1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5. 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field...

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5. 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field..."

Transkriptio

1 Sisältö 1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field Jaollisuus kokonaisalueessa Jako- ja Eukleideen algoritmit kokonaisalueessa Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Polynomien jaottomuudesta Symmetriset polynomit Kunnista Karakteristika Kuntalaajennus Kuntatorni Osamääräkunta Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Alkiolla laajentaminen Algebralliset kunnat 30 9 Algebralliset luvut A Lukukunnat Liittoluvut, kuntapolynomi

2 10.2 Diskriminantti Normi ja jälki Kokonaiset algebralliset luvut B Jaollisuus renkaassa Z K Eräs Diofantoksen yhtälö Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat Yksikköryhmä UFD/Eukleideen alue Gaussin kokonaisluvut/alkuluvut Reaaliset neliökunnat Yksikköryhmä UFD/Eukleideen alue Työkaluja Algebrallisia rakenteita Puoliryhmä, monoidi Ryhmä, Abelin ryhmä, Group Rengas, Ring Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field POTENSSI MONIKERTA Rengashomomorfiat Symmetriset peruspolynomit

3 1 Johdanto S ALGEBRALLISET LUVUT (5OP SYVENTÄVÄ) Aluksi kerrataan renkaiden ja kuntien perusteita, joista edetään kuntalaajennuksiin. Erityiseen tarkasteluun otetaan jaollisuus kokonaisalueessa, jonka sovelluksiin törmätään polynomialgebrassa ja kokonaisten algebrallisten lukujen teoriassa. Algebrallisten lukujen teoria lepää vahvasti polynomialgebraan, josta käsitellään polynomien nollakohtia ja jaollisuutta. Algebrallisen luvun määritelmä yleistetään kuntalaajennuksien algebrallisiin alkioihin, joista edetään algebrallisiin kuntiin. Tärkeinpinä algebrallisina kuntina saadaan lukukunnat, jotka ovat äärellisesti generoituja kompleksisten algebrallisten lukujen kunnan A alikuntia. Erityisesti tutkitaan neliökuntia. Edelleen tarkastellaan kokonaisten algebrallisten lukujen jaollisuutta ja tekijöihinjakoa, joita sovelletaan Diofantoksen yhtälöiden ratkaisemiseen. Osaamistavoitteeni: Kuten matematiikan opinnoissani yleensä pystyn ratkaisemaan aiheeseen liittyvia tehtäviä ja todistamaan keskeisia lauseita lähtien esitetyista määritelmista käyttäen kurssilla sovellettuja työkaluja. Tarkemmin; Esimerkiksi, läpäistyäni kurssin arvosanalla 1/5, tunnistan useimmat määritelmät ja pystyn ratkaisemaan niihin liittyviä perustehtäviä sekä toistamaan ymmärrettävästi lyhyehköjä todistuksia. Suoritettuani kurssin arvosanalla 5/5 ymmärrän hyvin esitetyt määritelmät ja niistä johdettujen lauseiden todistukset. Kykenen ratkaisemaan vaativia tehtäviä, joissa vaaditaan omintakeisia useampivaiheisia päättelyjä ja sopivien työkalujen soveltamista. Esitiedot: Algebra I ja II, Lineaarialgebra I ja II, Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I) Kirjallisuus: I.N. Stewart and D.O. Tall: Algebraic number theory. Daniel Marcus: Number fields. 3

4 J.B. Fraleigh: Abstract algebra. Michael Artin: Algebra. 1.1 Algebralliset luvut Määritelmä 1.1. Algebralliset luvut saadaan rationaalikertoimisten ei-vakiopolynomien nollakohtina. Esimerkki 1. Luvut 1; (1.1) i; (1.2) 2 1/ /2 ; (1.3) e iπ/m, m Z \ {0}; (1.4) sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; (1.5) ovat algebrallisia lukuja. Myös polynomiyhtälön 2 1/3 x /2 x + 1 = 0 (1.6) juuret ovat algebrallisia lukuja. Merkintä 1. Olkoon f : A B ja C B. Tällöin joukon C alkukuva on joukko f 1 (C) = {x A f(x) C}. (1.7) Erityisesti f 1 ({0}) = {x A f(x) = 0}. (1.8) Gauss todisti, että kompleksikertoimisella ei-vakiopolynomilla on aina asteen verran kompleksisia nollakohtia. Lause 1.1. ALGEBRAN PERUSLAUSE. Olkoon d = deg p(x) Z + ja p(x) = p 0 + p 1 x p d x d C[x], (1.9) 4

5 tällöin eli #p 1 ({0}) = deg p(x) = d (1.10) p(x) = p d (x α 1 ) (x α d ), α 1,...,α d C. (1.11) Tällä kurssilla keskitytäänkin kompleksisiin algebrallisiin lukuihin. 2 Perusteita Olkoon K kunta ja d Z +. Polynomi p(x) = p 0 + p 1 x x d K[x], d = deg p(x) 1, (2.1) on pääpolynomi. Käytetään astetta d olevien pääpolynomien joukolle merkintää K[x] d = {p(x) = p 0 + p 1 x x d K[x]}. (2.2) Määritellään (kompleksiset ) algebralliset luvut rationaalilukujen kunnan suhteen. Määritelmä 2.1. Joukko A d = {α C p(α) = 0, p(x) Q[x] d } (2.3) on korkeintaan astetta d olevien algebrallisten lukujen joukko. Edelleen A = d=1a d (2.4) on kaikkien (kompleksisten) algebrallisten lukujen joukko. Määritelmä 2.2. Olkoon K C ja p(x) K[x]. Tällöin Z(p) = p 1 ({0}) = {α C p(α) = 0} (2.5) on polynomin p(x) nollajoukko. Lause 2.1. A 1 = Q. (2.6) 5

6 Merkintä 2. Olkoon D Z. Tällöin Q( D) = {a + b D a,b Q}. (2.7) Lause 2.2. A 2 = D Z Q( D). (2.8) 3 Renkaat ja kunnat Tällä kurssilla tarkastellaan ykkösellisiä kommutatiivisia renkaita. Määritelmä 3.1. Ykkösellinen kommutatiivinen rengas R = (R, +, ), #R 1 on yhteenlaskun + suhteen ryhmä ja kertolaskun suhteen se toteuttaa aksiomit on A:n binäärioperaatio eli a b A a,b A. on assosiatiivinen eli a (b c) = (a b) c a,b,c A. on kommutatiivinen eli a b = b a a,b A. ykkösalkio = 1 A 1 a = a 1 = a a A. Distribuutiolaki a (b + c) = a b + a c a,b,c A. 6

7 Määritelmä 3.2. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.1) on renkaan R yksikköryhmä. Jos R = K kunta, niin K = K\{0}. 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain Määritelmä 3.3. Renkaan R alkio a 0 on nollantekijä, jos b R\{0} s.e. ab = 0 tai ba = 0. Määritelmä 3.4. Kommutatiivinen ykkösellinen rengas D on kokonaisalue, mikäli D:ssä ei ole nollantekijöitä eli ehdosta ab = 0 seuraa a = 0 tai b = 0 a,b D. 3.2 Kunta, Field Määritelmä 3.5. Kolmikko (K,+, ), #K 2 on kunta, jos: 1) (K,+) on Abelin ryhmä (additiivinen ryhmä), 2) (K, ) on Abelin ryhmä (multiplikatiivinen ryhmä), K = K\{0}. 3) a(b + c) = ab + ac, a,b,c K. Erityisesti, kunta on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Edelleen kunnassa on aina vähintään kaksi alkiota, nimittäin 0,1 K, Jaollisuus kokonaisalueessa Olkoon D kokonaisalue. Määritelmä 4.1. Olkoot a, b D. Tällöin b a c D : a = bc. (4.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor). 7

8 Merkitään: b a, kun b ei jaa a:ta. Esimerkki , 0 a 0. (4.2) Merkintä 3. Olkoot d,b D ja s N, tällöin d s b d s b ja d s+1 b. (4.3) Lemma 4.1. Olkoot a,b,c D,a 0. Tällöin ab = ac b = c. (4.4) Määritelmä 4.2. Alkiot a, b D ovat liitännäisiä eli a b u D : b = ua. (4.5) Lemma 4.2. Relaatio on ekvivalenssirelaatio. Todistus laskareissa. Merkintä 4. Alkion a D määräämä ekvivalenssiluokka on [a] = {a b b D}, (4.6) missä a on luokan [a] edustaja. Lemma 4.3. a 1 a 1 a D ; (4.7) [1] = D ; (4.8) [a] = a D ; (4.9) a b a b ja b a. (4.10) 8

9 Huom 1. Olkoon b D. Tällöin b = 1 b = u(u 1 b) u D. (4.11) Siten yksiköt ja alkion liitännäiset ovat aina tekijöinä. Määritelmä 4.3. Alkion b D triviaalit tekijät q ovat kaikki yksiköt ja liittännäiset eli alkiot q [1] ja q [b]. (4.12) Alkio j D,j 0,j / D on jaoton, mikäli sillä on vain triviaaleja tekijöitä eli q j q [1] tai q [j]. (4.13) Alkio p D,p 0,p / D on alkualkio, mikäli p ab p a tai p b a, b D. (4.14) Merkintä 5. Asetetaan J D = {j D j on jaoton} (4.15) ja P D = {p D j on alkualkio}. (4.16) Lemma 4.4. Olkoot a,b D ja j,h J D. Tällöin j = ab a 1 tai b 1. (4.17) j = bh, b 1. (4.18) Määritelmä 4.4. Olkoot a,b D annettu. Tällöin alkio d D on alkioiden a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) eli d =syt(a,b) = (a,b) mikäli d a ja d b; (4.19) c a ja c b c d. (4.20) Jos (a,b) 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään (a,b) = 1 tai a b. 9

10 Määritelmä 4.5. Olkoot a,b D annettu. Tällöin alkio f D on alkioiden a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a,b] = [a,b] mikäli a f ja b f; (4.21) a g ja b g f g. (4.22) Esimerkki 3. (0,0) = 0, [0,0] = 0. (4.23) Lemma 4.5. Olkoot a D ja j J D. Tällöin j a (a,j) = 1. (4.24) Määritelmä 4.6. Alkion a D esitys jaottomien alkioiden tulona on yksikäsitteinen, jos ehdosta a = j 1 j r = h 1 h s, j l,h k J D (4.25) seuraa r = s ja h k j l k = 1,...,r jollakin l = 1,...,r. (4.26) Määritelmä 4.7. Kokonaisalue D on UFD eli yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue, jos jokainen alkio a D,a 0,a / D voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa a = j 1 j r, j i J D. (4.27) Huom 2. Yksikäsitteisessä tekijöihinjaon alueessa esitystä (4.27) sanotaan alkion a alkutekijähajotelmaksi. Lause 4.1. Olkoon D kokonaisalue. A. P D J D (4.28) eli alkualkiot ovat jaottomia. B. D = UFD J D P D (4.29) 10

11 eli UFD:n jaottomat alkiot ovat alkualkiota ja tällöin J D = P D. C. J D P D D = UFD. (4.30) 4.1 Jako- ja Eukleideen algoritmit kokonaisalueessa Olkoon nyt D kokonaisalue, jossa on ns. Eukleideen funktio E : D N { } eli pätee Jakoalgoritmi: Jos a,b D on annettu ja ab 0, 0 E(b) E(a), niin q,r D s.e. (J.A.) a = qb + r ja E(r) < E(b). (4.31) Tälläista aluetta sanotaan Eukleideen alueeksi. (huomaa, että Eukleideen funktion määritelmä vaihtelee.) Esimerkki 4. a)d = Z, b)d = K[x], E(k) = k. E(p(x)) = deg p(x). Jakoalgoritmin nojalla saadaan Eukleideen algoritmi=e.a.: r 0 = a, r 1 = b E(r 1 ) < E(r 0 ) r 0 = q 1 r 1 + r 2 E(r 2 ) < E(r 1 ). r k = q k+1 r k+1 + r k+2 E(r k+2 ) < E(r k+1 ). r n 1 = q n r n n N : r n 0, r n+1 = 0 r n = syt(a,b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus. Asetetaan nyt R k = r k, Q k = q k 1, k N, 1 0 r k+1 11

12 jolloin Nähdään, että det Q k = 1, Q 1 k = q k (E.A.) R k = Q k+1 R k+1, k = 0,...,n 1, jolloin pätee Merkitään ja jolloin Nyt eli Edelleen 1) R 0 = Q 1 Q 2...Q k R k. S 0 = s 0 t 0 = 1 0 s 1 t t k S k = s k = Q 1 k...q 1 2 Q 1 1, s k+1 t k+1 2) R k = S k R 0. 3) S k+1 = Q 1 k+1 S k s k+1 t k+1 = 0 1 s k t k s k+2 t k+2 1 q k+1 s k+1 t k+1 4) s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0,1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0,1,... 5) syt(a,b) = s n a + t n b, missä n on E.A:n pituus. Lause 4.2. Olkoon D Eukleideen alue. Tällöin J D P D (4.32) 12

13 eli jaottomat alkiot ovat alkualkioita. Edelleen, Eukleideen alue on UFD. Seuraus A. Z on UFD, missä jaottomat alkiot ovat alkualkioita. B. K[x] on UFD, missä jaottomat alkiot ovat alkualkioita. 5 Polynomialgebraa Olkoon R ykkösellinen rengas. Tällöin n R[x] = {P(x) P(x) = p k x k ; p k R, n N} (5.1) on R-kertoimisten polynomien joukko. k=0 Määritelmä 5.1. Jos p n 0, niin polynomin aste on deg P(x) = n, (5.2) lisäksi asetetaan Määritelmä 5.2. Olkoot jolloin asetetaan deg 0(x) =. (5.3) n P(x) = p k x k, k=0 n Q(x) = q k x k R[x], k=0 P(x) = Q(x) k(p k = q k ); P(x) + Q(x) = k 0(p k + q k )x k ; P(x)Q(x) = k 0r k x k, 13

14 missä r k = joka on Cauchyn kertosääntö. k p i q k i = p i q j, (5.4) i=0 i+j=k Tällöin R[x] on rengas, missä 0(x) = x + 0 x (5.5) on nolla-alkio ja 1(x) = x + 0 x (5.6) on ykkösalkio. Lause 5.1. Olkoon D kokonaisalue ja P(x), Q(x) D[x]. Tällöin deg P(x)Q(x) = deg P(x) + deg Q(x). (5.7) Todistus laskareissa. Lause A. Olkoon R = D kokonaisalue. Tällöin polynomirengas D[x] on kokonaisalue. B. Olkoon R = K kunta. Tällöin polynomirengas K[x] on kokonaisalue. Lause A. Polynomirenkaan K[x] yksikköryhmä on K eli K[x] = K. (5.8) B. Polynomi p(x) K[x]\K on jaoton täsmälleen silloin, kun sen ainoat tekijät ovat vakioita tai polynomeja k p(x), missä k K. C. Edelleen, polynomi p(x) K[x] on jaollinen täsmälleen silloin, kun sillä on tekijä d(x) K[x], jolle pätee 1 deg d(x) deg p(x) 1. (5.9) D. Erityisesti ensimmäisen asteen polynomit ovat jaottomia. 14

15 Lause 5.4. JAKOALGORITMI. Olkoon a(x), b(x) K[x], a(x)b(x) 0(x) ja deg b(x) deg a(x). Tällöin q(x), r(x) K[x] s.e. [J.A.] a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). (5.10) Polynomien a(x) ja b(x) suurin yhteinen tekijä d(x) = s.y.t.(a(x),b(x)) voidaan valita pääpolynomiksi. Eukleideen algoritmin nojalla saadaan, että on olemassa sellaiset polynomit s(x),t(x) K[x], että d(x) = s(x)a(x) + t(x)b(x). (5.11) Määritelmä 5.3. Polynomin n p(x) = p k x k K[x] k=0 (formaali) derivaatta Dp(x)on polynomi n Dp(x) = kp k x k 1 K[x]. (5.12) k=1 Lemma 5.1. deg Dp(x) = deg p(x) 1, deg p(x) 1; (5.13) p(x) Dp(x). (5.14) Lause 5.5. Olkoon K kunta, chark = 0, p(x), g(x), h(x) K[x]. Tällöin p = g 2 h, g 1 d = syt(p,dp) 1. (5.15) Siten polynomi on neliövapaa täsmälleen silloin kun sillä ei ole yhteisiä tekijöitä derivaattansa kanssa. 15

16 Esimerkki 5. Olkoon p(x) = x 5 + 2x 3 + x Q[x]. Laskemalla saadaan syt(p, Dp) 1 (5.16) polynomilla p(x) on useampikertainen tekijä renkaassa Q[x]. 5.1 Polynomien nollakohdista Lause 5.6. Olkoon K kunta ja p(x) K[x], 1 deg p(x). Tällöin Laajennetaan Määritelmää 2.2. p(α) = 0, α K (x α) p(x). (5.17) K[x] Määritelmä 5.4. Olkoon K L kuntia ja p(x) K[x]. Tällöin on polynomin p(x) nollajoukko L:ssä. Z L (p) = {α L p(α) = 0} (5.18) Määritelmä 5.5. Olkoon α L, K L kuntia ja p(x) K[x]. Jos (x α) m p(x), m N, (5.19) L[x] niin m = m L (α,p(x)) on polynomin p(x) nollakohdan α L kertaluku. Edelleen n L (p(x)) = nollakohtien lukumäärä joukossa L. p(α i)=0, α i L Lause 5.7. Olkoon α K ja p(x) K[x] ja m N. Tällöin m L (α i,p(x)). (5.20) (x α) m p(x) (5.21) K[x] D k p(α) = 0 k = 0,...,m 1,D m p(α) 0. (5.22) Käytä Leibnitzin kaavaa D k (ab) = k i=0 ( ) k D i ad k i b. (5.23) i 16

17 Esimerkki 6. Olkoon p(x) = (x 1) 3 (x + 1/2) 5. Polynomin p(x) nollakohdat ovat α 1 = 1 ja α 2 = 1/2. Nollakohtien kertaluvut ovat m Q (α 1,p(x)) = 3, m Q (α 2,p(x)) = 5 (5.24) ja nollakohtien lukumäärä n Q = = 8. (5.25) Esimerkki 7. Olkoon (x 2 + 1)(x 2 2) R[x]. Nyt nollakohtien lukumäärät ovat n Q = 0 < 4 = deg p(x). (5.26) n R = m( 2) + m( 2) = 2 < 4 = deg p(x). (5.27) n C = 4 = deg p(x). (5.28) Lause 5.8. Olkoon K kunta, p(x) K[x] ja deg p(x) 1. Tällöin pätee n K (p(x)) deg p(x). (5.29) Lause 5.9. Olkoon p(x) C[x], deg p(x) 1, tällöin n C (p(x)) = deg p(x). (5.30) Lause Olkoot K L kuntia, p(x) K[x] ja p(x) J K[x]. Tällöin m L (α,p(x)) 1 α L. (5.31) Lause Olkoon K kunta, p(x),q(x) K[x], p(x) J K[x] sekä p(α) = q(α) = 0. Tällöin p(x) q(x). (5.32) K[x] 17

18 5.2 Polynomien jaottomuudesta Seuraavassa käytetään jakojäännösluokkia a Z n. Huomaa, että kun p P, niin Z p on kunta. Määritelmä 5.6. Olkoon n Z 2 ja a(x) = a 0 + a 1 x a d x d Z[x]. Kuvaus r n (a 0 + a 1 x a d x d ) = a 0 + a 1 x a d x d (5.33) r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on reduktio (mod n). Lause Reduktio r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on rengasmorfismi. Määritelmä 5.7. Polynomi a(x) = a 0 +a 1 x+...+a A x A Z[x] on primitiivinen, jos syt(a 0,...,a A ) = 1. (5.34) Joskus vaaditaan, että primitiiviselle polynomille pätee lisäksi a A 1. Lemma 5.2. Olkoot b(x) ja c(x) primitiivisiä. Tällöin b(x)c(x) on primitiivinen Olkoon a(x) = b(x)c(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x] (5.35) ja syt(a 0,...,a A ) = d 2 p P, p d. (5.36) Otetaan reduktio (mod p), jolloin a(x) = 0(x) = b(x)c(x) Z p [x]. (5.37) Nyt Z p [x] on kokonaisalue, joten b(x) = 0(x) tai c(x) = 0(x). (5.38) 18

19 Siten p syt(b 0,...,a B ) tai p syt(c 0,...,c C ) (5.39) mikä on ristiriita. Lemma 5.3. Olkoon b(x) = b 0 + b 1 x b B x B Q[x] ja m Z + pienin, jolle pätee mb 0,...,mb B Z, D = syt(mb 0,...,mb B ). (5.40) Tällöin polynomi ( m Db)(x) on primitiivinen. Todistus laskareissa. Lause Gaussin lemma. Olkoon a(x) Z[x] primitiivinen ja deg a(x) 2. Jos a(x) jakaantuu polynomirenkaassa Q[x], niin on olemassa sellaiset primitiiviset polynomit b(x), c(x) Z[x], että a(x) = b(x)c(x). (5.41) Gaussin lemman nojalla polynomin a(x) Z[x] jaollisuutta voidaan tarkastella polynomirenkaassa Z[x]. Siten polynomi on jaoton renkaassa Q[x], jos se on jaoton renkaassa Z[x]. Lause Olkoot p P, a(x) Z[x], a(x) Z p [x] ja A = deg a(x) = deg a(x). Jos a(x) on jaoton polynomirenkaassa Z p [x], niin a(x) on jaoton polynomirenkaassa Q[x]. Vastaoletus eli olkoon a(x) = b(x)c(x), B = deg b(x) 1, C = deg c(x) 1. (5.42) Otetaan reduktio (mod p), jolloin a(x) = b(x)c(x) Z p [x]. (5.43) Koska deg b(x) B, deg c(x) C (5.44) 19

20 ja niin deg b(x) + deg c(x) = deg a(x) = A, (5.45) deg b(x) = B 1, deg c(x) = C 1. (5.46) Siten a(x) jakaantuu polynomirenkaassa Z p [x]. Ristiriita. Lause Eisensteinin kriteeri. Olkoon a(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x], deg a(x) = A 2. Jos on olemassa sellainen p P, että p a i i = 0,1,...,A 1, p 2 a 0, p a A, (5.47) niin a(x) on jaoton polynomirenkaassa Q[x]. Olkoon a(x) = b(x)c(x) Z[x] (5.48) eli a 0 + a 1 x a A x A = (b 0 + b 1 x b B x B )(c c C x C ) (5.49) ja Nyt B = deg b(x) 1, C = deg c(x) 1, B + C = A. (5.50) p a 0 = b 0 c 0, p 2 a 0 joko p b 0 tai p c 0. (5.51) Tarkastellaan tapaus Koska p b 0 ja p c 0. (5.52) p a 1 = b 0 c 1 + b 1 c 0, p b 1 (5.53)... 20

21 p a B = b 0 c B b B c 0, p b B. (5.54) Mutta a A = b B c C, p a A. (5.55) Ristiriita. Lause Olkoon a(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x] ja tällöin a(r/s) = 0, r,s Z, r s, (5.56) r a 0, s a A, (5.57) Tämän avulla voidaan etsiä polynomin mahdolliset rationaali-nollakohdat. Lause Olkoon K kunta, p(x) K[x], p(x) J K[x], deg p(x) = d ja k K. Tällöin p (x) = x d p(1/x) J K[x], p k (x) = p(x + k) J K[x]. (5.58) Todistus laskareissa. Esimerkki x 14x 3 + 2x 5 J Q[x] ; (5.59) Esimerkki 9. Olkoon p P. 2 14x 2 + 7x 4 + 7x 5 J Q[x] ; (5.60) 2 14(x 1) 2 + 7(x 1) 4 + 7(x 1) 5 J Q[x] ; (5.61) 1 + x + x x p 1 J Q[x]. (5.62) 21

22 5.3 Symmetriset polynomit Määritelmä 5.8. Olkoon R rengas. Formaali lauseke P(t 1,...,t m ) = p i1,...,i m t i1 i t im m, p i1,...,i m R (5.63) Finite on m. muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä t 1,...,t m ovat polynomin muuttujia. Polynomin P aste on deg P(t 1,...,t m ) = max{i i m }. (5.64) Käytetään kaikkien R-kertoimisten polynomien joukolle merkintää R[t 1,...,t m ]. (5.65) Joukkoon R[t 1,...,t m ] voidaan määritellä luonnollisella tavalla identtisyys sekä yhteen- ja kertolaskut. Tällöin kolmikko (R[t 1,...,t m ],+, ) on rengas. Nimittäin, olkoon < i 1,...,i m > termin p i1,...,i m t i1 i t im m eksponentti. Tällöin termejä voidaan vertailla kuten yhden muuttujan tapauksessa vastinpotensseja. Olkoon S M joukon {1,2,...,m} permutaatioryhmä. Jos λ S m, niin merkitään p λ (t 1,...,t m ) = p(t λ(1),...,t λ(m) ). (5.66) Määritelmä 5.9. Polynomi p on symmetrinen, jos Määritelmä Polynomit p(t λ(1),...,t λ(m) ) = p(t 1,...,t m ) λ S m. (5.67) 1 j 1<j 2<...<j k m ovat symmetriset perusfunktiot. s k = s k (t 1,...,t m ) = (5.68) t j1 t j2 t jk, k = 1,...,m, Lemma 5.4. Symmetriset perusfunktiot s 1,...,s m ovat symmetrisiä polynomeja eli aina, kun k = 1,...,m. s k (t λ(1),...,t λ(m) ) = s k (t 1,...,t m ) λ S m (5.69) 22

23 Siten polynomeja s 1 = t t m ; (5.70) s 2 = t 1 t 2 + t 1 t t m 1 t m ; (5.71) s 3 = t 1 t 2 t 3 + t 1 t 2 t t m 2 t m 1 t m ; (5.72)... s m = t 1 t 2 t m 1 t m ; (5.73) voidaan kutsua myös symmetrisiksi peruspolynomeiksi. Lause Symmetristen polynomien peruslause. Jokainen renkaan R[t 1,...,t m ] symmetrinen polynomi S(t 1,...,t m ) voidaan esittää symmetristen perusfunktioiden s 1 = s 1 (t 1,...,t m ),...,s m = s m (t 1,...,t m ) polynomina eli on olemassa sellainen P(s 1,...,s m ) R[s 1,...,s m ], että S(t 1,...,t m ) = P(s 1 (t 1,...,t m ),...,s m (t 1,...,t m )). (5.74) Olkoot S R renkaita. Oletetaan, että polynomi a(x) = a 0 +a 1 x+...+x m S[x] jakaantuu polynomirenkaassa R[x] seuraavasti a(x) = (x α 1 ) (x α m ), α 1,...,α m R. (5.75) Lause Olkoon b(t 1,...,t m ) S[t 1,...,t m ] symmetrinen polynomi. Tällöin b(α 1,...,α m ) S. (5.76) Olkoot K L kuntia. Oletetaan, että polynomi a(x) = a 0 + a 1 x a m x m K[x] jakaantuu polynomirenkaassa L[x] seuraavasti a(x) = a m (x α 1 ) (x α m ), α 1,...,α m L. (5.77) Lause Olkoon b(t 1,...,t m ) K[t 1,...,t m ] symmetrinen polynomi. Tällöin b(α 1,...,α m ) K. (5.78) 23

24 Esimerkki 10. Olkoon x 2 + bx + c = (x α)(x β) Q[x]. (5.79) Tällöin α 2 + β 2 Q, (5.80) α 3 + 2αβ + β 3 Q. (5.81) 6 Kunnista Olkoon K kunta; 0,1 K; Karakteristika Määritelmä 6.1. Kunnan K karakteristika p p P : p1 = 0; char K = 0 n Z + : n1 = Kuntalaajennus Määritelmä 6.2. Kunta K on kunnan L alikunta eli kunta L on kunnan K laajennus K ja L ovat kuntia sekä K L. Tällä kurssilla kuntalaajennukselle käytetään merkintöjä L : K ja K L. Kun L : K, niin L voidaan tulkita lineaariavaruudeksi kunnan K yli asettamalla yhteenlasku L L L, (α,β) α + β; (6.1) ja skalaarilla r K kertominen K L L, (r,α) rα (6.2) käyttäen kunnan L yhteen- ja kertolaskuja. Määritelmä 6.3. Kuntalaajennuksen aste eli [L : K] = dim K L. Äärellinen, jos [L : K] <. 24

25 6.3 Kuntatorni Jos K M L, niin kuntaa M sanotaan välikunnaksi. L 1 L 2 L 3 K K L 3 L 1 ja K L 3 L 2 Lause 6.1. Olkoon K M L kuntatorni. Tällöin [L : K] = [L : M][M : K]. (6.3) 6.4 Osamääräkunta Tarkennetaan hieman rationaalilukujen ja rationaalifunktioiden käsitteitä ja sitä kautta niillä operointia. Määritelmä 6.4. Olkoon D kokonaisalue ja a,b,c,d D, bd 0. Asetetaan relaatio (a,b) (c,d) ad = bc. (6.4) Lause 6.2. Relaatio on ekvivalenssirelaatio joukossa D (D \ {0}) = D. Määritelmä 6.5. Ekvivalenssiluokille [a,b] = {(c,d) D (c,d) (a,b)} sovitaan yhteenlasku [a 1,b 1 ] + [a 2,b 2 ] = [a 1 b 2 + a 2 b 1,b 1 b 2 ] (6.5) ja kertolasku [a 1,b 1 ][a 2,b 2 ] = [a 1 a 2,b 1 b 2 ] (6.6) aina, kun (a 1,b 1 ),(a 2,b 2 ) D. 25

26 Merkitään vielä a/b = a b = [a,b] ja Q(D) = {a/b (a,b) D}. Voidaan todistaa, että Lause 6.3. Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta (quotient field, field of fractions). Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a = a/1. Edelleen ab 1 = a ( ) 1 b = a b = a b { a 1 a D} = D, (6.7) (6.8) ESIM: a) Olkoon D = Z, joka on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta Q(Z), jonka avulla rationaalilukujoukko saadaan määriteltyä tarkasti. Määritelmä 6.6. Rationaalilukujen kunta Q = Q(Z). ja laventamislaki seuraa suoraan määritelmästä Nyt rationaalilukujen supistamisac bc = a b a b = da db b.) Olkoon K kunta, jolloin polynomirengas D = K[x] on kokonaisalue. (6.9) (6.10) Määritelmä 6.7. Rationaalifunktioiden kunta K(x) = Q(K[x]). Tällöin pätevät ylläesitetyt supistussäännöt, jolloin mm. (x 2 1)x (x 1)x 2 = x + 1 = x x. (6.11) c.) Olkoon K kunta, jolloin formaalien sarjojen joukko D = K[[T]] on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta, joka on isomorfinen aikaisemmin määritellyn formaalien Laurentin sarjojen kunnan kanssa eli 26

27 Lause 6.4. K((T)) = Q(K[[T]]). (6.12) Näillä rakenteilla on seuraavat suhteet: K[T] K(T) K((T)), (6.13) Määritelmä 6.8. Formaali derivaatta K[T] K[[T]] K((T)). (6.14) D : K((T)) K((T)) on lineaarinen kuvaus, jolle pätee DT k = kt k 1 k Z. (6.15) 7 Algebralliset luvut 7.1 Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Määritelmä 7.1. Olkoot K L kuntia ja α L. Jos on olemassa sellainen p(x) K[x] \ K, että p(α) = 0 (7.1) niin α on algebrallinen kunnan K suhteen (yli). Muutoin α on transkendenttinen kunnan K suhteen. Esimerkki 11. A. Tiedetään, että π on transkendenttinen rationaalilukujen kunnan Q suhteen. B. Koska p(π) = 0, p(x) = x π R[x], (7.2) niin välittömästi nähdään, että π on algebrallinen reaalilukujen kunnan R suhteen. 27

28 Määritelmä 7.2. Olkoot K L kuntia ja α L. Algebrallisen luvun α minimipolynomi on asteeltaan pienin mahdollinen pääpolynomi M α (x) K[x] \ K, jolle pätee M α (α) = 0. (7.3) Olkoon deg M α (x) = n, tällöin algebrallisen luvun α aste kunnan K yli on deg α = deg K α = n. (7.4) Lause 7.1. Olkoon K L kuntia ja α L. Algebrallisen luvun α minimipolynomi M α (x) K[x] n on yksikäsitteinen ja jaoton polynomirenkaassa K[x]. Määritelmä 7.3. Olkoon α C astetta deg α = n oleva algebrallinen luku kunnan Q yli. Tällöin sanotaan, että α on astetta deg α = n oleva algebrallinen luku. Jos α C ei ole algebrallinen luku, niin α on transkendenttiluku. Olkoon α on astetta deg α = n oleva algebrallinen luku. Tällöin α:n minimipolynomi M α (x) Q[x] n on jaoton polynomirenkaassa ja sen aste deg M α (x) = n. Siten astetta n olevan algebrallisen luvun minimipolynomi on muotoa M α (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Q, (7.5) oleva jaoton pääpolynomi. Määritelmä 7.4. Olkoon α C astetta deg α = n oleva algebrallinen luku, jonka minimipolynomi M α (x) Z[x] n. (7.6) Tällöin α on astetta deg α = n oleva kokonainen algebrallinen luku. Siten kokonaisen astetta n olevan algebrallisen luvun minimipolynomi on muotoa M α (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Z, (7.7) oleva jaoton pääpolynomi. 28

29 Esimerkki on 2. asteen kokonainen algebrallinen luku. (7.8) Esimerkki 13. x 3 2 = (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 ) (7.9) Lauseen 5.10 nojalla jaottomalla polynomilla nollakohdat ovat erillisiä. Olkoot minimipolynomin M α (x) nollakohdat α 1 = α,...,α n C. Määritelmä 7.5. Algebrallisen luvun α liittoluvut eli konjugaatit ovat minimipolynomin M α (x) nollakohdat α 1,...,α n C. (7.10) Määritelmä 7.6. Algebrallisen luvun α liittolukuihin liittyvät monomorfiat ovat kuntamorfismit σ 1,...,σ n : Q(α) C; (7.11) σ i (α) = α i, i = 1,...,n. (7.12) 7.2 Alkiolla laajentaminen Määritelmä 7.7. Olkoon S R rengaslaajennus ja α 1,...,α m R. Tällöin asetetaan S[α 1,...,α m ] = V, (7.13) S {α 1,...,α m} V R joka on suppein R:n alirengas sisältäen alirenkaan S sekä alkiot α 1,...,α m. Nähdään, että S[α 1,...,α m ] koostuu alkioiden α 1,...,α m polynomilausekkeista. Erityisesti S[α] = {s 0 + s 1 α + s 2 α s n α n s i S, n N} (7.14) on yhden muuttujan α polynomirengas. 29

30 Määritelmä 7.8. Olkoon K L kuntalaajennus ja α 1,...,α m L. Tällöin asetetaan K,α 1,...,α m = M, (7.15) K {α 1,...,α m} M L joka on suppein L:n alikunta sisältäen alikunnan K sekä alkiot α 1,...,α m. Lause 7.2. Lause 7.3. K,α = K(α) = K,α 1,...,α m = K(α 1,...,α m ) = (7.16) { } A B A,B K[α 1,...,α m ], B 0. { } A(α) A(α),B(α) K[α], B 0. (7.17) B(α) Lause 7.4. Jos α on transkendenttinen K:n suhteen, niin eli renkaat K[α] ja K[x] ovat isomorfiset. Edelleen eli kunnat K(α) ja K(x) ovat isomorfiset. K[α] = K[x] (7.18) K(α) = K(x) (7.19) 8 Algebralliset kunnat Määritelmä 8.1. Kuntalaajennus L : K on algebrallinen, jos jokainen L:n alkio on algebrallinen K:n suhteen. Merkintä 6. Kα Kα m = {k 1 α k m α m k 1,...,k m K}. (8.1) Lause 8.1. Olkoon L : K ja β L. Tällöin A. deg K β = s dim K K[β] = s; (8.2) B. Jos β on algebrallinen K:n suhteen, niin K[β] on kunta; C. [L : K] = r < deg K β = s r; (8.3) D. Äärellinen kuntalaajennus L : K on algebrallinen. 30

31 Lause 8.2. Olkoon L : K, α L algebrallinen K:n yli ja deg K α = n. Tällöin A. K,α = K[α] = K + Kα Kα n 1 ; (8.4) B. [ K,α : K] = deg K α = n; (8.5) C. β K,α deg K β = k n; (8.6) D. Kuntalaajennus K,α on algebrallinen. Lauseen 7.3 nojalla K,α = K(α) = { } A(α) A(α),B(α) K[α], B 0. (8.7) B(α) mutta Lauseen 8.2 A. kohdan nojalla algebrallisen luvun määräämässä laajennuskunnassa kaikki α:n rationaalilausekkeet palautuvat α:n polynomilausekkeiksi. Esimerkki 14. Lauseen 8.2 C. kohdan nojalla saadaan 2 1/3 / Q(2 1/2 ), 2 1/2 / Q(2 1/3 ). (8.8) Siten polynomilla x 3 2 ei ole nollakohtia kunnassa Q( 2), (8.9) joten x 3 2 on jaoton polynomirenkaassa Q( 2)[x]. (8.10) Niinpä josta edelleen eli [ Q,2 1/2,2 1/3 : Q] = 6, (8.11) Q,2 1/2,2 1/3 = Q,2 1/6 (8.12) Q(2 1/2,2 1/3 ) = Q(2 1/6 ). (8.13) 31

32 Lemma 8.1. Olkoot [ K,α i : K] = n i, i = 1,...,r. (8.14) Tällöin [ K,α 1,...,α r : K] n 1 n r. (8.15) Lause 8.3. Kuntalaajennus L : K on äärellinen täsmälleen silloin kun L = K,α 1,...,α r ja L on algebrallinen K:n yli. 9 Algebralliset luvut A Kerrataan, että joukko A C koostuu kaikista algebrallisista luvuista kunnan Q yli. Seuraava tulos osoittaa, että algebrallisten lukujen joukko A on kompleksilukujen kunnan alikunta. Lause 9.1. A C. (9.1) Seuraus 9.1. Jos α,β A, niin α ± β, αβ, α/β A. (9.2) Algebran peruslauseen 5.9 nojalla C on algebrallisesti suljettu eli jos τ on algebrallinen C:n suhteen, niin τ C. Seuraava tulos osoittaa, että jos ω C on algebrallinen kunnan A suhteen, niin ω A. Lause 9.2. Algebrallisten lukujen joukko A on algebrallisesti suljettu eli a(x) A[x] \ {0(x)}, a(ω) = 0 ω A. (9.3) 32

33 10 Lukukunnat Määritelmä Olkoon Q K C ja [K : Q] <, tällöin K on lukukunta. Lause Olkoon K on lukukunta. Tällöin on olemassa sellainen τ K, että K = Q(τ). (10.1) Siten lukukunnat ovat yksinkertaisia Q:n laajennuksia eli yhden alkion generoimia laajennuksia. Esimerkki 15. Q(i, 2) = Q(i 2). (10.2) 10.1 Liittoluvut, kuntapolynomi Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa täsmälleen m eri monomorfismia σ i : K C, i = 1,...,m. (10.3) Huom 3. Vaikka a K, niin voi olla σ i (a) K, jollakin i. Esimerkki 16. Olkoon K = Q(2 1/3 ), tällöin σ 2 (2 1/3 ),σ 3 (2 1/3 ) K. (10.4) Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Alkion β K kuntapolynomi on m K β (x) = (x σ i (β)), (10.5) i=1 missä luvut σ i (β) C (10.6) ovat luvun β K liittoluvut kunnan K suhteen. Lause K β (x) Q[x]. (10.7) 33

34 Todistus: Symmetristen polynomien peruslauseeseen nojautuen. Kerrataan vielä, että Määritelmän 7.5 mukaan algebrallisen luvun β liittoluvut eli konjugaatit ovat minimipolynomin M β (x) Q[x] nollakohdat β 1,...,β d C. (10.8) Seuraavassa deg K β (x) = m, deg M β (x) = d. (10.9) Lause Olkoon β K = Q(τ) ja [K : Q] = m. Tällöin M β (x) K β (x); (10.10) Q[x] K β (x) = M β (x) m/d, m/d Z +. (10.11) Seuraus {σ 1 (β),...,σ m (β)} = {β 1,...,β d }; (10.12) β Q σ 1 (β) =... = σ m (β); (10.13) Q(β) = K σ i (β) σ j (β) i j. (10.14) 10.2 Diskriminantti Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Lukujen γ 1,...,γ m K diskriminantti on (γ 1,...,γ m ) = (det(σ i (γ j )) i=1,...,m,j=1,...,m ) 2 = (10.15) 2 σ 1 (γ 1 ) σ 2 (γ 1 )... σ m (γ 1 ) σ 1 (γ m ) σ 2 (γ m )... σ m (γ m ) 34

35 Alkion β K diskriminantti on δ(β) = (1,β,...,β m 1 ) = (10.16) σ 1 (β) σ 2 (β)... σ m (β) σ 1 (β) m 1 σ 2 (β) m 1... σ m (β) m 1 Lause (γ 1,...,γ m ) Q. (10.17) Lause Lukujoukko {γ 1,...,γ m } on K:n kanta täsmälleen silloin kun sen diskriminantti ei häviä eli dim Q Q(γ 1,...,γ m ) = m (γ 1,...,γ m ) 0. (10.18) Lause δ(β) = i<j(σ i (β) σ j (β)) 2 ; (10.19) δ(β) 0 deg Q (β) = m; (10.20) δ(β) 0 Q(β) = K. (10.21) 10.3 Normi ja jälki Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Alkion β K normi on m N(β) = N K (β) = σ i (β) (10.22) ja jälki m T(β) = T K (β) = σ i (β). (10.23) i=1 i=1 35

36 Lause N K (β), T K (β) Q. (10.24) N K (β) 0 β 0. (10.25) (10.24): K β (x) = x m T(β)x m ( 1) m N(β) Q[x]. (10.26) (10.25): Koska σ i on injektio, niin σ i (x) = 0 x = 0. (10.27) Lause N(αβ) = N(α)N(β) (10.28) T(rα + sβ) = rt(α) + st(β); (10.29) N(r) = r m, T(r) = mr; (10.30) kaikilla α,β K, r,s Q. Laskarit. Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta, [K : Q] = m ja M τ (x) minimipolynomi ja DM τ (x) sen derivaatta. Tällöin (1,τ,...,τ m 1 ) = ( 1) m(m 1)/2 N(DM τ (τ)). (10.31) Ei vaadita. Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta, [K : Q] = m ja γ 1,...,γ m K. Tällöin (γ 1,...,γ m ) = det(t(γ i γ j )). (10.32) Ei vaadita. 36

37 11 Kokonaiset algebralliset luvut B Joukko B C koostuu kaikista kokonaisista algebrallisista luvuista kunnan Q yli. Seuraava tulos osoittaa, että kokonaisten algebrallisten lukujen joukko B on algebrallisten lukujen A kunnan alirengas. Lause B A. (11.1) Seuraus Jos α,β B, niin α ± β, αβ B. (11.2) Kokonaisten algebrallisten lukujen joukko B on algebrallisesti suljettu eli Lause Olkoon b(x) = x n b 0 B[x] \ {0(x)}, Ei vaadita. b(ω) = 0 ω B. (11.3) Esimerkki 17. α 2 = α + 1, β 5 + αβ = 0 (11.4) Lause Jos α A, niin pienin d Z +, että ω 2 β = 0 ω B. (11.5) dα B. (11.6) Määritelmä Lauseen 11.3 mukainen luku d Z + on algebrallisen luvun α nimittäjä eli den α = d. 37

38 Esimerkki 18. Olkoon 5α 2 + α + 1 = 0, (5α) 2 + 5α + 5 = 0 (11.7) 5α B, den α = 5. (11.8) Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta. Tällöin Z K = K B (11.9) on K:n kokonaislukujen rengas. Rationaaliset kokonaisluvut muodostavat alirenkaan kokonaisten algebrallisten lukujen renkaille. Lause Z Z K B. (11.10) Edelleen Lause Olkoon β Z K, tällöin Z[β] Z K. (11.11) Huom 4. Usein pätee kuitenkin Z K Z[β]. (11.12) Esimerkki 19. K = Q( 5) on lukukunta, missä Z K, / Z[ 5]. (11.13) Lause Olkoon K lukukunta. Tällöin K = Q(λ), λ Z K. (11.14) Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Jos {λ 1,...,λ m } Z K on K:n kanta, niin (λ 1,...,λ m ) Z \ {0}. (11.15) 38

39 Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa {λ 1,...,λ m } Z K, joka on K:n kanta Q:n yli. Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa {λ 1,...,λ m } Z K, joka on Z K :n kanta Z:n yli. Määritelmä Lauseen 11.9 mukainen Z K :n kanta Z:n yli on kunnan K kokonaislukujen kanta. Lause Olkoon {λ 1,...,λ m } Z K kunnan K kanta. Jos (λ 1,...,λ m ) on neliövapaa, niin {λ 1,...,λ m } on kunnan K kokonaislukujen kanta. Esimerkki 20. ( 1, ) = 5 { 1, } (11.16) on Q( 5):n kokonaislukujen kanta. 12 Jaollisuus renkaassa Z K Lause Olkoon β Z K, tällöin N K (β), T K (β) Z; (12.1) N K (β) 0 β 0. (12.2) Olkoon Z K kokonaislukujen renkaan Z K yksikköryhmä. Lause Olkoot a,b Z K, tällöin a b N(a) N(b); (12.3) Z K Z a Z K N(a) = ±1; (12.4) a b N(a) = ±N(b); (12.5) N(a) P a J ZK. (12.6) 39

40 12.3: Olkoon b = ca, a,b,c Z K (12.7) Koska σ i on homomorfia, niin missä 12.4: Olkoon ensin σ i (b) = σ i (c)σ i (a) i = 1,...,m (12.8) m m m N(b) = σ i (b) = σ i (c) σ i (a) = N(c)N(a), (12.9) i=1 Kohdan (12.3) nojalla saadaan i=1 i=1 N(b),N(c),N(a) Z N(a) N(b). (12.10) Z a Z K a Z K 1. (12.11) N(a) N(1) = 1 N(a) = ±1. (12.12) Z Olkoon sitten N(a) = ±1. (12.13) Siten aσ 2 (a) σ m (a) = ±1, c = σ 2 (a) σ m (a) K. (12.14) Toisaalta, koska a Z K B σ 2 (a),...,σ m (a) B c B. (12.15) Siispä c K B = Z K, ±c a = 1 (12.16) Kohta (12.4) todistettu. a Z K 1 a Z K. (12.17) 40

41 Huomaa, että vaikka a Z K, niin voi olla σ i (a) Z K, vertaa Esimerkki 16. Kuitenkin σ i (a) B. 12.5: Nyt b = ua, u Z K N(u) = ±1 (12.18) N(b) = N(u)N(a) = ±N(a). (12.19) 12.6: Tässä a 0. Vastaoletus: a jakaantuu eli a = bc, b,c Z K, b,c 0, (12.20) Ristiriita. N(b), N(c) 2 N(a) = N(b) N(c) P. (12.21) Lause Olkoon D UFD, a,b,c D ja ab = c k, a b. (12.22) Tällöin a d k, b e k, (12.23) joillakin d,e D. 13 Eräs Diofantoksen yhtälö Algebrallisten lukujen tutkimisen päämotiivi on alkujaan ollut Diofantoksen yhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkki 21. y = x 3, 2 y, (13.1) on Diofantoksen yhtälö eli sille haetaan kokonaislukuratkaisuja. I. Yhtälö hajoaa kunnassa K = Q( 2) seuraavasti: (y + 2)(y 2) = x 3. (13.2) 41

42 II. Kokonaislukujen rengas on Z K = Z + Z 2. (13.3) III. Sen yksikköryhmä on IV. Kokonaisalue Z K = {±1}. (13.4) Z K = Z + Z 2. (13.5) on Normi-Eukleideen alue ja siten UFD. Siten siinä voi operoida kuten rationaalisten kokonaislukujen renkaassa (vrt. Lukuteoria I: Pythagoraan yhtälön ratkaiseminen.) V. Olkoon d = a + b 2 Z K, (13.6) d = syt(y 2,y + 2) (13.7) d 2y, d 2 2 (13.8) N(d) N(2y), N(d) N(2 2) (13.9) a 2 + 2b 2 4y 2, a 2 + 2b 2 8 (13.10) d = ±1, ±2, ± 2. (13.11) Näistä vain d = ±1 y 2,y + 2, (13.12) y 2 y + 2, (13.13) y + 2 = (c + d 2) 3, c + d 2 Z K. (13.14) c = ±1,d = 1, x = 3, y = ±5. (13.15) 42

43 14 Neliökunnat Jokainen neliökunta on esitettävissä muodossa K = Q( d), d Z, (14.1) missä d on neliövapaa tästä eteenpäin. Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K = Z + Zλ, (14.2) missä λ = d, d 2, 3 (mod 4); (14.3) λ = 1 + d, d 1 (mod 4); (14.4) 2 = 4d, d 2, 3 (mod 4); (14.5) = d, d 1 (mod 4). (14.6) 14.1 Imaginaariset neliökunnat Yksikköryhmä Seuraavassa ω = e 2π 3 i. (14.7) Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K = {±1, ±i}, d = 1; (14.8) Z K = {±1}, d = 2; (14.9) Z K = {±1, ±ω, ±ω 2 }, d = 3; (14.10) Z K = {±1}, d Z 5. (14.11) Todistus laskareissa. 43

44 UFD/Eukleideen alue Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K on UFD, kun d = 1, 2, 3, 7, 11, (14.12) jotka ovat imaginaariset Eukleideen alueet ja lisäksi, kun d = 19, 43, 67, 163. (14.13) Tässä kaikki, kun d 1. Tapaus d = 1, jolloin Z Q( 1) = Z[i]. Todistetaan, että Z[i] on Eukleideen alue. Olkoot a, b Z[i], jolloin Valitaan sellaiset s,t Z, että a = x + iy, x,y Q. (14.14) b x s 1 2, y t 1 2. (14.15) Olkoon q = s + it, a = qb + r, r Z[i]. (14.16) Ottamalla normit saadaan N(r) = N(b)N(x s + i(y t)) = N(b)((x s) 2 + (y t) 2 ) (14.17) N(b) 1 2 N(r) < N(b) (14.18) ja lisäksi N : Z[i] N, (14.19) joten N on Eukleideen funktio. Edelleen, Lauseen 4.2 nojalla Eukleideen alue on aina UFD. 44

45 Gaussin kokonaisluvut/alkuluvut Määritelmä Kunnan K = Q(i), kokonaislukujen renkaan Z K = Z[i] (14.20) alkioita sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi. Edelleen jaottomat Gaussin kokonaisluvut ovat Gaussin alkulukuja. Koska Z[i] on UFD, niin sen jaottomat alkiot ovat alkualkioita eli P Z[i] = J Z[i]. (14.21) Lause π = a + ib P Z[i] (14.22) π 1 + i; (14.23) π a + ib, a 2 + b 2 = p P, p 1 (mod 4); (14.24) π p P, p 3 (mod 4). (14.25) 14.2 Reaaliset neliökunnat Yksikköryhmä Reaalisen neliökunnan yksikköryhmät ovat äärettömiä ja yleisessä tapauksessa varsin hankalasti määrättävissä. Niiden määräämiseen tarvitaan tietoa Pellin yhtälöiden ratkaisemisesta. Lause Olkoon K = Q( d), d Z 2. Tällöin Z K = {x k + y k d xk + y k d = (x1 + y 1 d) k, k Z}, (14.26) missä (x 1,y 1 ) Z 2 on pienin positiivinen Pellin yhtälön x 2 dy 2 = 1 (14.27) ratkaisu. Ei vaadita. Kyseessä oleva pienin ratkaisu voidaan etsiä käyttäen ketjumurtolukujen teoriaa, katso kurssi: Ketjumurtoluvut. 45

46 UFD/Eukleideen alue Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K on UFD, kun d = 2,3,5,6,7,13,17,21,29,33,37,41,57,73, (14.28) jotka ovat reaaliset Eukleideen alueet ja lisäksi, kun d = 11,14,19,22,23,31,38,43,46,47,53,59,61,62,67, Tässä vain kaikki, missä 2 d ,71,77,83,86,89,93,94,97. (14.29) 46

47 15 Työkaluja Tässä kappaleessa esitellään kattava luettelo algebrallisista rakenteista ja muista työkaluista. Varsinainen kurssimateriaali aikaisemmissa kappaleissa Algebrallisia rakenteita Puoliryhmä, monoidi Määritelmä A. Pari (A, ) on puoliryhmä eli semigroup, jos pätee: S0) on A:n laskutoimitus eli binäärioperaatio eli a b A a,b A. S1) on assosiatiivinen eli liitännäinen eli a (b c) = (a b) c a,b,c A. Edelleen pari (A, ) on monoidi, jos S0) ja S1):n lisäksi pätee: S2) neutraalialkio= e A e a = a e = a, a A Ryhmä, Abelin ryhmä, Group Määritelmä Monoidi (G, ) on ryhmä, jos pätee: G3) käänteisalkio= a 1 G a a 1 = a 1 a = e, a G. (G0=S0, G1=S1, G2=S2) Määritelmä Ryhmä (G, ) on Abelin ryhmä, jos pätee: G4) on kommutatiivinen eli a b = b a a,b G. 47

48 Rengas, Ring Tästä eteenpäin tarkastellaan struktuureja, joissa on kaksi laskutoimitusta + ja. Määritelmä R. Kolmikko (R,+, ) on rengas, jos pätee: 1) (R,+) on Abelin ryhmä. 2) (R, ) on puoliryhmä. 3) distributiivisuus eli osittelulait a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc, a,b,c R. Tällöin sanotaan, että R on rengas. Määritelmä Rengas R on kommutatiivinen, mikäli kertolasku on vaihdannainen eli ab = ba, a,b R. Määritelmä Rengas R on ykkösellinen rengas, mikäli (R, ) on monoidi eli kertolaskun ykkösalkio = 1 R. (R,+) on renkaan additiivinen ryhmä, ja renkaan nolla-alkio= 0 R Kokonaisalue, Integral Domain Määritelmä Renkaan R alkio a 0 on nollantekijä, jos b R\{0} s.e. ab = 0 tai ba = 0. Määritelmä Kommutatiivinen ykkösellinen rengas D on kokonaisalue, mikäli D:ssä ei ole nollantekijöitä eli ehdosta ab = 0 seuraa a = 0 tai b = 0 a,b D Kunta, Field Määritelmä Kolmikko (K,+, ) on kunta, jos: 48

49 1) (K,+) on Abelin ryhmä (additiivinen ryhmä), 2) (K, ) on Abelin ryhmä (multiplikatiivinen ryhmä), K = K\{0}. 3) a(b + c) = ab + ac, a,b,c K. Erityisesti, kunta on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Lisäksi polynomirengas K[x], K =kunta, on kokonaisalue POTENSSI Kertolaskurakenteessa (A, ), e, a A: a 0 = e, a k+1 = a a k 0 Z k N a k = (a 1 ) k k N, jos a 1 Sanotaan, että a k on a:n k:s potenssi ja k on vastaava eksponentti MONIKERTA Yhteenlaskurakenteessa (B, +), e = 0, b B: 0b = e, 0 Z (k + 1)b = b + kb k N ( k)b = k( b) k N, jos b Sanotaan, että kb on b:n k:s monikerta ja k on vastaava kerroin (yhteenlaskettavien lkm summassa kb = b b). Siten 0b = 0, 1b = b Rengashomomorfiat Määritelmä Olkoot R,R 1 ja R 2 renkaita. Tällöin kuvaus H : R 1 R 2 49

50 on rengasmorfismi eli rengashomomorfia, jos pätee H(a + b) = H(a) + H(b), H(ab) = H(a)H(b), H(1 1 ) = 1 2, 1 1 R 1, 1 2 R 2 (ykkösalkioita). Edelleen homomorfia on monomorfia, jos se on injektio. isomorfia, jos se on bijektio. automorfia, jos se on isomorfia: R R. F-automorfia, jos H(a) = a, a F R Symmetriset peruspolynomit Tutkitaan polynomi-identiteettiä n n F(x) = (x x k ) = ( 1) n i A i x i. (7.1) k=1 i=0 0. Sijoittamalla x = 0, saadaan vakiotermeistä identiteetti n F(0) = ( 1) n x j = ( 1) n A 0, j=1 joten n A 0 = x j. (7.2) j=1 (Tulolla (7.2) määritellään Normi.) 1. Lasketaan derivaatat yhtälössä (7.1) puolittain, jolloin n D (x x k ) = k=1 1 (x x 2 ) (x x n ) + (x x 1 ) (x x 3 ) (x x n ) (x x 1 )(x x 2 ) (x x n 1 ), (7.3) josta kohdassa x = 0 saadaan DF(0) = ( 1) n 1 (x 2 x 3 x n + x 1 x 3 x n

51 +x 1 x 2 x n 1 ). (7.4) Toisaalta DF(0) = ( 1) n 1 A 1 ja siten n n A 1 = x i. (7.5) j=1 i=1,i j n-1. Myös n A n 1 = x j (7.6) j=1 on usein tarpeen (ja sen avulla määritellään Jälki(=Trace).) Yleisesti saadaan A n k = x j1 x j2 x jk, (7.7) 1 j 1<j 2<...<j k n joilla on yhteys A n k = s k (x 1,...x n ) (7.8) symmetrisiin peruspolynomeihin s k (elementary symmetric polynomials). ESIM: a) n = 4. (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) = x 4 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )x 3 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 )x 2 (x 1 x 2 x 3 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 )x + x 1 x 2 x 3 x 4. (7.9) 51

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain...

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain... Sisältö 1 Johdanto 0-4 1.1 Algebralliset luvut............... 0-6 2 Perusteita 0-9 3 Renkaat ja kunnat 0-11 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain......... 0-12 3.2 Kunta, Field.................. 0-13 4 Jaollisuus

Lisätiedot

802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II

802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II 802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT

Lisätiedot

ALGEBRALLISET LUVUT S. Tapani Matala-aho

ALGEBRALLISET LUVUT S. Tapani Matala-aho ALGEBRALLISET LUVUT 802656S Tapani Matala-aho 24. huhtikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 4 1.1 Algebralliset luvut........................ 5 2 Perusteita 6 3 Renkaat ja kunnat 7 3.1 Kokonaisalue, Integral

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat 0-10

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat 0-10 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-4 1.1 Algebralliset luvut............... 0-6 2 Perusteita 0-8 3 Renkaat ja kunnat 0-10 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain......... 0-12 3.2 Kunta, Field..................

Lisätiedot

TOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28

TOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28 TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS

Lisätiedot

2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];

2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x]; 802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset

Lisätiedot

802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I

802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I 802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT

Lisätiedot

802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Sisältö 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus.............................

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset

Lisätiedot

14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.

14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo. 14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat

Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat 3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen

Lisätiedot

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I 800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin

Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007 Tampereen yliopisto

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat

Lisätiedot

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI 4 1.1 Moduli; alimoduli................................ 4 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli.......................

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa

Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto Yliopistonkatu 2, 80101 Joensuu Fysiikan ja matematiikan laitos Tuomas Manninen, 243034 11. joulukuuta

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä

Lisätiedot

LUKUTEORIA johdantoa

LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,

Lisätiedot

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I 800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 1 Contents 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus/Course overview..................

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

Johdatus p-adisiin lukuihin

Johdatus p-adisiin lukuihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II 802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K, 1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 27. helmikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 5 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat 10 7

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta

Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta Teppo Lahti Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tommi Kuusisto

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tommi Kuusisto TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tommi Kuusisto Äärellisistä kunnista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian

Lisätiedot

Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria

Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo

Lisätiedot

Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista

Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Leo Majaranta Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2011 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho

KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista

Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista PRO GRADU -TUTKIELMA Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2015 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ojansivu,

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Algebra 2. Syksy Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto

Algebra 2. Syksy Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Algebra 2 Syksy 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á ÂÓ ÒØÓ Ð Ö Ý ØĐ ÐĐÓØ 1. Koulualgebrasta algebraan Koulun matematiikan opetuksen suurimpia abstraktiohyppäyksiä on

Lisätiedot

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Yleistä Merkintöjä Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Työkaluja 0-10

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Yleistä Merkintöjä Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Työkaluja 0-10 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Yleistä 0-5 1.1 Merkintöjä................... 0-7 1.1.1 Lukujoukot............... 0-7 1.1.2 Sekalaisia merkintöjä.......... 0-8 2 Työkaluja 0-10 2.1 Porrasfunktiot.................

Lisätiedot

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

15. Laajennosten väliset homomorfismit

15. Laajennosten väliset homomorfismit 15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti

Lisätiedot

1. Hiukan lineaarialgebraa

1. Hiukan lineaarialgebraa ÁÎ ÃÓ Ø ÐÓ ³Ò Ø ÓÖ 1. Hiukan lineaarialgebraa 1.1. Määritelmä. Olkoon K = (K, +, ) kunta (ns. kerroinkunta). Joukko V varustettuna yhteenlaskulla +:V V V ja skalaarikerronnalla :K V V on K- vektoriavaruus,

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot