Käytännön geodesia Maa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Käytännön geodesia Maa-6.2222"

Transkriptio

1 Käytännön geodesia Maa IV luokan takymetrijono mittaus Jyväskylä II luokan verkko IV luokka GPS III luokan verkko IV luokan takymetrijono mittaus Säynätsalo IV luokka GPS IV luokka GPS Jyväskylän kaupungin runkoverkon uudelleenmittauksen 1999 geometria (Maa-6227 Geodesian maastoharjoitukset) Martin Vermeer 12 helmikuuta 2015

2

3 Kurssiesite Laajuus 3 op Opetusjakso III Osaamistavoitteet Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija osaa käyttää GPS käytännön runkomittaustyössä esim kuntien mittaustoimessa, sekä oivaltaa miten GPS:n antamat koordinaatit ja korkeudet eroavat perinteisistä koordinaateista ja korkeuksista Osaa suunnittella erityyppisiä mittauksia Tuntee niiden havaintoyhtälöt, osaa linearisoida ne, osaa arvioida saavutettava tarkkuus Osaa muunnoskaavojen ja -parametrien laskenta; keskistysmittaukset, karttaprojektiot; ymmärtää rekognosoinnin ja pistekorttien merkitystä Osaa selittää monikulmio- ja korkeusjonojen ja jonoverkkojen tarkkuuskäyttäytyminen ja sen perusteella suunnittella niitä Ymmärtää mittaustarkkuusluokat ja verkkohierarkia ja on tutustunut laajemmin pienimmän neliösumman menetelmän käyttöön verkkotasoituksessa Ymmärtää datumin ja datuminmuunnoksen käsite ja merkitys kaksi- ja kolmiulotteisesti; paikalliset ja geosentriset datumit ja koordinaattijärjestelmät On valmis osallistumaan käytännön maastotyöhön Sisältö Taso-, korkeus- ja avaruusrunkoverkkojen suunnittelu, mittaus ja laskenta 2D+1D ja 3D -lähestymistapa Havaintoyhtälöiden rakentaminen pienimmän neliösumman verkkotasoitusta varten Mittausten tarkkuus ja tarkkuusluokittelu Tilastollinen testaus Koordinaatti- ja vertausjärjestelmät, vertausellipsoidi, datumit ja datum-muunnokset GPS-verkkojen laskenta ja tarkkuus Erityyppisten mittausten ja -verkkojen yhteiskäyttö ja integrointi Kalibrointi Esitiedot Maa-6211/214 tai Maa Korvaavuudet Korvaa opintojakson Maa-6222 Kohderyhmä Suoritustavat Tentti ja harjoitukset, josta yksi on Metsähovin retki Työmäärä toteutustavoittain Luennot 8 2 t = 16 t Materiaalin itsenäinen opiskelu, tenttivalmistelu 24 t Harjoitustyö, itsenäinen työskentely = 36 t Metsähovi 4 t Yhteensä 80 t Arvostelu Tentin arvosana on kokonaissuorituksen arvosana, 1-5 Oppimateriaalit Luentomoniste Taustamateriaalina Blachut, Chrzanowski, Saastamoinen: Urban Surveying and Mapping; Cooper: Control Surveys in Civil Engineering Opetuskieli Suomi

4 ii Kurssin henkilökunta ja yhteystiedot Martin Vermeer, huone M309 Vastaanottoajat CEFR-taso Lisätietoja

5 Sisältö iii Sisältö 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen 1 11 Linearisointi Skalaaritapaus Vektoritapaus Havaintoyhtälöiden linearisointi 4 12 Varianssien kasautumislaki 5 13 Geodeettinen päätehtävä 6 2 Datumit Yksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kompleksinen esitystapa Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) Kolmulotteinen datummuunnos (2) 17 3 Koordinaattijärjestelmät Yleistä Suorakulmaiset geosentriset koordinaatit Vertausellipsoidi WGS84-vertausjärjestelmä Toposentrinen koordinaattijärjestelmä Geodeettinen datum Geodeettisten datumien välinen muunnos Suuntakorjaus paikallisesta horisontista vertausellipsoidiin Ellipsoidisten normaalien erisuuntaisuus Pituuskorjaus 31 4 Keskistykset, asematasoitus Vaakakeskistys Korkeuskeskistys GPS-keskistys Vaakakulmien asematasoitus Kulmamuunnos Jäännösvirheet ja vapausasteet Asematasoituksen laskentataulukko 38 5 Vaaitus Vaaitusrefraktio Vaaituksen satunnaiset virheet Vaaituksen systemaattiset virheet Vaaituksen karkeat virheet Yksittäisen vaaitusjonon laskeminen 45 6 Korkeuden mittaus ja käsittely Refraktiokerroin 49

6 iv Sisältö 62 Pystykulma Trigonometrinen korkeudenmittaus Periaate, virhepropagaatio Trigonometrinen vaaitus Refraktion ja Maan kaarevuuden vaikutus Vastakkaiset yht aikaiset mittaukset xyh -jonomittaus, tarkka trigo Mittatanko 56 7 Monikulmiojonon laskenta Suljettu monikulmiojono Alku- ja loppuliitossuunnan laskeminen Suuntien tasoitus Koordinaattien tasoitus Laskentakaavio Huomautuksia Avoin monikulmiojono Lähtösuunta Jonon laskenta 65 8 Ehtoyhtälöiden tasoitus Teoria Esimerkki: kolmioehto Monikulmiojonotasoitus ehtoyhtälötasoituksena Ilman painotusta Painotuksen kera Jonon laskenta Painokertoimien valinnasta Realistiset painoluvut Relatiivinen pistekeskivirhe, loppupistekeskivirhe Karkeiden virheiden löytäminen Sulkuvirheiden testaus Tasoitetun pisteen keskivirhe 74 9 Kriteerivarianssit Esimerkki: jono Verkon varianssi-kovarianssimatriisi Verkon kriteerimatriisi Varianssi- ja kriteerimatriisin vertailu Pienimmän neliösumman tasoitus Teoreettinen tausta Pienimmän neliösumman ratkaisu Harhattomuus Jäännösvirheiden varianssi Vinoetäisyys avaruudessa Atsimutimittaus Zeniittikulmamittaus Käytännön esimerkki Tasoituslaskun variantit ja sovellukset Pakkoehtojen käyttö ratkaisun kiinnittamiseksi Ehto- ja havaintoyhtälöiden välinen yhteys 92

7 Sisältö v 1121 Testaussuureen laskenta Vaaitus ehtoyhtälöiden esimerkkinä Esimerkki: vaaitusverkko Helmert-muunnosparametrien estimointi Vapaa asemapiste Vapaan asemapisteen laskuesimerkki Helmert-tasomuunnos kahdesta tunnetusta pisteestä Helmert-parametrien virheiden kasautuminen GPS-mittaus ja laskenta Yleistä Rekognosointi Vektoreiden mittaus Vektoreiden määrä Verkon geometria Mittausten kesto ja aikataulu Ratatiedot Antennit ja pystytys Havaintogeometria, havainto-yhtälöt Tuntemattomien varianssimatriisi ja varianssit Esimerkki: atsimutisymmetrinen geometria Erotushavaintojen havaintoyhtälöt Vektorimittaukset Geodeettiset mittaukset ja laskennat Runkkoverkkojen hierarkia ja tarkkuusluokitus Valtakunnalliset runkoverkot Alemman luokan runkoverkot Perinteisiä ja satelliittimittauksia kkj -järjestelmän määritys Korkeusjärjestelmät ja geoidin rooli Muunnokset eri järjestelmien välillä Maastomittaus käytännössä Geodesian laboratorion maastomittaukset Maastomittauksessa käytetyt tekniikat Staattinen GPS-mittaus Digitaalinen tarkkavaaitus Trigonometrinen vaaitus: tarkka trigo Monikulmiojonomittaus Case: Jyväskylän maastomittaus 130

8

9 1 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen 11 Linearisointi Geodesiassa, kuten monessa muussakin tieteissä, on usein olemassa kahden suuren väliset yhteydet jotka käyttäytyvät epälineaarisesti Esimerkit tästä ovat havaintosuureiden ja tuntemattomien välinen yhteys, tai kahden eri koordinaattijärjestelmän koordinaattien välinen yhteys Kuitenkin monet teoriat, kuten esim pienimmän neliösumman (PNS) tasoitusmenetelmä, perustuvat lineaarisiin kaavoihin, joiden matematiikka on huomattavasti yksinkertaisempaa Myös virheiden (varianssien) kasautumislaki pätee vain lineaarisille riippuvuussuhteille suureiden välillä Käytännössä usein muodollisesti epälineaarinen yhteys, esim pistekoordinaatin ja pisteeseen mitatun suunnan välillä, on melkein lineaarinen pisteen sijainnin epävarmuusalueen sisällä Onhan mittaustarkkuus geodesiassa varsin suuri: pisteen sijainnin epävarmuus voi olla senttimetrien luokkaa kun pisteiden välinen etäisyys voi olla satoja metrejä tai kilometrejä Silloin voidaan tutkia, alkuperäisten suureiden sijasta, yhteyttä niiden pienten erotussuureiden välillä joka on lähestulkoon lineaarinen Asia näytetään Taylor-sarjakehitelmän avulla 111 Skalaaritapaus Yleensä jos on kaksi suurta, jonka välinen on funktionaalinen yhteys: y = f (x), voidaan linearisoida valitsemalla likiarvo x 0 ja kehittämällä funktio sarjakehitelmään (Taylorsarjaan) likiarvon lähistöllä Saadaan: y = f (x 0 ) + df dx (x x 0 ) + x=x0 eli y y 0 a (x x 0 ), (11) jossa y 0 f (x 0 ) ja a = df dx Tätä voidaan kirjoittaa muotoon x=x0 y = a x mitä usein lyhennetään seuraavan muotoon y = ax, kun vain muistetaan että x, y ovat linearisoidut (siis: x 0, y 0 suhteen lasketut erotus-)arvot

10 2 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen y Linearisointiväli y = f(x) y = y 0 + a (x x 0 ) y 0 x x 0 Kuva 11: Yksiulotteinen kuvaus ja linearisointi 112 Vektoritapaus Jos on kaksi vektorisuurta, x = [ x 1 x 2 x n ] T R n ja y = [ y 1 y 2 y m ] T R m, jonka välillä on funktionaalinen yhteys eli y 1 y 2 y m = y = F (x) = F (x 1, x 2,, x n ), F 1 (x) F 2 (x) F m (x) = F 1 (x 1, x 2,, x n ) F 2 (x 1, x 2,, x n ) F m (x 1, x 2,, x n ) [ tilanne mutkistuu Tässäkin tapauksessa voidaan valita likiarvovektori x 0 = ja vastaava likiarvovektori y 0 F (x 0 ), jonka jälkeen taas y = y 0 + F (x 1, x 2,, x n ) ( ) x 1 x 1 x (0) 1 x=x 0 + F (x 1, x 2,, x n ) ( ) x n xn x (0) n, x=x 0 + F (x 1, x 2,, x n ) x 2, x (0) 1 x (0) 2 x (0) n ( ) x 2 x (0) 2 + x=x 0 eli y i = y (0) i + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x 1 x 1 x (0) 1 + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x=x 0 x 2 x 2 x (0) 2 + x=x 0 + F i (x 1, x 2,, x n ) ( ) x n xn x (0) n +, i = 1,, m x=x 0 ] T, Tässä kaavassa on m eri riviä, ja jokaisella rivillä on n eri (lineaarista) termiä Tämä yhtälöryhmän yhteenvedoksi kirjoitetaan seuraava matriisiyhtälö: y = y 0 + A (x x 0 ) +,

11 11 Linearisointi 3 x 2 F : R 2 R 2 y 2 x 1 y 1 Kuva 12: Kaksiulotteinen kuvaus jossa matriisi A on F 1 F 1 F 1 x 1 x 2 x n F 2 F 2 F 2 A = x 1 x 2 x n F m F m F m x 1 x 2 x n Tämä matriisi on kahden abstraktisen vektoriavaruuden R n ja R m välisen vektorikuvauksen F : R n R m ns Jakobin 1 matriisi Matriisi kuvaa paikallisesti, siis pisteen x = x 0 lähistöllä, millä tavalla pienet häiriöt x-vektorissa kulkevat y-vektoriin: y y y 0 A (x x 0 ) = A x, jos määritetään x = x x 0 ja y = y y 0 Siis erotussuureiden x, y välillä kuvaus on paikallisesti lineaarinen Tämä on ns linearisointi Yleisessä tapauksessa m n Erikoisessa tapauksessa, että m = n, voidaan ajatella, että kuvauksella F olisi käänteiskuvaus G = F 1, jolla x = G (y) Paikallisesti, likipisteen x 0 ympäristössä, voidaan tästä sanoa: Jos matriisi A on singulaarinen, ts sen determinantti det (A) = 0, merkitsee tämä, että kuvauksella F ei ole olemassa paikallisesti (siis pisteessä x 0, ja mahdollisesti ei myöskään sen sopivan pienellä lähialueella) käänteistä kuvausta Tämä merkitsee taas, että voi olla useita (itse asiassa äärettömän useita) eri arvoa x joilla on kaikki sama kuva y = F (x) Toisaalta jos det A 0, sellainen käänteiskuvaus on (sopivan pienikokoisella likipisteen x 0 lähistöllä) olemassa Tulkinta det A kuvaa, miten tilavuudet kuvautuvat F -kuvauksen alla: esim jos n = m = 2, se kuvaa, miten pikkuneliön pinta-ala R n -avaruudessa kuvautuu parallellogrammin pinta-alaan R m - avaruuteen, eli niiden kahden pinta-alan suhde Jos n = m = 3, se kuvaa vastaavasti suhde 1 Carl Gustav Jacob Jacobi, , juutalaissaksalainen matemaatikko, Königsbergin yliopisto

12 4 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen R n -avaruuden kuution ja sen R m -avaruuden parallellepipeedin tilavuuksien välillä Jos suhde on nolla, niin ilmeisesti neliö litistyy viivapätkäksi ja kuutio taso-parallellogrammiksi, ja kuvaus on ilmeisen singulaarinen 113 Havaintoyhtälöiden linearisointi Käsitellään esimerkkina funktionaalinen yhteys tuntemattomien x ja havaintosuureiden l välillä, joka on todellisessa havaintogeometriassa harvoin lineaarinen Joudutaan linearisoimaan: olkoon ei-lineaariset havaintoyhtälöt l + v = F ( x), (12) missä F ( ) on moniulotteinen, yleensä ei-lineaarinen havaintofunktio Mallit linearisoidaan kehittämällä ne taas Taylor-sarjaan karkeasti arvioitujen ratkaisukoordinaattien ( likiarvojen ) ympärillä, ja käyttämällä sarjasta vain ensimmäisen asteen termit Mikäli käytetyt likikoordinaatit eivät ole riittävän hyviä, joudutaan laskemaan ratkaisu iteratiivisesti Valitaan likiarvot x 0 ja yhteensopivasti l 0 joille siis pätee: l 0 = F (x 0 ) (13) eli (huomaa, että tuntemattomien määrä on m ja havaintosuureiden määrä n): ( ) l (0) i = F i x (0) 1, x (0) 2, x (0) m 1, x (0) m, i = 1 n Tämä vähennetään kaavasta (12) ja tehdään sarjakehitelmä: ( l i l (0) i ) ( ) + v i = F i ( x 1, x 2, x m ) F i x (0) 1, x (0) 2, x (0) m m j=1 F i x j xj =x (0) j ( ) x j x (0) j Kutsutaan A ij = F i x j xj =x (0) j ns second order design matrixin 2 alkiot Itse matriisi on silloin F 1 F 1 F 1 x 1 x 2 x m F 2 F 2 F 2 A = x 1 x 2 x m F n F n F n x 1 x 2 x m 2 Suom (toisen kertaluvun) rakennematriisi, i = 1 n, j = 1 m, (14) x1 =x (0) 1,x 2=x (0) 2,xm=x(0) m

13 12 Varianssien kasautumislaki 5 Tässä n on havaintojen, m tuntemattomien määrä Jos kutsutaan (l F (x 0 )) l ( x x 0 ) x ( korvaavat eli linearisoidut havaintosuureet ja tuntemattomat), saadaan linearisoiduiksi havainto-yhtälöiksi: l + v = A x (15) Tästä laskettava pienimmän neliösumman ratkaisu minimoi residuaalien neliöllinen summa v T Q 1 ll v, mistä syystä sitä kutsutaan pienimmän neliösumman menetelmäksi Matriisi Q ll, lyhyesti Q, on havaintojen tarkkuutta ja mahdollista keskinaista tilastollista riippuvuutta (korrelaatiota) kuvaava havaintovektorin varianssimatriisi 3, ks luku 12 Kaavassa (15) jätetään usein myös pois yksinkertaisuuden vuoksi -suureet ovat tyypillisesti paljon pienempiä kuin kokonaiset suureet Siksi numeriikka onnistuu hyvin vaikka A-matriisin elementit eivät olisi eksakteja Kuitenkin kaava (13) on aina laskettava eksaktisti 12 Varianssien kasautumislaki Jos stokastinen suure y on stokastisen suureen x lineaarinen funktio, ts voidaan kirjoittaa myös y = Lx, σ y = Lσ x, missä σ x, σ y ovat suureiden x ja y keskivirheet Samalla voidaan kirjoittaa E { y } = E {Lx} = LE {x} ( odotusarvojen kasautumislaki ), missä E { } on odotusarvo-operaattori, lineaarinen operaattori Jos määritetään varianssi seuraavasti: seuraa, että Var {x} = σ 2 x E { (x E {x}) 2}, σ 2 y = L 2 σ 2 x Tämä on varianssien kasautumislaki yksinkertaiselle stokastiselle suureelle Mikäli stokastisella suureella x = [ x 1 x 2 x n ] T ja y = [ y1 y 2 y m ] T on useita komponentteja (abstrakti vektorisuure ), pätee y = Lx, (16) E { y } = LE {x} 3 Tarkemmin: havaintovektorin painokerroinmatriisi Yleisesti kirjoitetaan Σ ll = σ 2 0Q ll, jossa Σ ll on varianssimatriisi ja σ 0 ns painoyksikön keskivirhe

14 6 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen ja Var ( y ) = LVar (x) L T, (17) missä nyt L ja varianssit ovat matriiseja L 11 L 12 L 1n L = L 21, L m1 L mn m n-kokoinen matriisi; Var(x) = Σ xx = σx 2 1 σ x1 x 2 σ x1 x n σ x2 x 1 σx 2 2 σ xnx1 σx 2 n, n n-kokoinen, neliönmuotoinen matriisi; ja Var ( y ) = Σ yy = σy 2 1 σ y1 y 2 σ y1 y m σ y2 y 1 σy 2 2, m m-kokoinen neliömatriisi Tässä varianssit: ja kovarianssit: ja samoin y:n komponenteille σ ymy 1 σ 2 y m σ 2 x i = Var (x i ) = E { (x i E {x i }) 2}, σ xi x j = Cov ( x i, x j ) = E { (xi E {x i }) ( x j E { x j })}, Kaava (17) kutsutaan yleiseksi varianssien kasautumislaiksi Kaavan (16) ilmaisema lineaarisuusominaisuus saadaan tarvittaessa aikaan linearisoimalla, josta puhuttiin aikaisemmin 13 Geodeettinen päätehtävä Varianssien kasautumislain sovelluksena tarkastetaan geodeettinen päätehtävä, missä suuntaja etäisyysmittauksen tunnetut epätarkkuudet kulkevat eli kasautuvat tuntemattoman pisteen koordinaattien epätarkkuuksiksi Geodeettinen päätehtävä: annettuna mittaussuureet s, A sekä lähtöpisteen P koordinaatit x P, y P, määritä tuntemattoman pisteen koordinaatit x = x P + s cos A, y = y P + s sin A

15 13 Geodeettinen päätehtävä 7 Ongelma ratkaistaan seuraavalla tavalla Otetaan likiarvot s 0, s = s 0 + s ja A 0, A = A 0 + A ja kirjoitetaan Taylor-sarjakehitelmä: cos A x = x P +s 0 cos A 0 + s cos A 0 +s 0 A A = x 0 { }} { + x P + s 0 cos A 0 x { }} { [ ] [ ] s cos A0 s 0 sin A 0 A ja samalla tavalla y = y 0 + y { }} { [ ] [ ] s sin A0 s 0 cos A 0 A Nyt meillä on (jättämällä, mutta muistamalla, 0-indeksit, ja tekemällä x- ja y-vektorit stokastisiksi eli satunnaismuuttujiksi): y [ x y ] [ s, x A ] [ cos A s sin A, ja L = sin A s cos A ja yllä olevat kaavat voidaan nyt kirjoittaa: y = Lx ] [ ; sekä Var (x) = σ 2 s 0 0 σ 2 A ] Varianssimatriisin Var ( y ) = = = [ σx 2 σ xy σ xy σy 2 ] = LVar (x) L T = [ ] [ ] [ ] cos A s sin A σs 2 0 cos A sin A = sin A s cos A 0 σa 2 s sin A s cos A [ σs 2 cos 2 A + σas 2 2 sin 2 A cos A sin A ( ) ] σs 2 s 2 σa 2 cos A sin A (, σs 2 s 2 σa) 2 σ 2 s sin 2 A + σas 2 2 cos 2 A jossa alkiot laskettiin varianssien kasautumislain (17) avulla 4 Sijoittamalla vielä saadaan vaihtoehtoinen muoto: cos A = x x P s, sin A = y y P s 4 Jos ilmaistaan suunnan A varianssi gooneissa, voidaan sijoittaa kaikkiin alla oleviiin kaavoihin ( ) 2 σa 2 σa [g] =, ρ jossa ρ on radiaanin suuruus käytetyssä asteyksikössä, tässä tapauksessa ρ = Samoin kun käytetään kaarisekunteja: silloin ( σa 2 σa [ ) 2 ] =, ρ jossa nyt ρ = =

16 8 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen N σ x Q sσ A A s σ y σ s P Kuva 13: Virhe-ellipsin geometria σ 2 x = Var ( x) = ( ) 2 x xp σs 2 + (y y P ) 2 σ 2 s A, σy 2 = Var ( y ) ( ) 2 y yp = σs 2 + (x x P ) 2 σ 2 s A, σ xy = Cov ( x, y ) [ (σs ) ] 2 = σ 2 A (x x P ) (y y P ), (18) s jossa x x P = s cos A, y y P = s sin A Näin havaintotyön keskivirheet σ s, σ A muunnetaan koordinaattikeskivirheiksi σ x, σ y Kuten näkyy, vaikuttavat tarkkuuteen vaikuttavat sekä havaintojen tarkkuus σ s, σ A että geometria A, s Virhe-ellipsi on tilastomatemaattinen varmuusalue kaksiulotteisen pisteen ratkaisulle Tätä käytetään eri testeissä Pisteen tarkkuuden mitaksi on olemassa sopivampi suure joka ei riipu koordinaattiakseleiden suunnasta Sellainen mitta saadaan seuraavasti: virhe-ellipsi on oikeastaan varianssimatriisin kuvaaja: jos pisteen P koordinaattien, tai kahden pisteiden P, Q, koordinaattierojen, x, y varianssimatriisi kirjoitetaan [ x V = Var y ] [ = Var (x) Cov ( x, y ) Cov ( x, y ) Var ( y ) Tämän matriisin invariantit ovat sen ominaisarvoja ja -vektoreita: Kaavan (V λi) x = 0 ratkaisuja (λ i, x i ) Jos käännetään koordinaatiston akselit näin, että ne ovat samansuuntaisia ellipsin pääakseleiden kanssa, saadaan V = [ s 2 σ 2 A 0 0 σ 2 s ja on selvä, että λ 1 = s 2 σ 2 A ja λ 2 = σ 2 s Yleisemmin ratkaistaan determinanttiyhtälö V 11 λ V 12 V 22 λ = 0, V 21 ] ]

17 13 Geodeettinen päätehtävä 9 ( mistä ns karakteristinen ) polynomi: (V 11 λ) (V 22 λ) V12 2 = 0, siis λ 2 (V 11 + V 22 ) λ + V11 V 22 V12 2 = 0, mistä 5 ja λ 1 + λ 2 = V 11 + V 22 = Var (x) + Var (y) = σ 2 x + σ 2 y (19) λ 1 λ 2 = V 11 V 22 V 2 12 = det (V ) = σ 2 xσ 2 y σ 2 xy (110) (missä σ 2 xy lasketaan kaavan (18) mukaan) Suureet (19, 110) ovat invariantit (siis: aina sama, koordinaattiakseleiden orientoinnista riippumatta) ja etenkin suure (19), jota kutsutaan pisteen P pistevarianssiksi σ 2 P, on sopiva pistetarkkuuden mitta: σ 2 P = σ 2 x + σ 2 y Pistekeskivirhe σ P on tämän pistevarianssin neliöjuuri 5 Ominaisarvot ovat λ 1,2 = 1 [ ] V 11 + V 22 ± (V 11 + V 22 ) 2 4 (V 11 V 22 V ) = = 1 [ ] V 11 + V 22 ± (V 11 V 22 ) 2 + 4V12 2 = 2 [1 = 1 ] 2 2 (V 11 + V 22 ) ± 2 (V 11 V 22 ) + V12 2, ja ellipsin pitkä ja lyhyt akselit puolikkaat ovat λ 1, λ 2 Myös akseleiden suunnat voidaan määrittää: tutki koordinaattien lineaariyhdistelmä joka on suuntakulman θ funktio Varianssien kasautumislain avulla saadaan z (θ) = x sin θ + y cos θ, Var (z (θ)) = V 11 sin 2 θ + V 22 cos 2 θ + 2 sin θ cos θv 12 ; ellipsin akselit ovat tämän θ-funktion stationaariset arvot, Differentioimalla eli ja d Var (z) = 0 dθ 2 sin θ cos θ (V 11 V 22 ) + 2 ( cos 2 θ sin 2 θ ) V 12 = 0 sin 2θ (V 11 V 22 ) + 2 cos 2θ V 12 = 0 θ = 1 ( 2 arctan 2V ) 12 + k 100 gon = V 11 V 22 V 12 = arctan [ V (V 11 V 22 ) ] + k 100 gon, 2 + V 2 12 käyttämällä arctangentin puolikulmakaava

18 10 Luku 1 Linearisointi ja virheiden kasautuminen

19 11 Datumit Luku 2 Datum-käsite voidaan matemaattisesti käsitellä tapana kiinnittää verkkoratkaisussa tiettyjen pisteiden koordinaatit oletettuun likiarvoihinsa Kiinnitettävien pisteiden valinta on mielivaltainen, siis datumin määrittely on mielivaltainen Esim syy, miksi Suomeen luotiin ja Suomessa käytettiin pitkään N60-korkeusdatumia jonka lähtöpiste on Helsingissä, on täysin poliittinen Lähtöpiste olisi voinut olla Turussakin 21 Yksiulotteiset datuminmuunnokset Yksiulotteinen datuminmuunnos on yksinkertainen translaatio eli arvojen siirto vakiomäärällä Esim korkeusjärjestelmä jossa tietty piste on määritetty lähtöpisteeksi eli datumpisteeksi, jonka arvo on 0, voidaan muunta toiseksi siirtämällä kaikki arvot näin, että uuden datumpisteen arvoksi saadaan 0 Olkoon pistejoukon korkeusarvot tietyssä datumissa H i, ja tietyssä toisessa datumissa H i Olkoon lisäksi käytettävässä joukolle korkeuksien likiarvot H 0 i Kuten myöhemmin tullaan näkemään, onko likiarvojen olemassaolosta hyötyä kun formuloidaan lineaariset havaintoyhtälöt Ensimmäisen datumin lähtöpiste olkoon A ja toisen datumin lähtöpiste B Silloin Jos määritetään H A = H 0 A, H B = H 0 B H i H i H 0 i, H i H i H 0 i, seuraa, että H A = H B = 0 Nyt johdetaan datuminmuunnoskaava! Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi sen olevan muotoa H = H + a, missä a on vakio Kaavan delta-muoto on H = H + a eli H i = H i + a

20 12 Luku 2 Datumit Pisteille A ja B saadaan ja koska H A = H B = 0, saadaan Tästä yleinen muunnoskaava pisteille i: H A = H A + a H B = H B + a a = H A = H B H i = H i H B, H i = H i H A, ts sekä eteenpäin (A-datumista B-datumiin) että taaksepäin muunnoskaava Matriisikielellä: [ H i H A ja [ Hi H B (nähdään helposti, että [ ] = ] = ] [ [ [ ] [ Hi H B ] [ H i ] = H A [ eli matriisi on oma käänteismatriisinsä Tämä matriisi kutsutaan S-muunnosmatriisiksi) Tietenkin näissä kaavoissa ] ] ], H i = [ H 1 H 2 H n ] T, jolloin Myös H 1 H 2 H n H A = = H 1 H 2 H n H B , eli matriisi on oma käänteismatriisinsa Translaatiovakio on tavoitedatumin lähtöpisteen korkeuspoikkeama likiarvosta, laskettuna lähtödatumissa

21 22 Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteiset datuminmuunnokset Kaksiulotteinen datuminmuunnos on useimmiten yhdenmuotois- eli Helmert 1 -muunnos, kaavana [ x y ] [ c d = d c ] [ x y ] + [ a b ], ( neliparametrinen Helmert ) jossa a, b, c, d ovat muunnoksen parametrit: translaatio (siirto) a, b ja rotaatio/skaalaus c, d Selkeämpi kirjoitustapa: [ x y ] [ cos θ sin θ = (1 + m) sin θ cos θ ] [ x y ] + [ a b ], missä c = (1 + m) cos θ ja d = (1 + m) sin θ Usein m ja θ ovat pieniä, jolloin voidaan kirjoittaa likimäärin: [ x y ] [ ] [ ] [ ] 1 θ x a = (1 + m) + = θ 1 y b { } [ ] [ ] 1 + m θ (1 + m) x a = + = θ (1 + m) 1 + m y b {[ ] [ ]} [ ] [ ] m θ 1 θm x a = + + θ m θm 1 y b [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m θ x 1 0 x a + + θ m y 0 1 y b [ ] [ ] [ ] [ ] m θ x 0 x a + +, θ m y b y 0 eli [ x x y y ] [ m θ = θ m ] [ x 0 y 0 ] + [ a b ], (21) missä x 0, y 0 x, y ovat likiarvoja; uudelleen järjestäminen antaa (helposti verifioitavissa kirjoittamalla vain kaavat (21) ja (22) raa asti auki): [ x x y y ] [ = x 0 y y 0 x Helmert-muunnoksen parametrien havaintoyhtälö ] m θ a b, (22) Kaikkien tuntemattomien määrittäminen edellyttää tietysti riittävä määrä havaintoja eli pistekoordinaattieroja vasemmalla puolella Kahden pisteen koordinaatit on minimi 1 Friedrich Robert Helmert, kuuluisa Saksalainen geodeetti

22 14 Luku 2 Datumit 23 Kompleksinen esitystapa Lähdetään Helmert-kaavasta (21) ja kirjoitetaan sen kompleksilukujen avulla 2 : z z = µz 0 + α, missä z x + iy, z x + iy, µ m + iθ, z 0 x 0 + iy 0 ja α a + ib Määrittämällä taas delta-suureet z z z 0, z z z 0, saadaan z = α + z + z 0 µ Vaaditaan nyt tavoitedatumin kahden lähtöpisteen A, B koordinaattipoikkeamat nollaksi: Eli Vähennyslaskun avulla: z A = z B = 0 α + z A + z 0 Aµ = 0 α + z B + z 0 Bµ = 0 z A z B + ( z 0 A z 0 B) µ = 0 eli : µ = z A z B z 0 A z0 B Seuraavaksi ratkaistaan α takaisinsijoituksen avulla: α = z A + z 0 A z A z B z 0 A z0 B Parametrit α, µ ovat nyt ratkaistuina ja voimme kirjoittaa yleinen muunnoskaava pisteille i: z i = z i z A + z 0 z A z B A z 0 A z0 B z 0 i z A z B z 0 A z0 B = z i z A ( ) z 0 i z 0 z A z B A z 0 A = z0 B ( ) ( z 0 = z i i z 0 A z 0 z 0 A 1 z A + i z 0 A z0 B z 0 A z0 B ( ) ( z 0 = z i i z 0 B z 0 z 0 A z A i z 0 A z0 B z 0 B z0 A = ) z B = ) z B (23) 2 Vastaavasti Helmert-muunnoksen parametrien havaintoyhtälöksi (kaava 22) saadaan [ ] [ ] z z = z 0 µ 1 α [ ] a b Huomaa, että kompleksilukujen a + bi ja 2 2 matriisien välillä on olemassa isomorfismi, eli b a ne käyttäytyvät samalla tavalla

23 24 Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) 15 Kaava (23) kutsutaan S-muunnokseksi Se kuvaa pientä yhdenmuotoisuus- eli Helmert-muunnosta millä päästään erään koordinaattijärjestelmän tietystä realisaatiosta (eli lähtöpisteiden vallinnasta) toiseen Kaavassa (23) korjaustermit jotka sisältävät z A, z B ovat pieniä, yhtä pieniä kuin nämä deltasuureet itse Oletetaan vielä, että lähtökoordinaattijärjestelmän lähtöpisteet olivat C ja D, eli että z C = z D = 0; silloin voimme kirjoittaa kaava (23) seuraavaan matriisimuotoon (selvyyden vuoksi on z i kirjoitettu auki vektoriksi [ z 1 z n ] T : z 1 z n z C z D = ( z z 0 B z 0 A z0 B ( z 0 1 n z 0 B z ( 0 A z0 B z C z 0 B ( z 0 A z0 B z D z 0 B z 0 A z0 B ) ) ) ) ( ) z 0 1 z 0 A z 0 B z0 A ( ) z 0 n z 0 A z ( 0 B z0 A ) z 0 C z 0 A ( z 0 B z0 A ) z 0 D z 0 A z 0 B z0 A z 1 z n z A z B tai vaihtoehtoisella notaatiolla, jossa datum on merkattu lähtöpisteillä [AB]tai [CD]: z [AB] 1 z [AB] n z [AB] C z [AB] D = ( z z 0 B z 0 A z0 B ( z 0 1 n z 0 B z ( 0 A z0 B z C z 0 B ( z 0 A z0 B z D z 0 B z 0 A z0 B ) ) ) ) ( ) z 0 1 z 0 A z 0 B z0 A ( ) z 0 n z 0 A z ( 0 B z0 A ) z 0 C z 0 A ( z 0 B z0 A ) z 0 D z 0 A z 0 B z0 A z [CD] 1 z [CD] n z [CD] A z [CD] B Tämä matriisi on neliön muotoinen ja kääntämiskelpoinen 3 Ks kuva Kolmiulotteinen datuminmuunnos (1) Myös kolmessa ulottuvuudessa käytetään yleisesti Helmert-muunnos Tässä tapauksessa meillä on kaksi joukkoa kolmiulotteisia, suorakulmaisia koordinaatteja, esim toisaalta paikallinen perinteisiin geodeettisiin mittauksiin perustuva koordinaattiratkaisu, ja toisaalta globaalinen ratkaisu, joka perustuu satelliittipaikannusmittauksiin (GPS) Sitä käytetään myös eri satelliittiratkaisujen välillä Siinä tapauksessa järjestelmien väliset muunnosparametrit ovat paljon pienempiä, mutta myös tarkempia 3 Osaatko kertoa mitään laskematta, minkä näköinen käänteismatriisi on?

24 16 Luku 2 Datumit z 0 i z i z i z C C z A A D B Kuva 21: S-muunnos Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa ei saa olettaa, että kahden järjestelmän koordinaattiakselit ovat samansuuntaisia Parametrien määrä on silloin seitsemän: X Y Z = (1 + m) 1 e z e y e z 1 e x e y e x 1 X Y Z + t x t y t z (24) Tässä muunnosparametrit ovat m, e x, e y, e z, t x, t y, t z 4 Tässä m on mittakaavapoikkeama (K = 1 + m on muunnoksen mittakaava), [ t x t y t z ] T on origon siirtymä- eli translaatiovektori, ja e x, e y, e z ovat kiertokulmat, joita oletetaan olevan pieniä 5 Usein m:n yksikkönä käytetään ppm (parts per million) ja e x, e y, e z ilmaistaan kaarisekunteina Kaikissa laskutoimituksissa on kuitenkin käytettävä radiaaneja Kaavaa voidaan kirjoittaa symbolisesti X = (1 + m) RX + t, (25) jossa X = [ X Y Z ] T, X = [ X Y Z ] T, t = [ tx t y t z ] T ja rotaatiomatriisi on R = 1 e z e y e z 1 e x e y e x 1 4 Kiertokulmien e x, e y, e z oikeaan suuntaan on kiinnittävä huomiota Jopa ammattikirjallisuudessa esiintyy virheitä! 5 Elleivät ne olisi pieniä, sisältäisi rotaatiomatriisi monimutkaisia trigonometrisia ilmaisuja itse e-kulmien sijasta

25 25 Kolmulotteinen datummuunnos (2) 17 Joskus m jätetään pois; erityisesti satelliittimittauksessa jotka perustuvat konventionaaliseen valon nopeuteen, c = ms 1 ; koska myös satelliittimittaukset tapahtuvat ilmakehän läpi, ei voi kuitenkaan aina olettaa, että alueelliset mittaukset ja näihin perustuvat verkkoratkaisut olisivat aina mittakaavoiltaan oikeita Valitettavasti kolmessa ulottuvuudessa ei ole olemassa kompleksilukujen vastine On yritetty käyttää Hamiltonin keksimät kvaterniot 6, mutta tulokset eivät olleet yhtä tyydyttäviä kuin tasokoordinaateissa kompleksiluvukuja käyttäessä 25 Kolmulotteinen datummuunnos (2) Yllä kuvattua datummuunnosta (24) kutsutaan usein Burša-Wolf esitystavaksi Tässä muunnoskaavassa rotaatio R (ja skaalaus 1 + m) tapahtuu Maan massakeskipisteen suhteen, jonka jälkeen suoritetaan translaatio t Usein paremmin käyttäytyvä muunnoskaava on Molodenskii-Badekas, jossa rotaatio ja skaalaus tapahtuu koko pistekentän painopisteen, X, suhteen Tässä tapauksessa translaatio kuvaa tämän painopisteen siirtymistä: X = X + (1 + m) R ( X X ) + t Tässä tapauksessa R ja m ovat identtisiä Burša-Wolfin vastaavien kanssa; kuitenkin t t Voimme johtaa X = (1 + m) RX + X (1 + m) RX + t, josta vertailemalla kaavan (25) kanssa saa seuraava yhteys kahden translaatiovektorin välillä: eli t = X (1 + m) RX + t t = t taas olettamalla, että m, e x, e y, e z ovat pieniä 7 m e z e y e z m e x e y e x m Molodenskii-Badekas -esitystavan etuna on, että pistekentän kohdalla translaatio ja rotaatio ovat melkein riippumattomia toisistaan Tämä tulee esille, kun ratkaistaan tuntemattomat parametrit pistekentän annetuista koordinaateista kummassa datumissa: silloin translaatio- ja rotaatioparametrien väliset korrelaatiot häviävät Haittana toisaalta on, että tämä optimaalisuus toimii vain pistekentän alueella, se ei ole globaalisesti voimassa X, 6 Kvaterniot ovat lukuja Q = a + ix + jy + kz, joiden laskusäännöt ovat: ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik = j, i 2 = j 2 = k 2 = 1 Ne ovat jollain tavalla samanlaisia kuin kompleksiluvut, muttei niin käteviä Keksijä oli Sir William R Hamilton ( ) Dublinista (http://wwwmathstcdie/pub/histmath/people/hamilton/) Ks myös 7 Huomaa, että jos X = 0, silloin t = t, eli B-W on sama kuin M-B jossa pistekentän painopiste on Maan massakeskipisteessä, X, Y, Z-järjestelmän origossa

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä Tasoituslaskun periaate Kun mittauksia on tehty enemmän kuin on toisistaan teoreettisesti riippumattomia suureita, niin tasoituslaskun tehtävänä ja päätarkoituksena on johtaa tuntemattomille sellaiset

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen 1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla

Lisätiedot

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

1.4. VIRIAALITEOREEMA

1.4. VIRIAALITEOREEMA 1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot