Lujuusopin perusteiden oleellisimmat asiat pähkinänkuoressa
|
|
- Jyrki Jääskeläinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lujuusopin perusteiden oleellisimmat asiat pähkinänkuoressa Reijo Kouhia 31. maaliskuuta 2013 Johdanto Kurssin pääasiat ovat: 1. jännitys- ja muodonmuutostila, 2. lineaarisesti kimmoisa isotrooppinen materiaalimalli, 3. akselinsa suunnassa kuormitettu suora sauva, 4. suoran sauvan vääntö, 5. suoran palkin taivutus. Tämän prujun viittaukset oppikirjaan: T. Salmi, S. Pajunen, Lujuusoppi, Pressus Oy, Jännitys- ja muodonmuutostila 1.1 Jännitysmatriisi ja Cauchyn jännitysteoreema Tarkastellaan kappalette B 3-dimensioisessa alueessa, katso kuvaa 1. Jos kappale B jaetaan kahteen osaan ja merkitään leikkauspintaa symbolilla S ja erotetaan kappaleen osat toisistaan. Merkitään leikkauspinnan pieneen pinta-ala-alkioon S kohdistuvaa voimaresultanttia f :llä. Määritellään traktiovektori t seuraavasti f t = lim S 0 S = df ds. (1) Traktiovektori riippuu siten paikasta x ja myös pinnan normaalin suunnasta n, eli t = t(x,n). (2) Edellä esitettyä riippuvuutta kutsutaan Cauchyn jännityspostulaatiksi eli jännitysoletukseksi. 1 1 Traktiovektoria t kutsutaan joskus myös jännitysvektoriksi. Tämä on hieman harhaanjohtava nimitys, sillä jännitys ei ole vektorisuure. 1
2 Kuva 1: Materiaalikappale B ja traktiovektori t. z σ z t z n z τ τ zy zx τ yz τ xz τ xy n x τ yx n y t y σ y y x σ x t x Kuva 2: Traktiovektorit kolmella toisiaan vastaan kohtisuoralla pinnalla. 2
3 z t x S x C t y S y n t n S O B y x ρ b V t z S z Kuva 3: Cauchyn tetraedri. Merkitään karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa koordinaattiakselien suuntaistilla tasoilla vaikuttavia traktiovektoreita t x,t y ja t z, katso kuvaa 2. Traktiovektoreiden komponentit on merkitty kuvassa ja käyttäen koordinaattiakseleiden suuntaisia yksikkövektoreita e x,e y ja e z, traktiovektoreiden lausekkeiksi saadaan t x = σ x e x +τ xy e y +τ xz e z, (3) t y = τ yx e x +σ y e y +τ yz e z, (4) t z = τ zx e x +τ zy e y +σ z e z, (5) jossa on käytetty insinöörikirjallisuudessa usein esiintyvää merkintätapaa, jossa normaalijännityksiä merkitään σ:lla ja pinnan suuntaisia leikkausjännityksiä τ:lla. Lausutaan mielivaltaisessa suunnassa oleva traktiovektori t n jännityskomponettien σ x,σ y,σ z,τ xy jne. avulla. Tätä varten tarkastellaan kuvassa 3 esiintyvän tetraedrin tasapainoa. Kyseistä tetraedrin muotoista jännityselementtiä kutsutaan Cauchyn tetraedriksi. Jokaisella tetraedrin pintatasolla esiintyvää keskimääräistä traktiota merkitään t i, i = x,y,z ja kolmion x y z pinta-alaa merkitään S:llä ja S x, S y, S z ovat kolmioiden O y z,o z x and O x y pinta-alat. Tetraedriin vaikuttava tilavuusvoima olkoon ρ b V, jossa V = 1 h S on tetraedrin tilavuus ja h on etäisyys ON. 3 Tetraedrin voimatasapainoyhtälö on joka voidaan kirjoittaa muodossa t n S ρ b h S t x S x t y S y +t z S z = 0, (6) S(t n ρ b h n x t x n y t y +n z t z) = 0. (7) nnetaan tetraedrin tilavuuden kutistua, elih 0, saadaant i t i ja t n = n x t x +n y t y +n z t z = n x (σ x e x +τ xy e y +τ xz e z )+n y (τ yx e x +σ y e y +σ yz e z ) +n z (σ zx e x +τ zy e y +σ z e z ), (8) 3
4 tai t n = n x σ x +n y τ yx +n z τ zx n y τ xy +n y σ y +n z τ zx n z τ xz +n y τ yz +n z σ z = n T σ = σ T n. (9) Huomaa jännitysmatriisin σ:n transpoosi viimeisessä termissä. Tämä johtuu valitusta merkintätavasta jossa leikkausjännityskomponentin alaindeksin ensimmäinen termi viittaa pinnan normaalin suuntaan ja toinen itse komponentin suuntaan. Jännitysmatriisi karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa esitettynä on σ x τ xy τ xz σ = τ yx σ y τ yz. (10) τ zx τ zy σ z Tätä jännitysmatriisin esitystapaa, jossa normaalijännityksiä merkitään σ:lla ja leikkausjännityksiä τ:lla kutsutaan von Kármánin merkintätapaa ja se on insinöörikirjallisuudessa varsin yleisesti käytetty. Yhtälöä (9) kutsutaan Cauchyn jännitysteoreemaksi ja se voidaan kirjoittaa muodossa t(x,n) = [σ(x)] T n, (11) jossa suureiden argumentit on merkitty eksplisiittisesti. Cauchyn jännitysteoreema kertoo traktiovektorin lineaarisen riippuvuden yksikkönormaalivektorista n. Jännitysmatriisi on symmetrinen, minkä voi todeta tarkastelemalla jännityselementin momenttitasapainoa. 1.2 Pinnan normaalin ja tangentin suuntaiset jännityskomponentit. TÄRKEÄÄ! Mikäli jännitysmatriisi tunnetaan, voidaan mielivaltaisen tason normaalin ja tason itsensä suuntaiset jännityskomponentit ratkaista. Normaalijännitys saadaan traktiovektorin pistetulona pinnan yksikkönormaalin kanssa σ n = t T n = n T σn. (12) Pinnan suuntainen resultoiva leikkausjännityskomponentti saadaan Pythagoraan teoreeman avulla τ n = t T t σn. 2 (13) 1.3 Pääjännitykset ja niiden suunnat. TÄRKEÄÄ! Jännitysmatriisin σ ominaisarvoja σ kutsutaan pääjännityksiksi ja ne saadaan ratkaisemalla tavanomainen ominaisarvotehtävä (σ σi)n = 0, (14) 4
5 jossa ominaisvektorin määrittelee sen tason normaalin jossa pääjännitysσ esiintyy. Pääjännitystasoilla leikkausjännitykset häviävät ja pääjännityskoordinaatistossa jännitysmatriisi on diagonaalinen σ σ = 0 σ 2 0. (15) 0 0 σ 3 Koska (14) on homogeeninen yhtälöryhmä, sillä on nollasta eroava ratkaisu suunnille n vain mikäli kerroinmatriisi on singulaarinen. Singulaarisen matrisiin determinatti häviää, joten ominaisarvot saadaan ratkaistua ehdosta det σ x σ τ xy τ xz τ xy σ y σ τ yz τ xz τ yz σ y σ = 0. (16) Huom. Ominaisarvotehtävän ratkaisussa ei yleensä kannata käyttää pääinvarianttien lausekkeita eikä oppikirjan sivulla 308 esitettyjä erikoiskaavoja ominaisvektorien komponenttien laskemiseksi. Kehittämällä determinantti saadaan kolmannen asteen polynomi pääjännitystenσ ratkaisemiseksi. Determinantti voidaan kehittää vaikka ylimmän vaakarivin suhteen, jolloin saadaan (σ x σ) σ y σ τ yz σ z σ τ xy τ xy τ yz τ xz σ z σ +τ xz τ xy σ y σ = 0. (17) τ yz Kun ominaisarvot on ratkaistu, saadaan pääsuunnat sijoittamalla ominaisarvot yhtälöön (14). τ xz τ yz Esimerkki. Erään kontinuumipisteen P jännitysmatriisi on σ 0 2σ 0 3σ 0 σ = 2σ 0 4σ 0 6σ 0 3σ 0 6σ 0 σ 0 1. Määritä traktiovektori t tasolla, jonka normaalin osoittaa suuntaan 1:-1:2. 2. Määritä pisteen P kautta kulkevan tason 2x 2y z = 0 suuntaisen tason traktiovektori. 3. Määritä normaali ja leikkausjännityskomponentit edellisen kohdan tasolla. 4. Määritä pääjännitykset ja kaikki pääsuunnat. Ratkaisu. 1. Suunnan 1:-1:2 yksikkövektori on n = [1, 1,2] T / 6 ja traktiovektori tasolla on t = σ 0 2σ 0 3σ 0 2σ 0 4σ 0 6σ 0 3σ 0 6σ 0 σ = σ
6 2. Tason 2x 2y z = 0 yksikönormaali on n = [ 2 3, 2 3, 1 3 ]T, täten traktiovektori tällä tasolla on σ 0 2σ 0 3σ 0 2 t = 2σ 0 4σ 0 6σ = σ σ 0 6σ 0 σ Normaalijännitys on traktiovektorin normaalikomponentti, eli σ n = t T n = 17 9 σ 0 1,9σ 0. Tasolla vaikuttava leikkausjännityskomponentti saadaan Pythagoraan teoreeman avulla τ n = t T t σn 2 = ( 5 3 )2 +( 10 3 )2 +( 7 3 )2 ( 17 9 )2 σ 0 = σ0 3,97 σ Pääjännitykset σ ja niiden esiintymistasojen normaalien suunnat n saadaan ratkaistua ominaisarvotehtävästä σ 0 σ 2σ 0 3σ 0 n x 0 2σ 0 4σ 0 σ 6σ 0 n y = 0. 3σ 0 6σ 0 σ 0 σ n z 0 Kyseisellä homogeenisella yhtälöryhmällä on nollasta eroava ratkaisu vain jos kerroinmatriisi on singulaarinen, eli σ 0 σ 2σ 0 3σ 0 det 2σ 0 4σ 0 σ 6σ 0 = 0, 3σ 0 6σ 0 σ 0 σ josta saadaan karakteristinen polynomi ominaisarvojen määrittämiseksi σ 3 +6σ 0 σ +40σ 2 0σ = 0. Pääjännitykset ovat siten10σ 0,0, 4σ 0. Pääjännitystä10σ 0 vastaava suunta saadaan yhtälösysteemistä 9σ 0 2σ 0 3σ 0 2σ 0 6σ 0 6σ 0 3σ 0 6σ 0 9σ 0 n x n y n z = josta saadaan suunta n x : n y : n z = 3 : 6 : 5. Vastaavasti kahdelle muulle pääsuunnalle saadaan suunnat 2 : 1 : 0 ja 1 : 2 : 3. Huomaa, että suunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vasten. 1.4 Lujuushypoteesit Metalleille soveltuvista myötöehdoista tärkeimmät ovat Trescan ja von Misesin ehdot. Lue huolella oppikirjasta luvut ,
7 1.5 Muodonmuutos Oppikirjan luku 4. Venymä suuntaann (yksikkövektori) saadaan lausekkeesta ε n = n T εn, (18) jossaεon symmetrinen muodonmuutosmatriisi 2 ε = ε x ε xy ε xz ε xy ε y ε yz ε xz ε yz ε z. (19) Vertaa normaalijännityksen laskemiseen 12. Muista, että liukumat ovatγ xy = 2ε xy,γ xz = 2ε xz,γ yz = 2ε yz. Suuntien n ja m välinen liukuma on Vektoreidenn ja m on oltava yksikkövektoreita. γ nm = n T εm +m T εn = 2n T εm. (20) 2 Lineaarisesti kimmoisa isotrooppinen materiaalimalli Lue oppikirjan luku 5. 3 kselinsa suunnassa kuormitettu suora sauva Normaalivoima N määritellään normaalijännitysten σ resultanttina sauvan poikkileikkausalan yli N = σd. (21) Normaalivoiman sitoo ulkoiseen kuormitukseen tasapainoyhtälö dn dx = f, (22) joka saadaan tarkastelemalla kuvan 4 mukaisen differentiaalsen sauva-alkion vaakatasapainoa, ja jossa f on sauvan akselin suuntainen voima pituusyksikköä kohti. Lisäksi tarvitaan materiaaliyhtälö, eli konstitutiivisen yhtälö, joka sitoo jännityksenσ muodonmuutokseen ε, ja joka lineaarisesti kimmoisan materiaalin tapauksessa on σ = Eε, (23) jossa E on materiaalin jäykkyyttä kuvaava kimmomoduuli. Normaalivoima saadaan materiaaliyhtälön (23) ja määritelmän (21) avulla muotoon N = Eε. (24) 2 Muodonmuutosmatriisia merktään oppikirjassa epästandardilla merkinnällä V. 7
8 N(x) f N(x)+dN x dx Kuva 4: ksiaalisesti kuormitettu sauva. Muodonmuutoksen, eli venymän saadaan geometrisen tarkastelun avulla muodossa ε = du dx. (25) Sijoittamalla venymän lauseke (25) normaalivoiman lausekkeeseen (24) ja tämä tasapainoyhtälöön (22), saadaan aksiaalisesti kuormitetun suoran sauvan tasapainoyhtälö lausuttuna siirtymän u avulla d ( E du ) = f. (26) dx dx Yhtälö on toisen kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö, ja sauvan akselin suuntaisen siirtymän u ratkaisemiseksi tarvitaan kaksi reunaehtoa - yksi ehto sauvan kummassakin päässä. Reunaehto voidaan antaa joko siirtymälle u tai normaalivoimalle N. Merkitään jatkossa paikkakoordinaatin x-suhteen otettua derivaattaa pilkulla suureen oikeassa yläkulmassa esimerkiksi u = du/dx. Täten akselinsa suunnassa kuormitetun sauvan differentiaaliyhtälö (26) saa muodon (Eu ) = f. (27) Mikäli sauvan aksiaalijäykkyys on vakio, eli se ei riipu paikkakoordinaatista x, saadaan muoto Eu = f. (28) Tämä toisen kertaluvun vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö on helppo integroida. Lämpömuodonmutoksen vaikutus otetaan huomioon jakamalla kokonaisvenymä ε jännityksiä aiheuttavaan elastiseen osaaε e ja lämpötilan muutoksesta T aiheutuvaan osaa ε = ε e +α T, (29) jossa α on pituuden lämpötilakerroin, josta kirjallisuudessa käytetän usein lyhennettä CTE - Coefficient of Thermal Expansion. Mikäli lämpötilan muutoksista aiheutuvat muodonmuutokset pääsevät vapaasti tapahtumaan, ei niistä aiheudu jännityksiä. Esimerkki. Tarkastellaan tasajäykkää pilaria, johon vaikuttaa oman painon lisäksi puristava normaalivoima F pilarin huipussa. Reunaehdot ovat u(0) = 0, ja N(L) = F. (30) 8
9 ksiaalisiirtymän differentiaaliyhtälö on nyt muotoa Eu = ρg, (31) jossa ρ on materiaalin tiheys ja g on maan vetovoiman kiihtyvyys. Integroimalla yhtälö (31) kaksi kertaa saadaan siirtymälle lauseke Integroimisvakiot määritetään reunaehdoista (30) u = 1 2 ρgx2 +C 1 x+c 2. (32) u(0) = C 2 = 0 (33) N(L) = Eu (L) = ρgl+c 1 = F C 1 = F ρgl. (34) Sauvan siirtymän ja normaalivoiman lausekkeet ovat ( u(x) = ρgl2 x )( x ) E L 2L 1 φ, (35) ( x ) N(x) = Eu (x) = ρgl L 1 φ, (36) jossa dimensioton suure φ on määritelty yhtälöllä φ = F/ρgL. Palkin yläpään siirtymä ja kiinnityskohdan normaalivoima ovat u(l) = ρgl2 E (φ+ 1 ), N(0) = ρgl(1+φ) = ρgl F. (37) 2 Jännitys kiinnityskohdassa on σ(0) = N(0)/ = (ρgl + F)/, ja sauvan yläpäässä σ(l) = N(L)/ = F/. Sauva on puristettu koko pituudeltaan ja puristus kasvaa lineaarisesti oman painon vaikutuksesta. Koska esimerkkitehtävä on staattisesti määrätty, voidaan sen voimatila määrittä suoraan tasapainoyhtälöstä (22), ja tehtävä on ratkaistavissa kuten oppikirjan esimerkissä 1 sivulla 137, jossa siirtymän lauseke saadaan integroimalla yhteys N = Eu. Esimerkki. Tarkastellaan kahden jäykän seinämän välissä olevaa tasajäykkää sauvaa. Pilarin vasen pää lämpenee T 0 :n verran ja oikean pään lämpötila pysyy vakiona. Tästä aiheutuvan sauvan pituusakselin suhteen lineaarisesti muuttuva lämpätilaero T(x) = T 0 (1 x/l). Sauvan lämpöpitenemiskerroin onα. Jännityksiä aiheuttava kimmoinen venymä on ε e = ε α T = u α T. (38) Sijoittamalla tämä materiaaliyhtälöön (23) ja normaalivoiman määritelmään (21) saadaan N = Eε e = E(u α T). (39) Koska tehtävä on staattisesti määräämätön, eli hyperstaattinen, ei pelkästään tasapainoyhtälön (22) avulla voida määrittä sauvan normaalivoimajakaumaa. Sijoitetaan (39) tasapainoyhtälöön (22) jolloin saadaan sauvan differentiaaliyhtälöksi Eu = Eα T, eli u = α T 0 /L. (40) 9
10 Reunaehdot ovat u(0) = u(l) = 0. Integroimalla siirtymä u differentiaaliyhtälöstä (40), saadaan u(x) = 1 2 α T 0x 2 /L+C 1 x+c 2. (41) Reunaehtojen avulla saadaan integroimisvakiot määritettyä u(0) = 0 C 2 = 0, (42) u(l) = 0 C 1 = 1 2 α T 0. (43) Ratkaisu on siten ( x u(x) = 1α T L)( x ), (44) L N(x) = E(u (x) α T(x)) = 1Eα T 2 0. (45) Huomaa, että normaalivoima on vakio, kuten pitääkin tasapanoyhtälön N = 0 perusteella. 4 Suoran sauvan vääntö 4.1 Määrittelyjä ja tasapainoyhtälö Mikäli suoran sauvan ainoana kuormituksena on sauvan akselin suuntainen vääntömomentti, sauvan poikkileikkaustasot kiertyvät ns. vääntökeskiön ympäri. Riippuen sauvan poikkileikkauksen muodosta poikkileikkaustasot voivat siirtyä sauvan akselin suunnassa, eli käyristyä. Tätä ilmiötä kutsutaan myös poikkipintapaunaumana. Sauvan reunaehtojen ja poikkileikkausgeometrian mukaan vääntötehtävät voidaan jaotella 1. vapaan väännön ongelmiin, joissa sauvan poikkipinnan käyristymistä ei estetä ja 2. estetyn väännön ongelmiin, joissa sauvan poikkipinnan käyristyminen estetään tai rajoitetaan. Oletetaan sauvan akselin yhtyvän x-akseliin. Vääntömomentti M x on poikkipinnan suuntaisten leikkausjännityskomponenttien τ xy ja τ xz resultanttimomentti M x = (τ xz y τ xy z)d. (46) Sauvan vääntömomentin tasapainoyhtälö on dm x dx = m x, (47) jossam x on sauvan vääntökeskiön ympäri pyörittävä jakautunyt vääntömomenttikuormitus, jonka yksikkö on newtonmetri/metri. Tasapainoyhtälö saadaan samanlaisella tarkastelulla kuin aksiaalisesti kuormitetun sauvan tasapainoyhtälö (22). Leikkausjännityksen τ ja leikkausmuodonmuutoksen γ välinen konstitutiivinem yhtälö lineaarisesti kimmoisan isotrooppisen aineen tapauksessa on jossagon materiaalin liukumoduuli. τ xy = Gγ xy, ja τ xz = Gγ xz, (48) 10
11 4.2 Ympyräpoikkileikkauksinen sauva Sauvan vääntymä θ määritellään vääntökulman ϕ muutosvauhtina θ = dϕ dx. (49) Liukuma etäisyydellä r sauvan poikkileikkauksen keskipisteestä on Vääntömomentti saadaan nyt lauseke M x = τrd = γ = rθ = r dϕ dx. (50) Gγrd = Gr 2 θd. (51) Jos sauvan on tehty homogeenisesta materiaalista, on leikkausmoduuli vakio, joten M x = GI p θ = GI p ϕ, (52) jossa termiäi p kutsutaan polaariseksi jäyhyysmomentiksi, ja massiivipoikkileikkauksiselle sauvalle sille saadaan lauseke R I p = r 2 d = 2π r 3 dr = 1 2 πr4, (53) 0 jossaron poikkileikkauksen säde. Sijoittamalla (52) vapaan väännön tasapainoyhtälöön (47) saadaan yhtälö (GI p ϕ ) = m x, (54) joka on täysin analoginen aksiaalisesti kuormitetun sauvan tasapainoyhtälön (26) kanssa. 4.3 Suljettu ohutseinäinen yksikoteloinen poikkileikkaus Lue oppikirjasta luku Suoran palkin taivutus Tarkastellaan tasopalkin taivutusta. Leikkausvoiman Q y ja taivutusmomentin M z positiiviset suunnat on esitetty kuvassa 5. Koska jatkossa käsitellään vain taivutusta yhden akselin suhteen, jotetään jatkossa alaindeksit leikkausvoiman ja taivutusmomentin merkinnöistä kirjoittamatta. Kuvan 5 differentiaalisen palkkialkion pysty ja momenttitasapainoehdoiksi saadaan yhtälöt Q = q, ja Q = M, (55) josta taivutusmomentin ja ulkoisen viivakuormituksen q välinen tasapainoyhtälö on M = q. (56) 11
12 M(x) q M(x)+dM y x Q(x) x dx Q(x) + dq Kuva 5: Palkin kuormitus ja sisäisten voimasuureiden positiiviset suunnat. N(x,0) P(x,y) x v(x, 0) y,v P N v (x,0) Kuva 6: Palkin taivutus. 12
13 Kuten aksiaalisesti kuormitetun ja väännnetyn sauvan tapauksessa, tasapainoyhtälöstä ei voida rakenteen sisäistä voimatilaa yksikäsitteisesti ratkaista. Kuvaan 5 on palkin positiivinen pinta piirretty katkoviivalla, ja voidaan havaita positiivisen taivutusmomentin aiheuttavan positiivisen pinnan venymistä ja vastaavasti negatiivisen pinnan puristumista. Ohuen palkin malli, jota kutsutaan usein Eulerin-Bernoullin palkkimalliksi, perustuu seuraaviin kolmeen otaksumaan: 1. deformoitumattomassa alkutilassa palkin akselia vastaan kohtisuorat säikeet pysyät suorina deformaation aikana, 2. eivätkä nämä säikeet veny, NP = N P, ja 3. ne säilyvät kohtisuorassa palkin akselia vasten myös deformoituneessa tilassa. Näiden oletusten ja alkeisgeometrian avulla saadaan palkin mielivaltaisen pisteenp, jonka koordinaatit ovat (x, y) akselin suuntaiselle siirtymälle u ja taipumalle v lausekkeet, katso kuvaa 6 u(x,y) = ysin(v (x,0)), (57) v(x,y) = v(x,0)+y(1 cos(v (x,0))). (58) Otaksumalla palkin akselin kiertymäkulma v (x,0) pieneksi, voidaan tehdä appoksimaatiot sin(v ) v ja cos(v ) 1, jolloin päädytään Eulerin-Bernoullin palkkimallin kinemaattisesti lineaarisen siirtymäotaksuman lausekkeisiin u(x,y) = yv (x,0), (59) v(x,y) = v(x,0) = v(x). (60) Normaalivenymän lausekkeeksi saadaan palkin poikkileikkauksen korkeuskoordinaatin y suhteen lineaariseen lausekkeeseen ε(x,y) = u x = yv (x) = yκ(x), (61) jossa palkin akselin käyristymälle on käytetty merkintää κ = v. (62) Taivutusmomentti M määritellään normaalijännitysten resultanttimomenttina M = σyd. (63) Ottamalla huomioon materiaaliyhtälö (23) ja olettamalla kimmomoduuli vakioksi poikkileikkauksen korkeussuunnassa, saadaan taivutusmomentin lausekkeeksi M = EIκ, (64) jossai on palkin jäyhyysmomentti I = y 2 d. (65) 13
14 P P EI Q 1 Q 2 L/2 L/2 Kuva 7: Palkkiesimerkki. Opettele poikkileikaussuureiden laskeminen, katso oppikirjan liitettä. Erityisesti Steinerin sääntö on käyttökelpoinen. Sijoittamalla taivutusmomentin lauseke (64) tasapainoyhtälöön (56) ja ottamalla huomioon kinemaattinen yhteys (62), saadaan palkin taipuman differentiaaliyhtälö (EIv ) = q. (66) Mikäli palkin taivutusjäykkyys EI ei muutu palkin akselin suunnassa, saadaan vakiokertoiminen neljännen kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö EIv (4) = q. (67) Yhtälön (66) tai (67) ratkaisemiseksi on annettava kaksi reunaehtoa palkin kummassakin päässä. Tavallisimpia reunaehtotapauksia on lueteltu seuraavassa listassa. 1. Jäykästi kiinnitetyllä reunalla palkin taipuma ja kiertymä häviävät, eliv = v = Vapaasti tuetulla reunalla palkin taipuma häviää, eikä se voi vastaanottaa taivutusmomenttia, joten v = 0 ja M = EIv = Vapaalla reunalla, jolla ei ole reunakuormitusta, leikkausvoima ja taivutusmomentti häviävät, elim = EIv = 0 ja Q = (EIv ) = 0. Esimerkki. Ratkaistaan oppikirjan sivulla 444 olevan taulukon tapaus numero 18. Pistekuormasta johtuen taipuman differentiaaliyhtälön (67) ratkaisu on suoritettava kahdessa osassa. Merkitään taipumafunktiota välillä 0 x L/2 symbolilla v 1 ja vastaavasti välillä L/2 x L symbolilla v 2. Palkin kummassakin päässä voidaan asettaa kaksi reunaehtoa ja palkin keskellä neljä yhteensopivuusehtoa, joten kahdeksan integroimisvakiota voidaan ratkaista. Taipumien lausekkeet ovat v 1 = x+ 2 x 2 +a 3 x 3, (68) v 2 = B 0 +B 1 x+b 2 x 2 +B 3 x 3, (69) jotka toteuttavat homogeeniset diffentiaaliyhtälöt EIv (4) i vapaasti tuetulla reunalla = 0,i = 1,2. Reunaehdot ovat ja jäykästi kiinnitetyssä päässä v 1 (0) = 0, ja M 1 (0) = EIv 1(0) = 0, (70) v 2 (L) = 0, ja v 2(L) = 0. (71) 14
15 Palkin keskellä yhteensopivuusehdot ovat: (i) taipuman, kaltevuuskulman ja taivutusmomentin on oltava jatkuvia, eli v 1 ( 1L) = v 2 2( 1L), 2 v 1( 1L) = 2 v 2( 1L), M 2 1( 1L) = M 2 2( 1 L). (72) 2 Leikkausvoimassa Q = EIv on oltava F :n suuruinen hyppy F +Q 2 ( 1L) Q 2 1( 1 L) = 0, (73) 2 joka on palkin keskikohdan pystytasapainoehto, katso kuvaa 7. Määritetään derivaatat v 1 = x+3 3 x 2, v 2 = B 1 +2B 2 x+3b 3 x 2, v 1 = x, v 2 = 2B 2 +6B 3 x, v 1 = 6 3, v 3 = 6B 3. Integroimisvakioiden eliminoiminen kannattaa aloittaa aina ehdosta, jossa derivatat ovat korkeinta kertalukua, eli tässä tapauksessa leikkausvoiman hyppyehdosta (73) F 6EIB 3 +6EI 3 = 0 B 3 = 3 + F 6EI. (74) Triviaaliehdot on myös syytä huomioida heti laskujen alkuvaiheessa v 1 (0) = 0, 0 = 0, ja M 1 (0) = EIv 1(0) = 0 2 = 0. (75) Taivutusmomentin jatkuvuusehdosta seuraa EIv 1( 1 L) = EIv 2 2( 1L) 3 2 3L = 2B 2 +3B 3 L, (76) josta sijoittamalla ehtoon (74) saadaan Näin edeten saadaan lopulta ratkaisu Taipuman ratkaisu on siten B 2 = FL 4EI. (77) 0 = 0, B 0 = FL3 48EI, 1 = FL2 32EI, B 1 = 5 FL 2 32 EI, 2 = 0, B 2 = FL 4EI, 3 = 5 F 96EI, B 3 = 11 F 96EI. v 1 = FL3 96EI v 2 = FL3 96EI ( x L) ( ) 3 5 x2, (78) L ( 2 ( x ) 3 ( x ) ) 2 x L L L 2, (79) 15
16 josta saadaan taivutusmomentin lausekkeiksi Leikkausvoima on tietenkin paloittain vakio M 1 = EIv 1 = 5 Fx, 16 (80) M 2 = EIv 2 = 1F(L 11 x). 2 8 (81) Q 1 = M 1 = 5 F, Q 16 2 = M 2 = 11 F. (82) 16 Taivutusmomentin äriarvot esiintyvät jäykällä tuella ja pistevoiman kohdalla, ja ne ovat M( 1L) = 5 3 FL, M(L) = FL. (83) Itseisarvoltaan suurin taivutusmomentti esiintyy siten jäykästi kiinnitetyllä reunalla. Mikäli palkin poikkileikkaus on kaksoissymmetrinen, esiintyvät sekä suurin että pienin normaalijännitys palkin jäykästi kiinnitetyllä tuella. Normaalijännitykset jakautuvat lineaarisesti palkin korkeuden yli σ = M y, (84) I joka saadaan yhtälöiden (23),(61) ja (64) avulla. Piirrä taivutusmomentti ja leikkausvoimakuviot. Mieti olisiko koordinaatiston origon asettaminen pistekuorman kohdalle ollut parempi valinta! 16
Materiaalien mekaniikka
Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =
Lisätiedot2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv
2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten
LisätiedotLaskuharjoitus 2 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1.
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 6. harjoitus jännitysmitat Ratkaisut T 1: Ohuen suoran sauvan pituus referenssitilassa on 0 ja poikkipinta-ala on A 0. Sauvan akselin suuntaisen
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
LisätiedotMateriaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.
JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.
LisätiedotRatkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotHarjoitus 7. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 4: mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
Lisätiedot2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys
SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillinen suunnittelu 18 1.5 Lujuusopin
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,
LisätiedotPUHDAS, SUORA TAIVUTUS
PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso
LisätiedotPALKIN KIMMOVIIVA M EI. Kaarevuudelle saatiin aiemmin. Matematiikassa esitetään kaarevuudelle v. 1 v
PALKIN KIMMOVIIVA Palkin akseli taipuu suorassa taivutuksessa kuormitustasossa tasokäyräksi, jota kutsutaan kimmoviivaksi tai taipumaviivaksi. Palkin akselin pisteen siirtymästä y akselin suunnassa käytetään
Lisätiedot2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34
SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku
LisätiedotHarjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.
LisätiedotHYPERSTAATTISET RAKENTEET
HYPERSTAATTISET RAKENTEET Yleistä Sauva ja palkkirakenne on on isostaattinen, jos tasapainoehdot yksin riittävät sen tukireaktioiden ja rasitusten määrittämiseen. Jos näiden voimasuureiden määrittäminen
LisätiedotSISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa
SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla
LisätiedotLaskuharjoitus 7 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin 25.4. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan
Lisätiedotgrada dv = a n da, (3) vol(ω) ε = εdv. (4) (u n +n u)da, (5)
MEI-55 Mallintamisen perusteet Harjoitus 2 Tehtävä Dyadin a b, jossa a,b R 3 jälki on skalaari jota merkitään tr(a b) ja määritellään pistetulona tr(a b) = a b. (). Mikäli vektorit a ja b on annettu suorakulmaisessa
LisätiedotMUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:
MUODONMUUTOKSET Lähtöotaksumat:. Materiaali on isotrooppista ja homogeenista. Hooken laki on voimassa (fysikaalinen lineaarisuus) 3. Bernoullin hypoteesi on voimassa (tekninen taivutusteoria) 4. Muodonmuutokset
LisätiedotJohdatus materiaalimalleihin
Johdatus materiaalimalleihin 2 kotitehtäväsarja - kimmoisat materiaalimallit Tehtävä Erään epälineaarisen kimmoisen isotrooppisen aineen konstitutiivinen yhtälö on σ = f(i ε )I + Ge () jossa venymätensorin
LisätiedotSUORAN PALKIN RASITUKSET
SUORAN PALKIN RASITUKSET Palkilla tarkoitetaan pitkänomaista rakenneosaa, jota voidaan käsitellä yksiulotteisena eli viivamaisena. Palkkia kuormitetaan pääasiassa poikittaisilla kuormituksilla, mutta usein
LisätiedotLaskuharjoitus 1 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotHarjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2.
7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotSUORAN PALKIN TAIVUTUS
SUORAN PALKIN TAIVUTUS KERTAUSTA! Palkin rasituslajit Palkki tasossa: Tasopalkin rasitukset, sisäiset voimat, ovat normaalivoima N, leikkausvoima Q ja taivutusmomentti M t. Ne voidaan isostaattisessa rakenteessa
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti
KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Statiikan välikoe 12.3.2018 Ajankohta ma 12.3.2018 klo 14:00 17:00 Salijako
Lisätiedot1. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut
. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut Tehtävä. Ovatko seuraavat indeksimuotoiset lausekkeet karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa oikein, perustelu?
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotHarjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotRatkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotRak RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C
Rak-54.6 RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C Luentomoniste kevätlukukausi 2005 0 VEKTORILASKENNAN KERTAUSTA 0. Vektoreiden skalaaritulo eli pistetulo Olkoot a ja b kaksi mielivaltaista vektoria kolmiulotteisessa
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotTAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat
TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,
LisätiedotMuutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa
Rakenteiden Mekaniikka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 75 82 Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa Reijo Kouhia Tiivistelmä. Momenttimenetelmä on käyttökelpoinen ratkaisutapa
LisätiedotAnalysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus
TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotSuorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 8.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotAksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu
TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotLAATTATEORIAA. Yleistä. Kuva 1.
LAATTATEORIAA Yleistä Kuva 1. Laatta on kahden pinnan rajoittama rakenneosa, jonka paksuus on pieni muihin mittoihin verrattuna. Pintojen puolivälissä oleva keskipinta on taso ennen laatan kuormittamista.
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotKIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET
KIINTÄN AINN MKANIIKAN PRUSTT YHTÄLÖKOKOLMA Kari Santao 3..06 Pitkä versio Opiskelin nimi opiskelinumero Voisitteko ystävällisesti ilmoittaa tässä yhtälökokoelmassa havaitsemistanne virheistä puutteista.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
Lisätiedot4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3
. Taylorin polynomi; funktion ääriarvot.1. Taylorin polynomi 94. Kehitä funktio f (x,y) = x 2 y Taylorin polynomiksi kehityskeskuksena piste ( 1,2) a) laskemalla osittaisderivaatat, b) kirjoittamalla muuttujat
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotHarjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/2017
KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/017 1. Määritä oheisen kuvan mukaisen kanaalin portin
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotTutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3
2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Lisätiedot