JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen

Transkriptio

1 JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 7. toukokuuta 04

2 Sisältö Joukko-oppia 4. Joukko-opin peruskäsitteitä ja merkintöjä Todistamisen ja matemaattisen päättelyn alkeita 3. Alkupala Päättelemisestä ja lauselogiikasta Väitelause Loogisista konnektiiveista Kvanttoreista Todistamisesta Suora todistus Epäsuora todistus Todistamisen harjoittelua: jaollisuus Todistamisen harjoittelua: rationaali- ja irrationaaliluvuista Tiheistä joukoista Konstruktiivinen vs. ei-konstruktiivinen Suora vai epäsuora päättely? Induktiotodistus Väitteen osoittaminen vääräksi Joukko-oppi ja todistaminen Funktioista Funktioihin liittyviä peruskäsitteitä Kuvajoukko ja alkukuva Yhdistetty funktio Kuvausten ominaisuuksia Injektio ja surjektio Käänteisfunktio Joukkojen mahtavuus Yhtämahtavuus

3 4. Mahtavuuksien vertailua

4 Alkulause Much more important than specific mathematical results are the habits of mind used by the people who create those results. Cuoco, Goldenberg and Mark (996) Kurssi Johdatus matematiikkaan on tarkoitettu ensimmäiseksi opintojaksoksi kaikille matematiikkaa opiskeleville ja sen ensisijaisena tavoitteena on madaltaa kynnystä lukion ja yliopisto-opintojen välillä. Keskeisimmän sisällön kurssilla muodostavat todistamisen ja joukko-opin alkeiden opettelu sekä kuvauksiin liittyviin peruskäsitteisiin tutustuminen. Osaan kurssilla käsiteltävistä aiheista opiskelijat ovat tutustuneet jo lukiossa, mutta näidenkin kohdalla lähestymis- ja esitystapa poikkeavat siitä mihin koulussa on yleensä totuttu. Näiden luentojen pohjana on toiminut kurssia aikaisemmin luennoineiden kollegojen muistiinpanojen lisäksi Lauri Kahanpään, Harri Högmanderin ja Matti Hannukaisen luentomoniste Johdatus matematiikkaan vuodelta 99, sekä Richard Hammackin kirja Book of Proof. 3

5 Luku Joukko-oppia I don t want to belong to any club that will accept people like me as a member Groucho Marx. Joukko-opin peruskäsitteitä ja merkintöjä Tällä kurssilla emme lähde problematisoimaan joukon käsitettä, vaan tyydymme naiiviin tulkintaan, jossa joukko on kokoelma objekteja (alkioita), jokaisesta objektista voidaan sanoa kuuluuko se kyseiseen joukkoon vai ei. Tällainen määrittely riittää hyvin varsinkin matematiikan opiskelun alkuvaiheessa, vaikka todellisuudessa joukon ja alkion käsitteisiin liittyy kaikenlaisia ongelmia, eikä joukko-oppi suinkaan ole niin yksinkertaista kuin ensisilmäykseltä saattaa vaikuttaa. Esimerkki... (a) Kokoelma {,, 3} on joukko, jonka alkioita ovat luvut, ja 3. (b) Kokoelma {suomi, ruotsi, norja} on joukko, jonka alkioita ovat sanat suomi, ruotsi ja norja. Esimerkiksi tanska ei ole tämän joukon alkio, eikä myöskään luku. (c) Merkinnällä {,, 3, 4, 5,...} 4

6 tarkoitetaan joukkoa, joka koostuu kaikista muotoa olevista luvuista, n missä n käy läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut luvusta alkaen. Näin ollen esimerkiksi on kyseisen joukon alkio, vaikka sitä ei olekaan listattu 34 näkyviin. Kaksi joukkoa ovat samat, jos ne koostuvat täsmälleen samoista alkioista. Niinpä esimerkiksi ja {,, 3} = {, 3, } = {,,, 3} {...,,, 0,,,...} = {0,,,,,...}. Usein on järkevää antaa tarkasteltavalle joukolle symbolinen nimi ja sen jälkeen viitata kyseiseen joukkoon kyseistä symbolia käyttäen sen sijaan, että jokaisessa yhteydessä lueteltaisiin joukon alkiot. Voimme esimerkiksi kutsua joukkoa {,, 3} joukoksi A, merkitään A = {,, 3}, minkä jälkeen voidaan vaikkapa todeta, että luku on joukon A alkio. Tietyt joukot ovat niin tärkeitä, että niillä on vakiintuneet merkinnät, joita tulisi aina käyttää. Tällaisia joukkoja ovat esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko N = {,, 3, 4, 5,...}, kokonaislukujen joukko Z = {...,,, 0,,, 3,...}, ja reaalilukujen joukko R. Huomaa, että 0 ei ole luonnollinen luku(ainakaan tällä kurssilla!). Merkintöjä. Seuraavassa on listattu joitakin tärkeimpiä joukko-opin merkintöjä ja merkintätapoja: (i) Merkintä x A tarkoitaa, että x on joukon A alkio. Se luetaan: x kuuluu joukkoon A. (ii) Merkintä y A tarkoitaa, että y ei ole joukon A alkio ja luetaan: y ei kuulu joukkoon A. (iii) Joukko A on joukon B osajoukko, merkitään A B, jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio. Merkintä A B puolestaan tarkoittaa, että joukko A ei ole joukon B osajoukko, eli on olemassa (ainakin yksi) alkio x A, joka ei kuulu joukkoon B. (iv) Joukot A ja B ovat samat, merkitään A = B, jos A B ja B A. 5

7 (v) Tyhjä joukko = {} on joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota. Esimerkki... Jos A = {,, 3} ja B = {, 0,,, 3, 5}, niin A B ja A N. Vastaavasti B Z, mutta B N, sillä B ja / N. Huomautus..3. Jokaiselle joukolle A pätee A A ja A. Näistä jälkimmäinen inkluusio ( A) voi aluksi tuntua intuition vastaiselta, mutta sen voi perustella epäsuorasti: jos väite A ei olisi totta, niin silloin joukosta tulisi löytyä ainakin yksi alkio, joka ei kuulu joukkoon A. Mutta koska tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, ei kuvatunlaista alkiota voi olla olemassa. Niinpä on joukon A osajoukko. Joukon määritteleminen luettelemalla sen alkiot aaltosulkeissa voi joskus olla hankalaa ja erityisesti käytettäessä merkintää... saattaa jäädä epäselväksi mitkä alkiot oikeastaan kuuluvatkaan käsiteltävään joukkoon. Lisäksi kaikkia joukkoja ei voida edes määritellä alkioita luettelemalla; tähän palaamme kurssin loppupuolella. Esimerkki..4. Määrittely A = {, 4, 8,...} on liian epämääräinen, sillä se ei kerro yksiselitteisesti mitä alkioita joukkoon A kuuluu. Emme tiedä koostuuko A muotoa k olevista luvuista eksponentin k käydessä läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut (tällöin joukkoon kuuluisivat siis mm. alkiot, 4, 8, 6, 3, 64 ja 8) vai onko kyseessä joukko, joka koostuu niistä parillisista positiivisista luvuista, jotka eivät ole jaollisia luvulla 6 (tällöin joukkoon kuuluisivat siis mm. alkiot, 4, 8, 0, 4, 6 ja 0). Joukkoja määritelläänkin usein sanomalla niiden koostuvan kaikista alkioista, jotka toteuttavat tietyn ehdon. Tällöin käytetään merkintää {x : P (x)}, joka tarkoittaa kaikkien niiden alkioiden x joukkoa, joille ominaisuus P (x) on totta. Esimerkki..5. (i) Joukko {n N: n on pariton} koostuu kaikista parittomista luonnollisista luvuista, toisin sanoen {n N: n on pariton} = {, 3, 5, 7,...}. (ii) Joukko {6, 8, 0,, 4,...} voidaan kirjoittaa täsmällisemmin muodossa {n N: n on parillinen ja n > 4}. (iii) Joukko {n N: n < 3} koostuu niistä luonnollisista luvuista n, joiden neliöjuuri n on pienempi kuin 3. Siispä {n N: n < 3} = {,, 3,..., 8}. Joskus käytetään myös merkintää {x P (x)} merkinnän {x : P (x)} sijaan. 6

8 (iv) Merkintä {k : k Z, k < 4} tarkoittaa joukkoa, joka koostuu kaikista muotoa k olevista luvuista, jossa luvun k täytyy olla itseisarvoltaan lukua 4 pienempi kokonaisluku. Tällaisia kokonaislukuja ovat 3,,, 0,, ja 3, ja niiden neliöt ovat puolestaan 9, 4,, 0,, 4 ja 9. Siten {k : k Z, k < 4} = {0,, 4, 9}. Huomautus..6. Merkinnän {x : P (x)} kanssa on syytä olla huolellinen. Esimerkiksi A = {x R: x A} ei määrittele joukkoa, sillä on mahdotonta päätellä kuuluuko luku joukkoon A vai ei. Nimittäin, kuuluu joukkoon A jos ja vain jos = 4 kuuluu joukkoon A. Mutta kuuluuko 4 joukkoon A vai ei? Se taas riippuu siitä, kuuluuko 4 = 6 joukkoon A vai ei... Määritelmä..7. Olkoot A ja B joukkoja. Määritellään joukkojen yhdiste A B = {x: x A tai x B}, leikkaus ja erotus A B = {x: x A ja x B}, A\B = {x: x A ja x B}. Huomautus..8.. Matematiikan tai ei ole poissulkeva. Siksi ehto x A tai x B pitää sisällään mahdollisuuden, että x kuuluu molempiin joukoista A ja B.. Joskus joukkojen A ja B erotusta merkitään myös symbolilla A B. Esimerkki..9. Olkoot Tällöin A = {0,, α, β}, B = {,, β}, C = {3, 4, γ}. A B = {0,,, α, β}, A B = {, β}, A\B = {0, α}, B\A = {}, (A B) C = {, 3, 4, β, γ}. 7

9 Edellä määriteltyjen joukko-operaatioiden lisäksi tarvitaan matematiikassa varsin usein myös joukkojen tulon käsitettä. Määritelmä..0. Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on joukko A B := {(a, b) : a A, b B}, missä (a, b) = (c, d) jos ja vain jos a = c ja b = d. Joukko A B koostuu siis kaikista järjestetyistä pareista (a, b), missä a on jokin joukon A alkio ja b jokin joukon B alkio. Esimerkki... Esimerkkejä tulojoukoista. (a) Jos A = {,, 3} ja B = {α, β}, niin A B = {(, α), (, β), (, α), (, β), (3, α), (3, β)}. (b) Tutuin esimerkki karteesisesta tulosta on xy-taso R, R = R R = {(x, y) : x R, y R}, joka siis koostuu järjestetyistä reaalilukupareista (x, y). Huomaa, että (, ) (, ). (c) Karteesisen tulon avulla voidaan edelleen määritellä R 3 = R R R = xyz-avaruus R n = R } {{ R } = n-ulotteinen euklidinen avaruus n kpl Tutuimpia esimerkkejä joukoista ovat reaalilukujen joukon välit. Olkoon a, b R siten, että a b. Reaaliakselin R rajoitettu väli on jokin seuraavista: [a, b] := { x R : a x b } ]a, b[ := { x R : a < x < b } [a, b[ := { x R : a x < b } ]a, b] := { x R : a < x b } (suljettu väli) (avoin väli) (puoliavoin väli) (puoliavoin väli) Huomautus... Edellä sallitaan erikoistapaus a = b, kun tulkitaan, että [a, a] = {a} ja ]a, a[ =. 8

10 Reaaliakselin R rajoittamattomia välejä ovat puolestaan muotoa ], b] := { x R : x b } ], b[ := { x R : x < b } [a, [ := { x R : a x } ]a, [ := { x R : a < x } ], [ := R olevat välit. Tässä yhteydessä on hyvä muistuttaa siitä, että ja ovat pelkkiä symboleja, eivätkä reaalilukuja. Huomautus..3. Matematiikassa käytettävien merkintöjen kanssa tulee olla huolellinen. Ei esimerkiksi ole yhdentekevää millaisia sulkuja lausekkeissa käytetään: merkintä {, } tarkoittaa joukkoa, jonka alkioita ovat luvut ja. merkintä [, ] tarkoittaa reaaliakselin suljettua väliä, jonka päätepisteet ovat ja. merkintä (, ) tarkoittaa järjestettyä paria, jonka ensimmäinen alkio on ja toinen alkio. Joissakin yhteyksissä merkintä (, ) voi myös tarkoittaa reaaliakselin avointa väliä ], [. Useamman kuin kahden joukon yhdiste ja leikkaus määritellään saman periaatteen mukaisesti kuin kahdenkin. Määritelmä..4. Olkoot A, B ja C joukkoja. Määritellään joukkojen yhdiste A B C = {x: x A tai x B tai x C}, ja leikkaus A B C = {x: x A ja x B ja x C}. Yhdiste ja leikkaus voidaan määritellä myös äärettömän monelle joukolle: joukkojen A i, i =,, 3,... yhdiste on A i := {x : x A i jollakin i =,, 3,... }, i= ja leikkaus A i := {x : x A i kaikilla i =,, 3,... }. i= 9

11 Esimerkki..5. Olkoon jokaiselle i N joukko A i reaaliakselin suljettu väli [i, i + ]. Tällöin siis A = [, ], A = [, 3], ja niin edelleen. Tällöin ja A i = {x R: x A i jollakin i =,, 3,... } i= = {x R: x [i, i + ] jollakin i =,, 3,... } = [, ] [, 3] [3, 4]... = [, [ A i = {x R: x A i kaikilla i =,, 3,... } i= Harjoitustehtäviä = {x R: x [i, i + ] kaikilla i =,, 3,... } = [, ] [, 3] [3, 4]... =.. Luokalla on 34 opiskelijaa. Heistä laulaa kuorossa ja 6 soittaa jotakin soitinta. Neljä opiskelijaa ei laula kuorossa eikä soita mitään soitinta. (a) Kuinka moni luokan opiskelijoista laulaa kuorossa tai soittaa jotakin soitinta? (b) Kuinka moni luokan opiskelijoista laulaa kuorossa ja soittaa jotakin soitinta? (c) Kuinka moni kuorossa laulavista opiskelijoista ei soita mitään soitinta?. Muodosta joukon {,, 3, 4} kaikki osajoukot. 3. Olkoot A = {,, 3, 4}, B = {3, 4, 5} ja C = {,, 3}. Muodosta joukot (a) A B. (b) B Z. (c) A \ C. (d) A C. (e) (A C) \ B. (f) A (C \ B). 0

12 4. Olkoon A = {0,, }. Mitä alkioita kuuluu joukkoon (a) A A A? (b) {(x, y) A A: y x > }? 5. Kirjoita seuraavat joukot muodossa {x: P (x)} (a) {, 4, 9, 6, 5, 36, 49,...}. (b) {4, 5, 6, 7}. (c) {,,,,,...} Esitä seuraavien joukkojen alkiot luettelomuodossa. (a) {x Z: x < 5}. (b) {x R: x + 5x = 6}. (c) {x R: cos x = }. (d) {5x: x Z, x 8}. 7. Määritellään joukko A k jokaiselle k N asettamalla A k = { k, 0, k}. Mitä alkioita kuuluu joukkoon (a) A 3? (b) A k? (c) k= A k? k= 8. Olkoot A = { k totta, että k + : k Z} ja B = { ( )n n + : n N}. Onko tällöin (a) A? (b) 4 B? 5 (c) 0 A B? (d) A Z? (e) B A? (f) Z A B? Perustele.

13 9. Olkoot A = ], [ ja B = ], 5[. Määritä perustellen joukot (a) A B. (b) A B. (c) B \ A. (d) {x : x A}. (e) {x + y : x A, y B}. 0. Olkoot A k = [ +, ] kaikille k N. Määritä perustellen joukot k k A k ja A k. k= k=. Jos A ja B ovat (mitä tahansa) joukkoja, niin päteekö aina (a) (A \ B) B = A? (b) B = A \ (A \ B)?

14 Luku Todistamisen ja matemaattisen päättelyn alkeita Matematiikka on deduktiivinen tiede eli tiede, jossa uutta tietoa luodaan päättelemällä. Siksi jokaisen matematiikkaa opiskelevan on ensiarvoisen tärkeää tuntea logiikan ( = oppi oikeasta ajattelusta ) perusteet ja oppia päättelyiden tekemiseen liittyvät perusperiaatteet ja ajattelumallit. Tarkemmin aiheeseen perehdytään Logiikan kurssilla.. Alkupala Esimerkki... (Rehdit ja retkut) Oletetaan, että on olemassa saari, jolla asuu tasan kahdenlaisia ihmisiä - rehtejä ja retkuja. Rehdit puhuvat aina totta, retkut puolestaan valehtelevat aina. Päälle päin rehtejä ja retkuja ei voi erottaa toisistaan. Kohtaat kolme saaren asukasta, henkilöt A, B ja C, joista A sanoo: Me olemme kaikki retkuja. Henkilö B puolestaan väittää, että Täsmälleen yksi meistä on rehti. Mitä tyyppiä A, B ja C ovat? Ratkaisu: Tehtävän voisi ratkaista käymällä läpi kaikki mahdolliset kombinaatiot (joita on tässä tapauksessa 3 = 8 kpl) yksi kerrallaan ja sulkemalla pois mahdottomat. Jatkon kannalta on kuitenkin hyödyllisempää pohtia, mitä henkilöiden A ja B lausumista voidaan päätellä. A väittää kaikkien kolmen olevan retkuja. Jos hän olisi rehti, tämä väite pitäisi paikkansa. Mutta silloin kaikki kolme, mukaan lukien A itse, olisivat siis retkuja. Näin ollen ei ole mahdollista, että A on rehti, joten hänen on pakko olla retku. 3

15 Koska tiedämme nyt, että A on retku, on hänen lausumansa Me olemme kaikki retkuja valheellinen väittämä. Ei siis pidä paikkaansa, että kaikki kolme olisivat retkuja, joten joukossa on joko tai rehtiä (rehtejä ei voi olla kolmea, koska A tiedetään jo retkuksi). Jos rehtejä olisi, olisi tilanne siis sellainen, että A on retku ja B ja C rehtejä. Tällöin sen, mitä B sanoo ( Täsmälleen yksi meistä on rehti ) pitäisi olla totta, mutta näinhän ei ole. Siispä rehtejä ei voi olla kahta, vaan heitä on vain yksi. Tiedämme nyt, että rehtejä on täsmälleen yksi, joten se, mitä B sanoo, on totta. Niinpä henkilön B täytyy olla rehti. Ja koska rehtejä on vain yksi, on henkilön C oltava retku. Vastaus: Henkilöt A ja C ovat retkuja, ja B on rehti.. Päättelemisestä ja lauselogiikasta Logic will get you from A to B. Imagination will take you everywhere. Albert Einstein.. Väitelause Väitelause eli propositio on lause, joka väittää jotain ja josta voidaan sanoa (tai ainakin kysyä) onko se totta vai ei. Tällainen määrittely ei ehkä vaikuta kovin täsmälliseltä, mutta se riittää tällä kurssilla. Seuraava esimerkki toivottavasti valaisee asiaa. Esimerkki... Väitelauseita ja lauseita, jotka eivät ole väitelauseita: (a) 4 > 3 (epätosi) (b) Hauki on kala. (tosi) (c) 3 3 (tosi) (d) Z. (epätosi) (e) 79 on pienin luonnollinen luku, joka voidaan esittää kahdella eri tavalla kahden luonnollisen luvun kuutioiden summana. (totta vai ei?) (f) + 3 (ei ole väitelause, ei väitä mitään.) 4

16 (g) Tämä lause on epätosi. (ei ole väitelause, sillä sen totuusarvoa ei voida määrittää) Esimerkki... Tyypillisiä matemaattisia väitelauseita: (a) Jos x, niin x 4. (b) Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituuden neliö on yhtäsuuri kuin sen kateettien pituuksien neliöiden summa. (c) Olkoon f : [0, ] R jatkuva funktio siten, että f(0) = 0 ja f() =. Tällöin on olemassa x ]0, [ siten, että f(x) =. Esimerkki..3. Goldbachin konjektuuri Jokainen lukua suurempi parillinen luonnollinen luku on kahden alkuluvun summa on esimerkki matemaattisesta väitelauseesta, joka selvästikin on joko tosi tai epätosi, mutta toistaiseksi kukaan ei ole onnistunut saamaan selville kumpaa se on. Pienille parillisille luvuille vaaditut alkuluvut on suhteellisen helppo löytää, esimerkiksi 4 = +, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 0 = 5 + 5, 40 = ja 00 = Tämä ei kuitenkaan sulje pois mahdollisuutta, että löytyisi jokin hyvin suuri parillinen luku, jolle vaadittuja alkulukuja ei löytyisikään. Huomautus..4. Matemaattista lausetta, joka riippuu jostakin muuttujasta, sanotaan avoimeksi lauseeksi. Esimerkiksi reaalilukuja koskeva lause x > x + on avoin lause. Jos tässä muuttujalle x annetaan jokin arvo, avoin lause muuttuu lauseeksi, jolla on jokin totuusarvo, joko tosi tai epätosi. Avoin lause voi siis saada kumpiakin totuusarvoja, ts. voi olla olemassa arvo, jolle se on tosi, ja voi olla olemassa arvo, jolle se on epätosi. Tällainen on esimerkiksi edellä mainittu lause x > x +... Loogisista konnektiiveista Väitelauseista voidaan muodostaa uusia väitelauseita loogisia konnektiiveja käyttäen. Loogisia konnektiiveja ovat implikaatio =, ekvivalenssi, negaatio, konjunktio ja disjunktio. Ne määritellään totuustaulukoiden avulla, eli kertomalla kuinka muodostetun lauseen totuusarvo riippuu siinä esiintyvien väitelauseiden totuusarvoista. Konjunktio ja disjunktio Loogiset konnektiivit konjunktio ja disjunktio vastaavat oleellisesti arkikielen ilmaisuja ja ja tai. 5

17 P Q P Q P Q T E E T T T T T E E E E E T E T Esimerkki..5. (i) Olkoon P väitelause > ja Q väitelause. Näiden lauseiden konjunktio P Q on väitelause > ja, joka voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa <. Lauseiden P ja Q disjunktio P Q on puolestaan > tai. (ii) Väitelauseiden x A ja x B konjunktio on x A B ja disjunktio x A B. Huomautus..6. Matemaatikon tai ei ole joko-tai. Sen vuoksi väite P tai Q on totta, jos (i) P tosi, Q epätosi (ii) P epätosi, Q tosi (iii) P tosi, Q tosi Siten esimerkiksi väitelause > tai on totta. Negaatio Väittämän P negaatiota eli väittämää P on epätosi merkitään symbolilla P. Tämän konnektiivin totuustaulu on siis P P T E E T Esimerkki..7. Väitelauseita ja niiden negaatioita. Huomaa erityisesti miten väitelauseiden osia toisiinsa sitovat ja ja tai käyttäytyvät. (a) väite: 3. negaatio: < 3. (b) väite: π 3 (eli π ja π 3). negaatio: π < tai π > 3. (c) väite: luku 897 on alkuluku tai 897 > 38. negaatio: luku 897 ei ole alkuluku ja

18 (d) väite: jos n N on mikä tahansa alkuluku, niin n ei ole rationaaliluku. negaatio: on olemassa (ainakin yksi) alkuluku n, jolle n on rationaaliluku. (e) väite: on olemassa täsmälleen yksi luku x R siten, että x +4x 7 = 0. negaatio: yhtälöllä x + 4x 7 = 0 ei ole täsmälleen yhtä (reaalista) ratkaisua, eli joko ratkaisuja ei ole yhtään tai sitten niitä on ainakin. Implikaatio Matematiikassa vastaan tulevat väitelauseet ovat varsin usein esitettävissä muodossa Jos P, niin Q, (..) Tämä vastaa implikaatio-konnektiivin = avulla muodostettua lausetta P = Q. Tässä P ja Q ovat kumpikin väitelauseita, ja niistä käytetään tässä yhteydessä seuraavia nimityksiä: P = oletus Q = väite Jos väitelause (..) on tosi, niin sanotaan, että lauseesta P seuraa Q, tai että P on riittävä ehto lauseelle Q. Implikaation = totuustaulu on P Q P = Q T E E T T T E E T E T T Väitelause P = Q on siis epätosi vain jos P on totta ja Q epätosi. Esimerkki..8. Oletetaan, että kurssin luennoitsija antaa lupauksen jos suoritat lopputentin hyväksytysti, niin pääset kurssista läpi. Tällöin edellinen totuustaulu saa muodon tentti hyväksytty kurssi läpi tentti hyväksytty = kurssi läpi T E E T T T E E T E T T On ilmeistä, että luennoitsija pettää antamansa lupauksen vain jos opiskelija suorittaa lopputentin hyväksytysti, mutta ei silti pääse kurssista läpi. Esimerkki..9. Esimerkkejä implikaation avulla muodostetuista väitelauseista. 7

19 (a) Jos x on rationaaliluku ja y on rationaaliluku, niin myös x + y on rationaaliluku. Tässä väitelauseen oletus on x on rationaaliluku ja y on rationaaliluku ja väite x + y on rationaaliluku. (b) Jos f : R R on derivoituva, niin f on jatkuva funktio. Tällä kertaa oletus muodostuu tiedosta f : R R on derivoituva ja väite on f on jatkuva funktio. (c) Goldbachin konjektuuri Jokainen lukua suurempi parillinen luonnollinen luku on kahden alkuluvun summa voidaan myös muotoilla implikaation avulla: Jos n N on parillinen ja n >, niin on olemassa alkuluvut k ja l siten, että n = k + l. Implikaation totuustaulukon perusteella väitelauseen P = Q negaatio (eli väitelause P = Q on epätosi ) on totta ainoastaan tapauksessa P on totta ja Q epätosi. Totuustaulukoita tarkastelemalla havaitaan, että P ja Q on totta täsmälleen silloin kun P = Q on epätosi: P Q P ja Q P = Q T E T E T T E T E E E T E T E T Näin ollen siis (P = Q) on P ja Q. Esimerkki..0. Muotoa P = Q olevia väitelauseita ja niiden negaatioita. (a) väite: Jos f on derivoituva, niin f on jatkuva. (ts. mikä tahansa derivoituva funktio on myös jatkuva) negaatio: on olemassa (ainakin yksi) derivoituva funktio f, joka ei ole jatkuva. (b) väite: Jos b 4ac > 0, niin toisen asteen yhtälöllä ax + bx + c = 0 on kaksi eri (reaalista) ratkaisua. negaatio: b 4ac > 0, mutta yhtälöllä ax + bx + c = 0 ei ole kahta eri ratkaisua (ratkaisuja on yksi tai ei yhtään). (c) väite: jos n N on pariton, niin myös n 3 on pariton. (ts. minkä tahansa parittoman luvun kolmas potenssi on myös pariton) negaatio: on olemassa pariton luku n N siten, että n 3 ei ole pariton. 8

20 Huomautus... Implikaatio = ei ole symmetrinen, eli P = Q ei ole sama asia kuin Q = P. On esimerkiksi totta, että jos n on jaollinen luvulla 4, niin n on parillinen, kun taas väitelause jos n on parillinen, niin n on jaollinen luvulla 4 on epätosi (n = 6 kelpaa vastaesimerkiksi). Ekvivalenssi Väitelauseet P ja Q ovat ekvivalentit, merkitään P Q, jos P = Q ja Q = P. Ekvivalenssin totuustaulu on P Q P Q T E E T T T E E T E T E Näin ollen P Q on totta, jos P ja Q ovat molemmat tosia tai molemmat epätosia. Muissa tapauksissa lause P Q on epätosi. Väitelause P Q luetaan P jos ja vain jos Q tai P täsmälleen kun Q. Esimerkki... (i) Positiiviselle reaaliluvulle x pätee x > jos ja vain jos log( x ) < 0, ts. x > log( x ) < 0. (ii) x A jos ja vain jos {x} A...3 Kvanttoreista Hyvältä matemaattiselta tulokselta vaaditaan pääsääntöisesti tiettyä yleisyyttä, jotta se olisi käyttökelpoinen. Esimerkiksi se, että jokainen derivoituva funktio on jatkuva on hyödyllinen tulos juuri sen takia, että se pätee jokaiselle derivoituvalle funktiolle, ilman mitään lisäoletuksia. Itse asiassa suuri osa matemaattisista tuloksista on muotoa kaikilla... pätee.... Symbolia kutsutaan universaalikvanttoriksi tai kaikki-kvanttoriksi, ja se vastaa arkikielen ilmaisua kaikilla tai jokaisella. Esimerkki..3. Väitelause Jokaiselle luonnolliselle luvulle n luku n on parillinen voidaan kirjoittaa universaalikvanttorin avulla muodossa n N : n on parillinen. Toinen usein vastaan tuleva kvanttori on olemassolo- eli eksistenssikvanttori. 9

21 Esimerkki..4. Väitelause On olemassa rationaaliluku x, jonka neliö on 3 voidaan kirjoittaa myös muodossa x Q : x = 3. Joissakin väitelauseissa kvanttoreita esiintyy useita kappaleita. Silloin niiden keskinäiseen järjestykseen tulee kiinnittää erityistä huomiota: Esimerkki..5. Tarkastellaan väitelausetta Jokaiselle a N on olemassa b N siten, että a b ja ab N, joka kvanttoreita käyttäen voidaan kirjoittaa muotoon a N b N : a b ja ab N. Tämä väitelause on totta: mille tahansa a N voidaan etsityksi luvuksi b ottaa 4a. Jos vaihdetaan kvanttoreiden keskinäistä järjestystä, saadaan väitelause b N a N : a b ja ab N, eli On olemassa luku b N siten, että kaikille a N on voimassa a b ja ab N. Tämä väitelause on epätosi: Mikään b N ei toteuta ehtoja, sillä jos otetaan a = b, niin ei ole totta, että a b. Jos on ilmeistä, että väitelause koskettaa kaikkia tietyn joukon alkioita, saatetaan sana kaikille tai jokaiselle jättää pois. Esimerkiksi väitelause Jokaiselle luonnolliselle luvulle n luku n on parillinen voidaan esittää muodossa Jos n on luonnollinen luku, niin n on parillinen. Vastaavasti voidaan todeta, että Jos f on derivoituva, niin se on myös jatkuva. Tämä on hyvä pitää mielessä muodostettaessa väitelauseiden negaatioita. Esimerkki..6. (i) Väitelauseen Jos n on luonnollinen luku, niin n on parillinen negaatio on On olemassa luonnollinen luku n, jolle n ei ole parillinen. (ii) Väitelauseen On olemassa n N siten, että n N negaatio on Kaikille luonnollisille luvuille n N pätee n N. (iii) Väitelauseen Jokaiselle reaaliluvulle x > 0 on olemassa n N siten, että < x negaatio on on olemassa reaaliluku x > 0 siten, että n kaikille n N pätee x. n Kvanttoreita ja käytetään tiivistämään tai selkeyttämään matemaattista ilmaisua esimerkiksi liitutaulua käytettäessä. Sen sijaan kirjoitetussa matemaattisessa tekstissä niitä pyritään välttämään. 0

22 Harjoitustehtäviä. Tapaat rehtien ja retkujen saarella saaren asukkaan A, joka sanoo: Kaikki saaren asukkaat ovat retkuja. (a) Puhuuko A totta vai ei? (b) Ovatko kaikki saaren asukkaat retkuja?. Tutkimusmatkailija tapasi kolme rehtien ja retkujen saaren asukasta maleksimasta. Hän meni henkilön A luo, jolloin A sanoi: Nuo kaksi muuta, B ja C, ovat samaa tyyppiä. (siis molemmat joko rehtejä tai retkuja.) Tämän jälkeen tutkimusmatkailija meni henkilön C luokse ja kysyi tältä: Ovatko A ja B samaa tyyppiä? Mitä C vastasi? Perustele. 3. Olkoon a R luku, jolla on seuraavat ominaisuudet: n N : n < a. n N : n a. x R : (x > a x > 0). Mitkä seuraavista lukua a koskevista väitteistä ovat tämän perusteella totta? (a) a 4 ja a 8. (b) a > 0. (c) a. (d) a / N. (e) a Muodosta seuraavien väitelauseiden negaatiot. Mitkä väitelauseista ovat totta ja mitkä eivät? (a) on olemassa a N siten, että a N. (b) kaikilla a N pätee a N. (c) jos x R, niin x > x. (d) kaikilla x R on olemassa n N siten, että x n <. (e) kaikilla n N on olemassa luvut m N ja k N siten, että nm = k. (f) jos x, y Z ja x < y, niin on olemassa z Z siten, että x < z < y.

23 .3 Todistamisesta Obvious is the most dangerous word in mathematics. E. T. Bell.3. Suora todistus Tarkastellaan seuraavaa väitelausetta: Jos luonnollinen luku n on pariton, niin myös n on pariton. (.3.) Väitelause on muotoa P = Q, missä P (oletus): n pariton. Q (väite): n pariton. Onko väitelause (.3.) tosi vai epätosi? Tämän selvittäminen on mahdollista vain jos ensin sovitaan tarkasti, mitä väitelauseessa esiintyvät käsitteet luonnollinen luku ja pariton tarkoittavat, eli määritellään ko. käsitteet. Määritelmä.3.. Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {,, 3, 4,...}. Luonnollinen luku n on parillinen, jos n = l jollakin luonnollisella luvulla l N, ja pariton, jos n = k jollakin luonnollisella luvulla k N. Huomautus.3.. Parittomuutta (tai parillisuutta) osoitettaessa on näytettävä, että määritelmän ehto on voimassa. Nyt voidaan siis esimerkiksi todeta, että koska luku 7 on esitettävissä muodossa 7 = 4, missä 4 N, niin se on yllä asetetun määritelmän mukaan pariton. Huomautus.3.3. Vaikka yllä olevassa määritelmässä lukeekin Luonnollinen luku n on parillinen, jos n = l jollakin luonnollisella luvulla l N, niin se tulee ymmärtää muodossa Luonnollinen luku n on parillinen, jos ja vain jos n = l jollakin luonnollisella luvulla l N. Väitelause (.3.) on totta, mille esitämme seuraavassa todistuksen. Todistus kertoo, miksi ja miten väite n pariton seuraa oletuksesta n pariton. Se on loogisesti pitävä ja aukoton perustelu sille, että väitelause on tosi. Todistus. Oletuksen mukaan n on pariton eli n = k jollakin k N. Haluamme osoittaa tästä välttämättä seuraavan, että n on pariton, eli että on olemassa jokin l N siten, että n = l. Tällainen l löytyy laskemalla, oletusta apuna käyttäen: n = (k ) = 4k 4k+ = (4k 4k+) = (k k+) = l,

24 missä l = k k + = k(k ) + on luonnollinen luku, sillä oletuksen mukaan k on luonnollinen luku. Siten luvulla n on parittomuuden määritelmässä vaadittu ominaisuus, joten se on pariton. Väitelause on todistettu. Todistuksessa käytettiin siis seuraavaa päättelyketjua: n pariton n = k jollakin k N n = (k ) jollakin k N n = (k k + ) n = l eräällä l N n on pariton. Todistuksessa edetään vaiheittain oletuksista väitteeseen, mistä johtuu nimitys suora todistus. Päättelyn jokainen vaihe on pystyttävä perustelemaan ja mahdollisen lukijan on voitava vakuuttautua todistuksen pitävyydestä. Esimerkiksi ensimmäinen vaihe (ensimmäinen -merkki) saadaan parittomuuden määritelmästä, toinen ja kolmas vaihe ovat suoria laskuja ja niin edelleen. Todistuksen lopussa oleva on yksinkertaisesti todistuksen loppumerkki, joka ilmaisee, että väitelauseen todistava päättely on saatu päätökseen. Huomautus.3.4. Seuraava perustelu ei riitä todistukseksi. n n Väitelause näyttäisi kyllä olevan totta, koska jokaisen yllä valitun parittoman luvun n neliö n on pariton. Mutta tämä ei vielä todista yhtään mitään, sillä kaikkia mahdollisia parittomia lukuja ei ole käyty (eikä voidakaan käydä) läpi! Väitelauseessa vaaditaan nimenomaan, että minkä tahansa parittoman luvun neliö on pariton. Esimerkin väitelause on kuitenkin keksitty tällaisten havaintojen perusteella. Laskettuaan useiden parittomien lukujen neliöitä ja todettuaan ne kaikki parittomiksi matemaatikko on päättänyt selvittää onko ilmiö aina totta ja päätynyt siten tutkimaan yo. väitelauseen totuusarvoa. 3.

25 Tavalla tai toisella merkitykselliset ja todeksi näytettävissä olevat väitelauseet on matematiikassa tapana muotoilla teoreemoiksi eli lauseiksi. Aputuloksia, joita tarvitaan näiden lauseiden todistamisessa, kutsutaan usein lemmoiksi tai propositioiksi. Seuraavassa muotoilemme ja todistamme yhden tällaisen aputuloksen. Lemma.3.5. Jos a, b R, niin (i) ab (a + b ). (ii) (a + b) (a + b ). Todistus. (i) Koska (a b) 0, niin a ab + b 0. Tästä saadaan, että ab (a + b ). (ii) Kohdan (i) nojalla (a + b) = a + }{{} ab +b (a + b ). a + b.3. Epäsuora todistus Once you eliminate the impossible, whatever remains, no matter how improbable, must be the truth. Sherlock Holmes Suora todistus eli suora päättely on käytetyin ja yleensä helpoin todistusmenetelmä. Joissakin tilanteissa on kuitenkin edullista käyttää toisenlaista ajattelua. Epäsuorassa todistuksessa oletetaan, että väite ei pidäkään paikkaansa ja osoitetaan, että tästä seuraa tehdyt oletukset huomioiden mahdoton tilanne eli ristiriita. Niinpä väitteen on pakko olla totta. Tämänkaltaista päättelyä harrastettiin jo Rehtien ja Retkujen saarella. Esimerkki.3.6. Osoita, että jos n on parillinen, niin n ei ole pariton. Todistus. Haluamme siis osoittaa, että parillisella luvulla n ei ole parittomuuden määritelmässä esitettyä ominaisuutta. On varsin luontevaa tehdä tämä toteamalla, että jos sillä olisi tämä ominaisuus, niin seuraisi mahdoton tilanne. Jos siis n olisi pariton, olisi olemassa jokin k N siten, että n = k. Toisaalta oletuksen mukaan n on parillinen, joten n = l jollakin l N. Nyt 0 = n n = (l) (k ) = (l k) + 4

26 eli k l =. Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä l ja k ovat luonnollisia lukuja ja siksi niiden erotus on kokonaisluku. Niinpä väitteen n ei ole pariton on pakko olla totta. Jotta parillisuuteen ja parittomuuteen liittyvät päättelyt olisivat varmalla pohjalla, muotoillaan ja todistetaan näihin käsitteisiin liittyvä ilmeisen tuntuinen tulos. Lause.3.7. Jokainen luonnollinen luku on joko parillinen tai pariton Todistus. Osoitetaan ensin, että millään luonnollisella luvulla ei voi olla molempia ominaisuuksia. Tehdään tämä epäsuoraa päättelyä käyttäen, eli oletetaan (kuvitellaan), että olisi olemassa n N joka on sekä parillinen että pariton. Edellisessä esimerkissä todistetun väitteen perusteella luvun n parillisuudesta kuitenkin seuraa, ettei se voi olla pariton. Niinpä kuvitellun laista lukua ei voi olla olemassa, eli jokaisella luonnollisella luvulla on korkeintaan toinen ominaisuuksista parillinen ja pariton. Osoitetaan sitten, että jokainen luonnollinen luku on välttämättä parillinen tai pariton. Pitää siis osoittaa, että ei ole olemassa sellaista luonnollista lukua n, joka ei olisi parillinen eikä pariton. Käytetään jälleen epäsuoraa päättelyä eli kuvitellaan, että tällaisia lukuja olisi olemassa (yksi tai useampia). Havaitaan, että on pariton, sillä se voidaan esittää muodossa =. Olkoon n 0 pienin luonnollinen luku, joka ei ole parillinen eikä pariton. Tällöin n 0 ja n 0 on parillinen tai pariton (koska n 0 oli pienin luku, joka ei ole parillinen eikä pariton). Jos n 0 on parillinen, niin n 0 = k jollakin k N. Tällöin n 0 = k+ = (k+), missä k+ N, joten n 0 on pariton. Jos taas n 0 on pariton, on n 0 = k jollakin k N. Tällöin n 0 = k, missä k N eli n 0 on parillinen. Oli siis n 0 kumpi tahansa, parillinen tai pariton, on saatu ristiriita sen kanssa, että n 0 ei olisi kumpaakaan. Huomautus.3.8. Edellisen todistuksen loppuosa on esimerkki tapauskohtaisesta päättelystä: siinä sekä luvun n 0 parillisuuden että parittomuuden osoitettiin johtavan ristiriitaan tarkastelemalla näitä kahta tapausta erikseen. Esimerkki.3.9. Tarkastellaan väitelausetta Jos n on pariton, niin n on pariton. Yritetään ensin suoraa todistusta. Koska n on oletuksen mukaan pariton, on olemassa k N siten, että n = k. Tavoitteena on näyttää, että tästä 5

27 seuraa luvun n parittomuus, eli että on olemassa l N siten, että n = l. Mutta miten luku l löydetään? n pariton n = k jollakin k N n = k jollakin k N???? Tämä lähestymistapa ei vaikuta kovin lupaavalta, joten kokeillaan epäsuoraa päättelyä. Todistus. Käytetään epäsuoraa päättelyä eli tutkitaan, mitä tapahtuisi, jos väite ei olisikaan totta. Tehdään niin sanottu antiteesi (vastaväite, väitteen negaatio): On olemassa n, jolle n on pariton, mutta n ei olekaan pariton. Tällöin n on Lauseen.3.7 nojalla välttämättä parillinen, joten on olemassa k N siten, että n = k. Siten n = (k) = 4k = (k ) = l, missä l = k N. Niinpä myös n on parillinen. Mutta tämä on mahdotonta, sillä oletimme, että n on pariton ja todistimme edellä, ettei parillinen luku voi olla pariton. Siten antiteesin on pakko olla epätosi ja luvun n on siis oltava pariton. Huomautuksia. Epäsuora päättely on useissa tilanteissa hyvin näppärä todistusmenetelmä, mutta sitä käytettäessä on tiedettävä mitä on tekemässä: () Epäsuorassa päättelyssä on oltava tarkkana antiteesin muodostamisessa, eli on mietittävä tarkkaan, mitä tarkoittaa se, että väite ei olisikaan totta. () Epäsuorassa päättelyssä ei ole etukäteen selvää mistä ja miten ristiriita löydetään. Huomautus.3.0. Edellä on todistettu väitelauseet n pariton n pariton ja n pariton n pariton. Niinpä tiedämme nyt, että n pariton n pariton Huomaa, että tästä seuraa, että n parillinen n parillinen. 6

28 .3.3 Todistamisen harjoittelua: jaollisuus Jatkamme todistusmenetelmien harjoittelua käyttäen apuna jaollisuuden käsitettä. Tämän kappaleen asioita käsitellään aikanaan tarkemmin lukuteorian kursseilla. Määritelmä.3.. Olkoot n ja m luonnollisia lukuja. Sanotaan, että luku m on jaollinen luvulla n (tai n jakaa luvun m), merkitään n m, jos m = kn jollakin k N. Tällöin n on luvun m tekijä. Luonnollinen luku m on alkuluku, jos m ja jos m on jaollinen ainoastaan luvuilla ja m. Esimerkki.3.. Luku 0 on jaollinen kullakin luvuista,, 5 ja 0, sillä 0 = 0 = 5. Sen sijaan luvulla 5 ei ole muita tekijöitä kuin ja 5, joten se on alkuluku. Huomaa, että määritelmämme mukaan ei ole alkuluku. Lause.3.3. Luonnollinen luku n on jaollinen luvulla 6 jos ja vain jos ( ) n on jaollinen sekä luvulla että luvulla 3. Todistus. Koska väitelause koostuu itse asiassa kahdesta erillisestä väitelauseesta, on syytä kirjoittaa todistuskin kahdessa osassa: n jaollinen luvulla 6 n jaollinen luvulla ja luvulla 3. Oletus: n jaollinen luvulla 6 eli n = 6k jollakin k N. Väite: n jaollinen luvuilla ja 3. Käytetään jaollisuuden määritelmää: n = 6k = (3k) = l, missä l = 3k N n on jaollinen luvulla. n = 6k = 3(k) = 3m, missä m = k N n on jaollinen luvulla 3. Siten oletuksesta 6 n seuraa, että n ja 3 n. n jaollinen luvuilla ja 3 n jaollinen luvulla 6. Oletus: n eli n = l jollakin l N ja 3 n eli n = 3m jollakin m N. Väite: 6 n. Jos tietäisimme, että luku m on parillinen, eli m = k jollekin k N, niin silloin saataisiin n = 3m = 3(k) = 6k, mistä väite seuraisi. Väitteen todistamiseksi riittää siis osoittaa, että m on parillinen. 7

29 Tehdään tämä epäsuoraa päättelyä käyttäen. Jos m olisi pariton, eli löytyisi p N siten, että m = p, niin n = 3m = 3(p ) = 6p 3 = (6p ) = (3p ) = q, missä q = 3p N. Siten myös n olisi pariton. Kuitenkin oletuksen mukaan n = l jollakin l N, joten n on parillinen. Tämä on ristiriita. Siten luvun m on pakko olla parillinen, ja siten olemme saaneet väitteen todistettua. ja yhdessä todistavat väitteen. Lause.3.4. Alkulukuja on ääretön määrä. Todistus. Tehdään antiteesi: Alkulukuja on vain äärellinen määrä, olkoon niitä k kappaletta ja olkoot kyseiset alkuluvut n, n,..., n k. Tarkastellaan lukua n = n n n k +. (a) Jos n on alkuluku, niin on löydetty uusi alkuluku, joka ei selvästikään ole mikään luvuista n, n,..., n k. Kuitenkin listassa n, n,..., n k piti olla jo kaikki alkuluvut, eli olemme päätyneet ristiriitaan. (b) Jos n ei ole alkuluku, niin se voidaan esittää (järjestystä vaille yksikäsitteisesti) alkulukujen tulona (Miksi?). Erityisesti ainakin yksi alkuluvuista n, n,..., n k jakaa luvun n. Olkoon n j eräs tällainen luku. Mutta suoralla jakolaskulla nähdään, että n = n n n k + = n... n j n j+... n k +, n j n j n j missä n n j / N. Niinpä n j ei olekaan luvun n jakaja, ja jälleen päädytään ristiriitaan. Siispä antiteesi on väärin ja väite totta. Huomautus.3.5. Lauseen.3.4 todistuksessa on varsin luonnollista käyttää epäsuoraa päättelyä, sillä antiteesin mukaista äärellistä lukujoukkoa on yleensä helpompi käsitellä kuin ääretöntä joukkoa. Mieti mitä vaadittaisiin suoran todistuksen onnistumiseen. 8

30 .3.4 Todistamisen harjoittelua: rationaali- ja irrationaaliluvuista Tällä kurssilla reaalilukuja ajatellaan yksinkertaisesti lukusuoran pisteinä eikä niitä määritellä sen tarkemmin. Syvällisemmin tähän epätriviaaliin asiaan tutustutaan myöhemmillä kursseilla. Määritelmä.3.6. Reaaliluku x on rationaaliluku, jos on olemassa kokonaisluvut n ja m siten, että n 0 ja x = m. Rationaalilukujen joukkoa n merkitään symbolilla Q. Irrationaaliluku on reaaliluku, joka ei ole rationaaliluku. Esimerkki.3.7. Esimerkiksi luku 0.6 on rationaaliluku, sillä 0.6 = 3 5. Seuraavassa esimerkki rationaalilukujen määritelmään perustuvasta päättelystä: Esimerkki.3.8. Jos x Q ja y Q, niin x + y Q. Todistus. Oletuksen mukaan on olemassa kokonaisluvut m, n, k ja l siten, että n 0, l 0, x = m ja y = k. Siten n l x + y = m n + k l = ml nl + nk nl ml + nk =, nl missä ml + nk ja nl ovat kokonaislukuja ja nl 0. Näin ollen x + y Q. Rationaalilukujen joukko Q on selvästikin epätyhjä, sillä esimerkiksi kaikki kokonaisluvut ovat rationaalilukuja. Sen sijaan irrationaalilukujen löytäminen onkin hieman hankalampaa, vaikka todellisuudessa melkein kaikki reaaliluvut ovatkin irrationaalilukuja. Seuraavassa esitämme todistuksen sille, että, eli se positiivinen luku, jonka neliö on, on irrationaalinen. Tällainen reaaliluku todella on olemassa, mutta sen todistamiseksi tarvitaan reaalilukujen joukon täydellisyyttä, jota ei tällä kurssilla käsitellä. Lause.3.9. on irrationaaliluku. Todistus. Koska on osoitettava, että luvulla ei ole rationaaliluvut määrittelevää ominaisuutta, on luontevaa käyttää epäsuoraa todistusta: Antiteesi: Väite ei ole totta, eli onkin rationaaliluku. On siis olemassa luonnolliset luvut (koska > 0) n ja m siten, että = m n. 9

31 Voidaan olettaa, että osamäärää m ei voida supistaa, sillä jos voidaan, supistetaan niin kauan kuin voidaan, ja valitaan näin saadut uudet luvut luvuiksi n m ja n. Nyt = ( ( m ) ) m = = n eli m = n. Siten m on parillinen ja Huomautuksen.3.0 nojalla myös m on parillinen, toisin sanoen m = k jollakin k N. Näin ollen n n = m = (k) = 4k, mistä seuraa, että n = k. Siten n on parillinen ja (jälleen Huomautuksen.3.0 nojalla) myös n on parillinen. Koska sekä m että n ovat parillisia, voidaan osamäärää m nyt supistaa n luvulla, mikä on ristiriita..3.5 Tiheistä joukoista Tässä osiossa on tarkoitus osoittaa, että kahden keskenään erisuuren reaaliluvun välissä on aina sekä rationaalilukuja että irrationaalilukuja (eli reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja). Tälle ominaisuudelle annetaan nimi tiheys, eli tulemme todistamaan, että rationaaliluvut Q ja irrationaaliluvut R \ Q ovat molemmat reaaliakselin tiheitä osajoukkoja. Määritelmä.3.0. Joukko A R on tiheä, jos (ja vain jos) jokaiselle rajoitetulle avoimelle välille ]a, b[ ( missä a < b) pätee ]a, b[ A. Määritelmillä on matematiikassa hyvin keskeinen rooli. On tärkeää ymmärtää, että jos haluamme osoittaa jonkin reaaliakselin osajoukon olevan tiheä, niin meidän on todistettava, että kyseisellä joukolla on yllä olevassa määritelmässä mainittu ominaisuus. Samoin jos haluamme osoittaa, että jokin joukko ei ole tiheä, tulee näyttää, että yo. määritelmän ehto ei ole voimassa. Esimerkki.3.. Kokonaislukujen joukko Z = {...,,, 0,,,...} ei ole tiheä. Todistus. Riittää löytää yksikin väli ]a, b[, jolle ]a, b[ Z =. Havaitaan, että ], [ Z =, joten Z ei ole tiheä

32 Huomautus.3.. Jos A R on tiheä, niin jokaisella rajoitetulla avoimella välillä ]a, b[ on itse asiassa äärettömän monta joukon A alkiota. Se miten tämä seuraa tiheän joukon määritelmästä, jää lukijalle harjoitustehtäväksi. Lause.3.3. Joukot Q ja R \ Q ovat tiheitä. Todistus. Todistetaan ensin, että Q on tiheä: Olkoon ]a, b[ mikä tahansa avoin väli. Koska b > a eli b a > 0, niin > 0. Tällöin luku > b a b a 0 sijaitsee lukusuoralla kahden peräkkäisen luonnollisen luvun välissä: on olemassa n N siten, että n < n. Osoitetaan seuraavaksi, että b a etsitty rationaaliluku a < q < b löytyy muodossa q = k jollakin k Z. n+ Nimittäin, jos tällaista kokonaislukua k ei löytyisi, niin olisi olemassa m Z, jolle a, b [ m, ] m n+ n+. Tällöin b a m m = eli n +. n+ n+ n+ b a Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä n. Siispä on olemassa k Z b a siten, että k ]a, b[ eli erityisesti ]a, b[ Q. n+ Joukon R\Q osoittaminen tiheäksi jää lukijalle harjoitustehtäväksi. (Vihje: hyödynnä tietoa + q R \ Q kaikille q Q.).3.6 Konstruktiivinen vs. ei-konstruktiivinen Muotoa on olemassa..., jolle pätee... olevien väitelauseiden todistukset voidaan jakaa kahteen kategoriaan: konstruktiivisiin ja ei-konstruktiivisiin. Ensimmäiseen ryhmään kuuluvat päättelyt, joissa annetaan konkreeettinen esimerkki halutut ominaisuudet toteuttavasta objektista. Jälkimmäisen kategorian päättelyissä taas osoitetaan pelkästään etsityn objektin olemassaolo ilman, että selviää mikä kyseinen objekti on. Esimerkki.3.4. Osoita, että yhtälöllä x 4 5x + 6 = 0 on ainakin yksi ratkaisu. Annetaan väitteelle ensin konstruktiivinen todistus: Todistus. Koska ( ) 4 5( ) + 6 = = 0, on yhtälön eräs ratkaisu. Niinpä ratkaisuja on ainakin yksi. 3

33 Sitten ei-konstruktiivinen: Todistus. Merkitään f(x) = x 4 5x Koska f(0) = 6 > 0, f( ) = < 0 ja f on polynomifunktiona jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla on 4 5 olemassa x ]0, [ siten, että f(x) = 0. Niinpä yhtälöllä x4 5x + 6 = 0 on ainakin yksi ratkaisu. Lemma.3.5. On olemassa irrationaaliluvut x ja y siten, että x y on rationaaliluku. Todistus. Tarkastellaan lukuja ja. Näistä tiedetään irrationaaliluvuksi, mutta luvusta emme tiedä, onko se rationaali- vai irrationaaliluku. Jos on rationaaliluku, voimme valita x = y = ja väite on saatu perusteltua. Jos taas on irrationaaliluku, valitaan x = ja y =, jolloin ( ) x y = = = = on rationaaliluku, ja taaskin väitettyjen lukujen olemassaolo on näytetty. Edellinen todistus on klassinen esimerkki ei-konstruktiivisesta olemassaolotodistuksesta: lukujen x ja y olemassaolo todistetaan ilman, että selviää mitä nämä luvut ovat. Seuraavassa annamme samalle väitteelle konstruktiivisen todistuksen. Todistus. Valitaan x = ja y = log 9, jolloin x on tunnetusti irrationaaliluku ja x y = log 9 = log 3 = log 3 = ( ) log 3 = log 3 = 3 rationaaliluku. Väitteen todistamiseksi riittää siis osoittaa, että y = log 9 on irrationaaliluku. Tehdään tämä epäsuoraa päättelyä käyttäen: Antiteesi: log 9 on rationaaliluku, eli on olemassa kokonaisluvut n, m Z, m 0, siten, että log 9 = n m. Huomataan ensin, että koska log 9 > 0, voidaan olettaa, että n, m N. Koska log on funktion x x käänteisfunktio, on z = w z = log w. 3

34 Niinpä yhtäsuuruus log 9 = n tarkoittaa, että n m = 9, josta saadaan m n = 9 m. Luku n on parillinen, kun taas 9 m on pariton (sillä se on parittoman luvun tulo itsensä kanssa m kertaa). Antiteesi on siis johtanut ristiriitaan, joten sen on oltava epätosi. Niinpä log 9 on irrationaaliluku..3.7 Suora vai epäsuora päättely? Monia väitelauseita on mahdollista todistaa sekä suoraa että epäsuoraa päättelyä käyttäen: Esimerkki.3.6. Todistetaan väitelause Jos reaaliluvulle x on x 3x + < 0, niin x > 0 käyttäen sekä suoraa että epäsuoraa päättelyä. Tässä siis Oletus: x R ja x 3x + < 0 Väite: x > 0 Todistus.. tapa (suora päättely): Koska x 3x + < 0, niin 3x > x +. Siten x = 3 (3x) > 3 (x + ) 3 (0 + ) = 3 > 0, joten väite on totta.. tapa (epäsuora päättely): Tehdään antiteesi: väite onkin epätosi ja on x 0. Tällöin 3x 0, joten x 3x + 0, sillä kaikki termit ovat 0. Tämä on kuitenkin ristiriidassa oletuksen kanssa, joten antiteesin on oltava epätosi. Siis väite on totta. Esimerkki.3.7. Tarkastellaan väitelausetta Jos a ja b ovat positiivisia reaalilukuja, niin ab a+b. Todistetaan tämä epäyhtälö harjoituksen vuoksi kahdella eri tavalla. Tapa : (Epäsuora todistus) Antiteesi: on olemassa reaaliluvut a, b > 0 siten, että ab > a+b. Tällöin, koska ab 0 ja a+b 0, on ( ) ( ) a + b ab = ab > = a + ab + b. 4 Edellä epäyhtälö > saatiin antiteesistä. Nyt edellisestä seuraa 4ab > a + ab + b eli a ab + b < 0. 33

35 Tämä on ristiriita, sillä Tapa : (Suora todistus) a + b a ab + b = (a b) 0. ( ( a ) + ( b ) ) = = ( ( a ) ( ) ) ab + b + ab = ( ( a ) ) b + ab ab = ab. Viimeisen rivin epäyhtälö saadaan yksinkertaisesti jättämällä neliötermi summauksesta pois. Joissakin tilanteissa suoraa ja epäsuoraa päättelyä kannattaa yhdistellä: Esimerkki.3.8. Jokainen nollasta eroava rationaaliluku voidaan esittää kahden irrationaaliluvun tulona, ts. jokaiselle x Q, x 0, on olemassa luvut y, z R \ Q siten, että x = yz. Miten tätä väitelausetta kannattaa lähestyä? Olemme tähän mennessä todistaneet luvun irrationaalisuuden, joten tätä tietoa kannattanee hyödyntää. Koska voimme esittää rationaaliluvun x aina muodossa x = x, riittääkin siis todistaa, että x on irrationaaliluku. Todistus. Olkoon x mikä tahansa nollasta eroava rationaaliluku. Osoitetaan, että tällöin x on irrationaaliluku. Tehdään tämä epäsuoraa päättelyä käyttäen: Antiteesi: x on rationaaliluku. Tällöin on olemassa m, n Z siten, että n 0 ja x = m n, eli = x n m ; huomaa, että myös m 0, sillä x 0 oletuksen x 0 nojalla. Koska oletuksen mukaan x on rationaaliluku ja x 0, niin on olemassa k, l Z, k, l 0 siten, että x = k. Mutta tällöin l = x n m = k l n m = kn lm, 34

36 mistä seuraisi, että on rationaaliluku. Tämän ristiriidan nojalla antiteesin täytyy olla epätosi ja siten luvun x on oltava irrationaaliluku. Näin ollen luku x on saatu esitettyä kahden irrationaaliluvun tulona muodossa x = x. Päättelyn suunnan suhteen on oltava tarkkana, oli kyseessä sitten suora tai epäsuora päättely. Esimerkki.3.9. Alla on erään oppilaan ratkaisu seuraavaan tehtävään: Ratkaise yhtälö x + x a =, missä a on positiivinen parametri. Ratkaisu: Jos kerran x + x a =, niin x x a = ( x x a)( x + x a) x + x a = a x + x a = a. Laskemalla yhtälöt x + x a = ja x x a = a yhteen saadaan x = + a, josta x = ( + a 4 ). Kuitenkin jos a = 8, niin yllä oleva kaava antaa ratkaisuksi x = (+ 8 4 ) = 9, joka ei toteuta yhtälöä x + x 8 =. Mikä siis meni pieleen? Harjoitustehtäviä. Todista seuraavat väitteet: a) Jos n N on parillinen ja m N on parillinen, niin m + n on parillinen. b) Jos n N on pariton ja m N on pariton, niin m+n on parillinen. c) Jos n N on pariton ja m N on parillinen, niin m+n on pariton.. Olkoon x, y R. (a) Osoita, että jos x + y, niin x tai y. (b) Jos xy, niin onko totta, että x tai y? 3. Olkoot a, b ja c luonnollisia lukuja siten, että luvut b ja b + c ovat jaollisia luvulla a. Osoita, että tällöin myös c on jaollinen luvulla a. 4. Olkoot a, b ja c ei-negatiivisia reaalilukuja (ts. a, b, c 0). Osoita, että (a) a + b + c ab + bc + ac. (b) 8abc (a + b)(b + c)(c + a). 35

37 5. Olkoot n, m, k N. Osoita, että (a) jos n m ja n k, niin n (m + k). (b) jos n m, niin n m. 6. Osoita, että (a) jos p, q Q, niin pq Q. (b) jos x on irrationaaliluku ja p Q, niin x + p on irrationaaliluku. 7. Anna tarkasti perustellen esimerkki (a) irrationaaliluvuista x ja y siten, että x + y / Q. (b) irrationaaliluvuista x ja y siten, että x + y Q. (c) irrationaaliluvuista x ja y siten, että xy Q. (d) irrationaaliluvuista x ja y siten, että xy / Q. 8. Olkoon n N. Todista, että n on jaollinen luvulla 3 n on jaollinen luvulla Osoita, että 3 on irrationaaliluku. 0. Olkoot n, m, k N. Osoita, että jos n + m = k, niin n on parillinen tai m on parillinen.. Osoita, että (a) jos joukossa A R on vain äärellisen monta eri pistettä, niin se ei voi olla tiheä. (b) jos A R on tiheä ja a A, niin myös A \ {a} on tiheä.. Olkoon x R. Todista väitelause jos x 3 + x > 0, niin x > 0 käyttäen (a) suoraa todistusta. (b) epäsuoraa todistusta. 36

38 3. Olkoon x R. Todista väitelause jos x > 0, niin x käyttäen x (a) suoraa todistusta. (b) epäsuoraa todistusta. 4. Olkoon x Q, x > 0. Osoita, että välillä ]0, x[ on äärettömän monta rationaalilukua käyttäen (a) suoraa todistusta. (b) epäsuoraa todistusta..3.8 Induktiotodistus If we have no idea why a statement is true, we can still prove it by induction. Gian-Carlo Rota Induktio on kätevä, ja joskus ainoa mahdollinen tapa todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa Kaikille n =,, 3,... pätee P (n). Induktioperiaatteen matemaattinen muotoilu on seuraava: Olkoon A N epätyhjä. Jos A ehdosta n A seuraa aina, että n + A niin A = N. Induktioperiaatteen käyttö: Jos halutaan osoittaa, että jokin väite on totta kaikilla n N, niin riittää todistaa väite tapauksessa n = todistaa induktioaskel: Osoitetaan, että jos väite on totta jollakin n = k, niin tällöin väite on totta myös, kun n = k +. Eräs tapa havainnollistaa induktiota on niin kutsuttu dominonappulamalli. Kuvittele äärettömän pitkää (!) jonoa dominonappuloita, jotka on aseteltu pystyyn peräkkäin. Koko jonon pitäisi kaatua, kun ensimmäinen nappula kaadetaan. Tämähän tapahtuu niin, että tarkastetaan että ensimmäinen nappula todella kaatuu (vrt ) ja varmistetaan, että kukin nappula kaatuessaan kaataa myös sitä seuraavan ( ). Jos kumpi tahansa vaihe epäonnistuu, koko jono ei kaadu, vaan jotkin dominonappulat jäävät pystyyn. 37

39 Induktion ei välttämättä tarvitse alkaa luvusta n =. Yleisemmässä muodossaan sen avulla voidaan todistaa muotoa kaikille n = n 0, n 0 +, n 0 +,... pätee P (n), missä n 0 Z, olevia väitteitä. Tällöinkin todistuksessa on kaksi vaihetta: Ensin osoitetaan, että väite pätee arvolla n = n 0, ja sitten näytetään, että jos P (k) on tosi ja k n 0, niin P (k + ) on tosi. Esimerkki Osoita, että kaikille n =,,... on voimassa Todistus n(n + ) = n n +. Tarkistetaan ensin, että väittämämme yhtäsuuruus on voimassa tapauksessa n = : vasen puoli: =. oikea puoli: + =. Niinpä väite on tosi, kun n =. Seuraavaksi on näytettävä, että jos väite on totta jollakin arvolla n = k, k, niin se on totta myös seuraavalla arvolla k +. Tätä vaihetta todistuksessa kutsutaan joskus induktioaskeleeksi, ja sitä varten tehdään ns. induktio-oletus ja induktioväite. Induktio-oletus: k(k + ) = k k +. Induktioväite: k(k + ) + (k + )(k + ) = k + k +. Todistus: Induktio-oletusta käyttämällä saadaan k(k + ) + (k + )(k + ) = k k + + (k + )(k + ) k(k + ) + = (k + )(k + ) = k + k + (k + )(k + ) = (k + ) (k + )(k + ) = k + k +, eli induktioväite on voimassa. 38

40 Induktioperiaatteen nojalla väite on nyt tosi kaikille n =,, 3,.... Seuraavaksi tarkastellaan geometrisen sarjan osasummia ja todistetaan induktiolla taulukkokirjasta tuttu kaava. Tätä varten olkoon b reaaliluku siten, että b 0 ja b, ja määritellään n S n = b j = + b + b + + b n. j=0 Lause.3.3. Jos b 0 ja b, niin S n = bn+, kun n = 0,,,.... b Todistus. Induktio n:n suhteen alkaen luvusta n = 0: : n = 0: vasen puoli: S 0 = oikea puoli: Siten väite on tosi, kun n = 0. 0 b j = b 0 = j=0 b b = : Induktioaskel: Osoitetaan, että jos väite on totta kun n = k, on se välttämättä totta myös kun n = k +. Luvusta k emme tässä voi olettaa muuta kuin sen, että k N. Induktio-oletus: Induktioväite: Todistus: k+ S k+ = b j = j=0 S k = bk+ b S k+ = bk+ b k b j + b k+ = S k + b k+, j=0 josta induktio-oletuksen nojalla saadaan edelleen S k+ = bk+ b + b k+ = bk+ b + (b )bk+ b = bk+ + b k+ b k+ b = bk+ b. Siten induktioväite seuraa induktio-oletuksesta. 39

41 Induktioperiaatteen nojalla väite on nyt tosi kaikille n = 0,,,... Seuraavaksi todistetaan induktiota käyttäen Newtonin binomikaava. Ensin tarvitaan kuitenkin binomikertoimiin liittyvä aputulos. Määritelmä.3.3. Luvun n N {0} kertoma on luku jos n, ja n! = 3... n, 0! =. Siis (n + )! = (n + )n!. Lisäksi, jos n, k N {0} ja 0 k n, niin binomikerroin ( n k) on luku ( ) n = k n! k!(n k)! Lemma (ii) ( ) n N k Todistus. (i) ( ) m + = k ( ) m + k ( ) m. k (i) Harjoitustehtävä. (ii) Induktio n:n suhteen, alkaen luvusta n = 0: Väite: Kaikilla n N {0} pätee ( n k) N kaikilla 0 k n. Väite pätee, kun n = 0: ( ) ( ) n 0 = k k = ( ) 0 = 0! 0 0! 0! = N Induktio-oletus: ( ) m k N kaikilla 0 k m. Induktioväite: ( ) m+ k N kaikilla 0 k m +. Todistus: Kohdan nojalla ( ) ( ) ( ) m + m m = + N k k k }{{}}{{} N N 40

42 Lause.3.34 (Newtonin binomikaava). Olkoot a, b R ja n N. Tällöin (a + b) n = = n ( n k k=0 ( n 0 ) a n + ) a n k b k ( ) n a n b + ( ) ( ) n n a n b ab n + n ( ) n b n n Newtonin binomikaava on tutun kaavan (a + b) = a + ab + b yleistys. Esimerkiksi tapauksessa n = 3 saadaan ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) 3 = a 3 + a b + a b + b = 3! 3!0! a3 + 3!!! a b + 3!!! a b + 3! 0!3! b3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3. Todistus. Todistetaan Lause.3.34 induktiolla. Väite pätee, kun n = : k=0 ( ) a k b k = k ( ) a + 0 ( ) b =!!0! a +! 0!! b = (a + b) = (a + b). Induktio-oletus: (a + b) m = m k=0 ( ) m a m k b k. k Induktioväite: (a + b) m+ = m+ k=0 ( m + k ) a (m+) k b k. Todistus: 4

43 (a + b) m+ = (a + b)(a + b) m ( m i.o. = (a + b) m ( m = a k k=0 m ( m = k k=0 m ( m = k k=0 m ( m = k k=0 ( m = 0 ( m = 0 k=0 ( ) m )a m k b k k m ( ) m a m k b k k k=0 m ( ) m a m k b k+ k k=0 m+ ( ) m a m (j ) b j j ) a m k b k + b ) a m+ k b k + ) a m+ k b k + ) a m+ k b k + ) a m+ + ) a m+ + j= m+ k= ( ) m a m+ k b k k m m ( ) ( ) m m a m+ k b k + a m+ k b k + k k k= m (( ) ( )) ( ) m m m + a m+ k b k + k k m }{{} k= k= = `m+ k ( ) m + m ( m + = a m+ + 0 k k= m+ ( ) m + = a (m+) k b k. k k=0 (Lemma.3.33) ) a m+ k b k + ( ) m + b m+ m + b m+ ( ) m b m+ m Tämän osion lopuksi todistetaan kaavan a b = (a b)(a + b) yleistys: Lause Olkoon a, b R ja n N. Tällöin a n b n = (a b) n a n k b k k= = (a b)(a n + a n b ab n + b n ) Huomautus Jos a, b 0, niin Lauseen.3.35 nojalla a > b jos ja vain jos a n > b n kaikilla n N. Todistus. Todistetaan Lause.3.35 induktiolla. 4

44 Väite pätee, kun n = : (a b) Induktio-oletus: Induktioväite: n a n k b k = (a b)a 0 b 0 = a b = a b. k= a m b m = (a b) m a m k b k. k= m+ a m+ b m+ = (a b) a (m+) k b k. k= Todistus: ( ( m ) ) a m+ = a a m i.o. = a (a b) a m k b k + b m Tästä saadaan, että k= ( m ) = (a b) a m+ k b k + ab m = (a b) = (a b) = (a b) k= ( m+ ) a m+ k b k (a b)a 0 b m + ab m k= ( m+ ) a m+ k b k ab m + b m+ + ab m k= ( m+ ) a m+ k b k + b m+ k= m+ a m+ b m+ = (a b) a (m+) k b k. k= Harjoitustehtäviä. Osoita induktiolla, etta kaava (n ) = n on voimassa kaikille luonnollisille luvuille n =,,

45 . Olkoon k pariton luonnollinen luku. Osoita induktiolla, että k n on pariton kaikille n N. 3. Osoita induktiolla, että jos n N, niin! + 3! + 3 4! n (n + )! = (n + )!. 4. Osoita induktiolla, että kaava! +! + 3 3! n n! = (n + )! on voimassa kaikille luonnollisille luvuille n =,, 3, Osoita induktiolla, että kaava n(n + ) = n(n + )(n + 7) 6 on voimassa kaikille luonnollisille luvuille n =,, 3, Osoita induktiolla, että jos n, niin 5 (n 5 n). 7. Olkoon x R, x >. Osoita induktiota käyttäen, että 8. Osoita induktiolla, että ( + x) n + nx kaikille n N n + + n n. 9. Osoita induktiolla, että n n kaikille n N, n Seuraavassa todistuksessa osoitetaan oikeaksi väite joka ei tunnetusti pidä paikkaansa. Todistuksessa täytyy siis olla jokin virhe. Mikä se on? Väite: Kaikki luonnolliset luvut ovat yhtäsuuria. Todistus: Todistetaan induktiolla, että jokainen luonnollinen luku n on yhtäsuuri kaikkien sitä edeltävien lukujen,,..., n kanssa. n =, ei edeltäviä lukuja, joten väite ok. 44

46 Tehdään induktio-oletus, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + : Olkoon j {,,..., k} mielivaltainen. Riittää osoittaa, että j = k +. Koska j edeltää lukua k +, j edeltää lukua (k + ) = k. Siten induktio-oletuksen nojalla j = k. Mutta tällöinhän (j ) + = k +, eli j = k +. Koska j {,,..., k} oli mielivaltainen, on k + yhtäsuuri kaikkien sitä edeltävien lukujen kanssa, ja siten induktioaskel on todistettu. Koska nyt induktioperiaatteen mukaan väite pätee jokaiselle luonnolliselle luvulle, täytyy kaikkien luonnollisten lukujen olla yhtäsuuria..4 Väitteen osoittaminen vääräksi A tragedy of mathematics is a beautiful conjecture ruined by an ugly fact. Anonymous. Edellä on tarkasteltu pääasiassa tehtäviä, joissa on annettu ennakkoon todeksi tiedetty väitelause ja pyydetty todistamaan se. Matematiikassa tulee kuitenkin usein vastaan väitelauseita, joiden totuusarvo ei ole ennakkoon tiedossa. Tällöin on joko todistettava väite tai kumottava se, eli osoitettava, että väitteen negaatio on totta. Esimerkki.4.. Tarkastellaan väitelausetta Jos n N, niin n n + on alkuluku. Kun tarkastellaan pieniä luonnollisia lukuja, näyttäisi väite pitävän paikkansa: n n n Kuitenkin jos n =, niin n n + = + = = eli kyseessä ei enää olekaan alkuluku. Luku n = kelpaa siten vastaesimerkiksi, joka näyttää, että väitelause Jos n N, niin n n + on alkuluku ei olekaan totta. Esimerkki.4.. Tarkastellaan väitelausetta On olemassa reaaliluku x, jolle pätee x 4 < x < x. Onko tämä väitelause tosi vai epätosi? Väitelauseen epätodeksi osoittamiseksi ei tässä tapauksessa riitä esimerkki luvusta x, joka ei toteuta ehtoja x 4 < x < x, sillä tällainen vastaesimerkki näyttäisi vasta, että väitelause Jokaiselle reaaliluvulle x pätee x 4 < x < x on epätosi. Sen sijaan on näytettävä, että ei ole olemassa reaalilukua x, jolle pätee x 4 < x < x, toisin sanoen, jokaiselle reaaliluvulle x pätee x 4 x tai x x. Todistetaan tämä jakamalla tarkastelu kolmeen tapaukseen: 45

47 . Jos x 0, niin x 4 0 x, eli erityisesti x 4 x.. Jos x ]0, ], niin x = x x x = x eli x x. 3. Jos x ], [, niin x 4 = x x x x x = x eli x 4 x. Näin on siis kaikki reaaliluvut käyty läpi, ja jokaisessa tapauksessa ainakin toinen epäyhtälöistä x 4 x tai x x on voimassa. Niinpä alkuperäinen väite On olemassa reaaliluku x, jolle pätee x 4 < x < x on nyt näytetty epätodeksi..5 Joukko-oppi ja todistaminen Seuraavaksi tutustumme siihen, miten joukko-oppiin liittyviä väitelauseita todistetaan. Avainasemassa ovat aiemmin annetut määritelmät joukkojen yhtäsuuruudelle, osajoukolle, leikkaukselle, yhdisteelle jne., sillä viime kädessä juuri määritelmät kertovat yksityiskohtaisesti mitä todistuksissa on pystyttävä osoittamaan. Esimerkki.5.. Olkoon A = { + n ( )n : n N}. Tällöin joukkoon A kuuluvat mm. alkiot 0, 3, ja 5, jotka saadaan kun n =,, 3, Osoitetaan, että A [, 3]. Todistus. Olkoon x mikä tahansa joukon A alkio. Tällöin on olemassa jokin n N siten, että x = n + ( )n. Todetaan ensin, että Toisaalta, jos n on parillinen, niin ja jos n on pariton, niin x = n + ( )n > ( ) n x = n + ( )n = n + + = 3, x = n + ( )n = n 0. Näin ollen, olipa n parillinen tai pariton, aina kuitenkin pätee x 3. Yhdistämällä tiedot x > ja x 3 saadaan x [, 3 ]. Nyt on siis todettu, että joukon A mielivaltainen alkio x välttämättä kuuluu välille [, 3], joten A [, 3]. Lause.5.. Kaikille joukoille A, B ja C pätee (a) A (B C) = (A B) (A C), (b) (A B) A B A. 46

48 Todistus. (a) Haluamme todistaa joukkojen A (B C) ja (A B) (A C) yhtäsuuruuden, eli sen, että niillä on täsmälleen samat alkiot: kaikille x on x A (B C) x (A B) (A C). Tämän todistaminen tapahtuu kahdessa osassa: : Osoitetaan, että A (B C) on joukon (A B) (A C) osajoukko: x A (B C) = x (A B) (A C). Todistus: Koska x A (B C), niin x A tai x (B C). Jos x A, niin yhdisteen määritelmän nojalla x A B ja x A C. Jos taas x B C, niin leikkauksen määritelmän nojalla tällöin x B ja x C. Tästä seuraa yhdisteen määritelmän nojalla, että x A B ja x A C. Siten kummassakin tapauksessa x (A B) (A C), kuten väitettiin. : Osoitetaan, että (A B) (A C) on joukon A (B C) osajoukko: x (A B) (A C) = x A (B C). Todistus: Koska x (A B) (A C), niin x A B ja x A C. Jos nyt x A, niin selvästi x A (B C). Jos taas x A, niin koska x A B ja x A C, on x B ja x C. Siten x B C, mistä seuraa, että x A (B C). Siten siis välttämättä x A (B C). ja yhdessä takaavat, että joukot ovat samat. (b) Koska on kyse ekvivalenssin eli yhtäpitävyyden todistamisesta, on tämäkin todistus tehtävä kahdessa osassa: : Jos (A B) A, niin B A. Todistus: Olkoon x B. Haluamme osoittaa, että x A. Koska x B, niin x A B, mistä oletuksen nojalla seuraa x A. Siten jokainen joukon B alkio x on välttämättä myös joukon A alkio eli B A. : Jos B A, niin (A B) A. Todistus: Olkoon x A B. Haluamme osoittaa, että x A. Koska x A B, niin x A tai x B. (Muista, että tähän sisältyy myös vaihtoehto, että x sisältyy molempiin joukkoihin.) Jos x A, niin todistushan on valmis! Jos taas x B, niin koska oletuksen mukaan B A, niin x A. Siispä molemmissa vaihtoehdoissa toteutui x A, joten olemme näyttäneet, että (A B) A. 47

49 Kohdat ja yhdessä osoittavat ekvivalenssin oikeaksi. Lause.5.3. Olkoot A, A, B ja B joukkoja siten, että A A ja B B. Tällöin A B A B. Todistus. On siis osoitettava, että (x, y) A B = (x, y) A B. Olkoon (x, y) mikä tahansa joukkoon A B kuuluva järjestetty pari. Karteesisen tulon määritelmän mukaan tämä tarkoittaa sitä, että x A ja y B. Oletusten mukaan A A ja B B, joten x A ja y B. Karteesisen tulon määritelmän perusteella siis (x, y) A B aivan kuten väitettiinkin. Esimerkki.5.4. Osoitetaan vastaesimerkillä, että yhtälö A (B C) = (A B) C ei aina päde. Valitaan esimerkiksi A = {, }, B = {, 3} ja C = {, 3}. Tällöin ja A (B C) = {, } {3} = {,, 3} (A B) C = {,, 3} {, 3} = {, 3}, joten A (B C) (A B) C näille joukoille A, B ja C. Harjoitustehtäviä. Olkoon A = { x x + : x R}. Osoita, että A [, ].. Olkoot A, B ja C joukkoja, joille pätee A \ B = C \ B. Osoita, että (C \ A) B. 3. Olkoot A, B ja C joukkoja. Osoita, että jos (A C) (B C), niin (A \ C) (B \ C). 4. Olkoon A, B ja C joukkoja, joille pätee (A \ B) C. Osoita, että tällöin (A \ C) (A B). 48

50 5. Muodosta seuraavien väitelauseiden negaatiot ja todista väitelauseet oikeaksi tai vääräksi. (a) Jokaiselle a N on olemassa luvut b, c N siten, että ab = c +. (b) Jos x, y R toteuttavat yhtälön x + 5y = y + 5x, niin x = y tai x + y = Muodosta seuraavien väitelauseiden negaatiot ja todista väitelauseet oikeaksi tai vääräksi. (a) Jokaisella x N on olemassa y N siten, että x y > 3. (b) Jos n N ja n, niin 4 n tai 4 (n )(n + ). 7. Osoita seuraavat väitelauseet oikeaksi tai vääräksi. (a) Jos a, b N, niin a + b < ab. (b) Jos a, b, c N ja a bc, niin a b tai a c. (c) On olemassa n N, n 4, siten, että n 5n + on alkuluku. 8. Olkoot seuraavassa A, B ja C joukkoja. Osoita seuraavat väitelauseet oikeaksi tai vääräksi. (a) Jos A (B C), niin A B tai A C. (b) Jos A = B \ C, niin B = A C. (c) Jos A B ja A C, niin B C. 9. Olkoot A, B ja C joukkoja. Osoita seuraavat väitelauseet oikeaksi tai vääräksi. (a) A \ (B \ C) (A \ B) (A \ C). (b) (A \ B) (A \ C) A \ (B \ C). 0. Olkoot seuraavassa A, B ja C joukkoja. Osoita seuraavat väitelauseet oikeaksi tai vääräksi. (a) Jos A B ja B C, niin A C. (b) Jos A B, niin (C \ B) (C \ A). 49

51 Luku 3 Funktioista 3. Funktioihin liittyviä peruskäsitteitä Funktio eli kuvaus on ehdottomasti yksi matematiikan keskeisimmistä käsitteitä. Matematiikan opiskelija törmää funktioihin jokaisella kurssilla, ja siksi funktioihin liittyvien määritelmien ja käsitteiden hallinta on erittäin tärkeää. Määritelmä 3... Olkoot A ja B mitä tahansa epätyhjiä joukkoja. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden joukon B alkion f(a). Tätä merkitään myös a f(a) (a A, f(a) B), ja sanotaan, että f(a) on funktion f arvo pisteessä a A, tai että f(a) on a:n kuva (tai kuvapiste) kuvauksessa f, tai että alkio (piste) a kuvautuu alkioksi (pisteeksi) f(a) kuvauksessa f. Joukkoa A kutsutaan kuvauksen f : A B määrittelyjoukoksi, ja joukkoa B kuvauksen maalijoukoksi. Huomautus 3... (a) Funktio muodostuu siis kolmikosta (f, A, B). Erityisesti funktiot f : A B ja g : C D ovat samat jos ja vain jos (i) A = C (sama määrittelyjoukko) (ii) B = D (sama maalijoukko) (iii) f(x) = g(x) kaikilla x A = C. Funktiot f : R R, f(x) = x ja g : R ]0, [, g(x) = x ovat siis (tarkkaan ottaen) kaksi eri funktiota, sillä niillä on eri maalijoukot. 50

52 (b) Jokaista alkiota x A vastaa täsmälleen yksi kuvapiste f(x) B. Sen sijaan, jos y B, niin (i) voi olla useampia joukon A alkioita x, joille f(x) = y. (ii) voi olla, että y ei ole minkään joukon A alkion kuvapiste. Esimerkki Funktioita ja esimerkkejä säännöistä, jotka eivät ole funktioita: (a) Olkoot A = {a, b, c} ja B = {,, 3, 4}. Määritellään funktio f : A B seuraavasti: f(a) =, f(b) = 3, f(c) =. Nyt siis f(a) = f(c), mutta tätä ei ole millään tavalla kielletty funktion määritelmässä. (b) Ympyräkiekon pinta-ala P riippuu ympyrän säteestä r kaavan P = πr mukaisesti. Tämä vastaavuus määrittelee funktion P : [0, [ [0, [, P (r) = πr. (c) Oletetaan, että kappaleen sijainnin xy-koordinaatistossa ajanhetkellä t kertoo funktio g : [, ] R, g(t) = (t, t 3 3t). Tällöin kappale lähtee hetkellä t = pisteestä g( ) = (4, ) ja päätyy hetkellä t = pisteeseen g() = (4, ) kulkien välillä t [, ] oheisen reitin mukaisesti: (d) Olkoon f : R R, f(x, y) = (x + y, x 3y). Siis esimerkiksi f(, ) = ( + ( ), 3 ( )) = (, 4). f(, ) = (5, ). 5

53 (e) Sääntö f : N Z, f(n) = n ei määrittele funktiota, sillä säännön n+ lukuun n liittämä arvo f(n) ei ole kokonaisluku (eli f(n) Z) jos esimerkiksi n =. Sen sijaan f : N Q, f(n) = n N. n n+ on funktio, sillä n n+ Q kaikilla (f) Oletetaan, että a, b Z ja b 0. Määritellään h: Q R asettamalla Onko h funktio? a b ab b + a +. Ei ole, sillä esimerkiksi alkioon = Q liitetään useampi kuin yksi 3 6 maalijoukon R alkio: = 3, = 4 3. (g) Määritellään f : Q R käyttämällä sääntöä Onko f funktio? Kyllä on. Jos p q = r s a b ab b + a. Q, niin r = ps q. Siten p q pq p + q ja r s rs r + s = ps q s p s q + s = s p q s ( p q + ) = pq p + q. Näin ollen yllä oleva sääntö liittää tietyn rationaaliluvun kaikkiin murtolukuesityksiin saman maalijoukon alkion, eli se todella määrittelee funktion rationaalilukujen joukolta reaalilukujen joukolle. 3.. Kuvajoukko ja alkukuva Määritelmä Olkoon f : A B funktio. Joukon A A kuvajoukko on joukko f(a ) = {f(x): x A } = {y B : on olemassa x A siten, että f(x) = y }, 5

54 ts. f(a ) on (osa)joukon A alkioiden kuvapisteiden muodostama joukko. Joukon B B alkukuva on joukko f { } (B ) = {x A : f(x) B } ts. f { } (B ) on (osa)joukkoon B kuvautuvien pisteiden muodostama joukko. Huomautus (i) Erityisesti f(a) = {f(a) : a A} B on kuvauksen f kuvajoukko eli arvojoukko. Nyt siis f(a) B, mutta ei tarvitse olla f(a) = B. Esimerkiksi tästä kelpaa funktio g : R R, g(x) = x, jolle g(r) = [0, [. (ii) Joukon B B alkukuva f { } (B ) kuvauksessa f : A B on aina määritelty (olivatpa f, A ja B mitä tahansa). Se voi olla tyhjä joukko, koko joukko A tai jotain näiden väliltä. Esimerkki Esimerkkejä kuvajoukoista ja alkukuvista. (a) Olkoot A = {a, b, c}, B = {,, 3, 4} ja määritellään kuvaus f : A B kuten Esimerkin 3..3 kohdassa (a): f(a) =, f(b) = 3, f(c) =. Olkoot U = {a, b}, U = {a, c}, V = {, 4} ja V = {, }. Tällöin f(u ) = {f(a), f(b)} = {, 3} f(u ) = {f(a), f(c)} = {} f { } (V ) = {x A: f(x) = tai f(x) = 4} = f { } (V ) = {a, c} Huomaa, että vaikka U = f { } (V ), niin f(u ) V. (b) Olkoon f : R R, f(x) = x. Olkoot U = [0, ] ja V = [, ]. Määritetään f(u) ja f { } (V ). Määritelmän mukaisesti f(u) = {f(x) : x U} = {x : x [0, ]} = [, ] 53

55 ja f { } (V ) = {x R : f(x) V } = {x R : x [, ]} = {x R : x } = {x R : x 3} = {x R : x 3} = [ 3, ] [, 3]. (c) Olkoon f : R R, f(x, y) = (x + y, x 3y). Olkoot Määritetään f(u) ja f { } (V ). ja U = {(x, y) R : y = 3 x + }, V = {(u, v) R : u = v}. f(u) = {f(x, y) : (x, y) U} = {(x + y, x 3y) : y = x +, x R} 3 = {(x + x +, x x 3) : x R} 3 = {( 7 x +, 3) : x R} 3 = {(u, v) R : v = 3, u R}. f { } (V ) = {(x, y) R : f(x, y) V } =u =v {}}{{}}{ = {(x, y) R : ( x + y, x 3y) V } = {(x, y) R : x + y = x 3y} = {(x, y) R : 4y = x} = {(x, y) R : y = 4 x}. (d) Olkoon f : [ 4, 4] R, f(x) = { x jos x > jos x. Määritetään joukon [, 3] [ 4, 4] kuvajoukko: f([, 3]) = { f(x) : x [, 3] } = { x : x [, 3] } = { x : x [, 3] } = [0, ]. 54

56 Määritetään joukon [0, 5] alkukuva: f { } ([0, 5]) = { x [ 4, 4] : f(x) [0, 5] } = { x [ 4, ] : f(x) [0, 5] } { x [, 4] : f(x) [0, 5] } = [ 4, ] { x [, 4] : x [0, 5] } = [ 4, ] { x [, 4] : 6 x tai x 6 } = [ 4, ] [, ] [, 4] = [ 4, ] [, 4]. (e) Kahden muuttujan funktion f : R R alkukuvia f { } (c), missä c R, kutsutaan funktion f tasa-arvojoukoiksi. Tasa-arvojoukko f { } (c) muodostuu siis niistä määrittelyjoukon pisteistä (x, y) R, joissa 55

57 funktio f saa arvon c. Oheisissa kuvissa on funktion f : R R, f(x, y) = (x + y ) kuvaaja ja muutamia sen tasa-arvojoukkoja. (f) Olkoon f : A B kuvaus, ja olkoot V B ja V B joukkoja siten, että V V. Tällöin f { } (V ) f { } (V ). Todistus. Olkoon x f { } (V ) mielivaltainen. Meidän on osoitettava, että x f { } (V ): Koska x f { } (V ), niin alkukuvan määritelmän mukaan f(x) V. Koska V V, niin tästä seuraa, että f(x) V. Siten alkukuvan määritelmän nojalla x f { } (V ), mikä haluttiinkin osoittaa. Huomautus Funktion kuvaaja on eri asia kuin kuvajoukko! 3.. Yhdistetty funktio Määritelmä Olkoot f : A B ja g : C D funktioita. Jos f(a) C, niin voidaan muodostaa yhdistettu funktio g f : A D, (g f)(x) := g(f(x)). 56

58 (Huomaa järjestys!) Huomautus Jos x A, niin f(x) f(a). Oletuksen f(a) C mukaan f(x) C, joten g(f(x)) on määritelty. Esimerkki Esimerkkejä kuvausten yhdistämisestä: (a) Olkoot Tällöin f : R R, f(x) = 3x + g : R R, g(x) = sin x f g : R R, (f g)(x) = f(g(x)) = f(sin x) = 3 sin x +, g f : R R, (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x + ) = sin(3x + ). Nyt esimerkiksi (f g)(0) = 3 sin 0+ = ja (g f)(0) = sin(3 0+) = sin , joten (f g)(0) (g f)(0). Näin ollen f g ja g f ovat eri funktioita, vaikka niillä onkin samat määrittely- ja maalijoukot. (b) Olkoot f : R R, f(x) = x ja g : [0, [ R, g(x) = x. Tällöin yhdistettyä kuvausta g f ei voida muodostaa, sillä f(r) [0, [. Nimittäin (g f)(x) = g(f(x)) = g( x) = x ei ole määritelty esimerkiksi, kun x =. (c) Olkoot f : R R, f(x, y) = x + y, g : R R, g(t) = (t, t). 57

59 Tällöin f g : R R, (f g)(t) = f(g(t)) = f(t, t) = t + t = t t + ja g f : R R, (g f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(x + y) = ((x + y), (x + y)) = (x + xy + y, x y). Siis yhdistetyt kuvaukset f g ja g f ovat molemmat olemassa, mutta kuvauksen f g sekä määrittely- että maalijoukko on R, kun taas kuvauksen g f kohdalla määrittely- ja maalijoukko on R. (d) Olkoot Tällöin f : R R, f(x, y) = x + y, g : R R, g(t) = t. g f : R R, (g f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(x + y) = x + xy + y, mutta yhdistettyä kuvausta f g ei voida muodostaa. Yhteenveto. Olkoot f ja g kuvauksia. (i) Yleensä ei ole olemassa yhdistettyjä kuvauksia f g tai g f. (ii) Vaikka esimerkiksi f g olisi olemassa, niin g f:n ei tarvitse olla määritelty. (iii) Vaikka f g ja g f olisivat molemmat määriteltyjä, niin ne yleensä eivät ole samat. (Kertaa mitä vaaditaan, jotta kuvaukset olisivat samat.) Esimerkki 3... Olkoon f : R R, f(x) = x +. Nyt voidaan muodostaa yhdistetty kuvaus ja edelleen f f : R R, (f f)(x) = f(f(x)) = f(x + ) = (x + ) + = x 4 + x + f (f f) : R R, f (f f)(x) = f(x 4 + x + ) ja niin edelleen. Usein merkitään f n = f f f }{{} n kpl ja sanotaan, että f n on f:n n:s iteraatio. = (x 4 + x + ) + = x 8 + 4x 6 + 8x 4 + 8x

60 Harjoitustehtäviä. Olkoon f : Z Z, f(k) = k +. Merkitään A = {,, 3, 4} ja B = {,, 0,, }. Määritä (a) kuvajoukot f(a) ja f(b). (b) alkukuvat f { } (A) ja f { } (B).. Määrittelevätkö seuraavat säännöt funktion? Perustele. (a) f : Q Q, f( m n ) = m+n n + kaikilla m n Q. (b) g : [, ] ]0, [, g(t) = 5t + 5t +. { x +, kun x > 3. Olkoon f : R R, f(x) =, Määritä kuvajoukko x, kun x. f([0, ]) ja alkukuva f { } ([, ]). 4. Olkoot f : R [0, ], f(x) = ja g : [0, ] [0, ], g(x) = x. x + Määritä seuraavista yhdistetyistä funktioista ne, jotka ovat määriteltyjä. (a) f g (b) g f (c) f f (d) g g 5. Olkoon seuraavassa f : R R funktio. Osoita seuraavat väitelauseet oikeaksi tai vääräksi. (a) Suljetulle välille [a, b] R pätee f([a, b]) = [f(a), f(b)]. (b) Jos joukoille B, B R pätee f { } (B ) = f { } (B ), niin B = B. 6. Olkoon f : A B funktio ja A A epätyhjä joukko. Osoita seuraavat väitteet todeksi tai epätodeksi. (a) A f { } (f(a )). (b) f { } (f(a )) A. 59

61 3. Kuvausten ominaisuuksia 3.. Injektio ja surjektio Olkoon f : A B funktio. Tällöin voi aivan hyvin löytyä kaksi eri pistettä a, a A niin, että f(a ) = f(a ). Toisaalta voi löytyä piste b B, jolle f(a) b kaikilla pisteillä a A, toisin sanoen mikään joukon A pisteistä ei kuvaudu pisteeksi b. Kuvaukset, joissa ei tapahdu jompaa kumpaa tai kumpaakaan näistä ilmiöistä, ovat matematiikassa erikoisasemassa. Esimerkki 3... Olkoon f : R R, f(x) = sin(x). Nyt ja f(0) = f(π) = f(4π) = 0 f(x) 0 kaikilla x R, sillä f(x) kaikilla x R. Funktio f on siis esimerkki kuvauksesta, jolla on molemmat edellä mainitut ominaisuudet. Määritelmä 3... Kuvaus f : A B on injektio, jos se kuvaa eri pisteet eri arvoiksi, eli jos kaikille a, a A pätee a a = f(a ) f(a ). Esimerkki (a) Kuvaus f : R R, f(x) = sin(x) ei ole injektio, sillä f(0) = f(π). (b) Olkoon A kaikkien Jyväskylän kaupungin asukkaiden muodostama joukko ja f : A N, f(a) = henkilön a sosiaaliturvatunnus. Mitä tarkoittaa injektiivisyys tämän funktion kohdalla? (c) Olkoot A = {a, a,..., a k } ja B = {b, b,..., b m }. Jos k > m, niin mikään funktio f : A B ei voi olla injektio. Todistus. Antiteesi: on olemassa funktio f : A B, joka on injektio. Tällöin siis f(a i ) f(a j ) aina kun i j, joten kuvajoukossa f(a) = {f(a i ): i =,..., a k } on täsmälleen k kappaletta alkioita. Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä f(a) B, joukossa B on m alkiota ja oletuksen mukaan m < k. Siispä antiteesin täytyy olla epätosi. Huomautus Funktio f : A B on injektio ehdosta f(a ) = f(a ) seuraa a = a kaikilla a, a A 60

62 Todistus. : Antiteesi: on olemassa a, a A siten, että f(a ) = f(a ), mutta a a. Tällöin f ei kuitenkaan voi olla injektio, sillä se kuvaa eri pisteet a ja a samaksi arvoksi. Niinpä antiteesi on epätosi ja väite totta. : Olkoot a, a A siten, että a a. Jos olisi f(a ) = f(a ), niin oletuksesta seuraisi a = a, mikä olisi ristiriita. Siispä f(a ) f(a ). Näin ollen f on injektio. Esimerkki Injektiivisyyden tutkiminen: (a) Tutki, onko kuvaus injektio vai ei. f : R R, f(x, y) = x y Ratkaisu: Käytetään edellisen huomautuksen kohtaa (ii). Oletetaan, että pisteparit (x, y), (x, y ) R ovat sellaisia, että f(x, y) = f(x, y ). Seuraako tästä, että (x, y) = (x, y )? f(x, y) = f(x, y ) x y = x y x x = y y. Huomaamme tästä, että yhtäsuuruus f(x, y) = f(x, y ) voi olla voimassa vaikka olisi x x ja y y. Esimerkiksi Siten f ei ole injektio. (b) Tutki, onko kuvaus injektio vai ei. f(, ) =, f(3, 4) =. f : R R, f(t) = (t, t 3 ) Ratkaisu: Olkoot t, s R siten, että f(t) = f(s). Seuraako tästä, että t = s? f on injektio. f(t) = f(s) (t, t 3 ) = (s, s 3 ) t = s ja t 3 = s 3 t = s. Injektiivisyyden ohella toinen tärkeä kuvausominaisuus on surjektiivisuus. Nämä kaksi ominaisuutta ovat toisistaan riippumattomia: injektiivisyyden perusteella ei voi (yleisesti ottaen) päätellä mitään kuvauksen surjektiivisuudesta, ja päinvastoin. 6

63 Määritelmä Kuvaus f : A B on surjektio, jos f(a) = B, eli jos jokaisella b B on olemassa ainakin yksi a A siten, että f(a) = b. Esimerkki Surjektioita ja ei-surjektioita: (a) Olkoon A kaikkien Jyväskylän kaupungin asukkaiden muodostama joukko ja f : A N, f(a) = henkilön a sosiaaliturvatunnus. Mitä tarkoittaa surjektiivisuus tämän funktion kohdalla? (b) Olkoot A = {a, a,..., a k } ja B = {b, b,..., b m }. Jos k < m, niin mikään funktio f : A B ei voi olla surjektio. Todistus. Antiteesi: on olemassa funktio f : A B, joka on surjektio. Tällöin siis jokaiselle b j B on olemassa (ainakin yksi) alkio a i(j) A siten, että f(a i(j) ) = b j. Lisäksi on oltava a i(j) a i(j ) aina kun j j, sillä muuten f ei olisi funktio. Siten joukossa A täytyy olla vähintään m eri alkiota. Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä oletuksen mukaan joukossa A on vain k kappaletta alkioita ja ja k < m. Siispä antiteesin täytyy olla epätosi. (c) Funktio f : R R, f(x) = sin x ei ole surjektio, sillä kuvajoukko f(r) = [, ] R. Sen sijaan funktio g : R [, ], g(x) = sin x on surjektio. Huomaa, että f ja g ovat eri funktioita! (d) Olkoon Onko f surjektio? f : R R, f(x, y) = x y. Olkoon t R mikä tahansa. Löytyykö lukuparia (x, y) R siten, että f(x, y) = t? f(x, y) = t x y = t. Jos valitaan (x, y) = (t, 0) R, niin silloin f(x, y) = f(t, 0) = t. Tämä voidaan tehdä kaikille t R, joten määritelmän mukaan f on surjektio. 6

64 (e) Olkoon Onko f surjektio? f : R R, f(t) = (t, t 3 ). Olkoon (x, y) R mikä tahansa tason pistepari. Löytyykö alkiota t R siten, että f(t) = (x, y)? f(t) = (x, y) (t, t 3 ) = (x, y) x = t ja y = t 3 = ( x) 3 = 8 x3. Mutta nyt (x, y) ei saa enää olla mielivaltainen, koska on oltava y = 8 x3. Esimerkiksi, jos on (x, y) = (, 0) (huomaa: 0 = 8 3 ), niin f(t) = (, 0) (t, t 3 ) = (, 0) t = ja t 3 = 0 t = ja t = 0 ristiriita! Koska siis f(t) (, 0) kaikilla t R, ei kuvaus f ole surjektio. Määritelmä Kuvaus f : A B on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Muista. Injektiivisyyteen ja surjektiivisuuteen liittyen on hyvä muistaa, että (i) injektiivisyys ja surjektiivisuus ovat toisistaan riippumattomia ominaisuuksia. Kumpikaan ei seuraa toisesta. (ii) yleensä kuvauksella ei ole kumpaakaan näistä ominaisuuksista. Esimerkki Funktio g : [0, ] [0, 4], g(x) = x on bijektio. Todistus. Todistetaan, että g on surjektio. Olkoon y [0, 4] mikä tahansa. Pitää löytää x [0, ] siten, että g(x) = y. Valitaan x = y. Koska 0 y 4, niin 0 y. Siis y [0, ]. Lisäksi Täten g on surjektio. g(x) = g( y) = ( y) = y. 63

65 Todistetaan, että g on injektio. Antiteesi: g ei ole injektio. On siis olemassa x, x [0, ] siten, että x x ja g(x ) = g(x ). Nyt 0 = g(x ) g(x ) = x x = (x x )(x + x ) Koska x x ja x, x [0, ], niin x + x 0. Siten on oltava x x = 0 eli x = x. Tämä on ristiriita, sillä antiteesin mukaan x x. Antiteesi on siis väärin ja g on injektio. Kohtien ja nojalla g on bijektio. 3.. Käänteisfunktio Olkoon f : A B funktio. Jos f on bijektio, eli siis sekä surjektio että injektio, niin jokaista b B vastaa täsmälleen yksi a A siten, että f(a) = b: surjektiivisuuden nojalla annetulle b B löytyy ainakin yksi tällainen alkio a A, ja injektiivisyys puolestaan takaa sen, ettei mikään muu joukon A piste voi kuvautua b:ksi. Siten on olemassa sääntö, joka liittää jokaiseen joukon B alkioon täsmälleen yhden joukon A alkion. Näin saadaan funktio g : B A, jolle g(b) = se yksikäsitteinen a, joka toteuttaa yhtälön f(a) = b. Määritelmä Olkoon f : A B kuvaus. Funktio g : B A on f käänteisfunktio, jos f(g(b)) = b kaikilla b B ja toisin sanoen g(f(a)) = a kaikilla a A, f g : B B on joukon B identtinen kuvaus ja g f : A A on joukon A identtinen kuvaus. Jos käänteiskuvaus on olemassa, se on yksikäsitteinen ja sitä merkitään symbolilla f : B A. Esimerkki 3... Funktion f : [0, ] [0, 4], f(x) = x käänteisfunktio on g : [0, 4] [0, ], g(y) = y, sillä f(g(y)) = f( y) = ( y) = y 64

66 kaikilla y [0, 4] ja g(f(x)) = g(x ) = x = x = x kaikilla x [0, ]. Yleensä annetulla kuvauksella ei ole käänteiskuvausta. Riittävä ja välttämätön ehto käänteiskuvauksen olemassaoloon on kuvauksen bijektiivisyys. Lause 3... Olkoon f : A B funktio. Tällöin on olemassa käänteisfunktio f : B A jos ja vain jos f on bijektio. Todistus. Oletus: On olemassa käänteisfunktio f : B A. Väite: Funktio f on injektio ja surjektio. Todistetaan, että f on injektio. Antiteesi: f ei ole injektio. On siis olemassa x, x A siten, että x x ja f(x ) = f(x ). Tällöin f (f(x )) = f (f(x )). Siten x = f (f(x )) = f (f(x )) = x eli x = x. Tämä on ristiriita, sillä antiteesin mukaan x x. Funktio f on siis injektio. Todistetaan, että f on surjektio. Olkoon y B. Haluamme löytää luvun x A, jolle f(x) = y. Nyt luku f (y) (käänteisfunktion f arvo pisteessä y) kuuluu joukkoo A ja f(f (y)) = y. Voimme siis valita x = f (y). Täten f on surjektio. Oletus: Funktio f on bijektio eli sekä surjektio että injektio. Väite: On olemassa käänteisfunktio f : B A. Todistus: Määritellään g : B A, g(y) = se yksikäsitteinen x jolle pätee f(x) = y. Tällöin g on funktio, sillä bijektiivisyyden nojalla jokaiselle y B on olemassa täsmälleen yksi x A, jolle f(x) = y. Lisäksi f(g(y)) = y kaikilla y B ja g(f(x)) = x kaikilla x A, joten g on funktion f käänteisfunktio. 65

67 Huomautus Olkoot f : A B bijektio. Tällöin sen käänteisfunktio f : B A on myöskin bijektio ja sen käänteisfunktio (f ) = f. Todistus. Määritelmän 3..0 mukaan funktio g : A B on funktion f : B A käänteisfunktio, jos kaikilla x A ja f (g(x)) = x g(f (y)) = y kaikilla y B. Molemmat ehdot toteutuvat, jos g = f. Siten f on funktion f käänteisfunktio. Lauseen 3.. nojalla f on bijektio. Esimerkki Olkoon f : R R, f(x) = 3x. Osoitetaan, että f on bijektio ja etsitään sen käänteiskuvaus. f on injektio: f(x) = f(y) = 3x = 3y = x = y. Siten ehdosta f(x) = f(y) seuraa aina x = y, eli kuvaus f on injektio. f on surjektio: Olkoon t R mielivaltainen. Halutaan löytää x R siten, että f(x) = t. f(x) = t 3x = t 3x = t + x = t+ 3. Siis f( t+ t+ ) = 3( ) = t. 3 3 Kohdista ja seuraa, että f on bijektio. Siten funktiolla f on käänteisfunktio ja se on sillä f : R R, f (t) = t + 3, ( ) t + f f (t) = f 3 f f(x) = f (3x ) = = 3( t + 3 ) = t, (3x ) + 3 = x. Huomaa, että käänteisfunktion lauseke löydettiin kuvauksen surjektiivisuuden osoittamisen yhteydessä. 66

68 Esimerkki Olkoon f : R R, { x x f(x) =, jos x, jos x =. Osoitetaan, että f on injektio. Olkoon x, x R siten, että f(x ) = f(x ). Osoitetaan, että x = x. Huomataan ensin, että f() = ja kaikilla x on f(x) = ( x) x = x. Täten riittää tutkia tilannetta x ja x. Koska f(x ) = f(x ) ja x x, niin = x = x x = x x x Siis f on injektio. Osoitetaan, että f on surjektio. Olkoon y R. Halutaan löytää x R siten, että f(x) = y. Jos y =, 67