Antti Majaniemi GEOMETRIA. geometriaa, trigonometriaa ja vektorilaskentaa ISBN

Transkriptio

1 Antti Majaniemi GEOMETRIA geometriaa, trigonometriaa ja vektorilaskentaa 06 ISBN

2 Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 40 Kansainvälinen -lisenssillä Tarkastele lisenssiä osoitteessa Antti Majaniemen perikunta on päättänyt antaa tämän teoksen käytettäväksi yllä olevalla lisenssillä Painatus ei ollut enää kannattavaa alhaisen kysynnän vuoksi, mutta tällä tavalla oppimateriaali on edelleen opiskelijoiden ja oppilaitosten käytettävissä Tämä teos on ladattavissa osoitteessa Turussa 906 Jari Majaniemi anttimajaniemifi

3 Sisällys Kolmio Peruskäsitteitä Kolmiolajeja Pythagoraan lause Kolme erikoiskolmiota 4 Suorakulmaisen kolmion trigonometriaa 8 Terävän kulman trigonometriset funktiot 8 Trigonometrisia peruskaavoja 9 Komplementtikulmat 0 Vektorit Peruskäsitteitä Vektorien laskutoimitukset 4 Vektorin komponenttiesitys 7 4 Kolmioiden yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 6 4 Yhtenevyys 6 4 Yhdenmuotoisuus 7 5 Trigonometriset funktiot 4 5 Suunnattu kulma 4 5 Trigonometristen funktioiden yleiset määritelmät 5 5 Radiaani 7 6 Kolmion ratkaiseminen 4 6 Yleistä 4 6 Kolmion ala ja sinilause 4 6 Kosinilause 44 7 Vektorien pistetulo 48 7 Pistetulo (skalaaritulo) 48 7 Kahden vektorin välinen kulma 50 7 Vektorin suuntakosinit 5 74 Vektorin ortogonaaliprojektio 5 8 Ristitulo ja kolmoistulot 57 8 Ristitulo (vektoritulo) 57 8 Skalaari- ja vektorikolmitulot 59 *8 Laskulakeja 60 9 Trigonometriset lausekket 6 9 Peruskulma 6 9 Trigonometrisia muunnoskaavoja 64 *9 Tulot summiksi ja summat tuloiksi 69 0 Trigonometriset käyrät ja yhtälöt 74 0 Sini- ja kosinikäyriä 74 0 Aaltoliikkeiden yhdistäminen 76 0 Tangenttikäyrä Trigonometrisia yhtälöitä 78 i

4 Kompleksilukujen esitystapoja 84 Peruskäsitteitä 84 Polaarinen ja osoitinesitys 85 Eksponenttiesitys 86 *4 Kompleksiluvun juuri ja logaritmi 88 Ympyrän geometriaa 90 Kehä- ja keskuskulma 90 Pisteen potenssi ja sekanttilause 90 Heronin kaava 9 4 Kolmion sisään ja ympäri piirretty ympyrä 9 Yleinen yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 94 Tasokuvioiden perusliikkeet ja yhtenevyys 94 Homotetia ja yhdenmuotoisuus 96 4 Avaruusgeometriaa 99 4 Yleistä 99 4 Lieriö ja kartio 0 4 Pallon osat 04 5 Muutama vanha koetehtävä 07 Harjoitustehtävien vastauksia 09 Moniste on tarkoitettu käytettäväksi insinöörikoulutuksen geometrian opetuksessa yhdessä algebran monisteiden kanssa Asioiden esittämisjärjestykseen ovat vaikuttaneet muiden oppiaineiden tarpeet, mutta joillakin opintosuunnilla voi olla syytä muuttaa tätä järjestystä Harjoitustehtävät on jaettu kolmeen ryhmään A, B ja C vaikeustason ja yleisyyden perusteella Niiden joukossa on aika vähän soveltavia tehtäviä mm siksi, että sovellukset ovat linjakohtaisia, jopa oppilaitoskohtaisia ja oppilaiden pitää saada opinnoilleen ensin yleinen matemaattinen pohja Matematiikan opettajan olisi kuitenkin hyvä tuntea sen opintosuunnan matemaattisia sovelluksia, joita hän opettaa Näitä hän voi sijoittaa opetukseensa motivoimaan matematiikan tarpeellisuutta ja tukemaan kyseisen alan ammattiopintoja Tähän painokseen olen muuttanut lähinnä monisteen ulkoasua Korjaukset ja muut muutokset sen sijaan ovat aika vähäisiä Tähdellä * merkittyjä valinnaisia osia olen lisännyt jonkin verran Turussa Antti Majaniemi Olen päivittänyt monistetta muuttaen sitä yhdenmukaiseksi muun monistesarjan kanssa Turussa Jari Majaniemi ii

5 KOLMIO Peruskäsitteitä Kolmion perusosat Kolmion ABC merkintä on ABC Sivuja (tai niiden pituuksia) merkitään pienillä kirjaimilla a, b ja c Kulmia ja niiden suuruuksia merkitään kreikkalaisilla kirjaimilla, β ja γ Kirjaimet valitaan siten, että sivua, sen vastaista kulmaa ja tämän kulman kärkeä merkitään vastaavilla kirjaimilla (esim b, B ja β) Kulmalla on useita merkintätapoja, mm seuraavat: Sivun pituus γ = = = = Standardien mukainen janan merkintä on AB, mutta se on yleensä geometriseen käyttöön turhan mutkikas Niinpä esimerkiksi kolmion kärkien A ja B välistä sivua merkitään yleensä AB:llä tai vielä lyhemmin c:llä Standardien mukaan janan AB pituus on AB, mutta yleinen geometrinen käytäntö on merkitä janan c = AB pituuttakin c:llä tai AB:llä Geometriassa on myös tavallista (ja oikein) puhua esimerkiksi kolmiosta, jonka sivut ovat a= b=, c= ilmoittamatta mittayksikköä ja käyttäen tarkkoja arvoja Tällöin tarkastelut tapahtuvat ns euklidisessa tasossa, missä on valittuna jokin yksikköjana on konkreettisen tason (paperin, pöytälevyn tms) eräänlainen ihannetapaus, rajatapaus Sen voisi kuvitella tasolevyksi, joka jatkuu täysin suorana äärettömyyteen saakka ja jolla ei ole mitään paksuutta γ β

6 Jos euklidisen tason (tasakylkinen) kolmio, jonka sivut ovat esimerkiksi a= b=, c=, piirretään jollekin fysikaaliselle (konkreettiselle) tasolle, esim paperille tai liitutaululle, yksikköjanaksi valitaan jokin sopiva jana Paperilla yksikköjanaksi valitaan esim jana jonka pituus on mahdollisimman tarkasti 0 mm tai paperin ruutuväli Yksikköjanan valinta määrää piirretyn kolmion koon Tällaiselle tasolle piirretyn janan c= pituus voi olla esim c,4 cm tai c 4,8 ruutua Usein tässä yhteydessä "noin"-merkin sijasta käytetään yhtäläisyysmerkkiä = Kulman suuruus Kulman suuruus esitetään perinteisesti käyttäen, esim 5,4567 (esitys asteina 4 desimaalin eli 6 numeron tarkkuudella), β 5 5'7'' (sekuntien tarkkuus) = 90 = 80 ja = 60 Nykyään (esim yhdyskuntatekniikassa) käytetään myös kulman yksikköä ( gon) eli Suora kulma = 00 gon (lue: "00 goonia") Oikokulma = 00 gon ja täysi kulma = 400 gon Matematiikassa ja pidemmälle menevässä tekniikassa yleisin kulman yksikkö on Suora kulma = π/ rad (Lue: "pii per radiaania" Sanaa "per" = "kautta" käytetään jakolaskun lyhenteenä, esim " jaettuna :lla" = " per ") Kulmayksiköistä puhutaan tarkemmin myöhemmin Todistetaan nyt seuraava tulos: Jokaisessa kolmiossa kulmien summa on 80 Piirrä C:n kautta AB:n suuntainen suora Tämän suoran β viereen muodostuvat kulmat ovat = γ ja β (A- ja B-kulmat 80 kierrettyinä ) sekä γ Siten β + β+ γ = 80

7 Jos kolmion kaksi kulmaa ovat 00 gon ja 60 gon, niin kolmas on 00 gon 60 gon= 40 gon= 6 Kolmion korkeusjanat ja keskijanat = kolmion jostakin kärjestä kohtisuoraan vastakkaista sivua vastaan piirretty jana (tai suora) Piirrä kuva! = kolmion jostakin kärjestä vastakkaisen sivun keskipisteeseen piirretty jana Piirrä kuva Esim vektoreiden avulla voidaan todistaa, että kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä Tämä piste on sama kuin kolmion (kolmiolevyn) "" Kolmiolajeja Pythagoraan lause Tasakylkisen kolmion kaksi sivua, ns kyljet ovat yhtä pitkät Kylkien viereiset kulmat (kantakulmat) ovat yhtä suuret Huipusta kolmion kantaa vastaan piirretty korkeusjana on kolmion symmetria-akseli Tasakylkisen kolmion kantasivua sanotaan kannaksi vaikka se olisi vinossa asennossa # Kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkiä Täten kolmion jokainen kulma on 60 Piirrä kuva #$ "" Kolmio, jonka kaikki kulmat ovat teräviä ts alle 90 (00 gon), on teräväkulmainen Kolmio, jossa on yksi tylppä kulma (> 90 ), on tylppäkulmainen 4 Suoran kulman vastainen sivu c on %" ja kaksi muuta sivua a ja b ovat kolmion β

8 &% Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin kateettien neliöiden summa, ts = + β ' Jos hypotenuusa c= ja yksi kateetti a=, niin toinen kateetti on b= c a = 9= *Pythagoraan lauseen todistus: Lasketaan viereisen neliön ala kahdella tavalla: ab ( a+ b) = c + 4 a + ab+ b = c + ab a + b = c Kolme erikoiskolmiota ( )*+ Toinen kulma on silloin 60 (Lauseen mukaan) Tämä kolmio on puolet tasasivuisesta 60 kolmiosta (piirrä kuva) Jos kolmion lyhempi kateetti valitaan yksiköksi, niin 0 hypotenuusa on ja pidempi kateetti yksikköä, sillä = + ( ) Tätä tulosta käytetään usein seuraavassa muodossa: Jos suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 0, niin sivujen suhde on : : 45 Jos kateetit otetaan pituusyksiköksi, niin hypotenuusan pituus on, sillä + = ( ) 4

9 Jos siis suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 45, niin sivujen suhde on : : (#), Tällaisen kolmion hypotenuusa on - (yksikköä), sillä + 4 = Harjoituksia A Hanki A4-kokoista paperia (ruutukoko 7 mm), hyvä harppi, kolmioviivain, jossa on myös "astelevy" sekä ehkä myös levy, jossa on erikokoisia ympyröitä Opettele piirtämään paljon kuvioita, täsmällisesti, mutta nopeasti, sopivaan kokoon Yksinkertainen kolmiokuvion sopiva koko on esim sellainen, että pisin sivu on 58 cm Mutkikkaammat, paljon viivoja sisältävät kuviot on syytä piirtää isompaan kokoon Yleensä tehtävän vastaus on pyrittävä esittämään samantapaisessa muodossa kuin lähtöarvotkin Jos lähtöarvot ovat esim -numeroisia likiarvoja (tekniikassa esim mittoja 4,56 mm tai 0,79 m), merkitse välitulokset 4 numeron tarkkuudella (esim 0,54m) ja tallenna ne laskimen muisteihin Käytä laskuissa näitä nelinumeroisia välituloksia (tai laskimen muisteissa olevia lukuja) Pyöristä vastaus numeron tarkkuuteen (esim 0,764 m²) Jos taas lähtöarvot ovat tarkkoja arvoja (esim ), vastauskin on pyrittävä esittämään samantapaisessa muodossa Esimerkiksi luettelossa,4, 5,6, 6,8 voisi olla sopivampaa käyttää desimaalipilkun sijasta desimaalipistettä tai sitten erottaa luvut toisistaan pilkun sijasta puolipisteillä, siis,4; 5,6; 6,8 Tällaiset mitat, joissa ei esiinny mittayksikköä, ovat euklidisen tason mittoja Niistä ei oikeastaan ilman lisämainintaa voi tietää, ovatko ne tarkkoja arvoja vai likiarvoja Piirrä sopivaan kokoon seuraavanlaiset kolmiot ja niille keskija korkeusjanat a) tasasivuinen kolmio, b) tasakylkinen suorakulmainen kolmio, c) tylppäkulmainen kolmio Voit käyttää piirtämisessä kolmioviivainta ja sen mm-asteikkoa 5

10 Piirrä harjoitusten edellä esitetyt kolme erikoiskolmiota niin, että niiden hypotenuusat ovat (paperilla) vaakasuorassa Tasakylkisen kolmion huippukulma on 6, Laske kantakulmat 4 Suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 0 Laske (ilman trigonometriaa) kolmion sivut, kun a) lyhin sivu on,5 m, b) hypotenuusa on 54, c) pidempi kateetti on 5,44 cm 5 Neliön sivu on a),44 cm, b) 5 Laske neliön lävistäjä 6 Teräväkulmaisessa kolmiossa CDE on CD =,, CE = 4,55 ja korkeusjana CF =,86 Laske kolmion ala Vastaus kolmen numeron tarkkuudella 7 Laudasta tehdään kolmio, jonka kaksi lyhintä sivua ovat 60,0 cm ja 80,0 cm Kuinka pitkäksi on kolmas sivu valittava, jotta kolmio olisi suorakulmainen? B 8 Kolmion kantasivun ja kyljille piirrettyjen korkeusjanojen väliset kulmat ovat 4, gon ja 47,5 gon Laske huippukulman suuruus gooneissa ja ilmoita tulos myös asteissa 9 Ympyrän säde on 4 ja jänne 44 Kuinka kaukana jänne on keskipisteestä? 0 Piirrä harpilla ja viivaimella a) tasasivuinen kolmio, b) säännöllinen 6-kulmio (sivut yhtä pitkät, kulmat yhtä suuret) Laske kulma η, kun δ = 44,, ε = 89, ja lisäksi kuvan ylin ja alin viiva ovat yhdensuuntaiset (Nämä kreikkalaiset kirjaimet luetaan suunnilleen "eetta", "deltta" ja "epsilon") ε η δ Ympyrät sivuavat toisiaan ja neliön sivuja (kuva) Ympyröiden säteet ovat, mm ja 4, mm Laske neliön sivu Kolmion alan "kaava" on "kanta kertaa korkeus jaettuna :lla" Johda tämän avulla suunnikkaan ja puolisuunnikkaan alojen vastaavat tulokset 6

11 4 Maahan upotetusta tynnyristä pystytään mittaamaan a ja b (kuva) Johda ympyrän halkaisijalle lauseke b d = a+ 4 a 5 Todista, että tasasivuisen kolmion korkeus h ja ala A ovat % =, = C 4 5 Voidaan todistaa, että # "" " % ', ts siten, että keskijanasta jää kaksi kolmasosaa kärjen puolelle ja yksi kolmasosa sivun puolelle Tätä tietoa tarvitaan seuraavan tehtävän ratkaisemisessa: Laske edellistä tietoa / ja edellistä tehtävää apuna käyttäen viereisen kuvan mukaisen % säännöllisen tetraedrin (nelitahokkaan) korkeuden h lauseke: 0 7 Osoita, että edellisen tetraedrin tilavuus on s V =, kun tiedetään, että yleisesti pyramidin tilavuus on kolmannes pohjan alan ja korkeuden tulosta 7

12 SUORAKULMAISEN KOLMION TRIGONOMETRIAA Terävän kulman trigonometriset funktiot Esim viereisessä kolmiossa suhteen a/c suuruus riippuu kulman suuruudesta eli on :n funktio f( ) Tätä funktiota merkitään sin( ):lla tai lyhemmin sin :lla ja sitä sanotaan kulman siniksi Vastaavasti suhdetta b/c sanotaan kulman kosiniksi Tällaisia trigonometrisia funktioita on kuusi: sin = cos = tan = b cot = = a tan c sec = = b cos c cosec = = a sin Jatkossa käytetään lähinnä vain kolmea ensimmäistä funktiota: siniä, kosinia ja tangenttia Kotangentti, sekantti ja kosekantti ovat aika harvinaisia (paitsi amerikkalaisessa kirjallisuudessa) Opettele määritelmät myös seuraavassa muodossa: "Sini on vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan" "Kosini on viereisen kateetin suhde hypotenuusaan" "Tangentti on vastaisen kateetin suhde viereiseen" Määritelmästä saadaan seuraavat kaksi tulosta (joita käytetään paljon sovelluksissa): = sin (vastainen kateetti on hypotenuusa kertaa kulman sini), = cos (viereinen kateetti on hypotenuusa kertaa kulman kosini) a a Myös esimerkiksi a= btan, b= c= tan ja sin 8

13 cos0 =, sin 60 =, ( tan 0 = = 0 o 60 o Laske kulma seuraavassa kuvassa, 45 sin = = 0, 459 5, 6 = 5, 84 5, 8 Et saa merkitä seuraavasti: 5,6,45 sin = , 8, sillä jälkimmäinen arvo on kulman arvo ja edellinen on kulman sinin arvo Ne eivät voi olla yhtä suuria Laske ja sin seuraavan kuvan mukaisessa tapauksessa, 5 cm tan = = 0, 508, 46 cm = 6, 9 6, 9 sin = sin 6, 9 = 0, 450 0, 45,46 cm,5 cm Toisin: Laske ensin hypotenuusa Pythagoraan lauseella Trigonometrisia peruskaavoja sin () tan = cos c ac a Tod op= = = = vp bc b a b c (op = yhtälön oikea puoli, vp = vasen puoli) Trigonometristen funktioiden potenssien yhteydessä eksponentti merkitään yleensä "keskelle" seuraavaan tapaan: sin tarkoittaa samaa kuin (sin ) 9

14 Toinen tärkeä peruskaava on seuraava: () sin + cos = a Tod vp= + b = a + c c c b c = = c Laske tan, kun sin = 0, (ja on terävä kulma) cos = sin = 0, = 0, , tan = = 0, 89 0, 9 0, 9470 *Toinen laskutapa: Valitse kolmion hypotenuusa c pituusyksiköksi (c = ) Silloin a = 0, (koska a/c = sin = 0,) Pythagoraan lauseen mukaan b = 0,9470 ja tan = a/b 0,9 Komplementtikulmat 0, β Kahta kulmaa, joiden summa on 90, sanotaan toistensa Esimerkiksi suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ja β ovat toistensa komplementtikulmia Koska sin = cosβ (sillä kumpikin on = a/c), niin Kaavana: kulman sini = komplementtikulman kosini sin = cos( 90 ) ja cos = sin( 90 ) a) sin 7 = cos 8 0, 95 b) Jos cos = 0,, niin sin( 90 ) = 0, 0

15 Harjoituksia Täydennä seuraavat rivit paperille (ei tähän monisteeseen): A sin 0 = cos = sin 0 = cos = sin 60 = cos = sin 0 = cos = sin 90 = cos = tan 0 = cot = tan 45 = cot = tan 60 = cot = tan 0 = cot = Laske laskimella terävä kulma, β, δ tai ϕ, kun a) sin = 0, 59, b) tanβ =,, c) cotδ =,55 d) sin = 0,, e) sin 5 =,, f) + sinϕ =,4 Ympyrän jänne AB =, mm ja säde r = 4,6 mm Laske jännettä AB vastaava keskuskulma AOB, missä O = ympyrän keskipiste 4 Tasakylkisen kolmion kyljet ovat 87,6 mm ja huippukulma on 68, gon Laske kolmion kanta, korkeus ja ala (Huomaa harjoituksen edellä olleet likiarvojen laskentaohjeet) B 5 Suunnikkaan ABCD A-kulma = 69,, AB =,58 ja AD = 5,46 Piirretään B:stä kohtisuora BE sivulle AD ja pisteestä E kohtisuora EF lävistäjälle BD Laske EF ( numeron tarkkuudella) 6 Suorakulmaisen kolmion LMN terävä kulma on λ = 5,6 ja sen viereinen kateetti 6,54 Suoran kulman kärjestä M piirretään hypotenuusalle korkeusjana MP Missä suhteessa P jakaa hypotenuusan LN? 7 Todista, että a) cot =, b) + tan = tan cos

16 8 Kolmion yksi kulma = 5,5, sen viereinen sivu AC = 46,5 ja vastainen sivu CB = 9, Laske sivu AB Ohje: Laske ensin C:stä piirretty korkeusjana Kolmioita on kpl (B-kulma voi olla terävä tai tylppä), joten vastauskin käsittää kaksi lukua 9 Maastokohtien A ja B välissä on talo ja joki Matkan AB mittaamiseksi A:n puoleiselta rannalta valittiin jokin sellainen kohta C, josta AB näkyy suorassa kulmassa (ts ACB = 00 gon) ja sellainen kohta D, että A on CD:n keskipiste Matka AC = 5 m ja ADB = 75, gon Laske AB 0 Kulma on terävä kulma Laske sin, kun a) cos = 0,4, b) tan =,56 Mieti erilaisia laskutapoja (vrt Esim ja 4 sekä Harj 7) Niitä on useita (ja kaikki ovat tärkeitä osata) Osoita esimerkkien avulla, että seuraavat tulokset ovat : tan sin a= sin, sin( + β) = sin+ sin β, = s tan s C Viereisessä kuvassa seitsemän pikkuympyrää (joista kuvaan on piirretty kolme) sivuavat toisiaan ja kahta samankeskistä ympyrää Sisemmän ympyrän halkaisija on 50,0 mm Laske pikkuympyrän ja suurimman ympyrän halkaisijat (vrt "kuulalaakeripesä") Edellinen tehtävä yksinkertaistuu, jos pikkuympyröitä on 6 kpl Suorita laskut

17 VEKTORIT Peruskäsitteitä Tekniikassa vektoreita käytetään mm esittämään suureita, joilla on paitsi suuruus myös suunta Tällaisia ovat voima, nopeus, kulmanopeus jne Euklidisessa tasossa tai avaruudessa kaksi pistettä A ja B määräävät vektorin () a = a = AB, jonka alkupiste on A ja loppupiste on B Tätä vektoria kuvataan pisteestä A pisteeseen B suunnatulla nuolella Yhtä pitkiä ja samansuuntaisia vektoreita pidetään niiden alkupisteestä riippumatta samoina (yhtä suurina) Tämä ilmaistaan tavallisesti seuraavassa muodossa: Vektori voidaan siirtää paikasta toiseen, jos sen suunta ja suuruus (pituus) säilytetään Yhtälöissä () on esitetty kolme tavallisinta vektorin esitystapaa: pieni kirjain, jonka päällä on viiva (a ) tai nuoli ( a ), tai kaksi isoa kirjainta, joiden päällä on nuoli ( AB ) Painetussa tekstissä vektorit esitetään usein lihavoiduilla kirjaimilla:,, ilman yläviivaa tai nuolta Sen sijaan AB ei esitä vektoria vaan janaa Merkintöjä = vektorin a Pituus on euklidisessa geometriassa ei-negatiivinen reaaliluku, esim,5 tai, mutta tekniikassa yleensä jonkin suureen arvo (skalaari), esim 5, N,,49 m, 7,0 m/s

18 = (, ) = vektorien a ja b välinen Kulman suuruus on välillä 0 80 vektorit a ja b ovat samansuuntaiset ( = 0 ) vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset ( = 80 ) a ja b ovat yhdensuuntaiset ( = 0 tai 80 ) a on kohtisuorassa b:tä vastaan ( = 90 ) a :n suuntainen (pituus = ) Vektorien laskutoimitukset + on a :n ja b:n Vektorit a ja b asetetaan peräkkäin tai alkamaan samasta pisteestä (suunnikassääntö) Tekniikassa summavektoria a + b sanotaan usein a :n ja b:n ja vektoreita a ja b sanotaan summavektorin a + b on a :n (yhtä pitkä kuin a mutta a :lle vastakkaissuuntainen) = + ( ) Alemmasta kuvasta näkyy, että erotusvektori saadaan myös seuraavasti: Jos a ja b asetetaan alkamaan samasta pisteestä, niin on yhtä suuri kuin vektori, jonka alkupiste on b:n kärkipiste ja loppupiste on a :n kärkipiste (näin päin!) Vektorin a (skalaarilla) t Esim a tarkoittaa vektoria, joka on a :n suuntainen ja kertaa niin pitkä kuin a Vektori (-)a taas on kertaa niin pitkä kuin a mutta a :lle vastakkaissuuntainen - 4

19 *Yleisesti ta on a:n suuntainen tai a :lle vastakkaissuuntainen sen mukaan, onko t > 0 vai t < 0 Vektorin ta pituus saadaan kun a :n pituus kerrotaan luvun t itseisarvolla, siis () ta = t a *Tässä yhtälössä pystyviivat esiintyvät kahdessa eri merkityksessä: luvun t itseisarvossa ja vektorien ta ja a pituuksissa Vektorin a pituutta voidaan merkitä myös a :lla ja sanoa a :n Tällöin () saa muodon ta = t a Laskulakeja a + b = b + a (vaihdantalaki) (a + b) + c = a + (b + c ) (liitäntälaki) t(a + b) = ta + tb (osittelulaki) 4 t(ua ) = (tu)a (t ja u reaalilukuja, skalaareja) 5 (t + u)a = ta + ua *Perustellaan näitä laskulakeja geometristen kuvien avulla Laeissa ja on kysymys viereisten kuvien mukaisesta tilanteesta *Vektorit voivat olla avaruusvektoreita, jolloin oikeanpuoleisessa kuvassa voi olla kyseessä avaruuskuvio (tetraedri) *Laki Jos muutat ylemmän kuvan mukaisessa suunnikkaassa a- ja b- sivut t-kertaisiksi (esim -kertaisiksi), samoin käy lävistäjän Toisin sanoen jos lasket yhteen vektorit ta ja tb, tulos on sama kuin vektori t(a + b) Siis laki pitää paikkansa, jos t > 0 Mitä tapahtuu suunnikkaalle, jos t on negatiivinen, esimerkiksi? *Lakien 4 ja 5 sisällöstä (ja voimassaolosta) saat konkreettisen kuvan, jos ajattelet esim että t = ja u = Jos kerrot vektorin a ensin :lla ja sitten :lla, ts muodostat vektorin t(ua ), saman tuloksen saat kun kerrot a :n suoraan :lla, ts muodostat vektorin (tu)a Mieti lain 5 sisältöä vastaavasti 5

20 Käytännössä lait 5 merkitsevät, että sellaisia vektorilausekkeita, jotka sisältävät vektorien yhteen- ja vähennyslaskua ja luvulla kertomista, voidaan käsitellä samalla tavoin kuin "tavallisia" kirjainlausekkeita, joissa kirjaimet merkitsevät lukuja 5( a + b ) ( b a ) = 0a + 5b b + a = a + 4b! Vektoriyhtälö: " o ( x + u ) = 5( x 9v ) x + 6u = 5x 45v x = 6u + 45v x = u + 5v a + b o = a + b Huomaa, että vektoria ei voi jakaa 4 4 vektorilla, mutta kylläkin luvulla Luvulla 4 jakaminen merkitsee samaa kuin luvulla 4 kertominen # Jos vektorin a pituus on esim 5 yksikköä, niin vektorin 5 a pituus on ja tämä vektori on a :n suuntainen Yleisesti vektori a saadaan muutettua yksikkövektoriksi a jakamalla se pituudellaan eli kertomalla se pituuden käänteisluvulla Siis = $ Jos M on janan AB keskipiste ja a, b ja m ovat jostakin kiinteästä pisteestä O pisteisiin A, B ja M piirretyt vektorit, niin a + b a a + b m = a + AB= a + ( b a ) = = % & 6

21 ' Piste D jakaa kolmion sivun AC suhteessa : (eli sivun CA suhteessa :, vrt kuva) Esitä vektori BD pisteestä C lähtevien sivuvektorien a ja b avulla BD= BC+ CD= b + a = Sama tulos saadaan myös toista tietä: () () a b a b a a b BD= BA+ AD= a b + ( a ) = = ( Kiinteästä pisteestä O piirretään kolmion ABC kärkiin vektorit a, b, c ja kolmion (kolmiolevyn) % painopisteeseen M vektori m Silloin = + + b + c m = a + AD= a + ( OD a ) = a + a ( a b c ) Vektorin komponenttiesitys () & () Jos a ja b ovat kaksi erisuuntaista vektoria, ne määräävät erään tason Jokainen tämän tason suuntainen vektori c voidaan esittää muodossa () = +, missä u a ja v b Näin vektori c on jaettu kahteen u ja v, joista toinen on a :n ja toinen b :n suuntainen 7

22 Koska u on a :n ja v on b :n suuntainen, ne voidaan esittää muodossa u = sa, v = t b, missä s ja t ovat joitakin reaalilukuja Kun nämä sijoitetaan yhtälöön (), komponenttiesitys saa muodon () = + Esimerkiksi edellisessä kuvassa c 0, 5a + 0, 6b Lukuja s ja t sanotaan vektorin eli ), kun ovat vektorit a ja b Vektorin c koordinaatit s ja t riippuvat valitusta kannasta Jos kantavektoreita muutetaan, muuttuvat myös s ja t Geometriassa xy-tason vektori c jaetaan usein koordinaattiakselien x ja y suuntaisiin komponentteihin ja kantavektoreiksi valitaan akselien suuntaiset yksikkövektorit i ja j Tällöin () ja () esitetään yleensä seuraavalla tavalla, alaindeksejä käyttäen: = + = + * + Huomaa, että viereisessä kuvassa, = 4 + * jossa c alkaa origosta, c :n skalaarikomponentit 4 ja ovat samat kuin c :n kärjen koordinaatit (4, ) * + Mihin pisteeseen joutuu c :n kärki, jos c :n alkupisteenä on (, )? Avaruudessa vastaavasti kantavektoreita tarvitaan kolme: i, j, k ja jokainen vektori c voidaan esittää komponenttimuodossa () = + * +, missä kertoimet ovat reaalilukuja 8

23 Esimerkiksi origosta pisteeseen P(,,,5) piirretyn vektorin c = OP komponenttiesitys on *,5 c = i + j+, 5k Huomaa tarkoin, että * vektorien i, j ja k kertoimet eli vektorin c,, + ) -,,, Sama komponenttiesitys kuin edellisellä c -vektorilla, on esimerkiksi pisteestä A(,, ) pisteeseen B(4,,,5) piirretyllä vektorilla, koska tällä vektorilla akselien suuntaiset muutokset ovat, ja,5 yksikköä (Piirrä kuva!) Vektorit c samansuuntaisia ts OP = AB = OP ja AB ovat yhtä pitkiä ja Mikä on saman vektorin loppupiste, jos alkupiste on (,, 0)? Jatkossa kantavektoreiksi valitaan yleensä i, j ja k, ja vektorin komponenttiesitys a = ai + a j+ a k lyhennetään muotoon a = a, a, a, ts vektorista kirjoitetaan näkyviin vain (skalaari)komponentit Vektorien laskulaeista seuraa, että ) : =,,, =,, + = +, +, + =,, =,, 9

24 Origosta O pisteisiin A(,, ) ja B(4,, 5) piirretyt vektorit ovat Täten Vektori a =,, ja b = 4,, 5 a b = 4, 9, 6+ 5 = 8,, AB=, 4, 8, sillä kun siirrytään A:sta B:hen, ensimmäinen koordinaatti kasvaa :lla, toinen kasvaa 4:llä ja kolmas pienenee 8:lla Origosta O johonkin pisteeseen P(x, y, z) piirrettyä vektoria = =,, sanotaan Suorakulmaisessa xyz-koordinaatistossa kahden pisteen A( a, a, a ) ja B= ( b, b, b ) välinen etäisyys (distanssi) on (4) = ( ) + ( ) + ( ) *Tod Kun sovelletaan Pythagoraan lausetta kahdesti viereiseen kuvaan, saadaan! d = c + ( z) = ( x) + ( y) + ( z) Koska x = pisteiden B ja A x-koordinaattien erotus jne, niin viimeinen neliöjuurilauseke on sama kuin väitteen (4) mukainen lauseke " 0

25 #$ Origon etäisyys pisteestä P(x, y, z) on (5) = + + Kun tuloksia (4) ja (5) sovelletaan vektoreihin, saadaan seuraavat tulokset: Jos A( a, a, a ) ja B= ( b, b, b ), niin! = ( ) + ( ) + ( ) Vektorin =,, on = + + 4, 0, suuntainen yksikkö- % a) Määritä vektorin a = vektori b) Pisteestä P(,, ) siirrytään yksikköä edellisen vektorin a suuntaan Mihin pisteeseen Q joudutaan? a) a a = = a 4, 0, 4, 0, = = 5 4, 0, b) Käytetään paikkavektoreita seuraavasti (O = origo): OQ= OP+ a =,, + 5 4, 0, = = + 5,, 9 5 5,, 6 5 Q=,, o ( Opettele jo tässä alkuvaiheessa erottamaan tarkoin toisistaan vektorimerkintä (&') ja pisteen merkintä (') Piste esittää paikkaa tasossa tai avaruudessa, mutta vektori esittää x-, y- ja z-akselien suuntaisia siirtymiä siirryttäessä pisteestä toiseen Pisteitä et voi esimerkiksi laskea yhteen

26 Hakasulkeiden käyttäminen vektorien yhteydessä on pohjustusta myös ns matriisilaskentaan Vektorissa voi olla useampikin kuin kolme komponenttia, mutta tällaisilla vektoreilla a = [ a, a,, a n ] ei ole enää geometrista havainnollistusta Monikomponenttisia vektoreita käytetään matematiikan lisäksi monilla matematiikkaa soveltavilla aloilla Esimerkiksi tietoliikennetekniikassa tiedon siirtoa esittävä vektorissa voi olla hyvin monta komponenttia, koska sen tulee sisältää tiedon lähtö- ja tulopaikkojen tiedot, tiedon määrää, luonnetta yms koskevat tiedot jne *Pidemmälle menevässä matematiikassa usein piste ja sen paikkavektori samaistetaan ja kummankin yhteydessä käytetään kaarisulkeita )': Vektorin (skalaari)komponenttien suhdetta, millä tahansa positiivisella luvulla lavennettuna tai supistettuna, sanotaan tämän vektorin *+ Vektorin a =,, suunta on : : = ( ): :( ) Suunta : ( ) : taas on a :n vastavektorin a suunta Harjoituksia A Suunnikkaan ABCD kaksi A-kärjestä lähtevää sivuvektoria ovat AB= u ja AD= v Esitä seuraavat vektorit u :n ja v :n avulla: CA, DA, DB, BD Sievennä vektorilauseke ( x y+ z) ( x 6 y) + ( z x)

27 Ratkaise vektoriyhtälö x ( a + x ) 4( x = a ) 4 Määritä viereisessä kuvassa kulmat ( a, b ), ( b, c ), ( c, a ), kun = 5, o ja β = 58, o 5 Piste C jakaa janan AB suhteessa " : 5 Pisteestä O (joka ei ole suoralla AB) piirretään vektorit pisteisiin A, B ja C Esitä C:hen piirretty vektori pisteisiin A ja B piirrettyjen vektorien lausekkeena 6 Piirrä avaruuskoordinaatisto ja merkitse siihen kolme pistettä A(4,, ), B(,, ) ja C( 5,, 4) Huom Yleensä tehtävissä, joissa on laskettava jotakin avaruuspisteiden koordinaattien avulla, ei kannata piirtää "todellista" kuvaa ts sijoittaa pisteitä oikeille paikoilleen koordinaatistoon, vaan havainnollisemman kuvan saat kun piirrät tilanteesta tasogeometrisen '' Esimerkiksi kolmiotehtävässä piirrät kolmion "paperin tasoon" jonkin muotoisena etkä yritä sijoittaa kolmiota avaruuskoordinaatistoon 7 a) Määritä pisteestä (5,, ) pisteeseen (,, ) piirretyn vektorin komponenttiesitys (käytä "hakasulkuesitystä") b) Mitkä ovat vektoreiden i, j ja k komponenttiesitykset [ x, y, z ]? 8 Laske kolmion A(, 4, 5) B(4,, ) C(,, ) C-pisteestä lähtevät sivuvektorit ja niiden pituudet Piirrä havainnollistava kuva (vrt edellinen huomautus) 9 Vektorin a = 5,, 7 loppupiste on (, 9, 6) Määritä alkupiste 0 Pisteiden A(,, 5) ja B(4, 5, 8) paikkavektorit ovat r ja r Mitkä ovat paikkavektorin r r kärjen koordinaatit? Pisteestä A(,, ) siirrytään 5 yksikköä vektorille BC vastakkaiseen suuntaan Mihin pisteeseen joudutaan, jos B = (, 5, 6) ja C = (4,, 9)? Piirrä havainnollistava kuva β

28 B Suunnikkaan ABCD kaksi A-kärjestä lähtevää sivuvektoria ovat AB= u ja AD= v Piste E jakaa sivun BC suhteessa : ja F puolittaa sivun AD Esitä vektori EF lausekkeena vektorien u ja v Viereisen, A- kärjestä pisteisiin B, D ja E piirretyt vektorit ovat a, b, ja c Esitä lävistäjävektorit AG, EC ja DF näiden vektorien lausekkeina (Ohje: siirry lävistäjävektorin alkupisteestä särmiön reunoja pitkin loppupisteeseen) 4 Suunnikkaan ABCD kolme kärkeä ovat A(,, ), B(0,, ) ja D(0, 0, ) Laske C:n koordinaatit Kärjet A, B, C ja D ovat peräkkäisiä kuten edellisen suuntaissärmiön etuosassa 5 Määritä kolmiolevyn A(, 0, ) B(,, ) C(,, 0) painopiste (Ohje: käytä apuna kärkien paikkavektoreita ja esimerkin 7 tulosta) 6 Piste C jakaa janan A(,, ) B(,, ) suhteessa : Laske C:n koordinaatit (käytä apuna paikkavektoreita) 7 Laske a+ b, kun a =, b = 4 ja ( ab, ) = 60 Ohje: Piirrä vektorin a+ b kärjestä kohtisuora a :lle ja laske ensin sen pituus (Myöhemmin sama tehtävä ratkeaa luonnollisemmin ns kosinilauseella) 8 Pisteestä O kolmion kärkiin A, B ja C piirretyt vektorit ovat a, b, ja c Piste D on sivun BC keskipiste ja E jakaa sivun AB suhteessa : Laske vektorin DE lauseke 4

29 C 9 Ovatko pisteet A( 5, 6, ), B(,, ) ja C(4, 6, 0) samalla suoralla (ts saadaanko AB- ja AC-vektorit toisistaan vakiolla kertomalla)? 0 Mistä pisteestä X(x, y, z) pisteisiin A(,, ), B(4, 4, ), C(,, 0), D(, 0, ) ja E(0,, 0) piirrettyjen vektorien summa on 0? Kappale, johon vaikuttaa 700 N suuruinen painovoima (ts F =700 N ), riippuu kahden köyden varassa Köysien suunnat ovat vaaka- ja pystyakseliin nähden 4 : ja ( ) : 5 Laske köysiin vaikuttavien voimien suuruudet Ohje: voimat ovat muotoa F = t 4,, F = u, 5 ja F = 700 j= 0, 700 Ehdosta F + F = F saat t:lle ja u:lle yhtälöparin Kappale, jonka massa on 90,0 kg, riippuu katosta kolmen köyden varassa, joiden suunnat huoneen pääsuuntiin nähden ovat : :, ( ) : : ja : ( ) : Laske köysiin vaikuttavat voimat Käytä g:n arvona 0,0 m/s, joten F edellinen tehtävä) =900 N (vrt 5

30 4 KOLMIOIDEN YHTENEVYYS JA YHDENMUOTOISUUS 4 Yhtenevyys Havainnollisesti voidaan sanoa, että kolmiot ABC ja A BC ovat, jos ne päällekkäin siirrettyinä yhtyvät täysin Näin käy, jos kaikki kolme kulmaa ja kolme sivua ovat pareittain yhtä suuria γ γ β β Yhtenevyyden merkki on Siis se, että kolmio ABC on yhtenevä kolmion A BC kanssa, merkitään ABC A B C Kolmioiden vähentävät tarvittavien yhtä suurien osien lukumäärän kuudesta kolmeen: Jos kahdessa kolmiossa jotkin seuraavista osista ovat pareittain yhtä suuret, kolmiot ovat yhtenevät: ) kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu (-lause), ) kaikki sivuparit (-lause), ) kaksi sivua ja niiden välinen kulma (-lause), 4) kaksi kulmaa ja toisen vastainen sivu (-lause), 5) kaksi sivua ja toisen vastainen kulma, edellyttäen että toisten yhtä suurien sivujen vastaiset kulmat ovat samaa tyyppiä: molemmat teräviä, molemmat suoria tai molemmat tylppiä (-lause, ) Kohdista ) ) voit vakuuttua ajattelemalla kolmiot siirretyiksi päällekkäin Kohta 4) palautuu kohtaan ), sillä myös kolmas kulmapari on yhtä suuri Kohta 5) ei ole ilman "edellytystä" voimassa kuten seuraavasta kuvasta ilmenee: oikeanpuoleisessa kuvassa on kaksi kolmiota, joissa on samat a, b ja kuin vasemmanpuoleisessa kolmiossa, mutta toisessa on β-kulma terävä ja toisessa tylppä 6

31 β β a Todistetaan, että jos kolmiossa kaksi korkeusjanaa on yhtä pitkää, niin kolmio on tasakylkinen (vrt symmetrinen tukirakennelma) Siis Oletus: AE = BD (korkeusjanoja, vrt kuva) 4 Yhdenmuotoisuus Väitös: AC = BC Tod: AEC BDC ( ), sillä AE = BD (oletuksen mukaan), kulmat D ja E ovat suoria ja kulma C on yhteinen Yhtenevien kolmioiden vastinosina AC = BC Havainnollisesti voidaan sanoa, että kolmiot ABC ja A B C ovat, jos ne eroavat vain korkeintaan kokonsa mutta eivät muotonsa puolesta toisistaan Tällaisissa kolmioissa vastinsivut ovat verrannolliset ja vastinkulmat yhtä suuret: = = ja =, β = β, γ = γ γ β β Yhdenmuotoisuuden merkki on ~ Yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinsivujen suhdetta sanotaan Tarkemmin sanoen esim yllä olevassa kuvassa kuvio on yhdenmuotoinen a kuvion kanssa mittakaavassa k= eli mittakaavassa a a a : (kuvassa suunnilleen 4 : ) γ 7

32 Kolmioiden yhdenmuotoisuuden todistaminen perustuu usein seuraavaan ns []-lauseeseen (joka on eräs yhdenmuotoisuuslause) Jos kahdessa kolmiossa kaksi kulmaparia on yhtä suurta, kolmiot ovat yhdenmuotoiset (tämä on ns []-lause) Perustelu: Jos esim = ja β= β ja ajatellaan kolmiot asetetuiksi päällekkäin siten että -kulmat yhtyvät, niin a- ja a -sivut tulevat yhdensuuntaisiksi (vrt kuva) Tästä näkee, että kolmiot ovat samanmuotoisia Suorakulmaiseen kolmioon piirretään korkeusjana h suoran kulman kärjestä Kolmio jakautuu kahdeksi kolmioksi Ne ovat kumpikin yhdenmuotoisia alkuperäisen kolmion kanssa edellisen lauseen [] mukaan, sillä kummassakin on suora kulma ja lisäksi yksi yhteinen kulma alkuperäisen kolmion kanssa Näiden kolmen yhdenmuotoisen kolmion vastinosista saadaan nyt erilaisia verrantoja Piirrä kolmiot samaan asentoon, pitkä kateetti vaakasuoraan Esimerkiksi osakolmioiden kateeteista saadaan verranto a : h= h: b Täten h on a':n ja b':n keskiverto Jos yhdensuuntaiset suorat leikkaavat kahta suoraa, niin vastinosat ovat verrannollisia (vrt kuva): () a b c = d β β Perustelu: Siirrä c- ja d-janat janojen a ja b viereen yhdensuuntaissiirrolla Muodostuvat kolmiot ovat yhdenmuotoisia [], mistä seuraa verranto () Edellisessä perustelussa käytettiin apuna itse asiassa seuraavaa tulosta: Jos suora leikkaa kahta yhdensuuntaista suoraa, niin ovat yhtä suuret, ts seuraavan kuvan merkinnöin 8

33 l m = β Myös kääntäen: = β l m Tätä tulosta käytettiin oikeastaan Lauseen perusteluissa Viereisessä kuvassa ja γ ovat ns Ne ovat myös keskenään yhtä suuria (80 o kierto) Siten myös β = γ γ β Jos kaksi kolmiota ovat yhdenmuotoista mittakaavassa ja niihin piirretään keskijanat, korkeusjanat, kulman puolittajat tms, niin myös tällaisten! " # (koska muodostuvat osakolmiot ovat yhdenmuotoiset) Kolmioiden pinta-alojen suhde on k, sillä jos kolmion kanta ja korkeus tulevat k-kertaisiksi, niin niiden tulo tulee k -kertaiseksi Siis $ % & %!#& %!#' x 7 Esim viereisessä kuvassa =, mistä 5 7 saadaan janalle x= AB pituus 6 (laske) 7 (, sillä yhdenmuotoiset monikulmiot voidaan hajottaa pareittain yhdenmuotoisiksi kolmioiksi ja yleisemmät kuviot saadaan monikulmioiden rajatapauksina, kun ) 5 monikulmion sivujen lukumäärän annetaan lähestyä ääretöntä (vrt seuraavat kuvat) 7 9

34 * Kaikki ympyrät ovat yhdenmuotoisia Jos ympyrän säde r,5-kertaistetaan, niin samoin käy ympyrän kehän (= πr ), halkaisijan d, -asteisen kaaren pituuden jne Sen sijaan ympyrän ala (=πr ) muuttuu 5, =, 5 -kertaiseksi, samoin -asteisen sektorin ala ja vastaavan segmentin ala π tulee matematiikkaan siitä, että yhdenmuotoisuuden nojalla kaikissa ympyröissä kehän (ympyräviivan) ja halkaisijan suhde on sama, ja tätä suhdetta on alettu merkitä π:llä Siis kehä = π, mistä seuraa, että ympyrän = π = π d Ympyrän pinta-alan kaava helpoimmin integroimalla π = = π 4 johdetaan nykyään Yleisten tasokuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuutta käsitellään tarkemmin myöhemmin Harjoituksia A 4 Todista yhtenevyyslauseita käyttäen, että pisteestä P ympyrälle piirretyt tangentit ovat yhtä pitkät 0

35 &-+ 4 Laske viereisen suorakulmaisen kolmion kateetit ja korkeusjana h 4 Suoran l pisteet A, B ja C projisioidaan yhdensuuntaisesti suoralle m pisteiksi A', B' ja C' Laske A'C', kun AB = 5, BC = 4 ja B'C' = 7 44 Kolmion kannan suuntaiset suorat jakavat kolmion sivun AB suhteessa 5 : 8 : 4 (kuva) Laske osien x, y, z, u ja v pituudet (mitat seuraavassa kuvassa) (4) ),&- 8,06 cm (8) (5) / +&+ 45 Laske neliön sivu x alla olevassa kuvassa ) ) *&,0 B 46 Suunnikkaassa vastakkaiset sivuparit ovat yhdensuuntaiset ja siten myös yhtä suuret Todista yhtenevyyslauseita käyttäen, että a) kolmion ala on puolet samakantaisen ja korkuisen suunnikkaan alasta, b) suunnikkaan ala on yhtä suuri kuin yhtä pitkäkantaisen ja samankorkuisen suorakulmion ala

36 47 Kuinka suuret ovat ylä- ja alatukivarsiin kohdistuvat voimat F ja F viereisen kuvan mukaisessa tilanteessa (tukivarsissa on nivelkiinnitykset)? 48 Laske x alla olevassa kuvassa 0 75 ) 0,&+,& #,6 &0 49 Tasakylkisen kolmion kanta AB = 6 ja kylki BC = 7 Laske pisteestä A kylkeä BC vastaan piirretty korkeusjana (Ohje: mitkä kolmiot ovat yhdenmuotoiset ja miksi?) 40 Piste E jakaa suunnikkaan ABCD sivun BC suhteessa : Missä suhteessa janojen AE ja DB leikkauspiste jakaa lävistäjän DB? ) 4 Viereisessä kuvassa kolme tukea (pituudet 6, 0 ja 8) ovat yhdensuuntaiset Laske x ja y C 4 Pallo, jonka säde on, on vaakasuoralla tasolla Pallon keskipisteen yläpuolella on pistemäinen valolähde Kuinka korkealla valolähteen on oltava tasosta, jotta pallon varjon pinta-ala olisi sama kuin pallon ala? (Pallon ala A= 4π r ) 4 Todista, että kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa, ts seuraavassa kuvassa

37 BD : DA = a : b Ohje: Piirrä A:n kautta jana AE CB Kolmio CAE on tasakylkinen (miksi), joten AE = b Väite seuraa nyt yhdenmuotoisista kolmioista (mistä ja miten?) 44 Kolmion sivut ovat a = 5, b = 7 ja c = 9 Kuinka pitkiin osiin B-kulman puolittaja jakaa b- sivun? (Ohje: edellinen tehtävä) 45 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ja 4 (yksikköä) Laske pienimmän kulman puolittajan pituus 46 Todista, että kolmion keskijanojen leikkauspiste M jakaa jokaisen keskijanan kärjestä lukien suhteessa : () Ohje: Piirrä D:n kautta keskijanan BE suuntainen jana (kuva) (()) (()) (()) Perustele seuraavat vaiheet: Koska AB jakautuu suhteessa :, samoin käy janan AE Siten CE on kaksi jako-osaa ja CD jakautuu suhteessa : 47 Tasakylkisen kolmion kanta on ja kylki 0 Laske kolmion sisään ja ympäri piirrettyjen ympyröiden säteet r ja R (kuva alla) () () 5 () (Käytä säteen r laskemisessa yhdenmuotoisia kolmioita ja säteen R laskemisessa Pythagoraan lausetta)

38 5 TRIGONOMETRISET FUNKTIOT 5 Suunnattu kulma 4 Trigonometriset funktiot sin, cos ja tan ovat edellä määritellyt vain kun on terävä kulma eli välillä 0 < < 90 o Pyrkimyksenä on yleistää määritelmä koskemaan kaikenkokoisia kulmia Jotta mukaan saadaan myös yli 60 o kulmat ja negatiiviset kulmat, kulmakäsite täytyy liittää kiertoliikkeeseen seuraavasti Ajatellaan kulman syntyvän niin, että kulman alkukylki kiertyy loppukyljeksi Kulma on tai sen mukaan, onko kiertosuunta positiivinen eli vastapäivään vai negatiivinen eli myötäpäivään >0 β<0 γ=5 ο δ= 585 ο Trigonometriassa kulma ajatellaan II I asetetuksi xy-koordinaatistoon niin että sen kärki on origossa ja alkukylki positiivisella x-akselilla Sen mukaan, mihin neljännekseen loppukylki joutuu, sanotaan että III kulma on tässä neljänneksessä Esim kaikki ne kulmat, joiden IV loppukylki on oheisen kuvan mukaisessa asemassa OP, ovat eräitä kolmannen neljänneksen kulmia Kulmia AOP (edellinen kuva) on äärettömän paljon Eräs niistä on suunnilleen 80 o + 60 o = 40 o ja kaikki muut saadaan tekemällä tähän kulmaan 60 o suuruisia muutoksia (lisäyksiä tai vähennyksiä) Nämä kaikki kulmat voidaan esittää muodossa 40 o + n 60 o ( n= 0, ±, ±, ) Mieti, mikä kulma saadaan, kun n = Entä kun n =

39 5 Trigonometristen funktioiden yleiset määritelmät Olkoon kulman loppukyljen ja -säteisen ympyrän leikkauspiste P(x, y) sin =, cos = tan =, kun 0 Jos on terävä kulma, määritelmä yhtyy aikaisempaan "alkeismääritelmään" (kuva vieressä) Muissakin neljänneksissä voidaan ajatella käytetyksi kulmaan liittyvää "", jonka muodostavat r sekä pisteen P y- ja x-koordinaatit (vrt viereiset kuvat) Säde r on aina > 0, kun sen sijaan x ja y voivat olla negatiivisiakin Säteen r suuruus ei vaikuta trigonometristen funktioiden arvoihin, koska r:n muuttaminen muuttaa vain kolmion kokoa yhdenmuotoisesti!" # $, % %, esim = 0 o β = 5 o sin =, cos =, tanβ = = 5

40 Esimerkiksi trigonometrisia kaavoja johdettaessa on usein hyödyllistä valita trigonometrisen ympyrän säteeksi Tällöin y x () sin = = y, cos = = x y sin ja tan = = Edelleen tässä x cos tapauksessa Pythagoraan lauseen mukaan y + x =, joten ():n nojalla (sin ) + (cos ) = Näin on johdettu (todistettu) seuraavat yleiset tulokset: sin tan = ja sin + cos = cos &'( Laske cos, kun sin = 0, 68 ja on 4 neljänneksessä Edellisen tuloksen mukaan cos =± sin, missä Neljännessä neljänneksessä kosini on positiivinen, joten tässä esimerkissä oikea etumerkki on + Siis cos =+ sin = ( 0, 68) = 0, 68 0, 00 &'$ Määritä kaikki ne kulmat, joiden sini on 0,5 ts ratkaise trigonometrinen yhtälö sinx= ½ Tällaisia ovat ja 4 neljänneksen kulmat x = x = P - P ja näistä täysiä kierroksia lisäämällä tai vähentämällä saadut kulmat, siis x x = 0 + n 60 = 0 + n 60 6

41 &' Laske sellainen välillä 80 o < < 60 o oleva kulma, että cos = 0, 567-0,567 ο 5 Radiaani Laskin antaisi neljänneksen kulman 4,5 o, mutta oikea kulma on neljänneksessä Etsitään ensin vastaava kulma, ts sellainen terävä kulma o, että cos o =+0, 567 Tällainen "peruskulma" on o = 55,45 o Oikea :n arvo on siten = , 45 5, 5 Kulman suuruus voidaan ilmaista paitsi asteissa tai gooneissa, myös mm (lat radius = säde) ' Kulman suuruus on kulmaa vastaavan ympyränkaaren suhde säteeseen: ) = ) Tämä suhde ei riipu säteen suuruudesta, sillä sektorit, joilla on sama keskuskulma, ovat yhdenmuotoiset Esim yllä olevan kulman suuruus on radiaaneissa (mittaa itse) mm mm 0, 7 rad Kulman suuruus radiaaneissa on reaaliluku (pituusyksiköt supistuvat pois) Joskus kuitenkin radiaaneihin on syytä liittää mm selvyyden vuoksi "mittayksikkö" rad * Asteiden ja goonien yhteydessä mittayksikköä tai gon ei saa koskaan jättää merkitsemättä 7

42 Määritelmästä seuraa, että kulman, jota vastaava kaari on säteen suuruinen, suuruus on rad Radiaani on suuri kulmanyksikkö asteisiin verrattuna: rad 57, 958 ( ) Koska koko ympyrän kehän pituus on πr, niin πr täysi kulma eli 60 = = π radiaania Siis radiaaneissa r = π, = π, = π/ ja yleisemmin (): π π π π π π 5π &'! Erikoiskolmion, jonka kulmat ovat π, π, π, sivut suhtautuvat kuten : : 6 &'" Koska = π π radiaania, niin 6 80 π k = k radiaania Siis 80 π Tätä sääntöä käytetään mm 80 tietojenkäsittelyssä Esim = 40 + '7'' + 40, π = 40, 575 ( rad ) 0, 706 ( rad ) 80 π π π π 8

43 &'# Jos ympyrän sektorin keskuskulma on = b r radiaania, niin sektorin ala on /π:s osa koko ympyrän alasta Siis b r A r r r br = = = = π π + ) ) Huomaa myös tulos ) =, missä on radiaaneissa Harjoituksia A 5 Laske 0 o kulman sini, kosini ja tangentti (sopivasäteisen ympyrän ja koordinaattikolmion avulla) 5 Kulman kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään (niillä :n arvoilla, joilla nimittäjä ei ole 0) seuraavasti cot =, sec = ja cosec = tan cos sin Laske 50 o kulmalle näiden trigonometristen funktioiden arvot 5 Laske tan, kun sin = trigonometrista ympyrää) ja on neljänneksessä (käytä 54 Määritä kaikki sellaiset välillä 060 o olevat kulmat, että a) sin =, b) cos = 0, 5, c) tan = 55 Muuta radiaaneiksi (harjoittele nopeutta; käytä laskemisessa jotakin seuraavantapaista menetelmää: 0 = π π = π ): 6 6 a) 45 o 5 o 0 o 5 o 0 o 50 o 60 o 40 o, b) 40 o 05 o 0 o 75 o 00 o 70 o 90 o 70 o, 9

44 c),5 o 0 o 05 o 450 o 5 o 50 gon 50 gon 56 Piirrä funktioiden y= sin x ja y= cos x kuvaajat, antamalla x:lle "erikoiskulma-arvoja" 0, π/6, π/4, π/, π/, π/, π/4, ja vastaavia negatiivisia arvoja 57 Paljonko on 7 o radiaaneissa (tarkka, supistettu arvo)? 58 Ympyrän keskuskulma on π/0 ja säde 5 Laske vastaavan kaaren pituus ja sektorin ala (tarkat arvot) sekä vastaavan segmentin alan likiarvo B 59 Perustele yksikköympyrän avulla seuraavat väitteet: Terävän kulman ja sen vieruskulman π sinit ovat yhtä suuret ja kosinit vastalukuja 50 Täydennä (perustele trigonometrisen ympyrän avulla): 5π a) = sin = tan = 4 b) cos ϕ=, π < ϕ< π sinϕ= 5 c) cos ϕ=, π < ϕ< π ϕ = 5 d) sin θ =, θ on 4 neljänneksessä tanθ = tan 5 Todista, että a) sin =, b) cos = + tan + tan (ohje: lähde liikkeelle yhtälön oikeasta puolesta (op) ja käytä Esimerkin edellä olleita trigonometrisia kaavoja) c) Laske sovelluksena sin ja cos, kun tan = 5 ja on neljänneksessä π π 5π 5 Laske ilman laskinta sin + cos + sin 6 40

45 5 Laske kaikki sellaiset kulmat, jotka toteuttavat seuraavan yhtälön (vastaukset radiaaneissa ja tarkkoina arvoina jos mahdollista): a) sin x=, b) cos x=, c) sin x=, d) tan x=, e) cot x=, f) sec x=, Laske sin x ja cos x, kun tan x = /4 ja sin x < 0 C 55 Sievennä seuraavat lausekkeet: cos ω a) (tan ω )(sinω + ) ( kun sin ω 0), sinω 4 4 tan t b) sin t cos t Ohje: + tan t 4 4 a b = ( a b )( a + b ) 56 Laske sin ja cos, kun tan = a, a < 0 ja on a neljänneksessä (Ohje: koska kyseessä on neljännes ja a < 0, niin koordinaattikolmiossa voidaan x-koordinaatiksi ottaa a) 57 Kuten edellinen, mutta a > 0 58 Ratkaise trigonometrinen yhtälö (vastaus radiaaneissa, tarkkoina arvoina) cosx= (Ohje: merkitse x = ) 59 arcsin x (lue: % %),π-$ '''π-$ Esimerkiksi arcsin 0, 5=π / 6 ja arcsin( ) = π / Suorakulmaisen kolmion trigonometriassa ("alkeistrigonometriassa") voidaan kirjoittaa π π sin = = arcsin = 60 ( = ) = 0 ( = ) 6 Ratkaise tämä yhtälö yleisesti arkussini-merkintää käyttäen 4

46 6 KOLMION RATKAISEMINEN 6 Yleistä Jos kolmion sivuista ja kulmista tunnetaan kolme ja niistä ainakin yksi on sivu, voidaan kolmion muut sivut ja kulmat määrittää Tällaista tehtävää sanotaan perinteisesti Ratkaisemiseen voitaisiin katsoa kuuluvaksi myös muita tehtäviä, esim kolmion alan määrittäminen, sisään- tai ympäri piirrettyjen ympyröiden säteiden laskeminen, keski- tai korkeusjanojen pituuksien laskeminen tms Ratkaistaan ensin yksi tehtävä alkeistrigonometrialla: Kolmion kaksi kulmaa ovat = 4, 0, β= 67, ja näiden välinen sivu on c = 5,6 Laske muut sivut, kolmas kulma ja ala kolmen numeron tarkkuudella γ = 80 ( + β) = 70, 8 h = c sin =,760 AD = c cos = 4,764 γ h a= =, 98, 98 sinγ β DC= a cos γ = 09, b = AD + DC = 5,486 5,49 Pinta-ala = hb = 0, 0, Välitulokset on tallennettu laskimeen ja niistä on merkitty näkyviin yksi ylimääräinen numero (ja kolme pistettä) Seuraavissa kohdissa otetaan käyttöön tehokkaampia menetelmiä, lähinnä sini- ja kosinilauseet Ensin kuitenkin johdetaan kolmion alalle laskukaava 4

47 6 Kolmion ala ja sinilause Jos tunnetaan kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, esim b, c ja, niin kolmion ala on = sin Tod Jos on terävä kulma, niin h = b sin Jos taas on tylppä kulma, niin h = b sin (π ) = b sin, sillä kulman ja sen vieruskulman sinit ovat yhtä suuret Kummassakin tapauksessa ala π = hc bc sin = Jos = π/, niin sin = ja silloinkin h = b = b sin )! () = = sin sinβ sinγ " Lauseen mukaan bcsin = acsin β = absin γ, sillä nämä kolme lauseketta ovat jokainen = kolmion ala Kun tämä kaksoisyhtälö kerrotaan :lla ja jaetaan sitten tulolla abc, saadaan bcsin acsinβ absinγ = = eli abc abc abc sin sinβ sinγ = = a b c Tästä seuraa tulos () (kääntämällä suhteet) 4

48 # Sama kolmio kuin edellä esimerkissä : Tunnetaan sivu c = 5,6 sekä kaksi kulmaa = 4,0 o, β = 67, o ja siten kolmaskin kulma γ = 70,8 o 6 Kosinilause Koska tunnetaan yksi kulma-sivu-pari, nimittäin c ja γ sekä muutkin kulmat, voidaan loput sivut a ja b laskea sinilauseella: a c csin = a= sin sinγ sinγ b c csinβ bcsin = b=, = Suorita laskut sinβ sinγ sinγ Yleisesti sinilause sopii hyvin laskemiseen, jos kolmiosta tunnetaan yksi $$% (esim a ja tai b ja β) Muissa tapauksissa ns kosinilause on yleensä sinilausetta käyttökelpoisempi & &! & : γ β = + cosγ " Olkoon a' sivun a projektio b-sivulla (viereinen kuva) Silloin γ ' c = h + ( b a ) h= a sinγ a = a cosγ = ( a sin γ ) + ( b a cos γ ) = a (sin γ + cos γ ) + b abcos γ = 44

49 Jos γ on tylppä kulma, todistus käy samantapaisesti, vrt myös Lauseen todistuksen vastaava kohta Jos γ on suora kulma, niin cos γ = ja kosinilauseen tulos on sama kuin Pythagoraan lause ( Laske viereisessä kolmiossa kulma ϕja sivu x kolmen numeron tarkkuudella Koska tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma, kosinilause sopii hyvin tämän kulman vastaisen sivun x laskemiseen: 6 46 o 4 ϕ δ * x = cos 46 o = 8,65 x = 4,9 4, Tämän jälkeen esim kulma ϕ voidaan laskea kosinilauseella: 6 = 4 + x 4 x cosϕ 6 6 x cos ϕ= = 0, 0888 ϕ 9, 8x ) Jos kulma ϕ laskettaisiin sinilauseella, olisi valittavana kaksi kulmaa: sinϕ sin 46 6sin 46 = sinϕ = = 0, x x ϕ = 87, 77 tai 80 87, 77 = 9, Näistä olisi vaikea päätellä, kumpi on tässä esimerkissä oikea kulma, terävä vai tylppä (vai molemmat) Siksi sinilause sopii huonosti kulman laskemiseen Jos ϕ: n sijaan laskisit kulman δ sinilauseella, ei tätä vaikeutta esiintyisi, sillä δ on terävä Jos kolmiosta tunnetaan kaksi sivua ja 5 toisen sivun vastainen kulma, voi ratkaisuja tulla kappaletta (terävä- ja 5 o tylppäkulmainen kolmio) Tämä näkyy kosinilausetta käytettäessä siten, että * kolmannelle sivulle x saadaan toisen asteen yhtälö, jolla voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään positiivista ratkaisua Esim edellisen kuvan tapauksessa 45

50 Harjoituksia A 6 Kolmiossa on = 7,5 o,γ = 90,0 o ja c = 5,86 Laske muut sivut, kulmat ja ala (Laskuissa et tarvitse sini- tai kosinilausetta, vaikka niitäkin voisit käyttää) 6 Kolmion kaksi sivua ovat a = 5,76 m ja c = 7,55 m sekä ala 5, m Laske näiden sivujen välinen kulma (kaksi ratkaisua) 6 Voimat F ja G muodostavat resultanttinsa R = 5,68 (N) kanssa kulmat,9 o ja 49,5 o Laske voimien F ja G suuruudet 64 Kolmion sivut ovat,, 4,0 ja 6,987 Laske kolmion kulmat B 65 Laske komponenttivoimat viereisessä kuvassa (Laske ensin alatukivarren pituus ja tukivarsien kiinnityspisteiden välimatka) 66 Laske voimien 8,4 N ja 7,4 N välinen kulma, kun niiden resultantti on 6, N 95, o 5, o 67 Maastokohtien A ja B välissä on talo ja joki Välimatkan AB mittaamiseksi +=,56, B:n puoleiselta rannalta etsittiin sellainen kohta C, josta AB näkyy suorassa kulmassa ja sellainen kohta D, että C on BD:n keskipiste Laske AB, kun + ADB= 67, 8 ja BC= 5 m + 68 Kuten edellinen, mutta ACB= 75, (eikä suora kulma) 46

51 69 Vektorit a =,,, b =,, ja a+ b alkavat samasta pisteestä Laske vektorin b kärjen etäisyys vektorista a+ b Laske tarkka arvo, jos pystyt 60 Kolmion kaksi sivua ovat pituudeltaan 4 ja 8 sekä edellisen vastainen kulma on a) 0 o, b) 0 o, c) 40 o Laske kolmas sivu Piirrä jokaisesta tapauksesta kuva Montako ratkaisua kussakin tapauksessa on? 6 Kolmion kaksi sivua ovat pituudeltaan 6 ja 4 sekä edellisen vastainen kulma on 70 o Laske kolmas sivu Piirrä kuva Montako ratkaisua tässä tapauksessa on? C 6 Välimatkan x = CD määrittämiseksi mitattiin matka a = AB ja viereisen kuvan mukaiset kulmat Esitä laskukaavat, jotka tarvitaan x:n laskemiseen Sovellus (piirrä kuva): * β γ δ = 47, 0, β= 5, 0 γ = 40, 0, δ = 4, 0, a= 0, 0 6 Kappale, jonka massa on,00 tonnia, riippuu kahden köyden varassa, joiden pituudet ovat,00 m ja,00 m ja kiinnityspisteiden väli on 4,00 m Laske köysiin kohdistuvat voimat, kun g = 9,8 m/s 4 9,8, 47