1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5. 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field...
|
|
- Sakari Uotila
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sisältö 1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field Jaollisuus kokonaisalueessa Jako- ja Eukleideen algoritmit kokonaisalueessa Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Polynomien jaottomuudesta Symmetriset polynomit Kunnista Karakteristika Kuntalaajennus Kuntatorni Osamääräkunta Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Alkiolla laajentaminen Algebralliset kunnat 30 9 Algebralliset luvut A Lukukunnat Liittoluvut, kuntapolynomi
2 10.2 Diskriminantti Normi ja jälki Kokonaiset algebralliset luvut B Jaollisuus renkaassa Z K Eräs Diofantoksen yhtälö Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat Yksikköryhmä UFD/Eukleideen alue Gaussin kokonaisluvut/alkuluvut Reaaliset neliökunnat Yksikköryhmä UFD/Eukleideen alue Työkaluja Algebrallisia rakenteita Puoliryhmä, monoidi Ryhmä, Abelin ryhmä, Group Rengas, Ring Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field POTENSSI MONIKERTA Rengashomomorfiat Symmetriset peruspolynomit
3 1 Johdanto S ALGEBRALLISET LUVUT (5OP SYVENTÄVÄ) Aluksi kerrataan renkaiden ja kuntien perusteita, joista edetään kuntalaajennuksiin. Erityiseen tarkasteluun otetaan jaollisuus kokonaisalueessa, jonka sovelluksiin törmätään polynomialgebrassa ja kokonaisten algebrallisten lukujen teoriassa. Algebrallisten lukujen teoria lepää vahvasti polynomialgebraan, josta käsitellään polynomien nollakohtia ja jaollisuutta. Algebrallisen luvun määritelmä yleistetään kuntalaajennuksien algebrallisiin alkioihin, joista edetään algebrallisiin kuntiin. Tärkeinpinä algebrallisina kuntina saadaan lukukunnat, jotka ovat äärellisesti generoituja kompleksisten algebrallisten lukujen kunnan A alikuntia. Erityisesti tutkitaan neliökuntia. Edelleen tarkastellaan kokonaisten algebrallisten lukujen jaollisuutta ja tekijöihinjakoa, joita sovelletaan Diofantoksen yhtälöiden ratkaisemiseen. Osaamistavoitteeni: Kuten matematiikan opinnoissani yleensä pystyn ratkaisemaan aiheeseen liittyvia tehtäviä ja todistamaan keskeisia lauseita lähtien esitetyista määritelmista käyttäen kurssilla sovellettuja työkaluja. Tarkemmin; Esimerkiksi, läpäistyäni kurssin arvosanalla 1/5, tunnistan useimmat määritelmät ja pystyn ratkaisemaan niihin liittyviä perustehtäviä sekä toistamaan ymmärrettävästi lyhyehköjä todistuksia. Suoritettuani kurssin arvosanalla 5/5 ymmärrän hyvin esitetyt määritelmät ja niistä johdettujen lauseiden todistukset. Kykenen ratkaisemaan vaativia tehtäviä, joissa vaaditaan omintakeisia useampivaiheisia päättelyjä ja sopivien työkalujen soveltamista. Esitiedot: Algebra I ja II, Lineaarialgebra I ja II, Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I) Kirjallisuus: I.N. Stewart and D.O. Tall: Algebraic number theory. Daniel Marcus: Number fields. 3
4 J.B. Fraleigh: Abstract algebra. Michael Artin: Algebra. 1.1 Algebralliset luvut Määritelmä 1.1. Algebralliset luvut saadaan rationaalikertoimisten ei-vakiopolynomien nollakohtina. Esimerkki 1. Luvut 1; (1.1) i; (1.2) 2 1/ /2 ; (1.3) e iπ/m, m Z \ {0}; (1.4) sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; (1.5) ovat algebrallisia lukuja. Myös polynomiyhtälön 2 1/3 x /2 x + 1 = 0 (1.6) juuret ovat algebrallisia lukuja. Merkintä 1. Olkoon f : A B ja C B. Tällöin joukon C alkukuva on joukko f 1 (C) = {x A f(x) C}. (1.7) Erityisesti f 1 ({0}) = {x A f(x) = 0}. (1.8) Gauss todisti, että kompleksikertoimisella ei-vakiopolynomilla on aina asteen verran kompleksisia nollakohtia. Lause 1.1. ALGEBRAN PERUSLAUSE. Olkoon d = deg p(x) Z + ja p(x) = p 0 + p 1 x p d x d C[x], (1.9) 4
5 tällöin eli #p 1 ({0}) = deg p(x) = d (1.10) p(x) = p d (x α 1 ) (x α d ), α 1,...,α d C. (1.11) Tällä kurssilla keskitytäänkin kompleksisiin algebrallisiin lukuihin. 2 Perusteita Olkoon K kunta ja d Z +. Polynomi p(x) = p 0 + p 1 x x d K[x], d = deg p(x) 1, (2.1) on pääpolynomi. Käytetään astetta d olevien pääpolynomien joukolle merkintää K[x] d = {p(x) = p 0 + p 1 x x d K[x]}. (2.2) Määritellään (kompleksiset ) algebralliset luvut rationaalilukujen kunnan suhteen. Määritelmä 2.1. Joukko A d = {α C p(α) = 0, p(x) Q[x] d } (2.3) on korkeintaan astetta d olevien algebrallisten lukujen joukko. Edelleen A = d=1a d (2.4) on kaikkien (kompleksisten) algebrallisten lukujen joukko. Määritelmä 2.2. Olkoon K C ja p(x) K[x]. Tällöin Z(p) = p 1 ({0}) = {α C p(α) = 0} (2.5) on polynomin p(x) nollajoukko. Lause 2.1. A 1 = Q. (2.6) 5
6 Merkintä 2. Olkoon D Z. Tällöin Q( D) = {a + b D a,b Q}. (2.7) Lause 2.2. A 2 = D Z Q( D). (2.8) 3 Renkaat ja kunnat Tällä kurssilla tarkastellaan ykkösellisiä kommutatiivisia renkaita. Määritelmä 3.1. Ykkösellinen kommutatiivinen rengas R = (R, +, ), #R 1 on yhteenlaskun + suhteen ryhmä ja kertolaskun suhteen se toteuttaa aksiomit on A:n binäärioperaatio eli a b A a,b A. on assosiatiivinen eli a (b c) = (a b) c a,b,c A. on kommutatiivinen eli a b = b a a,b A. ykkösalkio = 1 A 1 a = a 1 = a a A. Distribuutiolaki a (b + c) = a b + a c a,b,c A. 6
7 Määritelmä 3.2. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.1) on renkaan R yksikköryhmä. Jos R = K kunta, niin K = K\{0}. 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain Määritelmä 3.3. Renkaan R alkio a 0 on nollantekijä, jos b R\{0} s.e. ab = 0 tai ba = 0. Määritelmä 3.4. Kommutatiivinen ykkösellinen rengas D on kokonaisalue, mikäli D:ssä ei ole nollantekijöitä eli ehdosta ab = 0 seuraa a = 0 tai b = 0 a,b D. 3.2 Kunta, Field Määritelmä 3.5. Kolmikko (K,+, ), #K 2 on kunta, jos: 1) (K,+) on Abelin ryhmä (additiivinen ryhmä), 2) (K, ) on Abelin ryhmä (multiplikatiivinen ryhmä), K = K\{0}. 3) a(b + c) = ab + ac, a,b,c K. Erityisesti, kunta on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Edelleen kunnassa on aina vähintään kaksi alkiota, nimittäin 0,1 K, Jaollisuus kokonaisalueessa Olkoon D kokonaisalue. Määritelmä 4.1. Olkoot a, b D. Tällöin b a c D : a = bc. (4.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor). 7
8 Merkitään: b a, kun b ei jaa a:ta. Esimerkki , 0 a 0. (4.2) Merkintä 3. Olkoot d,b D ja s N, tällöin d s b d s b ja d s+1 b. (4.3) Lemma 4.1. Olkoot a,b,c D,a 0. Tällöin ab = ac b = c. (4.4) Määritelmä 4.2. Alkiot a, b D ovat liitännäisiä eli a b u D : b = ua. (4.5) Lemma 4.2. Relaatio on ekvivalenssirelaatio. Todistus laskareissa. Merkintä 4. Alkion a D määräämä ekvivalenssiluokka on [a] = {a b b D}, (4.6) missä a on luokan [a] edustaja. Lemma 4.3. a 1 a 1 a D ; (4.7) [1] = D ; (4.8) [a] = a D ; (4.9) a b a b ja b a. (4.10) 8
9 Huom 1. Olkoon b D. Tällöin b = 1 b = u(u 1 b) u D. (4.11) Siten yksiköt ja alkion liitännäiset ovat aina tekijöinä. Määritelmä 4.3. Alkion b D triviaalit tekijät q ovat kaikki yksiköt ja liittännäiset eli alkiot q [1] ja q [b]. (4.12) Alkio j D,j 0,j / D on jaoton, mikäli sillä on vain triviaaleja tekijöitä eli q j q [1] tai q [j]. (4.13) Alkio p D,p 0,p / D on alkualkio, mikäli p ab p a tai p b a, b D. (4.14) Merkintä 5. Asetetaan J D = {j D j on jaoton} (4.15) ja P D = {p D j on alkualkio}. (4.16) Lemma 4.4. Olkoot a,b D ja j,h J D. Tällöin j = ab a 1 tai b 1. (4.17) j = bh, b 1. (4.18) Määritelmä 4.4. Olkoot a,b D annettu. Tällöin alkio d D on alkioiden a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) eli d =syt(a,b) = (a,b) mikäli d a ja d b; (4.19) c a ja c b c d. (4.20) Jos (a,b) 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään (a,b) = 1 tai a b. 9
10 Määritelmä 4.5. Olkoot a,b D annettu. Tällöin alkio f D on alkioiden a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a,b] = [a,b] mikäli a f ja b f; (4.21) a g ja b g f g. (4.22) Esimerkki 3. (0,0) = 0, [0,0] = 0. (4.23) Lemma 4.5. Olkoot a D ja j J D. Tällöin j a (a,j) = 1. (4.24) Määritelmä 4.6. Alkion a D esitys jaottomien alkioiden tulona on yksikäsitteinen, jos ehdosta a = j 1 j r = h 1 h s, j l,h k J D (4.25) seuraa r = s ja h k j l k = 1,...,r jollakin l = 1,...,r. (4.26) Määritelmä 4.7. Kokonaisalue D on UFD eli yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue, jos jokainen alkio a D,a 0,a / D voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa a = j 1 j r, j i J D. (4.27) Huom 2. Yksikäsitteisessä tekijöihinjaon alueessa esitystä (4.27) sanotaan alkion a alkutekijähajotelmaksi. Lause 4.1. Olkoon D kokonaisalue. A. P D J D (4.28) eli alkualkiot ovat jaottomia. B. D = UFD J D P D (4.29) 10
11 eli UFD:n jaottomat alkiot ovat alkualkiota ja tällöin J D = P D. C. J D P D D = UFD. (4.30) 4.1 Jako- ja Eukleideen algoritmit kokonaisalueessa Olkoon nyt D kokonaisalue, jossa on ns. Eukleideen funktio E : D N { } eli pätee Jakoalgoritmi: Jos a,b D on annettu ja ab 0, 0 E(b) E(a), niin q,r D s.e. (J.A.) a = qb + r ja E(r) < E(b). (4.31) Tälläista aluetta sanotaan Eukleideen alueeksi. (huomaa, että Eukleideen funktion määritelmä vaihtelee.) Esimerkki 4. a)d = Z, b)d = K[x], E(k) = k. E(p(x)) = deg p(x). Jakoalgoritmin nojalla saadaan Eukleideen algoritmi=e.a.: r 0 = a, r 1 = b E(r 1 ) < E(r 0 ) r 0 = q 1 r 1 + r 2 E(r 2 ) < E(r 1 ). r k = q k+1 r k+1 + r k+2 E(r k+2 ) < E(r k+1 ). r n 1 = q n r n n N : r n 0, r n+1 = 0 r n = syt(a,b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus. Asetetaan nyt R k = r k, Q k = q k 1, k N, 1 0 r k+1 11
12 jolloin Nähdään, että det Q k = 1, Q 1 k = q k (E.A.) R k = Q k+1 R k+1, k = 0,...,n 1, jolloin pätee Merkitään ja jolloin Nyt eli Edelleen 1) R 0 = Q 1 Q 2...Q k R k. S 0 = s 0 t 0 = 1 0 s 1 t t k S k = s k = Q 1 k...q 1 2 Q 1 1, s k+1 t k+1 2) R k = S k R 0. 3) S k+1 = Q 1 k+1 S k s k+1 t k+1 = 0 1 s k t k s k+2 t k+2 1 q k+1 s k+1 t k+1 4) s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0,1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0,1,... 5) syt(a,b) = s n a + t n b, missä n on E.A:n pituus. Lause 4.2. Olkoon D Eukleideen alue. Tällöin J D P D (4.32) 12
13 eli jaottomat alkiot ovat alkualkioita. Edelleen, Eukleideen alue on UFD. Seuraus A. Z on UFD, missä jaottomat alkiot ovat alkualkioita. B. K[x] on UFD, missä jaottomat alkiot ovat alkualkioita. 5 Polynomialgebraa Olkoon R ykkösellinen rengas. Tällöin n R[x] = {P(x) P(x) = p k x k ; p k R, n N} (5.1) on R-kertoimisten polynomien joukko. k=0 Määritelmä 5.1. Jos p n 0, niin polynomin aste on deg P(x) = n, (5.2) lisäksi asetetaan Määritelmä 5.2. Olkoot jolloin asetetaan deg 0(x) =. (5.3) n P(x) = p k x k, k=0 n Q(x) = q k x k R[x], k=0 P(x) = Q(x) k(p k = q k ); P(x) + Q(x) = k 0(p k + q k )x k ; P(x)Q(x) = k 0r k x k, 13
14 missä r k = joka on Cauchyn kertosääntö. k p i q k i = p i q j, (5.4) i=0 i+j=k Tällöin R[x] on rengas, missä 0(x) = x + 0 x (5.5) on nolla-alkio ja 1(x) = x + 0 x (5.6) on ykkösalkio. Lause 5.1. Olkoon D kokonaisalue ja P(x), Q(x) D[x]. Tällöin deg P(x)Q(x) = deg P(x) + deg Q(x). (5.7) Todistus laskareissa. Lause A. Olkoon R = D kokonaisalue. Tällöin polynomirengas D[x] on kokonaisalue. B. Olkoon R = K kunta. Tällöin polynomirengas K[x] on kokonaisalue. Lause A. Polynomirenkaan K[x] yksikköryhmä on K eli K[x] = K. (5.8) B. Polynomi p(x) K[x]\K on jaoton täsmälleen silloin, kun sen ainoat tekijät ovat vakioita tai polynomeja k p(x), missä k K. C. Edelleen, polynomi p(x) K[x] on jaollinen täsmälleen silloin, kun sillä on tekijä d(x) K[x], jolle pätee 1 deg d(x) deg p(x) 1. (5.9) D. Erityisesti ensimmäisen asteen polynomit ovat jaottomia. 14
15 Lause 5.4. JAKOALGORITMI. Olkoon a(x), b(x) K[x], a(x)b(x) 0(x) ja deg b(x) deg a(x). Tällöin q(x), r(x) K[x] s.e. [J.A.] a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). (5.10) Polynomien a(x) ja b(x) suurin yhteinen tekijä d(x) = s.y.t.(a(x),b(x)) voidaan valita pääpolynomiksi. Eukleideen algoritmin nojalla saadaan, että on olemassa sellaiset polynomit s(x),t(x) K[x], että d(x) = s(x)a(x) + t(x)b(x). (5.11) Määritelmä 5.3. Polynomin n p(x) = p k x k K[x] k=0 (formaali) derivaatta Dp(x)on polynomi n Dp(x) = kp k x k 1 K[x]. (5.12) k=1 Lemma 5.1. deg Dp(x) = deg p(x) 1, deg p(x) 1; (5.13) p(x) Dp(x). (5.14) Lause 5.5. Olkoon K kunta, chark = 0, p(x), g(x), h(x) K[x]. Tällöin p = g 2 h, g 1 d = syt(p,dp) 1. (5.15) Siten polynomi on neliövapaa täsmälleen silloin kun sillä ei ole yhteisiä tekijöitä derivaattansa kanssa. 15
16 Esimerkki 5. Olkoon p(x) = x 5 + 2x 3 + x Q[x]. Laskemalla saadaan syt(p, Dp) 1 (5.16) polynomilla p(x) on useampikertainen tekijä renkaassa Q[x]. 5.1 Polynomien nollakohdista Lause 5.6. Olkoon K kunta ja p(x) K[x], 1 deg p(x). Tällöin Laajennetaan Määritelmää 2.2. p(α) = 0, α K (x α) p(x). (5.17) K[x] Määritelmä 5.4. Olkoon K L kuntia ja p(x) K[x]. Tällöin on polynomin p(x) nollajoukko L:ssä. Z L (p) = {α L p(α) = 0} (5.18) Määritelmä 5.5. Olkoon α L, K L kuntia ja p(x) K[x]. Jos (x α) m p(x), m N, (5.19) L[x] niin m = m L (α,p(x)) on polynomin p(x) nollakohdan α L kertaluku. Edelleen n L (p(x)) = nollakohtien lukumäärä joukossa L. p(α i)=0, α i L Lause 5.7. Olkoon α K ja p(x) K[x] ja m N. Tällöin m L (α i,p(x)). (5.20) (x α) m p(x) (5.21) K[x] D k p(α) = 0 k = 0,...,m 1,D m p(α) 0. (5.22) Käytä Leibnitzin kaavaa D k (ab) = k i=0 ( ) k D i ad k i b. (5.23) i 16
17 Esimerkki 6. Olkoon p(x) = (x 1) 3 (x + 1/2) 5. Polynomin p(x) nollakohdat ovat α 1 = 1 ja α 2 = 1/2. Nollakohtien kertaluvut ovat m Q (α 1,p(x)) = 3, m Q (α 2,p(x)) = 5 (5.24) ja nollakohtien lukumäärä n Q = = 8. (5.25) Esimerkki 7. Olkoon (x 2 + 1)(x 2 2) R[x]. Nyt nollakohtien lukumäärät ovat n Q = 0 < 4 = deg p(x). (5.26) n R = m( 2) + m( 2) = 2 < 4 = deg p(x). (5.27) n C = 4 = deg p(x). (5.28) Lause 5.8. Olkoon K kunta, p(x) K[x] ja deg p(x) 1. Tällöin pätee n K (p(x)) deg p(x). (5.29) Lause 5.9. Olkoon p(x) C[x], deg p(x) 1, tällöin n C (p(x)) = deg p(x). (5.30) Lause Olkoot K L kuntia, p(x) K[x] ja p(x) J K[x]. Tällöin m L (α,p(x)) 1 α L. (5.31) Lause Olkoon K kunta, p(x),q(x) K[x], p(x) J K[x] sekä p(α) = q(α) = 0. Tällöin p(x) q(x). (5.32) K[x] 17
18 5.2 Polynomien jaottomuudesta Seuraavassa käytetään jakojäännösluokkia a Z n. Huomaa, että kun p P, niin Z p on kunta. Määritelmä 5.6. Olkoon n Z 2 ja a(x) = a 0 + a 1 x a d x d Z[x]. Kuvaus r n (a 0 + a 1 x a d x d ) = a 0 + a 1 x a d x d (5.33) r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on reduktio (mod n). Lause Reduktio r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on rengasmorfismi. Määritelmä 5.7. Polynomi a(x) = a 0 +a 1 x+...+a A x A Z[x] on primitiivinen, jos syt(a 0,...,a A ) = 1. (5.34) Joskus vaaditaan, että primitiiviselle polynomille pätee lisäksi a A 1. Lemma 5.2. Olkoot b(x) ja c(x) primitiivisiä. Tällöin b(x)c(x) on primitiivinen Olkoon a(x) = b(x)c(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x] (5.35) ja syt(a 0,...,a A ) = d 2 p P, p d. (5.36) Otetaan reduktio (mod p), jolloin a(x) = 0(x) = b(x)c(x) Z p [x]. (5.37) Nyt Z p [x] on kokonaisalue, joten b(x) = 0(x) tai c(x) = 0(x). (5.38) 18
19 Siten p syt(b 0,...,a B ) tai p syt(c 0,...,c C ) (5.39) mikä on ristiriita. Lemma 5.3. Olkoon b(x) = b 0 + b 1 x b B x B Q[x] ja m Z + pienin, jolle pätee mb 0,...,mb B Z, D = syt(mb 0,...,mb B ). (5.40) Tällöin polynomi ( m Db)(x) on primitiivinen. Todistus laskareissa. Lause Gaussin lemma. Olkoon a(x) Z[x] primitiivinen ja deg a(x) 2. Jos a(x) jakaantuu polynomirenkaassa Q[x], niin on olemassa sellaiset primitiiviset polynomit b(x), c(x) Z[x], että a(x) = b(x)c(x). (5.41) Gaussin lemman nojalla polynomin a(x) Z[x] jaollisuutta voidaan tarkastella polynomirenkaassa Z[x]. Siten polynomi on jaoton renkaassa Q[x], jos se on jaoton renkaassa Z[x]. Lause Olkoot p P, a(x) Z[x], a(x) Z p [x] ja A = deg a(x) = deg a(x). Jos a(x) on jaoton polynomirenkaassa Z p [x], niin a(x) on jaoton polynomirenkaassa Q[x]. Vastaoletus eli olkoon a(x) = b(x)c(x), B = deg b(x) 1, C = deg c(x) 1. (5.42) Otetaan reduktio (mod p), jolloin a(x) = b(x)c(x) Z p [x]. (5.43) Koska deg b(x) B, deg c(x) C (5.44) 19
20 ja niin deg b(x) + deg c(x) = deg a(x) = A, (5.45) deg b(x) = B 1, deg c(x) = C 1. (5.46) Siten a(x) jakaantuu polynomirenkaassa Z p [x]. Ristiriita. Lause Eisensteinin kriteeri. Olkoon a(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x], deg a(x) = A 2. Jos on olemassa sellainen p P, että p a i i = 0,1,...,A 1, p 2 a 0, p a A, (5.47) niin a(x) on jaoton polynomirenkaassa Q[x]. Olkoon a(x) = b(x)c(x) Z[x] (5.48) eli a 0 + a 1 x a A x A = (b 0 + b 1 x b B x B )(c c C x C ) (5.49) ja Nyt B = deg b(x) 1, C = deg c(x) 1, B + C = A. (5.50) p a 0 = b 0 c 0, p 2 a 0 joko p b 0 tai p c 0. (5.51) Tarkastellaan tapaus Koska p b 0 ja p c 0. (5.52) p a 1 = b 0 c 1 + b 1 c 0, p b 1 (5.53)... 20
21 p a B = b 0 c B b B c 0, p b B. (5.54) Mutta a A = b B c C, p a A. (5.55) Ristiriita. Lause Olkoon a(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x] ja tällöin a(r/s) = 0, r,s Z, r s, (5.56) r a 0, s a A, (5.57) Tämän avulla voidaan etsiä polynomin mahdolliset rationaali-nollakohdat. Lause Olkoon K kunta, p(x) K[x], p(x) J K[x], deg p(x) = d ja k K. Tällöin p (x) = x d p(1/x) J K[x], p k (x) = p(x + k) J K[x]. (5.58) Todistus laskareissa. Esimerkki x 14x 3 + 2x 5 J Q[x] ; (5.59) Esimerkki 9. Olkoon p P. 2 14x 2 + 7x 4 + 7x 5 J Q[x] ; (5.60) 2 14(x 1) 2 + 7(x 1) 4 + 7(x 1) 5 J Q[x] ; (5.61) 1 + x + x x p 1 J Q[x]. (5.62) 21
22 5.3 Symmetriset polynomit Määritelmä 5.8. Olkoon R rengas. Formaali lauseke P(t 1,...,t m ) = p i1,...,i m t i1 i t im m, p i1,...,i m R (5.63) Finite on m. muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä t 1,...,t m ovat polynomin muuttujia. Polynomin P aste on deg P(t 1,...,t m ) = max{i i m }. (5.64) Käytetään kaikkien R-kertoimisten polynomien joukolle merkintää R[t 1,...,t m ]. (5.65) Joukkoon R[t 1,...,t m ] voidaan määritellä luonnollisella tavalla identtisyys sekä yhteen- ja kertolaskut. Tällöin kolmikko (R[t 1,...,t m ],+, ) on rengas. Nimittäin, olkoon < i 1,...,i m > termin p i1,...,i m t i1 i t im m eksponentti. Tällöin termejä voidaan vertailla kuten yhden muuttujan tapauksessa vastinpotensseja. Olkoon S M joukon {1,2,...,m} permutaatioryhmä. Jos λ S m, niin merkitään p λ (t 1,...,t m ) = p(t λ(1),...,t λ(m) ). (5.66) Määritelmä 5.9. Polynomi p on symmetrinen, jos Määritelmä Polynomit p(t λ(1),...,t λ(m) ) = p(t 1,...,t m ) λ S m. (5.67) 1 j 1<j 2<...<j k m ovat symmetriset perusfunktiot. s k = s k (t 1,...,t m ) = (5.68) t j1 t j2 t jk, k = 1,...,m, Lemma 5.4. Symmetriset perusfunktiot s 1,...,s m ovat symmetrisiä polynomeja eli aina, kun k = 1,...,m. s k (t λ(1),...,t λ(m) ) = s k (t 1,...,t m ) λ S m (5.69) 22
23 Siten polynomeja s 1 = t t m ; (5.70) s 2 = t 1 t 2 + t 1 t t m 1 t m ; (5.71) s 3 = t 1 t 2 t 3 + t 1 t 2 t t m 2 t m 1 t m ; (5.72)... s m = t 1 t 2 t m 1 t m ; (5.73) voidaan kutsua myös symmetrisiksi peruspolynomeiksi. Lause Symmetristen polynomien peruslause. Jokainen renkaan R[t 1,...,t m ] symmetrinen polynomi S(t 1,...,t m ) voidaan esittää symmetristen perusfunktioiden s 1 = s 1 (t 1,...,t m ),...,s m = s m (t 1,...,t m ) polynomina eli on olemassa sellainen P(s 1,...,s m ) R[s 1,...,s m ], että S(t 1,...,t m ) = P(s 1 (t 1,...,t m ),...,s m (t 1,...,t m )). (5.74) Olkoot S R renkaita. Oletetaan, että polynomi a(x) = a 0 +a 1 x+...+x m S[x] jakaantuu polynomirenkaassa R[x] seuraavasti a(x) = (x α 1 ) (x α m ), α 1,...,α m R. (5.75) Lause Olkoon b(t 1,...,t m ) S[t 1,...,t m ] symmetrinen polynomi. Tällöin b(α 1,...,α m ) S. (5.76) Olkoot K L kuntia. Oletetaan, että polynomi a(x) = a 0 + a 1 x a m x m K[x] jakaantuu polynomirenkaassa L[x] seuraavasti a(x) = a m (x α 1 ) (x α m ), α 1,...,α m L. (5.77) Lause Olkoon b(t 1,...,t m ) K[t 1,...,t m ] symmetrinen polynomi. Tällöin b(α 1,...,α m ) K. (5.78) 23
24 Esimerkki 10. Olkoon x 2 + bx + c = (x α)(x β) Q[x]. (5.79) Tällöin α 2 + β 2 Q, (5.80) α 3 + 2αβ + β 3 Q. (5.81) 6 Kunnista Olkoon K kunta; 0,1 K; Karakteristika Määritelmä 6.1. Kunnan K karakteristika p p P : p1 = 0; char K = 0 n Z + : n1 = Kuntalaajennus Määritelmä 6.2. Kunta K on kunnan L alikunta eli kunta L on kunnan K laajennus K ja L ovat kuntia sekä K L. Tällä kurssilla kuntalaajennukselle käytetään merkintöjä L : K ja K L. Kun L : K, niin L voidaan tulkita lineaariavaruudeksi kunnan K yli asettamalla yhteenlasku L L L, (α,β) α + β; (6.1) ja skalaarilla r K kertominen K L L, (r,α) rα (6.2) käyttäen kunnan L yhteen- ja kertolaskuja. Määritelmä 6.3. Kuntalaajennuksen aste eli [L : K] = dim K L. Äärellinen, jos [L : K] <. 24
25 6.3 Kuntatorni Jos K M L, niin kuntaa M sanotaan välikunnaksi. L 1 L 2 L 3 K K L 3 L 1 ja K L 3 L 2 Lause 6.1. Olkoon K M L kuntatorni. Tällöin [L : K] = [L : M][M : K]. (6.3) 6.4 Osamääräkunta Tarkennetaan hieman rationaalilukujen ja rationaalifunktioiden käsitteitä ja sitä kautta niillä operointia. Määritelmä 6.4. Olkoon D kokonaisalue ja a,b,c,d D, bd 0. Asetetaan relaatio (a,b) (c,d) ad = bc. (6.4) Lause 6.2. Relaatio on ekvivalenssirelaatio joukossa D (D \ {0}) = D. Määritelmä 6.5. Ekvivalenssiluokille [a,b] = {(c,d) D (c,d) (a,b)} sovitaan yhteenlasku [a 1,b 1 ] + [a 2,b 2 ] = [a 1 b 2 + a 2 b 1,b 1 b 2 ] (6.5) ja kertolasku [a 1,b 1 ][a 2,b 2 ] = [a 1 a 2,b 1 b 2 ] (6.6) aina, kun (a 1,b 1 ),(a 2,b 2 ) D. 25
26 Merkitään vielä a/b = a b = [a,b] ja Q(D) = {a/b (a,b) D}. Voidaan todistaa, että Lause 6.3. Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta (quotient field, field of fractions). Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a = a/1. Edelleen ab 1 = a ( ) 1 b = a b = a b { a 1 a D} = D, (6.7) (6.8) ESIM: a) Olkoon D = Z, joka on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta Q(Z), jonka avulla rationaalilukujoukko saadaan määriteltyä tarkasti. Määritelmä 6.6. Rationaalilukujen kunta Q = Q(Z). ja laventamislaki seuraa suoraan määritelmästä Nyt rationaalilukujen supistamisac bc = a b a b = da db b.) Olkoon K kunta, jolloin polynomirengas D = K[x] on kokonaisalue. (6.9) (6.10) Määritelmä 6.7. Rationaalifunktioiden kunta K(x) = Q(K[x]). Tällöin pätevät ylläesitetyt supistussäännöt, jolloin mm. (x 2 1)x (x 1)x 2 = x + 1 = x x. (6.11) c.) Olkoon K kunta, jolloin formaalien sarjojen joukko D = K[[T]] on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta, joka on isomorfinen aikaisemmin määritellyn formaalien Laurentin sarjojen kunnan kanssa eli 26
27 Lause 6.4. K((T)) = Q(K[[T]]). (6.12) Näillä rakenteilla on seuraavat suhteet: K[T] K(T) K((T)), (6.13) Määritelmä 6.8. Formaali derivaatta K[T] K[[T]] K((T)). (6.14) D : K((T)) K((T)) on lineaarinen kuvaus, jolle pätee DT k = kt k 1 k Z. (6.15) 7 Algebralliset luvut 7.1 Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Määritelmä 7.1. Olkoot K L kuntia ja α L. Jos on olemassa sellainen p(x) K[x] \ K, että p(α) = 0 (7.1) niin α on algebrallinen kunnan K suhteen (yli). Muutoin α on transkendenttinen kunnan K suhteen. Esimerkki 11. A. Tiedetään, että π on transkendenttinen rationaalilukujen kunnan Q suhteen. B. Koska p(π) = 0, p(x) = x π R[x], (7.2) niin välittömästi nähdään, että π on algebrallinen reaalilukujen kunnan R suhteen. 27
28 Määritelmä 7.2. Olkoot K L kuntia ja α L. Algebrallisen luvun α minimipolynomi on asteeltaan pienin mahdollinen pääpolynomi M α (x) K[x] \ K, jolle pätee M α (α) = 0. (7.3) Olkoon deg M α (x) = n, tällöin algebrallisen luvun α aste kunnan K yli on deg α = deg K α = n. (7.4) Lause 7.1. Olkoon K L kuntia ja α L. Algebrallisen luvun α minimipolynomi M α (x) K[x] n on yksikäsitteinen ja jaoton polynomirenkaassa K[x]. Määritelmä 7.3. Olkoon α C astetta deg α = n oleva algebrallinen luku kunnan Q yli. Tällöin sanotaan, että α on astetta deg α = n oleva algebrallinen luku. Jos α C ei ole algebrallinen luku, niin α on transkendenttiluku. Olkoon α on astetta deg α = n oleva algebrallinen luku. Tällöin α:n minimipolynomi M α (x) Q[x] n on jaoton polynomirenkaassa ja sen aste deg M α (x) = n. Siten astetta n olevan algebrallisen luvun minimipolynomi on muotoa M α (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Q, (7.5) oleva jaoton pääpolynomi. Määritelmä 7.4. Olkoon α C astetta deg α = n oleva algebrallinen luku, jonka minimipolynomi M α (x) Z[x] n. (7.6) Tällöin α on astetta deg α = n oleva kokonainen algebrallinen luku. Siten kokonaisen astetta n olevan algebrallisen luvun minimipolynomi on muotoa M α (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Z, (7.7) oleva jaoton pääpolynomi. 28
29 Esimerkki on 2. asteen kokonainen algebrallinen luku. (7.8) Esimerkki 13. x 3 2 = (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 ) (7.9) Lauseen 5.10 nojalla jaottomalla polynomilla nollakohdat ovat erillisiä. Olkoot minimipolynomin M α (x) nollakohdat α 1 = α,...,α n C. Määritelmä 7.5. Algebrallisen luvun α liittoluvut eli konjugaatit ovat minimipolynomin M α (x) nollakohdat α 1,...,α n C. (7.10) Määritelmä 7.6. Algebrallisen luvun α liittolukuihin liittyvät monomorfiat ovat kuntamorfismit σ 1,...,σ n : Q(α) C; (7.11) σ i (α) = α i, i = 1,...,n. (7.12) 7.2 Alkiolla laajentaminen Määritelmä 7.7. Olkoon S R rengaslaajennus ja α 1,...,α m R. Tällöin asetetaan S[α 1,...,α m ] = V, (7.13) S {α 1,...,α m} V R joka on suppein R:n alirengas sisältäen alirenkaan S sekä alkiot α 1,...,α m. Nähdään, että S[α 1,...,α m ] koostuu alkioiden α 1,...,α m polynomilausekkeista. Erityisesti S[α] = {s 0 + s 1 α + s 2 α s n α n s i S, n N} (7.14) on yhden muuttujan α polynomirengas. 29
30 Määritelmä 7.8. Olkoon K L kuntalaajennus ja α 1,...,α m L. Tällöin asetetaan K,α 1,...,α m = M, (7.15) K {α 1,...,α m} M L joka on suppein L:n alikunta sisältäen alikunnan K sekä alkiot α 1,...,α m. Lause 7.2. Lause 7.3. K,α = K(α) = K,α 1,...,α m = K(α 1,...,α m ) = (7.16) { } A B A,B K[α 1,...,α m ], B 0. { } A(α) A(α),B(α) K[α], B 0. (7.17) B(α) Lause 7.4. Jos α on transkendenttinen K:n suhteen, niin eli renkaat K[α] ja K[x] ovat isomorfiset. Edelleen eli kunnat K(α) ja K(x) ovat isomorfiset. K[α] = K[x] (7.18) K(α) = K(x) (7.19) 8 Algebralliset kunnat Määritelmä 8.1. Kuntalaajennus L : K on algebrallinen, jos jokainen L:n alkio on algebrallinen K:n suhteen. Merkintä 6. Kα Kα m = {k 1 α k m α m k 1,...,k m K}. (8.1) Lause 8.1. Olkoon L : K ja β L. Tällöin A. deg K β = s dim K K[β] = s; (8.2) B. Jos β on algebrallinen K:n suhteen, niin K[β] on kunta; C. [L : K] = r < deg K β = s r; (8.3) D. Äärellinen kuntalaajennus L : K on algebrallinen. 30
31 Lause 8.2. Olkoon L : K, α L algebrallinen K:n yli ja deg K α = n. Tällöin A. K,α = K[α] = K + Kα Kα n 1 ; (8.4) B. [ K,α : K] = deg K α = n; (8.5) C. β K,α deg K β = k n; (8.6) D. Kuntalaajennus K,α on algebrallinen. Lauseen 7.3 nojalla K,α = K(α) = { } A(α) A(α),B(α) K[α], B 0. (8.7) B(α) mutta Lauseen 8.2 A. kohdan nojalla algebrallisen luvun määräämässä laajennuskunnassa kaikki α:n rationaalilausekkeet palautuvat α:n polynomilausekkeiksi. Esimerkki 14. Lauseen 8.2 C. kohdan nojalla saadaan 2 1/3 / Q(2 1/2 ), 2 1/2 / Q(2 1/3 ). (8.8) Siten polynomilla x 3 2 ei ole nollakohtia kunnassa Q( 2), (8.9) joten x 3 2 on jaoton polynomirenkaassa Q( 2)[x]. (8.10) Niinpä josta edelleen eli [ Q,2 1/2,2 1/3 : Q] = 6, (8.11) Q,2 1/2,2 1/3 = Q,2 1/6 (8.12) Q(2 1/2,2 1/3 ) = Q(2 1/6 ). (8.13) 31
32 Lemma 8.1. Olkoot [ K,α i : K] = n i, i = 1,...,r. (8.14) Tällöin [ K,α 1,...,α r : K] n 1 n r. (8.15) Lause 8.3. Kuntalaajennus L : K on äärellinen täsmälleen silloin kun L = K,α 1,...,α r ja L on algebrallinen K:n yli. 9 Algebralliset luvut A Kerrataan, että joukko A C koostuu kaikista algebrallisista luvuista kunnan Q yli. Seuraava tulos osoittaa, että algebrallisten lukujen joukko A on kompleksilukujen kunnan alikunta. Lause 9.1. A C. (9.1) Seuraus 9.1. Jos α,β A, niin α ± β, αβ, α/β A. (9.2) Algebran peruslauseen 5.9 nojalla C on algebrallisesti suljettu eli jos τ on algebrallinen C:n suhteen, niin τ C. Seuraava tulos osoittaa, että jos ω C on algebrallinen kunnan A suhteen, niin ω A. Lause 9.2. Algebrallisten lukujen joukko A on algebrallisesti suljettu eli a(x) A[x] \ {0(x)}, a(ω) = 0 ω A. (9.3) 32
33 10 Lukukunnat Määritelmä Olkoon Q K C ja [K : Q] <, tällöin K on lukukunta. Lause Olkoon K on lukukunta. Tällöin on olemassa sellainen τ K, että K = Q(τ). (10.1) Siten lukukunnat ovat yksinkertaisia Q:n laajennuksia eli yhden alkion generoimia laajennuksia. Esimerkki 15. Q(i, 2) = Q(i 2). (10.2) 10.1 Liittoluvut, kuntapolynomi Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa täsmälleen m eri monomorfismia σ i : K C, i = 1,...,m. (10.3) Huom 3. Vaikka a K, niin voi olla σ i (a) K, jollakin i. Esimerkki 16. Olkoon K = Q(2 1/3 ), tällöin σ 2 (2 1/3 ),σ 3 (2 1/3 ) K. (10.4) Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Alkion β K kuntapolynomi on m K β (x) = (x σ i (β)), (10.5) i=1 missä luvut σ i (β) C (10.6) ovat luvun β K liittoluvut kunnan K suhteen. Lause K β (x) Q[x]. (10.7) 33
34 Todistus: Symmetristen polynomien peruslauseeseen nojautuen. Kerrataan vielä, että Määritelmän 7.5 mukaan algebrallisen luvun β liittoluvut eli konjugaatit ovat minimipolynomin M β (x) Q[x] nollakohdat β 1,...,β d C. (10.8) Seuraavassa deg K β (x) = m, deg M β (x) = d. (10.9) Lause Olkoon β K = Q(τ) ja [K : Q] = m. Tällöin M β (x) K β (x); (10.10) Q[x] K β (x) = M β (x) m/d, m/d Z +. (10.11) Seuraus {σ 1 (β),...,σ m (β)} = {β 1,...,β d }; (10.12) β Q σ 1 (β) =... = σ m (β); (10.13) Q(β) = K σ i (β) σ j (β) i j. (10.14) 10.2 Diskriminantti Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Lukujen γ 1,...,γ m K diskriminantti on (γ 1,...,γ m ) = (det(σ i (γ j )) i=1,...,m,j=1,...,m ) 2 = (10.15) 2 σ 1 (γ 1 ) σ 2 (γ 1 )... σ m (γ 1 ) σ 1 (γ m ) σ 2 (γ m )... σ m (γ m ) 34
35 Alkion β K diskriminantti on δ(β) = (1,β,...,β m 1 ) = (10.16) σ 1 (β) σ 2 (β)... σ m (β) σ 1 (β) m 1 σ 2 (β) m 1... σ m (β) m 1 Lause (γ 1,...,γ m ) Q. (10.17) Lause Lukujoukko {γ 1,...,γ m } on K:n kanta täsmälleen silloin kun sen diskriminantti ei häviä eli dim Q Q(γ 1,...,γ m ) = m (γ 1,...,γ m ) 0. (10.18) Lause δ(β) = i<j(σ i (β) σ j (β)) 2 ; (10.19) δ(β) 0 deg Q (β) = m; (10.20) δ(β) 0 Q(β) = K. (10.21) 10.3 Normi ja jälki Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Alkion β K normi on m N(β) = N K (β) = σ i (β) (10.22) ja jälki m T(β) = T K (β) = σ i (β). (10.23) i=1 i=1 35
36 Lause N K (β), T K (β) Q. (10.24) N K (β) 0 β 0. (10.25) (10.24): K β (x) = x m T(β)x m ( 1) m N(β) Q[x]. (10.26) (10.25): Koska σ i on injektio, niin σ i (x) = 0 x = 0. (10.27) Lause N(αβ) = N(α)N(β) (10.28) T(rα + sβ) = rt(α) + st(β); (10.29) N(r) = r m, T(r) = mr; (10.30) kaikilla α,β K, r,s Q. Laskarit. Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta, [K : Q] = m ja M τ (x) minimipolynomi ja DM τ (x) sen derivaatta. Tällöin (1,τ,...,τ m 1 ) = ( 1) m(m 1)/2 N(DM τ (τ)). (10.31) Ei vaadita. Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta, [K : Q] = m ja γ 1,...,γ m K. Tällöin (γ 1,...,γ m ) = det(t(γ i γ j )). (10.32) Ei vaadita. 36
37 11 Kokonaiset algebralliset luvut B Joukko B C koostuu kaikista kokonaisista algebrallisista luvuista kunnan Q yli. Seuraava tulos osoittaa, että kokonaisten algebrallisten lukujen joukko B on algebrallisten lukujen A kunnan alirengas. Lause B A. (11.1) Seuraus Jos α,β B, niin α ± β, αβ B. (11.2) Kokonaisten algebrallisten lukujen joukko B on algebrallisesti suljettu eli Lause Olkoon b(x) = x n b 0 B[x] \ {0(x)}, Ei vaadita. b(ω) = 0 ω B. (11.3) Esimerkki 17. α 2 = α + 1, β 5 + αβ = 0 (11.4) Lause Jos α A, niin pienin d Z +, että ω 2 β = 0 ω B. (11.5) dα B. (11.6) Määritelmä Lauseen 11.3 mukainen luku d Z + on algebrallisen luvun α nimittäjä eli den α = d. 37
38 Esimerkki 18. Olkoon 5α 2 + α + 1 = 0, (5α) 2 + 5α + 5 = 0 (11.7) 5α B, den α = 5. (11.8) Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta. Tällöin Z K = K B (11.9) on K:n kokonaislukujen rengas. Rationaaliset kokonaisluvut muodostavat alirenkaan kokonaisten algebrallisten lukujen renkaille. Lause Z Z K B. (11.10) Edelleen Lause Olkoon β Z K, tällöin Z[β] Z K. (11.11) Huom 4. Usein pätee kuitenkin Z K Z[β]. (11.12) Esimerkki 19. K = Q( 5) on lukukunta, missä Z K, / Z[ 5]. (11.13) Lause Olkoon K lukukunta. Tällöin K = Q(λ), λ Z K. (11.14) Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Jos {λ 1,...,λ m } Z K on K:n kanta, niin (λ 1,...,λ m ) Z \ {0}. (11.15) 38
39 Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa {λ 1,...,λ m } Z K, joka on K:n kanta Q:n yli. Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa {λ 1,...,λ m } Z K, joka on Z K :n kanta Z:n yli. Määritelmä Lauseen 11.9 mukainen Z K :n kanta Z:n yli on kunnan K kokonaislukujen kanta. Lause Olkoon {λ 1,...,λ m } Z K kunnan K kanta. Jos (λ 1,...,λ m ) on neliövapaa, niin {λ 1,...,λ m } on kunnan K kokonaislukujen kanta. Esimerkki 20. ( 1, ) = 5 { 1, } (11.16) on Q( 5):n kokonaislukujen kanta. 12 Jaollisuus renkaassa Z K Lause Olkoon β Z K, tällöin N K (β), T K (β) Z; (12.1) N K (β) 0 β 0. (12.2) Olkoon Z K kokonaislukujen renkaan Z K yksikköryhmä. Lause Olkoot a,b Z K, tällöin a b N(a) N(b); (12.3) Z K Z a Z K N(a) = ±1; (12.4) a b N(a) = ±N(b); (12.5) N(a) P a J ZK. (12.6) 39
40 12.3: Olkoon b = ca, a,b,c Z K (12.7) Koska σ i on homomorfia, niin missä 12.4: Olkoon ensin σ i (b) = σ i (c)σ i (a) i = 1,...,m (12.8) m m m N(b) = σ i (b) = σ i (c) σ i (a) = N(c)N(a), (12.9) i=1 Kohdan (12.3) nojalla saadaan i=1 i=1 N(b),N(c),N(a) Z N(a) N(b). (12.10) Z a Z K a Z K 1. (12.11) N(a) N(1) = 1 N(a) = ±1. (12.12) Z Olkoon sitten N(a) = ±1. (12.13) Siten aσ 2 (a) σ m (a) = ±1, c = σ 2 (a) σ m (a) K. (12.14) Toisaalta, koska a Z K B σ 2 (a),...,σ m (a) B c B. (12.15) Siispä c K B = Z K, ±c a = 1 (12.16) Kohta (12.4) todistettu. a Z K 1 a Z K. (12.17) 40
41 Huomaa, että vaikka a Z K, niin voi olla σ i (a) Z K, vertaa Esimerkki 16. Kuitenkin σ i (a) B. 12.5: Nyt b = ua, u Z K N(u) = ±1 (12.18) N(b) = N(u)N(a) = ±N(a). (12.19) 12.6: Tässä a 0. Vastaoletus: a jakaantuu eli a = bc, b,c Z K, b,c 0, (12.20) Ristiriita. N(b), N(c) 2 N(a) = N(b) N(c) P. (12.21) Lause Olkoon D UFD, a,b,c D ja ab = c k, a b. (12.22) Tällöin a d k, b e k, (12.23) joillakin d,e D. 13 Eräs Diofantoksen yhtälö Algebrallisten lukujen tutkimisen päämotiivi on alkujaan ollut Diofantoksen yhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkki 21. y = x 3, 2 y, (13.1) on Diofantoksen yhtälö eli sille haetaan kokonaislukuratkaisuja. I. Yhtälö hajoaa kunnassa K = Q( 2) seuraavasti: (y + 2)(y 2) = x 3. (13.2) 41
42 II. Kokonaislukujen rengas on Z K = Z + Z 2. (13.3) III. Sen yksikköryhmä on IV. Kokonaisalue Z K = {±1}. (13.4) Z K = Z + Z 2. (13.5) on Normi-Eukleideen alue ja siten UFD. Siten siinä voi operoida kuten rationaalisten kokonaislukujen renkaassa (vrt. Lukuteoria I: Pythagoraan yhtälön ratkaiseminen.) V. Olkoon d = a + b 2 Z K, (13.6) d = syt(y 2,y + 2) (13.7) d 2y, d 2 2 (13.8) N(d) N(2y), N(d) N(2 2) (13.9) a 2 + 2b 2 4y 2, a 2 + 2b 2 8 (13.10) d = ±1, ±2, ± 2. (13.11) Näistä vain d = ±1 y 2,y + 2, (13.12) y 2 y + 2, (13.13) y + 2 = (c + d 2) 3, c + d 2 Z K. (13.14) c = ±1,d = 1, x = 3, y = ±5. (13.15) 42
43 14 Neliökunnat Jokainen neliökunta on esitettävissä muodossa K = Q( d), d Z, (14.1) missä d on neliövapaa tästä eteenpäin. Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K = Z + Zλ, (14.2) missä λ = d, d 2, 3 (mod 4); (14.3) λ = 1 + d, d 1 (mod 4); (14.4) 2 = 4d, d 2, 3 (mod 4); (14.5) = d, d 1 (mod 4). (14.6) 14.1 Imaginaariset neliökunnat Yksikköryhmä Seuraavassa ω = e 2π 3 i. (14.7) Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K = {±1, ±i}, d = 1; (14.8) Z K = {±1}, d = 2; (14.9) Z K = {±1, ±ω, ±ω 2 }, d = 3; (14.10) Z K = {±1}, d Z 5. (14.11) Todistus laskareissa. 43
44 UFD/Eukleideen alue Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K on UFD, kun d = 1, 2, 3, 7, 11, (14.12) jotka ovat imaginaariset Eukleideen alueet ja lisäksi, kun d = 19, 43, 67, 163. (14.13) Tässä kaikki, kun d 1. Tapaus d = 1, jolloin Z Q( 1) = Z[i]. Todistetaan, että Z[i] on Eukleideen alue. Olkoot a, b Z[i], jolloin Valitaan sellaiset s,t Z, että a = x + iy, x,y Q. (14.14) b x s 1 2, y t 1 2. (14.15) Olkoon q = s + it, a = qb + r, r Z[i]. (14.16) Ottamalla normit saadaan N(r) = N(b)N(x s + i(y t)) = N(b)((x s) 2 + (y t) 2 ) (14.17) N(b) 1 2 N(r) < N(b) (14.18) ja lisäksi N : Z[i] N, (14.19) joten N on Eukleideen funktio. Edelleen, Lauseen 4.2 nojalla Eukleideen alue on aina UFD. 44
45 Gaussin kokonaisluvut/alkuluvut Määritelmä Kunnan K = Q(i), kokonaislukujen renkaan Z K = Z[i] (14.20) alkioita sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi. Edelleen jaottomat Gaussin kokonaisluvut ovat Gaussin alkulukuja. Koska Z[i] on UFD, niin sen jaottomat alkiot ovat alkualkioita eli P Z[i] = J Z[i]. (14.21) Lause π = a + ib P Z[i] (14.22) π 1 + i; (14.23) π a + ib, a 2 + b 2 = p P, p 1 (mod 4); (14.24) π p P, p 3 (mod 4). (14.25) 14.2 Reaaliset neliökunnat Yksikköryhmä Reaalisen neliökunnan yksikköryhmät ovat äärettömiä ja yleisessä tapauksessa varsin hankalasti määrättävissä. Niiden määräämiseen tarvitaan tietoa Pellin yhtälöiden ratkaisemisesta. Lause Olkoon K = Q( d), d Z 2. Tällöin Z K = {x k + y k d xk + y k d = (x1 + y 1 d) k, k Z}, (14.26) missä (x 1,y 1 ) Z 2 on pienin positiivinen Pellin yhtälön x 2 dy 2 = 1 (14.27) ratkaisu. Ei vaadita. Kyseessä oleva pienin ratkaisu voidaan etsiä käyttäen ketjumurtolukujen teoriaa, katso kurssi: Ketjumurtoluvut. 45
46 UFD/Eukleideen alue Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K on UFD, kun d = 2,3,5,6,7,13,17,21,29,33,37,41,57,73, (14.28) jotka ovat reaaliset Eukleideen alueet ja lisäksi, kun d = 11,14,19,22,23,31,38,43,46,47,53,59,61,62,67, Tässä vain kaikki, missä 2 d ,71,77,83,86,89,93,94,97. (14.29) 46
47 15 Työkaluja Tässä kappaleessa esitellään kattava luettelo algebrallisista rakenteista ja muista työkaluista. Varsinainen kurssimateriaali aikaisemmissa kappaleissa Algebrallisia rakenteita Puoliryhmä, monoidi Määritelmä A. Pari (A, ) on puoliryhmä eli semigroup, jos pätee: S0) on A:n laskutoimitus eli binäärioperaatio eli a b A a,b A. S1) on assosiatiivinen eli liitännäinen eli a (b c) = (a b) c a,b,c A. Edelleen pari (A, ) on monoidi, jos S0) ja S1):n lisäksi pätee: S2) neutraalialkio= e A e a = a e = a, a A Ryhmä, Abelin ryhmä, Group Määritelmä Monoidi (G, ) on ryhmä, jos pätee: G3) käänteisalkio= a 1 G a a 1 = a 1 a = e, a G. (G0=S0, G1=S1, G2=S2) Määritelmä Ryhmä (G, ) on Abelin ryhmä, jos pätee: G4) on kommutatiivinen eli a b = b a a,b G. 47
48 Rengas, Ring Tästä eteenpäin tarkastellaan struktuureja, joissa on kaksi laskutoimitusta + ja. Määritelmä R. Kolmikko (R,+, ) on rengas, jos pätee: 1) (R,+) on Abelin ryhmä. 2) (R, ) on puoliryhmä. 3) distributiivisuus eli osittelulait a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc, a,b,c R. Tällöin sanotaan, että R on rengas. Määritelmä Rengas R on kommutatiivinen, mikäli kertolasku on vaihdannainen eli ab = ba, a,b R. Määritelmä Rengas R on ykkösellinen rengas, mikäli (R, ) on monoidi eli kertolaskun ykkösalkio = 1 R. (R,+) on renkaan additiivinen ryhmä, ja renkaan nolla-alkio= 0 R Kokonaisalue, Integral Domain Määritelmä Renkaan R alkio a 0 on nollantekijä, jos b R\{0} s.e. ab = 0 tai ba = 0. Määritelmä Kommutatiivinen ykkösellinen rengas D on kokonaisalue, mikäli D:ssä ei ole nollantekijöitä eli ehdosta ab = 0 seuraa a = 0 tai b = 0 a,b D Kunta, Field Määritelmä Kolmikko (K,+, ) on kunta, jos: 48
49 1) (K,+) on Abelin ryhmä (additiivinen ryhmä), 2) (K, ) on Abelin ryhmä (multiplikatiivinen ryhmä), K = K\{0}. 3) a(b + c) = ab + ac, a,b,c K. Erityisesti, kunta on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Lisäksi polynomirengas K[x], K =kunta, on kokonaisalue POTENSSI Kertolaskurakenteessa (A, ), e, a A: a 0 = e, a k+1 = a a k 0 Z k N a k = (a 1 ) k k N, jos a 1 Sanotaan, että a k on a:n k:s potenssi ja k on vastaava eksponentti MONIKERTA Yhteenlaskurakenteessa (B, +), e = 0, b B: 0b = e, 0 Z (k + 1)b = b + kb k N ( k)b = k( b) k N, jos b Sanotaan, että kb on b:n k:s monikerta ja k on vastaava kerroin (yhteenlaskettavien lkm summassa kb = b b). Siten 0b = 0, 1b = b Rengashomomorfiat Määritelmä Olkoot R,R 1 ja R 2 renkaita. Tällöin kuvaus H : R 1 R 2 49
50 on rengasmorfismi eli rengashomomorfia, jos pätee H(a + b) = H(a) + H(b), H(ab) = H(a)H(b), H(1 1 ) = 1 2, 1 1 R 1, 1 2 R 2 (ykkösalkioita). Edelleen homomorfia on monomorfia, jos se on injektio. isomorfia, jos se on bijektio. automorfia, jos se on isomorfia: R R. F-automorfia, jos H(a) = a, a F R Symmetriset peruspolynomit Tutkitaan polynomi-identiteettiä n n F(x) = (x x k ) = ( 1) n i A i x i. (7.1) k=1 i=0 0. Sijoittamalla x = 0, saadaan vakiotermeistä identiteetti n F(0) = ( 1) n x j = ( 1) n A 0, j=1 joten n A 0 = x j. (7.2) j=1 (Tulolla (7.2) määritellään Normi.) 1. Lasketaan derivaatat yhtälössä (7.1) puolittain, jolloin n D (x x k ) = k=1 1 (x x 2 ) (x x n ) + (x x 1 ) (x x 3 ) (x x n ) (x x 1 )(x x 2 ) (x x n 1 ), (7.3) josta kohdassa x = 0 saadaan DF(0) = ( 1) n 1 (x 2 x 3 x n + x 1 x 3 x n
51 +x 1 x 2 x n 1 ). (7.4) Toisaalta DF(0) = ( 1) n 1 A 1 ja siten n n A 1 = x i. (7.5) j=1 i=1,i j n-1. Myös n A n 1 = x j (7.6) j=1 on usein tarpeen (ja sen avulla määritellään Jälki(=Trace).) Yleisesti saadaan A n k = x j1 x j2 x jk, (7.7) 1 j 1<j 2<...<j k n joilla on yhteys A n k = s k (x 1,...x n ) (7.8) symmetrisiin peruspolynomeihin s k (elementary symmetric polynomials). ESIM: a) n = 4. (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) = x 4 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )x 3 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 )x 2 (x 1 x 2 x 3 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 )x + x 1 x 2 x 3 x 4. (7.9) 51
1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain...
Sisältö 1 Johdanto 0-4 1.1 Algebralliset luvut............... 0-6 2 Perusteita 0-9 3 Renkaat ja kunnat 0-11 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain......... 0-12 3.2 Kunta, Field.................. 0-13 4 Jaollisuus
Lisätiedot802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT
LisätiedotALGEBRALLISET LUVUT S. Tapani Matala-aho
ALGEBRALLISET LUVUT 802656S Tapani Matala-aho 24. huhtikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 4 1.1 Algebralliset luvut........................ 5 2 Perusteita 6 3 Renkaat ja kunnat 7 3.1 Kokonaisalue, Integral
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat 0-10
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-4 1.1 Algebralliset luvut............... 0-6 2 Perusteita 0-8 3 Renkaat ja kunnat 0-10 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain......... 0-12 3.2 Kunta, Field..................
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
Lisätiedot2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedot802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT
Lisätiedot802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Sisältö 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus.............................
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotTodistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedot11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.
11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotSeuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat
3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen
Lisätiedot800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I
800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
LisätiedotÄärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007 Tampereen yliopisto
Lisätiedot802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho
802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat
LisätiedotALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K
ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI 4 1.1 Moduli; alimoduli................................ 4 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli.......................
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotAritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa
Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto Yliopistonkatu 2, 80101 Joensuu Fysiikan ja matematiikan laitos Tuomas Manninen, 243034 11. joulukuuta
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Lisätiedot800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I
800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 1 Contents 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus/Course overview..................
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
Lisätiedot2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,
1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C
Lisätiedot802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho
802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 27. helmikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 5 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat 10 7
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
LisätiedotViidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta
Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta Teppo Lahti Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tommi Kuusisto
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tommi Kuusisto Äärellisistä kunnista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian
LisätiedotAvainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo
LisätiedotAlgebrallisista ja transkendenttisista luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Leo Majaranta Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2011 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotKETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho
KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotTeemu Ojansivu Polynomien resultanteista
PRO GRADU -TUTKIELMA Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2015 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ojansivu,
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
LisätiedotAlgebra 2. Syksy Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto
Algebra 2 Syksy 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á ÂÓ ÒØÓ Ð Ö Ý ØĐ ÐĐÓØ 1. Koulualgebrasta algebraan Koulun matematiikan opetuksen suurimpia abstraktiohyppäyksiä on
LisätiedotLUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho
LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Yleistä Merkintöjä Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Työkaluja 0-10
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Yleistä 0-5 1.1 Merkintöjä................... 0-7 1.1.1 Lukujoukot............... 0-7 1.1.2 Sekalaisia merkintöjä.......... 0-8 2 Työkaluja 0-10 2.1 Porrasfunktiot.................
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
Lisätiedot1. Hiukan lineaarialgebraa
ÁÎ ÃÓ Ø ÐÓ ³Ò Ø ÓÖ 1. Hiukan lineaarialgebraa 1.1. Määritelmä. Olkoon K = (K, +, ) kunta (ns. kerroinkunta). Joukko V varustettuna yhteenlaskulla +:V V V ja skalaarikerronnalla :K V V on K- vektoriavaruus,
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedot