4 Vektorin komponenttiesitys

Transkriptio

1 4 Vektorin komponenttiesits Edellä on laskettu vektoreita hteen, vähennett toisistaan ja kerrottu niitä reaaliluvuilla. Yhteenlaskulle käänteistä toimitusta sanotaan vektorin jakamiseksi komponentteihin. Suomeksi sanottuna tämä tarkoittaa sitä, että annettu vektori esitetään kahden tai useamman vektorin summana. Tämä on leensä monimutkaisempaa kuin annetun luvun hajottaminen kahden luvun summaksi, sillä luvuilla ei ole sellaisia suuntavaatimuksia, joita vektoreilla tarkastelun kohteena olevassa asiassa varsin usein on. Komponenttivektoreille siis asetetaan leensä etukäteisehtoja. Tavallisin tapaus on jakaa vektori koordinaattiakseleiden suuntaisiin komponentteihin, eli esittää se (tasotapauksessa) kahden vektorin summana, joista toinen hteenlaskettava on -akselin ja toinen -akselin suuntainen. Fsiikassa tämä on varsin leistä. On mös mahdollista vaatia tiettjen suorien (vektoreiden) suuntaisia komponentteja ja joskus toisen komponentin on oltava juuri tietn mittainen jne. lla oleva suuntajana O ( vektorin a edustajana) on jaettu komponentteihin kolmella eri tavalla. Ne eivät ilmeisesti ole ainoat mahdollisuudet, vaan erilaisten esitstapojen lukumäärä on ääretön. B Esim. 1 Jaa suuntajana B kahteen suorien l ja m suuntaiseen komponenttiin olettaen, että annetut suorat kuin mös mainitun suuntajanan määräämä suora ovat kaikki erisuuntaiset.

2 Ratkaisu on sellainen, että piirretään pisteen kautta toisen, sanotaan m:n suuntainen suora ja pisteen B kautta toisen, siis l:n suuntainen suora. Nämä leikatkoot toisensa pisteessä S. Silloin S on vaadituista komponenteista toinen ja SB on toinen, sillä on voimassa vektorihtälö S + SB B komponentit resul tan tti l S B m Esim. Jaa vektori DK vektoreiden u ja v suuntaisiin komponentteihin, kun mitkään annetuista annetut vektoreista eivät ole keskenään hdensuuntaiset. D C v K v u D u

3 Suuntajanalle DK on valittu pisteestä alkava edustaja C ja mös vektorit u ja v on siirrett alkamaan pisteestä. Kuvio on tädennett (vajaaksi) suunnikkaaksi, jossa on voimassa htälö D+ DC C. Sen mukaan, mitä tiedetään vektorin kertomisesta reaaliluvulla ja sen mukaan miten piirros on suoritettu, tiedetään ilman muuta, että lötvät sellaiset reaaliluvut e ja f, että D ev ja DC f u, joten DK C ev + f u Näin on DK voitu lausua u: n ja v: n avulla eli on nt jaettu u: n ja v: n suuntaisiin komponentteihin. Tällaisessa tapauksessa sanotaan, että vektorit u ja v kannan. Kun nt on voimassa htälö e v + f u DK muodostavat erään, niin sanotaan, että reaaliluvut e ja f ovat suuntajanan (vektorin) DK skalaarikomponentit kannan ( u, v) suhteen vektorit ev ja f u ovat DK : n vektorikomponentit. Lause 5 Kun kantavektorit on annettu, vektorin komponentteihin jako on ksikäsitteinen. Edellähän todettiin, että vektori voidaan jakaa komponentteihin äärettömän monella eri tavalla. Lauseen 5 ksikäsitteiss tarkoittaa sitä, että jos on annettu tasosta kaksi erisuuntaista, nollasta eroavaa vektoria, sanokaamme vaikka u ja v, niin näiden määräämään tasoon kuuluva vektori a voidaan vain hdellä tavalla esittää u: n ja v: n lineaarikombinaationa ts. näiden ensiasteisena lausekkeena muodossa a ru + sv Lauseen todistamiseksi tehdään jälleen vastaoletus: On olemassa sellaiset reaaliluvut r, s, k ja m siten, että vektori a onkin voitu jakaa komponentteihin kahdella eri tavalla:

4 a ru + sv ru + sv ku + mv ( r k) u + ( s m) v 0 a ku + mv Lauseen 4 perusteella tästä seuraa heti, että r k ja s m, mikä juuri merkitsee komponenttijaon ksikäsitteisttä. NKR VROITUS: Jos annetut vektorit a ja b ovat hdensuuntaiset, näiden lineaarinen lauseke tulee nollaksi lukemattomin tavoin, eikä ainoastaan lausekkeena 0a + 0b 0, joskin mös on ilmeistä, että kahden nollavektorin summa on nollavektori. Yhdensuuntaisten vektoreiden tapauksessa riittää lötää sellainen lukupari c ja d, että c a ja db tulevat toistensa vastavektoreiksi. Nojautuessasi tehtäviä suorittaessasi lauseeseen 4 kiinnitä eritistä huomiota siihen, että lauseen oletukset ovat tätett. Jaettaessa vektoria komponentteihin on leisin tapa se, missä komponentit ja siis mös kantavektorit ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset. Tällöin kantavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan (ortogonaalinen kanta) ja on harvinaista, että niiden pituus olisi jotakin muuta kuin 1 (ortonormitettu). Sellaista vektoria, joka on -akselin suuntainen ja pituudeltaan 1, merkitään smbolilla î. Tämän vektorin edustaja voi siten olla origosta alkava, pisteeseen (1,0) päättvä suuntajana. Vastaavasti merkitään -akselin suuntaista ksikkövektoria ĵ ja vielä z-akselin suuntaista ksikkövektoria kˆ. ĵ î.

5 Mikä tahansa -tason (suuntaisen tason) vektori voidaan aina lausua kannassa ( î, ĵ ) eli jakaa ksikäsitteisesti vektoreitten î ja ĵ suuntaisiin komponentteihin muodossa a a î + a ĵ. Reaaliluja a ja a sanotaan vektorin a skalaarikomponenteiksi kannan ( î, ĵ ) suhteen. Esim. 3 Piirrä vektorille b î 3ĵ origosta alkava edustaja. Tämän vektorin (peruskoulumaisesti) piirtämiseksi lähdetään origosta, edetään pitkin positiivista -akselia kahden i :n verran eli kaksi pituusksikköä ja tullaan pisteeseen (,0), josta otetaan suunta kohti etelää. Edetään sitten kohti lämpimiä maita kolme pituusksikköä eli asetellaan peräkkäin kolme j:n vastavektoria ja päädtään pisteeseen (, 3). Vektorin b î 3ĵ origosta alkava edustaja hdistää siten origon ja pisteen (, 3). Tässä, kuten ortonormitetussa tasotapauksessa aina muulloinkin, vektori ja sen vektorikomponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion, josta vektorin pituus

6 on helposti laskettavissa. Komponentit ovat kolmiossa aina kateetit ja itse vektori on sen hpotenuusa. Esimerkin tapauksessa on siis a + ( 3) 13 ja leisesti on voimassa Lause 6 Olkoot a a i a j. Tällöin + ) (a ) a (a +. Seuraavassa kerrotaan, mitä tarkoittaa laskennallisissa sovellutuksissa erittäin hödllinen käsite, pisteen paikkavektori. Tämä käsite jo sinänsä ajattelevalle ihmiselle sanoo, että tässä pitäisi nt olla saatavissa oleellista tietoa pisteen sijainnista: MÄÄRITELMÄ 6 Origosta O alkavaa ja pisteeseen ( a, a ) päättvää suuntajanaa O sanotaan pisteen paikkavektoriksi. Reaaliluvut a kannassa ( î, ĵ). ja a ovat suoraan tämän vektorin skalaarikomponentit Kääntäen: Jos muotoa a a î a ĵ olevan vektorin alkupiste on + origo, niin vektorin loppupiste on (a, a ). Esim. 4 Piste B ( 19, 45). OB 19î 45ĵ.

7 Esim. 5 Vektori s 4î 4½ ĵ alkaa pisteestä ( 5,3). Missä on vektorin loppupiste?? Suoritus ei ole minkään arvoinen, jos tuloksen katsoo (paitsi laskujen tarkistamismielessä) kuviosta. Lasketaan tulos kättäen paikkavektoria. Olkoot vektorin s loppupiste B, jolloin s B, ja ( 5,3). Yhtälö O+ B OB esiint jatkossa useinkin, ja kun siihen tässä sijoitetaan tarpeelliset tiedot, saadaan joten B ( 1, 1½ ). OB 5î + 3ĵ + 4î 4½ ĵ î 1½ ĵ, Esim. 6 Suunnikkaan BCD virittävät pisteestä ( 4, 1) alkavat vektorit a B 5î 3ĵ ja b D î + ĵ. Määritä suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste E. Tässä tarvitset sen tiedon, että suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa. Yksi lävistäjä on C B + BC B D a + b, ja lävistäjän puolikasta edustaa suuntajana ½ C a + b E. Kun on määrättävä pisteen E koordinaatit, siihen päästään määräämällä pisteen 1 E paikkavektori OE O+ E 4 î + ĵ+ (5î 3ĵ+ î + ĵ) î + ĵ ½î + ½ j. 1 1 Lävistäjät puolittavat toisensa pisteessä (, ). +

8 Piirroksesta suoritettu tarkistus on hvässä sopusoinnussa laskemalla saadun tuloksen kanssa. Koordinaatistossa ksi ruutu vastaa htä pituuden ksikköä. Olkoot koordinaatiston kaksi mielivaltaista pistettä (, ) ja B (, ). 1 1 Tutusta htälöstä O+ B OB B OB O saadaan ottamalla huomioon, että O 1 î + 1ĵ ja OB î + ĵ suuntajanan B komponenttiesits B î + ĵ 1î 1ĵ ( 1)î + ( 1)ĵ. Tämän suuntajanan pituus janan B pituus saadaan nt helposti Pthagoraan lauseella, kun tiedetään, että vektori ja sen vektorikomponentit ortonormitetussa kannassa muodostavat suorakulmaisen kolmion; lause 6. Olkoot janan B keskipiste P. Tällöin kolmion OB mediaanille OP saadaan lauseen 5.3 nojalla 1 O OB i j i j i j OP ( 1 ) ( 1 ) Suoritettujen tarkastelujen pohjalta voidaan kirjoittaa jo analttisenkin geometrian puolelta tutuksi känt tulos janan pituuden ja sen keskipisteen koordinaattien laskemiseksi ** Lause 7 Olkoot ( 1, 1 ) ja B (, ) kaksi mielivaltaista -tason pistettä. Janan B pituus B ( ) + ( ) 1 1 ja keskipisteen P koordinaatit o + +, o 1 1 **

9 Esim. 7 Kolmion BC kärjet ovat ( 3, ), B (4,0) ja C (1,4). Laske sivujen pituudet. B BC C (4 ( 3)) (1-4) + (4 0) + (0 ( )) ( 3 1) + ( 4) , , Kolmio on varsin lähellä tasaklkistä. C B Esitetn kaltaisen esimerkin suorittaminen ei tietenkään edelltä minkäänlaista piirustusta, mutta kun kärkipisteiden koordinaatit on annettu, kolmion voi hvinkin tarkasti piirtää. Kuviosta voi mitata sivujen pituudet ja täsin laskelmista riippumattomalla tavalla kontrolloida, ovatko laskut menneet oikein. TÄLLISEN TRKISTUSMENETTELYN LIITTYMINEN SUORITUKSEEN NOST IN SUORITUKSEN RVO. Onhan kasvatuksen ksi tavoite opettaa arvioimaan kriittisesti ei ainoastaan toisten vaan omiakin tekeleitään.