1.2 Raja-arvon määrittäminen käytännön tilanteissa

Transkriptio

1 1. Raja-arvon määrittäminen käytännön tilanteissa Raja-arvoa ei suinkaan määritetä määritelmän mukaan kuin erikoistaauksissa. Sen sijaan määrityksen käytännön toteutusta varten johdetaan eräitä lauseita, joihin toiminta erustuu. Lause 1 Vakiofunktion f(x) C raja-arvo missä tahansa isteessä on C. Tod.: Väite kuuluu Arvioidaan erotusta tahansa ositiiviluku. limf (x) limc C. f (x) f (x) C C < ona mikä Vakiofunktion raja-arvoa voisi hyvin luonnehtia, mitä taahtuu New Yorkin vaaudenatsaalle, kun ojan käsi lähestyy tytön oskea sitä silittääkseen. Lause Funktiolle f: f(x) x on voimassa limf (x) limx x. Tod.: Arvioidaan erotusta f (x) x x xo. Olkoon annettu. Valitaan d. Tällöin jos < x x < d f (x) xo x xo < d. o Lause 3 Kolmioeäyhtälö: Summan itseisarvo on enintään yhteenlaskettavien itseisarvojen summa Erotuksen itseisarvo on enintään vähennettävän ja vähentäjän itseisarvojen summa: a + b a + b ja a b a + b

2 Tod.: Tämän lauseen todistus sivuutetaan. Kolmioeäyhtälön mukaan summan itseisarvo on täsmälleen termien, yhteenlaskettavien itseisarvojen summa silloin, kun termit ovat samanmerkkiset, muutoin ienemi. Kuinkas erotukselle? Esim. 1 Kokeile luvuilla a 4 ja b 5 kaikin mahdollisin etumerkkiversioin sekä summan että erotuksen itseisarvoon nähdäksesi, kuinka kolmioeäyhtälö toimii. Lause 4 Oletus: Funktiolle f on voimassa limf (x) A, missä A on äärellinen. Väite: Funktio f on rajoitettu eräässä isteen x o ymäristössä. Väitteen käsite rajoitettu sulkee ois mahdollisuuden, että funktion arvot kasvaisivat itseisarvoltaan äärettömän suuriksi jossakin x o ymäristössä. Tod.: Raja-arvon olemassa-olo takaa seuraavaa: > d > siten, että kun x U (x,d) f (x) A <, sanallisesti: jokaista ositiivilukua kohti on olemassa ositiiviluku d siten, että aina kun x kuuluu isteen x o d-ymäristöön, niin funktion arvot oikkeavat A:sta korkeintaan :n verran. Valitaan mielivaltainen luku M, joka täyttää ehdon M >. Arvioidaan funktion f saamaa itseisarvoa isteen x o ymäristössä: x U (x,d) f (x) f (x) A + A f (x) A + A < + A < M + A.

3 Lause 5 Oletus: limf (x) A ja limg(x) B. Väite: lim [ f (x) + g(x) ] A + B lim [ f (x) g(x) ] A B lim [ f (x) g(x) ] AB lim x x f (x) g(x) A B, mutta B ei saa olla nolla. Tod.: Funktioiden summan raja-arvo. Oletuksesta, siis raja-arvojen olemassaolosta seuraa: > d1 > ja d > siten että < x x < d1 f (x) A < < x x < d g(x) B < Valitaan d ienemi luvuista d 1, d. Tällöin, kun < x x < d f (x) + g(x) (A + B) f (x) A + g(x) B < f (x) A + g(x) B < + Funktioiden erotuksen raja-arvo todistetaan vastaavasti. Funktioiden tulon raja-arvoa koskevan tuloksen todistamisessa menetellään ovelasti Lisätään lausekkeeseen jotain ja saman tien vähennetään kyseinen lisäys heti ois. Näin menetellen lisätään nolla, mikä ei tietenkään muuta lausekkeen arvoa. Arvioidaan aivan aluksi näin käsitellen erotusta f (x)g(x) AB :

4 f (x)g(x) AB f (x)g(x) Ag(x) + Ag(x) AB g(x)(f (x) A) + A(g(x) B) g(x) f (x) A + A g(x) B Raja-arvon olemassaolosta funktiolle g seuraa lauseen 7.4. nojalla, että g on rajoitettu isteen x o eräässä ymäristössä U (x,d3), ja tässä alueessa on voimassa g (x) M + B, missä M >. Valitaan seuraavaksi T suuremi luvuista A ja M + B. Yksi asia on nyt se, että kun x x < d3 f (x)g(x) AB < T f (x) A + g(x) B. Toinen asia on se, että kun on annettu ikkuruinen ositiiviluku, niin on olemassa niin ikään toinen ikkuinen ositiiviluku d 4 siten, että < x x < d4 f (x) A < ja g(x) B <. Valitaan louksi d ienemi luvuista d3 ja d4. Kun sitten < x x < d, niin T T f (x)g(x) AB < T[ f (x) A + g(x) B ] < T +. T T <, niin [ ] Funktioiden osamäärän raja-arvo todistetaan vastaavasti. Varsinkin funktioiden tulon raja-arvoa koskevan tuloksen todistaminen saattaa vaikuttaa aljon hankalammalta kuin toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johto. Asian hankaluudelle ei kuitenkaan mahdeta mitään eikä todistuksen osaamista kurssilla kyllä vaaditakaan. Lauseen käyttö on kuitenkin varsin heloa, mutta on hyvä muistaa, että helouden taustalla on tukena raskaasti todistetut erustotuudet. Katsotaan, miten esimerkiksi lauseita 7.1, 7. ja 7.4 voidaan käytellä: lim x lim (x x) lim x lim x xx x ja 3 3 lim x lim (x x) lim x lim x) x x x.

5 Tätä menettelyä voidaan induktiivisesta jatkaa vaikka kuinka korkean asteluvun otensseihin saakka. Edelleen, kun a on seuraavassa vakio: n lim ax lim a lim n x n ax. Seurauslause 5.1: Olkoot P(x) ja Q(x) muuttujan x olynomeja. Tällöin on voimassa lim P(x) P(x) P(x) P(x ) lim, kun vain Q(x) Q(x) Q(x ) Seurauslauseen oleellinen sisältö, joka esittäminen erustuu ainakin osittain edellä oikeaksi todistettuihin lauseisiin, on se, että olynomi - tai rationaalifunktion rajaarvon saa määritetyksi yksinkertaisesti vain sijoittamalla muuttujan x tilalle sen luvun, jota x lähestyy. Ainoa hiuksia aluksi raaimaan aneva oikkeus on tilanne, jossa rationaalifunktion nimittäjä menee nollaksi (ja aika usein äädytään eämääräiseen / muotoon). Tällöin tulee alata korkeamman asteen yhtälöiden teoriaan, ja muistella, että tällaisessa taauksessa P(x) ja Q(x) molemmat ovat jaolliset binomilla x x. Suoritetaan tekijöihin jako, suistetaan ja sijoitetaan x suistettuun lausekkeeseen uudelleen. Raja-arvon määrittäminen on enimmäkseen hyvin rutiininomaista toimintaa, missä on kuitenkin tärkeää menetellä muodollisesti oikein, sanotaanko erittäin täsmällisesti. Ylioilastutkintolautakunnan sensori, usein myös kurssikoetta arvosteleva oettaja tuntee raja-arvon määrittämisen teoreettiset taustat, lauseiden 1 5 sisällöt.

6 Sikäli kun saat eteesi tehtävän: määritä lim f (x), niin sijoita aina ensin luku, jota x lähestyy x:n aikalle. Mikäli lausekkeen sievennys antaa selkeän ei-eämääräisen tuloksen, tehtävä on suoritettu. Muodollisesti suorituksessa on sangen tärkeää, että lausekkeen edestä jätetään limes-teksti ois siinä vaiheessa, kun lähestyttävä luku muuttujan aikalle sijoitetaan Esim. Määritä lim f (x), kun a) x + x a) lim x x 5x b) lim. 1 1 x + x + 3 x 5x + 3 f (x) b) f (x). x + MÄÄRITYSOHJEISTO JATKUU Jos sijoitus johtaa eämääräiseen muotoon, joita ovat ainakin,,, tai, on suoritettava lisätarkasteluja. Muotoon äädytään, kuten esimerkistäkin näet, rationaalifunktioiden taauksessa. Tällöin funktion osoittaja- ja nimittäjäolynomit ovat jaolliset binomilla x x, joka on siis muuttujan ja sen luvun erotus, jota lähestytään. Suoritetaan osoittajan ja nimittäjän tekijöihin jako ja suistetaan. x 3 x 5x + 3 x x 3x 3 3x 3

7 Nimittäjä jakaantuu tekijöihin nojautuen tietoon a b (a b)(a + b) ja jatko sujuu muodollisesti oikein kahtena erilaisena versiona JOKO x 5x + 3 (x 3)() x 3 lim lim lim ()(x + 1) x TAI x 5x + 3 (x 3)() ()(x + 1) x x , kun x 1. Jos käytät limes-merkkiä, sen täytyy esiintyä sievennysrosessissa jokaisen välimuodon edessä, kunnes lähestyttävä luku sijoitetaan. Limes merkkiä ei saa enää laittaa siihen välimuotoon, missä sijoitus tehdään. Ellet käytä limes-merkkiä, lausekkeen sievennys sujuu muuten aivan normaaliin taaan yhtäsuuruusmerkkejä käyttäen, mutta sitä lauseketta, johon lähestyttävä luku muuttujan aikalle sijoitetaan, edeltää lähestymismerkki, ja loutulosta tulee seurata konjunktiolla kun alkava sivulause, josta aljastuu, mitä lukua lähestytään. Suorituksen muodollista virheettömyyttä saanee korostaa. (Ethän itsekään hyväksyisi kotisi kylyhuoneen laatoituksessa huolimattomuudesta kielivää loutulosta). Jokaisen kirjoitetun sanan etukäteismiettiminen karsii monia tareettomia istemenetyksiä. Onhan rakennustelineillä työskentelevän kirvesmiehenkin hiukan katsottava, mihin jalallaan astuu, jotta välttää utoamisen. Lukion matematiikassa ei (valitettavasti) rajoituta elkästään olynomi- ja rationaalifunktioiden käsittelyyn. Ensimmäisenä lukiovuonna on alustavasti tutustuttu ainakin eksonenttifunktioon y a x tai otenssifunktioon y x a. Jälkimmäisessä eksonentti voi olla jotain muutakin kuin kokonaisluku. Tällaiselle otenssifunktiolle, siis esimerkiksi neliöjuuria sisältävälle funktiolle voidaan todistaa, että lim f (x) f (x), x x a mikäli f(x) >. Yleisesti lim [ f (x)] [ f (x )] a, kunhan ollaan järkevällä määritysalueella sekä itse funktion f että eksonentin a suhteen.

8 Esim. 3 Määritä lim f (x), kun x (1 + ax)(1 + bx) 1 f (x). x Suora sijoitus johtaa eämääräiseen muotoon. Lavennetaan lause- ketta nojautuen ET-kaavaan a b (a b)(a + b). ( (1 + ax)(1 + bx)) 1 x( (1 + ax)(1 + bx) + 1) kun x. (1 + ax)(1 + bx) 1 ( (1 + ax)(1 + bx) 1)( (1 + ax)(1 + bx) + 1) x x( (1 + ax)(1 + bx) + 1) (1 + ax)(1 + bx) 1 x( (1 + ax)(1 + bx) + 1) 1 + ax + bx + ab a + b + abx a + b a + b, x( (1 + ax)(1 + bx) + 1) (1 + ax)(1 + bx)