031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6
|
|
- Heikki Keskinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division
2 Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan eli arvon, jonka satunnaismuuttuja keskimääräisesti saavuttaa. Varianssi ilmoittaa, kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot keskimäärin poikkeavat odotusarvosta. Muita tunnuslukuja ovat mm. Jakauman momentit, eli satunnaismuuttujan sopivien potenssien odotusarvot; Jakauman vinous; Kvartiilit; Keskipoikkeama... Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 53
3 Odotusarvo Tarkastellaan odotusarvon määrittelyä erikseen diskreetin ja jatkuvan sm:n tapauksessa. Aloitetaan diskreetistä sm:stä. Määr. 20 Jos X on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S X = {x 1,x 2,...}, niin lukua E(X) = x k P(X = x k ) k=1 sanotaan X:n odotusarvoksi edellyttäen, että sarja suppenee. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 53
4 Odotusarvo Määr. 21 Jos X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X, niin lukua E(X) = xf X (x)dx sanotaan X:n odotusarvoksi edellyttäen, että integraali suppenee. Odotusarvolle käytetään usein merkintää E(X) = µ X tai yksinkertaisesti µ = µ X, jos sekaannuksen vaaraa ei ole. Huomautus 4 Erityisesti, jos diskreetti sm. saa vain äärellisen määrän arvoja, odotusarvo on aina olemassa. Kaikilla satunnaismuuttujilla ei ole odotusarvoa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 53
5 Esimerkki Esim. 39 Milloin satunnaismuuttujalla X, jonka pistetodennäköisyysfunktio on muotoa P(X = k) = c 1 k p, k = 1,2,...; tiheysfunktio on f(x) = c 1 (1+x 2 ) p, x R, on odotusarvo? Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 53
6 Diskreettien jakaumien odotusarvoja (1/2) Binomijakauman, X Bin(n, p), odotusarvo on E(X) = np. Geometrisen jakauman, X Geo(p), odotusarvo on E(X) = 1 p. Poissonin jakauman, X Poi(a), odotusarvo on E(X) = a. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 53
7 Diskreettien jakaumien odotusarvoja (2/2) Laskentakaavojen intuitiivinen perustelu: Binomijakaumalle E(X) = np, sillä yksittäisessä toistossa onnistumisen tn. on p, joten pitkässä juoksussa onnistumisten lkm. on np. Geometriselle jakaumalle E(X) = 1 p, sillä pitkässä juoksussa keskimääräinen onnistumisten lkm. per yritysten lkm. on p, joten keskimääräinen yritysten lkm. per onnistuminen on 1/p. Poissonin jakaumalle E(X) = a on selvä, jos Poissonin jakauma ajatellaan binomijakauman raja-jakaumana. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 53
8 Kuvia Kuvissa on esitetty sm:ien X Bin(50, 0.2) ja X Poi(5) pistetodennäköisyysfunktiot ja merkitty odotusarvo. Kuva : X Bin(50, 0.2) ja E(X) = 10 Kuva : X Poi(5) ja E(X) = 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 53
9 Jatkuvien jakaumien odotusarvoja Tasajakauman, X Tas(a,b), odotusarvo on E(X) = a+b 2. Eksponenttijakauman, X Exp(λ), odotusarvo on E(X) = 1 λ. Normaalijakauman, X N(µ,σ 2 ), odotusarvo on E(X) = µ. Weibullin jakauman, X Wei(α, β), odotusarvo on missä E(X) = α 1/β Γ(1+1/β), α,β > 0, Γ(x) = on Eulerin Gamma-funktio. 0 t x 1 e t dt, x > 0, Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 53
10 Kuvia Kuvissa on esitetty sm:ien X N(100,25) ja X Exp( 1 2 ) tiheysfunktiot ja merkitty odotusarvo. Kuva : X N(100, 25) ja E(X) = 100 Kuva : X Exp( 1 2 ) ja E(X) = 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 53
11 Esimerkkejä Esim. 40 Heitetään kolikkoa 3 kertaa. Olkoon X kruunujen lukumäärä. Laske odotusarvo E(X). Esim. 41 Jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on x, 0 x < 1, f X (x) = 2 x, 1 x 2, 0, muulloin. Laske X:n odotusarvo. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 53
12 Esimerkkejä Esim. 42 Teräväpiirtotelevisiota (HDTV) on lyhyessä ajassa myyty kappaletta. Jokaisessa näistä on yksi kappale komponenttia A, jonka kestoikä on eksponenttijakautunut odotusarvona 4 vuotta. Millä todennäköisyydellä komponentti A kestää ainakin vuoden? HDTV:n takuu on vuoden. Kuinka monen HDTV:n komponentti A joudutaan keskimäärin vaihtamaan takuun puitteissa? Komponentti on halpa (3 euroa), mutta sen uusimiseen liittyvä asennuskulu on 55 euroa. Kuinka paljon kuluja on odotettavissa takuuna uusittavista komponenteista ja niiden asennuksista? Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 53
13 Muunnoksen Y = h(x) odotusarvo Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan satunnaismuuttujien muunnoksia. Oletetaan, että X on satunnaismuuttuja ja h : R R sellainen funktio, että Y = h(x) on satunnaismuuttuja (vrt. Lause 7, s.17). Jos X on diskreetti sm., saadaan Lause 11 Muunnoksen Y = h(x) odotusarvo on E(Y) = E(h(X)) = i:x i S X h(x i )P(X = x i ) edellyttäen, että sarja suppenee itseisesti, eli i:x i S X h(x i ) P(X = x i ) <. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 53
14 Muunnoksen odotusarvo Jos taasen X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X, saadaan Lause 12 Muunnoksen Y = h(x) odotusarvo on E(Y) = E(h(X)) = h(x)f X (x)dx edellyttäen, että integraali suppenee itseisesti, eli h(x) f X (x)dx <. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 53
15 Esimerkkejä Esim. 43 Olkoon Θ välille ] π 2, π 2 [ tasajakautunut kulma ja Y = tan(θ). Määrää (mikäli mahdollista) Y :n odotusarvo. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 53
16 Esimerkkejä Esim. 44 Oletetaan, että tuotteen laatutappio on ke((x m) 2 ), missä k on verrannollisuuskerroin ja m suureen X tavoitearvo tuotannossa. Olkoon laitteen kulutuskesto X (kk) Weibull-jakautunut parametrien arvoilla α = 0,40 ja β = 1 2. Laitteen tuottaja tavoitteli tuotteelleen 100 kk:n kulutuskestoa. Mikä oli tuotteen kulutuskeston laatutappio, kun verrannollisuuskerroin oli k = 0,1? Tuottaja pyrki säätämään tuotantoaan siten, että parametrin β arvo pysyi kiinteänä ja parametrin α arvo muuttui. Millä α:n arvolla kulutuskeston tavoitearvo ja odotusarvo ovat yhtä suuret? (E(X) = α β( 1 1 β )! ja E(X 2 ) = α β( 2 2 β )!, kun 1 β N.) Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 53
17 Varianssi Tarkastellaan varianssin määrittelyä erikseen diskreetin ja jatkuvan sm:n tapauksessa. Aloitetaan diskreetistä sm:stä. Määr. 22 Jos X on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S X = {1,2,...} ja odotusarvo µ X, niin lukua D 2 (X) = k:x k S X (x k µ X ) 2 P(X = x k ) sanotaan X:n varianssiksi ja merkitään D 2 (X) = Var(X) = σ 2 X edellyttäen, että sarja suppenee. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 53
18 Varianssi Vastaavasti jatkuvan sm:n tapauksessa määritellään Määr. 23 Jos X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X ja odotusarvo µ X, niin lukua D 2 (X) = (x µ X ) 2 f X (x)dx sanotaan X:n varianssiksi ja merkitään D 2 (X) = Var(X) = σ 2 X edellyttäen, että integraali suppenee. Lukua σ X = Var(X) sanotaan satunnaismuuttujan X keskihajonnaksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 53
19 Varianssi Jos katsotaan varianssin määritelmää ja verrataan sitä muunnoksen h(x) = (X µ X ) 2 odotusarvoon, niin havaitaan, että itse asiassa varianssi on muunnoksen h(x) odotusarvo ja siten Var(X) = E((X E(X)) 2 ). Edellisestä yhtäsuuruudesta saadaan varianssille seuraava hyödyllinen laskentakaava Lause 13 Olkoon X satunnaismuuttuja, jolla on varianssi. Tällöin Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 53
20 Esimerkki Esim. 45 Oletetaan, että X N(0,1). Tällöin Y = e X noudattaa ns. log-normaalijakaumaa. Määrää Y :n odotusarvo ja varianssi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 53
21 Diskreettien jakaumien variansseja Binomijakauman, X Bin(n, p), varianssi on Var(X) = np(1 p). Geometrisen jakauman, X Geo(p), varianssi on Var(X) = 1 p p 2. Poissonin jakauman, X Poi(a), varianssi on Var(X) = a. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 53
22 Jatkuvien jakaumien variansseja Tasajakauman, X Tas(a,b), varianssi on Var(X) = (b a)2 12. Eksponenttijakauman, X Exp(a), varianssi on Var(X) = 1 a 2. Normaalijakauman, X N(µ,σ 2 ), varianssi on Var(X) = σ 2. Weibullin jakauman, X Wei(α, β), varianssi on Var(X) = α 2/β (Γ(1+2/β) Γ(1+1/β) 2 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 53
23 Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia Lause 14 Jos sm. X on todennäköisyydellä yksi vakio a, ts. P(X = a) = 1, niin E(X) = a ja Var(X) = 0. Kääntäen, jos Var(X) = 0, niin P(X = a) = 1 jollekin a R. Lause 15 Jos X ja Y ovat satunnaismuuttujia ja a, b R, niin E(aX + by) =ae(x)+be(y), Var(aX + by) =a 2 Var(X)+b 2 Var(Y) + 2abE((X E(X))(Y E(Y))) edellyttäen, että em. suureet ovat äärellisiä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 53
24 Ominaisuuksia Lause 16 Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin E(XY) = E(X)E(Y), Var(aX + by) = a 2 Var(X)+b 2 Var(Y) edellyttäen, että em. suureet ovat äärellisiä. Edellinen tulos pätee myös n:n riippumattoman sm:n tapauksessa. Korollaari 2 Jos X 1,...,X n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joilla on odotusarvo ja varianssi, ja a 1,...,a n R, niin E(X 1 X n ) = E(X 1 ) E(X n ), Var(a 1 X 1 + +a n X n ) = a 2 1 Var(X 1)+ +a 2 n Var(X n). Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 53
25 Esimerkkejä Esim. 46 Olkoon X N(µ,σ 2 ). Laske standardisoidun satunnaismuuttujan Z = X µ σ odotusarvo ja varianssi. Esim. 47 Kytketään 100 sähkövastusta yhteen. Jokaisen vastuksen resistanssi on tasaisesti jakautunut 90 Ω ja 110 Ω välille. Oletetaan, että sähkövastukset ovat toisistaan riippumattomia. Määrää systeemin (a) kokonaisresistanssin odotusarvo ja varianssi, kun vastukset on kytketty sarjaan. (b) kokonaisresistanssin käänteisluvun odotusarvo ja varianssi, kun vastukset on kytketty rinnan. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 53
26 Todennäköisyyslaskennan raja-arvolauseita Tilastollisessa tutkimuksessa tehdään aineistojen pohjalta päätelmiä tutkittavasta ilmiöstä. Tehtäessä ilmiöstä riippumattomia havaintoja, on toivottavaa, että havaintojen lukumäärän kasvaessa saadaan yhä varmemmin oikea kuva todellisuudesta. Todennäköisyyslaskennan raja-arvolauseet luovat perustan todennäköisyyslaskennan tilastollisille sovelluksille. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 53
27 Esimerkki Esim. 48 Olkoot X 1,X 2,...,X n riippumattomia satunnaismuuttujia, joille E(X i ) = µ ja D 2 (X i ) = σ 2 kaikilla i = 1,...,n. Laske aritmeettisen keskiarvon n X = 1 n i=1 X i odotusarvo ja varianssi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 53
28 Tn-laskennan raja-arvolauseita Edellisen esimerkin mukaan tehtäessä satunnaismuuttujasta X riippumattomia havaintoja x 1,...,x n keskittyy havaintojen aritmeettinen keskiarvo x = 1 n n i=1 x i yhä varmemmin satunnaismuuttujan X odotusarvon ympäristöön, sillä E(X) = µ ja D 2 (X) 0, kun n. Huomaa, että havaintojen aritmeettinen keskiarvo x on sm:n X saama arvo. Keskiarvot 1 n n i=1 X i muodostavat satunnaismuuttujajonon, joka tietyllä tavalla suppenee kohti odotusarvoa µ. Tarkastellaan seuraavaksi satunnaismuuttujajonon suppenemisen muotoja. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 53
29 Satunnaismuuttujajonon suppeneminen Satunnaismuuttujajonon X 1,X 2,... suppenemista on mahdollista luonnehtia eri tavoin. Tällä kurssilla tarkastellaan seuraavia suppenemisen muotoja: Jakaumasuppeneminen Jono X 1,X 2,... suppenee jakaumaltaan kohti satunnaismuuttujaa X, jos kertymäfunktioiden jono F n suppenee kohti rajajakauman kertymäfunktiota F X jokaisessa F:n jatkuvuuspisteessä. Stokastinen suppeneminen tarkoittaa sitä, että poikkeama rajamuuttujasta X on mielivaltaisen pieni suurella todennäköisyydellä, eli kaikilla ǫ > 0 lim P( X n X < ǫ) = 1. n Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 53
30 Satunnaismuuttujajonon suppeneminen Melkein varma suppeneminen tarkoittaa sitä, että jono X 1,X 2,... suppenee todennäköisyydellä yksi kohti rajamuuttujaa X, eli P( lim n X n = X) = 1. Voidaan osoittaa, että melkein varma suppeneminen on vahvin suppenemisen muoto ja jakaumasuppeneminen taasen heikoin muoto, eli suppenemiselle pätee Melkein varmasti Stokastisesti Jakaumaltaan. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 53
31 Chebyshevin epäyhtälö Lause 17 (Chebyshevin epäyhtälö) Olkoon X satunnaismuuttuja, jolla on odotusarvo µ ja varianssi σ 2. Tällöin kaikilla ǫ > 0 pätee P( X µ ǫ) σ2 ǫ 2. Chebyshevin epäyhtälöllä voidaan aina arvioida kuinka paljon satunnaismuuttuja poikkeaa odotusarvostaan. Arvio on tosi karkea ja se riippuu varianssin suuruudesta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 53
32 Esimerkki Esim. 49 Olkoon X N(0, 1). Laske todennäköisyyksille P( X 1), P( X 2) ja P( X 3) (a) arvio Chebychevin epäyhtälön avulla. (b) tarkka arvo. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 53
33 Heikko suurten lukujen laki Lause 18 (Chebyshev) Olkoon X 1,X 2,... jono parittain riippumattomia, samalla tavalla jakautuneita sm:ia, joilla on odotusarvo E(X i ) = µ ja varianssi D 2 (X i ) = σ 2. Olkoon X (n) = 1 n n i=1 X i satunnaismuuttujien X 1,X 2,...,X n aritmeettinen keskiarvo. Tällöin P( X (n) µ ǫ) 0, kun n kaikilla ǫ > 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 53
34 Tulkinta Heikko suurten lukujen laki tarkoittaa seuraavaa: Satunnaismuuttujien X 1,...,X n aritmeettinen keskiarvo suppenee stokastisesti kohti odotusarvoa µ. Jos X 1,...,X n ovat riippumattomia havaintoja samasta satunnaismuuttujasta X, jonka odotusarvo on µ ja varianssi σ 2, niin havaintojen lukumäärän kasvaessa havaintojen aritmeettinen keskiarvo (otoskeskiarvo) yhä varmemmin ilmoittaa todellisen odotusarvon. Otoskeskiarvolla voidaan siis estimoida odotusarvoa, kun havaintojen lukumäärä on riittävän suuri. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 53
35 Kuvia Kuvissa on esitetty riippumattomien normaalijakautuneiden sm:ien X i N(0,1) aritmeettisen keskiarvon X (n) tiheysfunktioita. Kun ǫ = 0.01, niin Lauseen 18 tn:ksi saadaan P( X (103 ) ǫ) 0.75 ja P( X (10 6 ) ǫ) Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 53
36 Vahva suurten lukujen laki Lause 19 (Kolmogorov) Olkoon X 1,X 2,... jono parittain riippumattomia, samalla tavalla jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on odotusarvo E(X i ) = µ. Tällöin P( lim n X(n) = µ) = 1. Vahva suurten lukujen laki siis sanoo, että parittain riippumattomien, samalla tavalla jakautuneiden satunnaismuuttujien X 1,...,X n aritmeettinen keskiarvo suppenee melkein varmasti kohti odotusarvoa µ. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 53
37 Esimerkki Esim. 50 Pelatessa ruletissa väriä (musta tai punainen) yhden euron panoksella on voittosumman odotusarvo 1 37 euroa. Mitä suurten lukujen laki sanoo voittosummasta, jos peliä pelataan erittäin monta kertaa yhden euron panoksella? Takaako laki, että sinun tappiot ovat pieniä? Entäpä takaako laki, että suurella pelien määrällä häviät? Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 53
38 Keskeinen raja-arvolause Suurten lukujen laeilla on lähinnä kvalitatiivinen merkitys satunnaismuuttujien aritmeettisen keskiarvon käyttäytymisestä n:n kasvaessa. Todennäköisyyksien kvantitatiiviseen laskemiseen tarvitaan tarkempaa tietoa aritmeettisen keskiarvon jakauman käyttäytymisestä. Tämän ilmoittaa keskeinen raja-arvolause. Lause 20 (Keskeinen raja-arvolause) Olkoon X 1,X 2,... jono keskinäisesti riippumattomia, samalla tavalla jakautuneita sm:ia, joilla E(e tx i) on olemassa, kun t < δ jollakin δ > 0. Merkitään E(X i ) = µ, D 2 (X i ) = σ 2 ja S n = n i=1 X i. Tällöin ( lim P Sn E(S n ) ) x = Φ(x) = 1 x e u2 2 du. n σ Sn 2π Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 53
39 Keskeinen raja-arvolause Keskeisessä raja-arvolauseessa esiintyvä suure voidaan kirjoittaa muodossa S S n E(S n ) n = n µ. σ Sn σ n Siis riittävän suurilla n:n arvoilla keskiarvo X = 1 n S n noudattaa likimain normaalijakaumaa, eli 1 n n i=1 X i N(µ, σ2 n ) likimain, kun n on riittävän suuri. Summan todennäköisyyden arvioimista normaalijakaumalla sanotaan normaalijakauma-approksimaatioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 53
40 Huomioita Joskus n = 3 on riittävä otoksen koko; Joskus n = ei riitä; Pääsääntöisesti (ainakin tällä kurssilla) approksimaatio on pätevä, kun n 30. Huomautus 5 Keskeisen raja-arvolauseen todisti vuonna 1901 venäläinen A.N. Lyapunov hieman yleisemmillä oletuksilla. Satunnaismuuttujien ei esimerkiksi tarvitse olla samalla tavalla jakautuneita. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 53
41 Kuvia Kuvissa on esitetty jakaumien S n = n i=1 X i ja X N(E(S n ),σs 2 n ) pistetodennäköisyydet ja tiheysfunktio, kun n = 50 ja Kuva : S n Bin(n, 0.2) Kuva : X i Poi(1) Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 53
42 Kuvia Kuvissa on esitetty jakauman S n = n i=1 X i kertymäfunktio kokonaislukupisteissä ja ja jakauman X N(E(S n ),σs 2 n ) kertymäfunktio, kun n = 50 ja Kuva : S n Bin(n, 0.2) Kuva : X i Poi(1) Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 53
43 Kuvia Kuvissa on esitetty jakaumien S n = n i=1 X i ja X N(E(S n ),σs 2 n ) tiheysfunktiot (tf:t) ja kertymäfunktiot (kf:t), kun n = 3 ja X i Tas(0,1). Kuva : Tf:t f Sn ja f X Kuva : Kf:t F Sn ja F X Jukka Kemppainen Mathematics Division 43 / 53
44 Kuvia Kuvissa on esitetty jakaumien S n = n i=1 X i ja X N(E(S n ),σs 2 n ) tiheysfunktiot (tf:t) ja kertymäfunktiot (kf:t), kun n = 10 ja X i Exp(1). Kuva : Tf:t f Sn ja f X Kuva : Kf:t F Sn ja F X Jukka Kemppainen Mathematics Division 44 / 53
45 Esimerkkejä Esim. 51 Olkoon Y n erään osakkeen hinta vuoden n. päivänä. Oletetaan, että erotukset X n = Y n+1 Y n ovat riippumattomia, normaalijakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo µ = 0 ja varianssi σ 2 = 1 4. Jos Y 1 = 100, niin laske todennäköisyys, että vuoden lopussa osakkeen hinta on (a) 100. (b) 110. (c) 120. Jukka Kemppainen Mathematics Division 45 / 53
46 Esimerkin 51 realisaatioita Kuvissa on esitetty 2 eri realisaatiota esimerkin 51 osakkeen hinnalle. Jukka Kemppainen Mathematics Division 46 / 53
47 Esimerkkejä Esim. 52 Keskeinen raja-arvolause ei päde kaikille riippumattomille jonoille X 1,X 2,... Osoita, että jos X k Poi( 1 ) kaikilla k = 1,2,..., 2 k niin muuttuja S n E(S n ) σ Sn ei lähesty N(0,1)-jakaumaa. Esim. 53 Oletetaan, että elektronisen komponentin elinikä on sm., jonka odotusarvo on µ = a ja keskihajonta σ = a. Kuinka monta komponenttia tarvitaan, jotta niiden yhteenlaskettu elinikä olisi korkeintaan 8a enintään tn:llä 0,05? Jukka Kemppainen Mathematics Division 47 / 53
48 Binomijakauman normaalijakauma-approksimaatio Tarkastellaan n-kertaista toistokoetta X 1,...,X n, jossa X i ilmoittaa tapahtuuko jokin suotuisa tapahtuma A vai ei Oletetaan, että tapahtuma A sattuu yksittäisissä toistoissa muista toistoista riippumattomasti ja että P(X i = 1) = P(A) = P( A sattuu ) = p ja P(X i = 0) = P(A) = 1 p kaikilla i = 1,...,n. Tällöin S n = X 1 + X 2 + +X n ilmoittaa A:n esiintymiskertojen lukumäärän ja S n Bin(n,p). Koska E(S n ) = np ja D 2 (S n ) = np(1 p), niin keskeisen raja-arvolauseen mukaan S n N(np,np(1 p)) likimain, kun n on riittävän suuri. Jukka Kemppainen Mathematics Division 48 / 53
49 Binomijakauman approksimaatio Siis binomijakaumaa Bin(n, p) voidaan approksimoida normaalijakaumalla N(np, np(1 p)), kun n on riittävän suuri. Approksimaation tarkkuutta on tutkittu ja todettu, että approksimaatio on erityisen hyvä silloin, kun p 1 2. Luvun n pitäisi olla niin suuri, että varianssi np(1 p) > 9, jolloin käytännössä saadaan riittävän hyviä approksimaatioita. Jukka Kemppainen Mathematics Division 49 / 53
50 Approksimaatio, p:n vaikutus Kuviin on piirretty binomijakauman X Bin(20, p) pistetodennäköisyyksiä ja normaalijakauman N(20p,( 20p(1 p)) 2 ) tiheysfunktio, kun Kuva : p = 0.1 Kuva : p = 0.5 Jukka Kemppainen Mathematics Division 50 / 53
51 Approksimaatio, n:n vaikutus Kuviin on piirretty binomijakauman X Bin(n, 0.05) pistetodennäköisyyksiä ja normaalijakauman N(0.05n,( n) 2 ) tiheysfunktio, kun Kuva : n = 20 Kuva : n = 1000 Jukka Kemppainen Mathematics Division 51 / 53
52 Jatkuvuuskorjaus Diskreettejä jakaumia approksimoitaessa voidaan tarkkuutta parantaa tekemällä jatkuvuuskorjaus. Jos a ja b ovat kokonaislukuja, joille 0 a b n, ja X on diskreetti sm., joka saa kokonaislukuarvot 0,1,...,n, niin tn:ää P(a X b) ei approksimoida integraalina a:sta b:hen, vaan integraalina a 1 2 :sta b+ 1 2 :een. Siis P(a X b) = P(a 1 2 X b+ 1 2 ) ( a 1 2 = P E(X) σ X X E(X) σ X ( b+ 1 2 Φ E(X) ) ( a 1 Φ σ X b+ 1 2 E(X) ) σ X 2 E(X) ). σ X Jukka Kemppainen Mathematics Division 52 / 53
53 Esimerkkejä Esim. 54 Eräästä tuotteesta 10 % on viallisia. Jos ostetaan 10 tuotetta, niin millä tn:llä saadaan korkeintaan yksi viallinen tuote, kun tn. lasketaan tarkasti? normaalijakauma-approksimaatiolla jatkuvuuskorjauksella ja ilman? Poisson-jakauman avulla? Esim. 55 Heitetään noppaa 20 kertaa. Millä todennäköisyydellä pistelukujen summa on vähintään 60 ja korkeintaan 80? Jukka Kemppainen Mathematics Division 53 / 53
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.
LisätiedotTodennäköisyysjakaumia
8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotDiskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma
Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7
0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat
Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille
Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastomatematiikka. Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka
Tilastomatematiikka Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka 18. helmikuuta 2016 2 Tämä luentomoniste on tehty professori Keijo Ruotsalaisen luentojen pohjalta. Alkuperäisestä kirjoitustyöstä
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotTilastomatematiikka. Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics
Tilastomatematiikka Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics 20. maaliskuuta 2013 2 Tämä luentomoniste on tehty professori Keijo Ruotsalaisen luentojen pohjalta.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa
LisätiedotDISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 1 DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos) Määritelmä Olkoon X diskreetti sm, jonka arvot ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, X {0, 1, 2,...}.
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotSuotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä
Todennäköisyys 1 Klassinen todennäköisyys: p = Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkkejä: Nopan heitto, kolikon heitto Satunnaismuuttuja Tilastollisesti vaihtelevaa
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/73 Johdanto Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinen malli Kolme
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 3 (vko 4/3) (Aihe: tasainen todennäköisyysmalli, pistetodennäköisyysfunktio, tiheysfunktio, kertymäfunktio,
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
Lisätiedot