9 Singulaariset ratkaisut

Transkriptio

1 9 Singulaariset ratkaisut Singulaarisuus tarkoittaa, että Hamiltonin funktion minimiehto ei ksikäsitteisesti määrää ohjausta Singulaarisuus liitt usein ohjauksen suhteen lineaarisiin ssteemeihin ja kohdefunktioihin 91 Lineaariset minimiaikaongelmat Ssteemi ẋ(t) = A(t) + bu(t), (t) R n, A on n n-matriisi ja u(t) skalaari, on ohjattava minimiajassa 0 :sta maaliin G(t), kun u(t) 1 Hamiltonin funktio: Ktkentäfunktio s(t) = p T (t)b H ((t), u(t),p(t)) = 1 + p T (t)a(t) + p T (t)bu(t) Vapaa loppuaika ja H ei ole eksplisiittisesti ajan funktio H ( (t), u (t),p (t)) 0, t Onko mahdollisesti singulaarista aikaväliä [t 1, t 2 ]? Toisin sanoen milloin s(t) = 0, eli p T (t)b = 0, t [t 1, t 2 ]? 1 Toteutuu, jos p (t) = 0 t [t 1, t 2 ] Tämä ehto ei voi toteutua optimiradalla, koska tällöin H ( (t), u (t),p (t)) = 1 0, mikä johtaa ristiriitaan minimiperiaatteen kanssa 2 Toteutuu, jos b = 0, toisin sanoen kun ohjaus ei vaikuta ssteemin kättätmiseen 3 Milloin tulo p T (t)b voi hävitä jollain välillä? Koska p T (t)b 0, niin sen kaikki derivaatat häviävät ko välillä: d dt s(t) = ṗ T (t)b = 0 d k dt ks(t) = p(k) T (t)b = 0 Toisaalta singulaarivälillä p(t):n tät liittotilahtälön toteutua Tämän ratkaisu on muotoa missä c on vakiovektori ṗ (t) = A T p (t) p (t) = e AT t c, 61

2 Sijoitetaan tämä singulaarisuusehtoihin: [ T p T (t)b = 0 e c] AT t b = 0 [ ] T [ T ṗ T (t)b = 0 p T (t)ab = A T e AT t c b = e c] AT t Ab = 0 p T (t)b = 0 ṗ T (t)ab = [ p T (t)a ] [ T Ab = e c] AT t A 2 b = 0 p (n 1) T (t)b = ( 1) n [ e AT t c] T A n 1 b = 0 Kootaan n htälöä matriisimuotoiseksi htälörhmäksi [ e AT t c] T [ b Ab A 2 b A n 1 b ] = 0 T Transponoidaan: [ b Ab A 2 b A n 1 b ] [ ] T e AT t c = 0 }{{} ohjattavuusmatriisi E T Kohdasta 1 tiedetään, että p (t) 0 millään t [0, t f ], joten välttämättömäksi singulaarisuusehdoksi jää, että ohjattavuusmatriisi E on singulaarinen E on ei-singulaarinen jos ja vain jos ssteemi on tädellisesti ohjattava Näin ollen lineaarisille, stationaarisille minimiaikaongelmille: 1 Singulaarivälin olemassaolon ehto on, että ssteemi ei ole tädellisesti ohjattava 2 Jos ssteemi on tädellisesti ohjattava, singulaariväliä ei ole 92 Lineaariset minimipolttoainetehtävät Ssteemi ẋ(t) = A(t) + bu(t), (t) R n, A on n n-matriisi ja u(t) skalaari, on ohjattava minimaalisella polttoaineenkulutuksella 0 :sta maaliin G(t), kun u(t) 1 Kriteeri on muotoa J(u) = tf 0 u(t) dt, t f vapaa Hamiltonin funktio: H ((t), u(t),p(t)) = u(t) + p T (t)a(t) + p T (t)bu(t) Minimiperiaate: u (t) +p T (t)a (t) + p T (t)bu(t) u(t) + p T (t)a (t) + p T (t)bu(t) 62

3 Singulaariväli voi siis olla olemassa, jos s(t) = p T (t)b = ±10, t [t 1, t 2 ] Jos u (t) minimoi Hamiltonin funktion ja edellä mainittu ehto pätee, niin koska H :n tät olla identtisesti nolla, p T (t)a (t) = 0 Koska s(t) = ±1 koko aikavälin [t 1, t 2 ], pätee d k dt ks(t) = 0, k = 1, 2,, t [t 1, t 2 ] Välttämättömästä ehdosta H ( (t),u (t),p (t)) 0 ja minimiaikatehtävää vastaavasta analsistä saadaan Transponoidaan: [ e AT t c] T [ Ab A 2 b A n b ] = 0 T [ b Ab A 2 b A n 1 b ] T A T e AT t c = 0 }{{} ohjattavuusmatriisi E T Nt e AT t c = p (t) 0, t [t 1, t 2 ], koska jos p (t) = 0, niin p T (t)b = 0, mikä rikkoo singulaarisuusehtoa p T (t)b = ±10 Välttämätön ehto singulaarivälin olemassaololle: matriisin E T A T tulee olla singulaarinen: joko E, A tai molemmat niistä ovat singulaarisia 93 Singulaariratkaisujen analsointi Tutkitaan mahdollisuus s(t) 0 ja johdetaan siitä välttämättömät ehdot singulaariosalle 1 derivoimalla ktkentäfunktiota kerran tai tarvittaessa useammin, jolloin saadaan lisähtälöt u:n määräämiseksi (kun min H on tehoton ehto) 2 Kätä sopivissa tapauksissa ehtoa H ( (t),u (t),p (t)) 0 t (H aikainvariantti, t f vapaa) 3 Vapaan lopputilan ja kiinteän loppuajan tehtävissä reunaehdosta p(t f ) = 0 ja liittotilahtälöstä seuraa usein, että p(t) 0 koko välillä Tutkitaan saaduilla ohjauksilla tila-avaruuden alueet, joilla singulaarisuus voi esiintä ja vastaavat radat Tutkitaan, onko singulaariohjaus optimaalinen Singulaariväli voi merkitä, että optimiohjaus ei ole ksikäsitteinen Huom! Vektoriohjauksella singulaarisuus saattaa liittä vain osaan ohjauksen komponenteista 63

4 94 Esimerkki Määritä ssteemille optimaalinen ohjaus annetulla kriteerillä Hamiltonin funktio min 1 2 tf 0 ẋ 1 (t) = 2 (t) ẋ 2 (t) = u(t), u(t) 1 [ 2 1 (t) (t)] dt, t f ja (t f ) vapaat H ((t), u(t),p(t)) = (t) (t) + p 1(t) 2 (t) + p 2 (t)u(t) on lineaarinen u:n suhteen, joten ktkentäfunktio on s(t) = p 2 (t) H :n minimoiva ohjaus: u (t) = { 1, kun p2 (t) > 0 +1, kun p 2 (t) < 0 Liittotilahtälöt: ṗ 1(t) = H 1 = 1(t) ṗ 2 (t) = H = 2 (t) p 1 (t) 2 Onko singulaariväliä? Tällöin s(t) = p 2 (t) = 0, t [t 1, t 2 ] Jos p 2 (t) 0 em välillä, niin ṗ 2(t) 0 samalla välillä Sijoitetaan liittotilahtälöön: ṗ 2 (t) = 2 (t) p 1 (t) = 0, eli singulaarivälillä 2(t) = p 1(t) Kätetään ehtoa H = 0 (t f vapaa eikä H ole eksplisiittisesti ajan funktio), jolloin H ((t), u(t),p(t)) = (t) Singulaariehto toteutuu, kun 2 (t) + p 1 (t) 2 }{{ (t) } = 2 2 (t) + p 2 1 (t) (t) (t) = (t) 2 2 (t) = 0 [ 1 (t) 2 (t)][ 1 (t) + 2 (t)] = 0 1 (t) 2 (t) = 0 tai 1 (t) + 2 (t) = 0, t [t 1, t 2 ], 2 }{{} (t) u (t) = 0 =0 eli mahdolliset singulaaritrajektorit voivat sijaita vaihetason suorilla 1 = ± 2 Ratkaistaan singulaarinen ohjaus: ẋ 1(t) = ±ẋ 2(t) = 2(t) (viimeinen htäsuuruus seuraa ssteemihtälöstä) Edelleen ssteemihtälön perusteella saadaan u (t) = ± 2 (t) Huomioidaan vielä ohjausrajoitus u(t) 1, mikä rajaa mahdolliset singulaariradat oheisen kuvan katkoviivalla esitetn alueen sisäpuolelle 64

5 Koska ssteemi liikkuu origosta poispäin trajektorilla 1 = 2, tämä ei voi kuulua optimaaliseen trajektoriin Siispä ainoa singulaarisen trajektorin kandidaatti on u (t) = 2(t), kun 2 (t) 1 Kokonaisratkaisu: ohjauksilla u = ±1 trajektorit vaihetasossa ovat paraabeleja (kts edellinen luento) 2 u = 1 u =+1 1 Ktkentähetkellä t 1 { u : +1 1, kun ṗ 2(t 1 ) > 0 u : 1 +1, kun ṗ 2 (t 1) < 0 sekä s(t 1 ) = p 2(t 1 ) = 0 Koska H 0, niin p 1(t 1 ) = (t 1 ) (t 1 ) 2 (t 1) Sijoitetaan liittotilahtälöön ṗ 2 (t) = 2 (t) p 1 (t), jolloin 1 ṗ 2 (t) = 2 [ 1 (t 1) + 2 (t 1)][ 1 (t 1) 2 (t 1)] 2(t 1 ) Nt ṗ 2(t):n merkinvaihdokset vain suorilla 1 = ± 2 sekä koordinaattiakseleilla 1 = 0 ja 2 = 0 Näiden rajoittamissa alueissa vain tiett ktkennät ovat mahdollisia 65

6 1= 2 = p 2 > 0 u: u: 1 p +1 2< 0 Mitä tapahtuu, kun trajektori kohtaa singulaariosan? Jos mennään singulaariosan li, niin ei ole sallittua ktkentää (u : 1 +1), on siis jatkettava singulaaripolkua origoon 0 2 u = 1 u =+1 1 A Esim eo kuvan pisteessä A ktkentä u : 1 +1 ei kä, vaan ktkentä on tehtävä singulaariosalla Missä sitten ktketään? Olkoon hetki t 2 ja 2 (t 2 ) piste, jossa saavutetaan singulaarirata tai origo Silloin p 2 (t 2 ) = 0, vastaava p 1 (t 2 ) saadaan singulaariradan htälöstä p 1 (t 2 ) = 2 (t 2 ) Nt liittotilalle on loppuehdot, kun 2 (t 2 ) tulkitaan annetuksi parametriksi Tila- ja liittotilahtälöt on mahdollista integroida (esim numeerisesti) lopputilasta taaksepäin, kun u(t) = 1 tai u(t) = 1 Ktkentähetki on kohta, missä p 2 (t) = 0 eli edellä mainittu integrointi eri loppuarvoista (t 2 ) antaa niihin liittvät ktkentäpisteet, jotka määrittelevät ktkentäkärän: 66

7 C 2 D E 1 F Optimaalinen ohjaus on muotoa u (t) = 1, (t) C-0-F:n oikealla puolella +1, (t) C-0-F:n vasemmalla puolella 1, (t) osalla C-D +1, (t) osalla E-F 2 (t), (t) osalla D-0-E Huom! Ktkentäkärä ei ole trajektori muuta kuin singulaariosalla D-0-E 67

8 10 Ratkaisujen kvalitatiivinen vaihetasoanalsi Tarkastellaan differentiaalihtälöparia ẋ(t) = a 1 (t) + b 1 (t) ẏ(t) = a 2 (t) + b 2 (t) Ssteemin tasapainopiste, missä siis ẋ(t) = ẏ(t) = 0, on origo (t) = (t) = 0 Ratkaisu ritteellä (t) = Ae rt, (t) = Be rt, Sijoittamalla rite llä olevaan ssteemiin saadaan [ ][ ] a1 r b 1 A = a 2 b 2 r B }{{} K [ ] 0 0 Ssteemillä on ei-triviaali ratkaisu, jos Det(K) = (a 1 r)(b 2 r) b 1 a 2 = 0 Esitelln ssteemin karakteristinen htälö ja sen ratkaisut r 1 ja r 2 ovat ssteemin kerroinmatriisin ominaisarvot, jotka saadaan ratkaistua htälössteemistä Det(K) = 0 Jos r 1 r 2, ratkaisu on tppiä { (t) = A1 e r 1t + A 2 e r 2t (t) = B 1 e r 1t + B 2 e r 2t, missä B 1 = (r 1 a 1 )A 1 /b 1 ja B 2 = (r 2 a 1 )A 2 /b 1 Jos r 1 = r 2, niin ratkaisu on tppiä { (t) = (A1 + A 2 t)e rt (t) = 1 b 1 [(r a 1 )(A 1 + A 2 t) + A 2 ] e rt Ominaisarvot määräävät tasapainopisteen laadun: r 1 ja r 2 reaalisia: 1 r 1 > r 2 > 0 epästabiili napa ((t) ja (t) kasvavat rajatta) 2 r 2 < r 1 < 0 stabiili napa 3 r 1 > 0 > r 2 ja A 1 = 0 sekä A 2 0 satulapiste r 1 ja r 2 kompleksisia: 1 Re(r 1 ), Re(r 2 ) > 0 epästabiili polttopiste 2 Re(r 1 ), Re(r 2 ) < 0 stabiili polttopiste 3 Re(r 1 ), Re(r 2 ) = 0 keskus (ellipsejä tasapainopisteen mpärillä) 68

9 101 Esimerkki Tarkastellaan ssteemiä { ẋ(t) = a(t) ẏ(t) = b(t) { (t) = (0)e at (t) = (0)e bt [ ] 1 (t) (0) a = [ (t) (0) ]1 b =0 =0 a>b> 0 tasapainop =0 a<b< 0 =0 a) epästabiili napa b) stabiili napa a<0<b c) satulapiste d) epästabiili polttopiste e) keskus f) stabiili polttopiste 102 Epälineaarisen ssteemin lokaali tasapainoanalsi Olkoon ssteemihtälöt muotoa ẋ(t) = f((t), (t)), f( s, s ) = 0 ẏ(t) = g((t), (t)), g( s, s ) = 0 Linearisoidaan ssteemi tasapainopisteen ( s, s ) mpäristössä ẋ(t) = f( s, s ) +f }{{} ( s, s )( s ) + f ( s, s )( s ) =0 ẏ(t) = g( s, s ) +g }{{} ( s, s )( s ) + g ( s, s )( s ), =0 minkä jälkeen tutkitaan kerroinmatriisien ominaisarvot Tämä on Lapunovin 1 eli Lapunovin epäsuora menetelmä 69

10 103 Epälineaarisen ssteemin globaali tasapainoanalsi Kaksiulotteisille tapauksille eräs tapa on tutkia liikettä vaihetasossa Piirtäminen helpottuu etsimällä isokliinit ẋ = 0 ja ẏ = 0 Trajektorit voivat leikata isokliineja vain pst- (ẋ = 0) tai vaakasuunnassa (ẏ = 0) =0 =0 104 Esimerkki 1 Tarkastellaan liikkeen suuntaa eri alueissa =0 =0 =0 a) stabiili napa b) satulapiste =0 Ssteemiä ei linearisoida, joten saadaan globaaleja tuloksia 105 Lapunovin funktiot Lapunovin 2 eli Lapunovin suora menetelmä Lapunovin funktio kuvaa leisesti esim fsikaalisen ssteemin kokonaisenergiaa Olkoon s ssteemin ẋ = f() tasapainopiste Tasapainoon s ja ssteemiin f liittvä Lapunovin funktio V : Ω R, Ω R n ja s Ω, toteuttaa seuraavat ehdot: 1 V on jatkuva ja V () 0 kaikilla 0 (eli positiividefiniitti) 2 s on V :n ksikäsitteinen minimi Ω:ssa 3 Jos (t) Ω kaikilla t V ((t)) on t:n funktiona vähenevä n V ((t)) 0 t V V ((t)) = ẋ i (t) i i=1 = [ V ((t))] T f((t)) 0 se (t) Ω t }{{} ẋ(t) 70

11 Edellä esitett ehdot voidaan lausua seuraavassa muodossa: V : Ω R, joka on positiividefiniitti) on Lapunovin funktio, jos s Ω ja 1 V :llä on jatkuvat osittaisderivaatat Ω:ssa 2 s on V :n ksikäsitteinen minimi Ω:ssa 3 [ V ((t))] T f() 0 Ω Lause Jos alueessa Ω = B( s, R 0 ) on olemassa Lapunovin funktio V, niin tasapainopiste s on stabiili Jos lisäksi [ V ((t))] T f() < 0 (tai V () < 0), s, niin s on asmptoottisesti stabiili 106 Esimerkki 2 Olkoon ssteemihtälöt muotoa Tasapainopiste s = [ 0 0 ] T ẋ 1 = 2 ẋ 2 = 1 2, Olkoon V ( 1, 2 ) = Ehdot 1 ja 2 voimassa V ( 1, 2 ) = 2 1 ẋ ẋ 2 = ( 1 2 ) = s stabiili Huom! Asmptoottista stabiiliutta ei voi päätellä lläolevasta, sillä V ( 1, 0) = Esimerkki 3 Olkoon ssteemihtälöt muotoa ẋ 1 = 2 ẋ 2 = 1, V ( 1, 2 ) = Nt V ( 1, 2 ) = 0, eli V on liikevakio (kokonaisenergia; ẋ 1 = v, ẍ 1 = a) Trajektorit kulkevat tässä tapauksessa pitkin V :n tasa-arvokäriä 108 Esimerkki 4 Tarkastellaan alla olevassa kuvassa esitettä heiluria k g θ R heiluri M 71

12 Ssteemi MR θ = Mg sin θ Mk θ ja sen tilaesits θ = ω ω = g R sin θ k R ω Lapunovin funktio V (θ, ω) = 1 2 MR2 ω 2 + MgR(1 cosθ) on kineettisen ja potentiaalienergian summa Tasapaino [ θ ω ] T = [ 0 0 ] T V (0, 0) = 0 on ksikäsitteinen minimi V (θ, ω) = MR 2 ω ω + MgR θ sin θ = MRgω sin θ kmrω 2 + MgRω sin θ = kmrω 2 0 V on heilurin Lapunovin funktio ja tasapaino on stabiili 109 Diskontattu kohdefunktio ja -aikaväli [KS ] -aikavälin tehtävissä lopputila korvataan usein tasapainoehdolla, jos sellainen on olemassa: ẋ 0, ṗ 0 kun t Tästä saadaan tasapainoratkaisu Tämän jälkeen tulee tarkistaa, onko olemassa ksittäistä trajektoria eri alkutiloista ko tasapainoratkaisuun Jos satulapiste-ehto toteutuu, niin on olemassa ksittäinen, konvergoiva rata tasapainopisteeseen (ẋ = 0, ṗ = 0) (vain, kun ja p ovat skalaareja) Huom koska liittotila/ohjaus ovat muuttujia, ne voidaan valita niin että alkutilassa ollaan (, p)-tason sellaisessa osassa, josta päädtään tasapainoon Analsoidaan ssteemi-liittotilassteemin ominaisuuksia, mikä ei ole sama asia kuin itse ssteemin stabiilius Mös äärellisen aikavälin tehtävässä saattaa esiintä ns pikatieominaisuus: ollaan lähellä tasapainoarvoa tai tasapainoarvossa pitkän aikaa 1010 Diskonttausfunktio Liitt usein -aikavälin tehtäviin Termistä e rt aiheutuu, että liittotilahtälö on eksplisiittisesti aikariippuva Tehdään muuttujanvaihdos: p(t) = e rt p(t) H = e rt H nkarvoliittotila nkarvo-hamilton 72

13 Tästä seuraa ṗ(t) = re rt p(t) + e rt ṗ(t) = H ṗ(t) = rp(t) e rt H = rp(t) H sekä Minimiperiaate: H u = e rt H u = 0 H u = 0 ẋ (t) = f( (t), u (t)) ṗ (t) = rp (t) H ( (t), u (t), p (t)) H ( (t), u (t), p (t)) H ( (t), u(t), p (t)) Talouspuolella kätetään usein tätä minimiperiaatteen muotoa 1011 Esimerkki Onko ksikäsitteistä globaalia stead state-investointipolitiikkaa? ehdolla ma 0 e rt [P[(t)] C[u(t)]]dt, ẋ(t) = b(t) + u(t), (0) = 0 0, u(t) 0, (t) on pääoman määrä hetkellä t P[(t)] on pääoman höt u(t) on investoinnin määrä hetkellä t C[u(t)] on investoinnin kustannus b on koneiden kuluminen Oletetaan lisäksi, että C u = C uu > 0 ja C(0) = C u (0) = 0, eli C[u(t)] on konveksi ja P > 0, P < 0 ja P(0) = 0 eli P[(t)] on konkaavi H = P[(t)] C[u(t)] + p[u(t) b(t)] Liittotilahtälö H u = 0 C u[u (t)] + p = 0 C u [u (t)] = p(t) ṗ(t) = rp(t) H = rp(t) P() p(t)b = (r + b)p(t) P ((t)) Vaihetasoanalsi (, p)-tasossa: merkitään htälön C u (u ) = p ratkaisua u = g(p) = C 1 u (p) 73

14 Tämä on olemassa, koska C u on kasvava Ssteemi { ẋ = b + g(p) ṗ = (r + b)p P () 1 Isokliini ẋ = 0 g(p) = b Oletettiin, että C u (0) = 0 C 1 u (0) = 0 eli g(0) = 0 Differentioimalla C u (u) = p C uu (u)du = dp du dp = 1 C uu (u) > 0 Toisaalta du = g dp p, siis g p > 0 Toisin sanoen g kasvava p:n suhteen ja kulkee origon kautta _ p = 0 g ( p ) = b 2 Isokliini ṗ = 0 (r + b)p = P () p = P() r+b Osittaisderivoimalla :n suhteen koska P () < 0 ja r + b > 0 Isokliini on siis laskeva _ p p = P () r + b < 0, p=0 _ 3 Liikkeen suunta eri alueissa Kun g(p) > b, niin ẋ > 0 Toisin sanoen isokliinin ẋ = 0 läpuolella ẋ > 0, koska g(p) on kasvava Vastaavasti ẋ < 0 alapuolella ṗ:n merkki nähdään htälöstä ṗ = (r + b)p P () ṗ = 0:n läpuolella (r + b)p > P () ṗ > 0 ja vastaavasti alapuolella ṗ < 0 74

15 _ p _ p s ẋ=0 p=0 _ Eli stead state ( s, p s ) on satulapiste on olemassa ksikäsitteinen optimirata, joka vie stead stateen 4 Lokaali analsi Linearisoitu ssteemi ( s, p s ):n mpäristössä { ẋ = b( s ) + g p (p s )(p p s ) s ṗ = P ( s )( s ) + (r + b)(p p s ) Kerroinmatriisin ominaisarvot b k g p P r + b k = 0 k = r ± (r + 2b) 2 4g p P 2 Juurten etumerkit? g p > 0, P < 0 4g p P > 0, > 0 juuret ovat reaaliset Lisäksi > r, joten juuret ovat erimerkkiset ja kseessä on satulapiste On siis olemassa ksikäsitteinen stead state-ratkaisu ainakin lokaalisti 75