Palautteita. Tutoriaalit olivat vaikeat! Totta, tentti on onneksi helpompi
|
|
- Matilda Hiltunen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Palautteita Tutoriaalit olivat vaikeat! Totta, tentti on onneksi helpompi 504
2 Mitä range() tekee? range on funktio, joka palauttaa listan esim. a = range(5,10) Palauttaa listan [5,6,7,8,9] Siis nämä kolme silmukkaa ovat identtiset: for x in range(5,10): print x a = [5,6,7,8,9] for x in a: print x for x in [5,6,7,8,9]: print x 505
3 Tietokoneen matemaattiset perusteet
4 Tänään Tietokoneen matemaattiset perusteet Lukujärjestelmät Tiedon koodaustavat Tentissä ei saa käyttää laskinta. Seuraavat asiat kannattaa opetella sillä silmällä Käytössä on villen alkeellinen laskin
5 Tietokoneen matemaattiset perusteet
6 Algoritmista suoritukseen Tähän asti tarkasteltu itse algoritmeja Algoritmien merkitys perustuu niiden automaattiseen suorittamiseen Tietokone yleissuoritin Pystyy suorittamaan erilaisia algoritmeja Aloitetaan tietokoneen toiminnan tarkastelu
7 Von Neumannin konemalli Lähes kaikki tietokoneet perustuvat 40-luvun John von Neumannin käsitteisiin, ns. von Neumannin konemalliin: Tietokoneessa on Muisti (joukko samankaltaisia muistipaikkoja) Prosessori, jolla käytössä joukko rekistereitä Prosessori voi Ladata tietoa muistista rekistereihin Suorittaa aritmeettisia ja loogisia operaatioita rekistereille Tallentaa rekisterien arvot takaisin muistiin Koneen ohjelma koostuu Käskyjoukosta, jolla operaatioita tehdään Kontrollikäskyistä, joilla määrätään seuraava käsky
8 Bitti Digitaalisen tietokoneen toiminta perustuu kahden olotilan periaatteelle: kone joka tunnistaa kaksi eri olotilaa Useampien tilojen käyttö ei juuri tuo etuja; mutkistaa rakennetta kohtuuttomasti Lähes kaikki tietokoneet käyttävät binäärijärjestelmää toiminnan pohjana Sana bitti (bit) tulee sanoista BInary digit Tarkoittaa kaksijärjestelmän numeroa Pienin informaation yksikkö
9 Tiedon koodaus/dekoodaus Tiedon koodaus (coding): tiedon esittämistä jonkin järjestelmän mukaisina merkkeinä tai symboleina Tieto yleensä esitetty jotenkin ennen koodausta, joten kyse tiedon esitystavan muuttamisesta Alkuperäisen esitystavan palautusta kutsutaan dekoodaukseksi (decoding) Kaksi perustapaa koodaukseen Tiedoittainen koodaus: muunnetaan alkuperäinen merkitys kokonaisuutena uuteen esitysmuotoon Esim. liikennemerkit, henkilötunnus, vakioveikkaus Merkeittäinen koodaus: muunnetaan esitystavan merkit yksitellen uuteen esitysmuotoon Esim. morseaakkoset
10 Esim. sanojen koodaus tiedoittain Tehtävä: koodaa perusmuotoisia suomenkielisiä sanoja Tiedossa lista kaikista suomenkielen sanoista ja järjestysnumeroista Koodaamme sanat niiden järjestysnumerolla listassa Esim. aloittelija => 45 Luku 45 voidaan vaikka lähettää verkon yli ja vastaanottaja dekoodaa sanat samanlaisesta taulukosta 42 aloitteikas 43 aloitteinen 44 aloittelija 45 aloitus 46 aloituskorkeus 47 aloitusmerkki 48 aloituspaikka. 513
11 Esim. sanojen koodaus merkeittäin Koodataan jokainen merkki erikseen Esim: HEI => 8 5 9, JEE => välilyönti 1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 F 7 G 8 H 9 I 10 J 514
12 Tieto tietokoneessa Tieto tietokoneessa voidaan jakaa: Merkkitietoon Aakkosellinen ja aakkosnumeerinen Tiedon merkitys ei suoraan nähtävissä tiedon esityksestä Koodataan yleensä merkeittäin biteiksi Lukuihin Numeerinen tieto Luvun arvo määräytyy suoraan luvun esityksestä (kun lukujärjestelmä tunnetaan)
13 Aakkosellisen tiedon koodaus Joudutaan siis koodaamaan merkeittäin biteiksi Jokaiselle merkille varataan yksikäsitteinen bittiyhdistelmä Useita järjestelmiä muunnoksen tekemiseen 7- tai 8-bittinen ASCII (American Standard Code for Information Interchange) Pääsi alkuaikoina eräänlaisen standardin asemaan 7-bittisellä ASCII-koodilla esitettävissä 2 7 eli 128 merkkiä Riitti juuri isojen/pienten kirjainten, numeroiden ja välimerkkien koodaukseen Ei riittänyt eri maissa käytettäviin erikoismerkkeihin (ä, ö, å, jne) 8-bittisellä ASCII koodilla 2 8 eli 256 merkin koodaus Riitti myös monien maiden erikoismerkkeihin Yleisesti: n-bittisellä koodisanalla esitettävissä 2 n erilaista koodia
14 7-bittinen ASCII-taulukko
15 Aakkosellisen tiedon koodaus Useita järjestelmiä muunnoksen tekemiseen Unicode Ohjelmistotalojen kehittämä merkistöstandardi Yksilöivä koodiarvo yli erilaiselle kirjoitusmerkille Useimmin käytetty merkistö nykyisin Esimerkkejä merkeistä:
16 Aakkosellisen tiedon koodaus Myös numeerinen, numeromerkeistä koostuva tieto, voidaan esittää merkkikoodina Numero ei aina tarkoita lukua vaan tulkittavissa numerosarjoiksi vailla arvoa. Esim. Osoitteissa Nimissä Puhelinnumeroissa Henkilötunnuksissa Asiakasnumeroissa
17 Lukujärjestelmät
18 Luku ja numero Luku (number) on matemaattinen objekti jolla arvo Numero (digit) on lukujen esittämiseen käytettävä merkki Numerot 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 10-järjestelmän luvuissa Numerot 0, 1 2-järjestelmän luvuissa Kun numerot esittävät lukuja, tiedollinen koodaus mahdollista Jos luvuilla lasketaan, lukujen arvojen koodaaminen järkevämpää kuin lukujen numeroiden koodaaminen Tietokoneessa luvut esitetään kaksikantaisen lukujärjestelmän lukuina
19 Lukujärjestelmät Lukujärjestelmä (number system) jonka kantaluku k, sanotaan k- järjestelmäksi (eli k-ariseksi järjestelmäksi) k-järjestelmässä luvun esittämiseen käytettävissä k numerosymbolia d 0, d 1,, d k-1 Yleisesti käytetyissä positionaalisissa järjestelmissä luvun esityksessä olevan numeron merkitys riippuu paitsi numerosymbolista, myös sen sijainnista muihin numeroihin nähden Esim numeron 5 merkitys luvuissa 150 ja 5002
20 Lukujärjestelmät - määritelmä K-järjestelmän esitys a n-1 a n-2 a 1 a 0.a -1 a -2 a -(m-1) a -m tarkoittaa lukua a n-1 k n-1 +a n-2 k n-2 + +a 1 k+a 0 +a -1 k -1 +a -2 k -2 + a -(m-1) k -(m-1) +a -m k -m (missä tahansa järjestelmässä laskutoimitukset suoritetaan, yleensä 10) Kukin a i (i=n-1,,1,0,-1,,-m) on jokin d j (d j =0, 1,,k-1) Jos lukujärjestelmä ei käy selväksi, kantaluku voidaan merkitä luvun esityksen perään (a n-1 a n-2 a 1 a 0.a -1 a -2 a -(m-1) a -m ) k
21 Esimerkki: 10-järjestelmän esitys 5329 kymmenjärjestelmän esityksenä Tarkoittaa lukua: =
22 Esimerkki: 2-järjestelmä 10-järjestelmäksi Muuntaminen muista järjestelmistä 10-järjestelmään tehdään yleensä käyttäen edellistä määritelmää: järjestelmän esityksenä Tarkoittaa lukua: = =22 kymmenlukujärjestelmässä
23 Usein käytettyjä lukujärjestelmiä 2-järjestelmä eli binäärijärjestelmä Kantaluku k = 2 Numerosymbolit: 0, 1 8-järjestelmä eli oktaalijärjestelmä Kantaluku k = 8 Numerosymbolit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10-järjestelmä eli desimaalijärjestelmä Kantaluku k = 10 Numerosymbolit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 16-järjestelmä eli heksadesimaalijärjestelmä Kantaluku k = 16 Numerosymbolit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
24 Muunnos 10-järjestelmästä k-järjestelmään Algoritmi, syöte luku a 10-järjestelmässä, tulos luku k-järjestelmässä: 1. Jaa a luvulla k 2. a = kokonaisosa jakolaskusta 3. lisää jakojäännöksen numero tulosluvun etummaiseksi 4. Jos a == 0, lopeta 5. Mene kohtaan 1 527
25 Esimerkki, 10->2 Muunnetaan luku 523 binäärijärjestelmään 523/2 = 261, jakojäännös 1 261/2 = 130, jakojäännös 1 130/2 = 65, jakojäännös 0 65/2 = 32, jakojäännös 1 32/2 = 16, jakojäännös 0 16/2 = 8, jakojäännös 0 8/2 = 4, jakojäännös 0 4/2 = 2, jakojäännös 0 2/2 = 1, jakojäännös 0 1/2 = 0, jakojäännös 1, jakolaskun lopputulos = 0, voidaan lopettaa 528
26 Esimerkki, 10->2 Muunnetaan luku 523 binäärijärjestelmään 523/2 = 261, jakojäännös 1 261/2 = 130, jakojäännös 1 130/2 = 65, jakojäännös 0 65/2 = 32, jakojäännös 1 32/2 = 16, jakojäännös 0 16/2 = 8, jakojäännös 0 8/2 = 4, jakojäännös 0 4/2 = 2, jakojäännös 0 2/2 = 1, jakojäännös 0 1/2 = 0, jakojäännös 1, Tulos: 523= jakolaskun lopputulos = 0, voidaan lopettaa 529
27 Esimerkki, 10->2 Muunnetaan luku 16 binäärijärjestelmään, lyhennetään jakojäännös=j 16/2 = 8 j=0 8/2 = 4 j=0 4/2 = 2 j=0 2/2 = 1 j=0 1/2 = 0 j=1 jakolaskun lopputulos = 0, voidaan lopettaa Tulos: 16=10000 Tämä luku on jo hyvä muistisääntö bittien lukujärjestykselle: jos luku luettaisiin ylhäältä alaspäin, tulos olisi 00001=1 joka on järjetöntä Alhaalta ylöspäin ei etunollia voi tulla: viimeinen vaihe on aina 1/2 530
28 Muunnokset muiden järjestelmien välillä 2 Oletetaan, että haluamme muuntaa x-järjestelmästä y-järjestelmään eikä kumpikaan näistä ole 10-järjestelmä Teoriassa edellä kuvatut algoritmit osaavat tehdä muunnoksen suoraan, jos osaisimme laskea laskutoimituksia x tai y-järjestelmässä Ongelma: (Yleensä) emme osaa luontaisesti laskea x- tai y-järjestelmässä jako tai kertolaskuja (laskimella tai päässä) Ratkaisu: Muunnetaan ensin x-järjestelmästä 10-järjestelmään Sitten 10-järjestelmästä y-järjestelmään Edellä kuvatut algoritmit toimivat helposti 532
29 Lukujärjestelmän muunnokset - esimerkkejä Muunnetaan luku järjestelmään (10-järjestelmän kautta) = 3* *11+4 = /4 = 111, j=0 111/4 = 27, j=3 27/4 = 6, j=3 6/4 = 1, j=2 1/4 = 0, j=1 Siis =
30 Lukujärjestelmän muunnokset Desimaaliluvun muunnos 10-järjestelmästä k-järjestelmään: Oletukset: x on luvun kokonaisosa, y luvun desimaaliosa, eli luku on x.y Jaetaan x toistuvasti k:lla (ottamalla osamäärän kokonaisosa aina uudeksi jaettavaksi), kunnes jaettava tulee nollaksi Peräkkäiset jakojäännökset muodostavat k-järjestelmän luvun kokonaisosan numerot alhaalta ylös Desimaaliosan muunnos kertomalla y toistuvasti k:lla (ottamalla tulon desimaaliosa aina uudeksi kerrottavaksi) Peräkkäisten tulojen kokonaisosat muodostavat k-järjestelmän desimaaliosan numerot ylhäältä alas Huom: vaikka desimaaliluku olisi 10-järjestelmässä päättyvä, se voi olla k- järjestelmässä päättymätön (ja päinvastoin)
31 Desimaaliluvun muunnos esimerkki Muunnetaan luku järjestelmään Kokonaisosa: 123/4 = 30, jakojäännös 3 30/4 = 7, jakojäännös 2 7/4 = 1, jakojäännös 3 1/4 = 0, jakojäännös 1 Desimaaliosa: *4 = *4 = *4 = 1.00 (0.00*4 = 0.00) Lopputulos:
32 Tietojenkäsittely ja kantaluvut Tietojenkäsittelijän näkemys: kantaluvun tulisi olla 2:n potenssi Oktaali- ja heksadesimaalijärjestelmät käytössä binäärilukujen yhteydessä Muunnos k-järjestelmän ja k j -järjestelmän välillä helpompi, koska se voidaan tehdä j numeron lohkoissa
33 Heksadesimaalijärjestelmä Heksadesimaalijärjestelmä (16-järjestelmä) on tavallinen tapa ilmaista lukuja bittien sijaan Muunnos näiden järjestelmien välillä on helppoa: 4 peräkkäistä bittiä vastaa aina yhtä numeroa heksadesimaalijärjestelmässä Voidaan käyttää taulukkoa: Jos taulukon osaa konstruoida, muunnokset ovat todella helppoja Bitteinä 16-järj. Bitteinä 16-järj A (tämä on hyvä tietää, edelliset algoritmit toimivat myös B C D E F 537
34 Muunnos binäärijärjestelmän ja heksadesimaalijärjestelmän välillä Muunnetaan heksadesimaaliksi Muunnetaan CD60 binäärijärjestelmään: E D C D 6 0 B H B H A B C D E F
35 Oktaalijärjestelmä Oktaalijärjestelmä (8-järjestelmä) on toinen toisinaan esiintyvä järjestelmä Koska järjestelmä on kahden potenssi, muunnos voitaisiin jälleen tehdä taulukolla 2-lukujärjestelmän ja 16- lukujärjestelmien välillä 539
36 Binäärilukujen yhteenlasku allekkain : Muistakaa ViLLE-tehtävissä aina merkitä muistinumerot jotka ovat ykkösiä, nekin arvioidaan!
37 Lukualue Laskutoimituksia rajoittaa lukualue Jos käytössä on 4-bittinen esitys, niin yhteenlaskun tuloskaan ei voi koskaan olla yli 4-bittinen Jos edellisessä olisi määritelty, että käytössä on vain 6 bittiä, seitsemäs bitti olisi ollut ns. ylivuotobitti (overflow) Ylivuotobitti ei kuulu laskun lopputulokseen (Tehtävissä kerrotaan aina selvästi käytetty lukualue)
38 Kokonaislukujen esittäminen
39 Kokonaislukujen esittäminen Positiivisen luvun esitys kaksijärjestelmässä sanotaan luvun puhtaaksi binääriesitykseksi Ei riitä negatiivisten lukujen esittämiseen, myös etumerkki pitää esittää Yksinkertainen tapa: lisätään eteen etumerkin kertova bitti Vasemmanpuoleisin eli eniten merkitsevä (most significant) bitti on Positiivisille luvuille 0 Negatiivisille luvuille 1 n bitillä voidaan esittää 2 n binäärilukua, eli kokonaisluvut -2 n-1, 0, 2 n-1-1 Tätä kutsutaan etumerkki+itseisarvo esitykseksi Vielä pitää varmistua siitä, että yhteenlasku toimii Yhteenlasku on perusoperaatio: kaikki muut voidaan johtaa siitä (-,*,/)
40 Luku Etum.+itseisarvo Etumerkki+itseisarvo-esitys Toimiiko yhteenlasku? Esim. yhteenlasku -2 ja +3 allekkain 1. Muunnetaan -2= = Lasketaan allekkain: -2 = = = -5 Ongelma 1: Positiivisten ja negatiivisten lukujen lukusuorat kulkevat eri suuntaan Positiivisten lukujen binääriesityksen itseisarvo kasvaa kun luku kasvaa Negatiivisten lukujen pienenee kun luku kasvaa Ongelma 2: Nollalla on kaksi esitystä: plus nolla ja miinus nolla
41 Luku 1:n komplementti Yhden komplementtiesitys Komplementoidaan negatiivisten lukujen itseisarvo-osat Nollat ykkösiksi Ykköset nolliksi Lukusuorien suunnat nyt samat, korjaa ongelman 1 Esim. yhteenlasku -2 ja +3 allekkain 1. Muunnetaan -2 -> > > Lasketaan allekkain -2 = = = (+) Vastaus vieläkin väärin, koska nollalla vielä kaksi arvoa, mutta ainakin lukusuorat kulkevat samaan suuntaan
42 Oltiinko edes lähellä? Kokeillaan muita arvoja: -2 = = = (+)0-1 = = = 1 0 = = = 3 1 = = = 4-0 = = = 2 Yhteenlasku melkein toimii, mutta on yhden liian pieni kun yhteenlaskettava on negatiivinen Miten korjataan?
43 Luku 2:n komplementti Kahden komplementtiesitys Siirretään 1:n komplementtiesityksen negatiivisia lukuja yhdellä pykälällä (lisää +1) Nollalle jää vain yksi esitys (+0) Lukualue laajenee yhdellä negatiiviseen suuntaan Esimerkkiyhteenlasku -2 ja +3 allekkain jälleen 1. Muunnetaan -2 -> > > > > norm.esitys -> etumerkki-> komplementti -> komplementti+1 2. Lasketaan allekain -2 = = =
44 Kahden komplementtiesitys Kokonaislukujen mekaaninen yhteenlasku toimii siis myös negatiivisilla luvuilla Ensimmäinen bitti kertoo edelleen etumerkin Käytännössä 2:n komplementtiesitys käytössä kaikissa tietokoneissa Voidaan tulkita lukusuoralla: Positiiviset luvut oikealla paikallaan Negatiiviset luvut siirretty posit. oikealle puolelle lisäämällä niihin 2 n Esim.: -2 = 1110 eli = 14 = Negatiivisen 10-järjestelmän luvun 2:n komplementtiesitys saadaan: Vaihtamalla itseisarvoltaan vastaavan positiivisen luvun esityksen 1 0 ja 0 1 Lisäämällä lukuun sitten yksi
45 Kahden komplementtiesitys 2 Yksinkertaisesti muunnoksen kahden komplementtiesitykseen voi kuvata seuraavasti: Jos luku on positiivinen, palauta luvun tavallinen binääriesitys Jos luku on negatiivinen: Komplementoi luku kokonaisuudessaan, etumerkkeineen päivineen Lisää saatuun lukuun yksi ja palauta tulos Huomaa, että komplementointi itsessään asettaa jo etumerkin ykköseksi 550
46 Kahden komplementtiesitys Laskutoimituksia rajoittaa lukualue Oletetaan, että bittejä on käytössä n kappaletta Jos n = 16, esitettävissä luvut Jos laskutoimitus ei pysy alueen rajoissa, ei tulos 2:n komplementtiesityksessäkään voi olla oikein syntyy ylivuoto Tämäntyyppisessä ylivuodossa ei välttämättä tule ylivuotobittiä, vaan merkkibitti vain vaihtuu kun sen ei pitäisi Esim. +4 = = = -7
47 Kahden komplementtiesitys Laskun tulos ei kuitenkaan ole mitä sattuu: tulos on aina oikein modulo 2 n (n on esityksen pituus) Luvut X ja y ovat kongruentteja modulo m, merkitään x y (mod m), jos x=y+km Missä k on kokonaisluku Esim (mod 16) Lukusuora onkin siis lukusykli Laskutoimitukset esityksen pituuden n määräämällä lukualueella Toisistaan k*2 n verran eroavat luvut ovat siis samassa kohden rengasta mutta eri kierroksella
48 Excess-koodaus Vielä yksi yleisesti käytetty kokonaislukujen esitystapa Idea: siirretään lukualue a b kokonaan positiiviselle puolelle lisäämällä kaikkiin lukuihin a Esim jos n=4 ja lukualue -8 7 puhutaan excess-8-koodauksesta Kaikkiin lukuihin lisätään siis =8 Ensimmäinen bitti edustaa etumerkkiä (0 negatiivinen, 1 positiivinen) Aritmetiikka ei yhtä kätevää kuin 2:n komplementtiesityksessä Eräitä teknisiä etuja Esim koodaus säilyttää lukujen suuruusjärjestyksen Luku Excess
49 Esimerkki: koodaaminen excess-4-esitykseen Lukualue siis -4 3 Muunnetaan luku 2 Lisätään lukuun 4, 2+4 = 6 6 muunnetaan binäärijärjestelmään tulos:
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
LisätiedotLukujärjestelmät. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen Fe
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen.9.2 Fe Lukujärjestelmät Kymmen- eli desimaalijärjestelmä: kantaluku perinteisesti käytetty ja tuttu numerot,,
LisätiedotDigitaalitekniikan matematiikka Luku 10 Sivu 1 (14) Lukujärjestelmämuunnokset. 2 s s
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 10 Sivu 1 (14) k 10 2 10 2 s 10 10 8 10 16 10 2 10 2 s 2 8 8 2 2 16 16 2 Digitaalitekniikan matematiikka Luku 10 Sivu 2 (14) Johdanto Tässä luvussa perustellaan, miksi
LisätiedotANSI/IEEE Std
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 1 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen ANSI/IEEE Std 754-2008 0 1 0 1 1 0 0 0 B = Σ B i 2 i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 2 (26) Johdanto
Lisätiedot5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä
5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 5.1. Muunnokset lukujärjestelmien välillä
LisätiedotSISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA
SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA Digitaalitekniikan perusteita...2 Bitti (bit)...2 Tavu (bytes)...2 Sana (word)...2 Yksiköt...2 Binääri järjestelmän laskutapa...2 Esimerkki: Digikuvan siirron kestoaika...2
LisätiedotOHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012
OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012 Luento 6: Tiedon esittäminen tietokoneessa, osa 1 Tekijät: Antti Virtanen, Timo Lehtonen, Matti Kujala, Kirsti Ala-Mutka, Petri M. Gerdt et al. Luennon
LisätiedotLuku- ja merkkikoodit. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15)
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 1 (15) A = a = i i w i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 12 Sivu 2 (15) Johdanto Tässä luvussa esitetään kymmenjärjestelmän lukujen eli BCD-lukujen esitystapoja
LisätiedotKappale 20: Kantaluvut
Kappale 20: Kantaluvut 20 Johdanto: Kantaluvut... 328 Kantalukujen syöttäminen ja muuntaminen... 329 Matemaattiset toiminnot Hex- ja Bin-luvuilla... 330 Bittien vertaileminen ja manipulointi... 331 Huom!
LisätiedotPaavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net
Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoimaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta
LisätiedotOhjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut
Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoinaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta
LisätiedotOngelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä?
Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Voidaanko dataa tai informaatiota tallettaa tiiviimpään tilaan koodaamalla se uudelleen? 2012-2013 Lasse
LisätiedotC = P Q S = P Q + P Q = P Q. Laskutoimitukset binaariluvuilla P -- Q = P + (-Q) (-Q) P Q C in. C out
Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe C = Aseta Aseta i i = n i > i i i Ei i < i i i Ei i i = Ei i i = i i -- On On On C in > < = CI CO C out -- = + (-) (-) = + = C + Digitaalitekniikan matematiikka
LisätiedotLiite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa
Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä
Lisätiedot2 j =
1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Tietokoneen rakenne Luento 6 Tietokonearitmetiikka Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU: Aritmeettis-Looginen Yksikkö ALU = Aritmetic
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotDigitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 1 (10) Virheen havaitseminen ja korjaus
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 1 (10) Digitaalitekniikan matematiikka Luku 13 Sivu 2 (10) Johdanto Tässä luvussa esitetään virheen havaitsevien ja korjaavien koodaustapojen perusteet ja käyttösovelluksia
LisätiedotTietorakenteet (syksy 2013)
Tietorakenteet (syksy 2013) Harjoitus 1 (6.9.2013) Huom. Sinun on osallistuttava perjantain laskuharjoitustilaisuuteen ja tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. Näiden laskuharjoitusten
LisätiedotOngelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten,
Ongelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten, että se pystyy suorittamaan kaikki mahdolliset algoritmit?
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Luento 6 ALU: Aritmeettis-Looginen Yksikkö Tietokonearitmetiikka Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU = Aritmetic Logic Unit
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?)
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon esitys laitteistossa (2) Tietoa siirretään muistiväylää pitkin sanoina
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit syksy Laskuharjoitus 1
Tietorakenteet ja algoritmit syksy 2012 Laskuharjoitus 1 1. Tietojenkäsittelijä voi ajatella logaritmia usein seuraavasti: a-kantainen logaritmi log a n kertoo, kuinka monta kertaa luku n pitää jakaa a:lla,
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (3)
Tietokoneen toiminta, Kesä 22 4.8.22 Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen
LisätiedotJokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.
Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero
LisätiedotAjattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena
Mikrotietokone Moderni tietokone Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena Sen käyttötarkoitus on yleensä työnteko, kissavideoiden katselu internetistä tai pelien pelaaminen. Tietokoneen
LisätiedotLiukulukulaskenta. Pekka Hotokka
Liukulukulaskenta Pekka Hotokka pejuhoto@cc.jyu.fi 10.11.2004 Tiivistelmä Liukulukuja tarvitaan, kun joudutaan esittämään reaalilukuja tietokoneella. Niiden esittämistavasta johtuen syntyy laskennassa
LisätiedotYhden bitin tiedot. Binaariluvun arvon laskeminen. Koodin bittimäärä ja vaihtoehdot ? 1
Luku Digitaalitekniikan matematiikka Täsmätehtävät.9. Fe Digitaalitekniikan matematiikka Täsmätehtävät.9. Fe Opetuskerta Sivu Luku Opetuskerta Sivu Yhden bitin tiedot Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista.
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
LisätiedotTiedon esitysmuodot. Luento 6 (verkkoluento 6) Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto
Luento 6 (verkkoluento 6) Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto Ohjelman esitysmuoto Rakenteellinen tieto 1 Tiedon tyypit Kommunikointi
LisätiedotTiedon esitysmuodot. Luento 6 (verkkoluento 6) Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto
Luento 6 (verkkoluento 6) Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto Monitavuinen tieto Ohjelman esitysmuoto Rakenteellinen tieto 1 Tiedon
LisätiedotHuom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotTIES325 Tietokonejärjestelmä. Jani Kurhinen Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos
TIES325 Tietokonejärjestelmä Jani Kurhinen Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Kevät 2008 Luku 4 Tietokoneen sisäinen toiminta Edellisisää osioiss aon tarkasteltu tietokoneen kehittymistä ja sen
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
Lisätiedot7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31
7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31 Johdanto Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 2 / 31 7.1. Muunnokset
Lisätiedot8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta
8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (3)
Tietokoneen toiminta 3.4.24 Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
Lisätiedot2. Eukleideen algoritmi
2. Eukleideen algoritmi 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastellaan annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Tietokoneen rakenne Luento 6 Tietokonearitmetiikka (Computer Arithmetic) Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU: Aritmeettis-Looginen
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
LisätiedotKokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!
Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset
LisätiedotBL40A1711 Johdanto digitaalielektroniikkaan: Johdanto ja lukujärjestelmät
BL40A1711 Johdanto digitaalielektroniikkaan: Johdanto ja lukujärjestelmät Laboratory of Control Engineering and Digital Systems Focus of research and education Energy efficient systems Renewable energy
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Luento 6 ALU: Aritmeettis-Looginen Yksikkö Tietokonearitmetiikka (Computer Arithmetic) Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU =
LisätiedotKirjoita oma versio funktioista strcpy ja strcat, jotka saavat parametrinaan kaksi merkkiosoitinta.
Tehtävä 63. Kirjoita oma versio funktiosta strcmp(),joka saa parametrinaan kaksi merkkiosoitinta. Tee ohjelma, jossa luetaan kaksi merkkijonoa, joita sitten verrataan ko. funktiolla. Tehtävä 64. Kirjoita
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 20.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 20.1.2010 1 / 40 Arvon pyytäminen käyttäjältä Käyttäjän antaman arvon voi lukea raw_input-käskyllä. Käskyn sulkujen
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (4) Tiedon esitys (7) Suorittimen ymmärtämä tieto (9) Tietokoneen toiminta, K
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Luvut, merkit, merkkijonot, totuusarvot, oliot Kuvat, äänet, hajut(?) Ohjelmat 1 Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 21.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 21.1.2009 1 / 32 Tyypeistä Monissa muissa ohjelmointikielissä (esim. Java ja C) muuttujat on määriteltävä ennen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Luvut, merkit, merkkijonot, totuusarvot, oliot Kuvat, äänet, hajut(?) Ohjelmat 1 Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotOhjausjärjestelmien jatkokurssi. Visual Basic vinkkejä ohjelmointiin
Ohjausjärjestelmien jatkokurssi Visual Basic vinkkejä ohjelmointiin http://www.techsoft.fi/oskillaattoripiirit.htm http://www.mol.fi/paikat/job.do?lang=fi&jobid=7852109&index=240&anchor=7852109 Yksiköt
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotLUKUJÄRJESTELMÄT. Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä. Binäärilukujärjestelmä
Ammatti-Instituutti Lukujärjestelmistä Sivu 1 (5) LUKUJÄRJESTELMÄT Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä Kymmenjärjestemä on meille se tutuin järjestelmä jonka tunnemme x Siinä on (10) kymmenen numeroa,
LisätiedotSyötteen ainoalla rivillä on yksi positiivinen kokonaisluku, joka on alle 1000000000000 = 10 12. Luvussa ei esiinny missään kohtaa numeroa 0.
A Alkulukuosat Tehtävänä on laskea annetusta kokonaisluvusta niiden osajonojen määrä, joita vastaavat luvut ovat alkulukuja. Esimerkiksi luvun 123 kaikki osajonot ovat 1, 2, 3, 12, 23 ja 123. Näistä alkulukuja
LisätiedotAiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!
Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CS-A1111 12.9.2018 CS-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 12.9.2018 1 / 19 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen osaat kirjoittaa Python-ohjelman, joka pyytää käyttäjältä lukuja,
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CS-A1111 11.9.2019 CS-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 11.9.2019 1 / 19 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen osaat kirjoittaa Python-ohjelman, joka pyytää käyttäjältä lukuja,
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CS-A1111 13.9.2017 CS-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 13.9.2017 1 / 19 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen osaat kirjoittaa Python-ohjelman, joka pyytää käyttäjältä lukuja,
LisätiedotAntti Vähälummukka 2010
Antti Vähälummukka 2010 TCP/IP (Transmission Control Protocol / Internet Protocol) on usean Internet-liikennöinnissä käytettävän tietoverkkoprotokollan yhdistelmä. IP-protokolla on alemman tason protokolla,
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotSalausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät / Osa I Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet Juha Kortelainen Ari Vesanen Syksy 2018 Esipuhe Tämä moniste on pääosin Juha Kortelaisen laatima. Olen muuttanut algoritmien esitystavan ja tehnyt pieniä korjauksia. Ari Vesanen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotLuvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7
Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotTietotyypit ja operaattorit
Tietotyypit ja operaattorit Luennossa tarkastellaan yksinkertaisten tietotyyppien int, double ja char muunnoksia tyypistä toiseen sekä esitellään uusia operaatioita. Numeeriset tietotyypit ja muunnos Merkkitieto
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 3 Ti 20.3.2018 Timo Männikkö Luento 3 Järjestäminen eli lajittelu Kekorakenne Kekolajittelu Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Ketjutus Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 3 Ti 20.3.2018
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 8 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 8 To 4.4.2019 Timo Männikkö Luento 8 Algoritmien analysointi Algoritmien suunnittelu Rekursio Osittaminen Rekursioyhtälöt Rekursioyhtälön ratkaiseminen Master-lause Algoritmit 2 Kevät
LisätiedotNELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
LisätiedotSeguinin lauta A: 11-19
Lukujen syventäminen Kun lapsi ryhtyy montessorileikkikoulussa syventämään tietouttaan lukualueesta 1-1000, uutena montessorimateriaalina tulevat värihelmet. Värihelmet johdattavat lasta mm. laskutoimituksiin,
Lisätiedot1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
LisätiedotTässä riisinjyvien määrät jokaisessa ruudussa on laskettava yhteen. Tällöin tuloksena on
8. Luvut 8.1 Suuret luvut, summa ja kertoma Aloittakaamme shakkipelin keksimiseen liittyvällä tunnetulla tarinalla. Intian hallitsija innostui kovasti shakkipelistä, jonka yksi palatsin viisaista miehistä
LisätiedotHUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ TIEDOT JA ESIMERKIT:
1 HUOLTOMATEMATIIKKA 1, SISÄLTÖ 1) Laskujärjestys 2) Likiarvo ja pyöristäminen 3) Paperilla laskeminen, yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut 4) Yksikkömuunnokset, kerrannaisyksiköt sekä
LisätiedotDiskreetit rakenteet P 5 op
Diskreetit rakenteet 811120P 5 op Juha Kortelainen Ari Vesanen Syksy 2016 Esipuhe Tämä moniste on pääosin Juha Kortelaisen laatima. Olen muuttanut algoritmien esitystavan ja tehnyt pieniä korjauksia. Ari
LisätiedotDiskreetit rakenteet. Juha Kortelainen
Diskreetit rakenteet 811120P 5 op Juha Kortelainen Syksy 2015 Sisältö 1 Algoritmin käsite 4 1.1 Mitä algoritmi on?........................ 4 1.2 Kontrollirakenteet......................... 6 1.3 Muita
LisätiedotPython-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
LisätiedotYhden bitin tiedot. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 1 Täsmätehtävä Tehtävä 1. Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista.
Digitaalitekniikan matematiikka Luku Täsmätehtävä Tehtävä Yhden bitin tiedot Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista. Ovi auki - ovi kiinni Virta kulkee - virta ei kulje Lamppu palaa - lamppu ei pala
LisätiedotDigitaalitekniikan matematiikka Harjoitustehtäviä
arjoitustehtäviä Sivu 6 6.3.2 e arjoitustehtäviä uku 3 ytkentäfunktiot ja perusporttipiirit 3. äytäväkytkin on järjestelmä jossa käytävän kummassakin päässä on kytkin ja käytävän keskellä lamppu. amppu
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CS-A1111 14.9.2016 CS-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 14.9.2016 1 / 19 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen osaat kirjoittaa Python-ohjelman, joka pyytää käyttäjältä lukuja,
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 3 Ti 21.3.2017 Timo Männikkö Luento 3 Järjestäminen eli lajittelu Kekorakenne Kekolajittelu Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Ketjutus Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 3 Ti 21.3.2017
Lisätiedot2. Polynomien jakamisesta tekijöihin
Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotTiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa. Luento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (4) Suorittimen ymmärtämä tieto (9)
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotJakso 6 Tiedon esitysmuodot
Jakso 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Ohjelman esitysmuoto 1 Tiedon tyypit Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni,
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
Lisätiedot