Esitysmuotoa kutsutaan kantaluvun paikkamerkinnäksi, sillä merkinnässä jokainen numero liittyy sijaintinsa mukaan tiettyyn kantaluvun potenssiin.
|
|
- Aapo Saarnio
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 POHDIN projekti TIETOTURVA LUVUISSA ja TUNNUKSISSA (1/2) LUKUJÄRJESTELMISTÄ Lukujärjestelmällä tarkoitetaan kokonaisvaltaista tapaa, jolla luvut sanotaan, kirjoitetaan tai koodataan. Muinaisina aikakausina ihmiset ovat keksineet lukuisia erilaisia tapoja ilmaista lukumääriä. Nykyinen laajalle levinnyt tapa käyttää 10-kantaista kantalukujärjestelmää ja paikkamerkintää ei ole tälläkään hetkellä ainoa tapa esittää lukuja, mutta se on yksi tehokkaimmista ja erittäin monikäyttöinen esitystapa. Tietokoneiden aikakaudella ja tietokoneita varten on otettu laajalti käyttöön 2-kantainen eli ns. binäärijärjestelmä, jossa kantalukuna on kaksi. Lukujärjestelmät vaihtelevat aikakausien, etnisten ryhmien, kielten ja tilanteiden mukaan. Esimerkiksi ranskalainen nimeää lukusanat eri tavalla (kantalukuna 20) kuin hän muodostaa ne numeroilla käyttäen kymmenjärjestelmää. Englantilainen saattaa käyttää matematiikassa desimaalijärjestelmää, mutta mittaustulosten käsittelyssä hän voi siirtyä käyttämään duodesimaalijärjestelmää. Etelä-Afrikassa ihmiset voivat ilmaista luvut alkeellisella tavalla, mutta esimerkiksi Suomessa tietokoneiden ohjelmoijat saattavat käyttää kolmea kantalukujärjestelmää (kymmenen, binääri ja heksa) rinnakkain. Useat käytetyt lukujärjestelmät ovat moniulotteisia kulttuurin ja ajan suhteen. Kantalukujärjestelmä on lukujärjestelmä, jossa luku esitetään yksikäsitteisessä muodossa kertoimien ja kantaluvun eri potenssien tuloista muodostettuina summina. Luvun esitysmuodossa kirjoitetaan näkyviin vain potenssien kertoimet ja jätetään potenssimerkinnät ja summausmerkintä pois, jotta merkintä olisi tiivis ja helppokäyttöinen. Esitysmuotoa kutsutaan kantaluvun paikkamerkinnäksi, sillä merkinnässä jokainen numero liittyy sijaintinsa mukaan tiettyyn kantaluvun potenssiin. Jos paikkamerkinnässä käytetään kantalukuna lukua 10, tarkoittaa luvun paikkamerkintä 7152 lukua, joka saadaan laskemalla Tämä merkitään ilmaisemalla samalla merkinnän kantaluku oikeassa alakulmassa eli muodossa Tietotekniikan vuoksi yleisesti käytetty binäärijärjestelmä on kaksikantainen kantalukujärjestelmä. Siinä luvut nolla ja yksi esitetään yksinumeroisina merkintöinä 0 ja 1. Kaksinumeroiset merkinnät ovat 10 ja 11. Ne tulkitaan luvuiksi, joiden arvot ovat 10 = ja 11 = (desimaalijärjestelmässä) eli ne ovat kaksi ja kolme. Kolminumeroisten lukujen arvot lasketaan esimerkiksi 101 = 1 2² Näin saadaan esimerkiksi luku viisi. Jotta eri kantalukujärjestelmien lukuesitykset tunnistettaisiin, merkitään sen kantaluku alaindeksinä viimeisen numeron alakulmaan. Näin voidaan edellä olevat kaksi esimerkkiä kirjoittaa muodossa: 2-kantainen 11 on 11 2 = = 3 10, joka on 10-kantainen 3. Vastaavasti 2-kantainen 101 on = 1 10 (2 10 ) = 5 10, joka on 10-kantainen 5. Tehtävä 1. Esitä kymmenjärjestelmän luvut 33, 41 ja 14,375 binäärijärjestelmän lukuina.
2 HENKILÖTUNNUS eli SOSIAALITURVATUNNUS Mikä on henkilötunnus? Henkilötunnus on tunnistamiskeino, joka yksilöi meidät kaikki vielä tarkemmin kuin annetut nimet. Täysin samannimisiä ihmisiä löytyy kyllä, mutta ei löydy kahta henkilöä, joilla olisi sama henkilötunnus. Henkilön saama henkilötunnus säilyy muuttumattomana koko hänen elämänsä. Henkilö voidaan yksilöidä nimenmuutoksista riippumatta kaikkialla missä tunnusta tarvitaan. Henkilötunnusta on käytetty Suomessa jo yli 25 vuoden ajan. Mihin henkilötunnusta tarvitaan? Henkilötunnusta tarvitaan esimerkiksi eläkkeiden ja muiden kansalaisille tarjottavien etuuksien hakemisessa. Pankissa asioidessa tunnus on välttämätön, esimerkiksi tiliä avattaessa. Myös palkkoja ja palkkioita maksettaessa sitä tarvitaan, jotta rahat menisivät oikeille henkilöille. Erilaisten sopimusten laadinnassa edellytetään käytettävän henkilötunnuksia esimerkiksi monet kauppakirjat, matkapuhelinliittymät ja vastaavat. Henkilötunnuksen huolellinen käyttö vähentää rekistereiden virhemahdollisuuksia ja näin osaltaan lisää sekä yksilön tietosuojaa että oikeussuojaa. Tunnusta ei kuitenkaan tarvita aina. Usein asioiden hoito sujuu pelkällä nimellä. Miten henkilötunnus annetaan? Henkilötunnus annetaan, kun lapsen syntymä tai ulkomaalaisen Suomeen muutto rekisteröidään väestötietojärjestelmään. Sama henkilö voi saada vain yhden henkilötunnuksen. Henkilötunnuksen saa jokainen Suomessa tai ulkomailla syntynyt Suomen kansalainen syntymätodistuksen perusteella ja jokainen ulkomaalainen, jonka oleskelu Suomessa on pysyvää tai kestää vähintään vuoden. Henkilötunnus voidaan antaa myös maassamme tilapäisesti oleskelevalle henkilölle sekä eräissä tapauksissa ulkomailla asuville perheenjäsenille. Henkilötunnuksen määräytyminen Syntymäaika Yksilönumero Tarkistusmerkki N Esimerkiksi Milla Niemisen henkilötunnus on N, josta syntymäaika, kertoo päivän, kuukauden ja vuoden, jolloin Milla on syntynyt. Syntymäpäivän jäljessä oleva merkki kertoo syntymävuosisadan. Millalla se on yhdysmerkki (-), sillä hän on syntynyt 1900-luvulla. Henkilöllä, joka on syntynyt 1800-luvulla, se on plusmerkki (+) ja 2000-luvulla syntyneiden merkki on A. Yksilönumerolla, joka on Millalla 206, erotetaan toisistaan henkilöt, joilla on sama syntymäaika. Yksilönumero on miehillä pariton ja naisilla parillinen. Tarkistusmerkki on numero tai kirjain. Millalla tarkistusmerkki on N. Merkki saadaan jakamalla syntymäajan ja yksilönumeron muodostama yhdeksännumeroinen luku luvulla 31, jolloin tarkistusmerkki määräytyy jakojäännöksen mukaan seuraavasti:
3 B 21 N C 22 P D 23 R E 24 S F 25 T H 26 U J 27 V K 28 W L 29 X M 30 Y 10 A Tehtävä 2. Tarkista oma sosiaaliturvatunnuksesi tarkistusmerkki. Tehtävä 3. Muodosta henkilötunnus tyttövauvalle, joka syntyi ja jonka yksilönumeroksi synnytyssairaalan järjestelmän mukaan määräytyi 106. Tehtävä 4. Osoita matemaattisesti, että henkilötunnus U on virheellinen. Mikä olisi pitänyt olla henkilötunnuksen tarkistusmerkki, jos tunnus muilta osin olisi ollut oikeellinen? ISBN tunnus ISBN on kirjan tai muun erillisteoksen yksiselitteinen tunnus. Tunnusta käytetään julkaisujen hankinnassa, kustantajien varastoluetteloissa, laskutusjärjestelmissä, kirjakauppojen tilausjärjestelmissä, kansainvälisissä ja kansallisissa yhteisluetteloissa, bibliografioissa ja kirjastojen lainausjärjestelmissä sekä tiedonhauissa. Kirjoja alettiin numeroida 1960-luvun lopulla Euroopassa ja Yhdysvalloissa. Suomi liittyi ISBN-järjestelmään vuonna Erillinen ISBN-tunnus annetaan jokaiselle julkiseen käyttöön tarkoitetulle kirjalle tai muulle erillisteokselle, sen jokaiselle julkaisumuodolle (asulle) sekä myös muutoksia sisältävälle painokselle. Sen vuoksi sillä, missä fyysisessä muodossa sisältö esitetään tai välitetään, ei ole merkitystä. Fyysinen muoto voi olla painettu kirja, audiovisuaalinen tai elektroninen tallenne. 10-merkkisen ISBN-tunnuksen rakenne ( ) ISBN-tunnus sisältää kirjaimet ISBN ja 10 merkkiä, jotka jakautuvat neljään osaan - ensin on maatunnus tai kieliryhmän tunnus, sitten kustantajatunnus ja julkaisutunnus sekä viimeisenä tarkistemerkki. Tarkistemerkeistä luku 10 korvataan kirjaimella X. Esim. maatunnus 951 ja 952 kertovat, että kirja tai muu erillisteos on julkaistu Suomessa. Esim. hyväksyttävä tunnus voisi olla ISBN
4 Millainen on ISBN-tunnuksen matematiikka? Olkoot a 1, a 2, a 3,..., a numeroisen luvun numerot vasemmalta oikealle. Jokaisella ISBN-tunnuksella on sellainen ominaisuus, että summa 10 a1 9 a2 8 a a8 2 a9 1 a10 on jaollinen luvulla 11. Yleensä esitetään ainoastaan tämä tapa (tunnisteluvusta kertoimilla painotettujen tulojen summan jakaminen luvulla 11), miten tunnisteluvun oikeellisuus tarkistetaan, ei sitä, miten itse tunnuksen tarkistemerkki muodostetaan. Tarkistemerkkiä muodostettaessa numeroita painotetaan kertoimilla 10, 9,, 2 vasemmalta oikealle ja tulot lasketaan yhteen. Tarkistemerkki on luku, joka summaan on lisättävä, jotta tulos olisi jaollinen luvulla 11. Jos lisättävä luku on 10, tarkistemerkki on edellä mainittu X. Esimerkki 1. ISBN = (mod 11) Lisäys oltava 11 2 = 9 Esimerkki 2. ISBN X X = (mod 11) Lisäys oltava 11 1 = 10 X Tehtävä 5. Voiko oppikirjan ISBN-tunnus olla esimerkiksi ISBN ? Tehtävä 6. Uuden julkaistavan oppikirjan ISBN-tunnuksen alkuosa on ISBN ? Mikä tulee asettaa ISBN-tunnuksen tarkistemerkiksi? 13-merkkisen ISBN-tunnuksen rakenne ( ) ISBN-tunnus sisältää kirjaimet ISBN ja 13 merkkiä, jotka jakautuvat viiteen osaan. Osat erotetaan toisistaan väliviivoin: ISBN = Etuliite 952 = Maatunnus tai kieliryhmän tunnus 73 = Kustantajatunnus 9828 = Julkaisutunnus 5 = Tarkistemerkki (tarkistusnumero) Etuliite 978 on EAN-13 -tunnuksen etuliite.
5 Maatunnus 951 tai 952 kertoo, että kirja tai muu erillisteos on julkaistu Suomessa. Esimerkiksi kieliryhmän tunnukset 0 ja 1 ovat englanninkielisen kielialueen tunnuksia ja niitä käyttävät esim. Britannia, USA ja englanninkielinen Kanada (esim. ISBN ja ISBN ). Kustantajatunnus vaihtelee yhdestä viiteen merkkiin kustannustoiminnan laajuuden mukaan. Julkaisutunnus yksilöi tietyn kustantajan yksittäisen julkaisun. Tarkistusmerkki (tarkistusnumero) lasketaan EAN-13 laskukaavalla (modulus10). Koska kyseessä on jaollisuus luvulla 10, niin tarkistusmerkki ei voi enää olla kirjain X. Tarkistus Edellä esitetty numeerinen tuotekoodi merkitään tavallisesti myös viivakoodin alle, mutta myös viivakoodin (EAN-13) edessä ja jäljessä on yleensä numeroita, jotka on tarkistuslaskennassa otettava huomioon. Viimeinen numero on kuitenkin tarkistemerkki. Toisinaan tarkistemerkki voi puuttua, mutta tällöin se sisältyy itse viivakoodiin. Tarkisteen laskenta (EAN-13) Tarkistusnumeron edessä olevia numeroita painotetaan kertoimilla 1, 3, 1, 3, vasemmalta alkaen. Tulot lasketaan yhteen. Tarkistusnumero on numero, joka summaan on lisättävä, jotta tulos olisi jaollinen luvulla 10. Esimerkki 3. ISBN = (mod 10) Lisäys oltava 10 1 = 9 Tehtävä 7. Voiko englanninkielisen oppikirjan ISBN-tunnus olla ISBN ? Jos vastaus on kielteinen, niin mikä tarkistusnumero olisi korjannut tilanteen? Tehtävä 8. Uuden oppikirjan ISBN-tunnuksen alkuosa on ISBN ? Mikä tulee asettaa ISBN-tunnuksen tarkistemerkiksi? Tehtävä 9. Annetaan oikea ISBN-tunnus, joka on ISBN Kuinka monta lukuparia ( a7, a 10) voi korvata edellä olevassa tunnuksessa olevat vastaavat numerot 2 ja 7 niin, että itse tunnus pysyy edelleen jaollisena luvulla 10 ja tarkistusmerkki on siis edelleen 7? PS. Osa tämän monisteen asioista ja tehtävistä ovat viitteellisesti samankaltaisia kuin kurssin MAA11 Lukuteoria ja logiikka käsiteltävät asiat ja tehtävät.
7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31
7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31 Johdanto Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 2 / 31 7.1. Muunnokset
LisätiedotJaollisuus kymmenjärjestelmässä
Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)
Lisätiedot5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä
5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 5.1. Muunnokset lukujärjestelmien välillä
LisätiedotHuom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
Lisätiedot13-merkkisen ISMN-tunnuksen sovellusohjeet (mukailtu julkaisusta Guidelines for the Implementation of 13-Digit ISMNs by International ISMN Agency)
13-merkkisen ISMN-tunnuksen sovellusohjeet (mukailtu julkaisusta Guidelines for the Implementation of 13-Digit ISMNs by International ISMN Agency) Johdanto Tunnuksen rakenne Takautuva konversio Kirjastot
LisätiedotHenkilötunnuksen ja kotikunnan saaminen ulkomaan kansalaiselle
Henkilötunnuksen ja kotikunnan saaminen ulkomaan kansalaiselle Kelan kv-kesätilaisuus 28.8.2018 Torbjörn Sandell Henkilötunnuksen ja kotikunnan saaminen Rekisteröintiprosessi Sisältö Henkilötunnuksen ja
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotSuurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Määritelmä, yhteinen tekijä ja suurin yhteinen tekijä: Annettujen lukujen a ja b yhteinen tekijä
Lisätiedot(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)
1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
LisätiedotLukuteorian kurssi lukioon
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sini Siira Lukuteorian kurssi lukioon Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SIIRA, SINI: Lukuteorian
LisätiedotAjattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena
Mikrotietokone Moderni tietokone Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena Sen käyttötarkoitus on yleensä työnteko, kissavideoiden katselu internetistä tai pelien pelaaminen. Tietokoneen
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotMääritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
LisätiedotOLESKELUKORTTIHAKEMUS Unionin kansalaisen perheenjäsen tai muu omainen, joka ei itse ole unionin kansalainen (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia)
EU_KORTTI 1 OLESKELUKORTTIHAKEMUS Unionin kansalaisen perheenjäsen tai muu omainen, joka ei itse ole unionin kansalainen (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia) Haen oleskelukorttia Haen pysyvää oleskelukorttia
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotPaavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net
Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoimaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta
LisätiedotEUROOPAN UNIONIN KANSALAISEN OLESKELUOIKEUDEN REKISTERÖINTI (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia)
EU_REK 1 EUROOPAN UNIONIN KANSALAISEN OLESKELUOIKEUDEN REKISTERÖINTI (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia) Haen oleskeluoikeuden rekisteröintiä Koskee myös Sveitsin ja Liechtensteinin kansalaisia (UlkL
LisätiedotJokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.
Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero
LisätiedotRatkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
LisätiedotHenkilötunnus on merkittävä veroilmoituksiin, tuloslaskelmiin ja muihin Ruotsin verovirastolle toimitettaviin asiakirjoihin.
VEROTUNNISTENUMERO (TIN) Maakohtaiset tiedot: Ruotsi (SE) 1. Verotunnistenumeron rakenne 999999 9999 999999+9999 Muoto Selitys Huomautukset 10 numeroa Henkilötunnus: luonnolliset henkilöt, jotka asuvat
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotTarkistusnumeroiden matematiikkaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Alho Tarkistusnumeroiden matematiikkaa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
Lisätiedot1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
LisätiedotOHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012
OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012 Luento 6: Tiedon esittäminen tietokoneessa, osa 1 Tekijät: Antti Virtanen, Timo Lehtonen, Matti Kujala, Kirsti Ala-Mutka, Petri M. Gerdt et al. Luennon
LisätiedotKokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!
Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset
LisätiedotLUKUJÄRJESTELMÄT. Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä. Binäärilukujärjestelmä
Ammatti-Instituutti Lukujärjestelmistä Sivu 1 (5) LUKUJÄRJESTELMÄT Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä Kymmenjärjestemä on meille se tutuin järjestelmä jonka tunnemme x Siinä on (10) kymmenen numeroa,
LisätiedotOhjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut
Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoinaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta
LisätiedotLukujärjestelmät. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen Fe
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen.9.2 Fe Lukujärjestelmät Kymmen- eli desimaalijärjestelmä: kantaluku perinteisesti käytetty ja tuttu numerot,,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/
LisätiedotLiite 2: Liikekumppanitunnisteiden käyttö
1 (8) LUONNOS Liite 2: Liikekumppanitunnisteiden käyttö Sisällysluettelo 1 Y-tunnus lyhyesti... 2 2 Tunnisteet... 3 2.1 Tunnisteen löytäminen... 3 2.1.1 Yritystunniste... 3 2.1.2 Yhdistystunniste... 4
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi
LisätiedotKappale 20: Kantaluvut
Kappale 20: Kantaluvut 20 Johdanto: Kantaluvut... 328 Kantalukujen syöttäminen ja muuntaminen... 329 Matemaattiset toiminnot Hex- ja Bin-luvuilla... 330 Bittien vertaileminen ja manipulointi... 331 Huom!
LisätiedotSonera ID. huippukätevä sähköinen henkilötodistus omassa matkapuhelimessasi
Sonera ID huippukätevä sähköinen henkilötodistus omassa matkapuhelimessasi 2 Joko sinulla on henkilöllisyystodistus matkapuhelimessasi? Sonera ID -mobiilivarmenne on uudenlainen sähköinen henkilötodistus,
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018, Harjoitus 2 ratkaisu Harjoituksen aiheena on algoritmien oikeellisuus. Tehtävä 2.1 Kahvipurkkiongelma. Kahvipurkissa P on valkoisia ja mustia kahvipapuja,
LisätiedotANSI/IEEE Std
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 1 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen ANSI/IEEE Std 754-2008 0 1 0 1 1 0 0 0 B = Σ B i 2 i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 2 (26) Johdanto
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
Lisätiedot2 j =
1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
LisätiedotPalautteita. Tutoriaalit olivat vaikeat! Totta, tentti on onneksi helpompi
Palautteita Tutoriaalit olivat vaikeat! Totta, tentti on onneksi helpompi 504 Mitä range() tekee? range on funktio, joka palauttaa listan esim. a = range(5,10) Palauttaa listan [5,6,7,8,9] Siis nämä kolme
LisätiedotVIII. Osa. Liitteet. Liitteet Suoritusjärjestys Varatut sanat Binääri- ja heksamuoto
Osa VIII Liitteet Liitteet A B C Suoritusjärjestys Varatut sanat Binääri- ja heksamuoto Osa VIII A. Liite Operaattoreiden suoritusjärjestys On tärkeää ymmärtää, että operaattoreilla on prioriteettinsa,
LisätiedotIBAN JA BIC MAKSUJENVÄLITYKSESSÄ
IBAN JA BIC MAKSUJENVÄLITYKSESSÄ 5.7.2015 1 IBAN JA BIC maksujenvälityksessä Sisällysluettelo 1 IBAN... 2 1.1 Rakenne... 2 1.2 Validointi... 2 1.3 Käyttö... 3 1.3.1 IBAN saapuvissa maksuissa... 3 1.3.2
Lisätiedot1. Yleiset periaatteet ja julkaisutiedot 2
Työsuojelurahasto Ohje 1 Työsuojelurahaston rahoittamien hankkeiden PAINETUT JA VERKOSSA JULKAISTAVAT LOPPURAPORTIT Sisältö sivu 1. Yleiset periaatteet ja julkaisutiedot 2 1.1. Yleiset periaatteet. 2 1.2.
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotHenkilötietojen siirtotiedoston muodostusohje Excel-ohjelman avulla
EXCEL-SIIRTOTIEDOSTON MUODOSTUSOHJE KEVÄÄN 2014 YHTEISHAKUA VARTEN Henkilötietojen siirtotiedoston muodostusohje Excel-ohjelman avulla Tässä ohjeessa kerrotaan, miten perusopetuksen päättöluokkalaisten,
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2
MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis
Lisätiedot2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2
.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotRovaseudun MAKO-verkosto Jouni Röntynen, tiimipäällikkö, Pohjoinen vakuutuspiiri, Kela
Rovaseudun MAKO-verkosto 27.4.2017 Jouni Röntynen, tiimipäällikkö, Pohjoinen vakuutuspiiri, Kela 1. Kunta tekee valinnat kiintiöpakolaisista Elyn listojen mukaisesti. 2. Kunta saa valintojen jälkeen tarkemmat
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
s16 Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/ mla/ puh. 044 344 2757
LisätiedotAntti Vähälummukka 2010
Antti Vähälummukka 2010 TCP/IP (Transmission Control Protocol / Internet Protocol) on usean Internet-liikennöinnissä käytettävän tietoverkkoprotokollan yhdistelmä. IP-protokolla on alemman tason protokolla,
LisätiedotKIRJAUTUMINEN JÄRJESTELMÄÄN ALOITUSSIVU. OMAT ASETUKSET Salasanan vaihto. VITANet KÄYTTÄJÄOPAS. Avaa VITANet osoitteessa https://vitanet.vita.
KIRJAUTUMINEN JÄRJESTELMÄÄN Avaa VITANet osoitteessa https://vitanet.vita.fi Kirjaudu sisään saamillasi käyttäjäkohtaisilla tunnuksilla. Käyttäjätunnus: xxxxxxx Salasana: xxxxxxxx Asiakas: esim. VITALA
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
Lisätiedot+ + OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA
OLE_EN 1 *1049901* OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA Tämä oleskelulupahakemuslomake on tarkoitettu sinulle, joka haet oleskelulupaa sillä perusteella, että olet itse ollut Suomen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
Lisätiedot+ + Onko lapsella tai onko lapsella ollut suomalainen henkilötunnus? Kyllä Ei OLE_PH4_311216PP +
OLE_PH4 1 *1319901* OLESKELULUPAHAKEMUS LAPSELLE Tällä lomakkeella haetaan alle 18-vuotiaalle lapselle ensimmäistä oleskelulupaa Suomeen perhesiteen perusteella. Oleskeluluvan hakemisen tarkoituksena on,
LisätiedotPalvelu- ja tietuekuvaus Tilinumeroiden IBAN-laskenta ja tilin voimassaolon tarkistus
Palvelu- ja tietuekuvaus Tilinumeroiden IBAN-laskenta ja tilin voimassaolon tarkistus 5..202 Palvelu on tarkoitettu tilin IBAN-tilinumero laskentaan sekä tilinumeroiden voimassaolon tarkistamiseen. Palvelua
LisätiedotJuha Tretjakov Oppijanumero ja käyttäjien yksilöinti
Juha Tretjakov 18.3.2014 Oppijanumero ja käyttäjien yksilöinti Käyttäjähallinta ja yksilöinti Käyttäjän yksilöinti Suomalainen oppijanumero Oppilaitosten opiskelijanumerot Henkilötunnus HETU Sähköinen
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot+ + OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA
OLE_EN 1 *1049901* OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA Tämä oleskelulupahakemuslomake on tarkoitettu sinulle, joka haet oleskelulupaa sillä perusteella, että olet itse ollut Suomen
LisätiedotNr FINANSSIVALVONTA Ohje/Liite 101.9 1 (5) PL 103, 00101 Helsinki Dnro 6/179/96
FINANSSIVALVONTA Ohje/Liite 101.9 1 (5) HALLINTO- JA JOHTOHENKILÖITÄ KOSKEVIEN TIETOJEN ILMOITTAMISEEN LIITTYVÄT KONEKIELISEN TIETOJENVÄLITYKSEN OHJEET 1 Tietoväline, toimitettavat tiedostot ja tietojen
LisätiedotPotenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotValokuvien matematiikkaa
Valokuvien matematiikkaa Avainsanat: valokuva, pikseli, päättely Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka, lukio, yliopisto Välineet: Kynä, tehtävämonisteet (liitteenä), mahdollisiin jatkotutkimuksiin tietokone
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
LisätiedotNettomaahanmuutto. Kuntien välinen nettomuutto. Maahanmuutto. Maastamuutto. Väestönlisäys
Väestönmuutosten ennakkotiedot muuttujina Maakunnat ja kunnat 2016, Tapahtumakuukausi ja Väestönmuutos Elävänä syntyneet Kuolleet Syntyneiden enemmyys Kuntien välinen tulomuutto Kuntien välinen lähtömuutto
LisätiedotSuomessa työskentelevän oikeus hoitoon
Suomessa työskentelevän oikeus hoitoon Kv-kesäpäivät 28.8.2018 Sanna Kuorikoski suunnittelija Kela, Kansainvälisten asioiden osaamiskeskus, rajat ylittävän terveydenhuollon ryhmä Sisältö 1. Yleistä Suomessa
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotNäin täytät sähköisen hakemuksen
Ohjeita käyttäjälle Voit lähettää hakemuksen sähköisesti paperilomakkeen sijaan. Paperista hakemuslomaketta ei tarvitse toimittaa, jos lähetät sähköisen hakemuksen. Hakemukseen ei voi liittää liitteitä,
Lisätiedot* * A-OSA + + OLE_ADO 1 OLESKELULUPAHAKEMUS ADOPTION PERUSTEELLA. 1 Lapsen tiedot 1.1 Henkilötiedot
OLE_ADO 1 *1019901* OLESKELULUPAHAKEMUS ADOPTION PERUSTEELLA Tämä oleskelulupahakemuslomake on tarkoitettu sinulle, joka asut Suomessa ja haet oleskelulupaa ulkomailta adoptoitavalle lapselle (kansainvälinen
LisätiedotViivakoodin viiteopas
Viivakoodin viiteopas Versio 0 FIN 1 Johdanto 1 Yleiskuvaus 1 1 Tämä opas sisältää tietoja viivakooditulostuksesta, joka toimii suoraan Brotherin tulostimeen lähetettyjen komentojen avulla. Yhteensopivat
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
LisätiedotNäin täytät sähköisen hakemuksen
Ohjeita käyttäjälle Voit lähettää hakemuksen sähköisesti paperilomakkeen sijaan. Paperista hakemuslomaketta ei tarvitse toimittaa, jos lähetät sähköisen hakemuksen. Hakemukseen ei voi liittää liitteitä,
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
LisätiedotALOITUSPAKETTI. kirjaprojekteille mybod:ssa
ALOITUSPAKETTI kirjaprojekteille mybod:ssa Tervetuloa mybod-tilin käyttäjäksi! Rekisteröitymällä käyttäjäksi olet avannut itsellesi oven modernin omakustantamisen maailmaan. Jotta ensimmäinen kirjaprojektisi
Lisätiedot