5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä

Transkriptio

1 5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Jakoalgoritmi: Kun a ja b ovat kokonaislukuja ja b > 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut r ja q, että a = qb + r, missä 0 r < b Jakoalgoritmia käytetään luvun koodauksessa eri kantalukujen avulla.

2 Luku 10-järjestelmässä Tavallisesti käytetään 10-järjestelmän lukuja (10-kantaisia lukuja). Luku a esitetään jonona r n r n 1...r 2 r 1 r 0, missä r 0 ilmoittaa ykköset, r 1 kymmenet, r 2 sadat, jne. Tarvittaessa merkitään: (r n r n 1...r 2 r 1 r 0 ) kantainen luku voidaan esittää myös summana: a = r n r n 1... r 2 r 1 r 0 = r n 10 n + r n 1 10 n r r r = (r n 10 n 1 + r n 1 10 n r r 1 )10 + r 0 = q r 0 Luvun a numero r 0 saadaan jakoalgoritmin mukaisesti jakamalla a 10:llä ja poimimalla jakojäännös r 0 ykkösten esittäjäksi. r 1 löydetään samoin jakoalgoritmilla soveltamalla algoritmia lukuun r n r n 1...r 2 r 1 = q 0 jolloin saadaan q 0 = r n r n 1... r 2 r 1 = r n 10 n 1 + r n 1 10 n r r 1 = (r n 10 n r 2 )10 + r 1 = q r 1

3 Jatkamalla jakamista ja poimintaa, huomataan q i = (r n 10 n (i+2) + + r i+2 )10 + r i+1 = q i r i 1, kun i = 0, 1, 2,..., n 2. Muut lukujärjestelmät Edelläkuvattua jakoalgoritmia voidaan käyttää myös k-kantaisten lukujen laskentaan (k kokonaisluku, k > 0). Kun a on 10-järjestelmän luku, niin sama luku k-kantaisena (huom! k on 10-järjestelmän luku) (d s d s 1... d 2 d 1 d 0 ) k tai lyhyesti d s d s 1... d 2 d 1 d 0 k a = d s k s + d s 1 k s d 2 k 2 + d 1 k 1 + d 0 k 0 = (d s k s 1 + d s 1 k s d 2 k + d 1 )k + d 0 = q 0 k + d 0

4 Vastaavasti kuin 10-järjestelmän tapauksessa k-järjestelmän luvun numerot d i saadaan jakoalgoritmin jakojäännöksistä kuten edellä 10-järjestelmän tapauksessa. Esimerkki 5.1. Luku = ( ) 10 = k>10 Koska k-järjestelmän luvun numerot saadaan jakoalgoritmin jakojäännöksistä, niin mahdollisia numeroita ovat 0, 1, 2,..., k 1. Jos k = 2 (binääriluvut), niin mahdollisia numeroita ovat 0 ja 1 ja binääriluvut koostuvat 0:ien ja 1:en muodostamista jonoista; Jos k = 3 : mahdollisia numeroita ovat 0,1 ja 2;... k = 10 : mahdollisia numeroita ovat 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ja 9.

5 k-järjestelmän numerot jatkoa Kun 11 k 100, niin mukaan tulee (10-järjestelmän (laskut tapahtuvat 10-järjestelmässä)) kaksinumeroisia jakojäännöksiä. Kun k 101 niin jakojäännökset voivat olla kolme tai vielä useampia (10-järjestelmän) numeroita käsittäviä. Luvun merkitsemisen idea numerojonona on, että jokainen numero koostuu yhdestä merkistä ja niinpä, kun jakojäännökset ovat 10, 11, 12,... näille on annettava uudet 1-merkkiset nimet. Tavallisesti merkitään 10 = A, 11 = B, 12 = C,.... k = 12 : mahdollisia numeroita ovat 0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9, A ja B. k = 16:mahdollisia numeroita ovat 0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9, A, B, C, D, E ja F. Esimerkki 5.2. Esimerkki 5.2. Muunna luku a)16- b) 2-järjestelmän luvuksi. Ratk. a) 893 = = = Koska (13) 10 = D 16, niin = (37D) 16 b) Vastaavasti = ( ) 2

6 Esimerkki 5.3. Esimerkki 5.3. Muunna luku (AAB) 13 a)10- b) 7-järjestelmän luvuksi. Ratk. a) Luku (AAB) 13 = A13 2 +A13 1 +B13 0 = = 1831 = (1831) 10 b)sama luku 7-järjestelmässä on (1831) 10 = d s 7 s + d s 1 7 s d d d Koska 7 4 = , niin tarvitaan vain potenssit 7 3, 7 2, 7 1 ja7 0, joten (1831) 10 = d d d d = 261, = d 0 = = 37, = d 1 = = 5, = d 2 = = d 3 = 5 (AAB) 13 = (1831) 10 = (5224) 7.

7 Binääri-, heksa - ja oktaluvut Binääri-, heksa- ja oktaluvut Yleensä muunnokset kahden lukujärjestelmän välillä tehdään 10- järjestelmän kautta. Poikkeus: Heksaluvut eli 16-järjestelmän luvut, oktaluvut eli 8-järjestelmän luvut ja binääriluvut. Koska 16 = 2 4, niin jokaista heksaluvun numeroa vastaa 4 numeroinen binääriluku. Esimerkiksi 7 16 = (0111) 2. Koska 8 = 2 3, niin jokaista oktaluvun numeroa 3 numeroinen binääriluku. Esimerkiksi 7 8 = (111) 2. Silloin muunnokset näiden lukujoukkojen välillä voidaan tehdä suoraan muuntamalla jokainen luvun numero erikseen muuntotaulukoiden avulla. Muuntotaulukot

8 Esimerkki 5.5. Muunna binääriluku a)oktaluvuksi b)heksaluvuksi. Ratk.... Esimerkkejä Binäärilukuja käytetään lukujen esittämiseen tietokoneessa. Lukujen esitykset ovat pitkiä, joten okta- ja heksamuotoiset esitykset ovat helpompia käsitellä. Esimerkki 5.6. Muunna a) A7D 16 b) binääriluvuksi. Ratk.... Esimerkki 5.7. Muunna oktaluku heksaluvuksi. Ratk....

9 Yhteenlaskuesimerkki Yhteenlasku eri lukujärjestelmissä tehdään kuten 10-järjestelmässä. Esimerkki 5.8. Laske a) b)8ae 16 + EAE3 16. Ratk.... Lainaaminen vähennyslaskussa Esimerkki 5.9. Olkoot A = 5002 ja B = Määrää A B. Koulussa opetettiin: \5 \0 \ A B = Lainaaminen hankala toteuttaa ohjelmallisesti. Lainausketju voi olla pitkä. Vaatii vähennyslaskun lukujen sisältävien numeroiden edestakaista läpikäymistä. Voidaan tehdä ilman lainaamista. Vähennyslasku ilman lainaamista = Komplementin ottaminen. Komplementin ottamisen lisäksi käytetään yhteenlaskua.

10 Vähennyslasku ilman lainaamista 10-järjestelmässä Olkoot A ja B kaksi 4- numeroista, positiivisista 10- järjestelmän lukua ja A > B. y = A B = A B = A + [ B ] 10000, missä B = B on vähennyslasku ilman lainaamista. Muuntotaulukko B = B :n on luvun B:n 9 komplementti. Sen numerot voidaan määrätä numero numerolta kiinteän muuntotaulukon (komplementin oton) mukaisesti siten, että B:n numero 0 korvataan 9:llä 1 korvataan 8:lla 2 korvataan 7:llä. 8 korvataan 1:llä 9 korvataan 0:llä otetaan komplementti ja koska lainaamista ei tarvita, vähentäminen joka numeron kohdalla samanlaista.

11 10:n komplementti Luku B = B + 1 = B = B on B:n 10:n komplementti. Koska A B = A + B 10000, niin A + B = A B A + B käsittää 4:nä viimeisenä numeronaan erotuksen A B ja lisäys aiheuttaa etuykkösen (, jonka :n vähentäminen poistaa). Jättämällä tämä etuykkönen huomiotta saadaan A B luvusta A + B ilman lainausta. Esimerkki 5.9. (jatkoa) Laske ilman lainaamista. Ratk = = 5002+( ) = 5002+( ) = ( ) = = = 3493 ja 3493 = = = = = Ensimmäinen 1 katoaa vähennettäessä = 1509.

12 Vähennyslasku k-järjestelmässä Lukujärjestelmän kantaluku k. Luvut p - numeroisia (p = numeropaikkojen määrä). Kun A ja B positiivisia ja A > B, y = A B = A + ( B + k p ) k p, missä luku B = B + k p on B:n k-komplementti. Nyt B = B + 1, missä luku B on B:n k 1 komplementti, joka saadaan joko muunnostaulukoilla tai vähentämällä luku B p-numeroisesta luvusta, jonka jokaisella numeropaikalla on numero k 1. Käytännössä B muodostetaan laskemalla aluksi B ja lisäämällä siihen luku 1. Vähennyslasku binääriluvuilla Binäärilukujen vähennyslasku: (A > B, A ja B positiivisia, A :ssa ja B :ssä p = 8 numeropaikkaa): Muodostetaan B:n 1:n komplementti B vaihtamalla B:n numero 0 1:ksi ja B:n numero 1 0:ksi (l. vähennetään B 8- numeroisesta luvusta ). Muodostetaan B laskemalla B + 1(B on B:n 2:n komplementti). Lasketaan A + B. Poistetaan etuykkönen.

13 Esimerkki Suorita vähennyslasku ilman lainaamista. Ratk = ja = = = = A B = tai lyhyesti Esimerkki Laske ilman lainaamista (2101) 4 (1222) 4. Ratk....

14 Ylivuoto Luvun k p esittäminen vaatii p + 1 merkkiä, joista 1. merkki on 1 ja loput p merkkiä 0:ia. Tapauksessa, missä A ja B ovat positiivisia, A > B, on luku A B:kin positiivinen, joten A B + k p = A + B > k p. ja esittäminen vaatii p + 1 merkkiä, joista ensimmäinen on 1. p + 1:n merkin tarvetta kutsutaan ylivuodoksi (overflow). Kun A > B, niin pyyhkimällä A B :stä ylivuotomerkki pois saadaan erotus. Esityksessä A B = A + B k p vähentäminen k p :llä edustaa juuri ylivuotomerkin poispyyhkimistä. Tapaus A<B Kun A ja B ovat positiivisia ja A < B, on A B < 0 Silloin A B + k p < k p A B:n esittämiseen ei tarvita p + 1:tä merkkiä Ei ylivuotoa Johtopäätös: Kun A + B :ssä on ylivuoto, niin haettu erotus on positiivinen ja erotus saadaan pyyhkimällä ylivuotomerkki pois. Kun A + B :ssä ei ole ylivuotoa on haettu erotus negatiivinen ja erotus saadaan määräämällä A + B :n k:n komplementti (mikä edustaa k p :n vähentämistä A + B :stä) ja sijoittamalla eteen oikea etumerkki. Kun A B, niin A B = A + B k p = (k p (A + B )) = (A + B ) = ((A + B ) + 1)

15 Esimerkki 5.12 Laske , kun p = 5, k = 10 (eli käytetään 10- järjestelmän lukuja), Ratk. Koska p = 5, niin 25 = ja 183 = = = ja = = = = Ei ylivuotoa, joten A B < 0. Luvun :n komplementti on ( ) = (99842) = ja 10:n komplementti ( ) = = = ( ) = 158. Esimerkki Laske ilman lainaamista (301) 6 (5001) 6 6-järjestelmässä. Ratk....