031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6"

Transkriptio

1 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan eli arvon, jonka satunnaismuuttuja keskimääräisesti saavuttaa. Varianssi ilmoittaa, kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot keskimäärin poikkeavat odotusarvosta. Muita tunnuslukuja ovat mm. Jakauman momentit, eli satunnaismuuttujan sopivien potenssien odotusarvot; Jakauman vinous; Kvartiilit; Keskipoikkeama... Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 53

3 Odotusarvo Tarkastellaan odotusarvon määrittelyä erikseen diskreetin ja jatkuvan sm:n tapauksessa. Aloitetaan diskreetistä sm:stä. Määr. 20 Jos X on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S X = {x 1,x 2,...}, niin lukua E(X) = x k P(X = x k ) k=1 sanotaan X:n odotusarvoksi edellyttäen, että sarja suppenee. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 53

4 Odotusarvo Määr. 21 Jos X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X, niin lukua E(X) = xf X (x)dx sanotaan X:n odotusarvoksi edellyttäen, että integraali suppenee. Odotusarvolle käytetään usein merkintää E(X) = µ X tai yksinkertaisesti µ = µ X, jos sekaannuksen vaaraa ei ole. Huomautus 4 Erityisesti, jos diskreetti sm. saa vain äärellisen määrän arvoja, odotusarvo on aina olemassa. Kaikilla satunnaismuuttujilla ei ole odotusarvoa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 53

5 Esimerkki Esim. 39 Milloin satunnaismuuttujalla X, jonka pistetodennäköisyysfunktio on muotoa P(X = k) = c 1 k p, k = 1,2,...; tiheysfunktio on f(x) = c 1 (1+x 2 ) p, x R, on odotusarvo? Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 53

6 Diskreettien jakaumien odotusarvoja (1/2) Binomijakauman, X Bin(n, p), odotusarvo on E(X) = np. Geometrisen jakauman, X Geo(p), odotusarvo on E(X) = 1 p. Poissonin jakauman, X Poi(a), odotusarvo on E(X) = a. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 53

7 Diskreettien jakaumien odotusarvoja (2/2) Laskentakaavojen intuitiivinen perustelu: Binomijakaumalle E(X) = np, sillä yksittäisessä toistossa onnistumisen tn. on p, joten pitkässä juoksussa onnistumisten lkm. on np. Geometriselle jakaumalle E(X) = 1 p, sillä pitkässä juoksussa keskimääräinen onnistumisten lkm. per yritysten lkm. on p, joten keskimääräinen yritysten lkm. per onnistuminen on 1/p. Poissonin jakaumalle E(X) = a on selvä, jos Poissonin jakauma ajatellaan binomijakauman raja-jakaumana. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 53

8 Kuvia Kuvissa on esitetty sm:ien X Bin(50, 0.2) ja X Poi(5) pistetodennäköisyysfunktiot ja merkitty odotusarvo. Kuva : X Bin(50, 0.2) ja E(X) = 10 Kuva : X Poi(5) ja E(X) = 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 53

9 Jatkuvien jakaumien odotusarvoja Tasajakauman, X Tas(a,b), odotusarvo on E(X) = a+b 2. Eksponenttijakauman, X Exp(λ), odotusarvo on E(X) = 1 λ. Normaalijakauman, X N(µ,σ 2 ), odotusarvo on E(X) = µ. Weibullin jakauman, X Wei(α, β), odotusarvo on missä E(X) = α 1/β Γ(1+1/β), α,β > 0, Γ(x) = on Eulerin Gamma-funktio. 0 t x 1 e t dt, x > 0, Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 53

10 Kuvia Kuvissa on esitetty sm:ien X N(100,25) ja X Exp( 1 2 ) tiheysfunktiot ja merkitty odotusarvo. Kuva : X N(100, 25) ja E(X) = 100 Kuva : X Exp( 1 2 ) ja E(X) = 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 53

11 Esimerkkejä Esim. 40 Heitetään kolikkoa 3 kertaa. Olkoon X kruunujen lukumäärä. Laske odotusarvo E(X). Esim. 41 Jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on x, 0 x < 1, f X (x) = 2 x, 1 x 2, 0, muulloin. Laske X:n odotusarvo. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 53

12 Esimerkkejä Esim. 42 Teräväpiirtotelevisiota (HDTV) on lyhyessä ajassa myyty kappaletta. Jokaisessa näistä on yksi kappale komponenttia A, jonka kestoikä on eksponenttijakautunut odotusarvona 4 vuotta. Millä todennäköisyydellä komponentti A kestää ainakin vuoden? HDTV:n takuu on vuoden. Kuinka monen HDTV:n komponentti A joudutaan keskimäärin vaihtamaan takuun puitteissa? Komponentti on halpa (3 euroa), mutta sen uusimiseen liittyvä asennuskulu on 55 euroa. Kuinka paljon kuluja on odotettavissa takuuna uusittavista komponenteista ja niiden asennuksista? Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 53

13 Muunnoksen Y = h(x) odotusarvo Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan satunnaismuuttujien muunnoksia. Oletetaan, että X on satunnaismuuttuja ja h : R R sellainen funktio, että Y = h(x) on satunnaismuuttuja (vrt. Lause 7, s.17). Jos X on diskreetti sm., saadaan Lause 11 Muunnoksen Y = h(x) odotusarvo on E(Y) = E(h(X)) = i:x i S X h(x i )P(X = x i ) edellyttäen, että sarja suppenee itseisesti, eli i:x i S X h(x i ) P(X = x i ) <. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 53

14 Muunnoksen odotusarvo Jos taasen X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X, saadaan Lause 12 Muunnoksen Y = h(x) odotusarvo on E(Y) = E(h(X)) = h(x)f X (x)dx edellyttäen, että integraali suppenee itseisesti, eli h(x) f X (x)dx <. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 53

15 Esimerkkejä Esim. 43 Olkoon Θ välille ] π 2, π 2 [ tasajakautunut kulma ja Y = tan(θ). Määrää (mikäli mahdollista) Y :n odotusarvo. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 53

16 Esimerkkejä Esim. 44 Oletetaan, että tuotteen laatutappio on ke((x m) 2 ), missä k on verrannollisuuskerroin ja m suureen X tavoitearvo tuotannossa. Olkoon laitteen kulutuskesto X (kk) Weibull-jakautunut parametrien arvoilla α = 0,40 ja β = 1 2. Laitteen tuottaja tavoitteli tuotteelleen 100 kk:n kulutuskestoa. Mikä oli tuotteen kulutuskeston laatutappio, kun verrannollisuuskerroin oli k = 0,1? Tuottaja pyrki säätämään tuotantoaan siten, että parametrin β arvo pysyi kiinteänä ja parametrin α arvo muuttui. Millä α:n arvolla kulutuskeston tavoitearvo ja odotusarvo ovat yhtä suuret? (E(X) = α β( 1 1 β )! ja E(X 2 ) = α β( 2 2 β )!, kun 1 β N.) Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 53

17 Varianssi Tarkastellaan varianssin määrittelyä erikseen diskreetin ja jatkuvan sm:n tapauksessa. Aloitetaan diskreetistä sm:stä. Määr. 22 Jos X on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S X = {1,2,...} ja odotusarvo µ X, niin lukua D 2 (X) = k:x k S X (x k µ X ) 2 P(X = x k ) sanotaan X:n varianssiksi ja merkitään D 2 (X) = Var(X) = σ 2 X edellyttäen, että sarja suppenee. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 53

18 Varianssi Vastaavasti jatkuvan sm:n tapauksessa määritellään Määr. 23 Jos X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X ja odotusarvo µ X, niin lukua D 2 (X) = (x µ X ) 2 f X (x)dx sanotaan X:n varianssiksi ja merkitään D 2 (X) = Var(X) = σ 2 X edellyttäen, että integraali suppenee. Lukua σ X = Var(X) sanotaan satunnaismuuttujan X keskihajonnaksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 53

19 Varianssi Jos katsotaan varianssin määritelmää ja verrataan sitä muunnoksen h(x) = (X µ X ) 2 odotusarvoon, niin havaitaan, että itse asiassa varianssi on muunnoksen h(x) odotusarvo ja siten Var(X) = E((X E(X)) 2 ). Edellisestä yhtäsuuruudesta saadaan varianssille seuraava hyödyllinen laskentakaava Lause 13 Olkoon X satunnaismuuttuja, jolla on varianssi. Tällöin Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 53

20 Esimerkki Esim. 45 Oletetaan, että X N(0,1). Tällöin Y = e X noudattaa ns. log-normaalijakaumaa. Määrää Y :n odotusarvo ja varianssi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 53

21 Diskreettien jakaumien variansseja Binomijakauman, X Bin(n, p), varianssi on Var(X) = np(1 p). Geometrisen jakauman, X Geo(p), varianssi on Var(X) = 1 p p 2. Poissonin jakauman, X Poi(a), varianssi on Var(X) = a. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 53

22 Jatkuvien jakaumien variansseja Tasajakauman, X Tas(a,b), varianssi on Var(X) = (b a)2 12. Eksponenttijakauman, X Exp(a), varianssi on Var(X) = 1 a 2. Normaalijakauman, X N(µ,σ 2 ), varianssi on Var(X) = σ 2. Weibullin jakauman, X Wei(α, β), varianssi on Var(X) = α 2/β (Γ(1+2/β) Γ(1+1/β) 2 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 53

23 Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia Lause 14 Jos sm. X on todennäköisyydellä yksi vakio a, ts. P(X = a) = 1, niin E(X) = a ja Var(X) = 0. Kääntäen, jos Var(X) = 0, niin P(X = a) = 1 jollekin a R. Lause 15 Jos X ja Y ovat satunnaismuuttujia ja a, b R, niin E(aX + by) =ae(x)+be(y), Var(aX + by) =a 2 Var(X)+b 2 Var(Y) + 2abE((X E(X))(Y E(Y))) edellyttäen, että em. suureet ovat äärellisiä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 53

24 Ominaisuuksia Lause 16 Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin E(XY) = E(X)E(Y), Var(aX + by) = a 2 Var(X)+b 2 Var(Y) edellyttäen, että em. suureet ovat äärellisiä. Edellinen tulos pätee myös n:n riippumattoman sm:n tapauksessa. Korollaari 2 Jos X 1,...,X n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joilla on odotusarvo ja varianssi, ja a 1,...,a n R, niin E(X 1 X n ) = E(X 1 ) E(X n ), Var(a 1 X 1 + +a n X n ) = a 2 1 Var(X 1)+ +a 2 n Var(X n). Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 53

25 Esimerkkejä Esim. 46 Olkoon X N(µ,σ 2 ). Laske standardisoidun satunnaismuuttujan Z = X µ σ odotusarvo ja varianssi. Esim. 47 Kytketään 100 sähkövastusta yhteen. Jokaisen vastuksen resistanssi on tasaisesti jakautunut 90 Ω ja 110 Ω välille. Oletetaan, että sähkövastukset ovat toisistaan riippumattomia. Määrää systeemin (a) kokonaisresistanssin odotusarvo ja varianssi, kun vastukset on kytketty sarjaan. (b) kokonaisresistanssin käänteisluvun odotusarvo ja varianssi, kun vastukset on kytketty rinnan. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 53

26 Todennäköisyyslaskennan raja-arvolauseita Tilastollisessa tutkimuksessa tehdään aineistojen pohjalta päätelmiä tutkittavasta ilmiöstä. Tehtäessä ilmiöstä riippumattomia havaintoja, on toivottavaa, että havaintojen lukumäärän kasvaessa saadaan yhä varmemmin oikea kuva todellisuudesta. Todennäköisyyslaskennan raja-arvolauseet luovat perustan todennäköisyyslaskennan tilastollisille sovelluksille. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 53

27 Esimerkki Esim. 48 Olkoot X 1,X 2,...,X n riippumattomia satunnaismuuttujia, joille E(X i ) = µ ja D 2 (X i ) = σ 2 kaikilla i = 1,...,n. Laske aritmeettisen keskiarvon n X = 1 n i=1 X i odotusarvo ja varianssi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 53

28 Tn-laskennan raja-arvolauseita Edellisen esimerkin mukaan tehtäessä satunnaismuuttujasta X riippumattomia havaintoja x 1,...,x n keskittyy havaintojen aritmeettinen keskiarvo x = 1 n n i=1 x i yhä varmemmin satunnaismuuttujan X odotusarvon ympäristöön, sillä E(X) = µ ja D 2 (X) 0, kun n. Huomaa, että havaintojen aritmeettinen keskiarvo x on sm:n X saama arvo. Keskiarvot 1 n n i=1 X i muodostavat satunnaismuuttujajonon, joka tietyllä tavalla suppenee kohti odotusarvoa µ. Tarkastellaan seuraavaksi satunnaismuuttujajonon suppenemisen muotoja. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 53

29 Satunnaismuuttujajonon suppeneminen Satunnaismuuttujajonon X 1,X 2,... suppenemista on mahdollista luonnehtia eri tavoin. Tällä kurssilla tarkastellaan seuraavia suppenemisen muotoja: Jakaumasuppeneminen Jono X 1,X 2,... suppenee jakaumaltaan kohti satunnaismuuttujaa X, jos kertymäfunktioiden jono F n suppenee kohti rajajakauman kertymäfunktiota F X jokaisessa F:n jatkuvuuspisteessä. Stokastinen suppeneminen tarkoittaa sitä, että poikkeama rajamuuttujasta X on mielivaltaisen pieni suurella todennäköisyydellä, eli kaikilla ǫ > 0 lim P( X n X < ǫ) = 1. n Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 53

30 Satunnaismuuttujajonon suppeneminen Melkein varma suppeneminen tarkoittaa sitä, että jono X 1,X 2,... suppenee todennäköisyydellä yksi kohti rajamuuttujaa X, eli P( lim n X n = X) = 1. Voidaan osoittaa, että melkein varma suppeneminen on vahvin suppenemisen muoto ja jakaumasuppeneminen taasen heikoin muoto, eli suppenemiselle pätee Melkein varmasti Stokastisesti Jakaumaltaan. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 53

31 Chebyshevin epäyhtälö Lause 17 (Chebyshevin epäyhtälö) Olkoon X satunnaismuuttuja, jolla on odotusarvo µ ja varianssi σ 2. Tällöin kaikilla ǫ > 0 pätee P( X µ ǫ) σ2 ǫ 2. Chebyshevin epäyhtälöllä voidaan aina arvioida kuinka paljon satunnaismuuttuja poikkeaa odotusarvostaan. Arvio on tosi karkea ja se riippuu varianssin suuruudesta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 53

32 Esimerkki Esim. 49 Olkoon X N(0, 1). Laske todennäköisyyksille P( X 1), P( X 2) ja P( X 3) (a) arvio Chebychevin epäyhtälön avulla. (b) tarkka arvo. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 53

33 Heikko suurten lukujen laki Lause 18 (Chebyshev) Olkoon X 1,X 2,... jono parittain riippumattomia, samalla tavalla jakautuneita sm:ia, joilla on odotusarvo E(X i ) = µ ja varianssi D 2 (X i ) = σ 2. Olkoon X (n) = 1 n n i=1 X i satunnaismuuttujien X 1,X 2,...,X n aritmeettinen keskiarvo. Tällöin P( X (n) µ ǫ) 0, kun n kaikilla ǫ > 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 53

34 Tulkinta Heikko suurten lukujen laki tarkoittaa seuraavaa: Satunnaismuuttujien X 1,...,X n aritmeettinen keskiarvo suppenee stokastisesti kohti odotusarvoa µ. Jos X 1,...,X n ovat riippumattomia havaintoja samasta satunnaismuuttujasta X, jonka odotusarvo on µ ja varianssi σ 2, niin havaintojen lukumäärän kasvaessa havaintojen aritmeettinen keskiarvo (otoskeskiarvo) yhä varmemmin ilmoittaa todellisen odotusarvon. Otoskeskiarvolla voidaan siis estimoida odotusarvoa, kun havaintojen lukumäärä on riittävän suuri. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 53

35 Kuvia Kuvissa on esitetty riippumattomien normaalijakautuneiden sm:ien X i N(0,1) aritmeettisen keskiarvon X (n) tiheysfunktioita. Kun ǫ = 0.01, niin Lauseen 18 tn:ksi saadaan P( X (103 ) ǫ) 0.75 ja P( X (10 6 ) ǫ) Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 53

36 Vahva suurten lukujen laki Lause 19 (Kolmogorov) Olkoon X 1,X 2,... jono parittain riippumattomia, samalla tavalla jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on odotusarvo E(X i ) = µ. Tällöin P( lim n X(n) = µ) = 1. Vahva suurten lukujen laki siis sanoo, että parittain riippumattomien, samalla tavalla jakautuneiden satunnaismuuttujien X 1,...,X n aritmeettinen keskiarvo suppenee melkein varmasti kohti odotusarvoa µ. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 53

37 Esimerkki Esim. 50 Pelatessa ruletissa väriä (musta tai punainen) yhden euron panoksella on voittosumman odotusarvo 1 37 euroa. Mitä suurten lukujen laki sanoo voittosummasta, jos peliä pelataan erittäin monta kertaa yhden euron panoksella? Takaako laki, että sinun tappiot ovat pieniä? Entäpä takaako laki, että suurella pelien määrällä häviät? Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 53

38 Keskeinen raja-arvolause Suurten lukujen laeilla on lähinnä kvalitatiivinen merkitys satunnaismuuttujien aritmeettisen keskiarvon käyttäytymisestä n:n kasvaessa. Todennäköisyyksien kvantitatiiviseen laskemiseen tarvitaan tarkempaa tietoa aritmeettisen keskiarvon jakauman käyttäytymisestä. Tämän ilmoittaa keskeinen raja-arvolause. Lause 20 (Keskeinen raja-arvolause) Olkoon X 1,X 2,... jono keskinäisesti riippumattomia, samalla tavalla jakautuneita sm:ia, joilla E(e tx i) on olemassa, kun t < δ jollakin δ > 0. Merkitään E(X i ) = µ, D 2 (X i ) = σ 2 ja S n = n i=1 X i. Tällöin ( lim P Sn E(S n ) ) x = Φ(x) = 1 x e u2 2 du. n σ Sn 2π Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 53

39 Keskeinen raja-arvolause Keskeisessä raja-arvolauseessa esiintyvä suure voidaan kirjoittaa muodossa S S n E(S n ) n = n µ. σ Sn σ n Siis riittävän suurilla n:n arvoilla keskiarvo X = 1 n S n noudattaa likimain normaalijakaumaa, eli 1 n n i=1 X i N(µ, σ2 n ) likimain, kun n on riittävän suuri. Summan todennäköisyyden arvioimista normaalijakaumalla sanotaan normaalijakauma-approksimaatioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 53

40 Huomioita Joskus n = 3 on riittävä otoksen koko; Joskus n = ei riitä; Pääsääntöisesti (ainakin tällä kurssilla) approksimaatio on pätevä, kun n 30. Huomautus 5 Keskeisen raja-arvolauseen todisti vuonna 1901 venäläinen A.N. Lyapunov hieman yleisemmillä oletuksilla. Satunnaismuuttujien ei esimerkiksi tarvitse olla samalla tavalla jakautuneita. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 53

41 Kuvia Kuvissa on esitetty jakaumien S n = n i=1 X i ja X N(E(S n ),σs 2 n ) pistetodennäköisyydet ja tiheysfunktio, kun n = 50 ja Kuva : S n Bin(n, 0.2) Kuva : X i Poi(1) Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 53

42 Kuvia Kuvissa on esitetty jakauman S n = n i=1 X i kertymäfunktio kokonaislukupisteissä ja ja jakauman X N(E(S n ),σs 2 n ) kertymäfunktio, kun n = 50 ja Kuva : S n Bin(n, 0.2) Kuva : X i Poi(1) Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 53

43 Kuvia Kuvissa on esitetty jakaumien S n = n i=1 X i ja X N(E(S n ),σs 2 n ) tiheysfunktiot (tf:t) ja kertymäfunktiot (kf:t), kun n = 3 ja X i Tas(0,1). Kuva : Tf:t f Sn ja f X Kuva : Kf:t F Sn ja F X Jukka Kemppainen Mathematics Division 43 / 53

44 Kuvia Kuvissa on esitetty jakaumien S n = n i=1 X i ja X N(E(S n ),σs 2 n ) tiheysfunktiot (tf:t) ja kertymäfunktiot (kf:t), kun n = 10 ja X i Exp(1). Kuva : Tf:t f Sn ja f X Kuva : Kf:t F Sn ja F X Jukka Kemppainen Mathematics Division 44 / 53

45 Esimerkkejä Esim. 51 Olkoon Y n erään osakkeen hinta vuoden n. päivänä. Oletetaan, että erotukset X n = Y n+1 Y n ovat riippumattomia, normaalijakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo µ = 0 ja varianssi σ 2 = 1 4. Jos Y 1 = 100, niin laske todennäköisyys, että vuoden lopussa osakkeen hinta on (a) 100. (b) 110. (c) 120. Jukka Kemppainen Mathematics Division 45 / 53

46 Esimerkin 51 realisaatioita Kuvissa on esitetty 2 eri realisaatiota esimerkin 51 osakkeen hinnalle. Jukka Kemppainen Mathematics Division 46 / 53

47 Esimerkkejä Esim. 52 Keskeinen raja-arvolause ei päde kaikille riippumattomille jonoille X 1,X 2,... Osoita, että jos X k Poi( 1 ) kaikilla k = 1,2,..., 2 k niin muuttuja S n E(S n ) σ Sn ei lähesty N(0,1)-jakaumaa. Esim. 53 Oletetaan, että elektronisen komponentin elinikä on sm., jonka odotusarvo on µ = a ja keskihajonta σ = a. Kuinka monta komponenttia tarvitaan, jotta niiden yhteenlaskettu elinikä olisi korkeintaan 8a enintään tn:llä 0,05? Jukka Kemppainen Mathematics Division 47 / 53

48 Binomijakauman normaalijakauma-approksimaatio Tarkastellaan n-kertaista toistokoetta X 1,...,X n, jossa X i ilmoittaa tapahtuuko jokin suotuisa tapahtuma A vai ei Oletetaan, että tapahtuma A sattuu yksittäisissä toistoissa muista toistoista riippumattomasti ja että P(X i = 1) = P(A) = P( A sattuu ) = p ja P(X i = 0) = P(A) = 1 p kaikilla i = 1,...,n. Tällöin S n = X 1 + X 2 + +X n ilmoittaa A:n esiintymiskertojen lukumäärän ja S n Bin(n,p). Koska E(S n ) = np ja D 2 (S n ) = np(1 p), niin keskeisen raja-arvolauseen mukaan S n N(np,np(1 p)) likimain, kun n on riittävän suuri. Jukka Kemppainen Mathematics Division 48 / 53

49 Binomijakauman approksimaatio Siis binomijakaumaa Bin(n, p) voidaan approksimoida normaalijakaumalla N(np, np(1 p)), kun n on riittävän suuri. Approksimaation tarkkuutta on tutkittu ja todettu, että approksimaatio on erityisen hyvä silloin, kun p 1 2. Luvun n pitäisi olla niin suuri, että varianssi np(1 p) > 9, jolloin käytännössä saadaan riittävän hyviä approksimaatioita. Jukka Kemppainen Mathematics Division 49 / 53

50 Approksimaatio, p:n vaikutus Kuviin on piirretty binomijakauman X Bin(20, p) pistetodennäköisyyksiä ja normaalijakauman N(20p,( 20p(1 p)) 2 ) tiheysfunktio, kun Kuva : p = 0.1 Kuva : p = 0.5 Jukka Kemppainen Mathematics Division 50 / 53

51 Approksimaatio, n:n vaikutus Kuviin on piirretty binomijakauman X Bin(n, 0.05) pistetodennäköisyyksiä ja normaalijakauman N(0.05n,( n) 2 ) tiheysfunktio, kun Kuva : n = 20 Kuva : n = 1000 Jukka Kemppainen Mathematics Division 51 / 53

52 Jatkuvuuskorjaus Diskreettejä jakaumia approksimoitaessa voidaan tarkkuutta parantaa tekemällä jatkuvuuskorjaus. Jos a ja b ovat kokonaislukuja, joille 0 a b n, ja X on diskreetti sm., joka saa kokonaislukuarvot 0,1,...,n, niin tn:ää P(a X b) ei approksimoida integraalina a:sta b:hen, vaan integraalina a 1 2 :sta b+ 1 2 :een. Siis P(a X b) = P(a 1 2 X b+ 1 2 ) ( a 1 2 = P E(X) σ X X E(X) σ X ( b+ 1 2 Φ E(X) ) ( a 1 Φ σ X b+ 1 2 E(X) ) σ X 2 E(X) ). σ X Jukka Kemppainen Mathematics Division 52 / 53

53 Esimerkkejä Esim. 54 Eräästä tuotteesta 10 % on viallisia. Jos ostetaan 10 tuotetta, niin millä tn:llä saadaan korkeintaan yksi viallinen tuote, kun tn. lasketaan tarkasti? normaalijakauma-approksimaatiolla jatkuvuuskorjauksella ja ilman? Poisson-jakauman avulla? Esim. 55 Heitetään noppaa 20 kertaa. Millä todennäköisyydellä pistelukujen summa on vähintään 60 ja korkeintaan 80? Jukka Kemppainen Mathematics Division 53 / 53

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Tilastomatematiikka. Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka

Tilastomatematiikka. Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka Tilastomatematiikka Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka 18. helmikuuta 2016 2 Tämä luentomoniste on tehty professori Keijo Ruotsalaisen luentojen pohjalta. Alkuperäisestä kirjoitustyöstä

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Tilastomatematiikka. Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics

Tilastomatematiikka. Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics Tilastomatematiikka Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics 20. maaliskuuta 2013 2 Tämä luentomoniste on tehty professori Keijo Ruotsalaisen luentojen pohjalta.

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos)

DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 1 DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos) Määritelmä Olkoon X diskreetti sm, jonka arvot ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, X {0, 1, 2,...}.

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/73 Johdanto Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinen malli Kolme

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Raija Leppälä 17. lokakuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Todennäköisyyslaskentaa 5 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 5 2.2 Klassinen

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat

Lisätiedot

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus Tässä luvussa käsitellään satunnaismuuttujien ominaisuuksia ja täydennetään todennäköisyyslaskennan tietoja. Erityisesti satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Teoria. Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta

Teoria. Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta Teoria Johdanto simulointiin Simuloinnin kulku -- prosessin realisaatioiden tuottaminen Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta Johdanto ja pseudosatunnaislukujen generointi Eri menetelmiä satunnaismuuttujien

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen

4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen MAT-20500 Todennäköisyyslaskenta Laskuharjoituksia / Periodi 2 / 2009-2010 1.1 Peruskäsitteitä 1. Totea Venn-diagrammien avulla oikeaksi demorganin lait A B = A B, A B = A B Jos otosavaruus on ihmiset

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 5B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 5B1 Teemu Selänne on

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen Stefan Emet Matematiikan ja tilastotieteen lts Turun yliopisto 24 Sisältö Johdanto. Todennäköisyys..................................2 Peruskäsitteitä.................................

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t

Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Valkoinen kohina ε t 2 1 0 1 2 Voimme tehdä saman laskun myös yleiselle välille [ a, a], missä 0 < a

Lisätiedot

Tilastollisen päättelyn perusteet

Tilastollisen päättelyn perusteet Tilastollisen päättelyn perusteet Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Motivointiako? opiskelijoiden, jotka kammoavat matematiikkaa tai eivät katso ehtivänsä tai haluavansa

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja 44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot