1. PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 MAAPALLON MUOTO
|
|
- Riikka Kokkonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1. PERUSKÄSITTEITÄ 1.1 MAAPALLON MUOTO Vertausellipsoidi Geoidi Geoidi on valtamerien keskivedenpintaan liittyvä pinta, jolla painovoima on vakio ja joka on kohtisuorassa luotiviivan suuntaa vastaan. Geodeettiset mittaukset suoritetaan geoidin suhteen ja laskut suoritetaan ellipsoidiin perustuvassa suorakulmaisessa karttakoordinaatistossa.
2 1.2 PROJEKTIOT JA KOORDINAATISTOT Projektiot Suppea-alaisilla alueilla ortogonaaliprojektio Laaja-alaisilla kartoilla taso, lieriö tai kartio projisiointipintana
3
4 Koordinaatistot Suomen virallinen koordinaattijärjestelmä on ns kartastokoordinaattijärjestelmä ( kkj ).
5 UTM -projektion (Universal Transverse Mercator) on maapalloa sivuava poikittainen lieriöprojektio, jonka koordinaateilla pystytään määrittämään paikan kaksiulotteinen sijainti lähes kaikkialla maapallolla. Projektiossa maapallo jaetaan 60 pituuspiirien suuntaiseen vyöhykkeeseen (engl. zone), jotka ovat 6 astetta leveitä ja joilla on kullakin oma keskimeridiaaninsa (Dana 1997). Projektio kattaa alueen 80 asteesta eteläistä leveyttä 84 asteeseen pohjoista leveyttä, mutta napojen läheisyydessä projektio on epätarkka. Itäkoordinaatilla mitataan paikan etäisyyttä keskimeridiaanilta, jolla itäkoordinaatti saa arvon 500 km. Pohjoiskoordinaatilla mitataan etäisyyttä päiväntasaajalta, mutta päiväntasaajan eteläpuolella käytetään km pohjoissiirtymää (engl. false northing). Maapallon kaarevuudesta johtuvaa vääristymän vähentämiseksi käytetään korjauskerrointa (engl. spheroid parameter), jonka arvo on yleensä n Kertomalla koordinaattiarvot korjauskertoimella saadaan maan epäpyöreydestä johtuva virhe korjatuksi. UTM-projektio on käytössä mm. Ruotsissa ja Yhdysvalloissa.
6 1.3 YLEISLEHTIJAKO JA KUNNALLINEN LEHTIJAKO Valtakunnallinen yleislehtijako pohjautuu projektiokaistoihin. Kunkin kaistan leveys etelässä on noin 170 km ja pohjoisessa noin 120 km. Projektiokaistat jaetaan 1: karttalehdiksi ja numeroidaan läntisimmässä kaistassa 10 18, seuraavassa jne. 1: lehdet saadaan jakamalla edellinen lehti 4 osaan. Uudet lehdet numeroidaan neljänneksiin 1 4 ( alkaen läntisimmästä ja eteläisimmästä ). Siten esim karttalehti 10 jakautuu uusiin karttalehtiin : karttalehti muodostuu vastaavasti. Esim 101 karttalehti jakautuu 1: karttalehtiin, joiden numerot ovat Peruskartta 1: karttalehdet saadaan jakamalla 1: karttalehti 9 15 osaa, jossa karttalehden koko on 50cm x 50 cm. Kukin peruskarttalehti numeroidaan Karttalehti 1011 jakautuu siten peruskarttalehtiin
7 Kunnallisten karttojen lehtijako perustuu peruskarttalehtijakoon. Karttalehden numero yleisimmässä kunnallisessa kartassa, 1:2000 kaavan pohjakartassa, määräytyy lehden vasemman alakulman kilometrilukujen mukaisesti.
8
9 Korkeusjärjestelmät Valtion virallinen korkeusjärjestelmä on N2000 ( otettu käyttöön 2007). Tätä järjestelmää käytetään valtakunnallisissa kartoissa ja kunnallisissa kartoissa. Aikaisempia järjestelmiä ovat NN N43 JA N60 ( suuri osa kartoista vielä tässä järjestelmässä). Kaikissa järjestelmissä olevia korkeuspisteitä löytyy yhä. Eri järjestelmistä voidaan siirtyä toisiin, kun tiedetään järjestelmän korkeusero tietyllä alueella ( tiedon saa Maanmittaustoimistosta ).
10
11 2. GEODESIAN PERUSMITTAUKSET 2.1 KORKEUDEN MITTAUS Korkeuden mittaus voidaan suorittaa barometrisesti ( ilmanpaineen muutoksiin perustuen ), trigonometrisesti ( korkeuskulman ja välimatkan avulla ) tai vaaitsemalla ( muodostamalla vaakasuora määrityssäde ja pinta ). Trigonometrinen korkeuden mittaus: Trigonometrisessa korkeuden mittauksessa korkeuserot määritetään korkeuskulman ja etäisyyden ( vino- tai vaakaetäisyys ) avulla. Kun tunnetaan lähtöpisteen A korkeus h A, kojeen korkeus i sekä tähyksen korkeus m, saadaan uuden pisteen korkeus.
12 Jos pisteiden A ja B välinen etäisyys on pari sataa metriä tai enemmän, on lisäksi otettava huomioon maan pinnan kaarevuus ja tähtäyssäteen taipuminen. Pisteiden välinen Kaarevuuden vaikutus Refraktion vaikutus etäisyys ( m ) (mm) ( mm ) 10 0,0-0, ,8-0, ,1-0, ,6-2, ,4-10,2
13 Vaaitus: Vaaitus on tarkin menetelmä, joilla voidaan määritellä kohteiden korkeuseroja. Periaatteessa vaaitus voidaan jakaa vielä hydrostaattiseen ja optiseen vaaitukseen. Hydrostaattinen vaaitus perustuu nestepintojen tasapainoon yhtyvissä astioissa. Yksinkertaisin hydrostaattinen vaaituslaite on vaaitusletku ( vesiletku ). Optisessa vaaituksessa kohteiden välinen korkeusero määritetään vaakasuoran optisen tähtäyssäteen avulla. Jonovaaituksesta on kyse esimerkiksi silloin, kun rakennustyömaalle tuodaan korkeus.
14
15
16
17
18 2.2 KULMAN MITTAUS Kulman mittaus voidaan jakaa suoran kulman määrittämiseen ja mielivaltaisen kulman mittaukseen. Suoran kulman mittaus voi tapahtua mittanauhalla käyttäen hyväksi Pythagoran lukuja 3, 4 ja 5 tai niiden kerrannaisia Toinen mahdollisuus on käyttää suorakulmaprismaa.
19 Mielivaltaisen mittaukseen kulman käytettävä mittalaite on teodoliitti. TEKNISET TIEDOT DT-101 DT-102 DT-103 DT-104 DT-106 Kulmatarkkuus 0.6 mgon Pienin lukema 0.2 mgon Paristojen k-aika 12 h
20 2.3 PITUUDEN MITTAUS Pituuden mittauksessa käytettävät menetelmät ovat lähinnä mekaanisia ( mittanauha, mittapyörä ) tai elektro-optisia ( takymetri ). Periaatteessa esim. vaaituskojeella voidaan mitata myös etäisyyksiä ( optinen pituuden mittaus ), mutta menetelmällä ei juuri ole merkitystä rakentamisen mittauksissa.
21
22
23
24 3 KIINTOPISTEET 3.1. YLEISTÄ Kiintopisteet muodostavat yhteyden koordinaatiston ( suunnitelmakartan ) ja maaston välille. Tasokiintopisteet ovat yksikäsitteisesti ja pysyvästi maastoon merkittyjä kiintopisteitä, joiden X- ja Y-koordinaatit ( P- ja I-koordinaatit ) tunnetaan tarkasti. Ne merkitään kallioon, maaperäkiveen tai muuhun pysyvään ( ja mielelllään ei routivaan ) kohteeseen putkella tai reikäpäisellä pultilla. Korkeuskiintopisteestä tunnetaan korkeuskoordinaatti ( Z tai H ). Se merkitään yleensä pallopäisellä pultilla. Kiintopisteiden koordinaattien määrittämistä sanotaan runkomittaukseksi. Runkopisteet luokitellaan kummassakin verkossa eri luokkiin ( luokat 1-6 ). Yleensä luokkien 1-3- määrittämisestä vastaa valtakunnallinen viranomainen ( maanmittauslaitos ) ja luokista 4 6 paikallinen viranomainen ( kunta ). Luokkien 4 6 pisteistä käytetään myös nimityksiä peruskiintopisteet ja käyttökiintopisteet. Lisäksi esim tielaitos rakentaa ja mittaa runkopisteitä omaa tarvettaan varten. 1. Luokan pisteiden välinen etäisyys on suurin ja ne ovat lähinnä lähtöpisteitä alemmanasteiselle verkolle..
25 Kiintopisteiden tiedot on saatavissa pisteselityskorteista, jotka pisteet mitannut viranomainen arkistoi
26
27 Kiintopisteverkkoa
28 3.2 KIINTOPISTEIDEN MÄÄRITTÄMINEN 3.21 TASOPISTEET KOLMIOMITTAUS - UUDEN PISTEEN MÄÄRITTÄMINEN TAPAHTUU KOLMIOIDEN AVULLA - TAVOITE: UUDELLE PISTEELLE 4 HAVAINTOA - TASOITUSLASKUILLA SAADAAN SOVELLETTAVA ARVO - PERINTEINEN KOLMIOMITTAUS ON JÄÄNYT SYRJÄÄN SATELLIITTI MITTAUSTEN YLEISTYESSÄ ( satelliittimittauksissa mitataan kolmioverkon sivujen pituuksia kolmiomittauksissa mitattiin alunperin kolmion sivujen välisiä kulmia ja niistä päästiin kiinni sivujen pituuksiin )
29 - MONIKULMIOJONOMITTAUS - MAASTOON MERKITYT PISTEET MUODOSTAVAT JONON, JOSSA KAHDELLA PERÄKKÄISELLÄ PISTEELLÄ AINA NÄKÖYHTEYS - TUNNETTUJA PISTEITÄ LÄHTÖPÄÄSSÄ 2 JA SULKUPÄÄSSÄ 2 KPL - MITATAAN KULMAT JA ETÄISYYDET - JONO ALKAA LÄHTÖSUUNNASTA JA LÄHTÖPISTEEN KOORDINAATEISTA - JONO PÄÄTTYY SULKUSUUNTAAN JA SULKUPISTEEN KOORDINAATTEIHIN -
30 Geodeettiset leikkaukset Yksittäisten pisteiden määritystapoja ( sovelletaan esim rakennustyömaan mittauksissa) eteenpäinleikkaus taaksepäinleikkaus kaarileikkaus
31
32 3.2. KORKEUSPISTEET - JONOVAAITUS
33
34 3.3 TARKKUUKSISTA Mittausten tarkkuutta arvioidaan suhteellisena tarkkuutena, joka tarkoittaa pistevirheen suhdetta pisteiden väliseen etäisyyteen. Peruskiintopisteet tasotarkkuus 20 ppm korkeus 5 ppm Käyttökiintopisteet tasotarkkkuus ppm korkeustarkkuus ppm ( pienemmät tarkkuusvaatimukset koskevat ranta-alueiden karttatöitä ) Esim. Kahden kiintopisteen etäisyys toisistaan on 200 m. Sallitut virheet ovat käyttökiintopisteille taajama-alueilla siten 50 x 10-6 x 200 m = 0.01 m eli 1 cm ( siis sama taso- ja korkeuskoordinaateille )
35 4. MITTAUSTEKNIIKAN PERUSLASKUT Käsitteitä: Geodesian tasokoordinaatistossa X-akseli kasvaa pohjoiseen ja Y-akseli itään ( voidaan käyttää myös nimityksi P- ja I-akseli ). Kulmina käytetään gooneja. Ympyrä jakautuu 400 gooniin ( edelleen 1gon= 100c (sekunttia ) ja 1 c=100cc ( minuuttia ). Laskimissa on siten käytettävä oikeaa kulmayksikköä. Suoran suuntakulma t on suoran ja X (P)-akselin välinen kulma mitattuna X (P)-akslista myötäpäivään. X t Suoran suuntakulma Y
36 Geodeettinen päätehtävä: On laskettava uuden pisteen koordinaatit, kun tunnetaan lähtöpiste ja sen koordinaatit. Lisäksi tiedetään suunta, missä uusi piste on ja millä etäisyydellä se on. Lähtöpisteen ( piste A ) koordinaatit ovat X A ja Y A. Uusi piste P on suunnassa t AP ja etäisyydellä s AP pisteestä A. On laskettava uuden pisteen koordinaatit X P Y P. Esim. Pisteen 10 koordinaatit ovat: (X/P koordinaatti ) ja ( Y/P-koordinaatti ). Uusi piste 11 on m:n päässä pisteestä 10 suunnassa Laske uuden pisteen koordinaatit. X 11 = X 10 + s cos t Y 11 = Y 10 + s sin t X 11 = cos ( ) Y 11 = sin ( )
37 Geodeettinen käänteistehtävä: On laskettava kahden tunnetun pisteen välinen etäisyys ja niiden muodostaman suoran välinen suuntakulma Etäisyys S AB = Y B Y A 2 X B X A 2 Suuntakulma T AB = arc tan Y X B B YA X A On laskettava pisteiden välinen etäisyys ja pisteiden muodostaman suoran Esim. pisteiden 10 ja 11 koordinaatit ovat X/P Y/I suuntakulma. X-koordinaattien erotus on = Y-koordinaattien erotus on = Etäisyys: = Suoran suuntakulma: arc tan = HUOM! Pisteiden keskinäinen sijainti on aina tarkasteltava, jotta suuntakulma tulee oikein.
38 5. PAIKALLEENMITTAUS PIIRRETYN SUUNNITELMAN ELI KARTALLA OLEVIEN PISTEIDEN MERKITSEMINEN MAASTOON -ESIM. KAAVATONTTIEN, TIELINJAN, RAKENNUKSEN NURKKAPISTEIDEN, ANTUROIDEN NURKKAPISTEIDEN MAASTOON MERKITSEMINEN 5.1. EDELLYTYKSET: - SUUNNITELMA - MAASTOSSA RUNKOPISTEISTÖ - MAASTON RUNKOPISTEISTÖ PITÄÄ NÄKYÄ MYÖS SUUNNITELMASSA - MITTAUSKALUSTO
39
40
41 5.2. MENETELMÄT Paikalleenmittaus voidaan suorittaa joko suorakulmaisella tai säteettäisellä menetelmällä riippuen siitä, mitä mittausvälineitä on käytettävissä ja mihin tarkkuuteen tulee päästä. SUORAKULMAINEN MENETELMÄ a-mitta b-mitta SÄTEETTÄINEN MENETELMÄ α s Jos tunnetaan toiset mitat, niin toiset voidaan laskea a= S cos α b= S sin α S= a 2 + b 2 α = arctan ( b/a )
42 5.3. MITTOJEN MÄÄRITYS - GRAAFISESTI - MITAT MÄÄRITETÄÄN SUUNNITELMASTA MITTAAMALLA - LASKENNALLISESTI - MÄÄRITETÄÄN MERKITTÄVIEN PISTEIDEN KOORDINAATIT - LASKETAAN KOORDINAATEISTA MITAT 5.4. KÄYTÄNNÖN TYÖJÄRJESTYS RUNKOPISTEISTÖN TÄYDENNYS Mitataan uusia koordinaateiltaan tunettuja pisteitä ( monikulmiojono takymetrillä tai satelliittimittauksella, geodeettiset leikkaukset )
43 5.4.2 KOORDINAATTIEN MÄÄRITYS - SUUNNITELMASTA DIGITOINTIPÖYDÄLLÄ TAI KUVARUUDULLA - SUUNNITELMAN MITOISTA LASKEMALLA ( ESIM. ASEMAPIIRROS ) - TULKITSEMALLA SUUNNITELMAA HUOM. USEASTI JÄRKEVÄÄ KÄYTTÄÄ "OMAA KOORDINAATISTOA"
44 5.4.3 KOORDINAATIT MITTALAITTEEN MUISTIIN - MIKROLTA TIEDONSIIRROLLA - KÄSIN NÄPYTTELEMÄLLÄ MITTAUSTAPAHTUMA - ASEMAPISTEENÄ TUNNETTU PISTE - ASEMAPISTEENÄ TUNTEMATON PISTE ( VAPAA ASEMAPISTE) EDELLYTTÄÄ MITTALAITTEELTA KYKYÄ LASKEA SIJAINTINSA ( TAAKSEPÄINLEIKKAUS, HELMERTIN MUUNNOS)
45
46 5.5 PAIKALLEENMITTAUKSEN TARKKUUS 5.51 VAIKUTTAVAT TEKIJÄT: - KOJEEN SIJAINNIN MÄÄRITTÄMISEN TARKKUUS ( ulkoinen virhe ) - KESKISTYS - SUUNNAN MÄÄRITYS - VAPAAN ASEMAPISTEEN MÄÄRITYKSEN TARKKUUS - KOJEEN MITTAUSTARKKUUS ( sisäinen virhe ) - ETÄISYYS - KULMAT - MERKITSEMISVÄLINEET PRISMAN KORKEUS SAUVAN KÄRJEN PAKSUUS
47 5.52 TARKKUUSVAATIMUKSIA - KIINTEISTÖN NURKKAPISTEIDEN ( RAJAMERKKIEN ) SIJAINTITARKKUUS Taajamat m Ranta-alueet 0.16 m - TIEN RAKENTAMISEN TARKKUUS TIEN TASOSIJAINTI m MITTAUKSEN TARKKUUS RAKENTAMISEN TARKKUUS - TALONRAKENTAMISEN TARKKUUS ( RT ) KÄYTTÖPISTEIDEN TARKKUUS
48 6. SATELLIITTIMITTAUKSET Paikan määritys perustuu signaalin kulkuajan määritykseen tai vastaanottimen ja satelliitin välisen signaalin kokonaisaaltojen lukumäärän määritykseen
49
50 8. KARTOITUS / ILMAKUVAUS
51
52
53
54
55
56
57
58
TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti
TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (
LisätiedotPieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen
Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Mittausten laadun tarkastus ja muunnoskertoimien laskenta Kyösti Laamanen 2.0 4.10.2013 Prosito 1 (9) SISÄLTÖ 1 YLEISTÄ...
LisätiedotMaanmittauspäivät 2014 Seinäjoki
Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Parempaa tarkkuutta satelliittimittauksille EUREF/N2000 - järjestelmissä Ympäristösi parhaat tekijät 2 EUREF koordinaattijärjestelmän käyttöön otto on Suomessa sujunut
LisätiedotSINI- JA KOSINILAUSE. Laskentamenetelmät Geodeettinen laskenta - 1-1988-1999 M-Mies Oy
SINI- JA KOSINILAUSE SINILAUSE: Kolmiossa kulman sinien suhde on sama kuin kulman vastaisten sivujen suhde. Toisin sanoen samassa kolmiossa SIN Kulma / Sivu = Vakio (Jos > 100 gon: Kulma = 200 kulma).
LisätiedotKIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa
KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa ESITYKSEN SISÄLTÖ: Koordinaattijärjestelmän uudistus (EUREF-FIN) Korkeusjärjestelmän uudistus (N2000) MML:n tasokiintopistemittaukset MML:n korkeuskiintopistemittaukset Mittaukset
Lisätiedot1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen
1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki
LisätiedotJHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä
JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä EUREF-II -päivä 2012 Marko Ollikainen Kehittämiskeskus Maanmittauslaitos MAANMITTAUSLAITOS TIETOA MAASTA Mittausohjeiden uudistamisesta
LisätiedotJUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta
JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 6: EUREF-FIN:n ja KKJ:n välinen kolmiulotteinen yhdenmuotoisuusmuunnos ja sen tarkkuus Versio: 1.0 / 3.2.2016
LisätiedotGeometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
LisätiedotKIINTOPISTEREKISTERI N2000-LASKENTATILANNE Matti Musto / Etelä-Suomen maanmittaustoimisto
KIINTOPISTEREKISTERI N2000-LASKENTATILANNE 1.1.2010 Matti Musto / Etelä-Suomen maanmittaustoimisto KORKEUSKIINTOPISTELUOKITUS Ensimmäisen luokan vaaitussilmukat, sekä niiden sisäpuolella sijaitsevat, Maanmittauslaitoksen
LisätiedotRAPORTTI 04013522 12lUMVl2001. Urpo Vihreäpuu. Jakelu. OKMElOutokumpu 2 kpl PAMPALON RTK-KIINTOPISTEET. Sijainti 1:50 000. Avainsanat: RTK-mittaus
RAPORTTI 04013522 12lUMVl2001 Urpo Vihreäpuu Jakelu OKMElOutokumpu 2 kpl PAMPALON RTK-KIINTOPISTEET - 4333 07 Sijainti 1:50 000 Avainsanat: RTK-mittaus OUTOKUMPU MINING OY Mairninetsnnta RAPORTTI 04013522
LisätiedotGPS-koulutus Eräkarkku Petri Kuusela. p
GPS-koulutus 2018 Eräkarkku Petri Kuusela tulirauta@gmail.com p. 040 772 3720 GPS toiminnallisuudet Missä olen (koordinaatit, kartalla) Opasta minut (navigointi) Paljonko matkaa (navigointi maastossa)
LisätiedotSuorakulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2
LisätiedotKorkeusjärjestelmän muutos ja niiden sijoittuminen tulevaisuuteen
Rakennusvalvontamittaus 15.02.2010-> Korkeusjärjestelmän muutos ja niiden sijoittuminen tulevaisuuteen Ongelmat suurimmillaan parin vuoden kuluttua, kun maastossa on yhtä paljon uuden korkeusjärjestelmän
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotEUREF-FIN/N2000 käyttöönotto Helsingissä
EUREF-FIN/N2000 käyttöönotto Helsingissä http://www.hel.fi/hki/kv/fi/kaupunkimittausosasto/kartat+ja+paikkatiedot/koordinaatisto Muutokset Helsngissä: Korkeusjärjestelmä: Tasokoordinaatisto: Pohjoiskoordinaatti
LisätiedotLuento 5: Stereoskooppinen mittaaminen
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen AIHEITA Etäisyysmittaus stereokuvaparilla Esimerkki: "TKK" Esimerkki: "Ritarihuone"
LisätiedotMÄÄRÄYS MITTAUSTEN TARKKUUDESTA JA RAJAMERKEISTÄ KIINTEISTÖTOIMITUKSISSA
MÄÄRÄYS MITTAUSTEN TARKKUUDESTA JA RAJAMERKEISTÄ KIINTEISTÖTOIMITUKSISSA 1. Johdanto... 2 1.1. Määräyksen soveltamisala... 2 1.2. Termit, määritelmät ja lyhenteet... 2 2. Mittausluokat... 5 3. Koordinaattijärjestelmät...
LisätiedotOUTOKUMPU OY 0 K MALMINETSINTA
Q OUTOKUMPU OY 0 K MALMINETSINTA TUTKIMUSRUNGON MITTAUS SUOMUSSALMEN AITTOJARVELLA Vanha lin joitus Alueella oli tavanomainen geofysikaalisia mittauksia varten tehty linjoitus, johon myös kairaus on sidottu.
LisätiedotEUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA
1 (10) EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA 5.3.2012 2 (10) Sisältö: 1 Johdanto... 3 1.1 Muunnosasetukset paikkatieto-ohjelmistoissa... 3 1.2 Lisätiedot... 3 2 Korkeusjärjestelmän muunnos NN
LisätiedotUusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä
Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Markku Poutanen Geodeettinen laitos Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Taustaa Uuden koordinaattijärjestelmän perusteet JHS ja käyttöönotto Uusi korkeusjärjestelmä
LisätiedotRadiotekniikan sovelluksia
Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina
LisätiedotETRS89- kiintopisteistön nykyisyys ja tulevaisuus. Jyrki Puupponen Kartastoinsinööri Etelä-Suomen maanmittaustoimisto
ETRS89- kiintopisteistön nykyisyys ja tulevaisuus Jyrki Puupponen Kartastoinsinööri Etelä-Suomen maanmittaustoimisto Valtakunnalliset kolmiomittaukset alkavat. Helsingin järjestelmä (vanha valtion järjestelmä)
LisätiedotTURKU. http://fi.wikipedia.org/wiki/turku
Turun kaupungin maastomittauspalvelut ja koordinaaattijärjestelmän vaihto käytännössä Tampereen seutukunnan maanmittauspäivät Ikaalisten kylpylässä 17.-18.3.2010, Harri Kottonen Kuka Harri Kottonen, Mittaustyöpäällikkö
LisätiedotLuento 4 Georeferointi
Luento 4 Georeferointi 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)
Lisätiedot2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
LisätiedotTämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.
MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan
Lisätiedot1) Maan muodon selvittäminen
1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Lisätiedot33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ
TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien
LisätiedotGeodeettisen laitoksen koordinaattimuunnospalvelu
Geodeettisen laitoksen koordinaattimuunnospalvelu Janne Kovanen Geodeettinen laitos 10.3.2010 Koordinaattimuunnospalvelusta lyhyesti Ilmainen palvelu on ollut tarjolla syksystä 2008 lähtien. Web-sovellus
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMittajärjestelmät ja mittasuositukset.
Mittajärjestelmät ja mittasuositukset. Hannu Hirsi Johdanto: Mittajärjestelmien tarkoitus: Helpottaa eri toimijoiden järjestelmien ja osien yhteensovittamista : suunnittelua, valmistusta, asentamista,
LisätiedotEUREF ja GPS. Matti Ollikainen Geodeettinen laitos. EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo
EUREF ja GPS Matti Ollikainen Geodeettinen laitos EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo Kuinka EUREF sai alkunsa? EUREF (European Reference Frame) o Perustettiin Kansainvälisen geodeettisen
LisätiedotJHS 154 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako
JHS 154 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako Versio: Julkaistu: Voimassaoloaika: Toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto... 1 2 Soveltamisala... 2 3 Viittaukset...
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015
MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015 Tehtäviin sisältyy Merikiikarin avulla suoritettavia mittauksia ja trigonometrian avulla suoritettavia laskutehtäviä. Tarvikkeet: Merikiikarit,
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotLuento 6: 3-D koordinaatit
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004
LisätiedotLeica Sprinter Siitä vain... Paina nappia
Sprinter Siitä vain... Paina nappia Sprinter 50 Tähtää, paina nappia, lue tulos Pölyn ja veden kestävä Kompakti ja kevyt muotoilu Virheettömät korkeuden ja etäisyyden lukemat Toiminnot yhdellä painikkeella
LisätiedotOSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.
OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja
Lisätiedot15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
LisätiedotAVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla
AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman
LisätiedotLuento 4 Georeferointi Maa Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 4 Georeferointi 2007 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Sisältö Georeferointi käsitteenä Orientoinnit Stereokuvaparin mittaus Stereomallin ulkoinen orientointi (= absoluuttinen orientointi)
LisätiedotJHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 2. Aiemmat korkeusjärjestelmät ja niiden väliset muunnokset
JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 2. Aiemmat korkeusjärjestelmät ja niiden väliset muunnokset Versio: 1.0 Julkaistu: 6.9.2019 Voimassaoloaika: toistaiseksi 1 Aiemmat suomalaiset korkeusjärjestelmät
LisätiedotGarmin GPSmap 60CSx -laite
Garmin GPSmap 60CSx -laite GPS koulutus 20.6.2007 PAIKKATIETOPAJA -hanke Näppäimet ja laitteen osat Power - virta päälle/pois, taustavalon säätö Keinunäppäin valitse vaihtoehtoja / kenttiä, syötä tietoja,
LisätiedotKartografian historiaa ja perusteita. Taru Tiainen
Kartografian historiaa ja perusteita Taru Tiainen 18.4.2016 Alkutehtävä Piirrä Joensuun kartta Aikaa n. 5 minuuttia Alkutehtävä Mikä vaikuttaa karttasi tekoon? Miksi kartta on näköisensä? Mitä tämän tehtävän
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotGeotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006
Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006 Satelliittimittauksen tulevaisuus GPS:n modernisointi, L2C, L5 GALILEO GLONASS GNSS GPS:n modernisointi L2C uusi siviilikoodi L5 uusi taajuus Block
LisätiedotKolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotJHS 154 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako, Liite 1: Projektiokaavat
LUONNOS 008-09-0 JHS 15 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako, Liite 1: Projektiokaavat Versio: Julkaistu: Voimassaoloaika: Toistaiseksi Transverse Mercator-projektiolle
LisätiedotRakennustyömaan mittaustyöt takymetrillä
Saimaan ammattikorkeakoulu Tekniikka Lappeenranta Rakennusalan työnjohdon koulutusohjelma Kari Koikkalainen Rakennustyömaan mittaustyöt takymetrillä Opinnäytetyö 2012 Tiivistelmä Kari Koikkalainen Rakennustyömaan
LisätiedotTrigonometriset funktiot
Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia
LisätiedotKOORDINAATTI- JA KORKEUS- JÄRJESTELMÄT. Infrasuunnittelijan opas
KOORDINAATTI- JA KORKEUS- JÄRJESTELMÄT Infrasuunnittelijan opas Petra Brunnila Opinnäytetyö Huhtikuu 2012 Rakennustekniikka Infrarakentaminen TIIVISTELMÄ Tampereen ammattikorkeakoulu Rakennustekniikka
LisätiedotTasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
Lisätiedot[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]
2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...
LisätiedotSatelliittipaikannus
Kolme maailmalaajuista järjestelmää 1. GPS (USAn puolustusministeriö) Täydessä laajuudessaan toiminnassa v. 1994. http://www.navcen.uscg.gov/gps/default.htm 2. GLONASS (Venäjän hallitus) Ilmeisesti 11
Lisätiedot* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotKolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.
1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.
LisätiedotRaidegeometrian geodeettiset mittaukset osana radan elinkaarta
Raidegeometrian geodeettiset mittaukset osana radan elinkaarta Suunnittelija (Maanmittaus DI) 24.1.2018 Raidegeometrian geodeettisen mittaukset osana radan elinkaarta Raidegeometrian geodeettisilla mittauksilla
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotOHJELMOITAVA LASKIN SHARP EL-9400 PEREHTYMINEN ERIKOISNÄPPÄIMIIN
OHJELMOITAVA LASKIN SHARP EL-9400 PEREHTYMINEN ERIKOISNÄPPÄIMIIN Virta päälle ja pois Ohjelmatila päälle Paluu laskintilaan yleisesti!!! Laskinasetukset: Kulma yms. A.Kontr. B.Muisti (EI: C-E) Luku muistipaikkaan
Lisätiedot2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä
LisätiedotRauman kaupungin siirtyminen EUREF-FIN-tasokoordinaatistoon ja N2000-korkeusjärjestelmään. Ari-Pekka Asikainen kiinteistö- ja mittaustoimi 13.9.
Rauman kaupungin siirtyminen EUREF-FIN-tasokoordinaatistoon ja N2000-korkeusjärjestelmään Ari-Pekka Asikainen kiinteistö- ja mittaustoimi 13.9.2012 Johdanto sisältöön Menneiden ja nykyisten järjestelmien
LisätiedotJHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 2: Projektiokaavat
JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 2: Projektiokaavat Versio: 1.0 / 5.2.2016 Julkaistu: 5.4.2016 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1
LisätiedotAvainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma
OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään
LisätiedotEUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010
EUREF-FIN JA KORKEUDET Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN:n joitain pääominaisuuksia ITRF96-koordinaatiston kautta globaalin koordinaattijärjestelmän paikallinen/kansallinen realisaatio
LisätiedotKONTTIJARVEN ALUEEN KIINTOPISTEET JA KAIRAREIKIEN KOORDINAATIT KKJ-KOORDINAATISTOSSA
RAPORTTI 04013522 12lUMVl2001 Urpo Vihreapuu Jakelu OKMElOutokumpu 1 kpl OKMElRovaniemi 2 kpl KONTTIJARVEN ALUEEN KIINTOPISTEET JA KAIRAREIKIEN KOORDINAATIT KKJ-KOORDINAATISTOSSA Sijainti 1:50 000 Avainsanat:
LisätiedotSTATIIKKA. TF00BN89 5op
STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
LisätiedotM 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset
Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
LisätiedotKolmiot, L1. Radiaani. Kolmiolauseet. Aiheet. Kulmayksiköt, aste. Radiaani. Suorakulmainen kolmio. Kolmiolauseet
Kolmiot, L1 Kulmayksiköt 1 Aste, 1 (engl. degree) Kun kellon viisari kiertyy yhden kierroksen, sanomme, että se kääntyy 360 (360 astetta). Ajatus täyden kierroksen jakamisesta 360 asteeseen, juontaa kaldealaiseen
LisätiedotKoordinaatistoista. Markku Poutanen Geodeettinen laitos. Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio
Koordinaatistoista Markku Poutanen Geodeettinen laitos Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä sisältää määritelmät, Reference system contains definitions koordinaatisto
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotMAANMITTAUSLAITOS MÄÄRÄYS 1 (1) Keskushallinto
MAANMITTAUSLAITOS MÄÄRÄYS 1 (1) Keskushallinto 31.1.2003 MML/1/012/2003 KAAVOITUSMITTAUSOHJEET Maanmittauslaitos on tänään antanut maankäyttö- ja rakennuslain (132/1999) 206 :n 3 momentissa tarkoitetut,
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotYMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne
YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotMittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä
Tasoituslaskun periaate Kun mittauksia on tehty enemmän kuin on toisistaan teoreettisesti riippumattomia suureita, niin tasoituslaskun tehtävänä ja päätarkoituksena on johtaa tuntemattomille sellaiset
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
LisätiedotTyö 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TYÖN TAVOITE Työssä perehdytään optisiin ilmiöihin tutkimalla valon kulkua linssisysteemeissä ja prismassa. Tavoitteena on saada
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotEUREF-Teemapäivä II 04.09.2012, Tieteiden talo
EUREF-Teemapäivä II 04.09.2012, Tieteiden talo KOORDINAATTI- JA KORKEUSJÄRJESTELMIEN VAIHTO Porissa ja Porin seudulla Kalervo Salonen / Seppo Mäkeläinen 04.09.2012 Miksi juuri nyt ( v. 2008 / syksy 2010
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotApua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
Lisätiedot