3. Intensiteettimuunnokset ja spatiaalinen suodatus 3.1. Tausta
|
|
- Olavi Jääskeläinen
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tausta Spatiaalinen alue viittaa itse kuvaan, ja kuvanprosessointi kohdistuu tällöin suoraan pikseleihin. Tämä on eri asia kuin muunnosavaruuden yhteydessä edellä. Tässä luvussa tarkastellaan intensiteettimuunnoksia ja spatiaalista suodatusta, jotka operoivat suoraan kuvan yksittäisillä pikseleillä. Spatiaalisen alueen prosessit voidaan kiteyttää muotoon g( x, y) T[ f ( x, y)], jossa f(x,y) on jälleen syötekuva, g(x,y) on tuloskuva ja T on f:n operaattori pisteen (x,y) naapuruston yli. Piste (x,y) oli tässä kuvasta mielivaltaisesti valittu. Operaattori suoritetaan pikseleittäin kuvalle. Kuva 3.1. esittää tavanomaisen käytön, jossa naapurusto on huomattavasti pienempi, pisteeseen (x,y) keskitetty suorakulmio (neliö). 128
2 Kuva 3.1. Pisteen (x,y) 3 3-naapurusto kuvassa. Naapurustoa siirretään pikseli pikseliltä tuloskuvan laskemiseksi. 129
3 Kuvan 3.1. prosessissa naapurustoa siirretään origosta lähtien oikealle pikseleittäin ja riveittäin alaspäin. Lasketaan esim. keskiarvoa. Käytettäessä 8-naapurustoa lasketaan naapuruston yhdeksän arvon keskiarvo. Keskiarvo on pikselin uusi arvo. Kuvan reunalla pitää joko jättää laskematta mukaan reunan yli menevät tai korvata nämä paikat jollakin oletus- tai estimaattiarvolla, kuten 0 (yleensä huono valinta) tai lähimmän pikselin arvo. Naapurustosta käytetään useita muitakin nimiä: ikkuna, maski, kerneli tai pohja (template). Tällaista proseduuria kutsutaan yleisesti spatiaaliseksi suodatukseksi. Pienin mahdollinen naapurusto on kokoa 1 1, jolloin kyseessä on seuraava intensiteetti- (myös harmaasävy- tai kuvaus-) muunnosfunktio. 130
4 s T (r) Tässä s ja r ovat muuttujia, jotka viittaavat g:n ja f:n intensiteettiin missä tahansa kuvan pisteessä. Jos esim. T(r):llä on kuvan 3.2.(a) muoto, muunnoksen soveltaminen f:n jokaiselle pikselille tuottaa tuloskuvalle g suuremman kontrastin kuin alkuperäinen tummentamalla intensiteettitasoja k:n alapuolella ja kirkastamalla tämän yläpuolella. Selvyyden vuoksi yhden arvon r 0 käsittely on erikseen kuvattu. Menetelmää kutsutaan kontrastin venyttämiseksi. Kuvassa 3.2.(b) on ääritapaus, binäärikuvasta. Tämän muodon kuvausta kutsutaan kynnystämisfunktioksi. 131
5 Kuva 3.2. Intensiteettimuunnosfunktioita. (a) Kontrastinvenyttäminen ja (b) kynnystäminen. 132
6 Tässä luvussa tarkasteltavat kuvankorostamisen menetelmät riippuvat datasta ja sovelluksesta. Näin ollen niiden pohjana ei ole yleistä teoriaa. Prosessoitaessa kuvaa visuaalista tulkintaa varten katsoja eli käyttäjä on arvioijana määrittämässä tuloksen kelpoisuutta. Konenäön tilanteessa on sitä vastoin helpompaa kvantifioida tekniikoiden tuloksia. Esim. automaattisten merkintunnistusjärjestelmien vertailussa on paras se, joka tuottaa parhaimman tunnistustuloksen. 133
7 3.2. Intensiteettimuunnosfunktioiden perusmenetelmiä Edellä mainittiin tässä käytettävän yksinkertaisia muunnoksia s=t(r), jotka kuvaavat syötteen eli pikseliarvon r pikseliarvoksi s. Digitaalisia (diskreettejä) arvoja käytettäessä muunnosfunktion T arvot talletetaan tavallisesti valmiiksi laskettuina hakutauluun. Esim. 8- bittisisessä tapauksessa hakutaulussa on 256 alkiota. Kuva 3.3. kuvaa kolme funktioiden perustyyppiä: lineaarinen (negatiivi ja identiteetti), logaritminen (log ja käänteisfunktio) ja potenssi (n:s potenssi ja juuri). Identiteettifunktio on vain täydellisyyden vuoksi mukana. Kuvan negatiivi saadaan intensiteettitasojen [0,L-1] ollessa kyseessä seuraavasti. s=l-1-r 134
8 Kuva 3.3. Intensiteettimuunnosten perustyypit, kun käyrät on skaalattu sopivasti. 135
9 Logaritmisen muunnoksen yleinen muoto on s=c log(1+r), jossa c on vakio ja luonnollisesti oletetaan, että r0. Muunnos kuvaa syötteen matalan intensiteetin kapean alueen arvot laajemmaksi tuloksessa ja päinvastoin suurilla syöteintensiteeteillä. Logaritmifunktiolla on tärkeä ominaisuus, että se tiivistää dynaamista aluetta, kun kuvassa esiintyy pikseliarvojen suuria vaihtelevuuksia. Vaikka tämä ei sinänsä ole ongelma laskennalle, näyttölaitteet eivät välttämättä pysty tuottamaan hyvin suuria intensiteettiarvojen vaihteluvälejä. 136
10 Potenssisääntö eli gamma-muunnokset noudattavat muotoa s cr, jossa c ja ovat positiivisia vakioita. Kuva 3.4. kuvaa käyriä eri :n arvoilla. Pienillä :n arvoilla muunnos kuvaa tummien syötearvojen kapean osan tätä laajemmaksi tulosarvojen väliksi, kun taas vastakohta toimii suurille syötearvoille. Tilannetta voidaan säätää yksinkertaisesti parametrin arvolla. Tekniikkaa käytetään monessa laitteessa. Esim. kuvaputkella (katodisädeputki, CRT) käytettiin tätä nimellä gamma-korjaus intensiteetti-jännite-vasteessa ( noin ). Arvolla 2.5. kuvaputkinäyttö olisi tarkoitettua tummempi. Kuva 3.5. esittää esimerkin. Tällöin esiprosessoidaan kuva muunnoksella s=r 1/2.5 =r 0.4 ennen, kuin se esitetään näytöllä. Tämä korjaa näyttämään kuvan halutunlaisena (kuva 3.5.(d)). Gamma-muunnoksia käytetään myös kontrastin säätöön. Esimerkkinä kuva 3.6., jossa haalea, pesty alkuperäinen kuva (a) on korjattu. 137
11 Kuva 3.4. Gamma-muunnos eri :n arvoilla (c=1 kaikissa ja käyrät skaalattu annettuun lukuväliin). 138
12 a b c d Kuva 3.5. (a) Intensiteettiramppi kuvassa, (b) kuva nähty simuloidulla näytöllä, (c) kun =2.5, gamma-korjattu kuva ja (d) korjattu kuva nähtynä samalla näytöllä. Vertaa osia (a) ja (d). 139
13 a b c d Kuva 3.6. (a) Ilmakuva, (b)-(d) gamma-muunnetut arvoilla =3, 4 ja 5 (c=1). (NASA) 140
14 Paloittain lineaariset muunnosfunktiot ovat edeltäviä menetelmiä täydentäviä. Paloittain lineaaristen etu on, että ne ovat muodostettavissa mielivaltaisesti valitun monimutkaisiksi. Heikkoutena on vastaavasti, että niiden määrittely vaatii enemmän käyttäjän panosta. Huono valaistus tai muut syyt saattavat aiheuttaa matalan kontrastin kuvia. Kontrastinvenytys on menettely, jolla laajennetaan intensiteettitasojen aluetta kuvassa. Tätä esittää kuva 3.7.(a). Pisteiden (r 1,s 1 ) ja (r 2,s 2 ) paikat säätävät muunnoksen muotoa. Jos r 1 =s 1 ja r 2 =s 2, muunnos on lineaarinen, joka ei muuta mitenkään intensiteettejä. Jos r 1 =r 2, s 1 =0 ja s 2 =L-1, muunnoksesta tulee kynnysfunktio, joka saa aikaan binäärikuvan. Kuva 3.7.(b) käsittää 8-bittisen matalan kontrastin kuvan, ja kuva 3.7.(c) on tilanne kontrastinvenytyksen jälkeen. 141
15 a b c d Kuva 3.7. (a) Muunnoksen muoto, (b) matalan kontrastin kuva, (c) kontrastinvenyttämisen jälkeen ja (d) kynnystämisen tulos. 142
16 Kuvan määrättyjen intensiteettien korostaminen on joskus tarpeen. Prosessia kutsutaan intensiteettitason viipaloinniksi. Tämä voidaan toteuttaa monin tavoin, mutta kaksi päätapaa ovat vallitsevia. Toisessa niistä kaikki kiinnostavan alueen arvot esitetään yhdellä arvolla, kuten valkoinen, ja kaikki muut yhdellä, esim. musta. Saadaan näin binäärikuvia. Toisessa tavassa halutun intensiteetinalueen arvot kirkastetaan tai tummennetaan ja muut jätetään ennalleen. Näitä tapoja esittävät kuva 3.8.(a) ja (b). Kuva 3.9. on lääketieteellinen munuaisalueesta, jossa haluttiin korostaa verisuonia muusta kudoksesta erilleen. 143
17 Kuva 3.8. (a) Muunnos korostaa intensiteettialuetta [A,B] ja vähentää kaikkia muita alemmalle tasolle. (b) Muunnos korostaa aluetta [A,B] ja jättää muut muuttumattomiksi. 144
18 Kuva 3.9. (a) Aorttakuva, (b) viipalointimuunnoksen tulos kuvan 3.8.(a) mukaan, kun kiinnostusalueen ylärajana oli harmaasävyjen maksimi, (c) tulos kuvan 3.8.(b) mukaan, kun valittu alue oli asetettu mustaksi, jolloin harmaat vastasivat verisuonia ja munuaisia. 145
19 Bittitason viipalointi muistuttaa edellistä, mutta siinä korostetaan eri bittien merkitystä koko kuvassa intensiteettiarvojen sijasta. Tarkastellaan 8-bittistä harmaasävykuvaa kuvassa 3.10., jossa pikselien eri (yhden tavun) bitit on esitetty päällekkäisinä tasoina. Kuva esittää sovelluksen, jossa bittitasot on erotettu. Havaitaan informaation jakautuvan melko epätasaisesti eri bittitasojen suhteen. Pääasiassa eniten merkitsevät bittitasot sisältävät (visuaalista) informaatiota. Näin voidaan tutkia kuvan rakenteellista sisältöä, mikä on hyödyllistä myös kuvantiivistyksen yhteydessä. Voidaan rekonstruoida alkuperäistä kuvaa kertomalla n:nnen tason pikselit vakiolla 2 n-1, mikä tarkoittaa n:nneksi merkittävimmän bitin muuntamista desimaaliseksi. Kuva esittää edellisen kuvan rekonstruktioita. 146
20 Kuva bittisen kuvan bittitasoesitys. 147
21 Kuva (a) 8-bittinen harmaasävykuva kokoa pikseliä, (b)-(i) bittitasot 1:stä 8:aan, joissa 1 on vähiten merkitsevä ja 8 eniten merkitsevä. Jokainen bittitaso on binäärikuva. 148
22 Kuva Edellisestä kuvasta rekonstruoidut: mukana vain (a) bittitasot 8 ja 7, (b) bittitasot 8,7 ja 6, (c) bittitasot 8, 7, 6 ja 5. Vertaa kuvaan 3.11.(a). 149
23 3.3. Histogrammiprosessointi Digitaalisen kuvan histogrammi, jonka intensiteettitasot ovat lukuväliltä [0,L-1], on diskreetti funktio h(r k )=n k, jossa r k on k:s intensiteettiarvo ja n k on intensiteetin r k sisältävien pikselien määrä kuvassa. Normalisoidaan histogrammi jakamalla sen komponentit pikselien määrällä MN kuvassa. Normalisoitu histogrammi on täten p(r k )=n k /MN, kun k=0,1,,l-1. Tätä voidaan pitää intensiteettitason r k esiintymisen todennäköisyyden estimaattina. Kaikkien komponenttien summa on luonnollisesti yhtä kuin 1. Histogrammeja käytetään mm. kuvien korostamiseen, kuten tässä luvussa, mutta muussakin yhteydessä. Histogrammeja voidaan laskea yksinkertaisesti, so. nopeasti, mikä on niiden etu. Kuva esittää esimerkin kuvan 3.7. pohjalta. Kuvassa esitetään neljä variaatiota, tumma, vaalea, vähäinen kontrasti ja suuri kontrasti. 150
24 Kuva Vasemmassa sarakkeessa neljä siitepölyhiukkasten peruskuvan tyyppiä: tumma, vaalea, vähäinen kontrasti ja suuri kontrasti. Vaaka-akseli kuvaa intensiteettiarvot r k. Pystyakseli vastaa arvoa n k tai samaa normalisoituna n k /MN. Oikean sarakkeen histogrammit vastaavat vasemman sarakkeen kuvia. 151
25 Nähtiin kuvan alimmasta osasta, että suuren kontrastin (hyvä) kuva käsittää histogrammijakauman, joka on leveä ja jokseenkin tasainen. On mahdollista kehittää muunnos, joka saa aikaan automaattisesti tällaisen jakauman syötekuvan histogrammiinformaation pohjalta. Tarkastellaan seuraavaksi menetelmää nimeltä histogrammintasaus. Pohditaan aluksi hivenen jatkuvia intensiteettiarvoja (ennen diskreettejä, joita sovelletaan) kokonaislukuvälillä [0,L-1]. 0 edustaa mustaa ja L-1 valkoista. Hyödynnetään muunnoksia (intensiteettikuvauksia) s=t(r), rl-1, jotka antavat tulosintensiteettitason syötekuvan jokaiselle pikselille arvoltaan r. 152
26 Oletetaan, että (kuva 3.14.) (1) T(r) on monotonisesti kasvava funktio välillä 0rL-1 ja (2) 0T(rL-1, kun 0rL-1. Käytettäessä käänteiskuvausta sovelletaan ehtoa r=t -1 (s), 0sL-1 (1 ) T(r) on aidosti monotonisesti kasvava funktio välillä 0rL-1. Aidosti monotoninen funktio tarvitaan, jotta käänteiskuvaus on yksikäsitteisesti mahdollinen, ts. voidaan toteuttaa kuvaus, jossa nuolien suunnat kuvassa 3.14.(b) voidaan kääntää vastakkaisiksi. 153
27 (a) (b) Kuva (a) Monotonisesti kasvava funktio, jolloin useita arvoja tasanteelta kuvautuu yhdeksi arvoksi. (b) Aidosti monotoninen funktio, joka on yksikäsitteinen käänteiskuvauksen suunnassa (injektio). 154
28 Kuvan 3.14.(b) eli aidosti monotoninen funktio on vaatimus, jotta voidaan johtaa ja soveltaa erinäisiä histogrammitekniikoita. Sovellettaessa laskennassa luonnollisesti diskreettejä lukuja pyöristetään kaikki arvot lähimpään kokonaislukuun. Sivuutetaan satunnaismuuttujia ja jatkuvia todennäköisyystiheysfunktioita käyttävä esitys, joka on diskreetin tuloksen pohjana. Diskreetti muunnos on seuraava. s k k k L 1 T ( r ) ( L 1) p ( r ) k r j n MN j0 j0 j, k 0,1,..., L 1 (1) 155
29 Prosessoitu tuloskuva saadaan kuvaamalla jokainen pikseli yhtälöllä (1) uudeksi pikseliksi, jonka arvo on s k. Muunnosta kutsutaan histogrammintasauksesi tai -linearisoinniksi. Se toteuttaa ehdot (1) ja (2). Tarkastellaan esimerkkiä, jossa on 3-bittinen (L=8) kuva kokoa (MN=4096). Tällä on Taulukon 3.1. intensiteetit kokonaislukuväliltä [0,7]. Kuvitteellisen kuvan histogrammiarvot ovat kuvassa Tasatut arvot ovat s 0 =1.33, s 1 =3.08, s 2 =4.55, s 3 =5.67, s 4 =6.23, s 5 =6.65, s 6 =6.86 ja s 7 =7.00 (kuva (b)). Saadut arvot pyöristetään luvuiksi 1, 3, 5, 6, 6, 7, 7 ja 7. Nämä ovat tasatun histogrammin arvot. Kun on vain kahdeksan eri intensiteettitasoa, monet pikselit saavat samoja arvoja. Määrät lasketaan normalisointia varten (kuva 3.15.(c)). Eri arvoja ollessa vain viisi r 0 kuvautuu arvoksi s 0 =1 jne. Tällä on 790 pikseliä, s 1 :llä 1023, s 2 :llä 850, sitten =985 ja =448. Kukin näistä viidestä jaetaan pikselien määrällä MN=4096 saaden kuvan 13.5(c) todennäköisyydet. 156
30 Taulukko bittisen kuvan intensiteettiarvot. r k n k p(r k )=n k /MN r 0 = r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = r 5 = r 6 = r 7 =
31 Kuva (a) Alkuperäinen histogrammi, (b) muunnosfunktio ja (c) tasattu histogrammi. 158
32 Käänteismuunnos on r k =T -1 (s k ), k=0,1,,l-1, joka toteuttaa ehdot (1 ) ja (2) vain, jos mikään intensiteettitasoista r k, k=0,1,,l-1, ei puutu syötekuvasta, ts. mikään histogrammin komponenteista ei ole 0. Käänteismmuunnosta ei käytetä histogrammintasauksessa, mutta kyllä täsmäämisessä jatkossa. Kuvassa on tehty histogrammintasaus kuvan tapauksille. Kolmessa ylimmässä (keskisarake) tulos on selvästi parempi kuin vasemman sarakkeen lähtökuva. Alimmassa muutos on varsin vähäinen, koska alun perin (kuva 3.13) jakauma oli lähes tasainen. Kuva esittää käytetyt muunnosfunktiot. 159
33 Kuva Vasen sarake sisältää osat kuvasta 3.13., keskisarake vastaavat histogrammitasauksen jälkeen ja oikea tasauksen jälkeiset histogrammijakaumat. 160
34 Kuva Histogrammitasauksen muunnosfunktiot (1)-(4) vastaten kuvan vasemman sarakkeen osia ylhäältä alas. 161
35 Tasan jakautuneen histogrammin käyttö ei aina ole paras lähestymistapa. Voidaan määritellä jakauman muoto tapauksen mukaan, jolloin kyseessä on histogrammintäsmääminen tai - määritys. Tässäkin käytetään hyväksi kaavaa (1) s Sivuutetaan menetelmän kuvaus, ja esitetään vain kuva 3.18 havainnollistuksena histogrammintäsmäämisestä sekä histogrammintasauksen ja -täsmäämisen soveltamisesta (kuvat ). 162
36 a b c d Kuva bittisen kuvan histogrammi, (b) täsmätty histogrammi, (c) edellisestä saatu muunnosfunktio ja (d) histogrammintäsmäämisen tulos. 163
37 (a) (b) Kuva (a) Marsin kuun Foboksen kuva ja (b) tämän histogrammi (NASA). 164
38 a b c Kuva (a) Histogrammintasauksen muunnosfunktio, (b) histogrammitasauksen tulos ja (c) edellisen histogrammi. 165
39 a c Kuva (a) Täsmätty histogrammi, (b) muunnokset, joissa (1) on (a):n muunnos ja (2) tämän käänteismuunnos, (c) käyrän (2) kuvauksen tuottama korostettu kuva ja (d) edellisen histogrammi. b d 166
40 Edeltävät histogrammiprosessointimenetelmät ovat globaaleja. Niissä kuvan kaikki pikselit prosessoitiin. Toisinaan on tarpeen korostaa suppeiden alueiden yksityiskohtia, joiden pikselien määrä voi olla vähäinen verrattuna koko kuvaan. Globaalien muunnosten muoto ei välttämättä tuo esille lokaalisia ilmiöitä. Muokataan edellisiä menetelmiä lokaalisiksi määrittelemällä naapurusto, jonka keskipistettä siirretään pikseli pikseliltä. Kussakin pisteessä naapuruston pisteiden histogrammi lasketaan ja joko histogrammintasauksen tai -täsmäämisen muunnosfunktio muodostetaan. Muunnosta käytetään kuvaamaan naapuruston keskipisteen pikselin intensiteetti. Sitten proseduuri toistetaan vierekkäisessä pikselissä ja jatketaan eteenpäin. 167
41 Naapuruston eli ikkunan liikkuessa kuvassa ei kannata päivittää joka askeleella koko naapuruston sisältöä, vaan ainoastaan vaihtaa vanhimpien pikselien sijaan uudet, sillä kerrallaan vaihtuu vain sarakkeellinen tai rivillinen naapuruston alkioista. Asettamalla naapuruston sisältö puskuriin, jonka sisältöä päivitetään kuvatulla tavalla, myös laskentaa voidaan nopeuttaa. Toinen menettely voisi olla käyttää ikkunallisia alueita, jotka eivät mene osittain päällekkäin kuten edeltävässä. Tämä aiheuttaa kuitenkin usein epätasaista jälkeä, joten lienee harvoin sovelias. 168
42 Kuvassa on esimerkki kuvasta, joka ensi näkemältä näyttää sisältävän vain viisi mustaa ruutua harmaata taustaa vasten. Kuva on hieman kohinainen, vaikka kohinaa ei näe. Kuva 3.22.(b) esittää globaalin histogrammitasauksen tuloksen. Kuten usein tasaisten, kohinaisten alueiden tilanteessa, globaali tasaus korostaa selvästi kohinaa. Se ei kuitenkaan paljasta juuri mitään neliöistä, kuten lokaali 3 3-ikkunan lokaali tasaus kuvassa 3.22.(c). Syy oli se, että yksityiskohtien intensiteetti oli liian lähellä neliöiden intensiteettiä ja niiden koot olivat liian pieniä verrattuina neliöihin. Kuvasta suoraan laskettavia tilastoarvoja käytetään säädettäessä esim. kontrastia, missä hyödynnetään intensiteetin globaalia keskiarvoa m ja varianssia 2. Samoin näitä sovelletaan lokaalisti tehtäessä kuvassa muutoksia, jotka riippuvat tämän ominaisuuksista. m 1 M 1N M N MN x0 y0 f ( x, y) ja MN f ( x, y) m x0 y
43 Kuva (a) Alkuperäinen kuva, (b) globaalin histogrammintasauksen tulos ja (c) kohdan (a) kuva lokaalin tasauksen jälkeen, kun käytettiin naapurustoa kooltaan
44 3.4. Spatiaalisen suodatuksen perusteet Spatiaalinen suodatus on yksi keskeisimpiä kuvanprosessoinnin menetelmiä. Termi suod[at]in tai filtteri tulee taajuusalueen käytön yhteydestä, jota tarkastellaan myöhemmin ja jossa eri frekvenssikaistoja hylätään (suodatetaan pois) tai päästetään läpi. Käyttämällä spatiaalista suodatusta eli käsittelemällä suoraan kuvadataa eikä tämän taajuuksia saadaan samantapaisia tuloksia. Spatiaaliset suotimet ovat monipuolisempia siinä suhteessa, että niitä voidaan toteuttaa myös epälineaarisina, mikä ei ole taajuusalueella mahdollista. Tämän luvun alussa kuva 3.1. esitti spatiaalisen suodatuksen periaatteen, jonka mukaan siirretään naapurustoa (ikkunaa) yli kuvan pikseleittäin alkaen vasemmasta ylänurkasta. Suodatus laskee uuden pikseliarvon naapuruston keskipikselille jollakin määrätyllä operaatiolla, joka on lineaarinen tai epälineaarinen. 171
45 Kuva esittää lineaarisen spatiaalisen suodatuksen idean 3 3- naapuruston tilanteessa. Pisteen (x,y) uusi arvo saadaan seuraavasti. g( x, y) w( 1, 1) w(0,0) f f ( x 1, y 1) w( 1,0) f ( x 1, y)... ( x, y)... w(1,1) f ( x 1, y 1) Suotimen keskimmäinen kerroin w(0,0) asetetaan pisteeseen (x,y). Maskin koolle m n oletetaan olevan m=2a+1 ja n=2b+1, missä a ja b ovat positiivisia kokonaislukuja. Tämä symmetria takaa suotimelle yleensä parhaat suodatustulokset. Yleisesti suodin on muotoa a g ( x, y) w( s, t) f( xs, yt) sa b tb jossa x ja y muutetaan niin, että jokainen maskin tai suotimen w pikseli käy läpi jokaisen kuvan f pikselin. (2) 172
46 Kuva ikkunan (maskin, suotimen tai naapuruston) suodatus. 173
47 Esitetään aluksi kaksi toisiaan lähellä olevaa käsitettä, korrelaatio ja konvoluutio. Korrelaatio tarkoittaa suotimen siirtämistä kuvan yli täsmälleen, kuten yhtälö (2) edellä esitti. Konvoluutio on muuten aivan sama paitsi, että kertoimien järjestys on käännetty käänteiseksi eli kierretty 180. Selvyyden vuoksi tarkastellaan aluksi yksiulotteista suodatinta. Kuva 3.24.(a) kuvaa 1D-funktion f ja suotimen w. Kuva 3.24.(b) esittää laskennan alkupaikan. Tätä ei voi kuitenkaan laskea ennen, kuin on lisätty alkuun 0:ia (zero padding) saaden kuva 3.24.(c). [Jotta alkuun tai loppuun ei tulisi epäjatkuvuuskohtaa, usein on parempi tapa kopioida alun tai lopun tai reunan kuvassa arvoa, joka tässä sattuu olemaan yhtä kuin 0, mutta yleensä jokin muu. Voidaan myös estimoida reunaa paremminkin estimoimalla reuna-aluetta laajemmin.] Lisänollien tarkoitus on säilyttää tulossignaali yhtä pitkänä kuin alkuperäinen (kuvassa kuvan koko). 174
48 Kuvasta 3.24.(c) saadaan ensimmäinen tulos, kun x=0, joka on w:n ja f:n tulojen summa. Sitten siirretään ikkunaa yhden luvun verran eteenpäin saaden tuloksen, kun x=1. Kummassakin tulos oli 0. Näin jatketaan viimeiseen tapaukseen (f) asti. Lopuksi jätetään lisättyjen 0:ien kohdalta tulosarvot pois (kohdat (g) ja (h)). Kuvan kohdissa (i)-(p) vastaavat toimenpiteet on suoritettu konvoluution yhteydessä. Tämän tuloksena alkioiden järjestys on käänteinen korrelaatioon nähden. Havaittiin, että korrelaatio käänsi kertoimien järjestyksen tuloksessaan verrattuna alkuperäiseen. Konvoluution tärkeä ominaisuus on, että se tuottaa impulssisyötteestä (yksittäinen 1- tai vakioarvo 0-jonossa) suoran kopion tulokseen. Käännettäessä suotimen kertoimet käänteiseen järjestykseen etukäteen saadaan konvoluutio aikaan. 175
49 Kuva Dkorrelaatio ja - konvoluutio diskreetti yksikköimpulssi syötteenään. Nämä ovat siirtymäfunktioita. 176
50 Kuvan eli 2D-tilanteessa konvoluutiota varten tehdään kaksi 180 rotaatiota, yksi kummankin akselin suhteen. Edellisen kuvan käsittelyä laajennetaan 2D-tilanteeseen eli kuvaan kokoa m n kuvassa Aluksi lisätään reunan ympäri nollia m-1 riviä ylös ja alas sekä n-1 saraketta vasemmalle ja oikealle (kohta (b)). Tätä lähdetään suodattamaan kuvassa 3.35.(c), jossa on esitetty myös suodatusmaski. Kuvassa 3.25.(d) on korrelaation tulos ja (e) sama leikattuna alkuperäiseen kokoonsa. Tulos oli jälleen kiertynyt 180. Konvoluutiota varten ensin kierretään maski ennen suodatusta. Tulos on esitetty kohdissa (f)-(h). Funktion konvoluutio impulssin kanssa tuottaa funktion kopion impulssin kohdassa kuvaa. Jos maski olisi symmetrinen keskipisteen suhteen, tulos olisi identtinen korrelaation tuloksen kanssa. 177
51 Kuva D-suodin diskreettiä yksikköimpulssia varten: keskirivillä on korrelaatio ja alimmalla konvoluutio. 178
52 179 Jos kuva 3.25 olisi sisältänyt yksittäisen 1:sen sijasta alueen, joka olisi ollut identtinen w:n kanssa, korrelaatiofunktion arvo olisi saanut maksimin ikkunan tullessa ko. alueen keskipisteeseen. Näin korrelaatiota voidaan soveltaa kuvien täsmäämiseen. Esitetään yleisesti vielä korrelaation ja konvoluution kaavat. Jälkimäisen indekseissä vähentäminen vastaa kiertoa. a a s b b t t y s x f t s w y x f y x w ), ( ), ( ), ( ), ( a a s b b t t y s x f t s w y x f y x w ), ( ), ( ), ( ), (
53 Toisinaan lineaarisen suodatuksen vektoriesitys kirjoitetaan vasteen R muodossa R w1 z1 w2 z2... w z w z w T z, jossa w:t ovat m n-suotimen kertoimia ja z:t ovat kuvan intensiteettiarvoja. Tästä saadaan suoraan korrelaatio ja konvoluutio kääntämällä kertoimien järjestys, kuten edellä. mn mn mn k 1 k k Maskien ei tarvitse aina olla lineaarisia, vaan voidaan hyödyntää epälineaarisiakin, esim. Gaussin funktiota h( x, y) e 2 2 x y 2 2, jossa on keskihajonta (Gaussin jakauman leveyttä määrittävä maskin parametri) ja maskin keskipisteen ja tämän naapuruston koordinaatit x ja y ovat kokonaislukuja. 180
54 3.5. Spatiaaliset tasoitussuotimet Tasoitussuotimia sovelletaan sekä kuvan sumentamiseen että kohinanpoistoon. Edellinen tarkoittaa pienten yksityiskohtien poistamista kuvasta ja pienten aukkojen yhdistämistä suorissa tai käyrissä ennen laajojen kohteiden irrottamista kuvasta. Jälkimmäinen tarkoittaa häiriöiden eliminointia. Kun kyseessä on yksinkertaista keskiarvon laskemista, näistä suotimista käytetään myös nimeä keskiarvoistussuotimet. Niin ikään käytetään nimeä alipäästösuotimet, koska korkeat taajuudet suodatetaan pois. Satunainen kohina sisältää nimittäin tavallisesti teräviä piikkejä, intensiteetin muutoksia, jotka sisältyvät enemmän tai vähemmän korkeisiin taajuuksiin. Toisaalta myös reunat, jotka ovat kuvien tärkeitä (todellisia kohinaan verrattuna) ominaisuuksia, ovat alttiita sumentumaan suodatuksen vuoksi. Täten suodattimen suunnittelu on tehtävä huolella. 181
55 / / (a) (b) Kuva Kaksi tasoitus- tai keskiarvoistussuodatinta. Edessä oleva kerroin on kertoimien summan käänteisarvo. Kuvassa on kaksi 3 3-tasoitussuodatinta. Ensimmäinen sisältää oheisen keskiarvoituksen 9 1 R z i 9 i1 ja toinen käsittää painotetun keskiarvoistuksen. Esitetään kuvan 3.26.(b) 182
56 suodatin yleisessä muodossa. g( x, y) a sa b tb w( s, t) sa tb yt) Nimittäjä on vakio eli ei riipu x:stä tai y:stä eli kuvasta, joten riittää laskea vain kerran. a b f( xs, w( s, t) Kuvassa 3.26.(b) keskipisteen kerroin oli suurin, ts. sitä painotettiin eniten ja sitten etäisyyteen kääntäen verrattuna liepeitä vähemmän. Tässä ortogonaaliset naapurit olivat lähempänä kuin diagonaaliset, joiden etäisyys keskipisteestä oli 2. Käytännöllisesti katsoen näiden (tai joidenkin muidenkin samankokoisten) maskien tuottamat tulokset eivät eroaisi paljon toisistaan, koska niiden koko eli kertoimien määrä tavanomaiseen kuvaan nähden on varsin pieni. 183
57 Esimerkkinä katsotaan kuvaa 3.27., jossa on lähtökuvaa (a) keskiarvoistettu neliönmuotoisella maskilla kooltaan m m, m=3, 5, 9, 15 ja 35 pikseliä. Kahden ensimmäisen suodatuksen (m=3 tai 5) ansiosta kuvissa näkyy vähäistä sumentumista, mutta suurin piirtein maskin kokoisiin yksityiskohtiin vaikutus on merkittävämpi, esim. pienin a vasemmalla ja hienorakeinen kohinainen suorakulmio. Toisaalta kohina on hieman vaimentunut ja kirjainten a reunan pykäläisyys on silottunut (ei tosin näkyne ilman suurennuslasia). Kun arvoa m kasvatetaan, kuva sumentuu edelleen. Voimakasta (m=15 tai 35) suodatusta käyttäen voidaan häivyttää pienet kohteet, kuten kuvan pienet mustat neliöt, kaksi ympyrää sekä jokseenkin täydellisesti kohinaiset suorakulmiot. 184
58 a b Kuva (a) Alkuperäinen kuva, jota on suodatettu keskiarvoistamalla neliönmuotoisella maskilla kokoa (b) 3 3, (c) 5 5, (d) 9 9, (e) ja (f) pikseliä. Alarivin kirjainten a koot vaihtelevat 10:stä 24:ään pisteeseen. Suuri a on 60 pistettä. Kohinaiset suorakulmiot ovat kokoa c e d f 185
59 Spatiaalisen keskiarvoistussuodatuksen tärkeä sovellus on sumentaa epäolennaiset yksityiskohdat ja tuoda esiin kiinnostavat. Maskin koko on tällöin keskeinen. Samaa kokoa olevat kohteet saadaan sillä katoamaan taustaan. Esimerkkinä on kuva Keskiarvoistuksen jälkeen monesti kuva kynnystetään, ts. säilytetään kuvan pikselien intensiteetit vain niillä, joilla intensiteetti on annettua kynnysarvoa suurempi. Muut häivytetään taustaan. Tässä kynnysarvona oli 25 % sumennetun kuvan 3.28.(b) maksimiintensiteetistä. Kynnystetty tulos on kuvassa 3.28.(c) 186
60 Kuva (a) Alkuperäinen kuva, joka on (b) keskiarvoistettu maskilla kokoa ja tämä (c) kynnystetty. (NASA) 187
61 Epälineaaristen suotimien vaste perustuu suodatukseen tulevien pikselien lajitteluun eli järjestämiseen ja maskin keskipikselin korvaamiseen niistä sopivasti valitulla tai lasketulla arvolla. Tunnetuin menetelmä on mediaanisuodin, joka nimensä mukaisesti laskee ikkunallisesta pikseleitä mediaanin korvatakseen tällä ikkunan keskipikselin. Mediaanisuotimet ovat tehokkaita vaimentamaan impulssityyppisen eli suola-pippurisatunnaiskohinan, kun tämä ilmenee valkoisina ja mustina pisteinä kuvassa. Kuva vertaa keskiarvoistus- ja mediaanisuodatuksen tuloksia. 188
62 Kuva (a) Alkuperäinen röntgenkuva, joka on (b) keskiarvoistettu ja (c) mediaanisuodatettu ikkunakoon ollessa 3 3. Selvästi jälkimmäinen tuotti paremman tuloksen. 189
63 3.6. Spatiaaliset terävöityssuotimet Terävöityksen tarkoitus on korostaa kuvan intensiteettimuutoksia. Sovellukset ovat moninaiset lääketieteellisistä kuvista teollisuuteen. Kun keskiarvoistaminen on analogista (numeerisen) integroinnin (summauksen) kanssa, terävöitys vastaa differentiointia (derivointia diskreeteille arvoille). Toimitaan differensseillä (erotuksilla), jotka ovat tavallaan jatkuvan funktion derivaatan osoittajan vastineita. Nimittäjä voidaan mieltää vakioksi, joten sitä ei tarvitse laskennassa ottaa huomioon, ja riittää käyttää pelkkiä differenssejä. Yksiulotteisen funktion ensimmäisen kertaluvun differenssi on seuraava. 190
64 f f ( x 1) f ( x) Toisen kertaluvun differenssi on puolestaan oheinen. 2 f f ( x 1) 2 f ( x) f ( x 1) Nämä eivät ole suinkaan ainoat tavat approksimoida derivaattoja (derivaattakaavan osoittajaa tarkemmin), vaan on lukuisia muitakin, joissa käytetään näitä useampia termejä. Esitetyt ovat kuitenkin yksinkertaisin tapa. Tällainen differentioija voidaan ymmärtää myös eräänlaisena suotimena. Ensimmäinen differenssi on on yhtä kuin 0 vakiointensiteetin vallitessa, mutta on eri suuri kuin 0 intensiteettikynnyksen tai -rampin (suora eli kulmakerroin vakio) alussa ja -rampin aikana. Toinen differenssi on 0 vakioalueilla ja 0:sta eroava intensiteettikynnyksen ja -rampin alussa ja lopussa sekä on 0 rampin aikana. 191
65 192 Kuva esittää yksiulotteista kuvausta, jossa selaussuora käsittää pisteiden intensiteettiarvot. Kuvanprosessoinnissa yleistetään käsittely luonnollisesti kaksiulotteiseen kuvaan. Tällöin yksiulotteisten derivaattojen sijasta pohjana on kaksiulotteisen funktion osittaisderivaatat x:n ja y:n suhteen. Seuraavassa on Laplacen muoto. Tätä approksimoidaan toisen kertaluvun differensseillä joista saadaan seuraava. (3) y f x f f ),, ( 2 1), ( 1), ( ja ), ( 2 ) 1, ( ) 1, ( y x f y x f y x f y f y x f y x f y x f x f ), ( 4 1), ( 1), ( ) 1, ( ) 1, ( ), ( 2 y x f y x f y x f y x f y x f y x f
66 a b c Kuva Yksiulotteisen funktion (a) ensimmäisen ja (c) toisen kertaluvun differenssi sekä (b) intensiteettiarvot. 193
67 194 Laplace-muotoa käytetään terävöittämään intensiteettiepäjatkuvuuskohtia ja häivyttämään alueita, joissa on vain vähän intensiteetin vaihtelua. Kuvassa on neljä erilaista Laplace-maskia. Kohtien (a) ja (b) maskeja on sovellettu kuvassa Näiden tapaisia suotimia on useita. Esitetään lopuksi maskien osalta Sobel-operaattoreita kuvassa Edelleen kuvassa on suoritettu Sobel-suodatus. Nämä perustuvat gradientista muodostettuun itseisarvoon (pituuteen), jota approksimoidaan seuraavasti. y f x f g g f grad f y x ) ( y x y x g g g g y x M 2 2 ), (
68 a b c d Kuva (a) Kaavan (3) Laplace-suodin, (b) tämän laajennus ja (c) sekä (d) kaksi usein käytettyä Laplace-suodinta. Kerrointen summa on yhtä kuin 0, koska kyseessä on derivaattaoperaattori. 195
69 a Kuva (a) Sumennettu kuva, (b) Laplace-suodatettu ilman skaalausta, (c) skaalauksen kanssa, (d) kuvan 3.31.(a) maskin avulla terävöitetty ja (e) kuvan 3.31.(b) maskin avulla terävöitetty. (NASA) b d c e 196
70 Kuva Sobel-operaattoreita, joissa ensimmäinen ja kolmas rivi tai sarake approksimoivat osittaisderivaattaa x- tai y-akselin suunnassa. Keskellä olevat 2-painoarvot tasoittavat kuvaa antaessaan enemmän painoa ikkunasivujen keskelle. 197
71 a b Kuva (a) Piilolinssin kuva (huom. reunan epätarkkuudet alhaalla oikealla) ja (b) edellinen Sobel-suodatettuna. 198
3. Intensiteettimuunnokset ja spatiaalinen suodatus 3.1. Tausta
3. 3.1. Tausta Spatiaalinen alue viittaa itse kuvaan, ja kuvanprosessointi kohdistuu tällöin suoraan pikseleihin. Tämä on eri asia kuin muunnosavaruuden yhteydessä edellä. Tässä luvussa tarkastellaan intensiteettimuunnoksia
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely
Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,
Lisätiedot9. Kuvansegmentointi 9.1. Perusteita Pisteen, suoran ja reunan tunnistus
9. Kuvansegmentointi 9.1. Perusteita Segmentoinnissa kuva jaetaan alueiden tai kohteiden muodostamiin rakenneosiin. Jaon yksityiskohtaisuus riippuu sovelluksesta. Eitriviaalien kuvien segmentointi on yksi
Lisätiedot6.6. Tasoitus ja terävöinti
6.6. Tasoitus ja terävöinti Seuraavassa muutetaan pikselin arvoa perustuen mpäristön pikselien ominaisuuksiin. Kuvan 6.18.a nojalla ja Lukujen 3.4. ja 3.5. harmaasävjen käsittelssä esitellillä menetelmillä
Lisätiedot5. Kuvanennallistus. Kuvanennallistus 269
5. Kuvanennallistus Ennallistus eroaa korostamisesta edellisen ollessa objektiivista ja jälkimmäisen pikemmin subjektiivista käsittelyä, vaikka niiden menetelmissä on päällekkäisyyttä. Objektiivinen tarkoittaa,
LisätiedotTL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen
TL553 DSK, laboraatiot (.5 op) Kuvasignaalit Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op), K25 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab- ja VCDemo-ohjelmistoja käyttäen. Kokoa erilliseen mittauspöytäkirjaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotMediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin
Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä
LisätiedotMitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn
Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa
LisätiedotLuku 3. Kuvien ehostus tilatasossa. 3.1 Taustaa
Luku 3 Kuvien ehostus tilatasossa Kuvan ehostamisessa päätavoitteena on käsitellä kuvaa siten, että saatu tulos soveltuu paremmin haluttuun käyttötarkoitukseen kuin alkuperäinen kuva. On siis sovelluskohtaista,
Lisätiedot8. Morfologinen kuvanprosessointi 8.1. Perusteita
8. Morfologinen kuvanprosessointi 8.1. Perusteita Sana morfologia viittaa muotoon ja rakenteeseen eri tieteenaloilla. Kuvanprosessoinnissa se tarkoittaa matemaattista keinoa, jolla irrotetaan kuvasta kiinnostavia
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotToisaalta katsottaessa lineaarisuuden määritelmän oikeaa puolta saadaan seuraava tulos.
Pohditaan seuraavaksi maksimi-operaatiota, jonka funktio antaa kuvan pikselien maksimiarvon. Tämä on epälineaarinen, joka osoitetaan vastaesimerkillä lineaarisuudelle. Olkoot kaksi kuvaa. Toisaalta katsottaessa
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotS-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede Laskuharjoitus 2 4.12.2006 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1 Tehtävässä 1 piti tehdä lineaarista suodatusta kuvalle. Lähtötietoina käytettiin kuvassa 1 näkyvää harmaasävyistä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotToinen harjoitustyö. ASCII-grafiikkaa
Toinen harjoitustyö ASCII-grafiikkaa Yleistä Tehtävä: tee Javalla ASCII-merkkeinä esitettyä grafiikkaa käsittelevä ASCIIArt-ohjelma omia operaatioita ja taulukoita käyttäen. Työ tehdään pääosin itse. Ideoita
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
Lisätiedot12.5. Vertailua. Silmäillään laskostumisen estoa tietokonegrafiikan kannalta. Kuva 12.8. luonnehtii vaihtoehtoja.
1.5. Vertailua Silmäillään laskostumisen estoa tietokonegrafiikan kannalta. Kuva 1.8. luonnehtii vaihtoehtoja. (1)Esisuodatus äärettömästi näytteitä pikseliä kohti Lasketaan projisoidun kohteen palojen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotDerivointiesimerkkejä 2
Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotMissä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedot3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
Lisätiedot4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta
4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Lisätiedot9. Kuvansegmentointi 9.1. Perusteita
9. Kuvansegmentointi 9.1. Perusteita Segmentoinnissa kuva jaetaan alueiden tai kohteiden muodostamiin rakenneosiin. Jaon ksitiskohtaisuus riippuu sovelluksesta. Eitriviaalien kuvien segmentointi on ksi
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotDynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Lisätiedot4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti)
4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti) Tutkitaan erilaisia renderöintimenetelmiä, joita käytetään luvuissa 2 ja 3 esitettyjen kuvien esitysmuotojen visualisointiin. Seuraavassa selvitetään: (1)
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA34 Funktio-ohjelmointi, kevät 2008 Luento 3 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 2. tammikuuta 2008 Ydin-Haskell: Syntaksi Lausekkeita (e) ovat: nimettömät funktiot: \x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet
6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet Värien käyttö kuvissa on hyödyllistä kahdesta syystä. Väri on tehokas kuvaaja kohteiden tunnistamiseksi ja erottamiseksi näkymästä. Toiseksi normaalilla
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedot2D piirrelaskennan alkeet, osa I
2D piirrelaskennan alkeet, osa I Ville Tirronen aleator@jyu.fi University of Jyväskylä 18. syyskuuta 2008 Näkökulma Aiheet Tarkastellaan yksinkertaisia 2D kuvankäsittelyoperaattoreita Näkökulmana on tunnistava
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotSuodattimet. Suodatintyypit: Bessel Chebyshev Elliptinen Butterworth. Suodattimet samalla asteluvulla (amplitudivaste)
Suodattimet Suodatintyypit: Bessel Chebyshev Elliptinen Butterworth Suodattimet samalla asteluvulla (amplitudivaste) Kuvasta nähdään että elliptinen suodatin on terävin kaikista suodattimista, mutta sisältää
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
Lisätiedot