Talousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta

2 Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia: max/min f(x 1,, x n ) Totesimme, että funktion ääriarvo löytyy gradientin nollakohdasta: f x 1,, x n 0 2

3 Viime luennolla Ääriarvo on Minimi, jos funktion Hessen matriisi on siinä positiividefiniitti Maksimi, jos funktion Hessen matriisi on siinä negatiividefiniitti Definiittisyys voitiin määrittää matriisin ominaisarvoista (ominaisarvot neg./pos. matriisi neg./pos.-definiitti) Kahden muuttujan tapauksessa myös: o Jos det H x 0 > 0 ja 2 f 2 > 0, H on positiividefiniitti pisteessä x 0 o Jos det H x 0 > 0 ja 2 f 2 < 0, H on negatiividefiniitti pisteessä x

4 Tällä luennolla Tarkastelemme usean muuttujan funktioiden yhtälörajoitettua optimointia max/min f(x 1,, x n ) siten, että g 1 x 1,, x n 0 Yksi yhtälörajoitus 4

5 Rajoitettu optimointi Esim. Synteettisen kalanrehun tuotannossa käytetään kemikaaleja A (x kg/t) ja B (y kg/t). Tuotantoprosessissa rehuun jää lievästi myrkyllistä ainetta, jonka määrän (g/t) riippuvuutta kemikaalimääristä x ja y kuvaa funktio f: R + R + R +, f x, y 17.8x y x 320.4y Millä A:n ja B:n määrillä myrkyn määrä on pienin mahdollinen, kun kemikaaleja tarvitaan yhteensä 7 kg/t? 5

6 Rajoitettu optimointi Kyseessä on kahden muuttujan rajoitettu optimointitehtävä, jossa on yksi yhtälörajoitus: min f(x, y) siten, että g x, y 0, missä f x, y 17.8x y x 320.4y g x, y x + y 7 Tällainen tehtävä voidaan ratkaista Lagrangen menetelmällä 6

7 Lagrangen mentelemä Tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g x 1,, x n L: R n+1 R 0 Lagrangen funktio on L x 1,, x n, v f x 1,, x n + vg x 1,, x n Alkuperäinen kohdefunktio f + Lagrangen kerroin v Yhtälörajoitusfunktio g Pätee: (x 1,, x n, v ) on tehtävän min/max L x 1,, x n, v optimiratkaisu (x 1,, x n ) on tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g x 1,, x n 0 optimiratkaisu 7

8 Lagrangen menetelmä Rajoitetun optimointitehtävän min/max f(x 1,, x n ), g x 1,, x n 0 ratkaisu saadaan siis ratkaisemalla rajoittamaton optimointitehtävä min/max L x 1,, x n, v Rajoittamattoman funktion L x 1,, x n, v ääriarvo löytyy gradientin nollakohdasta (x 1,, x n, v ) : L x 1,, x n, v 0 Funktion L ääriarvokohdan (x 1,, x n, v ) laatu (minimi/maksimi) voidaan päätellä reunustetusta Hessen matriisista: ഥH v, x 1,, x n v 2 v x n v v 2 x n v x n x n x n 2 0 x n 2 x n x n x n x n 2 8

9 Lagrangen menetelmä Reunustettu Hessen matriisi on aina indefiniitti, eli ei tässä kerro ääriarvon laadusta Gradientin nollakohdassa on funktion lokaali maksimi, jos ഥH 1 < 0, ഥH 2 > 0, ഥH 3 < 0, ഥH 4 > 0, missä ഥH 1 0 2, ഥH 2 0 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 jne. Gradientin nollakohdassa on funktion lokaali minimi, jos ഥH 1 < 0, ഥH 2 < 0, ഥH 3 < 0, ഥH 4 < 0,

10 Lagrangen menetelmä Ehto ഥH 1 2 < 0 toteutuu aina, joten Kahden muuttujan ja yhden yhtälörajoitteen tehtävässä gradientin v, x 1, x 2 nollakohdassa on lokaali Minimi, kun det ഥH v, x 1, x 2 < 0 Maksimi, kun det ഥH v, x 1, x 2 >

11 Lagrangen mentelemän perusperiaate Kahden muuttujan ja yhden yhtälörajoitteen optimointitehtävä min/max f(x 1, x 2 ), g x 1, x 2 0 ratkaistaan 1. Muodostamalla Lagrangen funktio L x 1, x 2, v f x 1, x 2 + vg x 1, x 2 2. Määrittämällä Lagrangen funktion gradientin nollakohta x 1, x 2, v : L x 1, x 2, v 0 3. Muodostamalla reunustettu Hessen matriisi ഥH v, x 1, x 2 0 x 2 x2 1 x 2 x 2 x 2 x Tarkistamalla ääriarvon laatu reunustetun Hessen matriisin determinantin avulla: o Jos det ഥH v, x 1, x 2 > 0, funktio f saavuttaa maksiminsa pisteessä x 1, x 2 o Jos det ഥH v, x 1, x 2 < 0, funktio f saavuttaa miniminsä pisteessä x 1, x

12 Lagrangen menetelmä Esim. On minimoitava myrkyn määrää, kun A:ta ja B:tä on yhteensä 7 kg: min f x, y 17.8x y x 320.4y s. e. g x, y x + y 7 0 Lagrangen funktio: L: R 3 R, L x, y, v 17.8x y x 320.4y v x + y 7 Gradientin nollakohta: L x, y, v D x (L x, y, v ) D y (L x, y, v ) D v (L x, y, v ) 35.6x v 142.4y v x + y x y v

13 Lagrangen menetelmä Reunustettu Hessen matriisi: ഥH v, x, y 0 x y x x 2 y x y x y y D x (35.6x v) D y (35.6x v) 1 D x (142.4y v) D y (142.4y v) ഥH det ഥH < 0 Rajoitettu funktio f x, y saavuttaa pisteessä x, y (4.3, 2.7) minimiarvonsa f 4.3, g/t Vrt. Viime luennolla laskettu rajoittamaton minimi: f 2.5, g/t 13

14 Lagrangen menetelmä Esim. Tuotannon arvon riippuvuutta työvoimasta x 1 (M ) ja fyysisestä pääomasta x 2 (M ) kuvaa Cobb- Douglas-tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x x x Miten 30 M kannattaa jakaa työvoiman ja pääoman kesken, jotta tuotannon arvo maksimoituisi? 14

15 Lagrangen menetelmä Maksimoidaan siis funktiota f x 1, x 2 g x 1, x 2 x 1 + x x x siten, että Lagrangen funktio: L x 1, x 2, v 2.28x x v(x 1 + x 2 30) Gradientin nollakohta: L x 1, x 2, v D x1 (L x 1, x 2, v ) D x2 (L x 1, x 2, v ) D v (L x 1, x 2, v ) x x v x x v x 1 + x

16 Lagrangen menetelmä Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä: x x x x x x 1 Sijoitetaan kolmanteen yhtälöön: x x 1 30 x Tällöin x ja v Lagrangen funktion gradientin nollakohta on siis pisteessä x 1, x 2, v 11.4, 18.6, Mahdollinen ääriarvokohta funktiolle f x 1, x 2 on x 1, x ,

17 Lagrangen menetelmä Muodostetaan reunustettu Hessen matriisi: ഥH v, x 1, x 2 0 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x D x1 (0.8664x x v) D x2 (0.8664x x v ) 1 D x1 (1.4136x x v ) D x2 (1.4136x x v ) ഥH v, x 1, x x x x x x x x x det ഥH v, x 1, x > 0 maksimi Pisteessä x 1, x , 18.6 saavutetaan tuotannon maksimiarvo f x 1, x M 17

18 Presemo-kysymys Määritä funktion f x, y x 2 + y 2 2xy mahdollinen ääriarvokohta, kun x + y x, y 0,2 2. x, y 1,1 3. x, y 2,

19 Presemo-kysymys Määritä funktion f x, y x 2 + y 2 2xy reunustettu Hessen matriisi, kun x + y ഥH v, x, y 2. ഥH v, x, y 3. ഥH v, x, y Laske reunustetun Hessen matriisin determinantti. Onko ääriarvokohdassa (1,1) funktion minimi vai maksimi?

20 Lagrangen funktion ja alkuperäisen funktion optimiarvot Huomaa, että ehto D v L x 1,, x n, v 0 varmistaa rajoitteen g x 1,, x n 0 toteutumisen: D v L x 1,, x n, v D v f x 1,, x n + vg x 1,, x n g x 1,, x n 0 Ensimmäisessä esimerkissä: D v L x, y, v D v 17.8x y x 320.4y v x + y 7 x + y 7 0. Toisessa esimerkissä: D v L x 1., x 2, v D v 2.28x x v x 1 + x 2 30 x 1 + x Tästä syystä alkuperäisen funktion ja Lagrangen funktion optimiarvot ovat samat: L x 1,, x n, v f x 1,, x n + v g x 1,, x n f x 1,, x n

21 Lagrangen kerroin ja varjohinta Usein yhtälörajoitteen voi kirjoittaa muotoon: g x 1,, x n g x 1,, x n c 0, missä c on jokin vakio Ensimmäisessä esimerkissä g x, y x + y 7 g x, y 7 0 missä g x, y x + y Toisessa esimerkissä g x 1, x 2 x 1 + x 2 30 g x 1, x , missä g x 1, x 2 x 1 + x 2 Tällöin L x 1,, x n, v f x 1,, x n + v( g x 1,, x n c), jolloin L c v Lagrangen kertoimen optimiarvon vastaluku v kuvaa siis Lagrangen funktion muutosnopeutta rajoitteen side-ehdon c suhteen Kuinka paljon funktion optimiarvo muuttuu, jos c c + 1? Lagrangen kertoimen vastaluku v on toisin sanoen rajoitteen g x 1,, x n c varjohinta 21

22 Lagrangen kerroin ja varjohinta Ensimmäisen esimerkin tapauksessa tehtävä oli minimoida myrkyn määrää, kun A:ta ja B:tä oli yhteensä 7 kg: min f x, y 17.8x y x 320.4y s. e. g x, y x + y 7 Optimissa x, y, v (4.3, 2.7, 64.08) Varjohinta v 64.08: Myrkyn määrä kasvaa g/t, kun side-ehto (A:n ja B:n yhteismäärä) muuttuu 7 kg/t 8 kg/t 22

23 Lagrangen kerroin ja varjohinta Toisen esimerkin tapauksessa tehtävänä oli maksimoida tuotannon arvoa, kun työvoimaan ja pääomaan investoitiin yhteensä 30 M max f x 1, x x x s. e. g x 1, x 2 x 1 + x Optimissa x 1, x 2, v 11.4, 18.6, 1.17 Varjohinta v 1.17: Tuotannon arvo kasvaa 1.17 M, kun kokonaisinvestointi kasvaa 30 M 31 M 23

24 Presemo-kysymys Minimoidaan funktiota f x, y x 2 + y 2 2xy, kun x + y 2. Miten funktion arvo muuttuu, jos rajoitteen side-ehto muuttuu arvosta 2 arvoon 3? 1. Kasvaa yhdellä 2. Pienenee yhdellä 3. Ei muutu