 28.9.2004) Luento 4: Kiertomatriisi Mitä pitäisi oppia? ymmärtää, että kiertomatriisilla voidaan kiertää koordinaatistoa ymmärtää, että

Lisätiedot

Markku.Poutanen@fgi.fi

Markku.Poutanen@fgi.fi Global Navigation Satellite Systems GNSS Markku.Poutanen@fgi.fi Kirjallisuutta Poutanen: GPS paikanmääritys, Ursa HUOM: osin vanhentunut, ajantasaistukseen luennolla ilmoitettava materiaali (erit. suomalaiset

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Tähtitieteelliset koordinaattijärjestelemät

Tähtitieteelliset koordinaattijärjestelemät Tähtitieteelliset Huom! Tämä materiaali sisältää symbolifontteja, eli mm. kreikkalaisia kirjaimia. Jos selaimesi ei näytä niitä oikein, ole tarkkana! (Tällä sivulla esiintyy esim. sekä "a" että "alpha"-kirjaimia,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

SINI- JA KOSINILAUSE. Laskentamenetelmät Geodeettinen laskenta - 1-1988-1999 M-Mies Oy

SINI- JA KOSINILAUSE. Laskentamenetelmät Geodeettinen laskenta - 1-1988-1999 M-Mies Oy SINI- JA KOSINILAUSE SINILAUSE: Kolmiossa kulman sinien suhde on sama kuin kulman vastaisten sivujen suhde. Toisin sanoen samassa kolmiossa SIN Kulma / Sivu = Vakio (Jos > 100 gon: Kulma = 200 kulma).

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä

JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä EUREF-II -päivä 2012 Marko Ollikainen Kehittämiskeskus Maanmittauslaitos MAANMITTAUSLAITOS TIETOA MAASTA Mittausohjeiden uudistamisesta

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Geodeettisen laitoksen koordinaattimuunnospalvelu

Geodeettisen laitoksen koordinaattimuunnospalvelu Geodeettisen laitoksen koordinaattimuunnospalvelu Janne Kovanen Geodeettinen laitos 10.3.2010 Koordinaattimuunnospalvelusta lyhyesti Ilmainen palvelu on ollut tarjolla syksystä 2008 lähtien. Web-sovellus

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa

JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa Versio: 29.9.2014 (luonnos palautekierrosta varten) Julkaistu: Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto...

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

JHS 154 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako

JHS 154 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako JHS 154 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako Versio: Julkaistu: Voimassaoloaika: Toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto... 1 2 Soveltamisala... 2 3 Viittaukset...

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

Johdanto geodesiaan. Martin Vermeer martin.vermeer@aalto.fi. 8. tammikuuta 2013

Johdanto geodesiaan. Martin Vermeer martin.vermeer@aalto.fi. 8. tammikuuta 2013 Johdanto geodesiaan Martin Vermeer martin.vermeer@aalto.fi 01 000000 111111 01 01 000000 111111 01 01 000000 111111 000000 111111 000000 111111 8. tammikuuta 2013 Kiitokset: Käsikirjoituksen eri versioiden

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen 1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

JHS-suositus 184: Kiintopistemittaus EUREF-FINkoordinaattijärjestelmässä. Pasi Häkli Geodeettinen laitos

JHS-suositus 184: Kiintopistemittaus EUREF-FINkoordinaattijärjestelmässä. Pasi Häkli Geodeettinen laitos JHS-suositus 184: Kiintopistemittaus EUREF-FINkoordinaattijärjestelmässä Pasi Häkli Geodeettinen laitos Geodesian teemapäivä, Tieteiden talo, 10.9.2014 Taustaa Kiintopistemittaukset on perinteisesti tehty

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

Koordinaatit, korkeus, kartat ja GPS

Koordinaatit, korkeus, kartat ja GPS Koordinaatit, korkeus, kartat ja GPS Markku Poutanen Geodeettinen laitos Markku.Poutanen@fgi.fi Paikan esittämiseen tarvitaan koordinaatit. Vaikka koordinaattien tuottaminen onkin GPS-mittausten perustehtäviä,

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

KOORDINAATTI- JA KORKEUSJÄRJESTELMIEN VAIHTO TURUSSA 15.2.2010

KOORDINAATTI- JA KORKEUSJÄRJESTELMIEN VAIHTO TURUSSA 15.2.2010 KOORDINAATTI- JA KORKEUSJÄRJESTELMIEN VAIHTO TURUSSA 15.2.2010 Ilkka Saarimäki Kaupungingeodeetti Kiinteistöliikelaitos Kaupunkimittauspalvelut ilkka.saarimaki@turku.fi VANHAT JÄRJESTELMÄT Turun kaupungissa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Sipoon kunnan EUREF-hanke. Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulun maankäyttötieteiden laitoksella tehty diplomityö. Espoo, syyskuu 2012

Sipoon kunnan EUREF-hanke. Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulun maankäyttötieteiden laitoksella tehty diplomityö. Espoo, syyskuu 2012 Sipoon kunnan EUREF-hanke Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulun maankäyttötieteiden laitoksella tehty diplomityö Espoo, syyskuu 2012 Insinööri (AMK) Ville Jussila Valvoja: Professori Martin

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP Kameran kalibrointi Kameran kalibroinnilla tarkoitetaan sen kameravakion, pääpisteen paikan sekä optiikan aiheuttamien virheiden määrittämistä. Virheillä tarkoitetaan poikkeamaa ideaalisesta keskusprojektiokuvasta.

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot