031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2"

Transkriptio

1 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo. Virtapiireissä mitataan jännitteitä ja virranvoimakkuuksia Törmäyskokeissa lasketaan esiintyvien hiukkasten lukumääriä Sähkömagneettisissa sovellutuksissa arvioidaan kentän intensiteettiä Tietoliikennetekniikassa oikein koodattujen bittien lukumäärä Jos satunnaiskokeen tulos ei ole valmiiksi reaaliluku, voidaan se usein muuntaa reaaliluvuksi sopivalla funktiolla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44

3 Satunnaismuuttuja Määritelmä 6 Olkoon S satunnaiskokeen otosavaruus. Satunnaismuuttuja (lyhyesti sm.) X on funktio, joka liittää reaaliluvun X(e) jokaiseen alkeistapahtumaan e S ja jos kaikilla x R pätee {X x} = {e S X(e) x} E. (1) Kaikki kuvaukset X : S R eivät siis ole satunnaismuuttujia. Kuvaus on satunnaismuuttuja vain, jos Määritelmän 6 ehto (1) toteutuu. Tällä kurssilla meille riittää mielikuva, että satunnaismuuttuja on funktio otosavaruudelta reaaliluvuksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko S X voidaan tulkita satunnaismuuttujan otosavaruudeksi. Satunnaismuuttujan arvoa x sanotaan satunnaismuuttujan realisaatioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44

4 Esimerkki Esimerkki 10 Tarkastellaan satunnaiskoetta E = heitetään kahta noppaa ja muuttujaa X, joka ilmoittaa pisteluvuista suurimman kokeessa E. Määrää satunnaiskoetta vastaavan satunnaismuuttujan arvojoukko ja arvoja vastaavat tapahtumat. Määrää myös arvoja vastaavat todennäköisyydet, kun oletetaan, että nopat ovat reiluja. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44

5 Kertymäfunktio Joukko {X x} vastaa siis tapahtumaa {e S X(e) x}, jolla on täysin määrätty todennäköisyys, joka on x:n funktio kaikilla x R. Määritelmä 7 Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on funktio F : R R, jolle Huomautus 4 F(x) = F X (x) = P({X x}), x R. Kertymäfunktiota nimitetään usein satunnaismuuttujan jakaumaksi, sillä kertymäfunktio määrää kaikkien tapahtumien todennäköisyydet yksikäsitteisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 44

6 Kertymäfunktion ominaisuuksia 1. 0 F(x) 1 kaikilla x R; 2. F(x 1 ) F(x 2 ), kun x 1 x 2 ; 3. F on oikealta jatkuva; 4. lim x F(x) = 0, lim x F(x) = 1; 5. P(x 1 < X x 2 ) = F(x 2 ) F(x 1 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 44

7 Satunnaismuuttujien päätyypit Tällä kurssilla käsiteltävät satunnaismuuttujat ovat joko diskreettejä tai jatkuvia. Yleisessä tapauksessa satunnaismuuttujan ei tarvitse olla kumpaakaan edellä mainittua tyyppiä. Esitellään seuraavaksi nämä päätyypit ja tarkastellaan joitakin tärkeimpiä esimerkkejä kyseisistä jakaumista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 44

8 Diskreetti satunnaismuuttuja Määritelmä 8 Satunnaismuuttuja X on diskreetti, jos sen arvojoukko S X on äärellinen tai numeroituvasti ääretön: S X = {x k ; k = 1,2,3,...}. Määritelmä 9 Diskreetin { sm:n X pistetodennäköisyysfunktio on P(X = x k ), x = x k f(x) = 0, x x k kaikilla k Pistetodennäköisyysfunktiolla on ominaisuudet (i) f(x) 0 kaikilla x R; (ii) f(x) > 0 x kuuluu joukkoon {x 1,x 2,...}; (iii) k=1 f(x k) = 1. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 44

9 Diskreetin sm:n kertymäfunktio Pistetn:t p k = f(x k ) = P(X = x k ), x k S X, määräävät diskreetin sm:n kertymäfunktion yksikäsitteisesti kaavan F(x) = P(X = x k ) k:x k x mukaisesti. Kertymäfunktio on porrasfunktio, joka on vakio väleillä [x k,x k+1 [ ja jolla on p k = P(X = x k ):n suuruiset hyppäykset kohdissa x = x k. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 44

10 Jatkuva satunnaismuuttuja Määritelmä 10 Satunnaismuuttuja X on jatkuva, jos sen kertymäfunktio F X on jatkuva R:ssä. Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, merkitään F X = F. Jatkuvalle satunnaismuuttujalle yksittäisen pisteen tn. on nolla, sillä P(a h < X < a+h) = F(a+ h) F(a h) 0, kun h 0, ja näin ollen P(X = a) = 0 kaikilla a R. Huomaa, että diskreetillä satunnaismuuttujalla yksittäisen pisteen tn. voi olla positiivinen. Jos F ei ole pelkästään jatkuva, vaan myös derivoituva, niin F (x) = df(x) dx = f X (x). Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 44

11 Jatkuva satunnaismuuttuja Koska lim x F(x) = 0, seuraa edellisestä F(x) = x f X (y)dy. Funktiota f X sanotaan satunnaismuuttujan X tiheysfunktioksi, jota merkitään f X = f ellei erehtymisen vaaraa ole. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 44

12 Tiheysfunktion ominaisuuksia f(x) 0 kaikilla x R; f(x) = 1; P(a < X b) = b a f(x)dx = F(b) F(a) kaikilla a < b R. Koska yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, niin P(a < X b) =P(a X b) = P(a X < b) =P(a < X < b). Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 44

13 Kuvaajia Väritetyn alueen pinta-ala ilmoittaa jatkuvaan sm:aan X liittyvien tapahtumien tn:t. Kuva : P(X 2) Kuva : P( 1 < X < 1) Kuva : P(X > 1) Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 44

14 Esimerkkejä Esimerkki 11 Millä c:n arvoilla funktiot (a) ce x, < x < ; c (b), < x < ; 1+x 2 (c) x 6 + c, 0 x 3, ovat tiheysfunktioita? Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 44

15 Esimerkki Kuva : Kertymäfunktio 1 Kuva : Kertymäfunktio 2 Kuva : Kertymäfunktio 3 Kuviin on piirretty eräisiin satunnaismuuttujiin liittyviä funktioita. Totea kussakin tapauksessa mikä funktio on kysymyksessä ja mitä tyyppiä muuttuja on. Mitä voit sanoa kyseisten satunnaismuuttujien saamista arvoista? Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 44

16 Tärkeitä satunnaismuuttujia Esitellään seuraavaksi eräitä tunnettuja ja sovellusten kannalta hyödyllisiä satunnaismuuttujia. Diskreeteistä jakaumista esitellään tarkemmin binomijakauma ja Poissonin jakauma. Jatkuvista jakaumista esitellään normaalijakauma ja tasajakauma. Lisää tyypillisimpiä muuttujia löytyy esimerkiksi luentomonisteesta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 44

17 Binomijakauma Oletetaan seuraavaa: Toistokoe, jossa n riippumatonta toistoa; Yksittäisessä kokeessa tapahtuman B todennäköisyys P(B) = p, 0 < p < 1; X satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa tapahtuman B esiintymisten lukumäärän. Tällöin X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p. Käytetään merkintää X Bin(n, p). Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 44

18 Binomijakauman ominaisuuksia Binomijakautuneen satunnaismuuttujan X arvojoukko on S X = {0,1,...,n} X:n pistetodennäköisyysfunktio on ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0,1,2,...,n. k Kertymäfunktio on [x] ( ) n F(x) = p k (1 p) n k, 0 x n, k k=0 missä [x] = max{k Z k x}. Sitä ei voi lausua suljetussa muodossa. Sen approksimointiin palataan myöhemmin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 44

19 Binomijakauman kuvaajia Kuvissa on esitetty sm:ien X Bin(50, 0.2) ja X Bin(50, 0.5) pistetodennäköisyysfunktiot. Kuva : X Bin(50, 0.2) Kuva : X Bin(50, 0.5) Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 44

20 Binomijakauman kuvaajia Kuvissa on esitetty sm:ien X Bin(50, 0.2) ja X Bin(50, 0.5) kertymäfunktioiden pisteittäiset arvot pisteissä k = 0, 1,..., 50. Kuva : X Bin(50, 0.2) Kuva : X Bin(50, 0.5) Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 44

21 Esimerkki Esimerkki 12 Erään nimeltä mainitsemattoman firman puhelimista 5 % ei kestä pakkasta. Ostetaan 6 puhelinta. Millä todennäköisyydellä puhelimista (a) kaikki kestää pakkasta? (b) vähintään yksi ei kestä pakkasta? Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 44

22 Esimerkki Esimerkki 13 Tietoliikennekanava lähettää bittejä 0 ja 1. Kanavan häiriöiden takia esiintyy satunnainen dekoodausvirhe, jonka todennäköisyys on p (ks. kuva) Millä todennäköisyydellä 10-bittisen viestin dekoodauksessa esiintyy täsmälleen 3 virheellisesti dekoodattua bittiä? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 44

23 Poisson-jakauma Oletetaan, että tietty tapahtuma esiintyy satunnaisin aikavälein keskimäärin a kertaa aikayksikössä X on tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärä aikayksikössä Tällöin X noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla a ja merkitään X Poi(a). Huomautus 5 Poisson-jakaumaan päädytään binomijakauman rajajakaumana, kun n ja p 0siten, ettänp = a. Tämän nojalla Poisson-jakaumaa voi ajatella harvinaisen tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärän jakaumaksi suuressa populaatiossa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 44

24 Ominaisuuksia Jos X Poi(a), niin X:n arvojoukko on S X = {0,1,2,...}; X:n pistetodennäköisyydet ovat a ak P({X = k}) = e k!, k = 0,1,2,... Pistetodennäköisyydet todella muodostavat jakauman, sillä ne ovat positiivisia ja P(X = k) = e a a k k! = 1. k=0 k=0 Edellä käytettiin eksponenttifunktion sarjakehitelmää e a = k=0 ak k! (katso PK I). Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 44

25 Ominaisuuksia ja sovelluksia Jos X 1 ja X 2 ovat riippumattomia ja X 1 Poi(a 1 ) ja X 2 Poi(a 2 ), niin X 1 + X 2 Poi(a 1 + a 2 ). Sovelluksia: harvinaisen tapahtuman esiintymiskertojen lkm. tietynpituisille ajanjaksoille ja tietynkokoisille alueille, joissa oletetaan, että tn., että yhdellä lyhyellä jaksolla tapahtuma sattuu korkeintaan kerran, riippuu vain jakson pituudesta (alueen pinta-alasta); tn., että sattuu useammin kuin kerran, on pieni ; erillisten jaksojen tapahtumakertojen oletetaan olevan toisistaan riippumattomia. (Poisson-prosessi) Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 44

26 Esimerkkejä sovelluksista Tietylle alueelle osuvien ammusten lukumäärä; Radioaktiivisen aineen hajoamisten lukumäärä aikayksikössä; Harvinaiseen tautiin kuolleiden lukumäärä suuressa populaatiossa; Painovirheiden lukumäärä kirjan tietyllä sivulla; Web-serveriin otettujen yhteyksien lukumäärä minuutissa; Vääriin numeroihin soitettujen puheluiden lkm. vuorokaudessa; Kromosomimuutosten lukumäärä soluissa; jne... Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 44

27 Kuvaaja Kuvissa on havainnollistettu jakaumaa X Poi(5). Kuva : Pistetn:t Kuva : Kertymäfunktion arvot pisteissä k = 0, 1,... Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 44

28 Esimerkki Esimerkki 14 Tutkittiin 20 DVD-levyn pintavikoja, joita havaittiin seuraavan taulukon mukaisesti: Vikojen lkm Levyjen lkm (a) Kuinka monta vikaa levyssä on keskimäärin? (b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa levyssä on pintavikoja vähintään 3? (c) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa kahdessa levyssä on pintavikoja yhteensä vähintään 3? Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 44

29 Esimerkki Esimerkki 15 Lentoyhtiö tietää kokemuksesta, että keskimäärin 5% paikan varanneista jää saapumatta koneeseen. Niinpä yhtiö myykin 102 lippua koneeseen, johon mahtuu 100 matkustajaa. Oletetaan, että paikan varaajat ovat toisistaan riippumattomia. (a) Mikä jakaumamalli mielestäsi soveltuu tähän tilanteeseen? (b) Laske edellisen kohdan mallilla tn., että jokainen lennolle todella saapuva saa paikan. (c) Arvioi edellisen kohdan tn:ää Poisson-jakauman avulla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 44

30 Tasajakauma Tasajakauma vastaa koetta, jossa luku X valitaan täysin satunnaisesti väliltä [a,b]. Tämä merkitsee sitä, että kaikilla välin [a, b] samanpituisilla osaväleillä on sama todennäköisyys sisältää valittu luku X. Tai yhtäpitävästi: X:n jakaumalla on tiheysfunktio, joka on vakio välillä [a,b]. Määritelmä 11 Satunnaismuuttuja X noudattaa tasajakaumaa parametrein a R ja b R, joille a < b, ja merkitään X Tas(a,b), jos X:n tiheysfunktio on { 1 f X (x) = b a, jos a x b, 0, muulloin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 44

31 Tasajakauma Tasajakauman kertymäfunktio on 0, jos x < a F(x) = x a b a, jos a x b 1, jos x > b. Tasajakaumaa käytetään esimerkiksi satunnaismuuttujien simuloinnissa. Huomautus 6 Tasajakautuneelle muuttujalle käytetään usein merkintää U, joka tulee englanninkielisestä sanasta uniform. Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 44

32 Normaalijakauma Normaalijakauma on tärkein jakauma todennäköisyyslaskennassa ja sen sovellutuksissa. Sen vuoksi sitä nimitetään normaalijakaumaksi. Normaalijakauman keskeinen asema selviää mm. luentomonisteen luvussa 6. Määritelmä 12 Satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ,σ 2, joille µ R ja 0 < σ R, ja merkitään X N(µ,σ 2 ), jos X:n tiheysfunktio on f X (x) = 1 exp ( (x µ)2), < x <. 2πσ 2σ 2 Parametri µ on satunnaismuuttujan keskimääräinen arvo. Parametria σ 2 sanotaan varianssiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 44

33 Normaalijakauma Tarkastellaan seuraavissa kuvaajissa parametrien µ ja σ vaikutusta tiheysfunktioon. Normaalijakautuneen sm:n X N(µ, 1) tiheysfunktioiden kuvaajia parametrin µ eri arvoilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 44

34 Normaalijakauma Normaalijakautuneen sm:n X N(0,σ 2 ) tiheysfunktioiden kuvaajia parametrin σ eri arvoilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 44

35 Standardisoitu normaalijakauma Käytännön laskennassa tärkeäksi osoittautuu Määritelmä 13 Satunnaismuuttuja X noudattaa standardisoitua normaalijakaumaa, merkitään X N(0, 1), jos X:n tiheysfunktio on ϕ(x) = 1 exp( x2 ), x R. 2π 2 Kertymäfunktio on F X (x) = 1 2π x exp( x2 2 )dx, jota merkitään F X (x) = Φ(x). Kertymäfunktiota ei voi ilmoittaa suljetussa muodossa, joten arvot Φ(x) täytyy lukea taulukosta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 44

36 Standardisoitu normaalijakauma Kuvissa on esitetty standardisoidun normaalijakauman tiheysfunktion ϕ ja kertymäfunktion Φ kuvaajat. Kuva : Funktion ϕ kuvaaja. Kuva : Funktion Φ kuvaaja. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 44

37 Ominaisuuksia Symmetria-ominaisuus Φ( x) = 1 Φ(x) kaikilla x R. Todennäköisyys P(a < X < b) = Φ(b) Φ(a) Miksi standarisoitu normaalijakauma on käytännön laskennassa keskeinen, ilmenee lauseesta Lause 6 Jos X N(µ,σ 2 ), niin X µ σ N(0,1). Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 44

38 Taulukon käyttö Olkoon X N(µ,σ 2 ). Tällöin Z = X µ σ N(0,1). Todennäköisyydeksi P(X a) saadaan P(X a) = P( X µ σ a µ σ ) = Φ(a µ σ ). Taulukosta löytyy tn:t vain positiivisille x; tn:t negatiivisille x saadaan symmetria-ominaisuudesta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 44

39 Esimerkkejä Esimerkki 16 Merkitään satunnaismuuttujalla X satunnaisesti valitun suomalaisen naisen pituutta [cm]. Pituus noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ = 165 ja σ 2 = 25. Määrää tn:t (a) P(X = 160); (b) P(159,5 < X < 160,5) = P( X on sentin tarkkuudella 160 ); (c) P(160 < X < 170). Esimerkki 17 Olkoon X N(µ,σ 2 ). Laske todennäköisyydet (a) P(µ σ < X < µ+σ); (b) P(µ 2σ < X < µ+2σ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 44

40 Algebralliset laskutoimitukset Edellä tutustuimme joihinkin tyypillisiin satunnaismuuttujiin. Niistä saadaan algebrallisilla laskutoimituksilla kuten luvulla kertomisella, yhteen-, kerto- ja jakolaskulla uusia satunnaismuuttujia. Lause 7 Jos X ja Y ovat satunnaismuuttujia ja c R, niin cx, X + Y ja XY ovat myös satunnaismuuttujia. Jos lisäksi P(Y = 0) = 0, niin X/Y on satunnaismuuttuja. Erityisesti X 2 on sm., jos X on sm. X 2 + Y 2 on sm., jos X,Y ovat sm. X/Y 2 on sm., jos X on sm. ja Y on sm., jolle P(Y = 0) = 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 44

41 Laskutoimituksilla saatujen muuttujien jakautuminen Yleensä peruslaskutoimituksilla saadut muuttujat käyttäytyvät aivan eri tavalla kuin muuttujat, joihin laskutoimitusta on sovellettu. Esimerkiksi, jos X ja Y ovat esimerkiksi tasajakautuneita, niin X + Y on kaikkea muuta kuin tasajakautunut. Käydään läpi eräs yksinkertainen esimerkki harjoituksissa. Joitakin poikkeuksia onneksi löytyy. Edellä todettiin, että X + Y Poi(a+ b), jos X Poi(a) ja Y Poi(b). Jatkuvista jakaumista normaalijakaumaperhe käyttäytyy hyvin, sillä jos X N(µ X,σX 2) ja Y N(µ Y,σY 2 ), niin ax + by N(aµ X + bµ Y,a 2 σx 2 + b2 σy 2 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 44

42 Satunnaismuuttujan muunnokset Jotkin hyödylliset satunnaismuuttujat saadaan sopivilla muunnoksilla tunnetuista sm:ista. Jos X on satunnaismuuttuja ja g : R R sopiva reaaliarvoinen funktio, niin yhdistetty kuvaus g X = g(x) on edelleen satunnaismuuttuja. Lause 8 Jos X on satunnaismuuttuja ja (i) jos g : R R on jatkuva, niin g(x) on satunnaismuuttuja; (ii) jos g : R R on monotoninen, niin g(x) on satunnaismuuttuja. Esimerkiksi e X on sm., jos X on sm. Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 44

43 Muunnoksella saatujen satunnaismuuttujien jakautuminen Muunnoksella saataviin satunnaismuuttujiin liittyvien tapahtumien todennäköisyyksiä voidaan laskea muunnettavien satunnaismuuttujien jakaumien avulla. Yleisesti muunnoksen jakauman (eli kertymäfunktion) laskeminen ei ole yksinkertaista. Vaikka muunnoksen jakaumaa ei välttämättä tarvitse laskea, voi joissakin tapauksissa jakauman määrääminen olla perusteltua, erityisesti jos muunnoksella saatavalla jakaumalla on erityistä käyttöä. Esimerkiksi, jos X N(0, 1), niin X 2 χ 2 1 (lue: khii toiseen jakaumaa vapausasteilla 1). muuttujan e X jakaumaa sanotaan log-normaalijakaumaksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 43 / 44

44 Esimerkki Esimerkki 18 Olkoon U Tas(0,1) ja g(x) = 1 a ln x jollekin a > 0. Laske muuttujan Y = g(u) kertymäfunktio. Noudattaako Y jotain tunnettua jakaumaa? Miten g(u):lle voidaan generoida näytteitä tasajakaumasta? Jukka Kemppainen Mathematics Division 44 / 44

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/73 Johdanto Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinen malli Kolme

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

Tilastomatematiikka. Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka

Tilastomatematiikka. Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka Tilastomatematiikka Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka 18. helmikuuta 2016 2 Tämä luentomoniste on tehty professori Keijo Ruotsalaisen luentojen pohjalta. Alkuperäisestä kirjoitustyöstä

Lisätiedot

Tilastomatematiikka. Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka

Tilastomatematiikka. Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka Tilastomatematiikka Jukka Kemppainen Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka 20. tammikuuta 2017 2 3 2.5 Deterministinen Stokastinen 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tämä luentomoniste on tehty professori

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma 3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Tilastomatematiikka. Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics

Tilastomatematiikka. Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics Tilastomatematiikka Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics 20. maaliskuuta 2013 2 Tämä luentomoniste on tehty professori Keijo Ruotsalaisen luentojen pohjalta.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot