Mekaniikka 0.0. Tietoja kurssista 1/122

Transkriptio

1 Mekaniikka 0.0. Tietoja kurssista /22 Mekaniikka Fysa20 (5 op) Kevät 204, Fysiikan laitos, Jyväskylän yliopisto Luennot Juha Merikoski ma-ke 4-6 (8 viikkoa) Laskuharjoitukset Ville Vaskonen, 8 kertaa, ke, max 2 p (voimassa vuoden) Tehtävien palautus Aulan laatikkoon tiistaina klo 2 mennessä. tentti Perjantaina , max 48 p 2. tentti Perjantaina Yleinen tenttipäivä Perjantaina Laboratoriotyöt Arvosteltava työ ja lapputyö, max 2 p Kurssin suoritus Teoriaosasta (harjoitukset ja tentti) vähintään 30 pistettä sekä laboratoriotöistä vähintään 6 pistettä. Oletetut esitiedot F-F2, M-M5 (osin) Kurssikirja Marion&Thornton: Classical Mechanics of Particles and Systems Muuta kirjallisuutta Goldstein: Classical Mechanics Landau&Lifshitz: Mechanics Taulukkokirjat Alan Jeffrey tai Schaum s tai... Päivitetty luentomateriaali ja uusimmat tehtävät suoraan Kopasta: Muu materiaali (malliratkaisuja yms) Kopassa salasanan takana. Mekaniikka 0.. Kurssin tavoitteet 2/ Kurssin tavoitteet Kurssi sisältää seuraavia asioita:,7 Newtonin mekaniikan kertausta ja tukevoittamista (kirja 2,9) 2 Vaimennettu ja pakotettu värähtely (kirja 3) 3,4 Hamiltonin periaate ja Lagrangen liikeyhtälöt (kirja 6,7) 5,6 Gravitaatio ja liike keskeisvoimakentässä (kirja 5,8) 8 Epäinertiaaliset (pyörivät) koordinaatistot (kirja 0) 9 Jäykän kappaleen dynamiikka (kirja ) 0 Kytketyt värähtelyt ja normaalimoodit (kirja ) Kurssin yhtenä keskeisenä tavoitteena on erityisesti oppia perusteet klassisen mekaniikan Hamiltonin periaatteeseen pohjautuvasta formuloinnista ja pystyä soveltamaan sitä erilaisiin ongelmiin. Kurssi on ensimmäinen varsinainen fysiikan aineopintokurssi ja tahti on varsin tiukka. Epäselviksi mahdollisesti jääneet tai muuten vaikeat asiat kannattaa siten selvittää aina saman tien. Tämä esitys perustuu Marionin&Thorntonin kirjaan, josta tietyt luvut ovat vakiintuneet kurssin sisällöksi. Mikä tahansa kirjan painos soveltuu kurssin seuraamiseen, tehtäviä tulee 4-5. painoksista, osa prujun kuvistakin on siitä. Kirja on mukava lukea: siinä on paljon hyvää tekstiä yhtälöiden ympärillä.

2 Mekaniikka.. Newtonin lait 3/22. Newtonin mekaniikkaa sovellettuna yhden hiukkasen dynamiikkaan.. Newtonin lait Tavallisimmin Newtonin lait esitetään oleellisesti seuraavassa muodossa: (N) Kappale pysyy levossa tai tasaisessa liikkeessä, ellei siihen vaikuta mikään voima. (N2) Kappale, johon vaikuttaa voima, liikkuu siten, että sen liikemäärän muutos ajan yksikköä kohti on yhtäsuuri kuin kyseinen voima. (N3) Kahden (vuorovaikuttavan) kappaleen toisiinsa kohdistamat voimat ovat yhtäsuuret ja vastakkaissuuntaiset. Keskeisiä käsitteitä ovat aika t, paikka r, nopeus v, kiihtyvyys a, voima F ja massa m. N:n mukaisessa tilanteessa olevaa kappaletta kutsutaan vapaaksi kappaleeksi. N kertoo voimasta jotain kvalitatiivista. N2:ssa voima tulee määritellyksi kvantitatiivisesti, jos liikemäärän p määritelmässä p = mv = m dr dt mṙ (.) voimme olettaa massan määritellyksi, jolloin N2 voidaan kirjoittaa muodossa F = dp dt = d (mv). (.2) dt Mekaniikka.. Newtonin lait 4/22 Massan m ollessa vakio N2 saa tutuimman muotonsa F = ma m v m r. (.3) Yhtälöissä (.,.3) olemme ottaneet käyttöön lyhennysmerkinnän, jossa piste suureen päällä tarkoittaa derivointia ajan suhteen ja kaksi pistettä kahdesti derivointia ajan suhteen. Siis kiihtyvyys a = v = r. N ja N2 ovat siis lähinnä määritelmiä tai postulaatteja. Sanomme, että N2 postuloi voiman käsitteen. N3 taas on laki, joka pätee silloin kun voimat ovat keskeisvoimia eli kun niiden suunta on pitkin kappalten välistä suoraa viivaa ja kun ne eivät riipu kappalten nopeuksista. N3 voidaan keskeisvoimien tapauksessa laajentaa siten, että massa (massojen suhteet) tulee määritellyksi: (N3 ) Jos kaksi kappaletta, joiden massat ovat m ja m 2, muodostaa eristetyn järjestelmän, niiden kiihtyvyydet a ja a 2 ovat kaikilla ajan hetkillä vastakkaissuuntaiset ja niille pätee m a = m 2 a 2. Näin tulee määritellyksi hidas massa. Myöhemmin määritellään painava massa. Hidas massa ja painava massa ovat ekvivalenssiperiaatteen mukaan samat. Kirjoittamalla (N3 ) muodossa dp /dt = dp 2 /dt saadaan d(p +p 2 )/dt = 0 eli liikemäärän säilyminen kahden kappaleen tapauksessa. Muunlaisia voimia esiintyy elektrodynamiikassa ja suhteellisuusteoriassa.

3 Mekaniikka.2. Inertiaalikoordinaatistot 5/22.2. Inertiaalikoordinaatistot Inertiaalikoordinaatistoksi kutsumme sellaista koordinaatistoa, jossa Newtonin lait pätevät. Erityisesti: Jos kappale, johon ei vaikuta mikään voima, aina liikkuu tasaisella nopeudella (tai pysyy levossa) jossain koordinaatistossa havainnoiden, niin kyseinen koordinaatisto on inertiaalikoordinaatisto. Jos Newtonin lait pätevät jossain koordinaatistossa, niin ne pätevät missä tahansa muussa koordinaatistossa, joka on kyseisen koordinaatiston suhteen tasaisessa liikkeessä. Galilei-muunnoksessa r r + Vt, missä V on vakio(vektori), kiihtyvyys r r+0 = r, joten yhtälö F = m r eli muutu. Suhteellisuusteoriassa absoluuttinen nopeus tai levossaolo eivät ole hyvin määriteltyjä käsitteitä. Newtonin lakien (joissakin) käytännön sovelluksissa koordinaatistoja verrataan ns. kiintotähtien määräämään koordinaatistoon, joka valitaan absoluuttiseksi (approksimatiiviseksi) inertiaalikoordinaatistoksi. Kuvatessamme vapaan kappaleen liikettä jossain inertiaalikoordinaatistossa vaadimme, että kappaleen liikeyhtälö ei riipu koordinaattisysteemin origon tai suunnan valinnasta. Vaadimme myös, että vapaan kappaleen nopeus ei riipu ajasta. Vaadimme siis avaruuden homogeenisuuden ja isotrooppisuuden sekä ajan homogeenisuuden näistä vaatimuksista johdamme myöhemmin klassisen mekaniikan säilymislait. Esim. Pyörivä koordinaatisto ei ole inertiaalikoordinaatisto. Mekaniikka.3. Hiukkasen liikeyhtälö 6/22.3. Hiukkasen liikeyhtälö Olettaen massa vakioksi yhden pistemäisen hiukkasen liikeyhtälö F = m r (.4) on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, josta hiukkasen liike ajan funktiona, r = r(t), voidaan (periaatteessa) ratkaista, jos funktio F tunnetaan. Yleisessä tapauksessa F = F(r, v, t). Toisen asteen yhtälölle tarvitaan kaksi alkuehtoa, esimerkiksi r(0) = r 0 ja ṙ(0) = v 0, jotka kiinnittävät kaksi integrointivakiota. Tämä liikeyhtälö pätee myös äärelliselle kappaleelle, jonka asento liikkeen aikana ei ole oleellinen. Peruskurssilla lienee käyty läpi seuraavat esimerkit: Esim.2 Kappale kitkattomalla kaltevalla tasolla: painovoima ja tukivoima. Esim.3 Kappale kitkaisella kaltevalla tasolla: lepokitka, kitkakerroin µ s. Esim.4 Kappale kitkaisella kaltevalla tasolla: liikekitka, kitkakerroin µ k. Esim.5 Kappale väliaineessa: vastusvoima F d = mkv n v, missä n =,2. v Kun liike ei ole suoraviivaista (esim. heittoliike ilmassa), liikeyhtälölle ei aina löydy siistiä äärellisellä määrällä alkeisfunktioita esitettävissä olevaa ratkaisua ja on turvauduttava approksimaatioihin tai numeriikkaan.

4 Mekaniikka.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle 7/22.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle Seuraavaksi johdamme säilymislait yhdelle pistemäiselle hiukkaselle, 2 jonka massa on m, lähtien Newtonin laeista. 3 Klassisen mekaniikan kolme suurta säilymislakia ovat liikemäärän säilyminen, pyörimismäärän säilyminen ja energian säilyminen. Yhtälöstä (.2), jos hiukkaseen ei vaikuta mikään voima, saamme ṗ = 0 eli liikemäärän säilymislain: (I) Ellei hiukkaseen vaikuta mikään voima, sen liikemäärä p säilyy, Liikemäärä on vektorisuure, joten säilymislaki pätee sen komponenteille. Yleisemmin: Jos s on vakiovektori ja F s = 0, niin josta integroimalla ajan suhteen ṗ s = F s = 0, (.5) p s = VAKIO. (.6) Sanallisesti ilmaisten: Liikemäärän komponentti eli p s/ s sellaiseen suuntaan ê s = s/ s, johon voiman komponentti on nolla, on vakio. 2 Emme tässä mene äärellisen kappaleen pyörimiseen. 3 Myöhemmin yleiselle hiukkassysteemille yleisemmistä lähtökohdista. Mekaniikka.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle 8/22 Hiukkasen pyörimismäärä L origon suhteen on L = r p, (.7) missä r on hiukkasen paikkavektori origosta mitaten. Voiman momentti N on N = r F, (.8) missä r on origosta voiman vaikutuspisteeseen mitattu paikkavektori. Pyörimismäärän aikaderivaatta on L = d (r p) = ṙ p+r ṗ, dt mihin sijoittaen ṙ p = mṙ ṙ = 0 saamme L = r ṗ = N, (.9) missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että N2:sta N = r F = r ṗ. Täten (.9):n perusteella L on vakio(vektori), kun hiukkaseen ei vaikuta mikään momentti eli kun N = 0. Pyörimismäärän säilymislaki on siis: (II) Hiukkasen, johon ei kohdistu momentti, pyörimismäärä L säilyy. Huom Pyörimismäärää koskevissa tarkasteluissa/lausumissa on muistettava, että pyörimismäärää ja momenttia tarkastellaan aina jonkin tietyn pisteen suhteen, yllä origon. Huom Vasta liikkeen kuvailussa tarvitsemme kulmanopeuden ω käsitettä.

5 Mekaniikka.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle 9/22 Voiman F hiukkaseen tekemä työ hiukkasen siirtyessä tilasta tilaan 2, missä hiukkasen tilan määräävät sen sijainti r ja nopeus v, on W 2 = 2 Jos F on hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima, niin F dr = m dv dt dr dt d F dr. (.0) dt = mdv dt vdt = m 2 dt (v v)dt = m d 2 dt (v2 )dt = d( 2 mv2 ), mikä on eksakti differentiaali, joten voiman hiukkaseen tekemä työ on W 2 = 2 d( 2 mv2 ) = / 2 ( 2 mv2 ) = 2 m(v2 2 v 2 ) T 2 T, (.) missä T = 2 mv2 on hiukkasen kineettinen energia eli liike-energia. 4 Jos kokonaisvoima F on sellainen, että integraali (.0) ei riipu hiukkasen reitistä vaan ainoastaan hiukkasen sijainnista alku- ja lopputiloissa ja 2, voimme liittää siihen potentiaalienergian U siten, että 2 F dr = U U 2. (.2) 4 Pistemäisellä hiukkasella ei ole pyörimiseen liittyvää liike-energiaa. Mekaniikka.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle 0/22 Yhtälö (.2) toteutuu, jos sillä tällöin 2 F dr = 2 F = U, (.3) 2 ( U) dr = du = U U 2. Tavallisimmin tällä kurssilla 5 on U = U(r), mutta voi olla myös U = U(r,t). Jos potentiaalienergia ei riipu ajasta eli U = U(r) ja (.2) pätee kaikille siirtymille 2, sanomme että voimakenttä F on konservatiivinen. Määritelmän (.3) perusteella funktioon U voidaan lisätä mikä tahansa vakio, sillä (U + VAKIO) = U. Potentiaalienergian absoluuttisella arvolla ei täten ole merkitystä, ainoastaan potentiaalienergiaeroilla. Hiukkasen nopeus riippuu valitusta inertiaalikoordinaatistosta, joten myöskään kineettiselle energialle ei voida määrittää absoluuttista arvoa. Hiukkasen kokonaisenergia E on määritelmän mukaan E = T +U. (.4) Energiallakaan ei ole absoluuttista arvoa, oleellisia ovat muutokset/säilyminen. 5 Nopeudesta riippuvat potentiaalit kuuluvat elektrodynamiikan kurssille.

6 Mekaniikka.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle /22 Lasketaan sitten kokonaisenergian E aikaderivaatta: Ensinnäkin, F dr = d( 2 mv2 ) = dt, joten dt dt Toiseksi, jos on U = U(r,t), niin = F dr dt = F ṙ du dt = i U dx i x i dt + U t = ( U) ṙ+ U t. Yhdistämällä nämä saamme de dt = dt dt + du dt = (F+ U) ṙ+ U t = U t, missä viimeisessä välivaiheessa vaadimme, että F = U. Jos F on konservatiivinen, niin U/ t = 0, ja saamme energian säilymislain: (III) Konservatiivisessa voimakentässä hiukkasen kokonaisenergia E on vakio. Johtamamme säilymislait (I,II,III) siis pätevät, jos (N) ja (N2) ovat voimassa. Muissakin tilanteissa, esimerkiksi elektrodynamiikassa ja modernissa fysiikassa, (kokemuksemme perusteella) uskomme säilymislakien pätevän, kunhan niissä esiintyvät suureet on oikein formuloitu. Näin säilymislaeista tulee luonnonlakeja, jotka rajoittavat fysikaalisesti mahdollisia teorioita uusille ilmiöille. Mekaniikka.5. Energia D:ssa yhdelle hiukkaselle 2/22.5. Energia D:ssa yhdelle hiukkaselle Tarkastellaan seuraavaksi pistemäisen hiukkasen yksiulotteista liikettä, jolloin hiukkasen hetkellisen tilan määräävät koordinaatit (x, v). Olettaen lisäksi voimakenttä konservatiiviseksi hiukkasen kokonaisenergia on E(x,v) = 2 mv2 +U(x) = E = VAKIO, josta voimme ratkaista nopeuden v = dx/dt: dx dt = ± 2[E U(x)]/m. Tulkitsemme tämän differentiaaliyhtälöksi (alkuarvo-ongelmaksi), jonka muodollinen ratkaisu on (separoituva DY kun E on vakio) t t 0 = ± x x 0 dx 2[E U(x)]/m, (.5) missä alkuhetkellä t 0 hiukkasen paikka on x(t 0 ) = x 0. Mikäli osaamme laskea integraalin annetulle potentiaalille ja käsitellä oikein etumerkin, tulos t = t(x) voidaan ainakin rajatussa alueessa kääntää ja saamme ratkaisun x = x(t). Esim.6 Harmoninen värähtelijä: U(x) = 2 kx2, missä k > 0 on vakio. Esim.7 Liike gravitaatiokentässä: U(x) = GMm/x, missä G > 0 on vakio.

7 Mekaniikka.5. Energia D:ssa yhdelle hiukkaselle 3/22 Oletetaan sitten U(x) jatkuvaksi ja äärettömän monta kertaa derivoituvaksi funktioksi. Se voidaan kehittää Taylorin sarjaksi valitun pisteen x 0 ympärillä: ( ) du U(x) = U 0 +(x x 0 ) + ( ) dx 2! (x x 0) 2 d 2 U + ( ) dx 2 3! (x x 0) 3 d 3 U +... dx 3 0 Yllä alaindeksi 0 tarkoittaa derivaatan arvioimista pisteessä x 0. ( ) du Tasapainopisteeksi kutsumme pistettä x 0, jossa = 0 F = 0. dx 0 Tasapainopisteen läheisyydessä U(x) U 0 + ( ) 2 (x x 0) 2 d 2 U dx 2 Tasapaino on joko stabiili (potentiaalienergian lokaali minimi), ( ) d 2 U > 0, dx 2 tai epästabiili (potentiaalienergian lokaali maksimi), ( ) d 2 U < 0. dx 2 0 ( ) d 2 U Jos jossain pisteessä x 0 on = 0, on tutkittava korkeammanasteisia dx 2 0 derivaattoja; esimerkki tällaisesta tapauksesta on U(x) = κ(x x 0 ) 4. Jos potentiaali on x 0 :n ympäristössä vakio, tasapaino on neutraali Mekaniikka.6. Newtonin fysiikan rajoituksia 4/22.6. Newtonin fysiikan rajoituksia Kerrataan tässä Modernin fysiikan kurssilta (fysa6) tuttuja Newtonin fysiikan soveltuvuusaluetta koskevia havaintoja. Erityisesti Newtonin fysiikan rajoitukset liittyvät käsitteisiin aika, paikka ja liikemäärä. Kahteen jälkimmäiseen liittyen, hiukkasen sijaintia ja liikemäärää ei voida samanaikaisesti mitata mielivaltaisella tarkkuudella, vaan niihin liittyvien epätarkkuuksien tuloa x p Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaisesti rajoittaa alhaaltapäin vakio, oleellisesti Planckin vakio. SI-yksiköissä sen arvo on suuruusluokkaa 0 34 Js, joten makroskooppisten kappaleiden liikkeen havainnointiin ja kuvailuun tämä epätarkkuus ei käytännössä vaikuta. Toisaalta atomaarisessa ja subatomaarisessa fysiikassa on välttämätöntä siirtyä klassisesta mekaniikasta kvanttimekaniikkaan. Aiemmin on jo mainittu, että Newtonin mekaniikan lähtökohtana oleva absoluuttisen ajan käsite ei ole toimiva tilanteissa, joissa pitää käyttää suhteellisuusteoriaa, erityisesti kun hiukkasten nopeudet ovat valon nopeuden suuruusluokkaa. Valon nopeus tyhjiössä antaa ylärajan sille, kuinka nopeasti informaatio tai vuorovaikutus voi edetä. Vielä yksi, käytännönläheisempi rajoitus Newtonin mekaniikalle on, että yleisessä tapauksessa useamman kuin kahden keskenään vuorovaikuttavan kappaleen ongelma on ratkaisematon. Tällöin tarvitaan ongelmasta riippuen approksimaatioita tai tilastollista lähestymistapaa eli statistista fysiikkaa.

8 Mekaniikka 2.. Hooken laki 5/22 2. Värähtelyt 2.. Hooken laki Sivulla 3 kehitimme yksiulotteiseen liikkeeseen liittyvän potentiaalienergian Taylorin sarjana. Oletetaan nyt, että potentiaalienergialla on lokaali minimi pisteessä x = 0 ja valitaan U 0 = 0, jolloin minimin lähellä approksimatiivinen potentiaalienergia on U(x) = 2 kx2, k = (d 2 U/dx 2 ) 0. Vastaava voima on (.3):sta yksiulotteisessa tapauksessa F = du/dx eli F(x) = kx. (2.) Samanmuotoiseen tulokseen päädymme kehittämällä voima F sarjaksi tasapainopisteen x = 0 ympärillä ja ottamalla mukaan ensimmäinen nollasta eroava termi: ( ) df F(x) = F 0 +x + ( ) d 2 F dx 0 2 x dx 2 0 missä vastaavasti k = (df/dx) 0 ja tasapainopisteessä F = F 0 = 0. Muoto (2.) on niin yleinen ja toimiva approksimaatio monissa tilanteissa, että kutsumme sitä nimellä Hooken laki. Mekaniikka 2.2. Harmoninen värähtelijä D:ssa 6/ Harmoninen värähtelijä D:ssa Newtonin toinen laki D:ssa, F = mẍ, tuottaa voiman (2.) vaikuttaessa m-massaiselle hiukkaselle liikeyhtälön kx = mẍ. Kirjoitamme sen ensin mukavampaan muotoon ẍ +ω 2 0x = 0, ω 2 0 = k/m. (2.2) Tämän täydellinen ratkaisu voidaan (M3 tai kurssikirjan liite) esittää kummassa tahansa seuraavista muodoista: x(t) = Asin(ω 0 t δ) (2.3) x(t) = Acos(ω 0 t δ) (2.4) Käytämme muotoa (2.3). Alkuehdot määräävät amplitudin A ja vaiheen δ. Värähtelijän liike-energia T = 2 mẋ2 on T = 2 ka2 cos 2 (ω 0 t δ), (2.5) missä käytimme tietoa mω 2 0 = k. Värähtelijän potentiaalienergia U = 2 kx2 on U = 2 ka2 sin 2 (ω 0 t δ). (2.6)

9 Mekaniikka 2.2. Harmoninen värähtelijä D:ssa 7/22 Kokonaisenergiaksi (joka säilyy) saamme summaamalla tulokset (2.5,2.6) E = T +U = 2 ka2 = VAKIO. (2.7) Tässä kannattaa huomata, että kokonaisenergia on verrannollinen amplitudin A neliöön. Tämä pätee monenlaisille (lineaarisille) värähtelijöille, aaltoliikkeellekin. Värähtelyn jakson τ 0 saamme muistamalla, että ωτ = 2π, joten ω 2 0 = k/m ja taajuus ν 0 ja kulmataajuus ω 0 ovat τ 0 = 2π m/k (2.8) ν 0 = k/m/2π ω 0 = 2πν 0 = k/m. (2.9) Esim 2.8 Venyvälle ja kokoonpuristuvalle jouselle F = kx pätee hyvin. Esim 2.9 Tasoheilurin liikeyhtälöksi todetaan myöhemmin θ +ω 2 0 sinθ = 0, josta olettamalla heilahdukset pieniksi eli heilahduskulma θ pieneksi sinin sarjakehitelmä sinθ = θ 6 θ antaa approksimatiiviseksi liikeyhtälöksi harmonisen värähtelijän liikeyhtälön θ +ω 2 0θ = 0, missä ω 0 = g/l. Esim 2.0 Havaitsemme myöhemmin, että toisiinsa kytkettyjen värähtelijöiden kytketyt liikeyhtälöt voidaan pienten värähtelyjen tapauksessa koordinaattimuunnoksella palauttaa toisistaan riippumattomiksi harmonisiksi värähtelijöiksi. Harmonista approksimaatiota käytetään myös kiinteän aineen kidevärähtelyille. Mekaniikka 2.3. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa 8/ Harmoninen värähtelijä 2D:ssa Olkoon nyt värähtelevän hiukkasen paikka r = (x,y) ja vaikuttava voima Liikeyhtälöt koordinaattiakseleiden suuntaan ovat täten F = kr. (2.0) ẍ +ω 2 0x = 0 ÿ +ω 2 0y = 0, (2.) missä ω 2 0 = k/m. Yhtälöiden yleinen ratkaisu r(t) = (x(t),y(t)) on x(t) = Acos(ω 0 t α) y(t) = B cos(ω 0 t β). (2.2) Liike on siis yksinkertaisen harmonisen värähtelijän liikettä kummassakin suunnassa. Hiukkasen liikerata xy-tasossa on kiinnostavampi. Ensinnäkin on ilmeistä, että se riippuu erotuksesta δ = α β eli x- ja y-suuntaisen liikkeen välisestä vaihe-erosta. Kirjoitetetaanpa siksi y(t) uudelleen: y(t) = B cos(ω 0 t α+δ) = B cos(ω 0 t α)cos(δ) B sin(ω 0 t α)sin(δ). Huomataan sitten, että cos(ω 0 t α) = x/a, jolloin ylläoleva saa muodon Ay Bx cosδ = ±B A 2 x 2 sinδ, jonka neliöinti puolittain ja termien uudelleenjärjestely antaa B 2 x 2 2ABxy cosδ +A 2 y 2 = A 2 B 2 sin 2 δ. (2.3)

10 Mekaniikka 2.3. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa 9/22 Riippuen vakioista A, B, δ yhtälön (2.3) mukaiset 2D värähtelijän ratakäyrät (x(t), y(t)) ovat xy-tasossa ympyröitä tai ellipsejä. Esimerkiksi tapauksessa A = B ja δ = ±π/2 saadaan ympyrä x 2 +y 2 = A 2. Jos A B ja δ = ±π/2, tuloksena on ellipsi x 2 /A 2 +y 2 /B 2 =. Kun A = B, muut δ:n valinnat tuottavat xy-tasossa vinossa olevia ellipsejä, ääritapauksena suora viiva vaihe-eron ollessa δ = π, 2π. Ensimmäisessä kuvassa kiertosuunta on myötäpäivään, entä muissa? δ=90 o δ=20 o δ=50 o δ=80 o δ=240 o δ=270 o δ=300 o δ=360 o Mekaniikka 2.3. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa 20/22 Vielä yleisempi 2D värähtelijä on sellainen, jolle k x k y, jolloin ratkaisu on x(t) = Acos(ω x t α) y(t) = B cos(ω y t β). Nyt ratakäyrät ovat monimutkaisempia kuvioita, jotka tunnetaan Lissajousin käyrinä. Nämä käyrät ovat sulkeutuvia eli liike itseään toistavaa, jos ω x /ω y on rationaaliluku. Jos taasen ω x /ω y on irrationaaliluku, hiukkasen liikerata vähitellen täyttää xy-tason suorakaiteen [ A, A ] [ B, B ]. Voidaan nimittäin osoittaa, että tällöin ratakäyrä riittävän pitkän ajan kuluessa käy mielivaltaisen lähellä mitä tahansa kyseisen suorakaiteen pistettä. Kuvassa alla on ratakäyriä (x(t), y(t)) joillakin parametrisaatioilla (kaikissa A=B). Tämä on esimerkki tilanteesta, jossa pienikin muutos ongelman parametreissa, tässä ω x ja ω y, voi tuottaa hyvin suuren kvalitatiivisen muutoksen ratakäyrissä. Paljon tavallisempia tällaiset muutokset (ja erityisesti alkuarvoherkkyys) ovat epälineaaristen yhtälöiden tapauksessa (hieman niistä myöhemmin). ω y =2ω x δ=0 ω y =2ω x δ=60 o ω y =2ω x δ=90 o ω y =2 /2 ω x δ=20 o

11 Mekaniikka 2.4. Faasiavaruus D liikkeelle 2/ Faasiavaruus D liikkeelle Tämä luku 6 käy johdatukseksi ideaan, jolle on monessa yhteydessä käyttöä. Palataan takaisin D liikkeeseen. Hiukkasen tilan kullakin ajan hetkellä määrää kaksi lukua, paikka ja nopeus eli lukupari (x, v). Näiden kahden koordinaatin sanomme muodostavan faasiavaruuden, jonka dimensio on 2. Tästä esimerkkinä D harmoniselle värähtelijälle 2.2:sta x(t) = Asin(ω 0 t δ) v(t) = Aω 0 cos(ω 0 t δ). Neliöimällä nämä saamme x 2 A 2 + v2 A 2 ω 2 0 =, joka voidaan käyttämällä tietoja E = 2 ka2 ja ω 2 0 = k/m kirjoittaa muodossa x 2 2E/k + v2 2E/m =. Täten D harmonisen värähtelijän faasiavaruusrata ovat ellipsi, jonka pääakselien pituuksia (x,v)-tasossa skaalaa kerroin E ja jonka pääakselien pituuksien suhteen antaa k/m. 6 Merkitsemme :lla tämän prujun lukuja, jotka ovat tärkeitä ideoiden tasolla, mutta joiden aiheet käydään tällä kurssilla vain tiivistetysti läpi. Mekaniikka 2.4. Faasiavaruus D liikkeelle 22/22 Käytämme sitten (vaihtoehtoisesti) M3:lla (ehkä) esitettyä kikkaa: Toisen kertaluvun DY d 2 x dt 2 +ω2 0x = 0 voidaan ekvivalentisti esittää kahtena ensimmäisen kertaluvun DY:nä: dx/dt = v dv/dt = ω 2 0x. Jakamalla jälkimmäinen DY puolittain ensimmäisellä saamme dv/dx = ω 2 0x/v, mikä on (x, v)-tason ellipsin differentiaaliyhtälö! Päädyimme näin elliptiseen faasiavaruusrataan toista tietä, ratkaisematta alkuperäistä liikeyhtälöä. D harmonisen värähtelijän faasiavaruusratoja on kuvassa alla kiinteillä k ja m. Uloimmat radat vastaavat suurempia energian E arvoja. Alkuehdot x(0) = x 0 ja v(0) = v 0 asetetaan valitsemalla tason piste (x 0,v 0 ) liikkeen alkutilaksi. v(t) x(t)

12 Mekaniikka 2.5. Vaimennettu harmoninen värähtelijä 23/ Vaimennettu harmoninen värähtelijä Oletamme nyt, että värähtelijään vaikuttaa sen nopeuteen verrannollinen vastusvoima F d = bv. Värähtelijän liikeyhtälöön (2.2) tulee tästä lisätermi: jonka kirjoitamme muotoon mẍ +bẋ +kx = 0, ẍ +2βẋ +ω 2 0x = 0, (2.4) missä vaimennusparametri β = b/2m ja ω0 2 = k/m antaa vaimentamattoman värähtelijän taajuuden.yhtälö (2.4) on toisen kertaluvun homogeeninen vakiokertoiminen DY, joka ratkeaa yritteellä x = e rt. Yritteen sijoittaminen tuottaa karakteristisen yhtälön r 2 +2βr +ω0 2 = 0, jonka juuret ovat r,2 = β ± β 2 ω0 2. Liikeyhtälön (2.4) yleinen ratkaisu on siten (kurssi M3 tai kurssikirjan liite) x(t) = e βt[ ) ( )] A exp ( β 2 ω 20 t +A 2 exp β 2 ω 20 t, (2.5) Tästä päädytään erityyppisiin ratkaisuihin riippuen siitä onko kerroin β 2 ω 2 0 imaginaarinen, nolla vai reaalinen. Kertoimet A ja A 2 kiinnittyvät alkuehdoista. Mekaniikka 2.5. Vaimennettu harmoninen värähtelijä 24/22 (a) Alivaimennettu värähtely: ω 2 0 > β 2 Merkitsemällä ω 2 ω 2 0 β 2 ratkaisusta (2.5) tulee x(t) = e βt [A e iω t +A 2 e iω t ], ω R, A,2 C. Muistaen, että e iφ = cosφ+i sinφ, ja käyttämällä trigonometrisia kaavoja x(t) = Ae βt cos(ω t δ), (2.6) missä kaksi alkuehtojen kautta määräytyvää reaalista vakiota ovat A ja δ. Tämä ratkaisu on amplitudiltaan eksponentiaalisesti vaimeneva värähtelijä, jossa hetkellistä amplitudia rajoittavat verhokäyrät x en (t) = ±Ae βt. Vastusvoimasta johtuva energian dissipaatio de/dt < 0 ei ole monotoninen ajan funktio. Liikesuunnan kääntyessä on v = 0 de/dt = 0. Nopeuden lokaalissa maksimissa lähellä tasapainoasemaa on de/dt suurimmillaan. x t t de/dt

13 Mekaniikka 2.5. Vaimennettu harmoninen värähtelijä 25/22 (b) Kriittisesti vaimennettu värähtely: ω 2 0 = β 2 Tämä on DY:n kannalta erikoistapaus, jonka ratkaisu on x(t) = (A+Bt)e βt, A,B R. (2.7) missä ylimääräinen aikariippuvuus tekijässä Bt antaa sellaisen (oikean) ratkaisun, joka on kahden lineaarisesti riippumattoman ratkaisun summa. Tässä tapauksessa vaimennus juuri ja juuri riittää estämään värähtelyn. Huomattavaa on, että kriittisesti vaimennetussa tapauksessa tasapainotilaa (x, v) = (0, 0) lähestytään nopeammin kuin ali- tai ylivaimennetuissa. Kuvassa alla kvalitatiivisesti yli- ja alivaimennettu sekä kriittinen tapaus. Kussakin tapauksessa alkuehtona on x(0) = ja v(0) = 0. x kr yli t ali Mekaniikka 2.5. Vaimennettu harmoninen värähtelijä 26/22 (c) Ylivaimennettu värähtely: ω 2 0 < β 2 Merkitsemällä ω 2 2 β 2 ω 2 0 ratkaisusta (2.5) tulee x(t) = e βt [A e ω 2t +A 2 e ω 2t ]. (2.8) Tässä ratkaisussa ei ole oskilloivaa osaa, sillä ω 2 R. Myös A,2 R. Riippuen nopeuden alkuehdosta v(0) = v 0 saadaan kolme tasapainotilaa eri tavoin lähestyvää aikariippuvuutta: x x x t t t v v 0 >0 v v 0 <0 v v 0 <0 t t t

14 Mekaniikka 2.6. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima 27/ Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima Olkoon seuraavassa ulkoinen ajava voima sinimuotoinen eli F = kx bẋ +F 0 cosωt, missä ω on ajavan voiman taajuus. Merkitsemällä A = F 0 /m ja muuten aiemmin merkinnöin pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on ẍ +2βẋ +ω 2 0x = Acosωt (2.9) eli toisen kertaluvun vakiokertoiminen epähomogeeninen DY. Tämän ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön (2.4) ratkaisun ja täydellisen yhtälön (2.9) erityisratkaisun summa. Siis x(t) = x c (t)+x p (t). (2.20) Homogeenisen yhtälön ratkaisu on edellisestä luvusta (2.5) eli x c (t) = e βt[ A exp( β 2 ω 2 0 t)+a 2exp( β 2 ω 2 0 t) ]. (2.2) Täydellisen yhtälön erityisratkaisun antaa yrite x p (t) = Dcos(ωt δ). (2.22) Tämän yritteen sijoittaminen (2.9):iin antaa D:lle ja δ:lle lausekkeet / D = A (ω0 2 ω2 ) 2 +4ω 2 β 2 tanδ = 2ωβ/(ω0 2 ω 2 ). Mekaniikka 2.6. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima 28/22 Pitkän ajan rajalla termi x c (t) vaimenee ja jäljelle jää vain x(t) x p (t). Alkuehto [x c (t)] siis vähitellen unohtuu ajavan voiman ottaessa hallinnan. Etsimme sitten ω:n arvon, jolla x p (t):n kerroin D maksimoituu: dd = 0. dω ω=ωr Tästä saatavaa arvoa ω R kutsumme amplitudin resonanssitaajuudeksi: ω R = ω 2 0 2β2. (2.23) Resonanssi eli D:n lokaali maksimi on mahdollinen vain kun ω 2 0 > 2β 2. Resonanssitaajuus ω R pienenee vaimennuskertoimen β kasvaessa. Resonanssia on tapana kuvata myös hyvyystekijällä eli Q-tekijällä Q = ω R /2β, Q:n kasvaessa kasvaessa vaimennus heikkenee, D:n resonanssipiikki terävöityy ja sen huipun kohta siirtyy kohti ω 0 :aa. Kuvassa alla Q = 0,,2,4,6,8,. D δ ω o ω ω o ω

15 Mekaniikka 2.6. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima 29/22 Lasketaan vielä liike-energian odotusarvo yli jakson, kun x(t) x p (t). Hetkellisesti ẋ(t) ẋ p (t) = Dωsin(ωt δ), josta liike-energia on Tämän keskiarvo yli jakson on T = ω 2π T(t) = 2 md2 ω 2 sin 2 (ωt δ). 2π/ω 0 2 md2 ω 2 sin 2 (ωt δ)dt. Funktion sin 2 (ωt) kerkiarvoarvo yli jakson on puoli, joten D auki kirjoittaen T = ma2 4 ω 2 (ω0 2 ω2 ) 2 +4ω 2 β2. (2.24) Tämän funktion maksimikohta ω E saadaan derivoimalla: d T = 0 ω E = ω 0. (2.25) dω ω=ωe Amplitudiresonanssi oli taajuudella ω R = ω 0 2β 2, mikä on samalla keskimääräisen potentiaalienergian resonanssitaajuus, koska potentiaalienergia on verrannollinen amplitudin neliöön. Ero ω E > ω R on mahdollinen, koska systeemin saamaa energiaa dissipoidaan jatkuvasti vastusvoiman kautta ja järjestelmä ei siten ole konservatiivinen. Mekaniikka 2.7. Pakotettu harmoninen värähtely yleisemmällä ajavalla voimalla 30/ Pakotettu harmoninen värähtely yleisemmällä ajavalla voimalla Kurssikirjassa esitellään yleinen ratkaisumenetelmä, joka sallii mielivaltaisen pakkovoiman F(t). Etsimällä ongelmaa vastaava ns. Greenin funktio G(t,t ) saadaan ratkaisu kirjoitettua integraalina x(t) = t F(t )G(t,t )dt. (2.26) Funktio G sisältää informaation homogeenisen yhtälön rakenteesta sekä alkuehdoista. Jos oletetaan värähtelijän olevan levossa tasapainossa ennen kuin voima F alkaa vaikuttaa, on (kirjassa johdettu) { G(t,t e β(t t ) sin[ω (t t )]/mω, kun t t ) = 0, kun t < t, missä ω 2 ω 2 0 β 2 kuten alivaimennetun värähtelijän tapauksessa aiemmin. Tätä voi soveltaa erilaisiin tilanteisiin. Yksinkertaisin on F(t) = Aδ(t t 0 ), missä pakkovoima on hetkellä t = t 0 vaikuttava lyhyt impulssi, jota tässä kuvataan Diracin δ-funktiolla. Tällöin yhtälön ratkaisu on x(t) = AG(t,t 0 ). Tässä itse asiassa onkin Greenin menetelmän juoni: Greenin funktio kuvaa vastetta hetkelliseen impulssiin. Pidempikestoinen voima F(t) käsitellään summaamalla (2.26):ssa peräkkäisten hetkellisten impulssien vaikutus.

16 Mekaniikka 2.8. Ajettu epälineaarinen värähtelijä 3/ Ajettu epälineaarinen värähtelijä Tarkastellaan vielä esimerkinomaisesti pakotettua D värähtelijää, jonka liikeyhtälössä ensimmäisen asteen termin kerroin on negatiivinen ja johon on lisätty epälineaarinen kolmannen asteen termi: ẍ(t)+2βẋ(t) x(t)+[x(t)] 3 = Acosωt. Paikasta riippuvan voiman potentiaalienergia on nyt U(x) = 2 x2 + 4 x4. Tällä on stabiilit tasapainopisteet x = ± ja epästabiili tasapainopiste x = 0. Kirjoitetaan tämä toisen asteen DY kahden ensimmäisen asteen DY:n avulla: dx dt = v dv dt = 2βv +x x3 Acosωt. Seuraavan sivun (x, v)-faasiavaruuskaavioissa ja x(t)-kuvissa on esitetty tämän yhtälöparin ratkaisuja muutamalla A:n arvolla, kun β = 0,25 ja ω =,2. 7 Tulosta kuvataan sanoilla kaaos, alkuarvoherkkyys, aperiodisuus,... Välillä 0,4 < A < 0,6 (noin) liike on kaoottista ja ennustaminen ei ole mahdollista. Pienemmillä ja suuremmillakin A:n arvoilla saadaan (miksi?) luonteeltaan periodisia oskillaatioita. Huom Lähtökohtana oli kuitenkin täysin deterministinen yhtälö. 7 Arvot teoksesta Jordan&Smith: Nonlinear ordinary differential equations. Mekaniikka 2.8. Ajettu epälineaarinen värähtelijä 32/22 v(t) A = x(t) x(t) t v(t) A = x(t) x(t) t v(t) A = x(t) x(t) t Kussakin tapauksessa alkutila on merkitty tähdellä. Nyt vasemmalla olevat faasiavaruusradat (x(t), v(t)) selvästikin antavat enemmän informaatiota liikkeen luonteesta kuin oikealla olevat ratkaisufunktiot x = x(t).

17 Mekaniikka 2.9. Tasoheiluri 33/ Tasoheiluri Jäykällä varrella varustetun tasoheilurin liikeyhtälö on θ +ω0 2 sinθ = 0, ω0 2 = g/l. Tämä DY on selvästi epälineaarinen 8 eikä sille ole äärellisen monen alkeisfunktion avulla kirjoitettavissa olevaa eksaktia ratkaisua. Ensimmäinen askel on etsiä approksimatiivinen ratkaisu linearisoimalla: Pienillä heilahduskulman θ arvoilla sinθ θ +o(θ 3 ), joten linearisoitu liikeyhtälö on θ +ω 2 0θ = 0 Tämä on yksiulotteisen harmonisen värähtelijän yhtälön muotoa, joten 2.2:n tulokset pätevät. Heilurin jakson ajalle saamme tästä approksimaation τ 0 = 2π l/g. Eteenpäin: Periaatteessa tarkempaa ratkaisua voisi hakea tarkentamalla approksimaatiota lineaarisen ratkaisun ympärillä. Edetään kuitenkin toisin: Jos θ 0 on kulma, josta heiluri lasketaan levosta liikkeelle, on U(θ) = 2mglsin 2 (θ/2) E = 2mglsin 2 (θ 0 /2) Liike-energia T = 2 ml2 θ 2. Käyttämällä tietoa E = T +U saamme θ = dθ/dt = 2 g/l sin 2 (θ 0 /2) sin 2 (θ/2), 8 Ulkoisella voimalla ajettu heiluri on kaoottinen systeemi myös. Mekaniikka 2.9. Tasoheiluri 34/22 jonka voi integroida ajan suhteen neljäsosajakson yli, jolloin jakso on l θ0 dθ τ = 2 g 0 sin 2 (θ 0 /2) sin 2 (θ/2) Tämä on ensimmäisen lajin elliptinen integraali, joka ei integroidu siististi. Merkiten k = sin(θ 0 /2) ja tehden muuttujanvaihto z = sin(θ/2)/sin(θ 0 /2) l [ /2dz. τ = 4 ( z 2 )( k 2 z )] 2 g 0 Käytetään sarjakehitelmää ( k 2 z 2 ) /2 = + 2 k2 z k4 z ja integroidaan termeittäin, jolloin saamme l [ τ = 2π + g 4 k2 + 9 ] 64 k Tämä voidaan palauttaa θ 0 :n avulla ilmaistuksi. Tulos on l [ τ = 2π + g 6 θ2 0 + ] 3072 θ Huom Tämä myös on dimensionalyysin mukainen tulos: Dimensiottomat ryhmät ovat τ 2 g/l ja θ 0, joten F(τ 2 g/l,θ 0 ) = 0 τ = l/g f(θ 0 ).

18 Mekaniikka 3.. Ongelmanasettelu 35/22 3. Hieman variaatiolaskentaa 3.. Ongelmanasettelu Ääriarvoperiaatteet ovat monella fysiikan alalla keskeisiä. Tunnetuin lienee Fermat n periaate optiikassa. Statistisessa fysiikassa järjestelmän tasapainotila on sellainen joka (annetuilla ehdoilla) maksimoi suljetun systeemin entropian tai (avoimille systeemeille) minimoi vapaan energian. Kvanttimekaanisen monihiukkasjärjestelmän minimienergiaa voi hakea variaatiomenetelmällä. Tarkastelemme nyt yksinkertaista variaatiolaskennan ongelmaa: Etsittävänä on funktio y = y(x), joka annetulla f = f(y(x),y (x);x) minimoi integraalin x2 J = f(y(x),y (x);x)dx. (3.) x Tehtävän ratkaisu on sellainen funktio y = y(x), että mikä tahansa sitä lähellä oleva funktio tuottaa integraalille (3.) suuuremman arvon. Parametrisoimme sitten näitä optimaalista ratkaisua y = y(x) lähellä olevia funktioita y(α, x) yhdellä parametrilla α siten, että J minimoituu, kun α = 0. Kirjoitamme y(α,x) = y(x)+αη(x), (3.2) missä η(x) on jokin mv. jatkuvasti derivoituva funktio, jolle η(x ) = 0 = η(x 2 ). Tällöin minimoitavasta integraalista J tulee parametrin α funktio: J(α) = x2 x f(y(α,x),y (α,x);x)dx. (3.3) Mekaniikka 3.2. Eulerin yhtälö 36/ Eulerin yhtälö Ääriarvoehto (3.3):lle on δj = 0, tarkoittaen yo. määritelmin että J = 0. (3.4) α α=0 Koska integrointirajat ovat kiinteät, derivointi voidaan viedä integraalin sisään: J α = x2 x2 [ f(y,y f y ;x)dx = α x y α + f y ] dx. y α Nyt (3.2):sta y(α,x)/ α = η(x) ja y (α,x)/ α = dη(x)/dx, joten J x2 [ f α = f dη ] η(x)+ dx. y y dx Jälkimmäinen termi hoituu osittaisintegroinnilla: x2 x f dη y dx dx = x / x 2 x x x f y η(x) x2 x d ( f ) η(x)dx. dx y Sijoitustermi on nolla, koska η(x ) = 0 = η(x 2 ). Täten J x2 [ f α = y d f ] η(x)dx, (3.5) dx y missä α-riippuvuus on funktioissa y = y(α,x) ja y = dy(α,x)/dx.

19 Mekaniikka 3.2. Eulerin yhtälö 37/22 Ääriarvopisteessä derivaatta (3.5) häviää kaikilla η(x), kun α = 0. Koska η(x) on mielivaltainen funktio, jolle η(x ) = 0 = η(x 2 ), täytyy hakasulkeissa olevan lausekkeen olla nolla, kun α = 0.!!! Täten variaatio-ongelman ratkaisufunktio y = y(x) toteuttaa Eulerin yhtälön f y d dx Reunahuom Funktion f derivointi antaa df dx = f y d dx f = 0. (3.6) y dy dx + f dy y dx + f x = f f y y +y y + f x ( y f ) +y [ f y y d f ] + f dx y x Nyt hakasuluissa oleva lauseke on (3.6):n perusteella nolla, joten saamme Eulerin yhtälön toisen muodon f x d ( f y f ) = 0. dx y Tämä on käytännöllinen muoto silloin, kun f = f(y,y ) eli kun f ei riipu suoraan x:stä, koska tällöin ensimmäinen termi on nolla ja jäljelle jäävän termin voimme integroida suoraan tuloksena f y f = VAKIO, kun f/ x = 0. y Mekaniikka 3.3. Eulerin yhtälö useamman muuttujan tapauksessa 38/ Eulerin yhtälö useamman muuttujan tapauksessa Mekaniikassa tulee usein vastaan ongelmia, joissa minimoitavan integraalin sisällä oleva funktio f riippuu useammasta muuttujasta: f = f(y (x),y (x),y 2 (x),y 2(x),...,y n (x),y n(x);x) Kirjoittamalla nyt kaikilla i =,2,...,n y i (α,x) = y i (x)+αη i (x), päädymme yleistämällä aiemman laskun (3.5):a vastaavaan yhtälöön J x2 α = [ f d f ] η x y i dx y i i (x)dx. (3.7) i Koska variaatiot η i (x) ovat toisistaan riippumattomia, tulee jokaisen suluissa olevan lausekkeen erikseen hävitä, joten saamme Eulerin yhtälöt kullekin funktiolle y i = y i (x): f y i d dx f y i = 0, i =,2,...,n. (3.8) Tässä kannattaa huomata, että esimerkiksi derivointi y :n suhteen voi noukkia yhtälöön i = mukaan funktion y 2 eli yhtälöt (3.8) voivat kytkeytyä toisiinsa. Tällaisessa tapauksessa voidaan pyrkiä tekemään muunnos y i q i siten, että Eulerin yhtälöt muuttujille q i eivät kytkeydy toisiinsa (tästä myöhemmin).

20 Mekaniikka 3.4. Sidosehtojen käsittely 39/ Sidosehtojen käsittely Tarkastellaan kahden muuttujan, y (x) y(x) ja y 2 (x) z(x), tapausta jossa f = f(y i,y i,;x) = f(y,y,z,z ;x). Tällöin n = 2 ja (3.7):sta tulee J x2 ([ f α = y d f ] y [ f dx y α + z d f ] z dx z α x Olkoon nyt muuttujien y = y(x) ja z = z(x) välillä sidosehto muotoa ) dx. (3.9) g(y,z;x) = 0. (3.0) Tällöin (3.9):ssa hakasuluissa olevia lausekkeita ei voida puhua toisistaan riippumatta nolliksi, koska variaatiot y/ α η(x) ja z/ α ζ(x) eivät ole riippumattomat. Koska dg = 0 ja dx/dα = 0, on oltava g g ζ(x) η(x)+ ζ(x) = 0 y z η(x) = g/ y g/ z, joten J α = = x2 x x2 x ([ f y d dx {[ f y d dx f ] [ f η(x)+ y f ] y z d dx [ f z d dx f ] ) ζ(x) dx z f ] g/ y z g/ z } η(x)dx. Mekaniikka 3.4. Sidosehtojen käsittely 40/22 Viimeisessä muodossa on enää yksi variaatio η(x), joten aaltosuluissa olevan lausekkeen on oltava nolla. Pienellä uudelleenjärjestelyllä tästä seuraa [ f y d dx f ]( g y y ) = [ f z d dx f ]( g z z ). Kumpikin puoli on x:n funktio, jota merkitsemme λ(x):llä, tuloksena f y d f dx y +λ(x) g y = 0 (3.) f z d f dx z +λ(x) g = 0. (3.2) z Nyt tuntemattomia funktioita on kolme: y(x), z(x) ja λ(x). Ne määräytyvät kolmesta yhtälöstä: (3.0), (3.) ja (3.2). Funktio λ(x) on määräämätön Lagrangen kertoja. Tarkastelu ja tulos yllä yleistyy useammalle muuttujalle ja useammalle sidosehdolle. Yleisessä tapauksessa on ratkaistava yhtälöt f y i d dx f y i + j λ j (x) g j y i = 0, g j (y i ;x) = 0, (3.3) missä on n tuntematonta i =,...,n ja niille m sidosehtoa j =,...,m. Sidosehdot g j (y i ;x) = 0 voidaan ilmaista myös differentiaaliyhtälöin: g j dy i = 0. (3.4) y i i

21 Mekaniikka 4.. Hamiltonin periaate 4/22 4. Lagrangen ja Hamiltonin dynamiikka 4.. Hamiltonin periaate Newtonin mekaniikan, erityisesti voiman käsitteen, yksi etu on, että voimat ovat yksinkertaisesti komponenteittain summattavissa kokonaisvoimaksi. Monissa käytännön tilanteissa hiukkasten/kappalten liike on kuitenkin sidosehtojen rajoittamaa ja sidosehtoihin liittyvien tukivoimien käsittely hankalaa. Tämä on käytännön motivaatio etsiä toisenlaista klassisen mekaniikan formulointia. Newtonin laeissa postuloitiin voiman käsite. Klassisen mekaniikan perusteet voidaan kuitenkin kehittää toisista lähtökohdista. Klassisen ja vielä enemmän modernin fysiikan keskeinen käsite on energia, jonka kautta myös hiukkasten vuorovaikutukset voidaan määritellä. Vaihtoehtoinen lähtökohta on Hamiltonin periaate: Kaikista tavoista, joilla dynaaminen systeemi voisi tietyn ajan kuluessa siirtyä tilasta toiseen, valikoituu se, joka minimoi liike-energian ja potentiaalienergian erotuksen aikaintegraalin. Hamiltonin periaate johtaa variaatio-ongelmaan δ t2 t (T U)dt = 0, (4.) missä δ on lyhennysmerkintä ehdolle (3.4). Ehto (4.) ei sinänsä vaadi minimiä, vaan maksimikin kelpaisi, mutta tavallisesti mekaniikassa päädytään minimiin. Mekaniikka 4.. Hamiltonin periaate 42/22 Yhdelle hiukkaselle, joka liikkuu konservatiivisessa voimakentässä, on T = T(ẋ i ) U = U(x i ), missä käytämme lyhennysmerkintää: hiukkasen liikkeelle 3D:ssa T(ẋ i ) T(ẋ (t),ẋ 2 (t),ẋ 3 (t)) U(x i ) U(x (t),x 2 (t),x 3 (t)). Määritellään sitten Lagrangen funktio L = L(x i,ẋ i ) näiden erotuksena L = T U, (4.2) missä x i = x i (t) ja ẋ i = ẋ i (t), jolloin Hamiltonin periaate saa muodon δ t2 t L(x i,ẋ i )dt = 0. (4.3) Tämän variaatio-ongelman ratkaisu toteuttaa Eulerin yhtälöt (3.8), joita tässä yhteydessä kutsutaan Lagrangen yhtälöiksi hiukkasen koordinaateille: L x i d dt L ẋ i = 0, i =,2,3. (4.4) Huom Jälkivisaasti voidaan todeta, että Lagrangen yhtälöiden tulee johtaa ja ne johtavat samaan dynamiikkaan kuin Newtonin toinen laki.

22 Mekaniikka 4.. Hamiltonin periaate 43/22 Esim 4. Lagrangen yhtälöiden käyttöä valaisee tuttu sovellusesimerkki: Harmoniselle värähtelijälle D:ssa T = 2 mẋ2 U = 2 kx2 L(x,ẋ) = 2 mẋ2 2 kx2 L x = kx L ẋ = mẋ d L dt ẋ = mẍ Sijoittamalla nämä (4.4):ään, joka D:ssä on vain yksi yhtälö, saamme mẍ +kx = 0, mikä on sama kuin Newtonin yhtälöiden antama liikeyhtälö (2.2). Yllä kannattaa huomata, että emme todellakaan käyttäneet voiman käsitettä. Lagrangen liikeyhtälöiden yksi keskeinen etu on vapaus muuttujien valinnassa: Esim 4.2 Tasoheilurille, jonka varren pituus on l, Lagrangen funktio on L(θ, θ) = 2 ml2 θ 2 mgl( cosθ), josta L θ = mglsinθ L θ = d L ml2 θ = ml2 θ, dt θ minkä sijoittaminen (4.4):ään antaa 2.9:stä tutun likeyhtälön θ + g l sinθ = 0. Mekaniikka 4.2. Yleistetyt koordinaatit 44/ Yleistetyt koordinaatit Tarkastelemme seuraavassa n keskenään vuorovaikuttavan pistemäisen hiukkasen muodostamaa systeemiä, joista jotkut voivat olla kytketyt toisiinsa tai liikkumattomiin kappaleisiin. Hiukkasten paikkoja kuvaamaan tarvitaan 3n suuretta eli koordinaattia. Jos systeemissä on sidosehtoja, jotka kytkevät joitakin koordinaatteja toisiinsa tai ympäristöön, kaikki koordinaatit eivät ole toisistaan riippumattomia. Jos systeemissä on m sidosehtoa, on vain 3n m riippumatonta koordinaattia. Sanomme tällöin, että systeemillä on s = 3n m vapausastetta. Hiukkasten paikkoja kuvaavien s = 3n m koordinaattien ei tarvitse olla suorakulmaisia koordinaatteja mitkä tahansa s lukua, jotka täydellisesti määräävät hiukkasten paikat, käyvät. Ne voivat olla esim. käyräviivaisia koordinaatteja, kuten pallokoordinaatteja. Kutsumme tällaisia valittuja koordinaatteja yleistetyiksi koordinaateiksi. Teoreettisessa kontekstissa niitä on tapana merkitä: q,q 2,... Yleistettyjen koordinaattien lisäksi voimme tarpeen mukaan määritellä niihin liittyvät yleistetyt nopeudet q, q 2,... Joissain tilanteissa voi olla mielekästä käyttää useampaa kuin s koordinaattia ja ottaa sidosehdot huomioon käyttämällä määräämättömiä Lagrangen kertojia, jotka määrittelimme 3.4:ssa.

23 Mekaniikka 4.2. Yleistetyt koordinaatit 45/22 Jos indeksoimme hiukkasia α:lla ja niiden karteesisia koordinaatteja i:llä, muunnosyhtälöt karteesisten ja yleistettyjen koordinaattien välillä ovat x α,i = x α,i (q,q 2,...,q s,t), missä α =,2,...,n ja i =,2,3. Huomaa, että yleisessä tapauksessa muunnokset voivat riippua eksplisiittisesti ajasta. Lyhyemmin kirjoittaen x α,i = x α,i (q j,t), (4.5) missä j =,2,...,s indeksoi yleistettyjä koordinaatteja. Muunnokset nopeuksien ja yleistettyjen nopeuksien välillä voivat sisältää myös riippuvuutta q i :sta: ẋ α,i = ẋ α,i (q j, q j,t). (4.6) Vastaavat käänteiset muunnokset ovat q j = q j (x α,i,t) (4.7) q j = q j (x α,i,ẋ α,i,t). (4.8) Kiinnitetään vielä merkintätapa mahdollisille sidosehdoille: missä k =,2,...,m. f k (x α,i,t) = 0, (4.9) Mekaniikka 4.3. Lagrangen yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa 46/ Lagrangen yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa Hamiltonin periaatteen mukaan dynaamisen systeemin (toteutuva) aikakehitys jollain aikavälillä minimoi Lagrangen funktion aikaintegraalin. Lagrangen funktio on systeemin liike- ja potentiaalienergian erotus. Jatkon kannalta ratkaisevan tärkeä on havainto, että energia ei ole vektorivaan skalaarisuure. Siten se on invariantti koordinaatistomuunnoksissa. Tämä mahdollistaa sujuvan siirtymisen yleistettyihin koordinaatteihin. On myös muunnoksia, jotka muuttavat Lagrangen funktiota, mutta eivät lopulta vaikuta liikeyhtälöihin. Esimerkki tällaisesta on muunnos tyyppiä L L+df/dt, missä funktiolla f = f(q i,t) on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Yleistettyjä koordinaatteja käyttäen Lagrangen funktio on ja Hamiltonin periaate L(q j, q j,t) = T(q j, q j,t) U(q j,t) (4.0) t2 δ L(q j, q j,t)dt = 0, (4.) t josta seuraavat Eulerin-Lagrangen tai Lagrangen yhtälöt ovat L q j d dt L q j = 0 j =,2,...,s. (4.2)

24 Mekaniikka 4.3. Lagrangen yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa 47/22 Lagrangen yhtälöiden (4.2) käyttämiseksi vaadimme seuraavat ehdot:. Systeemiin vaikuttavat voimat ovat sidosehtoihin liittyviä voimia lukuunottamatta saatavissa potentiaalista tai potentiaaleista. 2. Sidosehtojen on oltava muodoltaan sellaisia, että ne kytkevät toisiinsa hiukkasten koordinaatteja. Sidosehdot ovat siis muotoa f k (x α,i,t) = 0. (4.3) Tarkastelemme systeemejä, joissa vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia, jolloin ne saadaan potentiaalifunktioista. Tällöin ehto toteutuu. Edelleen, rajoitumme tilanteeseen, jossa ehto 2 toteutuu; sen mukaisia sidosehtoja kutsutaan holonomisiksi. Todettakoon, että Hamiltonin periaate ja siis Lagrangen mekaniikka voidaan yleistää siten, ettei ehtoja -2 vaadita. Esimerkkejä, jotka joko helpottuvat tai eivät Lagrangen mekaniikkaa käyttäen: Esim 4.3 Yleistetyt koordinaatit liikkeelle puolipallon pinnalla. Esim 4.4 Koordinaattimuunnokset tasoheilurille. Esim 4.5 Ammuksen liike gravitaation vaikuttaessa. Esim 4.6 Liike kartion pinnalla gravitaation vaikuttaessa. Esim 4.7 Tasoheiluri kiihtyvässä junanvaunussa. Mekaniikka 4.4. Lagrangen yhtälöt sidosehdoin 48/ Lagrangen yhtälöt sidosehdoin (a) Nopeuksia sisältävät sidosehdot Yleinen nopeuksista riippuva sidosehto on muotoa f(x α,i,ẋ α,i,t) = 0. (4.4) Tietyissä tapauksissa tällainen ehto palautuu holonomiseksi. Esimerkiksi ehto A i ẋ i +B = 0, i =,2,3 (4.5) tapauksessa, jossa i A i = f/ x i B = f/ t f = f(x i,t), (4.6) voidaan kirjoittaa muodossa f x i x i t + f t = 0 df = 0, (4.7) dt i joka on suoraan integroitavissa, tuloksena holonominen muoto f(x i,t) VAKIO = 0. (4.8) Yleisemmin: Ehdot, jotka ovat saatettavissa muotoon f k dq j + f k df dt = 0 = 0, (4.9) q j t dt j ovat ekvivalentteja muodon (4.3) kanssa ja siis holonomisia.

25 Mekaniikka 4.4. Lagrangen yhtälöt sidosehdoin 49/22 (b) Tavanomaiset holonomiset sidosehdot Luvun 3.4 perusteella sidosehdot, jotka ovat ilmaistavissa muodossa j f k q j dq j = 0, (4.20) missä j =,2,...,s ja k =,2,...,m, ovat suoraan käsiteltävissä määräämättömien Lagrangen kertojien avulla, jolloin (4.2):n asemasta L q j d dt L q j + k λ k (t) f k q j = 0. (4.2) Huom Joissakin sovelluksissa, esimerkiksi rakenteiden kestävyyttä mietittäessä, on tarpeen tietää sidosehtoihin liittyvät voimat. Nämä voimat saadaan suoraan λ k (t):sta. Sidosehtoihin liittyvät yleistetyt voimat Q j ovat Q j = k λ k f k q j. (4.22) Esim 4.8 Kaltevaa tasoa alas vierivä kiekko. Esim 4.9 Puolipallon päältä levosta lähtevä hiukkanen: irtautumiskohta. Mekaniikka 4.5. Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi 50/ Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi Ekvivalenssi karteesisessa koordinaatistossa (Lagrangesta Newtoniin) Yhden hiukkasen tapauksessa, olettaen T = T(ẋ i ) ja U = U(x i ) on T = 0 L = U, x i x i x i joten Lagrangen yhtälö (4.4) saa muodon U = 0 L = T, ẋ i ẋ i ẋ i U = d T. (4.23) x i dt ẋ i Tämän vasen puoli on konservatiiviselle kentälle (.3):sta ja oikea puoli on U x i = F i d T = d dt ẋ i dt ẋ i 3 j= 2 mẋ2 j = d dt mẋ i = ṗ i, joten (4.23) tuottaa Newtonin toisen lain kullekin i =,2,3: F i = ṗ i F = ṗ.

26 Mekaniikka 4.5. Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi 5/22 Ekvivalenssi yleistetyissä koordinaateissa (Newtonista Lagrangeen) Otetaan lähtökohdaksi koordinaattien muunnos x i = x i (q j,t) ẋ i = j x i q j q j + x i t = j ẋ i q j q j + x i t. Yleistetyn voiman saamme tarkastelemalla työtä: dw = i F i dx i = i,j F i x i q j dq j, joten koordinaattiin q j liittyvä yleistetty voima on konservatiivisuus olettaen Q j = i F i x i q j = U q j, (4.24) mikä on ensimmäinen Lagrangen yhtälöiden rakennuspalikka. Lasketaan nyt toinen rakennuspalikka: T q j = i mẋ i ẋ i q j = i mẋ i x i q j, jonka aikaderivaatta on ketjusäännön perusteella [huom: x i = x i (q j,t)] d T = x i mẍ i + [ 2 x i 2 x ] i mẋ i q k +mẋ i. dt q j q j q j q k q j t i i k Mekaniikka 4.5. Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi 52/22 Ensimmäinen termi oikealla puolella on Q j, koska F i = mẍ i. Toinen termi on yksinkertaisesti T/ q j, koska T = i 2 mẋ2 i jos x i = x i (q j,t). Siten d T = Q j + T. (4.25) dt q j q j Täten voimme koota tuloksen: (4.24) ja (4.25) ja konservatiivisuus d T = U + T. dt q j q j q j Koska T ei riipu q j :sta eikä U riipu q j :sta, tässä viimeinen termi häviää ja muut termit voimme lausua Lagrangen funktion L = T U derivaattojen avulla U d T = 0 q j dt q j L q j d dt L q j = 0 eli olemme johtaneet Lagrangen yhtälöt (4.2) Newtonin mekaniikasta. Huom Johdossa käytimme koordinaattien muunnoskaavaa ja Newtonin toista lakia konservatiivinen voimakenttä olettaen. Huom Historiallisesti Lagrangen liikeyhtälöt johdettiin ennen kuin huomattiin ottaa niiden lähtökohdaksi Hamiltonin periaate. Huom Verrattuna Newtonin mekaniikkaan Lagrangen mekaniikka perustuu skalaarisuureisiin, mikä mahdollistaa yleistettyjen koordinaattien sujuvan käytön. Filosofisesti on kiinnostavaa, että Lagrangen mekaniikassa ei eritellä syitä (vrt. Newtonin voimat) niistä seuraaviin liiketilan muutoksiin.

27 Mekaniikka 4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta 53/ Säilymislait uudesta näkökulmasta Johdamme seuraavaksi säilymislait symmetrioista ja Lagrangen yhtälöistä. Energian säilyminen Olettaen ajan homogeenisuus suljetun systeemin Lagrangen funktio ei voi riippuua eksplisiittisesti ajasta, joten L(q j, q j,t) L(q j, q j ) eli L t = 0 dl dt = j Sijoitetaan tähän Lagrangen yhtälöt dl dt = j Tästä saamme q j d dt L q j + j L q j = d dt L q j q j = j L q j L q j q j + j L q j q j. d ( L ) q j = d ( L ) q j. dt q j dt q j j d ( L ) q j L = 0, dt q j j joten suluissa oleva lauseke on vakio. Lisäksi konservatiivisten voimien tapauksessa L/ q j = T/ q j, joten H j q j T q j (T U) = VAKIO. (4.26) Mekaniikka 4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta 54/22 Pienellä vaivalla on osoitettavissa (harjoitustehtävä) varsin yleisin oletuksin jolloin (4.26):sta tulee j q j T q j = 2T, (4.27) H = E = T +U = VAKIO. (4.28) Funktiota H kutsutaan systeemin Hamiltonin funktioksi ja se on sama kuin systeemin kokonaisenergia E seuraavin edellytyksin:. Koordinaattimuunnoksessa (4.5) ei aikariippuvuutta: x α,i / t = Potentiaalienergiassa ei nopeusriippuvuutta: U/ q j = 0. Erityisesti liikkuvassa koordinaattisysteemissä H ei ole sama kuin E ja päättely yllä ei päde. Suljetun systeemin kokonaisenergia E joka tapauksessa säilyy. Huom Vaatimuksesta seuraa, että liike-energia on yleistettyjen nopeuksien q j homogeeninen kvadraattinen funktio eli muotoa T = j,k a jk q j q k. Tästä muodosta seuraa myös yllä käyttämämme tulos (4.27).

28 Mekaniikka 4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta 55/22 Liikemäärän säilyminen Olettaen avaruuden homogeenisuus suljetun systeemin Lagrangen funktio ei muutu siirrettäessä koko systeemiä avaruudessa. Tutkitaan tällaista siirtoa r α r α +δr, jossa systeemin kaikkia hiukkasia α =,...,n siirretään samaan suuntaan saman verran δr. Käytetään karteesisia koordinaatteja, jolloin yhdelle hiukkaselle L = L(x i,ẋ i ). Seuraava tarkastelu yleistyy suoraan n hiukkaselle summaamalla kaikki lausekkeet hiukkasten yli, joten yksinkertaisuuden vuoksi tarkastellaan yhden hiukkasen tapausta. Merkitään δr = i δx iê i, jolloin δl = i ( L x i δx i + L ẋ i δẋ i ) = i L x i δx i, missä otimme huomioon, että δx on kiinteä, joten δẋ i = d(δx i )/dt = 0. Avaruuden homogeenisuus δl = 0 δx, joten L x i = 0 d dt L ẋ i = 0 missä käytimme Lagrangen liikeyhtälöitä (4.4). Toisaalta L = T = 2 ẋ i ẋ i ẋ mẋ2 j = mẋ i = p i, i joten j L ẋ i = VAKIO, p i = VAKIO p = VAKIO. (4.29) Mekaniikka 4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta 56/22 Pyörimismäärän säilyminen Olettaen avaruuden isotrooppisuus suljetun systeemin Lagrangen funktio ei muutu käännettäessä koko systeemiä avaruudessa. Tutkitaan tällaista kääntöä r α r α +δθ r α. Voimme jälleenrajoittua tarkastelemaan yhtä hiukkasta: δr = δθ r δṙ = δθ ṙ. Käytetään karteesisia koordinaatteja, jolloin L = L(x i,ẋ i ), ja Nyt δl = i ( L x i δx i + L ẋ i δẋ i ) p i = L ṗ i = L, ẋ i x i missä jälkimmäinen on Lagrangen liikeyhtälö (4.4). Täten δl = 0 δl = i (ṗ i δx i +p i δẋ i ) = 0 ṗ δr+p δṙ = 0. Kirjoitetaan tämä kääntökulman δθ avulla: ṗ (δθ r)+p (δθ ṙ) = 0 δθ (r ṗ+ṙ p) = 0.