Kaksikasvuisen variaatio-ongelman minimoijan säännöllisyydestä

Transkriptio

1 Kaksikasvuisen variaatio-ongelman minimoijan säännöllisyydestä Arttu Karppinen Pro gradu -tutkielma Huhtikuu 2017 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO

2

3 TURUN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos KARPPINEN, ARTTU: Kaksikasvuisen variaatio-ongelman ratkaisun säännöllisyydestä Pro gradu -tutkielma, 52 s. Matematiikka Huhtikuu 2017 Tässä työssä tutkitaan kaksikasvuisen variaatio-ongelman minimoijan olemassaoloa ja säännöllisyyttä. Erityisesti osoitetaan, että minimoiva funktio on Hölder-jatkuva ja sen gradientille parempi integroituvuus. Kaksi ensimmäistä lukua käsittelevät esitietoja, läpi työn käytettäviä merkintöjä sekä kahta iteraatiolemmaa. Ensimmäisessä luvussa esitellään myös yleisimmin käytettävät epäyhtälöt sekä läpi tutkielman voimassa olevat oletukset. Kolmannessa luvussa esitetään todistus lokaalin minimoijan olemassaololle tarkastelemalla variaatio-ongelman funktionaalia F. Olettamalla, että F on rajoitettu, koersiivinen ja sileä, nähdään lokaalin minimoijan olemassa olo funktionaalianalyysin keinoja käyttäen. Luvut neljä ja viisi käsittelevät lokaalin minimoijan säännöllisyyttä. Luvussa neljä osoitetaan eräs SobolevPoincaré-epäyhtälö ja gradientin parempi integroituvuus. Tähän tarvitaan SobolevPoicanré -epäyhtälön lisäksi Gehringin lemmaa. Luvussa viisi käydään läpi minimoijan Hölder-jatkuvuuden todistus de Giorgin metodin kaltaisella päättelyllä. Asiasanat: variaatio-ongelmat, ratkaisun olemassaolo, ratkaisun sännöllisyys, Sobolevavaruudet, de Giorgin metodi.

4

5 Sisältö 1 Esitiedot ja merkinnät 4 2 Iteraatiolemmat 10 3 Lokaalin minimoijan olemassaolo 14 4 Gradientin parempi integroituvuus 19 5 Lokaalin minimoijan Hölder-jatkuvuus 30 Viitteet 51

6 Johdanto 1900-luvun alussa saksalainen matemaatikko David Hilbert esitteli muille matemaatikoille hänen mielestään 23 tärkeintä ratkaisematonta matemaattista ongelmaa [1]. Näiden ongelmien ratkaisuyritykset ohjasivat koko luvun matemaattista kehitystä ympäri maailman, ja esimerkiksi kahdeksas ongelma, niin kutsuttu Riemannin hypoteesi, on yhä vailla ratkaisua. Hilbertin ongelmien merkittävyyttä kuvastaa myös se, että vuosituhannen vaihteessa Clay-instituutti julkaisi samassa hengessä 7 matemaattista ongelmaa, jotka ovat saaneet nimen Millenium-ongelmat. Lisäksi instituutti on luvannut jokaisesta ongelmasta miljoonan dollarin palkinnon sen ratkaisijalle. Tässä tutkielmassa käsitellään Hilbertin ongelmiin 19 ja 20 liittyviä tuloksia. Nämä liittyvät variaatiolaskennaksi kutsuttuun matematiikan haaraan, jonka tavoitteena on löytää funktio, joka minimoi annetunlaisen integraalin. Variaatiolaskenta liittyy hyvin läheisesti osittaisdierentiaaliyhtälöiden matemaattiseen teoriaan, sillä integraaleja minimoivat funktiot ovat jonkin osittaisdierentiaaliyhtälön ratkaisuja. 19. ongelman tarkempi muotoilu on Ovatko kaikki säännöllisten variaatio-ongelmien ratkaisut aina välttämättä analyyttisiä? Ongelman ratkaisivat ensimmäisinä toisistaan riippumatta italialainen Ennio de Giorgi ja yhdysvaltalainen John Nash täysin erilaisilla menetelmillä. Näistä kahdesta menetelmästä de Giorgin metodi osoittautui helpommin yleistettäväksi, ja sitä onkin sovellettu myös muiden variaatio-ongelmien säännöllisyystulosten saavuttamiseksi. Tämän tutkielman päätuloksena esitellään todistus kaksikasvuisen variaatio-ongelman ratkaisun Hölder-jatkuvuudelle, ja se perustuu juuri de Giorgin menetelmään. Nashin ja de Giorgin lisäksi myös Jürgen Moser ratkaisi säännöllisyysongelman menetelmällä, jota nykyään kutsutaan Moserin iteraatioksi. Tämän menetelmän lähtökohtana on osittaisdifferentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu, kun taas de Giorgin metodi aloittaa yhtälöä vastaavasta funktionaalista. Nämä kaksi menetelmää ovat ainoat yleisessä käytössä olevat menetelmät osittaisdierentiaaliyhtälön ratkaisun Hölderjatkuvuuden osoittamiseksi. Ennen säännöllisyystodistuksen käsittelyä tässä tutkielmassa osoitetaan ensin, että kaksikasvuisella variaatio-ongelmalla on ylipäänsä ratkaisu tiettyjen oletusten vallitessa. Tämä liittyy Hilbertin 20. ongelmaan, joka voidaan kääntää vapaammin tulkittuna muotoon Reuna-arvojen yleinen ongelma. 2

7 Täsmällisemmin ilmaistuna kysymys kuuluu, onko variaatio-ongelmalla aina ratkaisua, kun ratkaisun reuna-arvot on etukäteen annettu. Tähänkin kysymyksen vastaus on myönteinen, kunhan ratkaisun määritelmässä hieman joustetaan perinteisen pisteittäin määritellyn funktion sijasta, ja hyväksytään niin kutsutut heikot ratkaisut. Edellä mainittu kaksikasvuinen variaatio-ongelma viittaa ongelmaan, jossa on tavoitteena löytää funktio u, joka minimoi funktionaalin v v p +a(x) v q dx. Ω Ongelma vastaa elliptisen osittaisdierentiaaliyhtälön (p v p 2 v + qa(x) v q 2 v) = 0 ratkaisemista, joka on variaatio-ongelman EulerLagrange-yhtälö [2, Luku 5]. Funktionaali sopii kuvaavaamaan esimerkiksi materiaaleja, jotka ovat sekoituksia kahdesta eri aineesta. Kerroinfunktio a kuvaa aineiden konsentraatioita paikan suhteen, ja aineilla voi olla eri kovuuseksponentit p ja q. Ongelmalliseksi funktionaalin käsittelyn tekee joukko {x R n a(x) = 0}, sillä siellä funktionaalin kasvu vaihtuu (p, q)-vaiheesta p-vaiheeseen. Tutkielmassa on kaksi päätulosta. Ensimmäiseksi luvussa 3 todistetaan, että kaksikasvuisen variaatio-ongelman malliesimerkille on olemassa minimoiva funktio. Tämä tulos antaa pohjan tarkastella ratkaisufunktion säännöllisyyttä luvuissa 4 ja 5, jossa ratkaisulle osoitetaan gradientin parempi integroituvuus sekä itse minimoijan Hölder-jatkuvuus. Paremman integroituvuuden todistus perustuu SobolevPoincaré-epäyhtälöön sekä Gehringin lemmaan, kun taas Hölder-jatkuvuuden osoittaminen mukailee de Giorgin metodia. Nämä säännöllisyystulokset perustuvat Maria Colmbon ja Giuseppe Mingionen vuonna 2014 julkaistuun artikkeliin [3]. Lukijan oletetaan tuntevan Sobolev-avaruuksien perusteoriaa, mutta tärkeimmät määritelmät ja tulokset käydään läpi luvussa 1. Tässä luvussa esitettyjen tulosten todistukset sivuutetaan, mutta niistä jokaiseen annetaan kirjallisuusviittaus. Tutkielman kaikkia aputuloksia ei mainita tässä luvussa, vaan osa esitetään todistusten lomassa. Myös näille annetaan kirjallisuusviite. 3

8 1 Esitiedot ja merkinnät Käydään ensimmäiseksi läpi tutkielmassa useimmin toistuvat merkinnät sekä muutama aputulos, joiden todistukset sivuutetaan. Nämä aputulokset koskevat pääasiassa L p - ja Sobolev-avaruuksien W 1,p, perusteoriaa, ja jokaisen tuloksen todistukseen on annettu kirjallisuusviite. Aloitetaan merkintöjen esittely tutkielman variaatiointegraalista P(w, Ω) = w p +a(x) w q dx. (1.1) Ω Tässä w W 1,1 (Ω) on Sobolev-funktio ja Ω avoin sekä rajoitettu alue avaruudessa R n. Dimensiosta ei oleteta muuta kuin, että n 2. Tässä tutkielmassa funktion u heikosta gradientista merkintää ( u u =, u,..., u ) = (D 1 u, D 2 u,... D n u). x 1 x 2 x n Integraalissa esiintyvä funktio a : R n R on ei-negatiivinen Hölder-jatkuva funktio eli a(x) 0 kaikilla x R n ja a(x) a(y) M x y α, (1.2) missä α (0, 1]. Lisäksi funktion a Hölder-seminormille käytetään merkintää a(x) a(y) [a] 0,α = sup x,y Ω x y α. (1.3) Tämä ei kuitenkaan ole normi, sillä millä tahansa vakiofunktiolla a k nähdään, että [a] 0,α = 0. Lausekkeesta kuitenkin saadaan normi, kun määritellään a C 0,α (Ω)= sup a(x) +[a] 0,α. x Ω Tutkielman loppuosassa käytetään myös niin kutsuttua jäädytettyä funktionaalia P 0 (w, Ω) = missä a 0 = a(x 0 ) jollakin kiinteällä x 0 R n. Ω w p +a 0 w q dx, (1.4) Siirrytään seuraavaksi lisäoletuksiin funktionaalista P. Ensinäkin eksponenttien p ja q on oltava likimain yhtä suuret, ja näiden suhdetta sitoo epäyhtälö q p < 1 + α n, (1.5) 4

9 missä α on funktion a Hölder-eksponentti. Tämä ehto on lisäksi paras mahdollinen, sillä tutkielman päätulokselle löytyy vastaesimerkki mikäli epäyhtälö ei ole voimassa [3, Luku 4]. Kuten yleisestikin varaatio-ongelmissa, integrandin täsmällinen muoto ei ole välttämätön tieto. Käytetään kuitenkin merkintöjen selkeyttämiseksi funktionaalin P integrandille merkintää H(x, z) = z p +a(x) z q. (1.6) Tarkan suljetun muodon sijaan yksi variaatio-ongelman oletuksista integrandille on sen kasvunopeus. Tässä tutkielmassa tarkastellaan funktionaalia F(w, Ω) = F (x, w, w) dx, (1.7) jolle pätee joillakin reaaliluvuilla ν ja L. Ω νh(x, z) F (x, v, z) LH(x, z) (1.8) Variaatio-ongelmissa tarkastellaan usein lokaaleja minimejä. Tämä yleistää esimerkiksi dierentiaaliyhtälöissä käytettävät alkuarvot, joilla sidotaan kaikista mahdollisista ratkaisuista ympäristöön sopivaksi. Lokaali minimi voi sisältää kuitenkin muutakin informaatiota kuin niin kutsutut reuna-arvot. Lisäksi käsittelemällä lokaaleja minimejä voidaan pysyä nimensämukaisesti lokaaleissa tuloksissa, eli tarkastelut eivät koske alueen reunaa Ω. Täsmällisesti tämä muotoillaan seuraavassa määritelmässä. Määritelmä 1.1. Funktio u W 1,1 (Ω) on funktionaalin F lokaali minimoija, jos H(, u) L 1 (Ω) sekä F(u, supp(u v)) F(v, supp(u v)) pätee kaikilla sellaisilla v W 1,1 (Ω), joilla supp(u v) Ω. loc Tässä supp(f) on funktion f kantaja eli supp(f) = {x X f(x) 0}. Ennen aputuloksiin siirtymistä annetaan vielä funktion integraalikeskiarvolle lyhyempi merkintä (u) Ω = 1 Ω Ω u(x) dx = u(x) dx, Ω 5

10 ja todetaan, että avaruuden R n x-keskisille ja r-säteisille palloille käytetään merkintää B r (x). Jos keskipiste on kontekstista selvä tai muutoin kiinnitetty, merkintä lyhentyy muotoon B r. Näiden lisäksi huomautetaan, että tutkielmassa esiintyvät vakiot kuten c tai C oletetaan aina suuremmpiksi kuin 1, ja niiden arvo voi vaihtua jokaisesessa arviossa ilman erillistä mainintaa. Aloitetaan aputulosten läpikäynti funktionaalianalyysin tuloksista. Näistä erityisesti Mazurin lause osoittautuu keskeiseksi työkaluksi variaatioongelman ratkaisun olemassaolon todistuksessa. Nämä tulokset käsittelevät jonon heikkoa suppenemista, joten annetaan ensiksi heikon suppenemisen määritelmä. Määritelmä 1.2. Jono (x k ) suppenee heikosti kohti pistettä x avaruudessa X, jos lim T (x k) T (x) k kaikilla rajoitetuilla lineaarioperaattoreilla T X. Kun lineaarioperaattoria ei haluta merkitä erikseen näkyviin, käytetään myös merkintää x k x, kun k. Esitellään sitten kaksi heikosti suppeneviin jonoihin liittyvää tulosta. Ensimmäinen lemma yleistää suppenevien jonojen ominaisuuden. Lemma 1.3 ([4, Sivu 56]). Jos (x n ) on heikosti suppeneva jono normiavaruudessa X, niin se on rajoitettu. Toisena funktioanalyysin tuloksena esitellään edellä mainittu Mazurin lause. Tätä käytetään silloin, kun halutaan osoittaa, että heikko raja-arvo kuuluu johonkin haluttuun avaruuteen. Lause 1.4 (Mazurin lause [5, Theorem 3.12]). Olkoon E suljettu ja konveksi joukko. Tällöin E on myös heikosti suljettu joukko. Käydään seuraavaksi läpi reaalianalyysin ja Sobolev-avaruuksien perustuloksia. Ensimmäisenä mainittava Hölderin epäyhtälö on yksi yleisimmistä tavoista arvioida tulon integraalia, ja sitä käytetäänkin tässä tutkielmassa toistuvasti. Lause 1.5 (Hölderin epäyhtälö [6, Lause 1.35]). Olkoot 1 < p < ja q sellaiset luvut, että 1/p + 1/q = 1. Oletetaan lisäksi, että f L p (Ω) ja 6

11 g L q (Ω). Tällöin Ω ( ) 1/p ( 1/q fg dx f p dx g dx) q. Ω Ω Mikäli p = 1, niin yllä oleva epäyhtälö tulkitaan muodossa fg L 1 (Ω) f L 1 (Ω) g L (Ω). Tyypillisesti Hölderin epäyhtälöä käytetään myös funktion integraalin arviointiin, kun integroimisalue Ω on rajoitettu. Tällöin funktioksi g valitaan joukon Ω karakteristinen funktio χ Ω. Seuraavaksi esitettävä Egoron lause osoittautuu myös tärkeäksi tulokseksi variaatio-ongelman ratkaisun olemassaolon todistamisessa. Sitä tarvitaan, kun osoitetetaan funktionaalin heikkoa alhaalta puolijatkuvuutta. Lause 1.6 (Egoron lause [7, Luku 1.3, Theorem 3]). Olkoon f k : R n R m, k = 1, 2,... jono mitallisia funktioita, jotka suppenevat kohti funktiota g äärellismittaisessa joukossa A R n. Tällöin jokaisella ε > 0 on olemassa sellainen mitallinen joukko B A, että 1) A\B < ε, 2) f k g tasaisesti joukossa B. Tässä tutkielmassa tärkein funktioavaruus on Sobolev-avaruus W 1,p (Ω). Määritelmä 1.7. Olkoon Ω R n avoin joukko ja 1 p <. Funktio u : Ω R kuuluu Sobolev-avaruuteen W 1,p (Ω), jos funktio u ja sen heikot osittaisderivaatat kuuluvat avaruuteen L p (Ω). Toisin ilmaistuna u W 1,p (Ω) = u L p (Ω)+ u L p (Ω) ( 1/p ( 1/p = u dx) p + u dx) p <. Ω Ω Lisäksi merkitään u W 1,p 0 (Ω), jos u C 0 (Ω) W 1,p (Ω). Koska Sobolev-funktion määritelmässä esiintyvät funktion ja sen gradientin normit, on luonnollista saada joitakin arvioita näiden L p -normien välille. Yksi yleisimmistä työkaluista on jokin seuraavista epäyhtälöistä, joita kaikkia saatetaan kutsutaan lähteestä riippuen Poincarén epäyhtälöksi. 7

12 Lause 1.8 (Poincarén epäyhtälö [8, Luku 5.8, Theorem 1 ja Luku 5.6, Theorem 3]). Olkoon u W 1,p (Ω). Jos Ω on konveksi ja rajoitettu alue joukossa R n, 1 p, niin u (u) Ω L p (Ω) C u L p (Ω), (1.9) missä C C(n, p, Ω) on vakio. Lisäksi jos u W 1,p (Ω) ja p < n, niin u (u) Ω L q (Ω) C u L p (Ω) (1.10) kaikilla 1 q p, missä C riippuu myös vakiosta q. Jos u W 1,p 0 (Ω), niin u L p (Ω) C u L p (Ω) (1.11) kaikilla 1 p. Sobolev-avaruuden vakioiden p ja n keskinäinen suhde vaikuttaa merkittävästi funktioiden säännöllisyyteen. Seuraava Morreyn epäyhtälö osoittaa, että tapauksessa p > n jokaisella Sobolev-funktiolla u W 1,p (Ω) on Hölderjatkuva edustaja. Lause 1.9 ([8, Luku 5.6, Theorem 5]). Olkoon n < p < sekä Ω rajoitettu ja avoin alue, jonka reuna Ω on luokkaa C 1. Tällöin on olemassa sellainen vakio c c(n, p, Ω), että jokaisella u W 1,p (Ω) u C 0,α (Ω) c u W 1,p (Ω), missä α = 1 n/p ja funktio u on ekvivalenssiluokkansa jatkuva edustaja. Annetaan seuraavaksi yksinkertainen geometrinen kriteeri alueelle Ω. Alueen Ω reuna Ω on luokkaa C 1, jos jokaisella x Ω on sellaiset palloympäristö B r (x) ja C 1 -funktio γ : R n 1 R, että mahdollisen koordinaattien uudelleenjärjestelyn ja rotaatioiden jälkeen Ω B r (x) = {x B r (x) x n > γ(x 1,..., x n 1 )}. Intuitiivinen tulkinta on, että reuna on lokaalisti jatkuvasti derivoituva pinta. B. Lisäksi merkitään A B, jos joukon A sulkeuma on kompakti joukossa 8

13 Lause 1.10 (RellichKondrachov-kompaktisuuslause [8, Luku 5.7, Theorem 1]). Olkoon u W 1,p (Ω), missä 1 p < n, ja Ω R n sellainen avoin ja rajoitettu joukko, että Ω on luokkaa C 1. Tällöin W 1,p (Ω) L q (Ω) on kompakti upotus kaikilla 1 q < p. Koska Sobolev- ja L q -avaruudet ovat täydellisiä metrisiä avaruuksia, kompakti upotus on ekvivalenttia seuraavalle ehdolle: Jokaisella Sobolevavaruuden W 1,q (Ω) rajoitetulla jonolla on osajono, joka suppenee avaruudessa L q (Ω), kunhan 1 q p. Esitellään luvun lopuksi eräs versio Gehringin lemmasta. Lemma antaa eräänlaisen käänteisen Hölderin epäyhtälön, jonka avulla suuremmasta eksponentista voidaan siirtyä pienempään. Toinen ja tärkeämpi tulkinta Gehringin lemmalle on sen antama parempi integroituvuus. Avaruuden L 1 - funktio saadaan integroituvaksi avaruudessa, jonka eksponentti on aidosti lukua 1 suurempi. Tulos kuitenkin vaatii muutosta integroimisalueessa, mutta käsiteltäessä lokaaleja tuloksia, on paremmasta integroituvuudesta saatava hyöty suurempi kuin integroimisalueen muutoksesta syntyvä haitta. Seuraavassa lauseessa esitetty muotoilu Gehringin lemmalle on yksinkertaistus lähteestä esitetystä versiosta, sillä lähteessä esiintyvä funktio g oletetaan tässä esityksessä nollafunktioksi. Lause 1.11 ([9, Theorem 6.6]). Olkoon f L 1 (Ω). Jos jokaisella samankeskisellä pallolla B ρ B R Ω, missä ρ = R/2, pätee ( ) 1/d f(x) dx c f(x) d dx, B ρ B R kun 0 < d < 1. Tällöin on olemassa sellainen luku r > 1, että f L r (B R/2 ) ja että ( ) 1/r f(x) r dx c f(x) dx. B R/2 B R 9

14 2 Iteraatiolemmat Ennen variaatio-ongelmien käsittelyä esitellään kaksi iteraatiolemmaa. Iteraatiolemmat eivät nimestään huolimatta anna iteratiivista tulosta, vaan nimi viittaa enemmän niiden todistuksiin. Molemmat todistukset perustuvat nimittäin lukujonoihin ja induktiotodistukseen. Ensimmäinen näistä lemmoista tulee käyttöön Caccioppoli-epäyhtälöiden todistuksissa (katso esimerkiksi Lause 4.4). Lisäksi tästä lemmasta on useita versioita, joiden todistukset eivät olennaisesti eroa toisistaan. Katso esimerkiksi [10, Lemma 1.1]. Lemma 2.1. Olkoot h : [ρ 0, ρ 1 ] R ei-negatiivinen rajoitettu funktio, θ (0, 1) ja A, B, α, β 0 vakioita. Jos h(t) θh(s) + A (s t) α + B (s t) β kaikilla ρ 0 t < s ρ 1, niin tällöin on olemassa sellainen vakio c(θ, α, β), että epäyhtälö pätee. h(ρ 0 ) ca (ρ 1 ρ 0 ) α + cb (ρ 1 ρ 0 ) β Todistus. [9, Lemma 6.1] Määritellään lukujono (t i ) [ρ 0, ρ 1 ] asettamalla t i+1 t i = (1 λ)λ i (ρ 1 ρ 0 ), (2.1) kun λ (0, 1) ja t 0 = ρ 0. Osoitetaan ensin, että jonon (t i ) kaikki jäsenet kuuluvat välille [ρ 0, ρ 1 ], ja todistetaan sitten induktiolla, että [ h(ρ 0 ) θ k A h(t k ) + (1 λ) α (ρ 1 ρ 0 ) α + B (1 λ) β (ρ 1 ρ 0 ) β missä voidaan rajoituksetta olettaa, että α β. Siirtymällä teleskooppisummaan, nähdään, että t n = n t k t k 1 + t 0 = k=0 ] k 1 θ i λ iα, i=0 n (1 λ)λ k 1 (ρ 1 ρ 0 ) + t 0 k=1 = (1 λ)(ρ 1 ρ 0 )λ 1 λn 1 λ + t 0. 10

15 Koska t 0 = ρ 0 ja λ (0, 1), niin nähdään, että t n ρ 1. Lisäksi, koska erotus t i+1 t i > 0, niin (t i ) [ρ 0, ρ 1 ]. Osoitetaan seuraavaksi yläarvio arvolle h(ρ 0 ) induktiolla. Alkuaskel: Osoitetaan, että kaava pätee, kun k = 1. Oletuksen ja yhtälön (2.1) nojalla A h(ρ 0 ) = h(t 0 ) θh(t 1 ) + (t 1 t 0 ) α + B (t 1 t 0 ) β A = θh(t 1 ) + (1 λ) α (ρ 1 ρ 0 ) α + B (1 λ) β (ρ 1 ρ 0 ) β. Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee, kun k = j. Siis [ h(ρ 0 ) θ j A h(t j ) + (1 λ) α (ρ 1 ρ 0 ) α + B (1 λ) β (ρ 1 ρ 0 ) β ] j 1 θ i λ iα. Induktioaskel: Osoitetaan, että väite pätee, kun k = j + 1. Induktiooletuksesta saadaan ensin [ h(t 0 ) θ j A h(t j ) + (1 λ) α (ρ 1 ρ 0 ) α + B (1 λ) β (ρ 1 ρ 0 ) β i=0 ] j 1 Kun tätä arvioidaan siirtymällä lukuun t j+1, niin oletuksen nojalla h(t 0 ) θ j [θh(t j+1 ) + [ + ] A (t j+1 t j ) α + B (t j+1 t j ) β A (1 λ) α (ρ 1 ρ 0 ) α + B (1 λ) β (ρ 1 ρ 0 ) β = θ j+1 h(t j+1 ) + [ + ] j 1 θ i λ iα. i=0 θ i λ iα i=0 θ j A (1 λ) α λ jα (ρ 1 ρ 0 ) α + θ j B (1 λ) β λ jβ (ρ 1 ρ 0 ) β A (1 λ) α (ρ 1 ρ 0 ) α + B (1 λ) β (ρ 1 ρ 0 ) β ] j 1 θ i λ iα. Koska oletusten nojalla α β ja λ (0, 1) niin λ iβ λ iα. Yksinkertaistetaan saatua arviota ottamalla viimeisimmän rivin murtolauseke tekijäksi ja arvioimalla λ iβ λ iα, jolloin todetaan, että h(t 0 ) θ j+1 h(t j+1 ) [ ] j A + (1 λ) α (ρ 1 ρ 0 ) α + B (1 λ) β (ρ 1 ρ 0 ) β θ i λ iα, i=0 i=0 11

16 jolloin induktiotodistus on valmis. Nyt arvioimalla (1 λ) β (1 λ) α ja valitsemalla vakio λ siten, että θλ α < 1, saadaan vakioksi c = 1 (1 λ) α (1 θλ α ), kun j. Tässä θ j+1 h(t j+1 ) 0, sillä oletuksen nojalla h on rajoitettu ja θ (0, 1). Toisena esiteltävä iteraatiolemma on hieman edellistä yksinkertaisempi. Lemma antaa ehdon, milloin tiettyä muotoa oleva iteratiivisesti määritelty lukujono suppenee, ja tulosta käytetään myöhemmin, kun osoiteteaan variaatio-ongelman minimoijan rajoittuneisuus. Lemma 2.2. Olkoon α > 0 ja (x i ) jono sellaisia positiivisia reaalilukuja, että missä C > 0 ja B > 1. Jos x 0 C 1 α B 1 α 2, niin ja täten lim i x i = 0. x i+1 CB i x 1+α i, (2.2) x i B i α x0 (2.3) Todistus. [9, Lemma 7.1] Todistetaan väite induktiolla indeksin i suhteen. Alkuaskel: Väite pätee selvästi, kun i = 0, sillä x 0 B 0 α x0 = x 0. Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee, kun i = k. Siis x k B k α x0. Induktioaskel: Osoitetaan, että väite pätee, kun i = k + 1. Oletuksen (2.2) nojalla x k+1 CB k x 1+α k, josta saadaan induktio-oletuksen avulla ( ) x k+1 CB k B k α+1 α x0 = CB k k 1+α α x 1+α ) = (CB 1 α x α 0 B k+1 α x0. 0 = CB k(1 1+α α ) x 1+α 0 12

17 Viimeinen yhtäsuuruus seuraa havainnosta ( k α ) = k α α = 1 α k + 1 α. Koska oletuksen nojalla sulkulauseke niin CB 1 α x α 0 1, x k+1 B k+1 α x0, ja väite on todistettu. Lisäksi koska B > 1, niin myös raja-arvoväite seuraa. 13

18 3 Lokaalin minimoijan olemassaolo Lokaalin minimoijan olemassaolo todistetaan tilateesta riippuen eri tavoin. Tässä kappaleessa esitellään eräs todistus, kun funktionaalin F integrandi F on koersiivinen, konveksi, jatkuvasti derivoituva gradienttimuuttujan p suhteen sekä alueen Ω reuna on vähintään luokkaa C 1 (yksi Rellich Kondrachovin upotuslauseen oletuksista). Nämä ehdot toteutuvat esimerkiksi kun F (x, v, v) = H(x, v) ja Ω = B R (x 0 ) joillakin x 0 R n ja R (0, ). Tämä luku seuraa Evansin kirjan [8, Luku 8.2] esitystä. Aloitetaan todistuksen läpikäynti määrittelemällä edellä mainitut käsitteet. Määritelmä 3.1. Funktionaali F(v) on koersiivinen, jos F(v) α v q L q (Ω) jollakin vakiolla α 0. Koersiivisuuden tarkotuksena on kontrolloida funktionaalin käyttätymistä normin mielessä suurilla arvoilla. Esimerkiksi usean muuttujan funktioiden tapauksessa koersiivisuuden avulla minimin etsintä voidaan siirtää koko avaruudesta rajoitettuun eli kompaktiin joukkoon, jolloin globaalin minimin olemassaolo saadaan topologian perustuloksista. Toinen ehto, joka funktionaalille oletetaan, on konveksisuus. Tavallisten reaalifunktioiden tapauksessa konveksisuudella varmistetaan olemassaolevan globaalin minimin yksikäsitteisyys. Määritelmä 3.2. Funktio f : A R on konveksi, jos f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) kaikilla x, y A ja t [0, 1]. Usean muuttujan funktio saattaa olla konveksi vain joidenkin muuttujiensa suhteen erikseen. Esimerkiksi pian seuraavissa todistuksissa riittää olettaa, että funktio on konveksi vain kolmannen muuttujansa suhteen. Todistetaan seuraavaksi variaatiointegraalin minimoijan olemassaolo kahdessa osassa. Osoitetaan ensin, että yllämainitut ehdot täyttävä funktionaali on heikosti alhaalta puolijatkuva, jonka jälkeen toisessa osassa funktionaalianalyysin tuloksia apunakäyttäen todistetaan minimoijan olemassaolo Sobolev-avaruudessa W 1,p (Ω). 14

19 Lemma 3.3. Jos funktionaalin F(x, v, v) integrandi F (x, v, v) C (Ω, R, R n ) on ei-negatiivinen ja konveksi kolmannen muuttujan suhteen, niin se on heikosti alhaalta puolijatkuva avaruudessa W 1,p (Ω) eli F(u) lim inf j kun u k u avaruudessa W 1,p (Ω). F(u k), Todistus. Valitaan sellainen jono (u k ), että u k u avaruudessa W 1,p (Ω) ja merkitään l = lim inf k F(u k ). Osoitetaan siis, että F(u) l. Siirtymällä tarvittaessa osajonoon, voidaan olettaa, että l = lim k F(u k). Koska jono (u k ) suppenee heikosti, se on rajoitettu avaruudessa W 1,p (Ω) Lemman 1.3 nojalla. Lisäksi koska Ω on luokkaa C 1, niin Rellich Kondrachov-kompaktiuslauseen (Lause 1.10) nojalla jono (u k ) suppenee avaruudessa L p (Ω). Nyt siirtymällä mahdollisesti uuteen osajonoon nähdään, että u k u pisteittäin melkein kaikilla x Ω. Kiinnitetään ε > 0. Tällöin pisteittäisestä suppenemisesta ja Egoron lauseesta (Lause 1.6) seuraa, että on olemassa sellainen mitallinen joukko E ε, että u k u tasaisesti joukossa E ε ja Ω\E ε ε. Määritellään lisäksi F ε = {x Ω u(x) + u(x) 1/ε}. (3.1) Koska joukot {F ε } muodostavat kasvavan jonon, niin joukot {Ω\F ε } muodostavat vähenevän jonon. Lisäksi koska Ω <, niin mitan konvergenssista [11, Theorem 10.2] nähdään, että Ω\F ε 0, kun ε 0 +. Lopuksi merkitään G ε = E ε F ε ja todetaan, että Ω\G ε 0, kun ε 0 +. Koska funktio F (x, v, v) 0 kaikilla x Ω, niin F(u k ) = F (x, u k, u k ) dx F (x, u k, u k ) dx. Ω G ε Käyttämällä lisäksi funktion F konveksisuutta derivaattamuuttujan suhteen saadaan F(u k ) F (x, u k, u) dx + G ε D 3 F (x, u k, u) ( u k u) dx. (3.2) G ε 15

20 Koska jono u k suppenee kohti funktiota u rajoitetussa joukossa G ε ja F (x, u k, u) 0 sekä jatkuva, niin Fatou'n lemman [12, Luku 4, Theorem 8] nojalla lim inf k F (x, u k, u) dx G ε F (x, u, u) dx. G ε (3.3) Nyt, koska jono u k u tasaisesti joukossa G ε E ε ja funktio D 3 F (x, u k, u) on jatkuva, niin D 3 F (x, u k, u) D 3 F (x, u, u) M u k (x) u(x) < 1 kaikilla x G ε, kun k on riittävän suuri ja M on yläraja funktion F toisen kertaluvun derivaatoille. Luku M on äärellinen, sillä F C (R n, R, R n ). Täten D 3 F (x, u k, u) on enintään yhden päässä rajoitetusta funktiosta D 3 F (x, u, u) ( u(x) + u(x) 1/ε), kun k on riittävän suuri, joten lim k G ε D 3 F (x, u k, u) ( u k u) dx = 0, (3.4) sillä u k u. Nyt yhdistämällä kohdat (3.3) ja (3.4) epäyhtälöön (3.2) nähdään, että l = lim F(u k) F (x, u, u) dx k G ε kaikilla ε > 0. Nyt antamalla ε 0 + ja käyttämällä monotonisen konvergenssin lausetta [13, Theorem 1.26] F(u) = F (x, u, u) dx l = lim inf F(u k). k Ω Monotonisen konvergenssin lauseen käyttö on perusteltua, sillä F (x, v, v) 0 ja E ε E ε, kun 0 < ε < ε. Heikko alhaalta puolijatkuvuus takaa, että funktionaalin F minimoiva jono suppenee riittävästi kohti funktionaalin minimoivaa funktiota myös avaruuden W 1,p (Ω) topologiassa. Otetaan käyttöön merkintä A(g) = {u W 1,p (Ω) u g W 1,p 0 (Ω)}. Funktioluokkaan A(g) koostuu siis intuitiivisesti niistä Sobolev-funktioista, joilla on samat reuna-arvot kuin funktiolla g. 16

21 Lause 3.4. Olkoon Ω R n rajoitettu, funktionaali F koersiivinen sekä sen integrandifunktio F (x, v, v) C (Ω, R, R n ) ei-negatiivinen ja konveksi muuttujan v suhteen. Tällöin on olemassa ainakin yksi funktio u A(g), joka minimoi funktionaalin F(v) = Ω F (x, v, v) dx. Todistus. Merkitään m = inf v A(g) F(v). Jos m olisi ääretön, väite on triviaali, joten voidaan olettaa, että m on äärellinen. Inmumin ominaisuuksien nojalla on olemassa minimoiva jono (u k ) A(g), jolle pätee Koska F on koersiivinen, niin F(v) α F(u k ) m. (3.5) Ω v p dx. (3.6) Nyt koska m on äärellinen, niin minimoivan jonon jäsenet ovat äärellisiä, ja täten kohdista (3.5) ja (3.6) seuraa sup u k p L k p (Ω) sup F(u k ) <. (3.7) k α Kiinnitetään funktio w A(g). Koska myös u k A(g), niin u k w = (u k g) + (g w) W 1,p 0 (Ω). Nyt käyttämällä kolmioepäyhtälöä ja Poincarén epäyhtälöä (1.11) u k L p (Ω) u k w L p (Ω)+ w L q (Ω) c u k w L p (Ω)+c c, joten sup k u k L p (Ω)<. Kun tämä yhdistetään kohdan (3.7) kanssa, todetaan, että (u k ) on rajoitettu jono avaruudessa W 1,p (Ω). Koska jono (u k ) on rajoitettu, niin sillä on heikosti suppeneva osajono [14, Luku 12D, Corollary 1] eli u kj u, missä u W 1,p (Ω). Koska W 1,p 0 (Ω) on avaruuden W 1,p (Ω) suljettu aliavaruus ja täten myös konveksi joukko, niin se on heikosti suljettu Mazurin lauseen (Lause 1.4) nojalla. Siis, koska u kj w W 1,p 0 (Ω), niin myös u w W 1,p 0 (Ω). Tästä päätellään, että u A(g), joten F(u) m = min v A(g) F(v). 17

22 Lisäksi Lauseen 3.3 ehdot ovat voimassa, joten funktionaali F on heikosti alhaalta puolijatkuva. Siis ja täten lause on todistettu. F(u) lim inf j F(u k j ) = m, Lokaalin minimoijan yksikäsitteisyyden todistaminen ei onnistu vielä edellisen todistuksen oletuksilla. Esimerkiksi olettamalla lisäksi, että funktio F (x, v, v) on uniformisti konveksi muuttujan x suhteen eikä riipu muuttujasta v, saadaan minimoijan yksikäsitteisyyskin todistettua. Katso esimerkiksi [8, Luku 8.2, Theorem 3]. 18

23 4 Gradientin parempi integroituvuus Siirrytään seuraavaksi säännöllisyystuloksiin. Tässä luvussa todistetaan ensin niin kutsuttu SobolevPoincaré -lemma ja sitten funktion H(x, u) parempi integroituvuus. SobolevPoincaré-lemman avulla voidaan pienentää integroimiseksponenttia funktiolle H. Tämän avulla voidaan myöhemmin käyttää Gehringin lemmaa, kun integroimiseksponentti on aidosti lukua 1 pienempi, ja näin todeta, että H(x, u) L 1+δ (Ω). Todistetaan ensin arvio, kun funktiossa H(x, z) muuttujan z paikalla on integraalikeskiarvo funktiosta f. Todistuksesta huomataan, että vakioita n, p, q ja α sitova epäyhtälö on välttämätön väitteen kannalta. Erityisesti epäyhtälöä ei saada pallon säteestä R riippumattomaksi ilman ehtoa (1.5). Lemma 4.1. Olkoon f L p (B R (x)), missä B R (x) R n on pallo, jossa R 2. Jos ehto (1.5) pätee, niin on olemassa sellainen vakio c(n, p, q), että ( ) H(x, (f) BR (x)) c 1 + [a] 0,α f q p L p (B R (x)) (H(, f( ))) BR (x). Todistus. Määritellään aluksi a R (x) = inf a(y) ja H R(x, z) = z p +a R (x) z q, y B R (x) jolloin additiivisella laventamisella ja kolmioepäyhtälöllä voidaan arvioida loc H(x, (f) BR (x)) = (f) BR (x) p +a(x) (f) BR (x) q = (f) BR (x) p +(a(x) a R (x) + a R (x)) (f) BR (x) q a(x) a R (x) (f) BR (x) q +H R (x, (f) BR (x)). Lisäksi Hölder-seminormin määritelmän nojalla sekä arvioimalla x y α < R α saadaan luvulle H(x, (f) BR (x)) yläarvio H(x, (f) BR (x)) [a] 0,α R α (f) BR (x) q p (f) BR (x) p +H R (x, (f) BR (x)). (4.1) Toisaalta Hölderin epäyhtälön nojalla voidaan funktion f integraalikeskiarvolle antaa arvio (f) BR (x) B R (x) f(y) dy cr n/p f L p (B R (x)). 1 B R (x) f L p (B R (x)) B R (x) 1 1/p 19

24 Käyttämällä saatua arvioita epäyhtälössä (4.1) suureeseen (f) BR (x) q p päädytään epäyhtälöön H(x, (f) BR (x)) c[a] 0,α f q p L p (B R (x)) R pα n(q p) p (f) BR (x) p +H R (x, (f) BR (x)). Kun käytetään ehtoa (1.5), saadaan eksponentille seuraava ala-arvio pα n(q p) p = α n q (1 p + n α n + α ) + n = 0, n ja täten arvioimalla R 2 ja (f) BR (x) p H R (x, (f) BR (x)) huomataan, että ( ) H(x, (f) BR (x)) c 1 + [a] 0,α f q p L p (B R (x)) H R (x, (f) BR (x)). Lopuksi, koska t at p on konveksi funktio ja kahden konveksin funktion summa on konveksi, Jensenin epäyhtälöstä [15, Theorem 1.8.1] saadaan H R (x, (f) BR (x)) H R (x, f(y)) dy H(y, f(y)) dy, ja väite on todistettu. B R (x) B R (x) Lause 4.2 (Sobolev Poincaré -epäyhtälö). Olkoot 1 < p q ja α (0, 1], jotka lisäksi toteuttavat ehdon (1.5). Tällöin on olemassa vakio c(n, p, q, [a] 0,α, w L p (B R0 (x 0 ))) ja sellaiset eksponentit d 1 > 1 > d 2 > 0, jotka riippuvat vakioista n, p, q ja α, että ( B R (x 0 ) [ ( H x, w (w) )] d1 1/d1 B R (x 0 ) dx) R ( c B R (x 0 ) [H(x, w)] d 2 dx kaikilla w W 1,p (B R0 (x 0 )), missä B R (x 0 ) B R0 (x 0 ) Ω ja R 0 1. ) 1/d2 Todistetaan sitten varsinainen SobolevPoincaré-epäyhtälö. Todistus on jaettu kolmeen osaan, joista ensimmäisessä tehdään arvio maksimaalifunktiolle. Maksimaalifunktion avulla voidaan hyödyntää edellisen lemman arviota integraalikeskiarvolle. Lisäksi tässä vaiheessa otetaan käyttöön lisämuuttuja γ. Tämä lisäys ensinäkemältä monimutkaistaa todistusta, mutta sitä tarvitaan maksimaalifunktion rajoittuneisuuteen sekä todistuksen kolmannessa vaiheessa, kun osoittautuu, että 1/γ on sopiva lukua 1 pienempi 20

25 eksponentti lauseen väitteelle. Lisäksi, koska γ > 1, niin maksimaalifunktion vahva estimaatti on voimassa todistuksen ensimmäisessä osassa. Todistuksen toinen osa todistaa SobolevPoincaré-epäyhtälölle muodon, joka viimeistellään lauseen väitteen muotoon kolmannessa osassa. Todistuksessa apufunktio w arvioidaan Rieszin potentiaalin kautta integraalikeskiarvoiksi yli sisenevien kiekkojen. Nämä keskiarvot arvioidaan ylöspäin haluttuun muotoon maksimaalifunktiolla ja siihen liittyvällä arviolla todistuksen ensimmäisestä vaiheesta. Todistus. Vaihe 1: Maksimaalifuntion arviointi. Osoitetaan ensin, että jokaisella f L p (Ω), missä Ω R n, ja t 1 ( ) [H(x, M(f))] t dx c 1 + [a] t 0,α f t(q p) L p (Ω) kun Ω M(f)(x) = M Ω (f)(x) = Määritellään apufunktiot sup B ρ(x) Ω,ρ 2 Ω [H(x, f)] t dx, (4.2) f(y) dy. (4.3) B ρ(x) ã(x) = [a(x)] 1/γ ja H(x, z) = z p/γ +ã(x) z q/γ, kun γ = γ(n, p, q, α) (1, p) valitaan siten, että q/γ p/γ = q p < 1 + α γn, (4.4) kuten ehdossa (1.5). Havaitaan, että ã(x) on edelleen Hölder-jatkuva ja [a 1/γ ] 0,α/γ [a] 1/γ 0,α. Lopuksi todetaan, että [H(x, z)] 1/γ H(x, z) 2 1 1/γ [H(x, z)] 1/γ. (4.5) Epäyhtälön (4.4) nojalla Lemman 4.1 on voimassa funktiolle H( ). Kun muistetaan, että funktio t H(, t) on kasvava, saadaan H(x, (f) BR (x)) 1/γ H(x, Mf(x)) 1/γ. Nyt käyttämällä vasemmanpuoleista epäyhtälöä kaavasta (4.5) ja Lemmaa 4.1 (ottamalla lisäksi supremum yli pallojen B R ) saadaan H(x, Mf(x)) 1/γ H(x, Mf(x)) ( ) c 1 + [a] 1/γ 0,α f (q p)/γ L p (Ω) M( H(, f( ))(x). 21

26 Integroimalla yli alueen Ω ja käyttämällä maksimaalifunktion subadditiivisuutta [16, Sivu 78] sekä rajoittuneisuutta avaruudessa L tγ (Ω) [17, Theorem 4.1] saadaan [H(x, M(f)(x))] t dx [ H(x, M(f)(x))] tγ dx Ω Ω ( ) c 1 + [a] t 0,α f t(q p) L p (Ω) ( ) c 1 + [a] t 0,α f t(q p) L p (Ω) Ω Ω [M( H(, f( ))(x))] tγ dx [ H(x, f(x))] tγ dx, jolloin epäyhtälö (4.2) seuraa arvion (4.5) oikeasta puolesta. Tässä eksponentti tγ > 1, sillä oletusten nojalla t 1 ja γ (1, p), joten vahva estimaatti on voimassa. Funktioon H palataan vaiheessa 3. Vaihe 2: SobolevPoincaré-epäyhtälön ensimmäinen versio. Osoitetaan seuraavaksi välituloksena seuraava muoto Sobolev Poincaré - epäyhtälöstä ( B R (x 0 ) [ ( H x, w (w) B R (x 0 ) R )] p+q(n 1) q(n 1) ( c 1 + [a] 0,α w q p L p (B R (x 0 )) ) q(n 1) p+q(n 1) dx ) B R (x o) H(x, w) dx, (4.6) missä c(n, p, q) on vakio ja B R (x 0 ) Ω on mielivaltainen pallo, jonka säde R 1. Lisäksi voidaan olettaa, että epäyhtälön oikea puoli on äärellinen, sillä muutoin väite on triviaali. Kun määritellään apufunktio w ja arvioidaan tätä funktiota Rieszin potentiaalin avulla [18, Lemma 7.16], niin melkein jokaisella x B R (x 0 ) w(x) (w) w(x) = BR (x 0 ) R c(n) R B R (x 0 ) Määritellään apufunktio w(y), kun y B R (x 0 ), D(y) = 0, kun y R n \B R (x 0 ). w(y) dy. (4.7) x y n 1 Kun valitaan ensin ε (0, 1] ja merkitään sitten renkaita A i (x) = B 2 i εr(x)\b 2 (i+1) εr (x), missä i on luonnollinen luku, voidaan epäyhtälö (4.7) hajoittaa seuraavasti w(x) c R B εr (x) D(y) x y n 1 dy + c R B R (x 0 )\B εr (x) D(y) dy. x y n 1 22

27 Kirjoittamalla ensimmäinen termi sarjana integraaleina yli renkaiden A i ja arvioimalla jälkimmäisen integraalin integroimisalue pallolla B 2R (x) sekä arvioimalla termi x y n 1 säteen alarajalla saadaan [ w(x) c ( ) 2 i n 1 ] R εr D(y) 1 dy + A i (x) (εr) n 1 D(y) dy. B 2R (x) i=0 Siirtymällä integraalikeskiarvoihin [ ε w(x) c 2 i D(y) dy + 1 ε n 1 i=0 B 2 i εr (x) B 2R (x) D(y) dy missä 2 i jää jakajaksi, sillä edellisellä rivillä potenssina on n 1, mutta n kappaletta siirtyy integraalikeskiarvoon. Kun vielä arvioidaan sarjassa esiintyvä integraalikesiarvo maksimaalifunktiolla, saadaan lopulliseksi epäyhtälöksi w(x) cεm( D)(x) + c ε n 1 D(y) dy, (4.8) B 2R (x) missä M = M B3R (x) on maksimaalifunktio (kaava 4.3). Kuvassa 1 on esitetty arvioissa käytetyt palloympäristöt. Käyttämällä kolmioepäyhtälöä havaitaan helposti, että skalaareilla 0 < α 1 ja β 1 H(x, αs + βt) = αs + βt p +a(x) αs + βt q Valitaan sitten 2 p 1 ( α p s p + β p t p ) + 2 q 1 a(x) ( α q s q + β q t q ) 2 q 1 ( α p s p +a(x) α q s q + β p t p +a(x) β q t q ) c [ α p H(x, s) + β q H(x, t)]. (4.9) ε = Valittu ε (0, 1], sillä ( ) 1/(p+q(n 1)) H(x, ( D )B2R(x)). H(x, M( D)(x)) H(x, ( D ) B2R (x)) H(x, M( D)(x)), kun muistetaan, että t H(, t) on kasvava funktio ja että oletuksen nojalla 2R 2, jolloin maksimaalifunktio majoroi funktion keskiarvoa. Lisäksi koska cε q(1 n) 1 ja t H(, t) on kasvava funktio, niin se säilyttää epäyhtälön 23 ],

28 Ω = B 3R (x) B 2R (x) 2R B R 3R x R x 0 Kuva 1: Havainnollistus todistuksen eri palloympäristöistä. suunnan, jolloin käyttämällä funktiota H(x, ) epäyhtälön (4.8) molempiin puoliin ja arvioimalla lisäksi epäyhtälön (4.9) mukaisesti, saadaan H(x, w(x)) cε p H(x, M( D)(x)) + cε q(1 n) H(x, ( D ) B2R (x)). (4.10) Sijoittamalla valittu ε epäyhtälöön (4.10) saadaan H(x, w(x)) c H(x, ( D ) B2R (x))) p/(p+q(n 1)) H(x, M( H(x, M( D)(x)) D)(x)) p/(p+q(n 1)) + c H(x, ( D ) B2R (x)) q(1 n)/(p+q(n 1)) H(x, M( D)(x)) q(1 n)/(p+q(n 1)) H(x, ( D ) B2R (x)) = c H(x, ( D ) B2R (x))) p/(p+q(n 1)) H(x, M( D)(x)) p/(p+q(n 1)) 1 + c H(x, ( D ) B2R (x)) q(1 n)/(p+q(n 1))+1 H(x, M( D)(x)) q(1 n)/(p+q(n 1)) q(n 1) = c[h(x, M( D)(x))] p+q(n 1) [H(x, ( D ) B2R (x))] p p+q(n 1). 24

29 Korottamalla saatu epäyhtälö puolittain potenssiin [p + q(n 1)]/[q(n 1)] ja käyttämällä sitten epäyhtälön oikeaan puoleen Lemmaa 4.1, saadaan H(x, w(x)) p+q(n 1) q(n 1) ch(x, M( D)(x)) [ ( 1 + [a] 0,α D q p L p (B 2R (x)) ) B 2R (x) H(y, D(y)) dy Lopuksi funktion D määritelmästä päädytään epäyhtälöön H(x, w(x)) p+q(n 1) q(n 1) ch(x, M( D)(x)) [ ( ) 1 + [a] 0,α w q p L p (B R (x 0 )) B R (x 0 ) H(y, w(y)) dy ] p q(n 1). ] p q(n 1) Ottamalla puolittain integraalikeskiarvo yli alueen B R (x 0 ) ja hyödyntämällä kaavaa (4.2) tulon ensimmäiseen termiin parametrin t arvolla 1 ja integroimisalueella Ω = B 3R (x) (Maksimaalifunktion määritelmä vaiheessa 1) voidaan arvioida H(x, w) p+q(n 1) q(n 1) B R (x 0 ) ( q p dx c 1 + [a] 0,α D L p (B 3R(x) ) [ ( ) 1 + [a] 0,α w q p L p (B R (x 0 )) ) B R (x 0 ) B 3R (x) H(x, w) dx H(x, D(y)) dx. ] p q(n 1) Lopuksi käyttämällä uudestaan tietoa, että D(y) = 0 kun y B R (x 0 ), saadaan lopulta H(x, w) p+q(n 1) q(n 1) dx B R (x 0 ) ( ) p+q(n 1) c 1 + [a] 0,α w q p q(n 1) L p (B R (x 0 )) ( B R (x 0 ) H(x, w) dx ) p+q(n 1) q(n 1) jolloin epäyhtälö (4.6) on todistettu juuren oton jälkeen. Vaihe 3: Epäyhtälön parannus. Tarkastellaan taas funktiota H(x, z) = z p/γ +ã(x) z q/γ ja valitaan vakioksi γ(n, p, q, α) (1, p), niin, että sekä (4.4) että,. d 1 = p + q(n 1) γq(n 1) > 1 25

30 ovat voimassa. Näin voidaan käyttää juuri todistettua SobolevPoincareepäyhtälöä (4.6) funktioon H. Tällöin vasemmanpuoleisesta epäyhtälöstä (4.5) saadaan ( B R (x 0 ) c H B R (x 0 ) ( x, w (w) ) d1 1/d1 B R (x 0 ) dx) R H ( x, w (w) ) p+q(n 1) q(n 1) B R (x 0 ) R ( ) γ ( c 1 + [a] 0,α w q p L p (B R (x 0 )) ( = c B R (x 0 ) H(x, w) dx) γ. B R (x 0 ) dx γq(n 1) p+q(n 1) H(x, w) dx Käyttämällä lopuksi epäyhtälön (4.5) oikeaa puolta, muistamalla, että d 1 > 1, ja valitsemalla d 2 = 1/γ < 1 ( B R (x 0 ) jolloin väite on todistettu. [ ( H x, w (w) )] d1 1/d1 B R (x 0 ) dx) R ( 1/d2 c [H(x, w)] d 2 dx), B R (x 0 ) Huomautus 4.3. Edellinen lause pätee myös muodossa ( B R (x 0 ) [ ( H x, R) w ] d 1 ) 1/d1 dx ( c 1 + [a] 0,α w q p L p (B R (x 0 )) ( B R (x 0 )) ) γ [H(x, w)] d 2 dx) 1/d2, kun w W 1,1 0 (B R (x 0 )). Tämä seuraa siitä, että epäyhtälö (4.7) pätee myös, kun w W 1,1 0 (B R (x 0 )), kun käytetään apufunktiota w(x) = w(x)/r [18, Lemma 7.14]. Parempi integroituvuus saavutetaan todistamalla ensin Caccioppoliepäyhtälö, jossa funktion H(x, u) integraalia arvioidaan ilman derivaattaa. Kun tähän yläarvioon sovelletaan edellä todistettua SobolevPoincaré- 26

31 epäyhtälöä palataan takaisin funktion H(x, u) integraaliin tällä kertaa lukua 1 pienemällä integrointieksponentilla. Tästä Gehringin lemma antaa halutun lopputuloksen. Lause 4.4. Olkoot u W 1,p (Ω) funktionaalin F lokaali minimoija ja ehdot (1.2), (1.5) sekä (1.8) voimassa. Tällöin on olemassa sellainen integroimiseksponentti δ(n, p, q, ν, L, α, [a] 0,α, a L, u L p) > 0, että i) H(x, u) L 1+δ (Ω). loc ii) Seuraava käänteinen Hölderin epäyhtälö pätee ( ) 1/(1+δ) H(x, u) 1+δ dx c H(x, u) dx, B R/2 B R missä c on vakio, joka riippuu samoista vakioista kuin δ. Todistus. Olkoon B R Ω pallo, jonka säde R 1. Kaikki pallot tässä todistuksessa ovat samankeskisiä pallon B R kanssa. Määritellään ρ t < s R ja sellainen leikkausfunktio η C 0 (B s), että η 4/(s t), 0 η 1 sekä η(x) = 1, kun x B t. Asetetaan lisäksi w = u η(u (u) BR ). Koska oletuksen nojalla u minimoi funktionaalin F, niin H(, u) L 1 (Ω), joten loc a(x) u q L 1 (Ω). (4.11) loc Lisäksi, koska oletuksen nojalla u W 1,p (Ω), niin Sobolevin upotuslauseen [8, Luku 5.6, Theorem 2] nojalla u L p (Ω). Täten ehdon (1.5) nojalla p q > np n p p pα ( p n = p n p α ) ( p p n n p 1 ) 0, n josta seuraa Hölderin epäyhtälön nojalla, että u L q (Ω). Koska u minimoi funktionaalin F, eli F(u, B s ) F(w, B s ), niin ehdon (1.8) nojalla νp(u, B s ) LP(w, B s ). Tämän lisäksi η 1 pallossa B t, joten 27

32 w 0 pallossa B t, ja täten H(x, u) dx C H(x, w) dx = C H(x, w) dx B s B s B s\b t = C u (u (u) BR ) η η, u p B s\b t + a(x) u (u (u) BR ) η η u q dx C u η u p +a(x) u η, u q dx B s\b t + C (u (u) BR ) η p +a(x) (u (u) BR ) η q dx B s\b t C H(x, u) dx B s\b t c + (s t) p u (u) BR p c dx + B s (s t) q a(x) u (u) BR q dx. B s Tässä vakiot C ja c riippuvat vakikoista n, p, q, ν ja L, ja epäyhtälön oikea puoli on äärellinen, sillä u L p (B s ) L q (B s ) ja jatkuvana funktiona a L (B s ). Nyt arvioimalla integraalia alaspäin pienentämällä pallon sädettä ja täyttämällä reikä, eli lisäämällä edelliseen epäyhtälöön puolittain C H(x, u) dx, B t ja tämän jälkeen jakamalla puolittain termillä (C + 1) saadaan H(x, u) dx H(x, u) dx θ H(x, u) dx B t B s B s c + (s t) p u (u) BR p c dx + B s (s t) q a(x) u (u) BR q dx, B s missä vakio θ = C/(C + 1) < 1. Nyt voidaan käyttää Lemmaa 2.1 merkinnöillä h(t) H(x, u) dx, β p, α q, B t A = u (u) BR p dx ja B = a(x) u (u) BR q dx, B s B s jolloin saadaan arvio ca h(ρ) = H(x, u) dx B ρ (R ρ) p + cb (R ρ) q ( = c x, u (u) ) B R dx. R ρ B s H 28

33 On siis saatu seuraava Caccioppoli-arvio H(x, u) dx c H B ρ B R ( x, u (u) ) B R dx. (4.12) R ρ Kun tässä valitaan ρ = R/2 ja siirrytään integraalikeskiarvoihin, niin ( H(x, u) dx c H x, u (u) ) B R dx. (4.13) B R/2 B R R Tässä vakio c ei riipu säteestä R, vaikka integraalikeskiarvon integroimisalue muuttuu, sillä Lebesguen mitta on tuplaava. Vähennetään integroimiseksponenttia 1 käyttämällä ensin Hölderin epäyhtälöä ja sitten Lausetta 4.2. Hölderin epäyhtälöstä nähdään, että ( H x, u (u) ) B R dx = 1 ( H x, u (u) ) B R dx B R R B R B R R ( 1 ( x, u (u) ) ) 1/d1 d1 B R dx B R 1 1/d 1. B R R B R H Nyt kertomalla ja jakamalla luvulla B R 1/d 1 voidaan siirtyä takaisin integraalikeskiarvoon ( H x, u (u) ) B R dx (4.14) B R R ( B R 1/d 1 B R 1 1/d ( 1 1 H x, u (u) ) 1/d1 d1 B R dx) B R B R B R R ( ( = x, u (u) ) ) 1/d1 d1 B R dx. R B R H Nyt käyttämällä Lausetta 4.2 todetaan ( x, u (u) ) ( ) 1/d2 B R dx c H(x, u) d 2 dx. R B R B R H Kun tämä yhdistetään epäyhtälöön (4.13) saadaan lopulta ( ) 1/d2 H(x, u) dx c H(x, u) d 2 dx, B R/2 B R ja todetaan, ettei vakio c edelleenkään riipu säteestä R. Toisin sanoen päättely pätee kaikilla palloilla B R Ω, joiden säde R 1 ja c riippuu vakioista n, p, q, ν, L, α, [a] 0,α ja u L p. Koska d 2 < 1, niin väite seuraa Gehringin lemmasta (Lause 1.11). 29

34 5 Lokaalin minimoijan Hölder-jatkuvuus Viimeisenä päätuloksena osoitetaan, että funktionaalin F lokaali minimoija u on Hölder-jatkuva ensin tapauksessa p > n/(1 + δ) ja sitten pienemmille eksponentin p arvoille. Ensimmäisessä tapauksessa Hölder-jatkuvuus tässä tapauksessa seuraa suoraviivaisesti Morreyn epäyhtälöstä. Tämän jälkeen todistetaan, että funktionaalin F minimoija on aina lokaalisti rajoitettu sekä Hölder-jatkuva myös tapauksessa p n/(1+δ). Nämäkin todistukset käyttävät luvussa 2 esitettyjä iteraatiolemmoja, mutta vaativat myös monta uutta aputulosta. Todistuksen idea noudattelee de Giorgin metodia, jossa tarkastellaan lokaalin minimoijan tasojoukkojen avulla rajoittuneisuutta sekä heilahtelua. Lisäksi, koska variaatio-ongelma on kaksikasvuinen, kerroinfunktion a arvot vaikuttavat funktionaalin käyttäytymiseen. Tämän vuoksi täytyy tarkastella erikseen tapauksia, joissa a saa joko pieniä tai suuria arvoja. Lause 5.1. Olkoot u W 1,p (Ω) funktionaalin F lokaali minimoija ja ehdot (1.2), (1.5) sekä (1.8) voimassa. Jos p > n/(1 + δ), niin jokaisella avoimella Ω Ω on olemassa sellainen Hölder-eksponentti β(n, p, q, ν, L[a] 0,α, u L ) (0, 1), että u C 0,β loc (Ω ). Tässä vakio δ on sama kuin Lauseen 4.4 väitteessä. Todistus. Väite seuraa Morreyn epäyhtälöstä seuraavasti. Lauseen 4.4 kohdan i) nojalla u L p(1+δ) (Ω) ja Poincarén epäyhtälön (1.10) nojalla u L q (Ω) u (u) Ω L q (Ω)+ (u) Ω L q (Ω) u L r (Ω)+ (u) Ω L q (Ω)<, kun r = p(1 + δ) ja q r. Siis u L p(1+δ) (Ω), ja täten myös u W 1,p(1+δ). Tällöin Morreyn epäyhtälön (Lause 1.9) nojalla Tässä joten Hölder-jatkuvuus on todistettu. u C 0,γ (Ω) C u W 1,p(1+δ) (Ω). n γ = 1 p(1 + δ) = p n + pδ, p + pδ 30

35 Aloitetaan de Giorgin metodin läpikäynti lokaalin rajoittuneisuuden todistamisesta, ja otetaan funktioiden positiivi- ja negatiiviosille käyttöön merkinnät (u k) + = max{u k, 0} ja (u k) = max{k u, 0}. Otetaan käyttöön myös vastaavat tasojoukot A(k, s) = B s {x Ω u(x) > k} ja B(k, s) = B s {x Ω u(x) < k}. Ideana on todistaa, joukko A(2T, R/2) on nollamittainen jollakin reaaliluvulla T. Ensimmäiseksi todistetaan Caccioppoli-epäyhtälö myös funktiolle (u k) +. Tämä todistus on samankaltainen kuin edellisessä luvussa, mutta sen yksityiskohdat katkaisufunktion muotoa lukuunottamatta on jätetty lähdemateriaalissa esittämättä. Lause 5.2. Olkoot u W 1,p (Ω) funktionaalin F lokaali minimoija ja ehdot (1.2), (1.5) sekä (1.8) voimassa. Tällöin seuraava Caccioppoli-epäyhtälö H(x, (u k) ± ) dx c B t B s H ( x, (u k) ) ± dx (5.1) s t on voimassa kaikilla k R ja t < s, kun c c(n, p, q, ν, L) on vakio sekä B t B s ovat samankeskisiä palloja. Todistus. Olkoon B s pallo, jonka säde s 1. Olkoon t < s ja määritellään leikkausfunktio η C 0 (B s), jolle a) η 4/(s t) b) 0 η 1 c) η 1 pallossa B t. Määritellään lopuksi apufunktio w = u η(u k) +. Samoin kuin Lauseen 4.4 todistuksessa päätellään, että a(x) w q L 1 loc (Ω) ja u Lq loc (Ω). Koska u minimoi funktionaalin F, eli F(u, A(k, s)) F(w, A(k, s)), niin ehdon (1.8) nojalla νp(u, A(k, s)) LP(w, A(k, s)). Kun käytetään tulon 31

36 derivointikaavaa, nähdään H(x, (u k) + ) dx = B s C = A(k,s) A(k,s) A(k,s) H(x, (u k) + ) dx H(x, w) dx u (u k) + η η (u k) + p + a(x) u (u k) + η η (u k) + q dx. Erottelemalla integrandit kolmioepäyhtälön avulla ja jakamalla integroimisalue sisä- ja ulko-osaan, saadaan yläarvioksi H(x, (u k) + ) dx A(k,s) C + C + C A(k,s)\A(k,t) A(k,t) A(k,s) u η (u k) + p +a(x) u η (u k) + q dx u η (u k) + p +a(x) u η (u k) + q dx (u k) + η p +a(x) (u k) + η q dx. Nyt funktion η ominaisuuksista ja havainnosta, että u = (u k) + joukossa A(k, s), saadaan epäyhtälö muotoon H(x, (u k) + ) dx C A(k,s) + c (s t) p A(k,s) (u k) + p dx + A(k,s)\A(k,t) c (s t) q H(x, u) dx A(k,s) a(x) (u k) + q dx Vakiot C ja c riippuvat vakioista n, p, q, ν ja L sekä epäyhtälön oikea puoli on äärellinen, sillä u L p (B s ) L q (B s ) ja jatkuvana funktiona a L (B s ) koska B s Ω. Nyt arvioimalla integraalia alaspäin pienentämällä pallon sädettä ja täyttämällä reikä, eli lisäämällä edelliseen epäyhtälöön puolittain C H(x, u) dx, A(k,t) ja lopuksi jakamalla puolittain termillä (C + 1) saadaan H(x, (u k) + ) dx H(x, u) dx θ A(k,t) + A(k,s) A(k,s) H(x, u) dx c (s t) p (u k) + p c dx + A(k,s) (s t) q a(x) (u k) + q dx, A(k,s) 32

37 missä vakio θ = C/(C + 1) < 1. Nyt voidaan käyttää Lemmaa 2.1 merkinnöillä ja saadaan arvio h(t) = h(t) A(k,t) A = (u k) + p dx ja B = A(k,s) A(k,t) H(x, (u k) + ) dx, α p, β q, A(k,s) a(x) (u k) + q dx H(x, (u k) + ) dx ca (s t) p + cb (s t) q ( = c H x, (u k) ) + dx. s t A(k,s) Lopuksi siirtymällä integroimisalueissa takaisin palloihin nähdään, että ( H(x, (u k) + ) dx C H x, (u k) ) + dx. B t B s s t Tapaus (u k) käsitellään samoin kunhan lisäksi todetaan, että funktio u minimoi funktionaalin F, missä integrandina on F (x, v, z). Uusi funktionaali täyttää ehdon (1.8), joten todistus on samanlainen kuin edellä. Osoitetaan seuraavaksi lokaalin minimoijan lokaali rajoittuneisuus. Koska todistuksessa käytetään luvussa 4 todistettua Sobolev-Poincaré-lemmaa, ehto (1.5) on välttämätön myös tässä todistuksessa. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi seuraavassa todistuksessa käytetään säteen skaalausta. Ideana on, että kaikki tarkastelut tehdään origokeskisessä pallossa, jonka säde R = 1. Tämä tapahtuu siirtymällä funktioihin ũ(x) = u(x 0 + Rx) (u) BR R Muunnoksista nähdään, että [ã] 0,α,B1 (0) = ã(x) ã(y) sup x,y B 1 (0) x y α ja ã(x) = a(x 0 + Rx). (5.2) a(x 0 + Rx) a(x 0 + Ry) = sup x,y B 1 (0) x 0 + Rx x 0 Ry α a( x) a(ỹ) = sup x,ỹ B R (x 0 ) R α x ỹ = R α [a] 0,α,BR (x 0 ); (5.3a) 33

38 ( 1/p ( ũ L p (B 1 (0)) = ũ(x) dx) p = u(x 0 + Rx) p dx B 1 (0) B 1 (0) ( ) 1/p = u( x) p R n d x = u L p (B R (x 0 )) B R (x 0 ) R n/p ; (5.3b) ) 1/p ( ) 1/p ũ L p (B 1 (0)) = ũ(x) p dx B 1 (0) ( u(x = 0 + Rx) (u) BR (x 0 ) p B 1 (0) R dx ( = u( x) (u) BR (x 0 ) p R n 1 d x B R (x 0 ) ) 1/p ) 1/p = u (u) B R (x 0 ) L p (B R (x 0 ) R n/p+1, (5.3c) missä x = x 0 +Rx eli x = ( x x 0 )/R. Samankaltaiset laskut osoittavat myös, että funktio u minimoi funktionaalin P(, B R (x 0 )), niin funktio ũ minimoi funktionaalin v B 1 (0) v p +ã(x) v q dx, ja vastaava päätelmä pätee myös funktionaalille F. Lause 5.3. Olkoot u W 1,p (Ω) funktionaalin F lokaali minimoija ja ehdot (1.2), (1.5) sekä (1.8) voimassa. Tällöin funktio u on lokaalisti rajoitettu eli u L (B R/2 ) c(n, p, q, ν, Lα, [a] 0,α, R, u L p (B R ), H(, u) L 1 (B R )) (5.4) kaikilla palloilla B R Ω. Todistus. Vaihe 1: Iteraation valmistelu. Oletetaan, että säde R = 1 ja muussa tapauksessa käytetään säteen skaalausta (5.2). Valitaan luvut 0 h < k ja 1/2 ρ < s 1 sekä samankeskiset pallot B ρ B t B s, missä t = (s + ρ)/2 on säteiden s ja ρ keskiarvo. Määritellään lisäksi sellainen katkaisufunktio η C0 (B t), että η 1 pallosa B ρ ja η c/(s ρ). Käyttämällä Hölderin epäyhtälöä eksponentin kasvattamiseen kuten kohdas- 34

39 sa (4.14) saadaan H(x, η(ũ k) + ) dx = B t H(x, η(ũ k) + ) dx B t B t ( ) 1/d1 B t H(x, η(ũ k) + ) d 1 dx. B t Nyt hyödyntämällä aiemmin todistettua versiota SobolevPoincaré - lauseesta (Huomautus 4.3) ( H(x, η(ũ k) + ) dx c B t B t 1 + [a] 0,α (η(ũ k) + ) q p L p (B t) ) 1/d2. ( H(x, (η(ũ k) + )) d 2 dx B t Epäyhtälö on voimassa, sillä η C 0 (B t), jolloin η(ũ k) + W 1,p 0 (B t ). Käsitellään viimeisen lausekkeen termejä erikseen. Aluksi todetaan, että (η(ũ k) + ) q p L p (B = (ũ k) t) + η + η (ũ k) + q p L p (B t) c ũ q p (s ρ) q p L p (B t) +c ũ q p L p (B, t) kun huomioidaan, että η on rajoitettu ja η 1. Lisäksi, koska d 2 (0, 1), niin siirtymällä pois integraalikeskiarvosta saadaan pallon B t mitan eksponentiksi negatiivinen luku 1 1/d 2. Näin pallon B t mitta voidaan arvioida vakiolla ylöspäin, sillä säde t on rajoitettu alhaalta luvulla 1/2. Tekemällä mainitut arviot, saadaan lopulta ( c H(x, η(ũ k) + ) dx B t (s ρ) q p H(x, (η(ũ k) + )) d 2 dx B t ) ) 1/d2 missä d 2 (n, p, q, α) (0, 1) ja vakio c riippuu vain vakioista n, p, q, α, [a] 0,α, R n/p u L p ja R n/p 1 u L p kaavojen (5.3) mukaisesti. Käytetään seuraavaksi käänteistä Hölderin epäyhtälöä fg 1 f 1/p g 1/(p 1), missä f = H(, (η(ũ k) + )), g = χ A(k,t) ja 1/p = d 2. Ratkaisemalla f 1/p ja tekemällä edellämainitut sijoitukset saadaan epäyhtälö c H(x, η(ũ k) + ) dx B t (s ρ) q p H(x, (η(ũ k) + )) dx A(k, t) d 3, B t (5.5) 35

40 missä d 3 = (1 d 2 )/d 2 > 0. Toisaalta, koska t H(, t) on kasvava, sublineaarinen toisen muuttujan suhteen (epäyhtälö (4.9), kun α = β = 1) ja η on valittu sopivasti, niin H(x, (η(ũ k) + )) dx = H(x, (ũ k) + η + η (ũ k) + ) dx B t B t c H(x, (ũ k) + η) + c H(x, η (ũ k) + ) dx B t B ( t c H x, (ũ k) ) + dx + c H(x, (ũ k) + ) dx. B t s ρ B t Sijoittamalla saatu epäyhtälö ja Lauseesta 5.2 saatu Caccioppoli -epäyhtälö (5.1) lausekkeeseen (5.5) sekä pitämällä kirjaa positiiviosasta integroimisalueessa päädytään arvioon H(x, ũ k) dx A(k,ρ) A(k,t) c (s ρ) q p H A(h,s) H(x, η(ũ k)) dx ( x, ũ h s ρ ) dx A(k, s) d 3, (5.6) missä c riippuu vakioista n, p, q, α, [a] 0,α ja R n/p 1 u W 1,p. Siirtyminen luvusta k lukuun h ja Caccioppoli-epäyhtälön (Lause 5.1) käyttö on perusteltua, sillä oletuksen nojalla h < k, kuvaus t H(, t) on kasvava ja funktio ũ minimoi funktionaalin F(, B 1 ). Vaihe 2: Iteraatio. Iteroidaan seuraavaksi epäyhtälöä (5.6). Tätä varten olkoon {B ρi } jono x 0 -keskisiä palloja, joiden säteille pätee ρ i = (1 + 2 i )/2 kaikilla i = 0, 1, 2,.... Olkoon lisäksi T > 0 vakio, jonka tarkka arvo selvitetään myöhemmin, ja määritellään tasot k i = 2T (1 2 (i+1) ). Sijoitetaan epäyhtälöön (5.6) arvot ρ = ρ i+1, s = ρ i, k = k i+1 ja h = k i, jolloin H(x, ũ k i+1 ) dx c4 iq H(x, ũ k i ) dx (5.7) A(k i+1,ρ i+1 ) A(k i,ρ i ) Määritellään ja arvioidaan lisäksi Ψ i = T p H(x, ũ k i ) dx T p A(k i,ρ i ) A(k i+1, ρ i ) d 3. (5.8) A(k i+1,ρ i ) T p [(k i+1 k i ) p + a(x)(k i+1 k i ) q ] A(k i+1, ρ i ) H(x, ũ k i ) dx T p (k i+1 k i ) p A(k i+1, ρ i ), (5.9) 36