Esitysmuotoa kutsutaan kantaluvun paikkamerkinnäksi, sillä merkinnässä jokainen numero liittyy sijaintinsa mukaan tiettyyn kantaluvun potenssiin.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Esitysmuotoa kutsutaan kantaluvun paikkamerkinnäksi, sillä merkinnässä jokainen numero liittyy sijaintinsa mukaan tiettyyn kantaluvun potenssiin."

Transkriptio

1 POHDIN projekti TIETOTURVA LUVUISSA ja TUNNUKSISSA (1/2) LUKUJÄRJESTELMISTÄ Lukujärjestelmällä tarkoitetaan kokonaisvaltaista tapaa, jolla luvut sanotaan, kirjoitetaan tai koodataan. Muinaisina aikakausina ihmiset ovat keksineet lukuisia erilaisia tapoja ilmaista lukumääriä. Nykyinen laajalle levinnyt tapa käyttää 10-kantaista kantalukujärjestelmää ja paikkamerkintää ei ole tälläkään hetkellä ainoa tapa esittää lukuja, mutta se on yksi tehokkaimmista ja erittäin monikäyttöinen esitystapa. Tietokoneiden aikakaudella ja tietokoneita varten on otettu laajalti käyttöön 2-kantainen eli ns. binäärijärjestelmä, jossa kantalukuna on kaksi. Lukujärjestelmät vaihtelevat aikakausien, etnisten ryhmien, kielten ja tilanteiden mukaan. Esimerkiksi ranskalainen nimeää lukusanat eri tavalla (kantalukuna 20) kuin hän muodostaa ne numeroilla käyttäen kymmenjärjestelmää. Englantilainen saattaa käyttää matematiikassa desimaalijärjestelmää, mutta mittaustulosten käsittelyssä hän voi siirtyä käyttämään duodesimaalijärjestelmää. Etelä-Afrikassa ihmiset voivat ilmaista luvut alkeellisella tavalla, mutta esimerkiksi Suomessa tietokoneiden ohjelmoijat saattavat käyttää kolmea kantalukujärjestelmää (kymmenen, binääri ja heksa) rinnakkain. Useat käytetyt lukujärjestelmät ovat moniulotteisia kulttuurin ja ajan suhteen. Kantalukujärjestelmä on lukujärjestelmä, jossa luku esitetään yksikäsitteisessä muodossa kertoimien ja kantaluvun eri potenssien tuloista muodostettuina summina. Luvun esitysmuodossa kirjoitetaan näkyviin vain potenssien kertoimet ja jätetään potenssimerkinnät ja summausmerkintä pois, jotta merkintä olisi tiivis ja helppokäyttöinen. Esitysmuotoa kutsutaan kantaluvun paikkamerkinnäksi, sillä merkinnässä jokainen numero liittyy sijaintinsa mukaan tiettyyn kantaluvun potenssiin. Jos paikkamerkinnässä käytetään kantalukuna lukua 10, tarkoittaa luvun paikkamerkintä 7152 lukua, joka saadaan laskemalla Tämä merkitään ilmaisemalla samalla merkinnän kantaluku oikeassa alakulmassa eli muodossa Tietotekniikan vuoksi yleisesti käytetty binäärijärjestelmä on kaksikantainen kantalukujärjestelmä. Siinä luvut nolla ja yksi esitetään yksinumeroisina merkintöinä 0 ja 1. Kaksinumeroiset merkinnät ovat 10 ja 11. Ne tulkitaan luvuiksi, joiden arvot ovat 10 = ja 11 = (desimaalijärjestelmässä) eli ne ovat kaksi ja kolme. Kolminumeroisten lukujen arvot lasketaan esimerkiksi 101 = 1 2² Näin saadaan esimerkiksi luku viisi. Jotta eri kantalukujärjestelmien lukuesitykset tunnistettaisiin, merkitään sen kantaluku alaindeksinä viimeisen numeron alakulmaan. Näin voidaan edellä olevat kaksi esimerkkiä kirjoittaa muodossa: 2-kantainen 11 on 11 2 = = 3 10, joka on 10-kantainen 3. Vastaavasti 2-kantainen 101 on = 1 10 (2 10 ) = 5 10, joka on 10-kantainen 5. Tehtävä 1. Esitä kymmenjärjestelmän luvut 33, 41 ja 14,375 binäärijärjestelmän lukuina.

2 HENKILÖTUNNUS eli SOSIAALITURVATUNNUS Mikä on henkilötunnus? Henkilötunnus on tunnistamiskeino, joka yksilöi meidät kaikki vielä tarkemmin kuin annetut nimet. Täysin samannimisiä ihmisiä löytyy kyllä, mutta ei löydy kahta henkilöä, joilla olisi sama henkilötunnus. Henkilön saama henkilötunnus säilyy muuttumattomana koko hänen elämänsä. Henkilö voidaan yksilöidä nimenmuutoksista riippumatta kaikkialla missä tunnusta tarvitaan. Henkilötunnusta on käytetty Suomessa jo yli 25 vuoden ajan. Mihin henkilötunnusta tarvitaan? Henkilötunnusta tarvitaan esimerkiksi eläkkeiden ja muiden kansalaisille tarjottavien etuuksien hakemisessa. Pankissa asioidessa tunnus on välttämätön, esimerkiksi tiliä avattaessa. Myös palkkoja ja palkkioita maksettaessa sitä tarvitaan, jotta rahat menisivät oikeille henkilöille. Erilaisten sopimusten laadinnassa edellytetään käytettävän henkilötunnuksia esimerkiksi monet kauppakirjat, matkapuhelinliittymät ja vastaavat. Henkilötunnuksen huolellinen käyttö vähentää rekistereiden virhemahdollisuuksia ja näin osaltaan lisää sekä yksilön tietosuojaa että oikeussuojaa. Tunnusta ei kuitenkaan tarvita aina. Usein asioiden hoito sujuu pelkällä nimellä. Miten henkilötunnus annetaan? Henkilötunnus annetaan, kun lapsen syntymä tai ulkomaalaisen Suomeen muutto rekisteröidään väestötietojärjestelmään. Sama henkilö voi saada vain yhden henkilötunnuksen. Henkilötunnuksen saa jokainen Suomessa tai ulkomailla syntynyt Suomen kansalainen syntymätodistuksen perusteella ja jokainen ulkomaalainen, jonka oleskelu Suomessa on pysyvää tai kestää vähintään vuoden. Henkilötunnus voidaan antaa myös maassamme tilapäisesti oleskelevalle henkilölle sekä eräissä tapauksissa ulkomailla asuville perheenjäsenille. Henkilötunnuksen määräytyminen Syntymäaika Yksilönumero Tarkistusmerkki N Esimerkiksi Milla Niemisen henkilötunnus on N, josta syntymäaika, kertoo päivän, kuukauden ja vuoden, jolloin Milla on syntynyt. Syntymäpäivän jäljessä oleva merkki kertoo syntymävuosisadan. Millalla se on yhdysmerkki (-), sillä hän on syntynyt 1900-luvulla. Henkilöllä, joka on syntynyt 1800-luvulla, se on plusmerkki (+) ja 2000-luvulla syntyneiden merkki on A. Yksilönumerolla, joka on Millalla 206, erotetaan toisistaan henkilöt, joilla on sama syntymäaika. Yksilönumero on miehillä pariton ja naisilla parillinen. Tarkistusmerkki on numero tai kirjain. Millalla tarkistusmerkki on N. Merkki saadaan jakamalla syntymäajan ja yksilönumeron muodostama yhdeksännumeroinen luku luvulla 31, jolloin tarkistusmerkki määräytyy jakojäännöksen mukaan seuraavasti:

3 B 21 N C 22 P D 23 R E 24 S F 25 T H 26 U J 27 V K 28 W L 29 X M 30 Y 10 A Tehtävä 2. Tarkista oma sosiaaliturvatunnuksesi tarkistusmerkki. Tehtävä 3. Muodosta henkilötunnus tyttövauvalle, joka syntyi ja jonka yksilönumeroksi synnytyssairaalan järjestelmän mukaan määräytyi 106. Tehtävä 4. Osoita matemaattisesti, että henkilötunnus U on virheellinen. Mikä olisi pitänyt olla henkilötunnuksen tarkistusmerkki, jos tunnus muilta osin olisi ollut oikeellinen? ISBN tunnus ISBN on kirjan tai muun erillisteoksen yksiselitteinen tunnus. Tunnusta käytetään julkaisujen hankinnassa, kustantajien varastoluetteloissa, laskutusjärjestelmissä, kirjakauppojen tilausjärjestelmissä, kansainvälisissä ja kansallisissa yhteisluetteloissa, bibliografioissa ja kirjastojen lainausjärjestelmissä sekä tiedonhauissa. Kirjoja alettiin numeroida 1960-luvun lopulla Euroopassa ja Yhdysvalloissa. Suomi liittyi ISBN-järjestelmään vuonna Erillinen ISBN-tunnus annetaan jokaiselle julkiseen käyttöön tarkoitetulle kirjalle tai muulle erillisteokselle, sen jokaiselle julkaisumuodolle (asulle) sekä myös muutoksia sisältävälle painokselle. Sen vuoksi sillä, missä fyysisessä muodossa sisältö esitetään tai välitetään, ei ole merkitystä. Fyysinen muoto voi olla painettu kirja, audiovisuaalinen tai elektroninen tallenne. 10-merkkisen ISBN-tunnuksen rakenne ( ) ISBN-tunnus sisältää kirjaimet ISBN ja 10 merkkiä, jotka jakautuvat neljään osaan - ensin on maatunnus tai kieliryhmän tunnus, sitten kustantajatunnus ja julkaisutunnus sekä viimeisenä tarkistemerkki. Tarkistemerkeistä luku 10 korvataan kirjaimella X. Esim. maatunnus 951 ja 952 kertovat, että kirja tai muu erillisteos on julkaistu Suomessa. Esim. hyväksyttävä tunnus voisi olla ISBN

4 Millainen on ISBN-tunnuksen matematiikka? Olkoot a 1, a 2, a 3,..., a numeroisen luvun numerot vasemmalta oikealle. Jokaisella ISBN-tunnuksella on sellainen ominaisuus, että summa 10 a1 9 a2 8 a a8 2 a9 1 a10 on jaollinen luvulla 11. Yleensä esitetään ainoastaan tämä tapa (tunnisteluvusta kertoimilla painotettujen tulojen summan jakaminen luvulla 11), miten tunnisteluvun oikeellisuus tarkistetaan, ei sitä, miten itse tunnuksen tarkistemerkki muodostetaan. Tarkistemerkkiä muodostettaessa numeroita painotetaan kertoimilla 10, 9,, 2 vasemmalta oikealle ja tulot lasketaan yhteen. Tarkistemerkki on luku, joka summaan on lisättävä, jotta tulos olisi jaollinen luvulla 11. Jos lisättävä luku on 10, tarkistemerkki on edellä mainittu X. Esimerkki 1. ISBN = (mod 11) Lisäys oltava 11 2 = 9 Esimerkki 2. ISBN X X = (mod 11) Lisäys oltava 11 1 = 10 X Tehtävä 5. Voiko oppikirjan ISBN-tunnus olla esimerkiksi ISBN ? Tehtävä 6. Uuden julkaistavan oppikirjan ISBN-tunnuksen alkuosa on ISBN ? Mikä tulee asettaa ISBN-tunnuksen tarkistemerkiksi? 13-merkkisen ISBN-tunnuksen rakenne ( ) ISBN-tunnus sisältää kirjaimet ISBN ja 13 merkkiä, jotka jakautuvat viiteen osaan. Osat erotetaan toisistaan väliviivoin: ISBN = Etuliite 952 = Maatunnus tai kieliryhmän tunnus 73 = Kustantajatunnus 9828 = Julkaisutunnus 5 = Tarkistemerkki (tarkistusnumero) Etuliite 978 on EAN-13 -tunnuksen etuliite.

5 Maatunnus 951 tai 952 kertoo, että kirja tai muu erillisteos on julkaistu Suomessa. Esimerkiksi kieliryhmän tunnukset 0 ja 1 ovat englanninkielisen kielialueen tunnuksia ja niitä käyttävät esim. Britannia, USA ja englanninkielinen Kanada (esim. ISBN ja ISBN ). Kustantajatunnus vaihtelee yhdestä viiteen merkkiin kustannustoiminnan laajuuden mukaan. Julkaisutunnus yksilöi tietyn kustantajan yksittäisen julkaisun. Tarkistusmerkki (tarkistusnumero) lasketaan EAN-13 laskukaavalla (modulus10). Koska kyseessä on jaollisuus luvulla 10, niin tarkistusmerkki ei voi enää olla kirjain X. Tarkistus Edellä esitetty numeerinen tuotekoodi merkitään tavallisesti myös viivakoodin alle, mutta myös viivakoodin (EAN-13) edessä ja jäljessä on yleensä numeroita, jotka on tarkistuslaskennassa otettava huomioon. Viimeinen numero on kuitenkin tarkistemerkki. Toisinaan tarkistemerkki voi puuttua, mutta tällöin se sisältyy itse viivakoodiin. Tarkisteen laskenta (EAN-13) Tarkistusnumeron edessä olevia numeroita painotetaan kertoimilla 1, 3, 1, 3, vasemmalta alkaen. Tulot lasketaan yhteen. Tarkistusnumero on numero, joka summaan on lisättävä, jotta tulos olisi jaollinen luvulla 10. Esimerkki 3. ISBN = (mod 10) Lisäys oltava 10 1 = 9 Tehtävä 7. Voiko englanninkielisen oppikirjan ISBN-tunnus olla ISBN ? Jos vastaus on kielteinen, niin mikä tarkistusnumero olisi korjannut tilanteen? Tehtävä 8. Uuden oppikirjan ISBN-tunnuksen alkuosa on ISBN ? Mikä tulee asettaa ISBN-tunnuksen tarkistemerkiksi? Tehtävä 9. Annetaan oikea ISBN-tunnus, joka on ISBN Kuinka monta lukuparia ( a7, a 10) voi korvata edellä olevassa tunnuksessa olevat vastaavat numerot 2 ja 7 niin, että itse tunnus pysyy edelleen jaollisena luvulla 10 ja tarkistusmerkki on siis edelleen 7? PS. Osa tämän monisteen asioista ja tehtävistä ovat viitteellisesti samankaltaisia kuin kurssin MAA11 Lukuteoria ja logiikka käsiteltävät asiat ja tehtävät.

7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31

7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31 7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31 Johdanto Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 2 / 31 7.1. Muunnokset

Lisätiedot

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)

Lisätiedot

5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä

5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 5. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 5.1. Muunnokset lukujärjestelmien välillä

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

LUKUTEORIA johdantoa

LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

13-merkkisen ISMN-tunnuksen sovellusohjeet (mukailtu julkaisusta Guidelines for the Implementation of 13-Digit ISMNs by International ISMN Agency)

13-merkkisen ISMN-tunnuksen sovellusohjeet (mukailtu julkaisusta Guidelines for the Implementation of 13-Digit ISMNs by International ISMN Agency) 13-merkkisen ISMN-tunnuksen sovellusohjeet (mukailtu julkaisusta Guidelines for the Implementation of 13-Digit ISMNs by International ISMN Agency) Johdanto Tunnuksen rakenne Takautuva konversio Kirjastot

Lisätiedot

Henkilötunnuksen ja kotikunnan saaminen ulkomaan kansalaiselle

Henkilötunnuksen ja kotikunnan saaminen ulkomaan kansalaiselle Henkilötunnuksen ja kotikunnan saaminen ulkomaan kansalaiselle Kelan kv-kesätilaisuus 28.8.2018 Torbjörn Sandell Henkilötunnuksen ja kotikunnan saaminen Rekisteröintiprosessi Sisältö Henkilötunnuksen ja

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)

Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Määritelmä, yhteinen tekijä ja suurin yhteinen tekijä: Annettujen lukujen a ja b yhteinen tekijä

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Lukuteorian kurssi lukioon

Lukuteorian kurssi lukioon TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sini Siira Lukuteorian kurssi lukioon Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SIIRA, SINI: Lukuteorian

Lisätiedot

Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena

Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena Mikrotietokone Moderni tietokone Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena Sen käyttötarkoitus on yleensä työnteko, kissavideoiden katselu internetistä tai pelien pelaaminen. Tietokoneen

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty

Lisätiedot

OLESKELUKORTTIHAKEMUS Unionin kansalaisen perheenjäsen tai muu omainen, joka ei itse ole unionin kansalainen (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia)

OLESKELUKORTTIHAKEMUS Unionin kansalaisen perheenjäsen tai muu omainen, joka ei itse ole unionin kansalainen (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia) EU_KORTTI 1 OLESKELUKORTTIHAKEMUS Unionin kansalaisen perheenjäsen tai muu omainen, joka ei itse ole unionin kansalainen (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia) Haen oleskelukorttia Haen pysyvää oleskelukorttia

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Paavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net

Paavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoimaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta

Lisätiedot

EUROOPAN UNIONIN KANSALAISEN OLESKELUOIKEUDEN REKISTERÖINTI (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia)

EUROOPAN UNIONIN KANSALAISEN OLESKELUOIKEUDEN REKISTERÖINTI (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia) EU_REK 1 EUROOPAN UNIONIN KANSALAISEN OLESKELUOIKEUDEN REKISTERÖINTI (ei koske Pohjoismaiden kansalaisia) Haen oleskeluoikeuden rekisteröintiä Koskee myös Sveitsin ja Liechtensteinin kansalaisia (UlkL

Lisätiedot

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Henkilötunnus on merkittävä veroilmoituksiin, tuloslaskelmiin ja muihin Ruotsin verovirastolle toimitettaviin asiakirjoihin.

Henkilötunnus on merkittävä veroilmoituksiin, tuloslaskelmiin ja muihin Ruotsin verovirastolle toimitettaviin asiakirjoihin. VEROTUNNISTENUMERO (TIN) Maakohtaiset tiedot: Ruotsi (SE) 1. Verotunnistenumeron rakenne 999999 9999 999999+9999 Muoto Selitys Huomautukset 10 numeroa Henkilötunnus: luonnolliset henkilöt, jotka asuvat

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Tarkistusnumeroiden matematiikkaa

Tarkistusnumeroiden matematiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Alho Tarkistusnumeroiden matematiikkaa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012

OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012 OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012 Luento 6: Tiedon esittäminen tietokoneessa, osa 1 Tekijät: Antti Virtanen, Timo Lehtonen, Matti Kujala, Kirsti Ala-Mutka, Petri M. Gerdt et al. Luennon

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

LUKUJÄRJESTELMÄT. Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä. Binäärilukujärjestelmä

LUKUJÄRJESTELMÄT. Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä. Binäärilukujärjestelmä Ammatti-Instituutti Lukujärjestelmistä Sivu 1 (5) LUKUJÄRJESTELMÄT Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä Kymmenjärjestemä on meille se tutuin järjestelmä jonka tunnemme x Siinä on (10) kymmenen numeroa,

Lisätiedot

Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut

Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoinaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta

Lisätiedot

Lukujärjestelmät. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen Fe

Lukujärjestelmät. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen Fe Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen.9.2 Fe Lukujärjestelmät Kymmen- eli desimaalijärjestelmä: kantaluku perinteisesti käytetty ja tuttu numerot,,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Liite 2: Liikekumppanitunnisteiden käyttö

Liite 2: Liikekumppanitunnisteiden käyttö 1 (8) LUONNOS Liite 2: Liikekumppanitunnisteiden käyttö Sisällysluettelo 1 Y-tunnus lyhyesti... 2 2 Tunnisteet... 3 2.1 Tunnisteen löytäminen... 3 2.1.1 Yritystunniste... 3 2.1.2 Yhdistystunniste... 4

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Kappale 20: Kantaluvut

Kappale 20: Kantaluvut Kappale 20: Kantaluvut 20 Johdanto: Kantaluvut... 328 Kantalukujen syöttäminen ja muuntaminen... 329 Matemaattiset toiminnot Hex- ja Bin-luvuilla... 330 Bittien vertaileminen ja manipulointi... 331 Huom!

Lisätiedot

Sonera ID. huippukätevä sähköinen henkilötodistus omassa matkapuhelimessasi

Sonera ID. huippukätevä sähköinen henkilötodistus omassa matkapuhelimessasi Sonera ID huippukätevä sähköinen henkilötodistus omassa matkapuhelimessasi 2 Joko sinulla on henkilöllisyystodistus matkapuhelimessasi? Sonera ID -mobiilivarmenne on uudenlainen sähköinen henkilötodistus,

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018, Harjoitus 2 ratkaisu Harjoituksen aiheena on algoritmien oikeellisuus. Tehtävä 2.1 Kahvipurkkiongelma. Kahvipurkissa P on valkoisia ja mustia kahvipapuja,

Lisätiedot

ANSI/IEEE Std

ANSI/IEEE Std Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 1 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen ANSI/IEEE Std 754-2008 0 1 0 1 1 0 0 0 B = Σ B i 2 i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 2 (26) Johdanto

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden

Lisätiedot

Palautteita. Tutoriaalit olivat vaikeat! Totta, tentti on onneksi helpompi

Palautteita. Tutoriaalit olivat vaikeat! Totta, tentti on onneksi helpompi Palautteita Tutoriaalit olivat vaikeat! Totta, tentti on onneksi helpompi 504 Mitä range() tekee? range on funktio, joka palauttaa listan esim. a = range(5,10) Palauttaa listan [5,6,7,8,9] Siis nämä kolme

Lisätiedot

VIII. Osa. Liitteet. Liitteet Suoritusjärjestys Varatut sanat Binääri- ja heksamuoto

VIII. Osa. Liitteet. Liitteet Suoritusjärjestys Varatut sanat Binääri- ja heksamuoto Osa VIII Liitteet Liitteet A B C Suoritusjärjestys Varatut sanat Binääri- ja heksamuoto Osa VIII A. Liite Operaattoreiden suoritusjärjestys On tärkeää ymmärtää, että operaattoreilla on prioriteettinsa,

Lisätiedot

IBAN JA BIC MAKSUJENVÄLITYKSESSÄ

IBAN JA BIC MAKSUJENVÄLITYKSESSÄ IBAN JA BIC MAKSUJENVÄLITYKSESSÄ 5.7.2015 1 IBAN JA BIC maksujenvälityksessä Sisällysluettelo 1 IBAN... 2 1.1 Rakenne... 2 1.2 Validointi... 2 1.3 Käyttö... 3 1.3.1 IBAN saapuvissa maksuissa... 3 1.3.2

Lisätiedot

1. Yleiset periaatteet ja julkaisutiedot 2

1. Yleiset periaatteet ja julkaisutiedot 2 Työsuojelurahasto Ohje 1 Työsuojelurahaston rahoittamien hankkeiden PAINETUT JA VERKOSSA JULKAISTAVAT LOPPURAPORTIT Sisältö sivu 1. Yleiset periaatteet ja julkaisutiedot 2 1.1. Yleiset periaatteet. 2 1.2.

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Henkilötietojen siirtotiedoston muodostusohje Excel-ohjelman avulla

Henkilötietojen siirtotiedoston muodostusohje Excel-ohjelman avulla EXCEL-SIIRTOTIEDOSTON MUODOSTUSOHJE KEVÄÄN 2014 YHTEISHAKUA VARTEN Henkilötietojen siirtotiedoston muodostusohje Excel-ohjelman avulla Tässä ohjeessa kerrotaan, miten perusopetuksen päättöluokkalaisten,

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).

Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2 MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä

Lisätiedot

Rovaseudun MAKO-verkosto Jouni Röntynen, tiimipäällikkö, Pohjoinen vakuutuspiiri, Kela

Rovaseudun MAKO-verkosto Jouni Röntynen, tiimipäällikkö, Pohjoinen vakuutuspiiri, Kela Rovaseudun MAKO-verkosto 27.4.2017 Jouni Röntynen, tiimipäällikkö, Pohjoinen vakuutuspiiri, Kela 1. Kunta tekee valinnat kiintiöpakolaisista Elyn listojen mukaisesti. 2. Kunta saa valintojen jälkeen tarkemmat

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 s16 Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/ mla/ puh. 044 344 2757

Lisätiedot

Antti Vähälummukka 2010

Antti Vähälummukka 2010 Antti Vähälummukka 2010 TCP/IP (Transmission Control Protocol / Internet Protocol) on usean Internet-liikennöinnissä käytettävän tietoverkkoprotokollan yhdistelmä. IP-protokolla on alemman tason protokolla,

Lisätiedot

KIRJAUTUMINEN JÄRJESTELMÄÄN ALOITUSSIVU. OMAT ASETUKSET Salasanan vaihto. VITANet KÄYTTÄJÄOPAS. Avaa VITANet osoitteessa https://vitanet.vita.

KIRJAUTUMINEN JÄRJESTELMÄÄN ALOITUSSIVU. OMAT ASETUKSET Salasanan vaihto. VITANet KÄYTTÄJÄOPAS. Avaa VITANet osoitteessa https://vitanet.vita. KIRJAUTUMINEN JÄRJESTELMÄÄN Avaa VITANet osoitteessa https://vitanet.vita.fi Kirjaudu sisään saamillasi käyttäjäkohtaisilla tunnuksilla. Käyttäjätunnus: xxxxxxx Salasana: xxxxxxxx Asiakas: esim. VITALA

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

+ + OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA

+ + OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA OLE_EN 1 *1049901* OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA Tämä oleskelulupahakemuslomake on tarkoitettu sinulle, joka haet oleskelulupaa sillä perusteella, että olet itse ollut Suomen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

+ + Onko lapsella tai onko lapsella ollut suomalainen henkilötunnus? Kyllä Ei OLE_PH4_311216PP +

+ + Onko lapsella tai onko lapsella ollut suomalainen henkilötunnus? Kyllä Ei OLE_PH4_311216PP + OLE_PH4 1 *1319901* OLESKELULUPAHAKEMUS LAPSELLE Tällä lomakkeella haetaan alle 18-vuotiaalle lapselle ensimmäistä oleskelulupaa Suomeen perhesiteen perusteella. Oleskeluluvan hakemisen tarkoituksena on,

Lisätiedot

Palvelu- ja tietuekuvaus Tilinumeroiden IBAN-laskenta ja tilin voimassaolon tarkistus

Palvelu- ja tietuekuvaus Tilinumeroiden IBAN-laskenta ja tilin voimassaolon tarkistus Palvelu- ja tietuekuvaus Tilinumeroiden IBAN-laskenta ja tilin voimassaolon tarkistus 5..202 Palvelu on tarkoitettu tilin IBAN-tilinumero laskentaan sekä tilinumeroiden voimassaolon tarkistamiseen. Palvelua

Lisätiedot

Juha Tretjakov Oppijanumero ja käyttäjien yksilöinti

Juha Tretjakov Oppijanumero ja käyttäjien yksilöinti Juha Tretjakov 18.3.2014 Oppijanumero ja käyttäjien yksilöinti Käyttäjähallinta ja yksilöinti Käyttäjän yksilöinti Suomalainen oppijanumero Oppilaitosten opiskelijanumerot Henkilötunnus HETU Sähköinen

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

+ + OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA

+ + OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA OLE_EN 1 *1049901* OLESKELULUPAHAKEMUS ENTISEN SUOMEN KANSALAISUUDEN PERUSTEELLA Tämä oleskelulupahakemuslomake on tarkoitettu sinulle, joka haet oleskelulupaa sillä perusteella, että olet itse ollut Suomen

Lisätiedot

Nr FINANSSIVALVONTA Ohje/Liite 101.9 1 (5) PL 103, 00101 Helsinki Dnro 6/179/96

Nr FINANSSIVALVONTA Ohje/Liite 101.9 1 (5) PL 103, 00101 Helsinki Dnro 6/179/96 FINANSSIVALVONTA Ohje/Liite 101.9 1 (5) HALLINTO- JA JOHTOHENKILÖITÄ KOSKEVIEN TIETOJEN ILMOITTAMISEEN LIITTYVÄT KONEKIELISEN TIETOJENVÄLITYKSEN OHJEET 1 Tietoväline, toimitettavat tiedostot ja tietojen

Lisätiedot

Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.

Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti. x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan

Lisätiedot

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6. 9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun

Lisätiedot

Valokuvien matematiikkaa

Valokuvien matematiikkaa Valokuvien matematiikkaa Avainsanat: valokuva, pikseli, päättely Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka, lukio, yliopisto Välineet: Kynä, tehtävämonisteet (liitteenä), mahdollisiin jatkotutkimuksiin tietokone

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka

Lisätiedot

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,

Lisätiedot

Nettomaahanmuutto. Kuntien välinen nettomuutto. Maahanmuutto. Maastamuutto. Väestönlisäys

Nettomaahanmuutto. Kuntien välinen nettomuutto. Maahanmuutto. Maastamuutto. Väestönlisäys Väestönmuutosten ennakkotiedot muuttujina Maakunnat ja kunnat 2016, Tapahtumakuukausi ja Väestönmuutos Elävänä syntyneet Kuolleet Syntyneiden enemmyys Kuntien välinen tulomuutto Kuntien välinen lähtömuutto

Lisätiedot

Suomessa työskentelevän oikeus hoitoon

Suomessa työskentelevän oikeus hoitoon Suomessa työskentelevän oikeus hoitoon Kv-kesäpäivät 28.8.2018 Sanna Kuorikoski suunnittelija Kela, Kansainvälisten asioiden osaamiskeskus, rajat ylittävän terveydenhuollon ryhmä Sisältö 1. Yleistä Suomessa

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Näin täytät sähköisen hakemuksen

Näin täytät sähköisen hakemuksen Ohjeita käyttäjälle Voit lähettää hakemuksen sähköisesti paperilomakkeen sijaan. Paperista hakemuslomaketta ei tarvitse toimittaa, jos lähetät sähköisen hakemuksen. Hakemukseen ei voi liittää liitteitä,

Lisätiedot

* * A-OSA + + OLE_ADO 1 OLESKELULUPAHAKEMUS ADOPTION PERUSTEELLA. 1 Lapsen tiedot 1.1 Henkilötiedot

* * A-OSA + + OLE_ADO 1 OLESKELULUPAHAKEMUS ADOPTION PERUSTEELLA. 1 Lapsen tiedot 1.1 Henkilötiedot OLE_ADO 1 *1019901* OLESKELULUPAHAKEMUS ADOPTION PERUSTEELLA Tämä oleskelulupahakemuslomake on tarkoitettu sinulle, joka asut Suomessa ja haet oleskelulupaa ulkomailta adoptoitavalle lapselle (kansainvälinen

Lisätiedot

Viivakoodin viiteopas

Viivakoodin viiteopas Viivakoodin viiteopas Versio 0 FIN 1 Johdanto 1 Yleiskuvaus 1 1 Tämä opas sisältää tietoja viivakooditulostuksesta, joka toimii suoraan Brotherin tulostimeen lähetettyjen komentojen avulla. Yhteensopivat

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Näin täytät sähköisen hakemuksen

Näin täytät sähköisen hakemuksen Ohjeita käyttäjälle Voit lähettää hakemuksen sähköisesti paperilomakkeen sijaan. Paperista hakemuslomaketta ei tarvitse toimittaa, jos lähetät sähköisen hakemuksen. Hakemukseen ei voi liittää liitteitä,

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

ALOITUSPAKETTI. kirjaprojekteille mybod:ssa

ALOITUSPAKETTI. kirjaprojekteille mybod:ssa ALOITUSPAKETTI kirjaprojekteille mybod:ssa Tervetuloa mybod-tilin käyttäjäksi! Rekisteröitymällä käyttäjäksi olet avannut itsellesi oven modernin omakustantamisen maailmaan. Jotta ensimmäinen kirjaprojektisi

Lisätiedot