802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II
|
|
- Jutta Salonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II1 / 104
2 Symmetriset polynomit Määritelmä 1 Olkoon R rengas. Formaali lauseke P(t 1,..., t m ) = p i1,...,i m t i 1 i tm im, p i1,...,i m R (1.1) Finite on m. muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä t 1,..., t m ovat polynomin muuttujia. Polynomin P aste on deg P(t 1,..., t m ) = max{i i m }. (1.2) Käytetään kaikkien R-kertoimisten polynomien joukolle merkintää R[t 1,..., t m ]. (1.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II2 / 104
3 Symmetriset polynomit Olkoon < i 1,..., i m > termin p i1,...,i m t i 1 i tm im eksponentti. Tällöin termejä voidaan vertailla kuten yhden muuttujan tapauksessa vastinpotensseja. Siten joukkoon R[t 1,..., t m ] voidaan määritellä luonnollisella tavalla identtisyys sekä yhteen- ja kertolaskut. Voidaan todistaa, että kolmikko (R[t 1,..., t m ], +, ) on rengas. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II3 / 104
4 Symmetriset polynomit Olkoon S M joukon {1, 2,..., m} permutaatioryhmä. Jos λ S m, niin merkitään p λ (t 1,..., t m ) = p(t λ(1),..., t λ(m) ). (1.4) Määritelmä 2 Polynomi p on symmetrinen, jos p(t λ(1),..., t λ(m) ) = p(t 1,..., t m ) λ S m. (1.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II4 / 104
5 Symmetriset polynomit Perusfunktiot Määritelmä 3 Polynomit 1 j 1 <j 2 <...<j k m s k = s k (t 1,..., t m ) = (1.6) t j1 t j2 t jk, k = 1,..., m, ovat symmetriset perusfunktiot/elementary symmtric polynomials. Lemma 1 Symmetriset perusfunktiot s 1,..., s m ovat symmetrisiä polynomeja eli aina, kun k = 1,..., m. s k (t λ(1),..., t λ(m) ) = s k (t 1,..., t m ) λ S m (1.7) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II5 / 104
6 Symmetriset polynomit Siten polynomeja s 1 = t t m ; (1.8) s 2 = t 1 t 2 + t 1 t t m 1 t m ; (1.9) s 3 = t 1 t 2 t 3 + t 1 t 2 t t m 2 t m 1 t m ; (1.10)... s m = t 1 t 2 t m 1 t m ; (1.11) voidaan kutsua myös symmetrisiksi peruspolynomeiksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II6 / 104
7 Symmetriset polynomit Lause 1 Symmetristen polynomien peruslause. Jokainen renkaan R[t 1,..., t m ] symmetrinen polynomi S(t 1,..., t m ) voidaan esittää symmetristen perusfunktioiden s 1 = s 1 (t 1,..., t m ),..., s m = s m (t 1,..., t m ) polynomina eli on olemassa sellainen P(s 1,..., s m ) R[s 1,..., s m ], että S(t 1,..., t m ) = P(s 1 (t 1,..., t m ),..., s m (t 1,..., t m )). (1.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II7 / 104
8 Symmetriset polynomit Olkoot S R renkaita. Oletetaan, että polynomi a(x) = a 0 + a 1 x x m S[x] jakaantuu polynomirenkaassa R[x] seuraavasti a(x) = (x α 1 ) (x α m ), α 1,..., α m R. (1.13) Lause 2 Olkoon b(t 1,..., t m ) S[t 1,..., t m ] symmetrinen polynomi. Tällöin b(α 1,..., α m ) S. (1.14) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II8 / 104
9 Symmetriset polynomit Olkoot K L kuntia. Oletetaan, että polynomi a(x) = a 0 + a 1 x a m x m K[x] jakaantuu polynomirenkaassa L[x] seuraavasti a(x) = a m (x α 1 ) (x α m ), α 1,..., α m L. (1.15) Lause 3 Olkoon b(t 1,..., t m ) K[t 1,..., t m ] symmetrinen polynomi. Tällöin b(α 1,..., α m ) K. (1.16) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II9 / 104
10 Symmetriset polynomit Esimerkki 1 Olkoon Tällöin x 2 + bx + c = (x α)(x β) Q[x]. (1.17) α 2 + β 2 Q, (1.18) α 3 + 2αβ + β 3 Q. (1.19) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 10 / 104
11 Kuntalaajennus/Field extension Kuntalaajennus Määritelmä 4 Kunta K on kunnan L alikunta/sub field eli kunta L on kunnan K laajennus/extension K ja L ovat kuntia sekä K L. Tällä kurssilla kuntalaajennukselle käytetään merkintöjä L : K ja K L. Kun L : K, niin L voidaan tulkita lineaariavaruudeksi kunnan K yli asettamalla yhteenlasku/we can interpret L as a vector space over K by setting addition L L L, (α, β) α + β; (2.1) ja skalaarilla r K kertominen/scalar multiplication K L L, (r, α) rα (2.2) käyttäen kunnan L yhteen- ja kertolaskuja/by using the fiel operations. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 11 / 104
12 Kuntalaajennus/Field extension Kuntalaajennus Määritelmä 5 Kuntalaajennuksen aste/degree of field extension eli [L : K] = dim K L. äärellinen/finite, jos [L : K] <. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 12 / 104
13 Kuntalaajennus/Field extension Kuntatorni/Field tower Jos K M L, niin kuntaa M sanotaan välikunnaksi/intermediate field. L 1 L 2 L 3 K K L 3 L 1 ja K L 3 L 2 Lause 4 Olkoon K M L kuntatorni. Tällöin [L : K] = [L : M][M : K]. (2.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 13 / 104
14 Kuntalaajennus/Field extension Kuntatorni/Field tower Todistus. Olkoot M = α 1,..., α r K = Kα Kα r, dim K M = r; L = β 1,..., β s M = Mβ Mβ s, dim M L = s. (2.4) Valitaan γ L. Sille pätee γ = m j = γ = s m j β j, m j M; j=1 r k ij α i, k ij K i=1 r i=1 j=1 #{α i β j } = rs. s k ij α i β j Kα 1 β Kα r β s, (2.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 14 / 104
15 Kuntalaajennus/Field extension Kuntatorni/Field tower Osoitetaan vielä, että {α i β j } on lineaarisesti vapaa. Asetetaan r i=1 j=1 s h ij α i β j = 0, h ij K ( s r ) h ij α i β j = 0, missä {β j } on kanta/m j=1 i=1 r h ij α i = 0, missä {α i } on kanta/k i=1 h ij = 0, i, j. (2.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 15 / 104
16 Kuntalaajennus/Field extension Osamääräkunta Tarkennetaan hieman rationaalilukujen ja rationaalifunktioiden käsitteitä ja sitä kautta niillä operointia. Määritelmä 6 Olkoon D kokonaisalue ja a, b, c, d D, bd 0. Asetetaan relaatio (a, b) (c, d) ad = bc. (2.7) Lause 5 Relaatio on ekvivalenssirelaatio joukossa D (D \ {0}) = D. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 16 / 104
17 Kuntalaajennus/Field extension Osamääräkunta Määritelmä 7 Ekvivalenssiluokille [a, b] = {(c, d) D (c, d) (a, b)} sovitaan yhteenlasku [a 1, b 1 ] + [a 2, b 2 ] = [a 1 b 2 + a 2 b 1, b 1 b 2 ] (2.8) ja kertolasku [a 1, b 1 ][a 2, b 2 ] = [a 1 a 2, b 1 b 2 ] (2.9) aina, kun (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) D. Merkitään vielä a/b = a b = [a, b] ja Q(D) = {a/b (a, b) D}. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 17 / 104
18 Kuntalaajennus/Field extension Osamääräkunta Voidaan todistaa, että Lause 6 Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta (quotient field, field of fractions). Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a = a/1. Edelleen { a 1 a D} = D, (2.10) ab 1 = a ( ) b 1 = a b = a b (2.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 18 / 104
19 Kuntalaajennus/Field extension Osamääräkunta Esimerkki 2 Olkoon D = Z, joka on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta Q(Z), jonka avulla rationaalilukujoukko saadaan määriteltyä tarkasti. Määritelmä 8 Rationaalilukujen kunta Q = Q(Z). Nyt rationaalilukujen supistamis-/cancellation ja laventamislaki/convert seuraa suoraan Määritelmästä 7. ac bc = a b a b = da db (2.12) (2.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 19 / 104
20 Kuntalaajennus/Field extension Osamääräkunta Esimerkki 3 Olkoon K kunta, jolloin polynomirengas D = K[x] on kokonaisalue. Määritelmä 9 Rationaalifunktioiden kunta K(x) = Q(K[x]). Tällöin pätevät ylläesitetyt supistussäännöt, jolloin mm. (x 2 1)x (x 1)x 2 = x + 1 = x x. (2.14) Esimerkki 4 Olkoon K kunta, jolloin formaalien sarjojen joukko D = K[[T ]] on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta, joka on isomorfinen formaalien Laurentin sarjojen kunnan kanssa eli Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 20 / 104
21 Kuntalaajennus/Field extension Osamääräkunta Lause 7 Näillä rakenteilla on seuraavat suhteet: Määritelmä 10 Formaali derivaatta on lineaarinen kuvaus, jolle pätee K((T )) = Q(K[[T ]]). (2.15) K[T ] K(T ) K((T )), (2.16) K[T ] K[[T ]] K((T )). (2.17) D : K((T )) K((T )) DT k = kt k 1 k Z. (2.18) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 21 / 104
22 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Määritelmä 11 Olkoot K L kuntia ja α L. Jos on olemassa sellainen p(x) K[x] \ K, että p(α) = 0 (3.1) niin α on algebrallinen kunnan/algebraic over the field K suhteen (yli). Muutoin α on transkendenttinen/transcendental over kunnan K suhteen. Esimerkki 5 A. Tiedetään, että π on transkendenttinen rationaalilukujen kunnan Q suhteen. B. Koska p(π) = 0, p(x) = x π R[x], (3.2) niin välittömästi nähdään, että π on algebrallinen reaalilukujen kunnan R suhteen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 22 / 104
23 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Määritelmä 12 Olkoot K L kuntia ja α L. Algebrallisen luvun α minimipolynomi on asteeltaan pienin mahdollinen pääpolynomi/lowest degree monic polynomial M α (x) K[x] \ K, jolle pätee M α (α) = 0. (3.3) Olkoon deg M α (x) = n, tällöin algebrallisen luvun α aste/degree kunnan K yli on deg α = deg K α = n 1. (3.4) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 23 / 104
24 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Lause 8 Olkoon K L kuntia ja α L. Algebrallisen luvun α minimipolynomi M α (x) K[x] n on yksikäsitteinen ja jaoton/unique and irreducible polynomirenkaassa K[x]. Todistus. Jos M α (x) jakaantuu, niin Koska M α (x) = A 1 (x)a 2 (x), deg A 1 (x), deg A 2 (x) n 1. (3.5) niin olisi olemassa polynomi A i (x) K[x]: 0 = M α (α) = A 1 (α)a 2 (α), (3.6) A i (α) = 0, deg A i (x) n 1. Ristiriita. (3.7) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 24 / 104
25 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Yksikäsitteisyys: Olkoot M α (x), N α (x) K[x] n alkion α minimipolynomeja. Koska ne ovat jaottomia ja M α (α) = N α (α) = 0, niin Lauseen?? nojalla M α (x) N α (x) ja N α (x) M α (x). (3.8) K[x] K[x] Täten M α (x) = k N α (x) ja edelleen M α (x) = N α (x). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 25 / 104
26 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Määritelmä 13 Olkoon α C astetta deg α = n oleva algebrallinen luku kunnan Q yli. Tällöin sanotaan, että α on astetta deg α = n oleva algebrallinen luku. Jos α C ei ole algebrallinen luku, niin α on transkendenttiluku. Olkoon α on astetta deg α = n oleva algebrallinen luku. Tällöin α:n minimipolynomi M α (x) Q[x] n on jaoton polynomirenkaassa ja sen aste deg M α (x) = n. Siten astetta n olevan algebrallisen luvun minimipolynomi on muotoa M α (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Q, (3.9) oleva jaoton pääpolynomi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 26 / 104
27 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Kokonainen algebrallinen luku Määritelmä 14 Olkoon α C astetta deg α = n oleva algebrallinen luku, jonka minimipolynomi M α (x) Z[x] n. (3.10) Tällöin α on astetta deg α = n oleva kokonainen algebrallinen luku/algebraic integer. Siten kokonaisen astetta n olevan algebrallisen luvun minimipolynomi on muotoa M α (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Z, (3.11) oleva jaoton pääpolynomi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 27 / 104
28 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Algebraic integer Esimerkki on 2. asteen kokonainen algebrallinen luku. (3.12) Esimerkki 7 x 3 2 = (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 ) (3.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 28 / 104
29 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Lauseen?? nojalla jaottomalla polynomilla nollakohdat ovat erillisiä. Olkoot α 1 = α, α 2,..., α n C. minimipolynomin M α (x) nollakohdat, jotka ovat siis erillisiä eli α i α j, kun i j. Määritelmä 15 Algebrallisen luvun α liittoluvut eli konjugaatit ovat minimipolynomin M α (x) nollakohdat α 1,..., α n C. (3.14) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 29 / 104
30 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Määritelmä 16 Algebrallisen luvun α liittolukuihin liittyvät monomorfiat ovat kuntamorfismit σ 1,..., σ n : K = Q(α) C; (3.15) joille pätee: Lisäksi usein kiinnitetään σ i on injektio; (3.16) σ i (x + y) = σ i (x) + σ i (y); (3.17) σ i (xy) = σ i (x)σ i (y); (3.18) σ i Q = Id : Q Q identtinen kuvaus (3.19) σ i (α) = α i, i = 1,..., n. (3.20) σ 1 = Id K, σ 1 (α) = α. (3.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 30 / 104
31 Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Määritelmä 17 Olkoon Q K C ja [K : Q] <, tällöin K on lukukunta. Lause 9 Olkoon K lukukunta ja σ : K C monomorfia. Tällöin σ(a) = a a Q. (3.22) σ(aα + bβ) = aσ(α) + bσ(β), a, b Q, α, β K. (3.23) σ(p(β)) = p(σ(β)) β K, p(x) Q[x]. (3.24) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 31 / 104
32 Algebralliset luvut Alkiolla laajentaminen Määritelmä 18 Olkoon S R rengaslaajennus/ring extension ja α 1,..., α m R. Tällöin asetetaan S[α 1,..., α m ] = V, (3.25) S {α 1,...,α m} V R joka on suppein R:n alirengas sisältäen alirenkaan S sekä alkiot α 1,..., α m. Thinnest sub ring containing... Nähdään, että S[α 1,..., α m ] koostuu alkioiden α 1,..., α m polynomilausekkeista. Erityisesti S[α] = {s 0 + s 1 α + s 2 α s n α n s i S, n N} (3.26) on yhden muuttujan α polynomirengas. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 32 / 104
33 Algebralliset luvut Alkiolla laajentaminen Määritelmä 19 Olkoon K L kuntalaajennus ja α 1,..., α m L. Tällöin asetetaan K, α 1,..., α m = M, (3.27) K {α 1,...,α m} M L joka on suppein L:n alikunta sisältäen alikunnan K sekä alkiot α 1,..., α m. Lause 10 K, α 1,..., α m = K(α 1,..., α m ) := (3.28) { } A B A, B K[α 1,..., α m ], B 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 33 / 104
34 Algebralliset luvut Alkiolla laajentaminen Lause 11 K, α = K(α) := Lause 12 Jos α on transkendenttinen K:n suhteen, niin { } A(α) A(α), B(α) K[α], B 0. (3.29) B(α) eli renkaat K[α] ja K[x] ovat isomorfiset. Edelleen eli kunnat K(α) ja K(x) ovat isomorfiset. K[α] = K[x] (3.30) K(α) = K(x) (3.31) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 34 / 104
35 Algebralliset kunnat Määritelmä 20 Kuntalaajennus L : K on algebrallinen, jos jokainen L:n alkio on algebrallinen K:n suhteen. Merkintä 1 Kα Kα m := {k 1 α k m α m k 1,..., k m K}; (4.1) K[β] n := Kβ 0 + Kβ Kβ n. (4.2) Välittömästi K[β] n K[β] = Kβ 0 + Kβ (4.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 35 / 104
36 Algebralliset kunnat Lause 13 Olkoon L : K ja β L. Tällöin A. deg K β = s K[β] = K[β] s 1 ja dim K K[β] = s; (4.4) B. Jos β on algebrallinen K:n suhteen, niin K[β] on kunta; C. [L : K] = r < deg K β = s r; (4.5) D. äärellinen kuntalaajennus L : K on algebrallinen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 36 / 104
37 Algebralliset kunnat Lause 14 Olkoon L : K, α L algebrallinen K:n yli ja deg K α = n. Tällöin A. K, α = K[α] = K + Kα Kα n 1 ; (4.6) B. [ K, α : K] = deg K α = n; (4.7) C. β K, α deg K β = k n; (4.8) D. Kuntalaajennus K, α on algebrallinen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 37 / 104
38 Algebralliset kunnat Todistus. Lause 13 A. : Olkoon deg K β = s. Osoitetaan aluksi, että Olkoon β:n minimipolynomi K[β] = K[β] s 1 = Kβ 0 + Kβ Kβ s 1. (4.9) M β (x) = b 0 x x s K[x] ja a(β) K[β], a(x) K[x]. (4.10) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 38 / 104
39 Algebralliset kunnat Jakoalgoritmin nojalla a(x) = q(x)m β (x) + r(x), deg r(x) s 1 a(β) = q(β)m β (β) + r(β) = r(β) K[β] s 1 K[β] K[β] s 1 K[β] = K[β] s 1. (4.11) Näytetään vielä, että {β 0, β 1,..., β s 1 } muodostaa kannan. Nimittäin, jos asetetaan k 0 β 0 + k 1 β k s 1 β s 1 = 0, k 0,..., k s 1 K, k i 0, jollakin i = 0,..., s 1 deg K β s 1. Ristiriita. dim K K[β] = dim K K[β] s 1 = s. (4.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 39 / 104
40 Algebralliset kunnat : Olkoon K[β] = K[β] s 1 ja dim K K[β] = s. Siten dim K K[β] s 1 = s ja K[β] s 1 = Kβ 0 + Kβ Kβ s 1, (4.13) missä {β 0, β 1,..., β s 1 } ovat lineaarisesti riippumattomia K:n yli. Jos olisi p(x) K[x], 1 deg p(x) s 1, p(β) = 0, Toisaalta β s K[β] = K[β] s 1 {β 0, β 1,..., β s 1 } olisi lin. sidottu. Ristiriita deg K β s. (4.14) β s = k 0 β 0 + k 1 β k s 1 β s 1 deg K β s. (4.15) deg K β = s. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 40 / 104
41 Algebralliset kunnat Todistus. Lause 13 C: B. kohdasta saadaan, että K[β] on L:n alikunta. Koska [L : K] = r <, niin A. kohdan nojalla dim K K[β] := s dim K L = r deg K β = s r. (4.16) Nyt K K[β] L muodostaa kuntatornin. Siten Lauseen 4 nojalla [L : K] = [L : K[β]][K[β] : K] r = vs, v = [L : K[β]]. (4.17) Niinpä s r. (4.18) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 41 / 104
42 Algebralliset kunnat Huomautus 1 Lauseen 11 nojalla K, α = K(α) = { } A(α) A(α), B(α) K[α], B 0. (4.19) B(α) mutta Lauseen 14 A. kohdan nojalla algebrallisen luvun määräämässä laajennuskunnassa kaikki α:n rationaalilausekkeet palautuvat α:n polynomilausekkeiksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 42 / 104
43 Algebralliset kunnat Esimerkki 8 Tarkastellaan kuntalaajennusta L := Q, 2 1/2, 2 1/3 = Q, 2 1/2, 2 1/3. (4.20) Merkitään M 2 := Q, 2 1/2, M 3 := Q, 2 1/3. (4.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 43 / 104
44 Algebralliset kunnat Aluksi M α1 = x 2 2 = (x α 1 )(x α 2 ), α 1 = 2 1/2, M α1 J Q[x], deg Q M α1 = 2, [M 2 : Q] = 2; (4.22) M β1 = x 3 2 = (x β 1 )(x β 2 )(x β 3 ), β 1 = 2 1/3, M β1 J Q[x], deg Q M β1 = deg Q M β2 = deg Q M β3 = 3, Lauseen 14 C kohdan nojalla [M 3 : Q] = 3. (4.23) β 1, β 2, β 3 / M 2, α 1, α 2 / M 3. (4.24) Siten polynomilla x 3 2 ei ole nollakohtia kunnassa M 2, joten x 3 2 on jaoton polynomirenkaassa M 2 [x]. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 44 / 104
45 Algebralliset kunnat Niinpä [L : M 2 ] = [ M 2, 2 1/3 : Q, 2 1/2 ] = 3. (4.25) Edelleen Lauseen 4 mukaan [L : Q] = [L : M 2 ][M 2 : Q] = 6. (4.26) Vastaavasti kuten Lauseen 4 todistuksessa M 2 = 1, 2 1/2 Q = Q 1 + Q2 1/2, dim Q M 2 = 2; L = 1, 2 1/3, 2 2/3 M2 = M M 2 2 1/3 + M 2 2 2/3, dim M2 L = 3. Josta saadaan Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 45 / 104
46 Algebralliset kunnat L = Q 1 + Q2 1/2 + Q2 1/3 + Q2 1/2 2 1/3 + Q2 2/3 + Q2 1/2 2 2/3 = 1, 2 1/6, 2 2/6, 2 3/6, 2 4/6, 2 5/6 Q, dim Q L = 6. Siten eli Q, 2 1/2, 2 1/3 = Q, 2 1/6 (4.27) Q(2 1/2, 2 1/3 ) = Q(2 1/6 ). (4.28) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 46 / 104
47 Algebralliset kunnat Lemma 2 Olkoot Tällöin [ K, α i : K] = n i, i = 1,..., r. (4.29) [ K, α 1,..., α r : K] n 1 n r. (4.30) Lause 15 Kuntalaajennus L : K on äärellinen täsmälleen silloin kun L = K, α 1,..., α r ja L on algebrallinen K:n yli. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 47 / 104
48 Algebralliset luvut A Kerrataan, että joukko A C koostuu kaikista algebrallisista luvuista kunnan Q yli. Seuraava tulos osoittaa, että algebrallisten lukujen joukko A on kompleksilukujen kunnan alikunta. Lause 16 A C. (5.1) Seuraus 1 Jos α, β A, niin α ± β, αβ, α/β A. (5.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 48 / 104
49 Algebralliset luvut A Algebran peruslauseen?? nojalla C on algebrallisesti suljettu eli jos τ on algebrallinen C:n suhteen, niin τ C. Seuraava tulos osoittaa, että jos ω C on algebrallinen kunnan A suhteen, niin ω A. Lause 17 Algebrallisten lukujen joukko A on algebrallisesti suljettu eli a(x) A[x] \ {0(x)}, a(ω) = 0 ω A. (5.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 49 / 104
50 Lukukunnat Lause 18 Olkoon K on lukukunta. Tällöin on olemassa sellainen τ K, että K = Q(τ). (6.1) Siten lukukunnat ovat yksinkertaisia Q:n laajennuksia eli yhden alkion generoimia laajennuksia. Number fields are generated by a single element. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 50 / 104
51 Lukukunnat Todistus. Induktiolla. Tarkastellan tapausta K = Q(α, β) (6.2) ja osoitetaan, että K = Q(α + cβ), jollakin c Q. (6.3) Olkoot M α (x) = (x α 1 ) (x α n ) Q[x]; M β (x) = (x β 1 ) (x β m ) Q[x]. (6.4) Tällöin on olemassa sellainen c Q, että γ := α + cβ α i + cβ j, (i, j) (1, 1). (6.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 51 / 104
52 Lukukunnat a). Välittömästi γ := α + cβ Q(α, β) Q(γ) Q(α, β). (6.6) b). Osoitetaan (mutta ei niin välittömästi), että Q(α, β) Q(γ). (6.7) Tarkastellaan polynomeja r(x) = M α (γ cx) Q(γ)[x], deg r(x) = n, r(β) = M α (γ cβ) = M α (α) = 0; M β (β) = 0, M β (x) Q[x], (6.8) missä polynomin M β (x) kaikki nollakohdat β j ovat yksinkertaisia. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 52 / 104
53 Lukukunnat Asetetaan nyt r(τ) = M β (τ) = 0 τ = β k ; 0 = r(τ) = M α (γ cτ) γ cτ = α h γ = α h + cτ = α h + cβ k γ = α + cβ τ = β. (6.9) Siten yksinkertainen nollakohta β on ainoa yhteinen polynomien r(x) ja M β (x) nollakohta. Olkoon Jos olisi deg d(x) 2 d(x) = s.y.t(r(x), M β (x)) Q(γ)[x]. (6.10) d(x) = (x β)(x κ)q(x), β, κ C r(κ) = M β (κ) = 0 κ = β (x β) 2 M β (x) (6.11) C[x] Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 53 / 104
54 Lukukunnat Ristiriita. Siten deg d(x) = 1 ja d(x) = (x β) Q(γ)[x] β Q(γ) α = γ cβ Q(γ) Q(α, β) Q(γ). (6.12) Esimerkki 9 Q(i, 2) = Q(i 2). (6.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 54 / 104
55 Lukukunnat Liittoluvut, kuntapolynomi Conjugates, field polynomial Lause 19 Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa täsmälleen m eri monomorfismia Huomautus 2 Vaikka a K, niin voi olla σ i (a) K, jollakin i. Esimerkki 10 Olkoon K = Q(2 1/3 ), tällöin σ i : K C, i = 1,..., m. (6.14) σ 2 (2 1/3 ), σ 3 (2 1/3 ) K. (6.15) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 55 / 104
56 Lukukunnat Liittoluvut, kuntapolynomi Field polynomial Määritelmä 21 Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Alkion β K kuntapolynomi/field polynomial on missä luvut K β (x) = m (x σ i (β)), (6.16) i=1 σ i (β) C (6.17) ovat luvun β K liittoluvut kunnan K suhteen/conjugates over K. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 56 / 104
57 Lukukunnat Liittoluvut, kuntapolynomi Lause 20 K β (x) Q[x]. (6.18) Todistus: Symmetristen polynomien peruslauseeseen nojautuen. Kerrataan vielä, että Määritelmän 15 mukaan algebrallisen luvun β liittoluvut eli konjugaatit ovat minimipolynomin M β (x) Q[x] nollakohdat β 1,..., β d C. (6.19) Seuraavassa deg K β (x) = m, deg M β (x) = d. (6.20) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 57 / 104
58 Lukukunnat Liittoluvut, kuntapolynomi Lause 21 Olkoon β K = Q(τ) ja [K : Q] = m. Tällöin M β (x) K β (x); (6.21) Q[x] K β (x) = M β (x) m/d, m/d Z +. (6.22) Seuraus 2 {σ 1 (β),..., σ m (β)} = {β 1,..., β d }; (6.23) β Q σ 1 (β) =... = σ m (β); (6.24) Q(β) = K σ i (β) σ j (β) i j. (6.25) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 58 / 104
59 Lukukunnat Diskriminantti/EI vaadita Määritelmä 22 Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Lukujen γ 1,..., γ m K diskriminantti on (γ 1,..., γ m ) = (det(σ i (γ j )) i=1,...,m,j=1,...,m ) 2 = (6.26) σ 1 (γ 1 ) σ 2 (γ 1 )... σ m (γ 1 ) σ 1 (γ m ) σ 2 (γ m )... σ m (γ m ) 2. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 59 / 104
60 Lukukunnat Diskriminantti/EI vaadita Alkion β K diskriminantti on δ(β) = (1, β,..., β m 1 ) = (6.27) σ 1 (β) σ 2 (β)... σ m (β) σ 1 (β) m 1 σ 2 (β) m 1... σ m (β) m 1 2. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 60 / 104
61 Lukukunnat Diskriminantti/EI vaadita Lause 22 (γ 1,..., γ m ) Q. (6.28) Lause 23 Lukujoukko {γ 1,..., γ m } on K:n kanta täsmälleen silloin kun sen diskriminantti ei häviä eli dim Q Q(γ 1,..., γ m ) = m (γ 1,..., γ m ) 0. (6.29) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 61 / 104
62 Lukukunnat Diskriminantti/EI vaadita Lause 24 δ(β) = i<j (σ i (β) σ j (β)) 2 ; (6.30) δ(β) 0 deg Q (β) = m; (6.31) δ(β) 0 Q(β) = K. (6.32) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 62 / 104
63 Lukukunnat Normi ja jälki Norm and trace Määritelmä 23 Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Alkion β K normi on m N(β) = N K (β) = σ i (β) (6.33) i=1 ja jälki/trace T (β) = T K (β) = m σ i (β). (6.34) i=1 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 63 / 104
64 Lukukunnat Normi ja jälki Lause 25 N K (β), T K (β) Q. (6.35) N K (β) 0 β 0. (6.36) Todistus. (6.35): K β (x) = x m T (β)x m ( 1) m N(β) Q[x]. (6.37) (6.36): Koska σ i on injektio, niin σ i (x) = 0 x = 0. (6.38) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 64 / 104
65 Lukukunnat Normi ja jälki Lause 26 N(αβ) = N(α)N(β) (6.39) T (rα + sβ) = rt (α) + st (β); (6.40) N(r) = r m, T (r) = mr; (6.41) kaikilla α, β K, r, s Q. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 65 / 104
66 Lukukunnat Normi ja jälki Esimerkki 11 Osoitetaan jälkifuntiota käyttäen, että/let us show by using the trace function that 3 1/2 / K = Q(2 1/2 ) = Q[2 1/2 ]. (6.42) Huomaa, että Tehdään vastaoletus [Q(2 1/2 ) : Q] = [Q(3 1/2 ) : Q] = 2. (6.43) 3 1/2 Q[2 1/2 ] = Q + 2 1/2 Q (6.44) eli 3 1/2 = a + b2 1/2, a, b Q. (6.45) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 66 / 104
67 Lukukunnat Normi ja jälki Otetaan jälki T K (3 1/2 ) = T K (a) + T K (b2 1/2 ) = 2a + bt K (2 1/2 ). (6.46) Toisaalta/On the other hand. Tuloksen (6.22) mukaan lukujen 2 1/2 ja 3 1/2 kuntapolynomit K 2 1/2(x) = K 3 1/2(x) = 2 (x σ i (2 1/2 )) = x 2 T K (2 1/2 )x + N K (2 1/2 ); i=1 2 (x σ i (3 1/2 )) = x 2 T K (3 1/2 )x + N K (3 1/2 ) i=1 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 67 / 104
68 Lukukunnat Normi ja jälki kunnan K suhteen ovat vastaavien minimipolynomien/powers of corresponding minimal polynomials potensseja. Siten M 2 1/2(x) = x 2 2; M 3 1/2(x) = x 2 3 x 2 2 = x 2 T K (2 1/2 )x + N K (2 1/2 ); x 2 3 = x 2 T K (3 1/2 )x + N K (3 1/2 ), (6.47) josta T K (2 1/2 ) = T K (3 1/2 ) = 0. (6.48) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 68 / 104
69 Lukukunnat Normi ja jälki Sijoittamalla yhtälöön (6.46) saadaan a = 0 3 1/2 = b2 1/2, b Q (3/2) 1/2 = b T K ((3/2) 1/2 ) = 2b. (6.49) Toisaalta K (3/2) 1/2(x) = x 2 T K ((3/2) 1/2 )x + N K ((3/2) 1/2 ); M (3/2) 1/2(x) = x 2 3/2 T K ((3/2) 1/2 ) = 0 b = 0 3 1/2 = 0. (6.50) Ristiriita. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 69 / 104
70 Lukukunnat Normi ja jälki Lause 27 EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta, [K : Q] = m ja M τ (x) minimipolynomi ja DM τ (x) sen derivaatta. Tällöin (1, τ,..., τ m 1 ) = ( 1) m(m 1)/2 N(DM τ (τ)). (6.51) Lause 28 EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta, [K : Q] = m ja γ 1,..., γ m K. Tällöin (γ 1,..., γ m ) = det(t (γ i γ j )). (6.52) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 70 / 104
71 Kokonaiset algebralliset luvut B Joukko B C koostuu kaikista kokonaisista algebrallisista luvuista kunnan Q yli. The set B C consists of all algebraic integers over Q. Seuraava tulos osoittaa, että kokonaisten algebrallisten lukujen joukko B on algebrallisten lukujen A kunnan alirengas. Lause 29 B A. (7.1) Seuraus 3 Jos α, β B, niin α ± β, αβ B. (7.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 71 / 104
72 Kokonaiset algebralliset luvut B Kokonaisten algebrallisten lukujen joukko B on algebrallisesti suljettu/algebraicly closed eli Lause 30 Olkoon b(x) = x n b 0 B[x] \ {0(x)}, b(ω) = 0 ω B. (7.3) Esimerkki 12 α 2 = α + 1, β 5 + αβ = 0 (7.4) ω 2 β = 0 ω B. (7.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 72 / 104
73 Kokonaiset algebralliset luvut B Lause 31 Jos α A, niin pienin/smallest d Z +, että Määritelmä 24 dα B. (7.6) Lauseen 31 mukainen luku d Z + on algebrallisen luvun α nimittäjä eli den α = d. Esimerkki 13 Olkoon 5α 2 + α + 1 = 0, (5α) 2 + 5α + 5 = 0 (7.7) 5α B, den α = 5. (7.8) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 73 / 104
74 Kokonaiset algebralliset luvut B Määritelmä 25 Olkoon K = Q(τ) lukukunta. Tällöin Z K = K B (7.9) on K:n kokonaislukujen rengas/ring of integers. Esimerkki 14 Z Q = Z. (7.10) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 74 / 104
75 Kokonaiset algebralliset luvut B Esimerkki /7 / Q. (7.11) Vastaoletus 2 1/7 Q. Mutta 2 1/7 B 2 1/7 Z. Esimerkki 16 Olkoon n Z 2. Tällöin Lisäksi 1 < 2 1/7 < 2. Ristiriita. (7.12) 2 1/n + 3 1/n / Q. (7.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 75 / 104
76 Kokonaiset algebralliset luvut B Rationaaliset kokonaisluvut muodostavat alirenkaan kokonaisten algebrallisten lukujen renkaille. Lause 32 Z Z K B. (7.14) Edelleen Lause 33 Olkoon β Z K, tällöin Z[β] Z K. (7.15) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 76 / 104
77 Kokonaiset algebralliset luvut B Huomautus 3 Usein pätee kuitenkin Esimerkki 17 K = Q( 5) on lukukunta, missä Z K Z[β]. (7.16) Z K, / Z[ 5]. (7.17) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 77 / 104
78 Kokonaiset algebralliset luvut B Lause 34 EI vaadita. Olkoon K lukukunta. Tällöin K = Q(λ), λ Z K. (7.18) Lause 35 EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Jos {λ 1,..., λ m } Z K on K:n kanta, niin (λ 1,..., λ m ) Z \ {0}. (7.19) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 78 / 104
79 Kokonaiset algebralliset luvut B Lause 36 EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa {λ 1,..., λ m } Z K, joka on K:n kanta Q:n yli. Lause 37 EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa {λ 1,..., λ m } Z K, joka on Z K :n kanta Z:n yli. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 79 / 104
80 Kokonaiset algebralliset luvut B Määritelmä 26 Lauseen 37 mukainen Z K :n kanta Z:n yli on kunnan K kokonaislukujen kanta. Lause 38 EI vaadita. Olkoon {λ 1,..., λ m } Z K kunnan K kanta. Jos (λ 1,..., λ m ) on neliövapaa, niin {λ 1,..., λ m } on kunnan K kokonaislukujen kanta. Esimerkki 18 ( 1, ) on Q( 5):n kokonaislukujen kanta. = 5 { 1, } (7.20) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 80 / 104
81 Jaollisuus renkaassa Z K Lause 39 Olkoon β Z K, tällöin N K (β), T K (β) Z; (8.1) N K (β) 0 β 0. (8.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 81 / 104
82 Jaollisuus renkaassa Z K Olkoon Z K kokonaislukujen renkaan Z K yksikköryhmä. Lause 40 Olkoot a, b Z K, tällöin a b N(a) N(b); (8.3) Z K Z a Z K N(a) = ±1; (8.4) a b N(a) = ±N(b); (8.5) N(a) P a J ZK. (8.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 82 / 104
83 Jaollisuus renkaassa Z K Todistus. 8.3: Olkoon Koska σ i on homomorfia, niin b = ca, a, b, c Z K (8.7) σ i (b) = σ i (c)σ i (a) i = 1,..., m (8.8) missä N(b) = m σ i (b) = i=1 m m σ i (c) σ i (a) = N(c)N(a), (8.9) i=1 i=1 N(b), N(c), N(a) Z N(a) N(b). (8.10) Z Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 83 / 104
84 Jaollisuus renkaassa Z K 8.4: Olkoon ensin Kohdan (8.3) nojalla saadaan a Z K a Z K 1. (8.11) N(a) N(1) = 1 N(a) = ±1. (8.12) Z Olkoon sitten Siten N(a) = ±1. (8.13) aσ 2 (a) σ m (a) = ±1, c = σ 2 (a) σ m (a) K. (8.14) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 84 / 104
85 Jaollisuus renkaassa Z K Toisaalta, koska Siispä a Z K B σ 2 (a),..., σ m (a) B c B. (8.15) Kohta (8.4) todistettu. c K B = Z K, ±c a = 1 (8.16) a Z K 1 a Z K. (8.17) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 85 / 104
86 Jaollisuus renkaassa Z K Huomaa, että vaikka a Z K, niin voi olla σ i (a) Z K, vertaa Esimerkki 10. Kuitenkin σ i (a) B. 8.5: Nyt b = ua, u Z K N(u) = ±1 (8.18) N(b) = N(u)N(a) = ±N(a). (8.19) 8.6: Tässä a 0. Vastaoletus: a jakaantuu eli Ristiriita. a = bc, b, c Z K, b, c 0, (8.20) N(b), N(c) 2 N(a) = N(b) N(c) P. (8.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 86 / 104
87 Jaollisuus renkaassa Z K Lause 41 Oletetaan, että D on UFD, a, b, c D ja Tällöin joillakin/with some d, e D. ab = c k, a b. (8.22) a d k, b e k, (8.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 87 / 104
88 Eräs Diofantoksen yhtälö/a Diophantine equation Algebrallisten lukujen tutkimisen päämotiivi on alkujaan ollut Diofantoksen yhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkki 19 y = x 3, 2 y, (9.1) on Diofantoksen yhtälö eli sille haetaan kokonaislukuratkaisuja/seeking integer solutions. I. Yhtälö hajoaa/equation splits kunnassa K = Q( 2) seuraavasti: (y + 2)(y 2) = x 3. (9.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 88 / 104
89 Eräs Diofantoksen yhtälö/a Diophantine equation II. Kokonaislukujen rengas on III. Sen yksikköryhmä on IV. Kokonaisalue Z K = Z + Z 2. (9.3) Z K = {±1}. (9.4) Z K = Z + Z 2. (9.5) on Normi-Eukleideen alue ja siten UFD. Siten siinä voi operoida kuten rationaalisten kokonaislukujen renkaassa (vrt. Lukuteorian perusteet: Pythagoraan yhtälön ratkaiseminen.) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 89 / 104
90 Eräs Diofantoksen yhtälö/a Diophantine equation V. Olkoon D = syt(y 2, y + 2), D Z K 2y, D D = a + b 2 Z K (9.6) Z K 2 2 (9.7) N(D) N(2y), Z N(D) N(2 2), Z N(D) = (a + b 2)(a b 2) = a 2 + 2b 2 (9.8) a 2 + 2b 2 4y 2, a 2 + 2b 2 8 (9.9) Z Z D = ±1, ±2, ± 2. (9.10) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 90 / 104
91 Eräs Diofantoksen yhtälö/a Diophantine equation Jos esimerkiksi 2 Z K y 2 y 2 = 2(e + f 2), e, f Z Vastaavasti päätellään, että vain D = ±1 2f = y, Ei käy. (9.11) Z K y 2, y + 2, (9.12) y 2 y + 2, (9.13) y + 2 = (c + d 2) 3, c + d 2 Z K, c, d Z 1 = d(3c 2 2d) d = ±1, d = 1, c = ±1; y = c 3 6cd 2 y = ±5 x = 3, y = ±5. (9.14) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 91 / 104
92 Neliökunnat Jokainen neliökunta on esitettävissä muodossa K = Q( d), d Z, (10.1) missä d on neliövapaa tästä eteenpäin. Lause 42 Olkoon K = Q( d), tällöin Z K = Z + Zλ, (10.2) missä λ = d, d 2, 3 (mod 4); (10.3) λ = 1 + d, 2 d 1 (mod 4); (10.4) = 4d, d 2, 3 (mod 4); (10.5) = d, d 1 (mod 4). (10.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 92 / 104
93 Neliökunnat Todistus. Tarkastellaan kokonaislukua β = r + s d Z K, r, s Q T (β) = 2r Z r 1 2 Z r = a 2, a Z; N(β) = r 2 ds 2 Z d(2s) 2 = (2r) 2 4N(β) Z, missä 2s = k l, k l, d(2s) 2 = dk2 l 2 Z, missä d on neliövapaa l = 1, 2s Z s = b, b Z. (10.7) 2 Siten β = a + b d, a, b Z. (10.8) 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 93 / 104
94 Neliökunnat Tutkitaan sitten mitä arvoja luvut a ja b saavat. Tapaus 10.3 eli d 2, 3 (mod 4): Koska N(β) = a2 db 2 4 Z a 2 db 2 0 (mod 4) a b 0 (mod 2) β = a + b d 2 = A + B d, A, B Z. (10.9) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 94 / 104
95 Neliökunnat Tapaus 10.4 eli d 1 (mod 4): Koska N(β) = a2 db 2 4 Z a 2 b 2 (mod 4) a b 0 (mod 2) tai a b 1 (mod 2) (10.10) β = a + b d, a b (mod 2), a, b Z 2 β = A + B 1 + d, A, B Z. (10.11) 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 95 / 104
96 Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat Yksikköryhmä Seuraavassa ω = e 2π 3 i. (10.12) Lause 43 Olkoon K = Q( d), tällöin Z K Z K = {±1, ±i}, d = 1; (10.13) = {±1}, d = 2; (10.14) Z K = {±1, ±ω, ±ω2 }, d = 3; (10.15) Z K = {±1}, d Z 5. (10.16) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 96 / 104
97 Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat Esimerkiksi tapaus: d = 5 3 (mod 4), joten kokonaisluvut muotoa β = A + B 5, A, B Z N(β) = A 2 + 5B 2 = 1 A = ±1, B = 0 Z Q( 5) = {±1}. (10.17) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 97 / 104
98 Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat UFD/Eukleideen alue Lause 44 Olkoon K = Q( d), tällöin Z K on UFD, kun d = 1, 2, 3, 7, 11, (10.18) jotka ovat imaginaariset Eukleideen alueet ja lisäksi, kun d = 19, 43, 67, 163. (10.19) Tässä kaikki, kun d 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 98 / 104
99 Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat UFD/Eukleideen alue Todistus. Tapaus d = 1, jolloin Z Q( 1) = Z[i]. Todistetaan, että Z[i] on Eukleideen alue. Olkoot a, b Z[i], jolloin a b Valitaan sellaiset s, t Z, että = x + iy, x, y Q. (10.20) x s 1 2, y t 1 2. (10.21) Olkoon q = s + it, a = qb + r, r Z[i]. (10.22) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS SYKSY 2017 PART II 99 / 104
100 Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat UFD/Eukleideen alue Ottamalla normit saadaan N(r) = N(b)N(x s + i(y t)) = N(b)((x s) 2 + (y t) 2 ) (10.23) N(b) 1 2 N(r) < N(b) (10.24) ja lisäksi N : Z[i] N, (10.25) joten N on Eukleideen funktio. Edelleen, Lauseen?? nojalla Eukleideen alue on aina UFD. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAICSYKSY NUMBERS 2017PART100 II / 104
101 Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat Gaussin kokonaisluvut/alkuluvut Määritelmä 27 Kunnan K = Q(i), kokonaislukujen renkaan Z K = Z[i] (10.26) alkioita sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi. Edelleen jaottomat Gaussin kokonaisluvut ovat Gaussin alkulukuja. Koska Z[i] on UFD, niin sen jaottomat alkiot ovat alkualkioita eli P Z[i] = J Z[i]. (10.27) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAICSYKSY NUMBERS 2017PART101 II / 104
102 Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat Gaussin kokonaisluvut/alkuluvut Lause 45 π = a + ib P Z[i] (10.28) π 1 + i; (10.29) π a + ib, a 2 + b 2 = p P, p 1 (mod 4); (10.30) π p P, p 3 (mod 4). (10.31) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAICSYKSY NUMBERS 2017PART102 II / 104
103 Neliökunnat Reaaliset neliökunnat Yksikköryhmä Reaalisen neliökunnan yksikköryhmät ovat äärettömiä ja yleisessä tapauksessa varsin hankalasti määrättävissä. Niiden määräämiseen tarvitaan tietoa Pellin yhtälöiden ratkaisemisesta. Lause 46 Olkoon K = Q( d), d Z 2. Tällöin Z K = {x k + y k d xk + y k d = (x1 + y 1 d) k, k Z}, (10.32) missä (x 1, y 1 ) Z 2 on pienin positiivinen Pellin yhtälön ratkaisu. x 2 dy 2 = 1 (10.33) Kyseessä oleva pienin ratkaisu voidaan etsiä käyttäen ketjumurtolukujen teoriaa, katso kurssi: Ketjumurtoluvut. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAICSYKSY NUMBERS 2017PART103 II / 104
104 Neliökunnat Reaaliset neliökunnat UFD/Eukleideen alue Lause 47 Olkoon K = Q( d), tällöin Z K on UFD, kun d = 2, 3, 5, 6, 7, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73, (10.34) jotka ovat reaaliset Eukleideen alueet ja lisäksi, kun d = 11, 14, 19, 22, 23, 31, 38, 43, 46, 47, 53, 59, 61, 62, 67, 69, 71, 77, 83, 86, 89, 93, 94, 97. (10.35) Tässä vain kaikki, missä 2 d 100. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT OSA II ALGEBRAICSYKSY NUMBERS 2017PART104 II / 104
ALGEBRALLISET LUVUT S. Tapani Matala-aho
ALGEBRALLISET LUVUT 802656S Tapani Matala-aho 24. huhtikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 4 1.1 Algebralliset luvut........................ 5 2 Perusteita 6 3 Renkaat ja kunnat 7 3.1 Kokonaisalue, Integral
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat 0-10
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-4 1.1 Algebralliset luvut............... 0-6 2 Perusteita 0-8 3 Renkaat ja kunnat 0-10 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain......... 0-12 3.2 Kunta, Field..................
Lisätiedot2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
Lisätiedot1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain...
Sisältö 1 Johdanto 0-4 1.1 Algebralliset luvut............... 0-6 2 Perusteita 0-9 3 Renkaat ja kunnat 0-11 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain......... 0-12 3.2 Kunta, Field.................. 0-13 4 Jaollisuus
Lisätiedot1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5. 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field...
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Algebralliset luvut.......................... 4 2 Perusteita 5 3 Renkaat ja kunnat 6 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain................... 7 3.2 Kunta, Field.............................
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
Lisätiedot802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Sisältö 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus.............................
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Lisätiedot800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA II FIELD EXTENSIONS PART II
800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA II FIELD EXTENSIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotSeuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat
3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I
800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
LisätiedotTodistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
LisätiedotÄärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007 Tampereen yliopisto
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
LisätiedotAlgebrallisista ja transkendenttisista luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Leo Majaranta Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2011 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Lisätiedot800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I
800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 1 Contents 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus/Course overview..................
Lisätiedot11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.
11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
LisätiedotKETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho
KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys Jakoalgoritmi Kantakehitelmät
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-1 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys 0-3 2.1 Jakoalgoritmi.................. 0-3 2.2 Kantakehitelmät................ 0-3 2.2.1 Kokonaisluvun b-kantakehitelmä.....
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotViidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta
Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta Teppo Lahti Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot13.3. Transkendenttisuudesta. 14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
13.3. Transkendenttisuudesta. Luvun todistamiseksi algebralliseksi riittää löytää polynomi, jonka juuri kyseinen luku on. Transkendenttisuuden todistaminen on sen sijaan työläämpää. Jotkut tapaukset ovat
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
Lisätiedot802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho
802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 207 Sisältö ABSTRACT 3 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 3 2. ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA................. 3 2.2
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotAritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa
Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto Yliopistonkatu 2, 80101 Joensuu Fysiikan ja matematiikan laitos Tuomas Manninen, 243034 11. joulukuuta
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotTranskendenttiluvuista
Transkendenttiluvuista Juuso Mattila Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 205 2 TIIVISTELMÄ JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
Lisätiedot2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,
1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K
ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI 4 1.1 Moduli; alimoduli................................ 4 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli.......................
LisätiedotSymmetriset polynomit ja resultantti
Symmetriset polynomit ja resultantti Pro gradu -tutkielma Pauliina Pigg Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Tammikuu 2014 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF
LisätiedotAlgebrallisista käyristä
Tampereen yliopisto Pro gradu -tutkielma Heidi Kalliojärvi Algebrallisista käyristä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotTeemu Ojansivu Polynomien resultanteista
PRO GRADU -TUTKIELMA Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2015 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ojansivu,
LisätiedotKetjumurtoluvut ja Pellin yhtälö
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viivi Seppälä Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SEPPÄLÄ,
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotAvainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit eli niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho
802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 27. helmikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 5 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat 10 7
Lisätiedot