800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I
|
|
|
- Seppo Laakso
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 1 / 80
2 ABSTRACT Tarkastelun kohteena ovat renkaiden tekijärakenteet, osamääräkunnat ja kuntalaajennukset. Esimerkkeinä tutkitaan äärellisiä kuntia, rationaalifunktioiden kuntia ja formaalien sarjojen osamääräkuntia sekä lukukuntien alkeita. Tavoitteena on syventää opiskelijoiden algebrallista ajattelutapaa ja antaa valmiuksia esimerkiksi algebrallisten lukujen, lukuteorian, kryptografian ja ryhmäteorian syventäviä kursseja varten. Under the inspection are factor structures of rings, quotient rings and field extensions. As examples we study finite fields, fields of rational functions and quotient fields of formal series as well as basics of number fields. An ultimate target is to deepen students algebraic mindset and to give completeness e.g. for advanced courses in algebraic numbers, number theory, cryptography, and group theory. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 2 / 80
3 INTRODUCTION/JOHDANTO Kurssikuvaus/Course overview Aluksi kerrataan renkaiden ja kuntien perusteita, joista edetään kuntalaajennuksiin. First we revise some basics of rings and fields which are needed to proceed ahead field extensions A KUNTALAAJENNUKSET/NOPPA LINK A FIELD EXTENSIONS/NOPPA LINK. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 3 / 80
4 INTRODUCTION/JOHDANTO BASICS/POHJATIEDOT/ LÄHTEITÄ/REFERENCES Esitiedot: Algebran ja Lineaarialgebran aineopintokurssit. Michael Artin: Algebra. John B. Fraleigh: Abstract algebra. Olympia E. Nicodemi, Melissa A. Sutherland, Gary W. Towsley: An Introduction to Abstract Algebra. American Mathematical Monthly/LINK Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 4 / 80
5 Identity axioms with a binary relation Binary relation Let A be a nonempty set. A binary operation/laskutoimitus denoted by is a mapping/kuvaus : A A A, (a, b) a b meaning that a b A, whenever a A ja b A. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 5 / 80
6 Identity axioms with a binary relation Binary relation Let A be a nonempty set. A binary operation/laskutoimitus denoted by is a mapping/kuvaus : A A A, (a, b) a b meaning that a b A, whenever a A ja b A. Particular cases: apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 5 / 80
7 Identity axioms with a binary relation Binary relation Let A be a nonempty set. A binary operation/laskutoimitus denoted by is a mapping/kuvaus : A A A, (a, b) a b meaning that a b A, whenever a A ja b A. Particular cases: multiplication/kertolasku denoted by apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 5 / 80
8 Identity axioms with a binary relation Binary relation Let A be a nonempty set. A binary operation/laskutoimitus denoted by is a mapping/kuvaus : A A A, (a, b) a b meaning that a b A, whenever a A ja b A. Particular cases: multiplication/kertolasku denoted by yhteenlasku/addition denoted by + apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 5 / 80
9 Identity axioms with a binary relation Identity axioms (a) a : a = a. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 6 / 80
10 Identity axioms with a binary relation Identity axioms (a) a : a = a. (b) a 1, a 2, b 1, b 2 : a 1 = b 1, a 2 = b 2 (a 1 = a 2 b 1 = b 2 ). apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 6 / 80
11 Identity axioms with a binary relation Identity axioms (a) a : a = a. (b) a 1, a 2, b 1, b 2 : a 1 = b 1, a 2 = b 2 (a 1 = a 2 b 1 = b 2 ). (c) a 1, a 2, b 1, b 2 : a 1 = b 1, a 2 = b 2 a 1 a 2 = b 1 b 2. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 6 / 80
12 Group Group Let G be a nonempty set with a multiplication : G G G, (a, b) a b. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 7 / 80
13 Group Group Määritelmä 1 A pair (G, ) is a group, if the multiplication satisfies the following axioms: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 8 / 80
14 Group Group Määritelmä 1 A pair (G, ) is a group, if the multiplication satisfies the following axioms: (a) a (b c) = (a b) c for all a, b, c G (assosiativity). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 8 / 80
15 Group Group Määritelmä 1 A pair (G, ) is a group, if the multiplication satisfies the following axioms: (a) a (b c) = (a b) c for all a, b, c G (assosiativity). (b) There exists an identity element 1 G, satisfying 1 a = a 1 = a for all a G. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 8 / 80
16 Group Group Määritelmä 1 A pair (G, ) is a group, if the multiplication satisfies the following axioms: (a) a (b c) = (a b) c for all a, b, c G (assosiativity). (b) There exists an identity element 1 G, satisfying 1 a = a 1 = a for all a G. (c) For all a G there exists an inverse a 1 G, satisfying a a 1 = a 1 a = 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 8 / 80
17 Group Basics of equation manipulation Huomautus 1 Olkoot a, b G. Identiteettiaksiooman c nojalla identiteetin a = b molemmat puolet saa kertoa samalla alkiolla c G, jolloin ca = cb. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 9 / 80
18 Group Abelian group In the case of commutative group the addition notation is familiar. Olkoon A epätyhjä joukko, jossa on määritelty yhteenlasku/addition + : A A A, (a, b) a + b. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 10 / 80
19 Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80
20 Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c A (liitännäisyys). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80
21 Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: (a) a + (b + c) = (a + b) + c (b) a + b = b + a kaikilla a, b, c A (liitännäisyys). kaikilla a, b A (vaihdannaisuus/commutativity). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80
22 Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: (a) a + (b + c) = (a + b) + c (b) a + b = b + a kaikilla a, b, c A (liitännäisyys). kaikilla a, b A (vaihdannaisuus/commutativity). (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 A, jolle 0 + a = a kaikilla a A. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80
23 Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: (a) a + (b + c) = (a + b) + c (b) a + b = b + a kaikilla a, b, c A (liitännäisyys). kaikilla a, b A (vaihdannaisuus/commutativity). (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 A, jolle 0 + a = a kaikilla a A. (d) Kaikilla a A on olemassa vasta-alkio/additive inverse a A, jolle a + ( a) = 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80
24 Group Basics of equation manipulation Huomautus 2 Let A be an Abelian group and a, b A. By the indentity axiom c we may add the same element c A to the both sides of the identity a = b whereupon a + c = b + c. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 12 / 80
25 Ring Ring In this course we are studying commutative rings with unity, if nothing else is said. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 13 / 80
26 Ring Ring In this course we are studying commutative rings with unity, if nothing else is said. Olkoon R epätyhjä joukko, jossa on määritelty Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 13 / 80
27 Ring Ring In this course we are studying commutative rings with unity, if nothing else is said. Olkoon R epätyhjä joukko, jossa on määritelty yhteenlasku: missä a + b R, kun a R ja b R + : R R R, (a, b) a + b, Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 13 / 80
28 Ring Ring In this course we are studying commutative rings with unity, if nothing else is said. Olkoon R epätyhjä joukko, jossa on määritelty yhteenlasku: missä a + b R, kun a R ja b R sekä kertolasku : + : R R R, (a, b) a + b, : R R R, (a, b) a b, missä a b R, kun a R ja b R. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 13 / 80
29 Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80
30 Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80
31 Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80
32 Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R. (b) a + b = b + a kaikilla a, b R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80
33 Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R. (b) a + b = b + a kaikilla a, b R. (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 R, jolle 0 + a = a kaikilla a R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80
34 Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R. (b) a + b = b + a kaikilla a, b R. (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 R, jolle 0 + a = a kaikilla a R. (d) Kaikilla a R on olemassa vasta-alkio/additive inverse a R, jolle a + ( a) = 0. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80
35 Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80
36 Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80
37 Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. (b) a b = b a kaikilla a, b R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80
38 Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. (b) a b = b a kaikilla a, b R. (c) On olemassa ykkösalkio/identity 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80
39 Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. (b) a b = b a kaikilla a, b R. (c) On olemassa ykkösalkio/identity 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. 3. Osittelulaki/distribution law: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80
40 Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. (b) a b = b a kaikilla a, b R. (c) On olemassa ykkösalkio/identity 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. 3. Osittelulaki/distribution law: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80
41 Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80
42 Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80
43 Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä/abelian group, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80
44 Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä/abelian group, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio/neutral element on nolla-alkio 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80
45 Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä/abelian group, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio/neutral element on nolla-alkio 0. Mutta (R, ) EI/NOT ole kertolaskun suhteen (välttämättä/necessarily) ryhmä/group. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80
46 Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä/abelian group, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio/neutral element on nolla-alkio 0. Mutta (R, ) EI/NOT ole kertolaskun suhteen (välttämättä/necessarily) ryhmä/group. Kertolaskun neutraalialkio on ykkösalkio/identity element 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80
47 Ring Huomautus 3 If we assume #R 2, then 0 1. Merkintä 1 Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: a b = ab. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 17 / 80
48 Ring Määritelmä 4 Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.1) on renkaan R yksikköryhmä (unit group). Usein käytetään esitystä jolloin pätee R = {u R v R : uv = 1}, (3.2) u R 1 = uv, u, v R. (3.3) Jos R = K kunta/field, niin K = K\{0}. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 18 / 80
49 Integral Domain Määritelmä 5 Renkaan R alkio a 0 on nollantekijä (zero divisor), jos b R\{0} s.e. ab = 0 tai ba = 0. Määritelmä 6 Kommutatiivinen ykkösellinen rengas D on kokonaisalue/integral domain, mikäli D:ssä ei ole nollantekijöitä eli ehdosta ab = 0, a, b D aina seuraa a = 0 tai b = 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 19 / 80
50 Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80
51 Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80
52 Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80
53 Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K. (b) a + b = b + a kaikilla a, b K. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80
54 Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K. (b) a + b = b + a kaikilla a, b K. (c) On olemassa nolla-alkio 0 K, jolle 0 + a = a kaikilla a K. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80
55 Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K. (b) a + b = b + a kaikilla a, b K. (c) On olemassa nolla-alkio 0 K, jolle 0 + a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K on olemassa vasta-alkio a K, jolle a + ( a) = 0. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80
56 Field 2. Kertolaskun aksiomit: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80
57 Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80
58 Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80
59 Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80
60 Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80
61 Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = Osittelulaki: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80
62 Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = Osittelulaki: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c K. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80
63 Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80
64 Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80
65 Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80
66 Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80
67 Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a d sanovat, että (K, ) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80
68 Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a d sanovat, että (K, ) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi. Sanotaan siis, että (K, ) on kunnan K kertolaskuryhmä, jonka neutraalialkio on ykkös-alkio 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80
69 Field LYHYESTI: Kolmikko (K, +, ), #K 2 on kunta, jos: 1 (K, +) on Abelin ryhmä (additiivinen ryhmä), 2 (K, ) on Abelin ryhmä (multiplikatiivinen ryhmä), K = K\{0}. 3 a(b + c) = ab + ac, a, b, c K. Erityisesti, kunta on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Edelleen kunnassa on aina vähintään kaksi alkiota, nimittäin 0, 1 K, 0 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 23 / 80
70 Field Esimerkki 1 Field K is an integral domain. Proof: Let ab = 0, (3.4) where a, b K. Antithesis: a 0 and b 0. Because K is a field, then a 1 K. Multiplying (3.4) by a 1 gives A contradiction. a 1 ab = a 1 0 b = 0. (3.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 24 / 80
71 Field Esimerkki 2 The fields Q, R, C and Z p := Z/pZ, where p P, are integral domains. Esimerkki 3 Any subring S of a field K is an integral domain. Esimerkki 4 Z is an integral domain. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 25 / 80
72 Field Esimerkki 5 The set Z[i] = {a + ib a, b Z} (3.6) of Gaussian integers is an integral domain and its unit group is Z[i] = {1, i, 1, i}. (3.7) Esimerkki 6 If n Z 2 \ P, then the set Z n := Z/nZ (3.8) is not an integral domain. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 26 / 80
73 Field Karakteristika Määritelmä 8 Let R be a ring. Characteristic/Karakteristika on { p p P : p1 = 0; char R = 0 n Z + : n1 = 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 27 / 80
74 Ideal Määritelmä 9 Olkoon R kommutatiivinen rengas ja I R. Tällöin I on R:n ideaali, jos 1) (I, +) (R, +), 2) Ra I, a I. In other words: Let R be a commutative ring and I R. Then I is an ideal of R, if 1) a b I, 2) ra I for all a, b I and r R. In the definition of ideal we do not assume that the ring has a unity. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 28 / 80
75 Ideal Määritelmä 10 Trivial ideals are {0} and R. An ideal I of R is a proper ideal if I R. Edelleen, ideaali M R on R:n maksimaalinen ideaali, jos M I R ja I on R:n ideaali, niin I = R. Renkaan R aito ideaali P on alkuideaali/prime ideal, jos ehdosta ab P seuraa a P tai b P. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 29 / 80
76 Ideal Esimerkki 7 Let R be a commutative ring with unity and I R an ideal. If 1 I, then I = R. Lause 1 Let R be a commutative ring, I and J ideals in R. Then the sets 1) I J, 2) I + J = {a + b a I, b J} are ideals in R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 30 / 80
77 Ideal Let W R. Define a set W = (W ) := W I I (3.9) the intersection of all the ideals of R containing W. Lause 2 W is an ideal of R. The smallest/suppein ideal containing W. By Theorem 2 the sets {a}, a R, are ideals. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 31 / 80
78 Ideal Principal ideals Määritelmä 11 The ideal a := {a} is a principal ideal/pääideaali generated by a. Rengas on pääideaalirengas, jos sen jokainen ideaali on pääideaali. We denote ar = {ar r R}. (3.10) Lause 3 Let a R. Then ar is an ideal of R. Proof. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 32 / 80
79 Ideal Principal ideals Lause 4 Let a R. Then a = (a) = ar. (3.11) Proof. Recall that a and ar are ideals. Because a = ({a}) = I = I (3.12) {a} I a I it follows a a. Thus ar a. On the other hand a = ( I = ar {a} I by the property of set intersection. I {a} I, I ar ) ar. (3.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 33 / 80
80 Ideal Ideals in a field Esimerkki 8 0 = 0R = {0} and 1 = 1R = R. Lause 5 Let R be a commutative ring with unity. Then R is a field exactly when the only ideals are {0} and R. Proof.. Let R be a field. Then.... Let the only ideals be {0} and R. It is enough to show that every non-zero element has an inverse in R. Let a R, a 0. Now a = ar and a = R. Thus R = ar. Take 1 R, then 1 ar and so there exists a b R such that 1 = ab. Hence a 1 = b R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 34 / 80
81 Ideal Ideals in Z Now n = nz, generated by n Z, is a principal ideal in Z. Are there others? Lause 6 Let I Z be an ideal. Then there exists an n Z such that In other words: all ideals of Z are principal ideals. Proof. Case I = {0}. I = nz. (3.14) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 35 / 80
82 Ideal Ideals in Z Case I {0}. Now there exists a j I Z +. Define then Here we note that nz I. Take then i I. We have n := min{j I Z + } n I. (3.15) i = qn + r, q, r Z, 0 r n 1. (3.16) Because i, n I, then also qn I and i qn I. Thus r I. But r < n. Therefore r < 1 and consequently r = 0 meaning that i = qn. Hence I nz. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 36 / 80
83 Ideal Maximal ideals in Z Lause 7 Let n Z +. The ideal nz is a maximal ideal of Z exactly when n = p P. Proof. 1. Let n = p P. Suppose there exists an k Z + such that Now pz kz Z. (3.17) p = p 1 pz p kz p = kl (3.18) for some l Z +. Thus k p implying { 1 kz = Z; k = p kz = pz. (3.19) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 37 / 80
84 Ideal Maximal ideals in Z We have shown that indeed pz is a maximal ideal. 2. Let then n = ab, a, b Z 2. Now n = ab az and so nz az Z. (3.20) Next we show nz az. Take j = a(b + 1) az and assume j nz j = n + a = ni, i Z (i 1)b = 1. (3.21) A contradiction. In a similar manner az Z. Therefore nz az Z (3.22) showing that nz is not a maximal ideal. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 38 / 80
85 Ideal Prime ideals in Z Lause 8 Let n Z +. The ideal nz is a prime ideal of Z exactly when n = p P. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 39 / 80
86 Ideal Ideals in Z Let n, m Z. The least common multiple/pienin yhteinen jaettava is denoted by lcm[n, m]. Lause 9 Let n, m Z +. Then nz mz = lcm[n, m]z. (3.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 40 / 80
87 Ideal Ideals in nz The ideals of Z are principal ideals nz. In addition, the set S := nz is a ring (now it may happen that 1 / S). Therefore we may talk on the ideals of S. Lause 10 Let I S be an ideal of the ring S := nz. Then there exists an s Z such that I = ss = snz. (3.24) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 41 / 80
88 Ring homomorphism Määritelmä 12 Let R 1 and R 2 be rings. The mapping F : R 1 R 2 is a ring homomorphism or morphism, if F (a + b) = F (a) + F (b), F (ab) = F (a)f (b), F (1) = 1 for all a, b R 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 42 / 80
89 Ring homomorphism Further any morphism is called monomorphism, if it is an injective mapping. isomorphism, if it is a bijective mapping. automorphism, if it is isomorphism: R R. F-automorphism, if H(a) = a, a F R. Rings R 1 and R 2 are called isomorphic or R 1 = R2, if there exists an isomorphism between them. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 43 / 80
90 Ring homomorphism Määritelmä 13 Let F : R 1 R 2 be a homomorphism. The set is kernel of F and the set is image of F. Ker F = {r R 1 F (r) = 0} Im F = {s R 2 s = F (r) for some r R 1 }. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 44 / 80
91 Ring homomorphism Määritelmä 13 Let F : R 1 R 2 be a homomorphism. The set is kernel of F and the set is image of F. Ker F = {r R 1 F (r) = 0} Im F = {s R 2 s = F (r) for some r R 1 }. Terminologiaa: Kernel eli ydin eli nollan alkukuva; Image eli kuvajoukko eli arvojoukko. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 44 / 80
92 Ring homomorphism Lause 11 Ker F is an ideal of R 1 and Im F is a subring of R 2. Lause 12 Rengasmorfismi F on injektio jos ja vain jos Ker F = {0}. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 45 / 80
93 Kuntalaajennus/Field extension Kuntalaajennus Määritelmä 14 Kunta K on kunnan L alikunta/subfield eli kunta L on kunnan K laajennus/extension K ja L ovat kuntia sekä K L. Tällä kurssilla kuntalaajennukselle käytetään merkintöjä L : K ja K L. Kun L : K, niin L voidaan tulkita lineaariavaruudeksi kunnan K yli asettamalla yhteenlasku/we can interpret L as a vector space over K by setting addition L L L, (α, β) α + β; (4.1) ja skalaarilla r K kertominen/scalar multiplication K L L, (r, α) rα (4.2) käyttäen kunnan L yhteen- ja kertolaskuja/by using the field operations. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 46 / 80
94 Kuntalaajennus/Field extension Kuntalaajennus Määritelmä 15 Kuntalaajennuksen aste/degree of field extension eli [L : K] = dim K L. äärellinen/finite, jos [L : K] <. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 47 / 80
95 Kuntalaajennus/Field extension Kuntatorni/Field tower Jos K M L, niin kuntaa M sanotaan välikunnaksi/intermediate field. L 1 L 2 L 3 K K L 3 L 1 ja K L 3 L 2 Lause 13 Olkoon K M L kuntatorni. Tällöin [L : K] = [L : M][M : K]. (4.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 48 / 80
96 Kuntalaajennus/Field extension Kuntatorni/Field tower Todistus. Olkoot M = α 1,..., α r K = Kα Kα r, dim K M = r; L = β 1,..., β s M = Mβ Mβ s, dim M L = s. (4.4) Valitaan γ L. Sille pätee γ = m j = γ = s m j β j, m j M; j=1 r k ij α i, k ij K i=1 r i=1 j=1 #{α i β j } = rs. s k ij α i β j Kα 1 β Kα r β s, (4.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 49 / 80
97 Kuntalaajennus/Field extension Kuntatorni/Field tower Osoitetaan vielä, että {α i β j } on lineaarisesti vapaa. Asetetaan r i=1 j=1 s h ij α i β j = 0, h ij K ( s r ) h ij α i β j = 0, missä {β j } on kanta/m j=1 i=1 r h ij α i = 0, missä {α i } on kanta/k i=1 h ij = 0, i, j. (4.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 50 / 80
98 Osamääräkunta/Field of fractions Tarkennetaan hieman rationaalilukujen ja rationaalifunktioiden käsitteitä ja sitä kautta niillä operointia. Määritelmä 16 Olkoon D kokonaisalue ja a, b, c, d D, bd 0. Asetetaan relaatio (a, b) (c, d) ad = bc. (5.1) Lause 14 Relaatio on ekvivalenssirelaatio joukossa D (D \ {0}) = D. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 51 / 80
99 Osamääräkunta/Field of fractions Määritelmä 17 Ekvivalenssiluokille [a, b] = {(c, d) D (c, d) (a, b)} sovitaan yhteenlasku [a 1, b 1 ] + [a 2, b 2 ] = [a 1 b 2 + b 1 a 2, b 1 b 2 ] (5.2) ja kertolasku [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] = [a 1 a 2, b 1 b 2 ] (5.3) aina, kun (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) D. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 52 / 80
100 Osamääräkunta/Field of fractions Lemma 1 Operaatiot + : D D D : D D D ovat funktioita eli hyvinmääriteltyjä laskutoimituksia/well-defined binary operations. Lemma 2 [0, 1] = [0, b] b D \ {0}; (5.4) [1, 1] = [a, a] a D \ {0}; (5.5) [a, b] = [ac, bc] c D \ {0}. (5.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 53 / 80
101 Osamääräkunta/Field of fractions Lause 15 Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Proof. We need to verify the field axioms of Definition 7: 1a: [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ]? VP= [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] + [cf + de, df ] = [a(df ) + b(cf + de), b(df )] = [(ad + bc)f + (bd)e, (bd)f ] = [ad + bc, bd] + [e, f ] = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ] =OP. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 54 / 80
102 Osamääräkunta/Field of fractions Lause 15 Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Proof. We need to verify the field axioms of Definition 7: 1a: [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ]? VP= [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] + [cf + de, df ] = [a(df ) + b(cf + de), b(df )] = [(ad + bc)f + (bd)e, (bd)f ] = [ad + bc, bd] + [e, f ] = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ] =OP. 1b: [a, b] + [c, d] = [c, d] + [a, b]? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 54 / 80
103 Osamääräkunta/Field of fractions Lause 15 Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Proof. We need to verify the field axioms of Definition 7: 1a: [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ]? VP= [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] + [cf + de, df ] = [a(df ) + b(cf + de), b(df )] = [(ad + bc)f + (bd)e, (bd)f ] = [ad + bc, bd] + [e, f ] = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ] =OP. 1b: [a, b] + [c, d] = [c, d] + [a, b]? A home work. 1c: Nolla-alkio/zero-element on [0, 1] Q(D), koska [0, 1] + [a, b] =... = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 54 / 80
104 Osamääräkunta/Field of fractions Lause 15 Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Proof. We need to verify the field axioms of Definition 7: 1a: [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ]? VP= [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] + [cf + de, df ] = [a(df ) + b(cf + de), b(df )] = [(ad + bc)f + (bd)e, (bd)f ] = [ad + bc, bd] + [e, f ] = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ] =OP. 1b: [a, b] + [c, d] = [c, d] + [a, b]? A home work. 1c: Nolla-alkio/zero-element on [0, 1] Q(D), koska [0, 1] + [a, b] =... = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). 1d: Alkion [a, b] Q(D) vasta-alkio/additive inverse on [ a, b] Q(D), koska [a, b] + [ a, b] =... = [0, 1]. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 54 / 80
105 Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80
106 Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. 2b: [a, b] [c, d] = [c, d] [a, b]? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80
107 Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. 2b: [a, b] [c, d] = [c, d] [a, b]? A home work. 2c: Ykkös-alkio/identity on [1, 1] Q(D), koska [1, 1] [a, b] = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80
108 Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. 2b: [a, b] [c, d] = [c, d] [a, b]? A home work. 2c: Ykkös-alkio/identity on [1, 1] Q(D), koska [1, 1] [a, b] = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). 2d: Alkion [a, b] Q(D) käänteis-alkio/inverse on [b, a] Q(D), koska [a, b] [b, a] = [1, 1]. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80
109 Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. 2b: [a, b] [c, d] = [c, d] [a, b]? A home work. 2c: Ykkös-alkio/identity on [1, 1] Q(D), koska [1, 1] [a, b] = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). 2d: Alkion [a, b] Q(D) käänteis-alkio/inverse on [b, a] Q(D), koska [a, b] [b, a] = [1, 1]. 3a: [a, b] ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] [c, d] + [a, b] [e, f ]? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80
110 Osamääräkunta/Field of fractions Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta/field of fractions. Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a 1 = a. { a 1 a D} = D, (5.7) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 56 / 80
111 Osamääräkunta/Field of fractions Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta/field of fractions. Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a 1 = a. Merkitään vielä { a 1 a D} = D, (5.7) a/b = a b = [a, b] ja Q(D) = {a/b (a, b) D}. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 56 / 80
112 Osamääräkunta/Field of fractions Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta/field of fractions. Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a 1 = a. Merkitään vielä { a 1 a D} = D, (5.7) a/b = a b = [a, b] ja Q(D) = {a/b (a, b) D}. Edelleen ab 1 = a ( ) b 1 = a b = a b (5.8) apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 56 / 80
113 Osamääräkunta/Field of fractions Esimerkki 9 Olkoon D = Z, joka on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta Q(Z), jonka avulla rationaalilukujoukko saadaan määriteltyä tarkasti. Määritelmä 18 Rationaalilukujen kunta Q = Q(Z). Nyt rationaalilukujen supistamis-/cancellation ac bc = a b ja laventamislaki/convert a b = da db seuraa suoraan Määritelmästä 17. (5.9) (5.10) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 57 / 80
114 Osamääräkunta/Field of fractions Esimerkki 10 Olkoon K kunta, jolloin polynomirengas D = K[x] on kokonaisalue. Määritelmä 19 Rationaalifunktioiden kunta K(x) = Q(K[x]). Tällöin pätevät ylläesitetyt supistussäännöt, jolloin mm. (x 2 1)x (x 1)x 2 = x + 1 = x x. (5.11) Esimerkki 11 Olkoon K kunta, jolloin formaalien sarjojen joukko D = K[[T ]] on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta, joka on isomorfinen formaalien Laurentin sarjojen kunnan kanssa eli Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 58 / 80
115 Osamääräkunta/Field of fractions Lause 16 Näillä rakenteilla on seuraavat suhteet: Määritelmä 20 Formaali derivaatta on lineaarinen kuvaus, jolle pätee K((T )) = Q(K[[T ]]). (5.12) K[T ] K(T ) K((T )), (5.13) K[T ] K[[T ]] K((T )). (5.14) D : K((T )) K((T )) DT k = kt k 1 k Z. (5.15) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 59 / 80
116 Tekijärakenteita Congruence modulo an ideal Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Define a relation (mod I ), congruence modulo an ideal, by setting a b (mod I ) a b I, a, b R. (6.1) Lause 17 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then the relation (mod I ) is an equivalence relation. Proof. Homework. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 60 / 80
117 Tekijärakenteita Quotient ring Let a := [a] denote the equivalence class determined by a. Lause 18 a b (mod I ) [a] = [b]. (6.2) Proof. See the general properties of equivalence relation in the Tools box. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 61 / 80
118 Tekijärakenteita Quotient ring Lause 19 [a] = a + I. (6.3) Proof. c [a] c a (mod I ) c a = i I c = a + i a + I. (6.4) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 62 / 80
119 Tekijärakenteita Quotient ring Käytetään ekvivalenssiluokkien joukolle merkintää Asetetaan vielä Lemma 3 Operaatiot R/I = {a a R}. a + b := a + b (6.5) a b := ab. (6.6) + : R/I R/I R/I : R/I R/I R/I ovat funktioita eli hyvinmääriteltyjä laskutoimituksia/well-defined binary operations. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 63 / 80
120 Tekijärakenteita Quotient ring Lause 20 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Proof. We need to verify the ring axioms of definition 3: 1a: a + (b + c) = (a + b) + c? VP=a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c =OP. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 64 / 80
121 Tekijärakenteita Quotient ring Lause 20 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Proof. We need to verify the ring axioms of definition 3: 1a: a + (b + c) = (a + b) + c? VP=a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c =OP. 1b: a + b = b + a? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 64 / 80
122 Tekijärakenteita Quotient ring Lause 20 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Proof. We need to verify the ring axioms of definition 3: 1a: a + (b + c) = (a + b) + c? VP=a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c =OP. 1b: a + b = b + a? A home work. 1c: Nolla-alkio/zero-element on 0 R/I, koska 0 + a = 0 + a = a kaikilla a R/I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 64 / 80
123 Tekijärakenteita Quotient ring Lause 20 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Proof. We need to verify the ring axioms of definition 3: 1a: a + (b + c) = (a + b) + c? VP=a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c =OP. 1b: a + b = b + a? A home work. 1c: Nolla-alkio/zero-element on 0 R/I, koska 0 + a = 0 + a = a kaikilla a R/I. 1d: Alkion a R/I vasta-alkio/additive inverse on a R/I, koska a + a = 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 64 / 80
124 Tekijärakenteita Quotient ring 2a: a (b c) = (a b) c? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 65 / 80
125 Tekijärakenteita Quotient ring 2a: a (b c) = (a b) c? A home work. 2b: a b = b a? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 65 / 80
126 Tekijärakenteita Quotient ring 2a: a (b c) = (a b) c? A home work. 2b: a b = b a? A home work. 2c: Ykkösalkio/identity on 1 R/I. A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 65 / 80
127 Tekijärakenteita Quotient ring 2a: a (b c) = (a b) c? A home work. 2b: a b = b a? A home work. 2c: Ykkösalkio/identity on 1 R/I. A home work. 3a: a (b + c) = a c + b c? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 65 / 80
128 Tekijärakenteita Quotient ring Määritelmä 21 Rengas (R/I, +, ) on jäännösluokkarengas/quotient ring modulo I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 66 / 80
129 Tekijärakenteita Congruence in Z Esimerkki 12 Let R = Z and I = nz, n Z. Then the congruence modulo an ideal nz reads a b (mod nz) a b nz, a, b Z. (6.7) which means that a b = nk, k Z, a b (mod n) (6.8) in the language of basic courses. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 67 / 80
130 Tekijärakenteita Renkaiden isomorfialause Lause 21 Olkoot R 1 ja R 2 kommutatiivisia ykkösellisiä renkaita ja rengasmorfismi. Tällöin F : R 1 R 2 R 1 /Ker F = Im F. (6.9) Proof. Tarkastellaan ensin tekijärakennetta R 1 /Ker F. Koska Ker F on renkaan R 1 ideaali, niin R 1 /Ker F = {a a R 1 } (6.10) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas, jonka alkiot ovat muotoa a = a + Ker F. (6.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 68 / 80
131 Tekijärakenteita The isomorphism theorem of rings Asetetaan sitten 0. Todistetaan ensin, että F (a) := F (a) a R 1 /Ker F. (6.12) F : R 1 /Ker F Im F. (6.13) on (hyvinmääritelty) funktio eli jos a = b, niin pitäisi olla F (a) = F (b). Olkoon siis a = b, jolloin a b (mod Ker F ) eli a b Ker F. Lasketaan F (a) F (b) = F (a) F (b) = F (a b) = 0, (6.14) joten todellakin F (a) = F (b). qed. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 69 / 80
800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I
800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 1 Contents 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus/Course overview..................
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA II FIELD EXTENSIONS PART II
800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA II FIELD EXTENSIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT
TOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
![2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];](/thumbs/97/131422104.jpg "2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];")
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
1 Cli ordin algebra. Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n :
1 Cli ordin algebra Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n : Joukossa R voidaan määritellä summa ja tulo. Myöskin
1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
Bounds on non-surjective cellular automata
Bounds on non-surjective cellular automata Jarkko Kari Pascal Vanier Thomas Zeume University of Turku LIF Marseille Universität Hannover 27 august 2009 J. Kari, P. Vanier, T. Zeume (UTU) Bounds on non-surjective
802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Sisältö 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus.............................
Tekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
The Viking Battle - Part Version: Finnish
The Viking Battle - Part 1 015 Version: Finnish Tehtävä 1 Olkoon kokonaisluku, ja olkoon A n joukko A n = { n k k Z, 0 k < n}. Selvitä suurin kokonaisluku M n, jota ei voi kirjoittaa yhden tai useamman
800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
The CCR Model and Production Correspondence
The CCR Model and Production Correspondence Tim Schöneberg The 19th of September Agenda Introduction Definitions Production Possiblity Set CCR Model and the Dual Problem Input excesses and output shortfalls
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 3 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä....................
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 1 Contents 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 3 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä....................
(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT
H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
MAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
ja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
![[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko](/thumbs/59/42897527.jpg "[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko")
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5. 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field...
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Algebralliset luvut.......................... 4 2 Perusteita 5 3 Renkaat ja kunnat 6 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain................... 7 3.2 Kunta, Field.............................
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain...
Sisältö 1 Johdanto 0-4 1.1 Algebralliset luvut............... 0-6 2 Perusteita 0-9 3 Renkaat ja kunnat 0-11 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain......... 0-12 3.2 Kunta, Field.................. 0-13 4 Jaollisuus
Esko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
a b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Capacity Utilization
Capacity Utilization Tim Schöneberg 28th November Agenda Introduction Fixed and variable input ressources Technical capacity utilization Price based capacity utilization measure Long run and short run
Alternative DEA Models
Mat-2.4142 Alternative DEA Models 19.9.2007 Table of Contents Banker-Charnes-Cooper Model Additive Model Example Data Home assignment BCC Model (Banker-Charnes-Cooper) production frontiers spanned by convex
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
Strict singularity of a Volterra-type integral operator on H p
Strict singularity of a Volterra-type integral operator on H p Santeri Miihkinen, University of Helsinki IWOTA St. Louis, 18-22 July 2016 Santeri Miihkinen, University of Helsinki Volterra-type integral
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Topologies on pseudoinnite paths
Topologies on pseudoinnite paths Andrey Kudinov Institute for Information Transmission Problems, Moscow National Research University Higher School of Economics, Moscow Moscow Institute of Physics and Technology
Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Algebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )
2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,
1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Alternatives to the DFT
Alternatives to the DFT Doru Balcan Carnegie Mellon University joint work with Aliaksei Sandryhaila, Jonathan Gross, and Markus Püschel - appeared in IEEE ICASSP 08 - Introduction Discrete time signal
16. Allocation Models
16. Allocation Models Juha Saloheimo 17.1.27 S steemianalsin Optimointiopin seminaari - Sks 27 Content Introduction Overall Efficienc with common prices and costs Cost Efficienc S steemianalsin Revenue
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Tietorakenteet ja algoritmit
Tietorakenteet ja algoritmit Taulukon edut Taulukon haitat Taulukon haittojen välttäminen Dynaamisesti linkattu lista Linkatun listan solmun määrittelytavat Lineaarisen listan toteutus dynaamisesti linkattuna
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 2 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 83 ABSTRACT LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES
Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 3 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
Returns to Scale II. S ysteemianalyysin. Laboratorio. Esitelmä 8 Timo Salminen. Teknillinen korkeakoulu
Returns to Scale II Contents Most Productive Scale Size Further Considerations Relaxation of the Convexity Condition Useful Reminder Theorem 5.5 A DMU found to be efficient with a CCR model will also be
Johdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
1. Jakokunta. b + c d
ÁÁÁ ÃÙÒØ Ø ÓÖ 1. Jakokunta Kunnan alirenkaat ovat aina kokonaisalueita. Tämä herättää luonnollisen kysymyksen, karakterisoiko tämä ominaisuus kokonaisalueet eli onko jokainen kokonaisalue jonkin kunnan
Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017
Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 5 1.1 Joukko-opin kertausta...................... 6 1.2 Funktioiden kertausta....................... 7 1.3 Relaatioista............................
a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto
Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos
on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
ALGEBRALLISET LUVUT S. Tapani Matala-aho
ALGEBRALLISET LUVUT 802656S Tapani Matala-aho 24. huhtikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 4 1.1 Algebralliset luvut........................ 5 2 Perusteita 6 3 Renkaat ja kunnat 7 3.1 Kokonaisalue, Integral
I. AES Rijndael. Rijndael - Internal Structure
I. AES Rndael NOKIA T-79.53 Additional material Oct 3/KN Rndael - Internal Structure Rndael is an iterated block cipher with variable length block and variable key size. The number of rounds is defined
Esko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA I BASICS OF NUMBER THEORY PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2018 LUKUTEORIA 1 / 86 ABSTRACT LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Efficiency change over time
Efficiency change over time Heikki Tikanmäki Optimointiopin seminaari 14.11.2007 Contents Introduction (11.1) Window analysis (11.2) Example, application, analysis Malmquist index (11.3) Dealing with panel
Kvanttilaskenta - 2. tehtävät
Kvanttilaskenta -. tehtävät Johannes Verwijnen January 8, 05 edx-tehtävät Vastauksissa on käytetty edx-kurssin materiaalia.. Problem The inner product of + and is. Edelleen false, kts. viikon tehtävä 6..
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 67 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain