ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö Putkitekniikan perusteet

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet"

Transkriptio

1 Putkitekniikn perusteet 1

2 Sisällysluettelo 1. Historist nykypäivään Putkitekniikn perusteet Putken eri ost Diodi Triodi Tetrodi Pentodi Lähdeluettelo

3 1. Historist nykypäivään Vuonn 1883 Thoms Edison tutki kokeilln tyhjiössä hehkutetun lngn (filment) vlosäteilyä j hvitsi vhingoss, että sijoittessn ylimääräisen metllilevyn (plte) hehkutetun lngn lähelle, muodostui sähkövirt näiden khden johtimen välille. Tätä hvinto hyödyntäen vuonn 1904 John Fleming kehitti putkidiodin, joss sähkövirt pystyi kulkemn vin yhteen suuntn j jop silloinkin kun lnk hehkutettiin vihtovirrll. Tästä seursi sovelluksen tssuuntus, jot käytettiin rdioltojen ilmisemiseen. Smn vuosikymmenen ikn, pääsiss fyysikko Joseph John Thomsonin tutkimuksien nsiost ymmärrettiin, että sähkövirt muodostui pienten sähkövrusten eli elektronien liikkeestä. Vuonn 1906 merikklinen keksijä Lee De Forest onnistui modifioimn Flemingin putke tvll, jok mullisti elektroniikk vuosikudiksi eteenpäin. Hän sijoitti ylimääräisen johtimen (grid eli hil) hehkulngn j metllilevyn väliin, jok toimi ikäänkuin sähköisenä hnn: muutos hiln jännitteessä iheutti muutoksen sähkövirtn hehkulngn j metllilevyn välillä. Kosk pienellä hiljännitteellä voitiin ohjt suurt virt, lite soveltui sähköiseen vhvistmiseen. Nopen kehityksen tuloksen, tämä ns. triodi mhdollisti mm. kukopuhelut j vsi tietä rdion j television kehitykselle. Tekniikn kehittyessä j uusien sovelluksien syntyessä hvittiin, että triodin toimint oli hyvin rjoittunut korkeill tjuuksill. Toimint prnnettiin sijoittmll putkeen lisää hiljohtimi j syntyi tetrodit j pentodit, joill hvittiin olevn myös huomttvsti suurempi vhvistuskyky. Tästä eteenpäin on kehitetty yhä monimutkisempi putki erilisiin käyttötrkoituksiin kuten esimerkiksi vloon regoivi putki jne. Putkitekniikk on pikkuhilj väistynyt puolijohdetekniikn tieltä j kikki putki ei enää edes vlmistet. Kuitenkin putkill on vielä sovelluskohteit, joit trnsistorit eivät voi korvt. Esimerkiksi kitrvhvistimiss putket ovt edelleenkin hyvin pljon käytettyjä komponenttej mm. niiden säröominisuuksien tki. Myös rdiolähettimissä käytetään putki vielä niiden mhdollistmien suurien tehonkestojen tki. 3

4 2. Putkitekniikn perusteet Elektronien käyttäytyminen selitetään nykytietämyksen vloss ns. hiukksluonteell j ltoluonteell. Tämä trkoitt sitä, että kikki elektronien käyttäytymisilmiöitä ei void selittää hiukksluonteell vn trvitn myös ltoluonne. On siis selvää, että elektronien käyttäytymistä ei vielä täysin ymmärretä. On riittävää tämän erikoistyön yhteydessä, että trkstelemme putkitekniikss esiintyviä ilmiöitä vin elektronien hiukksluonteell. Hiukksluonteess elektronill on mss (m e = kg) j vrus (e = C). Putkitekniikll trkoitetn elektroniikss yleisesti tekniikk, jok perustuu elektronien liikkeeseen tyhjiössä ti hyvin mtlpineisess ksuss. Tämä mtlpineinen til on luotu yleensä lsiputken sisälle, joss sijitsee myös elektronej emittoiv os j ost joihin elektronit sitten sähkö- j mgneettikenttien vikutuksest liikkuvt. Ennen kuin käsittelemme eri putkien toimint syvemmin on ensin hyvä kuitenkin käsitellä eri perusilmiöt joihin koko putken toimint perustuu. Näihin kuuluu elektronien emissio ineest, elektronien liike sähkö- j mgneettienkenttissä, väliineen eli mtlpineisen ksun vikutus elektronien liikkeeseen sekä elektronien yhteisvikutus toisiins. Elektronien yhteisvikutust toisiins ei käsitellä nyt tässä erikoistyössä. Elektronien emissio ineest Elektronien emissio voi tphtu useist eri mterileist jotk ovt johtimi. Johdinmterilit ovt sellisi joiss on vpit ns. johdinelektronej, jotk voivt liikku rkenteess pikst toiseen j jop rkenteest pois. Huoneenlämmössä nämä johdinelektronit eivät kuitenkn pysty krkmn rkenteen pinnst pois, kosk itse rkenne vetää niitä puoleens. Jos elektronille voidn nt riittävä kineettinen energi, se voi kuitenkin päästä rkenteest pois. Pienintä mhdollist energimäärää, jok riittää irrottmn elektronin ineest, kutsutn työfunktioksi ti irrotustyöksi (Φ) j sen yksikkönä on voltti (elektronivoltti). Mterili, joll on pienempi irrotustyö, emittoi elektronej siis helpommin kuin mterili, joll on korkempi irrotustyö. Esimerkiksi pltinlle irrotustyön rvo on 6.0V. On olemss useit keinoj, joill johdinelektroneille voidn nt riittävä energi, jott ne voivt pet ineen pinnst. Neljänä yleisimpänä menetelmänä ovt lämpöemissio, sekundäärinen emissio, vlosähköinen emissio j sähkökentän iheuttm emissio. Vlosähköisessä emissioss ineeseen kohdistetn säteilyä esim. vlosäteilyä, jok bsorboituu mteriliin j nt näin elektroneille lisää energi. Elektroneille voidn nt myös riittävä energi hyvin suurell ulkoisell sähkökentällä (luokk 1MV/cm 2 ). Seurvss on käsitelty trkemmin lämpöemissio j sekundäärinen emissio, kosk ne liittyvät eniten yleisimpien putkien toimintn. Lämpöemissio Lämpöemissio sdn ikn, kun mterili kuumennetn riittävän kuumksi, jolloin elektroneill on riittävä energi ylittämään mterilin irrotustyö. Voidn rvell, että irronneiden elektronien määrä pint-l kohti (eli virttiheys) on jollin tvll verrnnollinen niille nnettuun energin eli mterilin lämpötiln sekä mterilin irrotustyöhön. Tämä verrnnollisuus on johdettu kokeellisesti yhtälöksi, jot kutsutn nimellä Richrdson-Dushmn-yhtälö j se kertoo meille mterilin suurimmn emissiovirttiheyden: 4

5 J = AT 2 e eφ kt missä: A = A/m 2 /K 2 (teoreettinen rvo, kokeellinen noin puolet tästä) Ф = mterilin irrotustyö k = Bolzmnin vkio = J/K T = bsoluuttinen lämpötil = C e = elektronin ominisvrus = C Richrdson-Dushmn-yhtälö kertoo meille myös mterilin emissiotehokkuuden. Kosk ktodimterili yleensä kuumennetn erillisellä hehkulngll, hlumme mksimoid emissiovirrn suuruuden käytetyllä lämmitysteholl. Tästä iheest lisää kohdss 3.1, joss käsitellään ktodin toimint. Sekundäärinen emissio Elektronien sekundäärinen emissio voi tphtu jos mteriliin törmää riittävän suurienergisi hiukksi kuten elektronej ti positiivisi ionej (kuten esimerkiksi ksumolekyyli, jok on menettänyt elektronin). Tällinen törmäys voi iheutt usemmnkin kuin yhden elektronin vputumisen rkenteest jos törmäävän hiukksen energi on riittävän suuri. Putkess sekundääristä emissiot tphtuu nodill. Elektronien liike sähkö- j mgneettikentissä Liike sähkökentässä Kun vrus q joutuu sähkökentän E vikutukseen, kohdistuu siihen tällöin voim F, jonk suuruus on F = qe Kun vrus on positiivinen, voimn suunt on sm kuin sähkökentänkin suunt. Elektronille, jonk vrus on negtiivinen eli q = -e = , on siihen kohdistuvn voimn suunt vstkkinen sähkökentän suunnlle. Putkess sähkökenttä muodostuu nodin j ktodin välille, joiden välillä on jännite-ero V k. Elektronin energi (merkitään myös E), kun se svutt nodin, voidn määrittää seurvst yhtälöstä: E = ev 1 2 k = 2 mev missä: E = energi e = elektronin ominisvrus V k = nodin j ktodin välinen jännite m e = elektronin lepomss v = nopeus nodill Elektronin iskeytyessä nodiin on sen nopeus siis: 5

6 v = 2V k e m e Jos esimerkiksi nodin j ktodin välinen jännite on 300V, sdn elektronin nopeudeksi km/s kun se iskeytyy nodiin! Yhtälö ei ot huomioon suhteellisuusteorin mukist mssn muutost lähestyttäessä vlonnopeutt mutt nt kuitenkin kuvn siitä miten suurist nopeuksist on kyse. Liike mgneettikentässä On osoitettu, että johtimeen, joss liikkuu virt I mgneettikentässä B, kohdistuu voim F, jonk suuruus on: F = IBsinθ missä θ on mgneettikentän j virrn välinen kulm. Voim F on kohtisuorss johtimen suunnn j mgneettikentän suunnn muodostmn tsoon nähden. Tiedetään myös, että I = qv. Nyt kun vruksen on elektroni, sdn voimksi: F = evbsinθ Nähdään, että elektroniin ei kohdistu ollenkn voim, jos elektroni liikkuu mgneettikentän suuntn. Jos elektroni liikkuu eri suuntn, siihen kohdistuu voim j elektroni joutuu ympyräliikkeeseen, kosk tämä voim on in kohtisuorss elektronin liikesuuntn nähden. Smst syystä elektroni ei menetä myöskään liike-energins mgneettikentässä. Mtlpineisen ksun vikutus elektronien liikkeeseen Ksujen käyttäytymistä selitetään ns. ksujen kineettisellä teorill. Teorin mukn ksun jtelln muodostuvn hyvin suurest määrästä pieniä hiukksi ti molekyylejä j näiden lukumäärä sdn Avogdron luvust ( molekyyliä/litr normliolosuhteiss), jok on sm kikille ksuille. Molekyylit ovt kuitenkin niin pieniä, että vin yksi tuhnnesos tilvuudest koostuu mterist j loppu on tyhjää. Ksumolekyylit eivät ole piklln vn ne liikkuvt stunnisiin suuntiin nopeudell, jok vst suurinpiirtein äänen nopeutt ksuss j ksv lämpötiln ksvess. Ksun pine muodostuu siitä kun molekyylit törmäilevät jtkuvsti toisiins j niitä ympäröivän tiln seinämiin. Jott elektronit voisivt liikku mhdollisimmn esteettömästi niitä emittoivst osst (ktodist), niitä keräävään osn (nodiin), on putken sisälle muodostettu hyvin mtlpinen til. Tällöin elektronin todennäköisyys törmätä ksuhiukkseen on mhdollisimmn pieni. Normlit putkeen muodostetut lipineet ovt luokk 10-7 mmhg (normli ilmnpine on 760mmHg). Vikk tämä putkeen muodostettu lipine on hyvin pieni, jää sinne kuitenkin ksumolekyylejä j os elektronisuihkun elektroneist törmää niihin. Törmäyksen seuruksen voi tphtu jokin kolmest ilmiöstä: elstinen törmäys, ionisoiv törmäys j virittävä törmäys. Elstisess törmäyksessä elektroni kimpo ksumolekyylistä. Ksumolekyylin olless noin 2000 kert rskmpi ei se juurikn regoi törmäävään elektroniin. Elektroni ei myöskään menetä juurikn liike-energins mutt sen suunt kuitenkin muuttuu täysin. 6

7 Jos elektronin liike-energi on riittävän suuri osuessn ksumolekyyliin, se voi sd ksumolekyylin menettämään yhden elektronin, jolloin ksumolekyylistä tulee positiivinen ioni. Tuloksen on siis kolme vrutunutt hiukkst: kksi elektroni j positiivinen ioni. Elektronin j ksumolekyylin törmäyksen seuruksen voi ksumolekyylin uloimmll kehällä olev elektroni virittyä siten, että sen pltess lempn energitsoon ylimääräinen energi emittoituu sähkömgneettisen säteilynä, jok voi osu esimerkiksi näkyvän vlon llonpituuslueelle. Esimerkiksi neon-vlot hyödyntävät tämäntyyppistä elektronin j neonksun törmäystä. 7

8 3. Putkien eri ost Ktodi Ktodi on se os putke, jost elektronit emittoituvt riittävän kuumentmisen eli hehkutuksen seuruksen. Kun ktodi kuumennetn riittävään lämpötiln, sen pinnn läheisyyteen emittoituu elektronej j muodostuu ns. elektronipilvi. Tietyssä viheess tämän elektronipilven kokonisvrus on niin suuri, että ktodi ei enää pysty emittoimn enempää elektronej ellei lämpötil ksvtet. Jos ktodin läheisyyteen sijoitetn toinen elektrodi, nodi, jok on positiivisess jännitteessä suhteess ktodiin, muodostuu nodin j ktodin välille sähkökenttä jonk seuruksen nodi vetää elektronej puoleens elektronipilvestä j näin sdn ikn nodivirt. Hyvä ktodimterili on sellinen, joll on mhdollisimmn pieni irrotustyö, eli elektronien emissioon vdittv lämpöenergi on mhdollisimmn pieni, sekä sillä on pitkä käyttöikä. Mterilin sulmispisteen on myös oltv riittävän suuri, jott sitä voidn hehkutt oikess lämpötilss. Mterilej, jotk täyttävät nämä vtimukset on hyvin vähän j yleisimmät ovt volfrmi, torioitu volfrmi sekä hrvinisten mmetllien oksidit, joit nimitetään yksinkertisemmin ktodioksideiksi. Näiden kolmen eri mterilin ominisuuksi on koottun tulukoss 3.1. Irrotustyö Φ (V) Käyttölämpötil ( C) Emissiovirt (ma/cm 2 ) Volfrmi Torioitu volfrmi Ktodioksidi Tulukko 3.1 Eri ktodimterilien ominisuuksi Volfrmi on yksi hrvoist käyttökelpoisist puhtist metlleist (tntli on toinen). Useimmt puhtt metllit sulvt ennen kuin hyvälle lämpöemissiolle vdittu lämpötil svutetn. Volfrmi voidn käyttää sellisenn esimerkiksi hehkulnkn j se on hyvin kestävää. Vofrmin irrotustyö on kuitenkin melko suuri (Φ = 4.55V), mikä trkoitt, että sen käyttölämpötil on myös hyvin suuri (yli 2200 C). Vditun lämmitystehon tki volfrmi käytetään lähinnä vin hyvin suuritehoisiss putkiss. Toriumill tsen on pieni työfunktio j se olisikin hyvä ktodimterili ellei se höyrystyisi niin nopesti käyttölämpötilss. Torium j volfrmi muodostvt kuitenkin yhdisteen, jok höyrystyy hitsti käyttölämpötilss. Ktodej, jotk muodostuvt tästä yhdisteestä kutsutn torioiduiksi volfrmi ktodeiksi. Yhdisteen huono piirre on se, että se on hyvin hurst j kuluu käytössä. Torioidun volfrmin irrotustyö j käyttölämpötil ovt pienemmät kuin pelkän volfrmin j sitä käytetään keskisuuritehoisiss putkiss. Eniten käytettyjä ktodimterilej ovt hrvinisten mmetllien oksidit. Nämä ktodioksidit muodostuvt eri mmetllien oksidien sekoituksest. Seos voi muodostu esimerkiksi brium-, strontium- j klsiumoksideist. Yhdisteen irrotustyö j käyttölämpötil ovt torioitu volfrmikin pienemmät. Huonon ominisuuten on yhdisteen kemillinen ktiivisuus sekä sen hurus. Yhdiste voi myrkyttyä esimerkiksi muiden putkien osien hihduttmien ksujen knss. Yleensä yhdistettä käytetään siten, että sillä vuortn ohut klvo nikkelinuhlle j kuumennetn kuljettmll virt sen läpi ti sitten vuormll ohut klvo nikkeliputken pintn j kuumentmll putke putken sisältä erillisellä hehkulngll. Näitä kht tp kutsutn suorksi j epäsuorksi hehkutukseksi. 8

9 Kuv 3.1 Suorn hehkutettu ktodi eli filmentti (A) j piirikviosymboli (B) Kuv 3.1b Epäsuorsti hehkutettu ktodi (A) j sen piirikviosymboli (B) Ktodin suor hehkutus Suorss hehkutuksess itse hehkulnk eli filmentti, toimii ktodin j emittoi elektronej. Kuvss 3.1 on esitetty filmentin fysiklinen rkenne putken sisällä (A) sekä piirikviosymboli (B). Suorn hehkutuksen huonon puolen on se, että hehkulngn lämmittämiseen vdittu vihtovirt (ti jännite) iheutt kuultv hurin kytkennässä. Hurinn syyt ovt suuruusjärjestyksessä termisiä, sähköstttisi sekä sähkömgneettisi. Jott hehkulngn hehkuttmiseen vdittu virt ei olisi liin suuri, täytyy hehkulngll oll riittävän suuri resistnssi. Tämän tki hehkulngn täytyy oll hyvin ohut. Ohuen hehkulngn lämpötil kuitenkin pystyy regoimn nopesti sen läpi kulkevn virtn j tämän tki vihtovirt moduloituu elektronien emissiovirtn eli nodivirtn. Kosk elektronien emissiot moduloi lämmitysteho (RI 2 ), hurintjuus on kksinkertinen hehkuttvn vihtovirrn tjuuteen. Sähköstttinen hurinn kytkeytyminen johtuu smll tvll hehkulngn lämmittämiseen käytetystä vihtosähköstä kuin termisessäkin kytkeytymisessä. Putkiss, joiss on hil, nodivirt on suhteess hiln j ktodin väliseen jännitteeseen seurvsti: 3 2 I V gk Kosk hehkulngll on resistnssi, sen yli muodostuu jännite. Nyt, kosk hiln j ktodin välinen jännite vihtelee, nodivirtn muodostuu ts hurin. Hehkulnk muodost ympärilleen myös mgneettikentän, jok vikutt elektronien liikkeeseen kohdss 2.3 esitetyllä tvll. Tämä kenttä vikutt elektronien liikkeeseen siten, että os elektroneist ei osu nodiin. Nyt kun kentän suuruus vihtelee hehkulngn läpi kulkevn vihtovirrn thdiss, nodivirrss näkyy ts hurin. Prs rtkisu näihin hurinongelmiin on epäsuor hehkutus. Ktodin epäsuor hehkutus Epäsuorss hehkutuksess ktodi kuumennetn sen sisälle rkennetull erillisellä hehkulngll (engl. heter filment), jolloin hurinongelmt minimoituvt. Kuvss 3.1b on esitetty kuink epäsuorn hehkutus on toteutettu putkess (A), sekä piirikviosymboli (B). Ktodi muodostuu emittoivll mterilill vuortust metlliputkest j iden on se, että näin sdn ktodille riittävän suuri terminen mss, jolloin se ei pysty seurmn nopesti vihtelev hehkulngn lämpötil j hurinn terminen kytkeytyminen tällöin minimoituu. Hehkulnk on sijoitettu 9

10 ktodiputken sisälle. Kosk ktodi voidn pitää nyt smss jännitteessä, sähköstttinen kytkeytyminen minimoituu. Lisäksi jos ktodimterili (jonk pint on vuorttu ktodioksidill) on mgneettist niin kuin esimerkiksi nikkeli, sähkömgneettinen hurinn kytkeytyminen myös minimoituu. Kosk ktodi hehkutetn nyt erillisellä hehkulngll, täytyy hehkulnk eristää ktodist mhdollisimmn hyvin. Tämä volfrmihehkulnk on vuorttu lumiinioksidill, jok toimii sähköisenä eristeenä. Vlitettvsti lumiinioksidi eristää myös hyvin lämpöä, joten hehkulngn täytyy oll korkemmss lämpötilss (noin 550 C), jott ktodi svutt oiken käyttölämpötiln. Epäsuor hehkutus vtii siis enemmän lämmitysteho kuin suor hehkutus. Mikään eriste ei ole kuitenkn täydellinen, joten hehkulnk/ktodi-eristyskin vuot j hurinongelmi ei ivn täysin void välttää. Nyt epäsuorn hehkutuksen tpuksess hehkulnk voidn kuitenkin hehkutt tsvirrll, jolloin hurinongelmist päästään eroon. Jott putkell olisi mhdollisimmn pitkä käyttöikä, pieni kohin j stbiili nodivirtkäyttäytyminen, täytyy hehkulngn teholähteen oll mhdollisimmn stbiili, kosk pienikin muutos ktodin lämpötilss vikutt nodivirtn. Putkien hehkulngoille voidn syöttää teho kytkemällä hehkulngt rinnkkin j käyttämällä jännitelähdettä (yleensä 6.3V) ti sitten kytkemällä hehkulngt srjn j käyttämällä virtlähdettä (yleensä 300mA). Ohjushil j muut hilt Kuv 3.2. Erilisi hilrkenteit Sijoittmll ylimääräinen hil ktodin j nodin väliin, mhdollist sen, että nodivirtn voidn vikutt hiln jännitteellä. Mitä lähempänä tämä ohjushil (engl. control grid) on ktodi, sitä suurempi vikutus sillä on elektroneihin, kosk niiden nopeus ei ole vielä kovin suuri verrttun siihen, mitä niillä on lähempänä nodi. Putkess voi oll myös useit hiloj niin kuin tetrodill j pentodill, mutt siitä huolimtt ohjushil on silti in lähimpänä ktodi. Tetrodiss on ohjushiln j nodin väliin sijoitettu ns. suojhil, jonk trkoitus on minimoid hjkpsitnssej. Pentodiss suojhiln j nodin väliin on sijoitettu ns. jrruhil, jok estää sekundäärisen emission iheuttmien elektronien kulun suojhillle. Kosk hil on niin lähellä ktodi, sen lämpötilkin on hyvin suuri j hil emittoi vähän elektronej (engl. grid emission), mistä johtuu hyvin pieni negtiivinen hilvirt. Hilvirrn suuruuteen vikutt lämpötiln lisäksi myös mterili, jost hil on tehty. Mitä suurempi irrotustyö mterilill on, sitä vähemmän se emittoi elektronej. Hilmterili on yleensä volfrmi, mutt se voi oll myös muust mterilist kuten esimerkiksi kulln j pltinn sekoituksest, jolloin irrotustyö on suurempi. Hiljännitteen j hilvirrn suhdett kutsutn putken sisäänmenoimpednssiksi j on luokk useit megohmej. 10

11 Se, miten j millinen hillnk on kierretty ktodin ympärille suhteess nodiin, määrää putken trnskonduktnssin (g m ) j vhvistuskertoimen (µ). µ j g m määräytyy suurinpiirtein siten, että mitä enemmän hillngn kierroksi on, sitä suurempi µ j mitä lähempänä hil ts on ktodi, sitä suurempi g m. Hillngn kierroksien trkkuuteen j tiukkuuteen vikutt ts lngn pksuus j lnk tukevt pidikkeet. Hillnk tukevt pidikkeet voivt myös muodost kehyksen, jolloin hillnk voidn kääriä tiukemmin jolloin svutetn suurempi g m :n j µ:n rvoj. Esimerkiksi E88CC-kehyshilputkell trnskonduktnssi on helposti luokk 10mA/V kun ts perinteisemmällä ECC82-putkell se on luokk 2mA/V. Kosk hilrkennelm on niin ohuest lngst j se on niin lähellä ktodi, pienikin putken tärinä voi näkyä nodivirrss. Tästä ilmiöstä käytetään nimeä putken mikrofonisuus (engl. vlve microphony). Yleensä hil pidetään negtiivisess jännitteessä suhteess ktodiin, jolloin elektronit pyrkivät väistämään hillnkoj j kulkemn nodille. Hil voidn kuitenkin sett myös positiiviseksi suhteess ktodiin, jolloin se vetää elektronej puoleens. Tästä seur suurempi nodivirt, mutt os elektroneist osuu myös hiln iheutten positiivisen hilvirrn. Tämä ts iheutt putken sisäänmenoimpednssin lskun j kuormitt edeltävää kytkentää j phimmss tpuksess synnyttää ns. blokkussäröä. Anodi Ktodilt irtovt elektronit suuntvt korkemmn potentilin suuntn j yleensä nodi on se, jonne elektronit päätyvät. Tetrodeiss j pentodeiss suojhil toimii ikäänkuin nodin siinä mielessä, että se kiihdyttää elektronit itseään kohti. Kosk suojhil muodostuu kohtuu hrvkseltn olevst metllilngst ei sen trkoitus ole kuitenkn kerätä elektronej. Anodi kerää näissäkin tpuksiss elektronit (riippuu tietenkin tilnteest). Vikk elektronien mss on hyvin pieni, ne omvt kuitenkin hyvin suuren liike-energin iskeytyessään nodiin. Tämä liikeenergi muuttuu pääsiss lämmöksi nodill j nodin täytyy pystyä kestämään tämä lämpö. Tämän vuoksi nodin kyky kestää lämpöhukk (node dissiption) on hyvin tärkeä. Jos nodin lämpötil ksv liin suureksi, tästä seur ns. ksun purkutuminen (outgssing) j putken tyhjiö pilntuu. Liin kuum nodi voi kuument myös muit lähellä olevi putken osi j iheutt sekundääristä emissiot esimerkiksi ohjushilll. Liin suurell nopeudell nodiin törmäävät elektronit voivt iheutt myös nodill sekundääristä emissiot. Erityisesti tetrodit kärsivät tästä ilmiöstä. Eri mterileille on määritelty ns. SER eli Secondry Emission Rtio, jok kuv mterilin suhteellist sekundäärisen emission tso. Esimerkiksi nikkelille tämä on melko pieni ( SER 1.3) j onkin syynä siihen, että nikkeliä käytetään monesti nodimterilin [6]. Anodin lämpöhukk voidn mskimoid ksvttmll nodin lämpöä säteilevä pint-l. Esimerkiksi 300B putken nodi on täynnä pieniä reikiä, jotk ksvttvt tätä pint-l. Toinen tp ksvtt lämpöhukk on värjätä nodimterili, jok yleensä on nikkeliä, mustll grfiitill. Joidenkin putkien nodi itsesiss koostuu pelkästä grfiitist mutt grfiitti on itsessään hyvin hurst mterili j sitä ei sen vuoksi voi käyttää hyvin ohuin levyinä. 11

12 4. Diodi Diodi on kikist putkist yksinkertisin. Kuvss 4.1 on esitetty yksinkertisen putkidiodin rkenne. Se muodostuu yksinkertisimmilln khdest elektrodist, joist toinen on elektronej emittoiv j toinen elektronej keräävä os. Elektronej emittoiv os kutsutn epäsuorn hehkutuksen tpuksess ktodiksi j suorss hehkutuksess usesti filmentiksi mutt yleensä myös suorn hehkutuksen tpuksess käytetään termiä ktodi. Elektronej keräävää os ts kutsutn nodiksi j myös englnninkielistä termiä plte käytetään. Kummtkin elektrodit sijitsevt lsi- ti metlliputken sisällä, johon on yleensä pyritty muodostmn mhdollisimmn hyvä tyhjiö mutt myös sellisi putkidiodej on, joiden toimint perustuu putken sisällä olevn ksuun. Jälkimmäistä putkidiodityyppiä emme käsittele ollenkn tämän erikoistyön yhteydessä. Putkidiodeille nnetn yleensä myös niiden käyttökohdett vstv nimi. Esimerkiksi tssuuntuksen yhteydessä käytetään monesti nimeä puolilto- ti kokoltotssuuntusputki. Kuv 4.1. Suorn hehkutetun putkidiodin rkenne Smn lsiputken sisälle voidn myös litt kksi diodi, jolloin sdn duo-diodi. Kummllkin diodill voi oll om ktodi j epäsuor hehkutus ti sitten esimerkiksi yhteinen ktodi. Kuvss 4.2 on esimerkkinä duo-diodist, joss kummllkin diodill on yhteinen ktodi j epäsuor hehkutus. Kuv 4.2. Epäsuorn hehkutetun duo-diodiln piirikviosymboli 12

13 Toimint Diodin toimint perustuu pääsillisesti kolmeen tekijään: elektronien emissioon ktodist, elektronipilven muodostumiseen ktodin j nodin välille sekä ktodin j nodin välille muodostuviin sähkökenttiin, joist seur elektronien liike eli virt ktodin j nodin välille. Diodille on johdettu sen toimint kuvvi mtemttisi yhtälöitä mutt emme puutu niihin tämän erikoistyön yhteydessä, kosk pärjäämme ilmnkin niitä. Elektronien emissio sdn ikn kuumentmll ktodi riittävän kuumksi. Mitä kuumempi ktodi on, sitä enemmän elektronej emittoituu ktodilt pint-l kohden. Tämän virttiheyden suuruuden simme Richrdson-Dushmn-yhtälöstä (koht 2.1). Suurin os johdinelektronin kineettisestä energist, jonk se on snut ktodimterilin kuumentmisen seuruksen, kuluu mterilin irrotustyöhön kun se irto mterilist. Tämän vuoksi irronneill elektroneill ei juurikn ole liike-energi j ne eivät etene ktodimterilin pinnn läheisyydestä ilmn niihin vikuttv sähkö- ti mgneettikenttää vn muodostvt ns. elektronipilven (engl. spce chrge) ktodin läheisyyteen. Häviävän pienellä osll elektroneist on riittävästi liike-energi edetä nodille sti, mutt voidn sno, että ilmn nodin j ktodin välistä Kuv 4.3. Elektronipilven muodostuminen ktodin läheisyyteen sähkökenttää on nodivirt noll. Kuvss 4.3 on esitetty yksinkertisesti tilnne. Tässä tpuksess ktodi hehkutetn epäsuorsti j ktodin j nodin välillä ei ole jännitettä, jolloin ktodin j nodin välillä ei ole sähkökenttääkään. Mitä enemmän elektronej emittoituu ktodilt, eli mitä kuumempi ktodi on, sitä tiheämpi j suurempi elektronipilvi muodostuu ktodin lähelle. Jokinen ktodilt poistuv elektroni jättää jälkeensä positiivisen vruksen. Kosk elektronipilven vrus on negtiivinen suhteess ktodiin, muodostuu sähkökenttä elektronipilven j ktodin välille (Kuv 4.4). Normlist käytännöstä poiketen kentän suuntn käytetään nyt elektronin liikesuunt, kosk se on hvinnollisempi. Tietyssä viheess sähkökentän suuruus on niin suuri, että jokist ktodilt pilveen liittyvää elektroni kohti Kuv 4.4. Elektronipilven muodostm sähkökenttä pl yhtä mont elektroni tkisin pilvestä ktodille j pilven tiheys ei enää ksv. On svutettu tspino. Jos ktodin lämpötil ksvtetn, emittoituvien elektronien määrä sdn ksvmn, mutt smll tvll tspino svutetn lopult. Tätä tspino kutsutn nimellä emissiosturtio (engl. emission sturtion). Nyt jos ktodin j nodin välille muodostetn jännite siten, että nodi on korkemmss potentiliss suhteess ktodiin, eikö tämä elektronipilvi kokonisuudessn suuntisi positiiviselle nodille, kosk nodin j ktodin välille on muodostunut sähkökenttä? Näin ei kuitenkn käy, vn ktodin j nodin välille muodostuu kksi sähkökenttää. Yksi elektronipilvestä ktodille, j yksi elektronipilvestä nodille (kuv 4.5). Vikk käytännössä jännite onkin luotu nodin j ktodin välille, elektronipilvi näiden välissä vikutt tilnteeseen seurvsti: Kun tietty määrä elektronej poistuu elektronipilvestä nodille, elektronipilven nettovrus pienenee smll pienentäen sähkökenttää elektronipilven j ktodin välillä. Sähkökentän pienentymisen tki sm määrä elektronej pl elektronipilveen tkisin mitä siitä poistuikin 13

14 plutten tspinon. Esimerkiksi jos elektronipilvestä nodille poistuvien elektronien määrä on 1mA/s, sm määrä elektronej liittyy elektronipilveen tkisin ktodilt. Eli voidn jtell, että elektronien liike on ktodilt elektronipilveen, j elektronipilvestä nodille elektronipilven tiheyden pysyessä smn. Tätä elektronien liikettä kutsutn yksinkertisesti nodivirrksi (ti engl. plte current). Virrn suuruutt voidn ksvtt ksvttmll nodin j ktodin välistä jännitettä ti ksvttmll ktodin lämpötil. Kosk ktodi on elektronej emittoiv os, ei negtiivisell nodijännitteellä sd ikn nodivirt. Kuv 4.5. Sähkökenttien muodostuminen ktodin j nodin välille elektronipilven vikutuksest Ktodilämpötiln vikutus nodivirtn Aiemmin esitetyillä tiedoill voidn hyvin päätellä millinen kuvj stisiin nodivirrlle ktodilämpötiln funktion nodijännitteen pysyessä vkion. Anodivirt lkisi 0:st ktodin olless kylmä j ksvisi ktodin lämpötiln ksvess. Lopult ksvu svuttisi emissiosturtion, jolloin ktodilämpötiln nostmisell ei juurikn olisi vikutust nodivirtn. Kuvss 4.6 on esitetty tämä käytännössä. Tietyn pisteen jälkeen ktodilämpötiln ksvttmisell ei ole enää juurikn vikutust nodivirtn, kosk nodi ei pysty vetämään puoleens enempää elektronej. Anodijännittettä ksvttmll (ylempi käyrä) voidn svutt suurempi nodivirt. Kuv 4.6. Anodivirt-ktodilämpötil toimintkuvj 14

15 Anodijännitteen vikutus nodivirtn Jos ktodin lämpötil pidetään vkion j trkstelln nodijännitteen vikutust nodivirtn, sdn kuvss 4.7 esitetty kuvj. Tämä on yleisin tilnne kuink putkidiodi käytetään. Kuvst nähdään myös kytkentä, joll tällinen kuvj voidn sd ikn. Ylemmässä kytkennässä diodi on esitetty ilmn hehkutust j tämä onkin yleisin tp esittää epäsuorn hehkutetut putket piirikvioiss. Alemmss kytkennässä on esitystp suornhehkutetulle diodille. Kuvjst nähdään, että nodivirt ksv melko nopesti nodijännitteen ksvess svutten mksimin. Anodivirrn mksimi johtuu siitä, että ktodin emissiovirttiheys ei riitä enää vstmn nodijännitteen ksvu. Tällöin kikki ktodilt emittoituvt elektronit muodostvt nodivirrn. Jos nodivirt hlutn suuremmksi, täytyy ktodin lämpötil nost. Tämä tilnne näkyy ylemmässä käyrässä. Kuvjst nähdään myös se, että nodijännitteen rvoll 0V, pieni nodivirt kulkee putkess. Tämä johtuu siitä, että pienellä osll ktodilt emittoituvi elektronej on riittävä kineettinen energi kulkemn nodille sti. Kuv 4.7. Anodivirt-nodijännite toimintkuvj On osoitettu, että diodin virt noudtt yhtälöä: 3 I 2 = GU missä G on putken geometrist j ktodimterilist riippuv vkio ns. pervence. Edellä esitetyistä syistä nodivirt svutt mksimins tietyllä ktodilämpötilll, jolloin yhtälö ei enää päde. 15

16 Stttiset j dynmiset ominisuudet Stttisill ominisuuksill trkoitetn putken ominisuuksi tilnteess, joss nodijännite j nodivirt ovt muuttumttomi eli stttisi. Anodijännitteen j nodivirrn suhteest voidn määrittää dc-nodiresistnssi, jot voidn käyttää nlyysin pun. Stttisen tilnteen tpuksess diodi korvttisiin nlyysissä tällä resistnssill. Dynmisill ominisuuksill trkoitetn putken ominisuuksi tilnteess, joss nodijännite j virt eivät ole enää vkioit. Edellisessä kohdss määritimme dc-nodiresistnssin kolmess pisteessä. Nämä resistnssit kuvvt putken tsvirt vstustv kykyä. Tilnne on kuitenkin toinen jos käytössä on vihtovirt. Tämä on todellinen tilnne putke käytettäessä. Esimerkiksi tssuuntuksen yhteydessä diodi on osn piiriä, joss nodijännite vihtelee polriteetiltään j suuruudeltn. Vstvt resistnssit voidn lske myös kikille muille putkityypeille. DC-nodiresistnssi Kuvss 4.8 on os putken nodivirt-nodijännite kuvj. Kosk positiivist nodijännitettä vst tietty nodivirrn suuruus, voidn näiden khden suhteest lske nodiresistnssi eri pisteissä. Trkemmin otten dc-nodiresistnssi j c-nodiresistnssi. DC-resistnssi sdn ktsomll kuvjst nodijännite j sitä vstv nodivirt j näiden suhteest. Eli: U R = I Kuvjn on merkitty esimerkkinä kolme koht, joille on lskettu dc-resistnssi dcjännitteellä j sitä vstvll dc-virrll. Resistnssien rvoiksi on stu 800Ω, 500Ω j 422 Ω. Kosk diodin nodivirtnodijännitekuvj ei ole linerinen, resistnssien rvot poikkevt toisistn. Anodijännitteen pienentyessä putken dcresistnssi ksv j nodijännitteen ksvess dc-resistnssi pienenee. Duo-diodill voidn svutt puolt pienemmät resistnssit jos diodit kytketään rinnkkin eli siten, että kummnkin ktodit yhdistetään j nodit yhdistetään. Tällöin svutetn kksi kert suurempi nodivirt smll nodijännitteellä, jok vst puolet pienempää resistnssi. AC-nodiresistnssi Kuv 4.8. Anodivirt-nodijännitekuvj dc-resistnssien lskemiseksi AC-nodiresistnssi kuv putken vihtovirt vstustv kykyä j se voidn määrittää eri pisteissä lskemll pienen nodijänniteheilhduksen suhde pieneen vstvn nodivirtsuhteeseen: 16

17 r = du di U I Kuvss 4.9 olevn kuvjn on merkitty smt kolme koht j lskettu vstvien cnodiresistnssien suuruudet. Resistnssien suuruuksiksi sdn 527Ω, 320Ω j 278Ω. Niin kuin nähdään, nämä resistnssit ovt lähes puolt pienemmät kuin vstvt dc-tilnteen resistnssit. Näin on yleensä kikill putkityypeillä. Hvitn, että c-nodiresistnssi ksv nodijännitteen pienentyessä j pienenee nodijännitteen ksvess. Kuv 4.9. Anodivirt-nodijännitekuvj c-resistnssien lskemiseksi 17

18 5. Triodi Kun ktodin j nodin välille lisätään yksi elektrodi, ohjushil (control grid), sdn triodi. Triodi mullisti ikoinn milm mhdollistmll signlin vhvistmisen j näin mhdollisti rdiotekniikn synnyn. Kuvss 5.1 on esitetty triodin rkenne yksinkertisesti. Triodiss on smt pääelementit kuin diodisskin eli elektronej emittoiv os (ktodi) j elektronej keräävä os (nodi). Ktodi voi oll epäsuorn ti suorn hehkutettu. Yleensä ktodi on epäsuorn hehkutettu, jolloin sen sisällä on hehkulnk. Lisäksi ktodin j nodin välissä, lähempänä ktodi, on yksi ylimääräinen elektrodi, ohjushil. Ohjushil on rkennettu ktodin ympärille ohuest metllilngst kohdss 3.2 esitetyllä tvll. Anodi tsen sijitsee näiden kikkien ympärillä, joten yleensä triodi trksteltess ei ohjushil j ktodi välttämättä näe. Kuvss 5.2 on esitetty triodin yleisimmät piirikviosymbolit. Yleensä hehkulnk jätetään piirtämättä piirikvioon. Smn lsiputken sisälle voidn sijoitt myös usempi triodi. Yleisin näistä on duo-triodi, joss kummllkin triodill on om nodi j ktodi sekä Kuv 5.1. Triodin rkenne hehkulnk. Tällinen on esitetty kuvss 5.3. Hehkulngss on yleensä myös ns. väliulosotto (centre tp). Kuv 5.3. Duo-triodi Lyhenteet: = nodi k = ktodi g = ohjushil f = hehkulnk f c = hehkulngn väliulosotto Kuv 5.2. Triodin yleisimmät piirikviosymbolit 18

19 Toimint Triodin toimint perustuu smoihin peritteisiin kuin diodinkin, lukuunottmtt ylimääräistä ohjushil. Elektronipilvi muodostuu smll peritteell ktodin läheisyyteen j nodivirt sdn kulkemn putkess muodostmll positiivinen jännite nodin j ktodin välille. Ohjushil vikutt toimintn siten, että sillä voidn ohjt nodivirrn suuruutt ilmn, että nodijännitettä trvitsee muutt. Diodisshn nodivirt voitiin ohjt inostn nodijännitteellä (myös ktodin lämpötilll mutt yleensä ktodi pidetään smss lämpötilss). Kosk ohjushil sijitsee huomttvsti lähempänä ktodi kuin nodi, on sen vikutus myös mont kert suurempi kuin nodijännitteen. Tämän suhteen suuruus riippuu putkest j voi oll mitä thns väliltä (ei trkkoj rjoj). Eli pienellä ohjushiln jännitemuutoksell sdn ikn suuri muutos nodivirtn. Jos sm muutos hluttisiin tehdä nodijännitteellä pitäisi jännitemuutoksen oll huomttvsti suurempi. Ohjushiln vikutus Trkstelln ensin tilnnett, joss hil on smss jännitteessä ktodin knss. Kuvss 5.4 on esitetty tällinen tilnne. Kosk hil on smss potentiliss ktodin knss, ei se tässä tilnteess vikut juurikn putken toimintn j triodi toimii kuin diodi. Vikk häviävän pieni os elektroineist voikin osu hilrkenteeseen, on hilvirt häviävän pieni. Elektronit kulkevt siis ktodilt elektronipilveen j siitä nodille j nodilt tkisin ktodille. Hvinnollistmisen vuoksi nodivirrn suunt on sm kuin elektronienkin. Kuv 5.4. Ohjushiln j ktodin välinen jännite noll Kuvss 5.5 on esitetty tilnne, joss hillle on muodostettu pieni negtiivinen jännite. Elektronipilven j nodin välille muodostuu tällöin kolme sähkökenttää. Anodi muodost kentän, jok vetää elektronej elektronipilvestä puoleens. Hil ts muodost kentän, jok vstust elektronipilvestä nodille meneviä elektronej mutt toislt edesutt hiln j nodin välillä olevi elektronej etenemään nodille. Lopputulos on se, että negtiivinen jännite hilll pienentää nodivirrn suuruutt. Mitä negtiivisempi jännite hilll on, sitä pienempi nodivirt on. Kuv 5.5. Ohjushil negtiivisess jännitteessä suhteess ktodiin 19

20 Viimeinen tilnne, eli hiln j ktodin välillä on positiivinen jännite, on esitetty kuvss 5.6. Hil muodost nyt elektronej puoleens vetävän sähkökentän. Tämä sähkökenttä edesutt eletronien liikettä kohti nodi, j kosk nodikin vetää elektronej puoleens, suurin os elektroneist päätyy positiiviselle nodille. Os elektroneist kuitenkin osuu hillnkoihin iheutten hilvirrn, jok on huomttvsti suurempi kuin iemmiss tilnteiss. Positiivinen jännite hiln j ktodin välillä ksvtt siis nodivirt sekä iheutt hilvirrn. Kuv 5.6. Ohjushil positiivisess jännitteessä suhteess ktodiin Nämä kolme tilnnett ovt vin hvinnollistvi j yksinkertistettuj. toimint selventyy trksteltess toimintkuvji. Yksityiskohtisempi Stttiset ominisuudet Kuvss 5.7 on esitetty kytkentä, joll triodin stttisi ominisuuksi voidn trkstell. Jännitelähde A on hehkulnk vrten j on yleensä luokk 6.3V. Jännitelähteillä B j C voidn ohjt nodivirt. Kytkentään on merkitty myös sisäänmeno-, ktodi- j ulostulopiiri. Nyt näissä piireissä ei ole mitään, kosk trkstelemme triodin toimint eri hil j nodijännitteillä eli trkstelemme triodin stttisi ominisuuksi. Jännitelähde B vst siis nodijännitettä j jännitelähde C hiljännitettä. Sdn ns. toimintkuvjt. Toimintkuvjt Kuv 5.7. Triodin sisäänmeno-, ktodi j ulostulopiirit sekä dc-käyttöjännitteet. Kuvss 5.8 on esitetty trkemmin kuink nodivirt käyttäytyy triodiss. Vsemmn puoleisess kuvjss on ns. hiln toimintkuvj, joss nodivirt on esitetty hiljännitteen funktion neljällä eri nodijännitteellä. Oikenpuoleisess kuvjss tsen on ns. nodin toimintkuvj, joss 20

21 nodivirt on esitetty nodijännitteen funktion yhdeksällä eri hiljännitteen rvoll. Niin kuin nähdään, nodivirt käyttäytyy epälinerisesti tietyissä osiss kuvji j tietyissä osiss lähes linerisesti. Kuv 5.8. Hiln j nodin toimintkuvjt Vstvll tvll kuin diodille, on triodille johdettu sen virt kuvv yhtälö [6]: I k = I g + I = G U g U + µ m missä I k on ktodivirt (spce current) I g on hilvirt I on nodivirt G on putken geometrist j ktodimterilist riippuv vkio ns. pervence. U g on hiljännite (yleensä negtiivinen) U on nodijännite µ on ns. vhvistuskerroin m vihtelee välillä negtiivisill hiljännitteen rvoill Eksponentti m vihtelee huomttvsti mutt jos hiljännite ti nodijännite pidetään vkion se vihtelee niin vähän, että sen voidn sno olevn vkio [4]. Joissin nlyyseissä rvon pidetään m=1.5 kun hiljännite on noll. Jos hil pidetään negtiivisen, ei se kerää juurikn elektronej j voidn olett, että hilvirt I g on noll. Kuvn 5.8 toimintkuvjist voidn määrittää triodin toimint trkemmin kuvvi prmetrej. Diodille määritimme dc- j c-resistnssin. Triodille voidn määrittää myös dctilnnett vstvi ominisuuksi mutt kosk triodi käytetään kuitenkin tilnteiss, joiss hiljännitteen pienillä muutoksill ohjtn nodivirt, on järkevämpää määrittää tällisiin tilnteisiin liittyviä vkioit. Tärkeimmät näistä ovt trnskonduktnssi g m, nodiresistnssi r j vhvistuskerroin µ. 21

22 Trnskonduktnssi eli g m Edellisessä kohdss määritimme suhteen nodijännitteen muutokselle j sitä vstvlle nodivirrn muutokselle. Hiljännitteellä voidn ohjt myös nodivirt. On siis järkevää määrittää myös näiden suhde toisiins. Trnskonduktnssi (joskus käytetään myös nimeä yhteiskonduktnssi) on nodivirrn muutoksen suhde sitä vstvn hiljännitteen muutokseen nodijännitteen pysyessä vkion. Sen yksikkö on S (siemens) ti mho (ohm tkperin). g m I = U g I U g U = vkio Kuvss 5.11 on vlittu kksi toimintpistettä. Määritetään kummsskin pisteessä trnskonduktnssi: Piste A: 0.7mA 0.4mA g m = 1. 1mS 2.2V 1.92V Piste B: 2.6mA 2.14mA g m = 2. 3mS 1.0V 0.8V Trnskonduktnssikin vihtelee hyvin pljon riippuen toimintpisteestä. Kosk käyrien kulmkertoimet ksvvt nodivirrn ksvess, trnskonduktnssi ksv nodivirrn ksvess. Kuv 5.9. Trnskonduktnssin määritys hiln toimintkuvjst AC-nodiresistnssi eli r Kosk tiettyä nodijännitteen muutost vst tietty nodivirrn muutos, voidn määrittää cnodiresistnssi. Anodiresistnssi määritellään seurvsti: U r = I U I U = vkio g 22

23 Kuvss 5.10 on esimerkkinä vlittu neljä eri toimintpistettä. Tietyssä osss kuvj suort ovt hyvin yhdensuuntiset jolloin nodiresistnssitkin ovt lähes smoj. Esimerkiksi jos vert pisteiden A j B luett pisteen D lueeseen, on ero selvä. Määritetään esimerkkinä toimintpisteille A j D nodiresistnssit. Pisteessä A: 186V 160V r = 43kΩ 3.0mA 2.4mA Pisteessä D: 253V 225V r = 127kΩ 0.53mA 0.31mA Kosk nodiresistnssi on määritelty nodin toimintkuvjss olevien käyrien kulmkertoimien käänteisfunktion j käyrien kulmkertoimet ksvvt nodivirrn (ti jännitteen) ksvess, nodiresistnssi pienenee nodivirrn ti jännitteen ksvess. Kuv Anodiresistnssin määritys nodin toimintkuvjst Vhvistuskerroin µ Vhvistus kertoo meille hiln j nodin suhteellisen vikutuksen nodivirtn eli kuink pljon suurempi vikutus hilll verrttun nodiin on nodivirtn. Vhvistus määritellään seurvsti: I µ = I / U / U g U = U g U U g I = vkio 23

24 Voimme määrittää vhvistuksen joko hiln ti nodin toimintkuvjst. Otetn esimerkiksi hiln toimintkuvj (kuv 5.9). Vlitn ensin jokin toimintpiste kuvjst esim. U g = -1.2V j U = 200V (piste A). Tässä pisteessä I = 1.7mA. Seurvksi teemme muutoksen nodijännitteeseen pitäen hiljännitteen vkion j ktsomme pljonko nodivirt muuttuu. Anodijännitteellä U = 250V on nodivirt I = 2.77mA eli nodijännitteen muutoksell U = 50V on I = 1.07mA (piste B). Nyt plmme tästä pisteestä tkisin nodijännitteeseen 200V pitäen nodivirrn 2.77mA:ss, jolloin voimme määrittää vstvn hiljännitteen muutoksen. Smme hiljännitteeksi U g = -0.7V j muutokseksi U g = 0.5V (piste C). Tämä trkoitt siis sitä, että hiljännitteen muutoksell 0.5V j nodijännitteen muutoksell 50V sdn ikn yhtä suuri muutos nodivirtn. Vhvistus toimintpisteessä A on siis µ = 50V/0.5V = 100. Vhvistus voidn määrittää siis suorn toimintkuvjist pitämällä nodivirt vkion j ktsomll nodijännitteen muutost vstv hiljännitteen muutos (siis pisteet B j C). Kuvjst voidn hvit, että vhvistus on lähes vkio riippumtt nodivirrn suuruudest. Vhvistus kuitenkin pienenee nodivirrn lähestyessä noll. Kuv Vhvistuksen määrittäminen hiln toimintkuvjst Vhvistuksen, nodiresistnssin j trnskonduktnssin yhteys Jos trkstelln nodiresistnssin ( r = U / I ) j trnskonduktnssin ( g m = I / U g ) mtemttisi esitysmuotoj, hvitn, että kummsskin esiintyy I. Jos nodiresistnssi kerrotn trnskonduktnssill sdn U / U, jok on yhtä kuin triodin vhvistus µ. Eli: µ = r g m g Yleensä putken dtlehdellä on nnettu vhvistus j nodiresistnssi. Jos hlutn tietää putken trnskonduktnssi, sdn se vhvistuksen j nodiresistnssin suhteest: g m µ = r 24

25 Kuvss 5.12 on esitetty triodin 6J5 prmetrit nodivirrn funktion. Niin kuin nähdään, vhvistus on näistä kolmest suureest eniten vkio. Vikk nodiresistnssi pienenee nodivirrn ksvess, trnskonduktnssi kuitenkin ksv smss suhteess pitäen vhvistuksen lähes vkion. Kuv 5.12 Triodin 6J5 prmetrit nodivirrn funktion (U = 250V) Dynmiset ominisuudet Triodin stttiset ominisuudet hvinnollistvt putken toimint tilnteiss joiss nodi on kytketty suorn jännitelähteeseen. Käytännössä nodill, eli triodin ulostulopiirissä, on kuitenkin kuorm, joll nodivirt voidn muutt jännitteeksi. Tällöin nodijännite ei pysy vkion vn muuttuu nodivirrn muuttuess. Tällinen kytkentä on esitetty kuvss Nyt nodivirt i b muutetn kuormvstuksen R L vull ulostulojännitteeksi e RL. Triodi toimii nyt siis jännitevhvistimen. Mitä suurempi virt kuormvstuksen läpi kulkee, sitä pienempi jännite nodill on. Hiln j ktodin välinen jännitelähde E CC ohj nodivirt. Riittävän negtiivisell jännitteellä triodi sdn cut-offiin jolloin nodivirt on noll j nodill näkyy täysi 350V. Kuormn vikutus on hvinnollist esittää ns. kuormitussuorn putken Kuv Triodi j kuorm nodill toimintkuvjiin. Tällinen kuvj on esitetty kuvss

26 Kuv Anodin j hiln toimintkuvjt j kuormitussuor (R L = 25kΩ) Kuormn vikutus voidn hvit kummst thns toimintkuvjst. Jos trkstelln hiljännitteen vikutust nodivirtn esimerkiksi pisteen P ympäristössä (esim pisteet O j Q), hvitn, että muutokset nodivirrss ovt yhtä suuret kumpnkin suuntn. Jos ts trkstelln pistettä U, ei tilnne ole enää tällinen. Sm epälinerisuus on nähtävissä hiln toimintkuvjn piirretyssä kuormitussuorss, jok on stu projisoimll kuormitussuor nodin toimintkuvjst. Tästä johtuu triodin iheuttm särö. Kuormn vikutus Kuv Hiln dynminen toimintkuvj neljällä eri kuormll 26

27 Kuormn ksvttminen näkyy kuormitussuorn kulmkertoimen pienentymisenä j smll myös epälinerisuuden pienentymisenä. Kuvss 5.15 on esitetty hiln dynminen toimint neljällä eri kuormll. Niin kuin nähdään, käyrät ovt sitä suorempi, mitä suurempi on kuorm. Epälinerisuuden pienentyminen johtuu siitä, että kuormn ksvess putken nodiresistnssin (ti trnskonduktnssin) vikutus pienenee. Toimintpisteen vikutus Kun triodi hlutn käyttää jännitevhvistimen, tuodn hillle bisjännitteen lisäksi vhvistettv signli. Tämä sisäänmenosignli summutuu tällöin vlittuun toimintpisteeseen. Kuvss 5.16 on esitetty sm kytkentä kuin kuvss 5.13 pitsi, että nyt hiln dc-jännitteeksi, eli bisjännitteeksi on vlittu -6V, johon sisäänmenosignli summutuu iheutten ulostulojännitteen kuormvstuksen yli. Bisointi on nyt toteutettu dc-jännitelähteellä mutt yleensä se toteutetn muill keinoill. Kuv Yksinkertinen triodivhvistin Riippuen vlitust toimintpisteestä j sisäänmenosignlin suuruudest, ulostulosignli voi oll enemmän ti vähemmän säröytynyt. Jos särön määrä hlutn minimoid, täytyy toimintpiste vlit mhdollisimmn lineriselt lueelt. Kuvss 5.17 on esimerkkinä vlittu kksi eri hiljännitettä: E CC = -6V j E CC = -12V sisäänmenosignlin suuruuden olless 12V p-p. Bisjännitteen olless -6V, ei ulostulosignli ole hvittvsti säröytynyt, kosk sisäänmenosignli pysyy hiln dynmisen toimintkuvjn linerisell lueell. Jos bisjännitettä ksvtetn, ei sisäänmenosignli pysy enää hiln dynmisen toimintkuvjn linerisell lueell j ulostulo säröytyy. Riittävän suurell hiljännitteellä sdn ulostulojännite jop leikkutumn, kun triodi menee cut-offiin sisäänmenosignlin negtiivisell puolijksoll. Liin pieni bisjännite ts voi iheutt sen, että sisäänmenosignlin positiivisell puolijksoll hiljännite käy 0V yläpuolell j iheutt hilvirrn ksvun. Tällöin ulostulosignli on myös säröytynyt. 27

28 ) V CC = -6V b) V CC = -12V Kuv Toimintpisteen vikutus säröytymiseen Kun triodeill toteutettuj kytkentöjä hlutn nlysoid trkemmin j tietää esimerkiksi jännitevhvistuksen suuruus on kätevää käyttää nlysoinnin pun ns. piensignlimllej. Piensignlimllit Määritimme iemmin triodille sen c-toimint kuvvi prmetrej kuten nodiresistnssi, trnskonduktnssi j vhvistus. Nämä suureet olivt riippuvisi vlitust toimintpisteestä lukuunottmtt vhvistust, jok on lähes vkio. Kun olemme määrittäneet toimintpisteen j tiedämme nämä vkiot, voimme tehdä kytkennästä ns. c-ekvivlenttikytkennän eli piensignlimllin. Ekvivlenttikytkennästä voimme tehdä joko Theveninin ti Nortonin. Kuvss 5.18 on esitetty nämä mllit keskitjuuslueelle. On hiomioitv, että nämä mllit eivät ot huomioon mitenkään signlin säröytymistä vn pätevät inostn piensignleille. Korkeill tjuuksill putken sisäiset hjkpsitnssit lkvt vikuttmn j ne voitisiin sisällyttää piensignlimlliin. Mtlill tjuuksill tsen pitäisi ott huomioon kytkentä- j ohituskondensttoreiden vikutukset. Kuv c-ekvivlenttikytkennät 28

29 Yhteisnodikytkennän nlysointi piensignlimllill Kuvss 5.18 on esitettynä yksinkertinen yhteisnodikytkentä. Nyt bisointi on toteutettu ns. selfbis menetelmällä. Kuv Yhteisnodikytkentä Oletetn, että kytkentä on bisoitu sopivn toimintpisteeseen. Nyt voimme piensignlimlli pun käyttäen nlysoid kytkennälle jännitevhvistuksen, sisäänmenoimpednssin j ulostuloimpednssin. Piensignlinlyysissä kondensttorit korvtn oikosuluill (riippuu tietysti kondensttoreiden trkoituksest) j jännitelähteet kytketään mhn. Triodi korvtn sen piensignlimllill. Käytetään tässä tpuksess theveninin c-ekvivlenttikytkentää. Kuvss 5.19 on esitetty piensignlimlli. Ulostuloksi sdn jännitteenjoll: R A v out = ( µ vgk r + RA Kosk v gk = v in, sdn jännitevhvistukseksi: A v out v = = µ vin r RA + R ) A Kuv Yhteisnodikytkennän piensignlimlli 29

30 Tästä yhtälöstä voidn nähdä kuormn vikutus. Kosk nodiresistnssi r on riippuvinen nodijännitteestä, voidn sen vikutus minimoid ksvttmll R A vstust. Kosk hillle ei kulje virt on sisäänmenoimpednssi: Z in = R G Ulostuloimpednssi sdn ktsomll sisään ulostuloon sisäänmenon olless noll. Ulostuloimpednssiksi sdn: Z out = r R A Hjkpsitnssit j Miller-efekti Triodin toimint korkeill tjuuksill rjoitt sen sisäiset hjkpsitnssit elektrodien välillä (interelectrode cpcitnces). Nämä hjkpsitnssit muodostuvt nodin j hiln välille, nodin j ktodin välille sekä hiln j ktodin välille. Esimerkiksi JJ- Electronicsin ECC83 double-triodille dtlehti ilmoitt rvoiksi: C g = 1.7pF, C gk = 1.6pF j C k = 0.33pF. Kun triodi käytetään jännitevhvistimen on lisäksi otettv huomioon Miller-efekti. Miller-efektin seuruksen hiln j nodin välinen kpsitnssi C g kertutuu jännitevhvistuksell j tämä kpsitnssi näkyy efektiivisesti nodin j signlimn välillä. Trkemmin otten efektiivinen kpsitnssi hiln j signlimn välillä Miller-efekti huomioon otten on: Kuv Triodin hjkpsitnssit C tot = C gk + C g (1 + A v ) Tätä ominisuutt voidn käyttää hyödyksi esimerkiksi RF-häiriöiden minimoimisess lisäämällä hillle vstus, jok muodost hjkpsitnssien knss lipäästösuotimen. 30

31 6. Tetrodi Triodin toimint korkeill tjuuksill rjoitt sen hjkpsitnssit j erityisesti kpsitnssi nodin j ohjushiln välillä. Rtkisun tähän ongelmn keksittiin ohjushiln j nodin välille litt yksi hil lisää, ns. suojhil, joll nodi sdn elektrostttisesti suojttu ohjushilst j näin ollen nodin j ohjushiln välinen kpsitnssi huomttvsti pienemmäksi. Tämän lisäksi vhvistus j nodiresistnssi ovt huomttvsti suurempi, kosk nodin kyky vikutt Kuv 6.1. Tetrodin piirikviosymboli nodivirtn on entistä pienempi. Esimerkiksi tetrodin 24-A nodin j hiln välinen kpsitnssi on luokk 0.007pF, vhvistus luokk 600 j nodiresistnssi luokk 600kΩ. Näiden suuruudet riippuvt tietysti vlitust toimintpisteestä. Tetrodin toimint rjoitt sekundäärisen emission tuomt ilmiöt, jotk rjoittvt käyttökelpoist toimint-luett huomttvsti. Suojhiln vikutus Suojhiln trkoituksen on pääsiss elektrostttisesti suojt ohjushil nodilt j kiihdyttää elektronej ktodin elektronipilvestä kohti nodi. Kosk suojhil muodostuu ohjushiln tvoin hrvkseltn vieri vieressä olevst metllilngst, suurin os elektroneist kulkee hillnkojen välistä j päätyy nodille. Os ts osuu suorn suojhiln j iheutten suojhilvirrn. Ktodin elektronipilven muodostm virt jkntuu siis kikkien hilojen kesken niin kuin triodisskin. Normlisti ohjushil pidetään kuitenkin negtiivisess jännitteessä, jolloin sen virt voidn pitää nolln j ktodivirt on jkntunut nodin j suojhiln kesken. Jos nodijännite on riittävän pieni j siihen osuvill elektroneill on riittävän suuri liikeenergi, ne voivt iskeytyessään nodiin iheutt sekundäärisen emission, jolloin nodilt irto yksi ti usempi elektroni yhtä siihen iskeytyvää elektroni kohti. Nämä irronneet elektronit suuntvt suojhillle j ksvttvt suojhilvirt. Seurvss kuvss on esitetty tetrodin 24-A nodin toimintkuvj, joss nämä ilmiöt ovt hvittviss. Kuv 6.2. Tetrodin 24-A toimintkuvj 31

32 Jos trkstelln nodivirrn käyttäytymistä nodijännitteen ksvess nollst muutmn stn volttiin, suojhiln olless 90V, hvitn seurv: (1) Anodijännitteen rvoll 0V nodivirt ei ole noll. Tämä johtuu siitä, että suojhiln kiihdyttämistä elektroneist pienellä osll on riittävä nopeus päätyä nodille, vikk suojhil on korkemmss potentiliss kuin nodi. Suurin os elektroneist päätyy tässä tpuksess suojhillle j näkyy kuvjss noin 4.5mA suojhilvirtn. Kun nodijännitettä ksvtetn noin 10V:n sti, nodivirt ksv smss suhteess suojhilvirrn pienentyessä. Yhä usemmll elektronill on riittävä kineettinen energi päätyä nodille. (2) Anodijännitteillä 10V-70V nodivirt lskee. Tämä johtuu siitä, että nodiin iskeytyvillä elektroneill on niin suuri kineettinen energi, että osuessn nodiin ne iheuttvt siinä sekundäärisen emission, jolloin yksi ti usempi elektroni irto nodist j suunt korkemmss potentiliss olevlle suojhillle iheutten ksvvn suojhilvirrn. Tietyillä tetrodeill nodi on sellisest mterilist, jok on hyvin herkkä sekundääriselle emissiolle j yhden elektronin iskeytyessä siihen se voi irroitt niin mont elektroni, että nodivirt voi kääntää suuntns negtiiviseksi. (3) Kun nodijännite lähestyy suojhiln jännitettä j ylittää sen, yhä vähemmän nodilt irronneit elektronej jks kulke suojhillle sti. Yhä usempi irronnut elektroni pysähtyy j kääntää suuntns tkisin nodille. Tämä näkyy nodivirrn nopen ksvun. (4) Kun nodijännite on selkeästi ylittänyt suojhiln jännitteen, kikki sekundäärisen emission iheuttmt elektronit plvt tkisin nodille. Anodill on tällöin vin hyvin vähän vikutust nodivirtn. Sillä on kuitenkin jonkun verrn vikutust, kosk hilrkenteet ovt epätäydellisiä elektrostttisi suoji. Tämä näkyy nodivirrn lievänä ksvun nodijännitteen ksvess. Tetrodi käytetään siten, että suojhil kytketään vkiojännitteeseen, jok on selvästi mtlempi kuin nodijännite. Anodijännitteen tulisi pysyä suojhiljännitteen yläpuolelle, jott suojhiln virt ei ksvisi liin suureksi. Kosk nodill ei ole juurikn vikutust nodivirtn, suojhiln merkitys on tetrodiss vstv kuin nodin merkitys triodiss. Jott tetrodi toimisi hlutull tvll, tulisi suojhiljännitteen oll mhdollisimmn vk. Tämä tuo mhdollisesti lisävtimuksi teholähteelle, jos nodi- j suojhiljännite on muodostettu smst jännitelähteestä. Kuvss 6.2 on esitetty yksinkertinen kytkentä, joss näkyy kuink suojhil on bisoitu. Kosk suojhil on positiivisess jännitteessä, se vetää elektronej ktodin läheisyydessä olevst elektronipilvestä puoleens. Os näistä elektroneist osuu suojhiln iheutten virrn I g2, joll muodostetn jännitehäviö vstuksen R g2 yli j näin ollen nodijännitettä pienempi jännite. Suurin os elektroneist kuitenkin päätyy nodille, kosk suojhil muodostuu kohtuu hrvkseltn olevist metllilngoist (niin kuin ohjushilkin). Jos suojhilll olev jännite hlutn pitää vkion sisäänmenosignlin läsnäolless, täytyy suojhilll näkyvä signlivirt ohitt mihin. Tämä on toteutettu kondensttorill C g2. olemss. Kuv 6.2. Tetrodin bisointi Myös muit tpoj toteutt bisointi tetrodille on 32

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen 76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä 766319A Sähkömgnetismi, 7 op Vnhoj tenttitehtäviä 1. Puoliympyrän muotoon tivutettu suv on vrttu tsisesti siten, että vrus pituusyksikköä kohti on λ. Puoliympyrän säde on. Lske sähkökenttä puoliympyrän

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen.

Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen. Tässä on vnhoj Sähkömgnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentttorin on ollut näissä tenteissä sm henkilö kuin tänä vuonn eli Hnn Pulkkinen. 766319A Sähkömgnetismi, kesäkurssi 2012 Päätekoe 11.6.2012 1. Esitä

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

NASTOLAN YRITYSPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 500, 501, 504-511 KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET

NASTOLAN YRITYSPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 500, 501, 504-511 KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRISPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET YLEISTÄ

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 5, mallivastaukset Syksy 2016

Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 5, mallivastaukset Syksy 2016 Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 5, mllivstukset Syksy 2016 Tehtävä 2 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä Vlmistudu esittelemään

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli 1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8 Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

VESIPATTERIN ASENNUS TBLA Thermo Guard-jäätymissuojalla GOLD koko 11-32, versio B

VESIPATTERIN ASENNUS TBLA Thermo Guard-jäätymissuojalla GOLD koko 11-32, versio B VESIPATTERIN ASENNUS TBLA -jäätymissuojll GOLD koko 11-32, versio B ASENNUS 1. Knvliitäntä on tehtävä seurvsti: ) TBLA 000-031 j 000-040 Vesiptteri voidn sent suorn kierresumttuun knvn. Ptteri on vrustettu

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

SATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /7 Laskuharjoitus 9: Teheveninin ja Nortonin menetelmät

SATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /7 Laskuharjoitus 9: Teheveninin ja Nortonin menetelmät SATE1140 Piirinlyysi, os 1 kevät 2018 1 /7 Tehtävä 1. Lske ortonin menetelmän vull ll olevss kuvss esitetyssä piirissä jännite U 3. 20 A, E 345 V, E 660 V, Z 130, Z 30, Z 545. 3 Z 1 Z 2 E 2 Z 3 U 3 Kuv

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella Mrkku Kuppinen Neliknvinen vhvistin ktiivisell jkosuotimell Vhvistimen yleisselostus Suunnittelun lähtökohtn on ollut toteutt edullinen mutt kuitenkin lduks ktiivisell jkosuotimell vrustettu stereovhvistin

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot