2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite"

Maarit Lehtonen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa, jossa uusi sijoittuu ennestään tunnetun tai opetetun päälle. Olisiko liian jyrkästi sanottu, ettei nykyisillä oppisisällöillä päästä sellaisiin tuloksiin, joihin takavuosikymmeninä oli edes mahdollista päästä. Toisaalta joku on sanonut niinkin, että sopivan sadistinen opettaja saattoi noina aikoina tehdä varsinkin tyttöoppilaiden geometrian tunnit melko ahdistaviksi. Monissa oppikirjoissa lähdetään nykyään käsittelemään kuvioiden yhdenmuotoisuutta suoraan käsittelemättä lainkaan ensin yhteneväisyyttä. Erikoisesti kolmioiden yhtenevyyslauseilla ja niiden soveltamisella oli melkoinen paino takavuosien geometriassa ulottuen aina ns. deduktiiviseen todistamiseen saakka. Toisaalta jo näiden käsitteiden nimitykset paljastavat teräväpäiselle ihmiselle asiasta oleellisen. ****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 1 Kahta (taso)kuviota sanotaan yhteneviksi, jos ne voidaan asettaa päällekkäin niin, että ne täydellisesti yhtyvät. (Tarkkaankin katsottaessa nähtäisiin asettelun jälkeen vain yksi kuvio.) Yhteneväisissä kuvioissa kaikki vastinsivut ovat siten täsmälleen saman mittaiset ja vastinkulmat yhtä suuret. Kahden kuvion yhteneväisyyden symbolina käytetään yhtäsuuruusmerkin ja aaltoviivan yhdistelmää: ****************************************************************** Vanhassa geometriassa korostettiin, kuinka piirrosten tuli syntyä pelkästään harpin ja viivoittimen avulla. Jotkut opettajat eivät sallineet edes ruutuvihkoja mistään geokolmioista puhumattakaan. Katsotaan lyhyesti parin esimerkin avulla, millaista kolmioiden yhtenevyyslauseiden rakentaminen oli. Tehtävä 1: Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen sivut a, b ja c. a b c

2 Tehtävän yhteydessä oli, kuten ohessa, annettu kolme janaa ja piirtäminen saatettiin kuvata seuraavasti: Ratkaisu: Piirretään ensin jokin suora ja erotetaan siltä jana AB = c. Tämän jälkeen piste A keskipisteenä ja jana b säteenä piirretään ympyrä sekä piste B keskipisteenä ja jana a säteenä toinen ympyräviiva. Jos nämä kaksi ympyrää leikkaavat toisensa pisteessä C, niin ABC on vaadittu kolmio. Piirtämisen jälkeen suoritettiin tarkastelu, oliko tehtävä aina mahdollinen, ja voitiinko piirtää montakin kolmiota. Edellisessä tehtävässähän on ilmeistä, että jos janojen pituudet ovat kovin toisestaan poikkeavat, kuvauksessa mainitut ympyränkaaret eivät kohtaa, mutta mikäli ne kohtasivat, pääteltiin, että samalle puolelle suoraa voitiin piirtää vain yksi kolmio ja saatiin ensimmäinen yhtenevyyslause (sss): Jos kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät kuin vastaavat sivut toisessa kolmiossa niin kolmiot ovat yhtenevät. Heti jatkoksi voitiin päätellä sanottujen ympyränkaarten kohtaamisesta tai ei-kohtaamisesta tulos, jonka mukaan kolmiossa kahden sivun summan täytyy olla suurempi ja erotuksen pienemmän kuin kolmannen sivun. Kolmioille voidaan johtaa kaikkiaan viisi yhtenevyyslausetta, joista yhden kanssa on oltava tavallista terävämpänä: Tehtävä 2: Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi sivua a ja c sekä toisen vastainen kulma α. a c α Ratkaisu: Piirretään jokin suora ja erotetaan siltä jana AB = c. Siirretään kulma α siten, että sen kärkipiste tulee pisteeseen A ja oikea kylki yhtyy pisteiden A ja B määräämään suoraan. Jana a säteenä ja B keskipisteenä piirretään ympyräviiva ja jos se kohtaa kulman α vasemman kyljen pisteessä C, niin ABC on vaadittu kolmio.

3 Tarkastelu: Jana a säteenä ja B keskipisteenä piirretty ympyräviiva saattaa kohdata kulman α vasemman kyljen kahdessa pisteessä, yhdessä pisteessä (a > c) tai ei kohtaa sitä lainkaan (a riittävän lyhyt). α Mieti, millaisia ovat kulman α vastaiset kulmat siinä tapauksessa, että jana a säteenä ja B keskipisteenä piirretty ympyrä kohtaa kulman α vasemman kyljen kahdessa pisteessä. Tämän asian ymmärtämisellä on huomattava merkitys, kun myöhemmin ratkaistaan kolmiota sinilauseen avulla. KOLMIOIDEN YHTENEVYYSLAUSEET (sss) Jos kolmiossa kaikki sivut ovat yhtä pitkät kuin vastaavat osat toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhtenevät (sks) Jos kolmiossa kaksi sivua ja näiden välinen kulma ovat yhtä suuret niin kolmiot ovat yhtenevät

4 (ksk) Jos kolmiossa kaksi kulmaa ja näiden välinen sivu ovat yhtä suuret kuin niin kolmiot ovat yhtenevät. (kks) Jos kolmiossa kaksi kulmaa ja toisen vastainen sivu ovat yhtä suuret kuin niin kolmiot ovat yhtenevät. (ssk) Jos kolmiossa kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtä suuret kuin niin kolmiot ovat yhtenevät edellyttäen että toisten yhtä suurien vastinsivujen vastaiset kulmat eivät ole toistensa supplementtikulmia (summa ). Kolmioiden yhtenevyyslauseet ovat kovaa tavaraa, kun käsitellään kappaleiden tai tasokuvioiden ominaisuuksiin liittyviä erilaisia todistustehtäviä. Esim. 1 Koveran kulman puolittajan jokainen piste on yhtä etäällä kulman kyljistä. Todista väite oikeaksi. Tod.: Olkoon annettu mielivaltainen kovera kulma A ja piirretty sen kärjen kautta puolisuora (kulman puolittaja), joka jakaa kulman kahteen yhtä suureen osaan, ja olkoon M kulmanpuolittajan mielivaltainen piste. Piirretään pisteestä M kulman A kummallekin kyljelle normaalit (kohtisuorat) MR ja MS.

5 R M A S Tarkastellaan kolmioita ASM ja AMR. Niillä on sivu AM yhteinen ja kumpaisessakin on suora kulma. Lisäksi on kulma SAM = MAR, koska oletuksen mukaan AM on kulman SAR puolittaja. Siten ASM AMR kks-lauseen nojalla. Sivut MR ja MS ovat toistensa vastinsuvut näissä yhteneväisissä kolmioissa (yhtä suurten kulmien vastaiset sivut), ja ovat vastinsivuina yhtä pitkät. Siten pisteen M etäisyys kulman A kumpaisestakin kyljestä on yhtä suuri, ja koska M oli mielivaltainen kulmanpuolittajan piste, niin kulmanpuolittajan jokainen piste on yhtä etäällä kulman kyljistä. Kartta on jonkinlainen todellisuutta kuvaava malli. Myös teräsrakenteen tai rakennuksen piirustus kuvaa (kuviteltua) todellisuutta usein niin hyvin, että etevä metalli- tai kirvesmies osaa valmistaa todellisen tuotteen. Näillä tällaisilla piirustuksilla on todellisuutta vastaava muoto, mutta eri koko. Kuitenkin piirros (malli) ja todellisuus vastaavat toisiaan aivan piste pisteeltä, jokaista janaa (käyrää viivaa) piirustuksessa vastaa todellinen jana (käyrä) niin, että vastinviivojen pituuksien suhde on aina vakio. Piirustuksessa ja todellisuudessa toisiaan vastaavien janojen väliset kulmat ovat kuitenkin aina yhtä suuret. Tämä on kuvioiden yhdenmuotoisuutta.

6 ****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 2 Kahta (taso)kuviota K ja K sanotaan yhdenmuotoisiksi, jos niillä on sama muoto vaikka mahdollisesti eri koko. Yhdenmuotoisuutta merkitään K K ****************************************************************** Käytännössä yhdenmuotoisuutta päästään soveltamaan käyttämällä tietoa, jonka mukaan yhdenmuotoisissa kuvioissa vastinkulmat ovat aina yhtä suuret vastinviivojen (lähinnä vastinjanojen) pituuksien suhde on aina vakio. Tätä yhdenmuotoisuussuhdetta sanotaan mittakaavaksi k. Joskus esiintyy vaikeuksia vastinviivojen pituuksien suhdetta kuvaavan verrannon kartta muodostamisessa. Tällöin saattaa auttaa hokema mittakaava =. todellisuus Kartat tai rakennuspiirustukset ovat enimmäkseen pienennöksiä todellisuudesta ja mittakaava saattaa olla annettu esimerkiksi muodossa k = 1 : Tämä tarkoittaa sitä, että yhtä pituusyksikköä kartalla vastaa samaa pituusyksikköä luonnossa. Jos otetaan kartan pituusyksiköksi senttimetri, niin tämän vastinpituus luonnossa on cm = 250 m = 0.25 km. Näissä sovellutuksissa on aina pysähdyttävä ajattelemaan!

Samankaltaiset tiedostot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy