Ruiskuvalukappaleen valettavuus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ruiskuvalukappaleen valettavuus"

Transkriptio

1 Ruiskuvlukppleen vlettvuus Käännökset: Snn Nykänen, Tuul Höök Tmpereen teknillinen yliopisto Seinämänpksuus Yordnk Atnsov Technicl University of Gbrovo Seinämänpksuus vikutt huomttvsti ruiskuvletun kppleen mteriliominisuuksiin sekä kppleen ominisuuksiin yleisesti. Vikutus kohdistuu esimerkiksi kppleen sisäisiin jännityksiin j mitttrkkuuteen. Pksuseinämäinen kpple pidetään muotiss pineistettun pitempään kuin ohutseinämäinen kpple, jolloin siitä tulee mteriliominisuuksiltn erilinen kuin ohutseinämäisestä kppleest. Ruiskuvlettu kpple kutistuu usein epätsisesti myös siinä tpuksess, että sen seinämänpksuus on tsinen. Kppleess ei välttämättä trvitse oll epäjtkuvuuskohti, kuten jyrkkiä mutki seinämissä. Syy on prosessin luonteess: sul ei virt tsisesti kikkille muottiin eikä kpple jäähdy tsisesti muotiss ti edes muotist poistmisen jälkeen. Jos kppleen seinämänpksuus vihtelee huomttvsti, epätsinen kutistuminen lk iheutt säröjä j muodonmuutoksi kppleeseen. Suuri seinämänpksuus joht suureen kutistumn, jok puolestn iheutt ksuonteloit j suuri muodonmuutoksi kppleess. Pksut seinämät voivt ksvtt kppleen sisäisiä jännityksiä jop niin, että kpple rikkoontuu. Smnkltinen ilmiö on hvittviss eriikisen jähmettymisen lisäksi tpuksiss, joiss polymeroituminen ei ole tphtunut kunnoll. Polymeroituminen onnistuu prhiten kohtuullisill seinämänpksuuksill. Kppleen seinämien j pohjn optimipksuuden määrittäminen on siis tärkeää. Seinämänpksuuden olless optimipksuutt suurempi, ei kppleen lujuus juurikn prne. Ylimääräinen mitt ksvtt ruiskuvlun jksonik, jolloin kppleen ohuisiin kohtiin muodostuu ylimääräisiä lämpöjännityksiä. Suuri seinämänpksuus lisää myös mterilin kulutust. Kppleen seinämien optimipksuus on riippuvinen: käytetystä muovist; kppleen koost, muodost j käyttötrkoituksest; muotoilust; lujuusvtimuksist; mterilinkulutuksest jne. Seinämänpksuus määritetään kppleen mittojen perusteell (Tulukko 1). Minimiseinämänpksuus riippuu pääsääntöisesti käytetyn muovin virtvuudest j lujuudest. Muovivlmistjilt s tieto seinämänpksuuden () j suln virtusmtkn pituuden (l) suhteest (Kuv 1 j Kuv 2). Ruiskuvlettujen kppleiden seinämänpksuus on yleensä 0,8 3 mm, isommill kppleill jop 6 mm. Modernit koneet mhdollistvt seinämänpksuudeltn luokk 0,3 0,8 mm olevien kppleiden vlmistmisen. Tällöin mterilill on oltv tsiset ominisuudet. Kppleen pohjn pksuus j piklliset pksunnokset eivät s oll yli kksinkertisi verrttun kppleen sivuseinämien pksuuteen. Tulukoss 2 on esitetty erityyppisten kppleiden oikein vlittuj seinämänpksuuksi. Yhtenäinen seinämänpksuus voidn svutt poistmll ti jkmll pksumpi kohti. Tämä on erityisen tärkeää korvttess metllikppleit muovisill. Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 1

2 Tulukko 1 Seinämänpksuuden riippuvuus kppleen mitoist. Suorkulmiomisen kppleen mitt, (mm) Sylinterimäisen kppleen mitt, (mm) 20 х 20 х 20 Ø20 х 20 0,5 50 х 50 х 50 Ø 50 х 50 1,0 80 х 80 х 80 Ø 80 х 80 1,5 150 х 150 х 150 Ø 150 х 150 2,0 180 х 180 х 180 Ø 180 х 180 2,5 250 х 250 х 250 Ø 250 х 250 3,0 300 х 300 х 300 Ø 300 х 300 3,5 400 х 400 х 400 Ø 400 х 400 4,0 Seinämänpksuus, (mm), mm 6 5 I 4 3 II 2 1 III l, mm Kuv 1 Seinämänpksuus muovin virtvuuden mukn; I mtln virtvuuden muovit (PC, PVC), II keskivirtvuuden muovit (ABS, PMMA), III korken virtvuuden muovit (PE, PE HD, PE LD). l, mm ,5 1 1,5 2 2,5, mm Kuv 2 Minimiseinämänpksuuden() riippuvuus virtusmtkst muotiss (l). Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 2

3 Tulukko 2 Seinämien muotoilu. Väärin Oikein Huom. Seinämänpksuuden pikllisi pksumpi kohti on vältettävä. Reunn on oltv smn pksuinen kuin seinämän. Pksuseinämäisistä kppleist on vähennettävä mterili. Muuten kppleisiin muodostuu kutistumi j ksuonkloit sekä sykliik pitenee. 1,1 1,1 1,2 1,2 Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 3

4 Joidenkin muovimterilien kutistum on erisuuruinen suhteess niiden sulvirrn suuntn. Jott tältä poikittiselt kutistumlt vältyttäisiin, on suositeltv esim. levymäisten kppleiden ruiskuvluss ksvtt reunn suuntist pksuutt n. 25 %. Suuriss säiliömäisissä kppleiss vältytään muodon vääristymiltä, kun seinämien pksuutt ksvtetn 25 % reunoist kppleen keskust kohden. Pohjn pksuutt keskikohdst reunoj kohti tulee ksvtt myös luokk 25 % (Kuv 3). Myös seinämien ulospäin suuntminen on eräs vihtoehto (Kuv 3b). Pksuntminen tekee seinämistä vähemmän tipuisi j osittin tsoitt kutistum. Eräs keino välttää muodon vääristymisiä on vlit eri lämpötilt muotin keern j pesäpuolille. Kuv 4 esittää lämpötilerojen vikutuksen. b Kuv 3 Suurten, säiliömäisten kppleiden suunnittelu. t 1 t 1 t 2 t 1 >t r 2 r 2 r 1 1 > 2 2 r 1 H 2 Kuv 4 Lämpötiln vikutus tuotteen muotoon j suunnitteluun: jäähtyminen j vääristyminen. b keinoj vääristymisen välttämiseksi. Ltikkomisiss kppleiss esiintyy seinämien vääristymistä pohjn nähden. Tämä voi johtu lämmön pkkutumisest nurkkiin, jolloin kutistuminen lisääntyy ti sulvirrn siirtymisestä pienempää pyöristyssädettä kohti, jolloin sisäseinistä poistuu enemmän lämpöä. Ilmiö voidn välttää korjmll pohjn j seinämien välinen pksuusero ti muuttmll käytettyjä päästökulmi. Jos seinämänpksuuden täytyy ksv, muutoksen on oltv tsinen j tphduttv steittin. Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 4

5 Ainepksuuserot Snn Nykänen Tmpereen teknillinen yliopisto Ruiskuvlettvss kppleess ei sisi oll suuri eroj seinämien pksuuksiss. Jos kppleess on jossin koht mterili enemmän kuin muull, syntyy pksumpiin kohtiin helposti imuj, pintvikoj j kutistumonkloit. Suuret inepksuudet vikuttvt negtiivisesti ruiskuvluprosessiin. Jyrkät seinämänpksuusvihtelut iheuttvt jännityksiä, jotk voivt joht säröjen muodostumiseen ti rikko kppleen kuormitustilnteiss. Ainepksuuserot j kppleen pksut kohdt yhdessä lisäävät vääntyilyä j sisäisiä jännityksiä sekä heikentävät kppleen mitttrkkuutt. Jos kppleen poikkileikkuksen pksuuserojen muodostumist ei void välttää, esimerkiksi lujuussyiden vuoksi, on kppleen seinämänpksuuden muutoksen tphduttv steittisesti (Kuv 5). Rkennett voidn jäykistää ripojen, kevennysten, jäähdytyksen säätämisen j pinnn kuvioimisen vull. Kevennyksillä voidn tsoitt ineenpksuuseroj esimerkiksi tekemällä kppleest ontto ti vlmistmll pohjllisi ti pohjttomi reikiä. Kuv 5 Rk inepksuuserojen suunnittelu. Sul virt tspksujen seinämien kulmiss hyvin. Pksu kulm jäähtyy viimeisenä j muodost kulmvikoj. Kulmvikoj syntyy myös seinämiin. Onkin suositeltv käyttää ripoj tukevss reunss sekä muotoill reunpinnt pyöristetyiksi. Nurkt (pyöristykset) Georgi Rshev Technicl University of Gbrovo Suunniteltess ruiskuvlettv kpplett on tärkeää muist käyttää pyöristyksiä nurkiss j reunoiss. Pyöristysten vull voidn prnt ruiskuvletun kppleen ltu. Nurkt on pyöristettävä, jott: suln virtukselle muodostuu otollisemmt olosuhteet; hydrulinen vstus lskee j muotin täyttyminen sulll helpottuu; kppleen vlmistuksess syntyvät sisäiset jännitykset pienenevät; nurkkpyöristykset vähentävät sisäisiä jännityksiä muodostvi tekijöitä; vlmiiden kppleiden käsittelyssä syntyvät jännityskonsentrtiot häviävät; kppleen mekniset ominisuudet prntuvt; syklisten kuormitusten kesto prnee; kppleen muodonmuutokset vähenevät; mitttrkkuus j ulkonäkö prntuvt; ltikkomisist kppleist tulee jäykempiä; muottipesän vlmistus helpottuu; muotin kuluminen vähenee j käyttöikä ksv Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 5

6 Pyöristyksiä voidn peritteess käyttää sekä sisä että ulkonurkiss, mutt kikki nurkki ei voi in pyöristää. Jkotsoll olevt nurkt täytyy jättää pyöristämättömiksi, smoin erillisistä kppleit vlmistettujen keernojen juuret, jos tällinen keern päätetään muottiin ott. Muitkin muotin suunnittelemiseen liittyviä yksityiskohti on. Joissin tpuksiss vlmiin kppleen käyttöolosuhteisiin liittyvät yksityiskohdt estävät joidenkin nurkkien pyöristämisen. Nurkn pyöristyssäteen suuruus riippuu vlmiin kppleen muodost j mitoist, käytetystä mterilist, käytetyistä täyteineist j niiden määrästä sekä pyöristyksen sijinnist. Pyöristykset voidn jk eri luokkiin niiden geometrisen sijinnin perusteell (Kuv 6) Kuv 6 Tuotteess käytettäviä pyöristyksiä. 1. sisäpuolisten reunojen pyöristykset (suppenevt kulmt), 2. sisäpuolisten reunojen pyöristykset (ei suppenevt kulmt) sekä 3. kppleen ulkopuolisten sivujen j nurkkien pyöristykset. Seurvss tulukoss (Tulukko 3) on esitetty suositeltvi pyöristyssäteen rvoj eri muoveist vlmistetuille kppleille. Tulukko 3 Suositeltvi minimipyöristyssäteitä Muovilji Täyteine Sisäpuolisten nurkkien minimipyöristyssäde Kokov kulm Ei kokov kulm PVC, PP, PA, PPO, PEHD, PELD, ABS, SAN, PETP PS, PC, PMMA PP, PA, PC, ABS, SAN, PETP, PBTP, POM Klkki, lsikuitu Sisä j ulkopuolisten nurkkien kulmsäteen suuruus voidn määrittää seurvn kvn vull: R r + (mm), Missä R = ulkopuolisen seinän kulmsäde, r = sisäpuolisen seinän kulmsäde = seinämän pksuus (Kuv 7) r r R Kuv 7 Kulmsäde Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 6

7 Kppleen syvien sisä j ulkopuolisten nurkkien pyöristykset tehdään nurkss joko vkio ti muuttuvll säteellä. Suositeltuj minimirvoj sisäpuolisten nurkkien säteille on nnettu seurvss tulukoss (Tulukko 4). Tulukko 4 Syvien kppleiden sisäpuolisten nurkkien kulmsäteiden minimirvoj. Kppleen syvyys, mm Alle Sisäpuolinen säde, r, mm Seinämän pksuutt voidn ksvtt tivutussäteen lueell, jos se on välttämätöntä. Kppleille, joiden seinämänpksuus on 2 4 mm, suositelln vähintään 1 mm kulmn vhvikkeen pksuutt. Tsomiset pinnt Snn Nykänen, Tuul Höök Tmpereen teknillinen yliopisto Ruiskuvlettvt kppleet ovt hyvin ohutseinämäisiä kokoons nähden. Ominisuus johtuu ruiskuvluprosessist. Muoveill on melko pieni kimmomoduuli verrttun esimerkiksi lumiiniseoksiin j muihin vlumetlleihin. Kimmomoduuli kuv kuink jäykkää mterili on. Näistä khdest ominisuudest johtuen ruiskuvlettu muovikpple ei ole rkenteeltn jäykkä ilmn erityisiä konstruktiivisi toimenpiteitä. Ruiskuvlukppleen pksuimmt kohdt jäähtyvät hitimmin iheutten erilisi muotovirheitä, esimerkiksi kreutumist j kieroutumist. Kppleess olevt suuret tsomiset pinnt kreutuvt jäähtymisen ikn sisäisten jännitysten vikutuksest. Suurimpi syitä kreutumiseen on, että kpple ei jäähdy kikkilt smn ikn ti smll nopeudell. Yhtä suuri vikutus on sillä, että peritteess tslämpöisenä muottipesiin ruiskutettu sul ei päädy pesien eri osiin smss lämpötilss. Jos kppleess on ljoj tsopintoj, on suositeltv suunnitell muotin jäähdytys huolellisesti siten, että suunnittelun yhteydessä tehdään jäähtymisnlyysej simuloimll. Kppleen koon ksvess ljojen pintojen tsomisuutt on vike hllit. Ruiskuvletut kppleet kutistuvt jäähtymisen ikn j muuttvt muoton, jos ne eivät ole rkenteellisesti trpeeksi jäykkiä. Useimmiten kppleet kierotutuvt j kreutuvt ensimmäisissä koejoiss. Muovikppleen rkenne tulee suunnitell jäykäksi, jott eriliset kutistumisilmiöt eivät pysty muuttmn sen muotoj. On esimerkiksi suositeltv muotoill tsomiset pinnt hiemn kreviksi, kosk kuper ti kover pint ei lommhd yhtä helposti kuin tso. Muit hyviä tpoj luod jäykkyyttä ruiskuvlettvn kppleeseen on rivoitus tsopinnn ll ti vhvistus sen reunss. Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 7

8 Tulukko 5 Esimerkkejä tsopintojen jäykistämisestä. Ruiskuvletuss kppleess on lj tsominen pohj. Pohj on jäykistetty rivoituksell. Sivuseinämät on muotoiltu suurisäteisillä krill. Reun on jäykistetty kuluksell. ) Ruiskuvlettu levymäinen kpple on jäykistetty reunvhvikkeell. b) c) Ruiskuvletun kppleen sivuseinät on jäykistetty muotoilemll ne suurisäteisillä ympyränkrill sen sijn, että seinämät olisivt tsoj. Yläreun on vhvistettu kpell kuluksell. Ruiskuvletun kppleen sivuseinämät on jäykistetty muotoilemll ne kreviksi. Kppleess ei ole muit jäykistäviä elementtejä. d) Sisäiset jännitykset Snn Nykänen Tmpereen teknillinen yliopisto Ruiskuvletuill muovikppleill voi esiintyä meknisi jännityksiä ilmn niitä iheuttv ulkopuolist kuormitust. Jännitykset iheutuvt kppleen epätsisest jäähtymisestä j polymeeriketjujen orienttiost. Ruiskuvletun kppleen sisällä olev jännitys on veto j reunlueill olev jännitys puristust. Jännitykset vikuttvt suuresti kppleen käytettävyyteen: sen mitttrkkuuteen sekä mekniseen j kemilliseen kestävyyteen. Kppleen kyky kestää kuormituksi vähenee sisäisten jännitysten vikutuksest, sillä ne iheuttvt kppleeseen esikuormitust. Joissin tpuksiss jännitykset voivt ksv niin suuriksi, että kpple hjo ilmn ulkoist kuormitust. Myös joillin kemikleill voi oll smnlinen vikutus ruiskuvlukppleeseen. Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 8

9 Sisäisiä jännityksiä syntyy, kun kppleen eri mterilikerrokset jäähtyvät eriikn. Uloimmt kerrokset jäähtyvät keskellä olevi mterilikerroksi nopemmin. Jos nämä mterilikerrokset pääsisivät liikkumn vpsti toistens suhteen, ei sisäisiä jännityksiä syntyisi. Mssn virtminen muotiss sekä käytetty jälkipine vikuttvt sisäisten jännitysten syntymiseen. Jos käytetään liin suurt jälkipinett, pienenee keskellä olevien kohtien terminen kutistuminen j kppleen ulostyönnön jälkeen sisemmät kohdt ovt vielä pineen lisen. Kpple ljenee ulostyönnön jälkeen, kunnes tspino sen poikkileikkuksess on svutettu. Muottiontelon suihkulähdemäisen virtuksen vuoksi mss virt lähellä muotin seinämää hyvin j venyy puristettess muotin seinämään kiinni. Mss myös jähmettyy nopesti. Jännityssäröily Snn Nykänen Tmpereen teknillinen yliopisto Jännityssäröily on muovikppleille hyvin omininen ilmiö. Jännityssäröilyllä trkoitetn termoplstisten mterilien säröilyä kemillisen kuormituksen j jännityksen vikutuksest. Kuormitus, jok iheutt jännityssäröilyn, voi oll esim. jäähdytyksen yhteydessä syntyneet jännitykset. Muovin rkenne vikutt sen jännityssäröilyherkkyyteen. Osittin kiteiset muovit kestävät jännityssäröilyä morfisi muovej premmin. Jännityssäröily on erittäin omininen ilmiö ruiskuvletuille muovikppleille. Kppleen hjominen tphtuu kohdist, joiss sisäiset jännitykset ovt suurimmt. Tällisi kohti muovikppleess ovt usein: syöttöpisteen ympäristö kohdt, joiss on suuri seinämänpksuusvihteluj terävät nurkt Jännityssäröilyn mhdollisuus on huomioitv vlittess kppleen vlmistusmterili. On myös huomttv, että jännityssäröily vähenee ti loppuu kokonn, jos sisäiset jännitykset ti ulkoinen jännityksen iheuttj pystytään poistmn. Jännityssäröilyä esiintyy myös hyvin mtliss lämpötiloiss. Yhtymäsumt Georgi Rshev Technicl University of Gbrovo Yhtymäsumt ovt kpeit, V kirjimen muotoisi j pljin silmin erottuvi sumkohti. Ne ovt hitt kppleen ulkonäölle, trkkuudelle j pinnn sileydelle. Yhtymäsumt lentvt kppleen lujuutt %. Mitä suurempi osuus sumst on morfist inett, sitä enemmän lujuus heikkenee. Yhtymäsumoj syntyy, kun kksi sulrintm koht toisens muotiss. Muotin muoto ntvien osien tulee oll siten seteltu, että muottipesät täyttyvät esteettä. Muotin täyttyminen vikutt osltn kppleen lujuuteen eri suunniss, mittojen trkkuuteen, pinnn tsisuuteen, kppleen ulkonäköön sekä vluvikojen esiintymiseen. Kun sul virt sisäänvluportin kutt muottipesään, se lk muovntu pesän muotojen mukisesti j muodost pesän läpi etenevän virtusrintmn. Muotin seinämät hidstvt sulvirrn liikettä. Seinämien lämpötil on mtl verrttun muovisuln lämpötiln, jolloin sul jäähtyy j sen pintkerrosten viskositeetti ksv. Suln pintkerroksen virtusnopeus pienenee suhteess keskikerroksen nopeuteen. Tilnne vikutt sulvirrn eturintmn muotoon j virtuksen luonteeseen. Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 9

10 Jos sulvirrn virtusviivojen kikki etummiset pisteet yhdistetään, niistä muodostuu virtuksen eturintm. Jos sul ei koht esteitä virrtessn, syntyy muodoltn prbolinen eturintm (Kuv 8). Kuv 8 Suln eturintmn muoto (ylhäällä vsemmll), sulss olevien polymeerimolekyylien orientoituminen (ylhäällä oikell), yhtymäsumn lue (lhll). Suln mkromolekyylit joutuvt jännitystiln suln pint j keskikerroksen nopeuseroist johtuen. Jännitystil s molekyylit suuntutumn virtuksen suuntisesti (Kuv 8 ylhäällä oikell). Jos suln eturintmn kulku häiriintyy jollin tp, sen muoto muuttuu. Häiriötekijä voi oll esimerkiksi se, että virtus osuu keerntppiin, pesän keskellä olevn ulokkeeseen ti ripmuotoon. Virtus voi myös kohdt pesän muodon ljenemn ti supistumn ti sen kulku voi hidstu muottipesässä olevn ilmn iheuttmn vstpineen vuoksi. Sulvirt voi häiriön sttuess hroittu. Kun jkntunut virtus on kiertänyt esteen ti voittnut häiriötekijän se liittyy ts yhdeksi virrksi. Sulvirt menettää kuitenkin jtkuvsti lämpöä muotin seinämien kutt j sen viskositeetti ksv. Eturintmn voi muodostu osin kiteytynyttäkin inett. Kun hroittuneet sulrintmt törmäävät jäähtyneinä, syntyy yhtymäsumoj (Kuv 9 vsemmll). Toisin vsten virtvt sulrintmt muodostuvt myös siinä tpuksess, että pesä täytetään usemmst portist (Kuv 9 oikell). Kuv 9 Yhtymäsumn muodostuminen khden sulrintmn kohdtess. Vsemmll olevss kuvss sulrintm on kohdnnut esteen. Oikell olevss kuvss muottipesää täytetään khdest portist. Edellä olevss kuvss (Kuv 9) vsemmll yhtymäsum muodostuu, kun sulvirtus hlke khteen osn metllisen esteen vuoksi. Oikell on puolestn esitetty yhtymäsumn syntyminen, kun ruiskuvluss käytetään kht portti. Yhtymäsumn pituus, l, on riippuvinen sulrintmn kohtmn esteen muodost j koost, suln polymeerin ldust sekä ruiskuvlun Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 10

11 olosuhteist. On todettu, että jos eturintmien tngenttien välinen kulm (kulm β, Kuv 9) on suurempi kuin 120, yhtymäsum ei muodostu. Osittin kiteiset muovit muodostvt lyhyempiä yhtymäsumoj kuin morfiset muovit. Yhtymäsum lyhenee kiteisen ineen määrän ksvess. Kiteinen ine sitoo morfist inett enemmän lämpöä, jolloin suln lämpötil pysyy korken pitempään, vikk toislt sulttminen kulutt enemmän energi. Lähteet Järvelä P. et l., Ruiskuvlu, Plstdt, Tmpere, Mlloy, Plstic Prt Design for Injection Molding, Hnser Publishers, Muovimterilit j niiden tekniset sovellukset kurssin kurssimterili, Tmpereen teknillinen yliopisto, Muovi j elstomeeritekniikn lbortorio. Y. Atnsov, T. Höök, S. Nykänen, G Rshev Ruiskuvlukppleen vlettvuus 11

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Muovimateriaali kutistuu ja aiheuttaa painetta sekä kitkavoimia keernan ja kappaleen välille.

Muovimateriaali kutistuu ja aiheuttaa painetta sekä kitkavoimia keernan ja kappaleen välille. Päästöt Tampereen teknillinen yliopisto Sanna Nykänen Ruiskuvalettavissa kappaleissa on lähes aina tarpeellista käyttää päästöjä. Päästökulmat helpottavat kappaleen ulostyöntöä muotista. Jos ruiskuvalukappale

Lisätiedot

Asennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv.

Asennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv. Asennusohje EPP-0790-FI-4/02 Kutistemuovijtkos Yksiviheiset muovieristeiset kpelit Cu-lnk kosketussuojll 12 kv & 24 kv Tyyppi: MXSU Tyco Electronics Finlnd Oy Energy Division Konlntie 47 F 00390 Helsinki

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

12. Erilaiset liitoskohdat ja risteykset

12. Erilaiset liitoskohdat ja risteykset 12. Erilaiset liitoskohdat ja risteykset Pekka Niemi Tampereen ammattiopisto Liitoskohdat ja risteykset aiheuttavat valukappaleen rakenteelle monia vaatimuksia mm. tiiveyden ja jännitysten syntymisen estämisessä.

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

a) ruiskuvalamalla kierre suoraan kappaleeseen kierremeistin avulla b) asettamalla kappaleeseen kierteistetty metalli insertti c) lastuamalla

a) ruiskuvalamalla kierre suoraan kappaleeseen kierremeistin avulla b) asettamalla kappaleeseen kierteistetty metalli insertti c) lastuamalla Kierteet Technical University of Gabrovo Yordanka Atanasova Käännös: Sanna Nykänen, Tampereen teknillinen yliopisto Muovituotteeseen voidaan valmistaa kierteitä kolmella tavalla: a) ruiskuvalamalla kierre

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa. Ruiskuvalumuotin kanavisto 2

Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa. Ruiskuvalumuotin kanavisto 2 Ruiskuvalumuotin kanavisto 2 Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Teoriatausta Ruiskuvalumuotin kanavistot: kylmäkanavat Ruiskuvalumuotin täyttäminen CAD työkalut harjoituksessa Ruiskuvalumuotin

Lisätiedot

Kaasuavusteinen ruiskuvalu

Kaasuavusteinen ruiskuvalu Kaasuavusteinen ruiskuvalu School of Technology and Management, Polytechnic Institute of Leiria Käännetty ja tarkistettu teksti: Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Kaasuavusteinen ruiskuvalu on

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa. Ruiskuvalumuotin kanavisto 1

Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa. Ruiskuvalumuotin kanavisto 1 http://www.valuatlas.net ValuAtlas & CAE DS 2007 Muotinsuunnitteluharjoitukset Ruiskuvalumuotin kanavisto 1 Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Teoriatausta Ruiskuvalumuotin kanavistot: kylmäkanavat

Lisätiedot

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.

Lisätiedot

RATKAISUT: 9. Pyörimisen peruslaki ja pyörimismäärä

RATKAISUT: 9. Pyörimisen peruslaki ja pyörimismäärä Phyic 9. pino (9) 9. Pyöiien peulki j pyöiiäää : 9. Pyöiien peulki j pyöiiäää 9. ) Hituoentti on uue, jok kuv kppleen pyöiihitutt, toiin noen itä, iten vike kppleen pyöiitä on uutt. b) Syteein pyöiiäää

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet Putkitekniikn perusteet 1 Sisällysluettelo 1. Historist nykypäivään...3 2. Putkitekniikn perusteet...4 3. Putken eri ost...8 4. Diodi...12 5. Triodi...18 6. Tetrodi...31 7. Pentodi...33 8. Lähdeluettelo...39

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Liikkuva keerna. Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa

Liikkuva keerna. Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa Liikkuva keerna Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Hae aloitusmalli start_movingcore_x.catpart. Tehtävänä on muokata kappaleen muodot siten, että vastapäästölliset muodot voi valmistaa liikkuvilla

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli 1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Vir tasalmen Viljatuotteen

Vir tasalmen Viljatuotteen i t s v k u m t s k u M Vir tslmen Viljtuotteen gluteenittomill juhoill j juhoseoksill uusi re se pte jä 2015 Lisää tuotteistmme j reseptejä www.virtslmenviljtuote.fi Kinkkupiirkk pohj: k mitorhk 100 g

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä 766319A Sähkömgnetismi, 7 op Vnhoj tenttitehtäviä 1. Puoliympyrän muotoon tivutettu suv on vrttu tsisesti siten, että vrus pituusyksikköä kohti on λ. Puoliympyrän säde on. Lske sähkökenttä puoliympyrän

Lisätiedot

Liikkuva keerna. Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa Liikkuva keerna

Liikkuva keerna. Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa Liikkuva keerna Liikkuva keerna Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Hae aloitusmalli start_movingcore_x.sldprt. Tehtävänäsi on hellittää kappaleen muodot siten, että vastapäästölliset muodot voi valmistaa liikkuvilla

Lisätiedot

Perusteet 2, pintamallinnus

Perusteet 2, pintamallinnus Perusteet 2, pintamallinnus Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_1_3.pdf, sama piirustus kuin harjoituksessa basic_1_3. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja tuota niiden

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

PIM. Kari Mönkkönen Kari.monkkonen@karelia.fi POWDER INJECTION MOULDING (PIM) SEMINAR FOR FINNISH INDUSTRY

PIM. Kari Mönkkönen Kari.monkkonen@karelia.fi POWDER INJECTION MOULDING (PIM) SEMINAR FOR FINNISH INDUSTRY PIM Kari Mönkkönen Kari.monkkonen@karelia.fi POWDER INJECTION MOULDING (PIM) SEMINAR FOR FINNISH INDUSTRY Prosessi - Metallien ruiskuvalu kehitettiin erityisesti monimutkaisten ja mekaanisilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Muovituotteen suunnittelun kokonaisprosessi

Muovituotteen suunnittelun kokonaisprosessi Muovituotteen suunnittelun kokonaisprosessi Tampereen teknillinen yliopisto Sanna Nykänen Muovi materiaalina antaa lukemattomia mahdollisuuksia tuotesuunnitteluun. Muovituotetta suunniteltaessa on muistettava

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 5, mallivastaukset Syksy 2016

Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 5, mallivastaukset Syksy 2016 Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 5, mllivstukset Syksy 2016 Tehtävä 2 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä Vlmistudu esittelemään

Lisätiedot

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: . Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

Painevalukappaleen suunnitteluprosessi

Painevalukappaleen suunnitteluprosessi Painevalukappaleen suunnitteluprosessi Stefan Fredriksson SweCast Käännös: Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Painevaluprosessi Kun suunnitellaan uutta tuotetta valua tai jonkin muun tyyppistä

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

Knauf Safeboard Säteilysuojalevy 03/2009. Knauf Safeboard Säteilysuojalevy. 0% lyijyä. 100% turvallisuus.

Knauf Safeboard Säteilysuojalevy 03/2009. Knauf Safeboard Säteilysuojalevy. 0% lyijyä. 100% turvallisuus. Knuf Sfor Sätilysuojlvy 03/2009 Knuf Sfor Sätilysuojlvy 0% lyijyä. 100% turvllisuus. Knuf Sfor Knuf Sfor Suoj röntgnsätiltä Lyijytön Suoj plolt Hlppo snt Hyvä äännristävyys Ympäristöystävällinn hävittää

Lisätiedot

Syysrypsin kylvö kevätviljaan

Syysrypsin kylvö kevätviljaan Syysrypsin kylvö kevätviljn Antti Tuulos j Pirjo Mäkelä Soveltvn biologin litos, PL 27, 00014 Helsingin yliopisto, emil: ntti.tuulos@helsinki.fi j pirjo.mkel@helsinki.fi Tiivistelmä Syysrypsi on vrteenotettv

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

RTS 16:2. Tässä ohjeessa esitetään ajoneuvojen ja yleisimpien autotyyppien mittoja, massoja sekä liikenteeseen hyväksymistä koskevia rajoituksia.

RTS 16:2. Tässä ohjeessa esitetään ajoneuvojen ja yleisimpien autotyyppien mittoja, massoja sekä liikenteeseen hyväksymistä koskevia rajoituksia. RTS 16:2 RT XX-XXXXX KH XX-XXXXX Infr x-x AJONEUVOJEN MITTOJA OHJEET xxxkuu 2016 1 (8) korv RT 98-10914 Tässä ohjeess esitetään joneuvojen j yleisimpien utotyyppien mittoj, mssoj sekä liikenteeseen hyväksymistä

Lisätiedot

Perusteet 2, pintamallinnus

Perusteet 2, pintamallinnus Perusteet 2, pintamallinnus Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_1_2.pdf, sama piirustus kuin harjoituksessa basic_1_2. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja tuota niiden

Lisätiedot

Perusteet 5, pintamallinnus

Perusteet 5, pintamallinnus Perusteet 5, pintamallinnus Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_4.pdf, sama piirustus kuin harjoituksessa basic_4. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja tuota niiden

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Perusteet 4, tilavuusmallinnus

Perusteet 4, tilavuusmallinnus Perusteet 4, tilavuusmallinnus Juho Taipale, Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_4.pdf. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja tuota niiden pohjalta teknisesti hyvälaatuinen

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

Perusteet 3, tilavuus ja pintamallinnus

Perusteet 3, tilavuus ja pintamallinnus Perusteet 3, tilavuus ja pintamallinnus Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_3_1.pdf, sama piirustus kuin harjoituksessa basic_3_1. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Perusteet 2, pintamallinnus

Perusteet 2, pintamallinnus Perusteet 2, pintamallinnus Tuula Höök, Juho Taipale Tampereen teknillinen yliopisto Ota sama piirustus kuin harjoituksessa perusteet 1_2, eli fin_basic_1_2.pdf. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

-kortiston näyte RT 09-10692 ESTEETÖN LIIKKUMIS- JA TOIMIMISYMPÄRISTÖ SISÄLLYSLUETTELO YLEISTÄ

-kortiston näyte RT 09-10692 ESTEETÖN LIIKKUMIS- JA TOIMIMISYMPÄRISTÖ SISÄLLYSLUETTELO YLEISTÄ RT 09-09 ohjetiedosto mliskuu 999 () ESTEETÖN LIIKKUMIS- JA TOIMIMISYMPÄRISTÖ liikkumisesteiset, toimimisesteiset, esteettömyys hndikppde, funktionshindrde, tillgänglighet disled persons, ccessiility Tämä

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA COOLS COOLSIDE uusi JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE Jäähdytysteho Kylmäine Puhllintyyppi Mikroprosessori jop 96,0 kw sroll R410A ksili MP.COM T: MONO DXA (R410A) Jäähdytysteho jop 21,9 kw Ilmluhdutteinen

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

NASTOLAN YRITYSPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 500, 501, 504-511 KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET

NASTOLAN YRITYSPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 500, 501, 504-511 KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRISPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET YLEISTÄ

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN

KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunt Energitekniikn koulutusohjelm KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN Lppeenrnnss 1.2.2010

Lisätiedot

Mitä ovat blogit? Mitä blogit ovat. Mahdollisuuksia Verkostoitumista Viestintää Todistusta

Mitä ovat blogit? Mitä blogit ovat. Mahdollisuuksia Verkostoitumista Viestintää Todistusta Kirsi Myllyniemi, Blogikurssi teologeille mlikuuss 2006 Mitä blogit ovt Mhdollisuuksi Verkostoitumist Mitä ovt blogit? Mhdollisuuksi Verkostoitumist Sn blogi tulee englnnin snoist web log. Se sisältää

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Korkki 1 CAD työkalut joka on myös kauniisti muotoiltu harjoituksessa cap_1_2.sldprt Tilavuusmallinnus Pintamallinnus (vapaaehtoinen) Teoriatausta

Korkki 1 CAD työkalut joka on myös kauniisti muotoiltu harjoituksessa cap_1_2.sldprt Tilavuusmallinnus Pintamallinnus (vapaaehtoinen) Teoriatausta Korkki 1 Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus cap_1_1.pdf. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja mallinna niiden perusteella teknisesti oikein muotoiltu ruiskuvalukappale, joka

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Päästöjen analysointi ja piirteiden korjaaminen 3

Päästöjen analysointi ja piirteiden korjaaminen 3 Päästöjen analysointi ja piirteiden korjaaminen 3 Tampere University of Technology Tuula Höök Ota kappale start_repair_3_1.sldprt. Kappale on kupin muotoinen ja siinä on sivulla vastapäästöllinen muoto.

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Painevalut 1. Teoriatausta Knit. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa diecasting_1.sldprt. CAE DS Kappaleensuunnitteluharjoitukset

Painevalut 1. Teoriatausta Knit. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa diecasting_1.sldprt. CAE DS Kappaleensuunnitteluharjoitukset Painevalut 1 Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Hae piirustus diecasting_1_1.pdf. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja tuota niiden pohjalta teknisesti hyvälaatuinen ruisku tai painevalukappale,

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen

Lisätiedot

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife 999805711-02/2015 fi Muottimestrit. nkkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti rmx Xlife Käyttäjätieto sennus- j käyttöohje 9764-445-01 Johdnto Käyttäjätieto nkkurijärjestelmä Monotec dnto Joh- by ok

Lisätiedot

ArcGIS for Server. Luo, jaa ja hallitse paikkatietoa

ArcGIS for Server. Luo, jaa ja hallitse paikkatietoa ArcGIS Server ArcGIS for Server Luo, j j hllitse pikktieto ArcGIS Serverin vull voidn luod plveluit keskitetysti, hllinnoid näitä plveluit j jk niitä orgnistion sisällä sekä verkoss. Plveluj voidn helposti

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen.

Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen. Tässä on vnhoj Sähkömgnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentttorin on ollut näissä tenteissä sm henkilö kuin tänä vuonn eli Hnn Pulkkinen. 766319A Sähkömgnetismi, kesäkurssi 2012 Päätekoe 11.6.2012 1. Esitä

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella Mrkku Kuppinen Neliknvinen vhvistin ktiivisell jkosuotimell Vhvistimen yleisselostus Suunnittelun lähtökohtn on ollut toteutt edullinen mutt kuitenkin lduks ktiivisell jkosuotimell vrustettu stereovhvistin

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot