Johdanto yleistettyyn sini- ja kosinifunktioon

Transkriptio

1 Johanto yleistettyyn sini- ja kosinifunktioon Topias Mikkola Matematiikan pro-graututkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 18

2 Sisältö 1 Johanto 4 Käänteinen sinifunktio eli arcsin 5 3 Sinifunktio Sinifunktion määritelmä Sinifunktion erivoituvuus Kosinifunktio 17 5 Yleistetyt trigonometriset funktiot Käänteinen sin p -funktio eli F p Funktio sin p Funktion sin p erivoituvuus Funktio cos p Geometrinen näkökulma sekä katsaus yleistettyjen trigonometristen funktioien määritelmän taustoihin 7

3 Tiivistelmä: Topias Mikkola, Johanto yleistettyyn sini- ja kosinifunktioon, matematiikan pro grau-tutkielma, 3 s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kesäkuu 18. Tässä tutkielmassa määritellään sini- ja kosinifunktiot sinifunktion käänteisfunktion avulla ja näien funktioien yleistykset eli funktiot sin p ja cos p aiempia määritelmiä varioimalla. Samalla osoitetaan, että merkittävä osa sini- ja kosinifunktioien ominaisuuksista periytyy yleistyksille. Eelleen tutkitaan millä tasolla yleistykset vastaavat geometrisessä mielessä tavallisia sini- ja kosinifunktioita. Lopuksi tarkastellaan lyhyesti yleistettyjen funktioien määrittelyn taustoja ja merkitystä kirjallisuuessa. Sinifunktio määritellään määrittelemällä ensin sen käänteisfunktio avoimella rajoitetulla välillä integroimalla sinifunktion käänteisfunktion erivaattaa. Käänteisfunktio laajennetaan määritellyksi myös välin päätepisteissä. Käänteisfunktion avulla määritellään sinifunktio paloittain koko reaaliakselille hyöyntäen käänteisfunktiolta periytyviä ominaisuuksia kuten jatkuvuutta, rajoittuneisuutta ja parittomuutta. Sitten osoitetaan, että myös käänteisfunktion erivoituvuus periytyy sinifunktiolle ja käsittää koko reaaliakselin. Tämän jälkeen kosinifunktio määritellään sinifunktion erivaattana ja osoitetaan, että kosinifunktiolla on vastaavat ominaisuuet kuin sinifunktiollakin. Huomataan, että sinifunktio saaaan kosinifunktion erivaatan vastalukuna ja siten nämä funktiot ovat äärettömästi erivoituvia. Sini- ja kosinifunktiolle osoitetaan myös muutamia yhteenlaskukaavoja sekä Pythagoraan trigonometrinen ientiteetti. Funkiot sin p ja cos p määritellään aiempien määrittelyien rakennetta hyöyntäen siten, että uuet funktiot ovat parametrista p riippuvaisia ja yhtyvät sini- ja kosinifunktioon parametrin p arvolla kaksi. Sitten osoitetaan, että myös yleistyksillä on eellä mainitut klassisten vastineiensa ominaisuuet. Tosin sin p -funktion tieetään olevan vain kertaalleen erivoituva, eikä funktiota sin p siten voia suoraan esittää cos p -funktion erivaatan avulla. Funktioille sin p tai cos p ei voia myöskään johtaa Pythagoraan trigonometrisen ientiteetin lisäksi muita yksinkertaisia vastineita sinija kosinifunktiolle näytetyistä yhteenlaskukaavoista. Geometrista tarkastelua varten määritellään l p -normi, joka vastaa tavallista Eukliista normia parametrin p arvolla kaksi. Sitten osoitetaan, että sin p - ja cos p -funktioilla voiaan parametrisoia l p -normin määrittämä yksikköympyrä. Tämän tuloksen avulla määritetään klassista napakoorinaattiesitystä vastaava yleistetty napakoorinaattiesitys l p -normin virittämään reaalitasoon. Samalla näytetään, että funktioien sin p ja cos p argumentit eivät klassisen tapauksen tapaan vastaa yksikköympyrän sektorin kaaren pituutta. Huomataan myös, ettei Eukliisesta metriikasta tuttu sektorin kaaren pituuen ja pinta-alan välinen yhteys ole voimassa muissa l p -normin virittämissä reaalitasoissa. Etsittäessä geometristä tulkintaa yleistetyn sinifunktion argumentille huomataan, että yksikköympyrän sektorin kaksinkertainen pinta-ala toimii erään 18-luvulla määritetyn sinifunktion yleistyksen argumenttina. Kirjallisuuslähteien perusteella voiaan toeta, että myös myöhemmin tätä aihetta tutkineet matemaatikot ovat päätyneet yleistettyihin trigonometrisiin funktioihin tutkiessaan alkuarvo-ongelmia. Erityisesti sin p -funktio on ratkaisu erääseen eri muooissaan paljon tutkittuun Dirichtletin alkuarvo-ongelmaan. 3

4 1 Johanto Sini ja kosini ovat tärkeimpiä alkeisfunktiota ja niien avulla voiaan määritellä kaikki muut trigonometriset funktiot sekä niien keskinäissuhteet. Ne ovat keskeisiä geometrian lisäksi muun muuassa jaksollisten ilmiöien mallintamisessa. Lisäksi ne tarjoavat usein ratkaisun moniin matemaattisiin ongelmiin kuten ifferentiaaliyhtälöihin tai haastaviin integraaleihin. Teknisesti suoraviivainen tapa määritellä sini- ja kosinifunktiot on määritellä ensiksi niien käänteisfunktiot integroimalla sini- ja kosinifunktioien erivaattoja. Tätä määritelmää varioimalla saaaan kokonainen perhe uusia funktioita, joita voiaan kutsua yleistetyiksi trigonometrisiksi funktioiksi. Tässä työssä esitellään täsmällinen sinifunktion käänteisfunktioon perustuva määritelmä reaaliakselilla määritellyille sini- ja kosinifunktioille. Näille funktioille osoitetaan määritelmän seurauksena tärkeitä ominaisuuksia kuten jatkuvuus, jaksollisuus, erivoituvuus, rajoittuneisuus sekä parittomuus tai parillisuus. Lisäksi lasketaan joitakin määritelmistä seuraavia laskukaavoja, joista mainittakoon Pythagoraan trigonometrinen ientiteetti eli yhtälö sin x + cos x = 1. Tämän jälkeen johetaan käänteisfunktioon perustuva määritelmä sini- ja kosinifunktioien yleistyksille eli sin p - sekä cos p -funktioille siten, että saaut funktiot yhtyvät sini- ja kosinifunktioihin, kun p =. Yleistyksillä on samoja ominaisuuksia kuin sini- ja kosinifunktioillakin, joita ovat muun muuassa jatkuvuus, jaksollisuus, rajoittuneisuus, Pythagoraan trigonometrisen ientiteetin vastine eli sin p (x) p + cos p (x) p = 1 sekä parittomuus tai parillisuus. Tässä työssä osoitetaan myös, että funktio sin p on (ainakin) kertaalleen erivoituva. Tämän jälkeen kosinifunktion yleistys, funktio cos p, määritellään sin p -funktion ensimmäiseksi erivaataksi. Toisin kuin sini- ja kosinifunktio sin p - ja cos p -funktio ovat äärettömästi erivoituvia vasta, kun reaaliakselilta poistetaan pisteet x = πp + nπ p, missä n on kokonaisluku [1]. Funktioille sin p tai cos p ei voia myöskään johtaa kaavan sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y tyyppisiä yksinkertaisia summakaavoja []. Trigonometriset funktiot voiaan määritellä lukuisilla tavoilla [3]. Tilanteesta riippuen voi olla järkevää käyttää erilaisia määritelmiä. Esimerkiksi tavalliset trigonometriset funktiot voiaan määritellä ifferentiaaliyhtälöön liittyvällä alkuarvo-ongelmalla [4][s. 43]. Tällöin sinifunktio määritellään siksi yksikäsitteiseksi funktioksi u : R R, joka ratkaisee (toisen asteen ifferentiaaliyhtälön olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen nojalla [5]) alkuarvo-ongelman u (x) + u(x) =, (1) u() =, () u () = 1. (3) Yksikäsitteisyyen nojalla tätä ominaisuutta voiaan käyttää sinifunktion määrittelemiseen. Eelleen tästä määritelmästä voiaan johtaa samat ominaisuuet kuin käänteisfunktiolla määritellyllä sinifunktiolla on, joista osa mainittiin eellä. 4

5 Kirjallisuuessa myös yleistetyille trigonometrisille funktiolle löytyy useita eri määritelmiä. Ne kaikki ovat laajennuksia tavallisten trigonometristen funktioien määritelmistä ja säilyttävät määritelmästä riippuen joitakin klassisten vastineiensa ominaisuuksista [3]. Siten myös sin p - ja cos p -funktiot voiaan määritellä eellä mainittua määrittelyä vastaavalla alkuarvo-ongelmalla. Ensimmäistä kertaa yleistettyjä trigonometrisia funktioita esiintyy ruotsalaisen matemaatikon Eric Lunbergin ( ) työssä Om hypergoniometriska funktioner af komplexa variabla. Lunberg tutki ifferentiaaliyhtälöitä [6] y x = (1 ± yp ) m/p, joista esimerkiksi valinnalla m = 1 Lunberg päätyi funktioihin, jotka tunnetaan nykyään sin p -, cos p - sekä tan p -funktiona. Myöhemmin 19-luvun puolella yleistetyt trigonometriset funktiot ovat olleet suosittu tutkimuskohe johtuen muun muuassa niien yhteyestä yksiulotteiseen p-laplace-operaattoriin []. Peter Linqvist [1] määrittelee yleistetyn sin ˆ p -funktion välillä ], π p [ siksi funktioksi u :], π p [ R, joka ratkaisee alla olevan Dirichtlet n ongelman ) ( u p u = λ u p u välillä ], π p [, x u() =, u(π p ) =. Eellä sin ˆ p -funktio on merkitty hatulla erotuksena tässä tutkielmassa käytettyyn sin p -funktioon. Näien funktioien välisen yhteyen ilmaisee yhtälö sin p = (p 1) 1/p sin ˆ p. Eellä mainittu Dirichtlet n ongelma voiaan esittää myös p-laplaceoperaattorin avulla, mikä kuvastaa yleistettyjen trigonometristen funktioen matemaattista merkitystä. Tutkimus p-laplace-operaattoriin liittyen on laajaa [3][s.7]. Eelleen myös fysiikassa esitettyjen kaltaiset reunaehto-ongelmat ovat yleisiä. Kappaleessa 6 johetaan myös eräs geometrinen tulkinta sin p - ja cos p -funktioille sekä arcsin-funktiolle. Lisäksi pohitaan vastaavan tyyppistä tulkintaa eräälle arcsinfunktiota vastaavalle yleisemmälle trigonometriselle funktiolle, joka esiintyy Lunbergin teoksessa [6]. Tavallinen yksikköympyrä voiaan nimittäin parametrisoia siten, että kehällä olevan pisteen x-koorinaatti on pistettä vastaavan kulman sini ja y- koorinaatti kulman kosini. Kun tavallisen yksikköympyrän sijaan tarkastellaan l p normilla määritettyä yksikköympyrää, saaaan sille vastaavanlainen parametrisointi yleistettyjä trigonometrisiä funktioita käyttäen. Itseasiassa vaatimus tällaisesta parametrisaatiosta voiaan ottaa yleistettyjen sini- ja kosinifunktioien perustaksi, jolloin pääytään samoihin funktioihin kuin käänteisfunktiomääritelmällä [3]. Käänteinen sinifunktio eli arcsin Kappaleien, 3 ja 4 päälähe on [4]. Määritellään funktio arcsin integraalimuotoisen käänteisfunktion avulla. Määrittely on tehään ensin avoimelle välille ] 1, 1[ ja 5

6 laajennetaan sitten myös päätepisteisiin. Tällöin voiaan toeta, että ensimmäisessä vaiheessa havaitut jatkuvuus, monotonisuus, sekä rajoittuneisuus periytyvät suljetulle välille [ 1, 1] määritellylle arcsin-funktiolle. Määritelmä 1. (Käänteinen sini-funktio, kun x ] 1, 1[) arcsin x := x, x ] 1, 1[. 1 t Määritelmä on mielekäs, koska funktio f : [, x] R, f(t) = 1 1 t on jatkuva suljetulla välillä [, x], sillä 1 t > 1 1 =. Siten funktio f on Riemann-integroituva välillä [, x]. Kun muuttuja x kuuluu välille ] 1, [, määritelmän integroitava funktio on vastaavalla tavalla Rieman-integroituva. Listataan joitakin arcsin-funktion ominaisuuksia, joita tarvitaan myöhemmässä vaiheessa. Lause 1. Funktio arcsin x on (a) jatkuva välillä ] 1, 1[, (b) erivoituva välillä ] 1, 1[ ja arcsin x x = 1 1 x, (c) aiosti kasvava, rajoitettu sekä injektiivinen funktio välillä ] 1, 1[ () sekä pariton funktio välillä ] 1, 1[. Toisin sanoen pätee arcsin x = arcsin x. Toistus. Olkoon funktio f : ] 1, 1[ R, f(t) = 1 1 t. (a) Koska funktio f(t) on jatkuva, myös sen integraalifunktio arcsin x on jatkuva. (b) Koska funktio f(t) on jatkuva, niin analyysin peruslauseen nojalla intergraalifunktio arcsin x = x f(t) on erivoituva ja (c) Kohan b) nojalla arcsin x x = f(x) = 1 1 x. arcsin x x = 1 1 x >, joten funktio arcsin x on aiosti kasvava. Sitten kun x saaaan 6

7 x arcsin x = 1 t x = = 1 t 1 x x u 1 u u 1 u = (1 (1 x) 1 ), koska 1 t 1 t kaikilla t [, 1[. Kolmannessa integraalissa käytettiin sijoitusta t(u) = u + 1. Jos taas x < saaaan arcsin x = x x = = 1 t 1 t 1 x x u 1 u u 1 u = (1 (1 x) 1 ), koska 1 t 1 t kaikilla t ] 1, [. Siten funktio arcsin on rajoitettu aion kasvavuuen nojalla. Myös injektiivisyys on seuraus aiosta kasvavuuesta. () Huomataan, että funktio f on parillinen, sillä f(t) = Siten muuttujanvaiholla t = k saaaan arcsin x = x 1 1 t = 1 1 ( t) = f( t). f(t) = x f( k)k = x f(k)k = arcsin x. Laajennetaan seuraavaksi arcsin-funktion määrittely suljetulle välille [ 1, 1]. Määrittely perustuu seuraavaan yleiseen tulokseen. 7

8 Lemma 1. Olkoon jatkuva funktio f : I R aiosti monotoninen ja rajoitettu avoimella välillä I =]a, b[. Tällöin välin I kuva f(i) on avoin ja rajoitettu väli, jolle f(i) = (inf f(i), sup f(i)). Lisäksi funktio f voiaan laajentaa jatkuvaksi, aiosti monotoniseksi ja rajoitetuksi funktioksi f suljetulle välille [a, b], siten että f ([a, b]) = [inf f (I), sup f (I)]. Toistus. Jatkuva kuvaus kuvaa välin väliksi [4][Theorem 5.3.8], joten f(i) on väli ja lisäksi rajoitettu, sillä funktio f on rajoitettu. Nyt täyellisyysaksiooman nojalla löytyy joukon f(i) supremum sekä täyellisyysaksiooman suorana seurauksena myös infimum. Koska funktio f on aiosti monotoninen ja lähtöjoukko eli väli I on avoin, tieetään että inf f(i) / f(i) ja sup f(i) / f(i), mikä nähään epäsuoran päättelyn avulla. Oletetaan, että funktio f on aiosti kasvava ja että löytyy a I, siten että f(a ) inf f(i). Nyt välin I avoimuuen nojalla löytyy myös a 1 I : a 1 < a, jolle f(a 1 ) < f(a ) inf f(i), mikä on ristiriita. Samaan tapaan voiaan osoittaa, että sup f(i) / f(i). Siten on f(i) =] inf f(i), sup f(i)[. Jos funktio f olisi aiosti vähenevä, väite voitaisiin toistaa samantapaisella päättelyllä. Oletetaan eelleen, että funktio f on aiosti kasvava ja määritellään nyt funktio f(x), x I, f (x) = inf f(i), x = a, sup f(i), x = b. Määritelmästä seuraa, että funktio f on aiosti kasvava aiemman käänteisen päättelyn perusteella. Myös funktion f rajoittuneisuus seuraa suoraan määritelmästä. Olkoon sitten < ɛ < sup f(i) inf f(i). Nyt Bolzanon lauseen sekä infimumin määritelmän nojalla inf f(i) + ɛ f(i). Toisin sanoen löytyy a I, jolle f(a ) = inf f(i) + ɛ f(i). Siten f (a) f (a ) = inf f(i) f(a ) = inf f(i) inf f(i) ɛ = ɛ < ɛ. Olkoon nyt x [a, a ] ja δ = a a >, jolloin aion kasvavuuen nojalla f (a) f (x) inf f(i) f(a ) < ɛ, kaikilla x a < δ. Siten funktio f on jatkuva pisteessä x = a. Vastaavalla tavalla voiaan toeta jatkuvuus pisteessä x = b, jolloin funktio f on jatkuva koko välillä I funktion f jatkuvuuen nojalla. Myös aiosti vähenevän funktion f laajennuksessa välille [a, b] jatkuvuus sekä aito monotonisuus voiaan osoittaa vastaavalla tavalla kuin aiosti kasvavalle funktiolle f nyt osoitettiin. Lauseen 1 nojalla funktio arcsin toteuttaa lemman 1 oletukset avoimella välillä ] 1, 1[, joten seuraava funktion arcsin määrittelyn laajennus on perusteltua. 8

9 Seuraus 1. Funktion arcsin määrittely voiaan laajentaa suljetulle välille [ 1, 1] niin, että funktiosta tulee jatkuva, aiosti kasvava sekä rajoitettu ja arcsin [ 1, 1] = [c, ], missä c = inf{arcsin x, x ] 1, 1[} = lim arcsin x = x 1 + lim x x 1 + x = sup{arcsin x, x ] 1, 1[} = lim arcsin x = lim x 1 x 1 Nyt funktion arcsin parittomuuen nojalla Määritellään luku π seuraavasti. Määritelmä. c = lim arcsin x x 1 + = lim arcsin x x 1 + = lim arcsin x x 1 =. π = arcsin 1. 1 t ja 1 t. Eli yllä mainittu arcsin-funktion kuvajoukko [c, ] on siis [ π, π ]. Eelleen määritelmän nojalla π = arcsin 1 = sup{arcsin x : 1 < x < 1} = lim arcsin x x 1 = lim x 1 x 1 t. Huomattakoon, että myös kappaleessa 4 määritellyn kosinifunktion käänteisfunktio voiaan määritellä manipuloimalla arcsin-funktion käänteisfunktiomääritelmää. 3 Sinifunktio 3.1 Sinifunktion määritelmä Tässä kappaleessa määritellään sinifunktio vaiheittain ensin arcsin-funktion käänteisfunktiona ja sitten määrittelyväliä pientämällä ja lopulta laajentamalla sinifunktion 9

10 määrittelyä jaksolliseksi koko reaaliakselille. Määritelmät asetetaan siten, että sinifunktio perii arcsin-funktiolta tärkeitä ominaisuuksia kuten jatkuvuuen ja parittomuuen. Seuraavan lauseen nojalla on olemassa arcsin-funktion käänteisfunktio, joka perii arcsin-funktion ominaisuuksia. Toistus sivuutetaan, mutta se löytyy lähteestä [4][Corollary 5.5.3]. Lause. Olkoon I epätyhjä väli ja f : I R jatkuva ja aiosti monotoninen. Tällöin on olemassa käänteisfunktio f 1 : f(i) I, joka on myös jatkuva ja aiosti monotoninen. Lisäksi seuraava lause takaa, että myös arcsin-funktion parittomuus periytyy sinifunktiolle. Lause 3. Olkoot välit A ja B epätyhjiä ja välillä A pariton funktio f : A B sellainen, että sille löytyy käänteisfunktio f : B A. Tällöin myös käänteisfunktio f 1 (x) on pariton välillä B. Toistus. Nyt kaikilla x B on f 1 ( f(x)) = f 1 (f( x)) = x = f 1 (f(x)). Lauseen 1 nojalla funktio arcsin toteuttaa lauseen oletukset ja siten löytyy arcsin-funktion käänteisfunktio. Määritelmä 3. Sinifunktio välillä [ π, π] Funktion arcsin käänteisfunktio, sin : [ π, π ] [ 1, 1], nimetään sinifunktioksi. = 1. Vastaa- Huomautus 1. (a) Määritelmän 1 nojalla arcsin 1 = π, joten sin π valla tavalla nähään, että sin π = 1. (b) Funktio sin x on jatkuva ja aiosti kasvava välillä [ π, π ]. (c) Koska arcsin-funktio on pariton välillä [ 1, 1], lauseen 3 nojalla funktio sin x on pariton välillä [ π, π ]. Pyritään määrittelemään sinifunktio koko reaaliakselille. Tätä varten tarvitaan jaksollisuuen käsitettä. Määritelmä 4. Funktio f : R R on jaksollinen jaksolla n >, jos kaikille x R pätee f(x) = f(x + n). Huomautus. Inuktioperitaatteen nojalla eellisen määritelmän merkinnöin funktiolle f pätee myös f(x) = f(x + nk), kaikilla k Z. Sinifunktion määrittelyn laajentaminen jaksollisesti määritellyksi koko reaaliakselille perustuu seuraavaan lauseeseen. 1

11 Lause 4. Suljetulla välillä [a, a + n] jatkuva sekä jaksolla n jaksollinen funktio f : R R on jatkuva ja rajoitettu kaikkialla R:ssä. Toistus. Olkoon x R sellainen, että x + nk ]a, a + n[, jollakin k Z. Siten lauseen oletuksilla ja jatkuvuuen raja-arvomääritelmän nojalla funktio f on tälloin jatkuva, sillä lim f(x) = lim f(x + nk) = f(x + nk) = f(x ) R. x x x x Olkoon sitten x R sellainen, että x + nk = a, jollakin k Z, jolloin x + n(k + 1) = a + n. Osoitetaan, että tällaisissa pisteissä toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja yhtä suuret. Jaksollisuuen ja jatkuvuuen nojalla lim x x f(x + nk) = lim f(x + n(k + 1)) x x = f(a + n) = f(a) = lim f(x + nk). x x + Jos pisteet x R ovat muotoa x +nk = a+n, jollakin k Z, voiaan jatkuvuus toistaa vastaavalla laskulla. Siten funktio f on jatkuva ja rajoitettu R:ssä. Ennen kuin käytetään jaksollisuutta sinifunktion määritelmän laajentamiseksi, määritellään sinifunktio välille [ π, 3π] peilauksena itsestään suoran x = π suhteen. Tämän ansiosta sinifunktio säilyttää jatkuvuusominaisuutensa. Määritelmä 5. Välille [ π, 3π ] määritellään sin x = sin (x π). Määritelmä on mielekäs, sillä kun x [ π, 3π ] on x π [ π, π ]. Huomautus 3. (a) Sinifunktio on jatkuvien funktioien yhistettynä funktiona jatkuva välillä ] π, 3π]. (b) Sinifunktio on jatkuva pisteessä x = π, koska toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja yhtyvät funktion arvoon tässä pisteessä. Eli huomautuksen 1 nojalla on lim sin x = sin π x π = 1 = sin ( π ) = lim sin x. x π + = lim sin (x π) x π + = lim sin x. x π + Siten lim sin x = 1 = sin π, mistä seuraa jatkuvuus pisteessä x = π x π. 11

12 Ylläolevan sekä huomautuksen 1 ja nojalla sin : [ π, 3π ] [ 1, 1] on jatkuva ja sin( π) = 1 = sin( 3π ). Siten lauseen 4 nojalla sinifunktion määritelmä voiaan laajentaa jaksolliseksi, jatkuvaksi sekä rajoitetuksi funktioksi reaaliakselille, sillä kaikille x R löyetään n Z, jolle x + nπ [ π, 3π]. Määritelmä 6. Olkoon x R. Valitaan tällöin n Z siten, että x + nπ [ π, 3π ] ja asetetaan sin(x) = sin(x + nπ). Seuraus. Funktio sin(x) on pariton koko reaaliakselilla. Toistus. Koska sinifunktio on huomautuksen 1 nojalla pariton välillä [ π, π ], on se pariton myös välillä [ 3π, 3π]. Nimittäin jos x [ π, 3π ], niin määritelmän 5 nojalla sin(x) = sin(x π) = sin(π x) = ( sin(π x π)) = sin( x), missä x [ 3π, π], joten myös tämä väli tuli tarkistettua. Olkoon sitten x R. Nyt löytyy n Z siten, että x + nπ [ π, 3π ]. Siten määritelmän 6 nojalla sin(x ) = sin(x + nπ) = sin( x + nπ) = sin( x + nπ nπ) = sin( x ). 3. Sinifunktion erivoituvuus Tässä kappaleessa osoitetaan vaiheittain sinifunktion erivoituvuus ja määritetään sen erivaattafunktio. Ensin toetaan, että erivoituvuus periytyy arcsin-funktiolta sinifunktiolle avoimella välillä ] π, π[. Tämän jälkeen erivoituvuus välillä ] π, 3π[ on melko ilmeinen, koska sinifunktio määriteltiin tälle välille peilauksena itsestään. Sinifunktion palottaisen määrittelyn takia erivoituvuus pisteissä π + nπ, n R täytyy tarkastaa erikseen. Nyt koska sinifunktio on määritelty käänteisfunktiona arkussinistä, tarvitaan ensin tietoa käänteisfunktion erivoituvuuesta. Tämän tieon avulla voiaan päätellä erivoituvuus myös sinifunktiolle. Lause 5. Oletetaan, että injektiivinen funktio f on jatkuva avoimella välillä I. Jos funktio f on erivoituva pisteessä x I ja f (x ), niin myös käänteisfunktio f 1 on erivoituva pisteessä y = f(x ) ja Toistus. Katso [4][Theorem 6..4]. y f 1 (y) = 1 f (x ). 1

13 Lemma. Sinifunktio on erivoituva välillä ] π, π [ ja kaikille x ] π, π [, x sin x = 1 sin x. Toistus. Lauseen 1 nojalla funktio y(x) = arcsin x toteuttaa lauseen 5 oletukset avoimella välillä ] 1, 1[, sillä y (x) = arcsin x = 1 x 1 x > 1 1 >. Siten lauseen 5 nojalla arsin-funktion käänteisfunktio x(y) = sin y on erivoituva jokaisessa pisteessä y ] arcsin 1, arcsin 1[=] π, π[ ja y sin y = y x(y) = 1 y (x) = 1 1 = 1 x = 1 sin y. 1 x Tästä tuloksesta seuraa sinifunktion erivoituvuus koko reaaliakselilla sinifunktion ominaisuuksien takia. Koska sinifunktio on määritelty paloittain myös erivoituvuutta on tarkasteltava paloittain. Lemma 3. Sinifunktio on erivoituva välillä ] π, 3π[ ja kaikilla x ] π, 3π[ on sin x = x 1 sin x. Toistus. Olkoon f : ] π, π[ R, f(x) = sin x ja g : ] π, [ 3π : ] π, π [, g(x) = x π. Koska nämä funktiot ovat erivoituvia on ketjusäännön nojalla niien yhistetty funktio f g : ] π, 3π [ R, f(g(x)) = sin(x π) erivoituva. Tällöin ketjusäännön ja määritelmän 5 nojalla kaikille x ] π, 3π[ on x sin x = ( sin(x π)) x = (f g) (x) = f (g(x))g (x) = 1 sin (x π) = 1 sin (x). Seuraava ehto erivoituvuuelle on suora seuraus erivaatan määritelmästä. Lausetta tarvitaan sinifunktion erivoituvuuen määrittämiseen pisteessä π sekä myöhemmin pisteissä π ja 3π. Lause 6. Olkoon x välin I R sisäpiste ja f : I R. Tällöin f (x ) on olemassa, jos ja vain jos sekä vasemmanpuoleinen erivaatta f (x ) että oikeanpuoleinen erivaatta f +(x ) ovat olemassa ja f (x ) = f (x ) = f +(x ). 13

14 Huomattakoon, että eellisessä lauseessa merkintä f (x ) tarkoittaa erotusosamäärän raja-arvoa, kun pistettä x lähestytään vasemmalta ja f +(x ) vastaavasti erotusosamäärän raja-arvoa, kun pistettä x lähestytään oikealta. Sinifunktio on erivoituva pisteen π läheisyyessä ja tässä pisteessä erivaatan toispuoleiset raja-arvot ovat löyettävissä. Tämän tieon sekä seuraavan lauseen nojalla erivaatta pisteessä π voiaan määrittää lauseen 6 avulla. Lause 7. (a) Olkoon funktio f erivoituva avoimella välillä ]x σ, x [ sekä jatkuva suljetulla välillä [x σ, x ], missä σ >. Tällöin jos lim f (x ) on olemassa, x x niin myös vasemmanpuoleinen erivaatta f (x ) on olemassa ja lim f (x ) = x x f (x ). (b) Olkoon funktio f erivoituva avoimella välillä ]x, x +σ[ sekä jatkuva suljetulla välillä [x σ, x ], missä σ >. Tällöin jos lim f (x ) on olemassa, niin myös x x + oikeanpuoleinen erivaatta f +(x ) on olemassa ja lim f (x ) = f +(x ). x x + Toistus. (a) Differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla kaikille σ > löytyy c ]x σ, x [ siten, että f (c) = f(x ) f(x σ). x (x σ) Nyt kun σ, niin c x, joten lim σ f (c) = lim x x lim f (x) = lim f (c) x x σ f(x ) f(x σ) = lim σ x (x σ) f(x) f(x ) = lim x x x x = f (x ). f (x) R. Siten (b) Vastaavalla tavalla voiaan osoittaa erotusosamäärän oikeanpuoleisen raja-arvon olemassaolo. Lemma 4. Sinifunktio on erivoituva pisteessä x = π ja tässä pisteessä sin x =. x 14

15 Toistus. Sinifunktio f(x) = sin x on jatkuva välillä [ π, 3π ], joten lim sin x = lim 1 sin x x x π x π = = lim x π + = lim x π + ( ) 1 sin x sin x. x Koska sinifunktio on lisäksi erivoituva väleillä ] π, π[ sekä ] π, 3π [, on lauseen 7 nojalla f ( π ) = lim x π Nyt koska π on välin [ π, 3π sin( π) =. x x sin x = = lim x π + Suorana seurauksena saaaan seuraava tulos. x sin x = f +( π ). ] sisäpiste, on lauseen 6 nojalla sin( π ) olemassa ja x Seuraus 3. Sinifunktio on erivoituva välillä ] π, 3π [ ja x sin x = { 1 sin x, kun x ] π, π ], 1 sin x, kun x [ π, 3π [. Seuraavan lauseen nojalla sinifunktion erivoituvuus välillä perityy koko reaaliakselille samaan tapaan kuin jatkuvuuskin (katso lause 4). Lause 8. Jaksolla n R jaksollinen sekä jokaisessa välin [a, a+n[ pisteessä (molemmin puolin) erivoituva funktio f : R R on erivoituva R:ssä ja f on jaksollinen jaksolla n. Toistus. Olkoon x R. Nyt jollakin k Z on x nk [a, a + n[. Siten lauseen oletuksilla on f(x + h) f(x ) lim h h f(x nk + h) f(x nk) = lim h h = f (x nk) R. Toisaalta tällöin f (x ) = f (x nk) kaikilla k Z, koska x oli mielivaltaisesti valittu. Seuraus 4. x sin x = { 1 sin x, kun x + nπ [ π, π ] jollekin n Z, 1 sin x, kun x + nπ [ π, 3π ] jollekin n Z. 15

16 Toistus. Toistetaan ensin sinifunktion erivoituvuus pisteessä x = π samaan tapaan kuin se lemmassa 4 tehtiin pisteelle x = π. Sinifunktio f(x) = sin x on jatkuva välillä [ π, 3π ], joten sinifunktion määrittelyjen sekä lemman 4 nojalla on lim x π x sin x = lim x π = lim x π = lim x π = = lim x π + = lim x π + sin(x π) x sin(x π + nπ) x x sin(x) ( ) 1 sin (x) x sin(x). Lisäksi sinifunktio on erivoituva välillä ] π, 3π [ ja eelleen jaksollisuuen sekä lemman 7 nojalla erivoituva välillä ] 5π, π[, sillä kun x ] 5π, π[ on x + π ] π, 3π [. Tällöin sinifunktion määrittelyjen nojalla sin(x + h) sin(x ) lim h h Siten lauseen 7 nojalla f ( π ) = lim x π x = lim h sin(x + π + h) sin(x + π) h = x sin(x + π) R. sin x = = lim x π + x sin x = f +( π ). Nyt koska π on välin ], [ sisäpiste, on erivaatta tässä pisteessä lauseen 6 nojalla olemassa ja sin( π) =. Derivoituvuus pisteessä 3π voiaan toistaa x vastaavalla tavalla ja tässä pisteessä sin( 3π) =. x Koska jaksollinen sinifunktio on erivoituva pisteissä x + nπ [ π, 3π ], on se lauseen 8 nojalla erivoituva R:ssä. Olkoon nyt x R. Tällöin löytyy n Z siten, että x + nπ [ π, 3π ], jolloin seurauksen 3 nojalla { x sin x = 1 sin x sin(x+nπ) = x, kun x + nπ [ π, π ] jollekin n Z, 1 sin x, kun x + nπ [ π, 3π [ jollekin n Z. 16

17 4 Kosinifunktio Määritellään seuraavaksi kosinifunktio sinifunktion erivaattana. Määrittely tehään paloittain, jotta samalla nähään, että kosinifunktio on jatkuva koko reaaliakselilla. Tämän jälkeen osoitetaan, että kosinifunktiolla on vastaavia ominaisuuksia kuin sinifunktiolla, joita ovat jatkuvuuen lisäksi parillisuus, erivoituvuus ja rajoittuneisuus. Lisäksi osoitetaan sini- ja kosinifunktioien välisiä yhteyksiä, joista mainittakoon erityisesti Pythagoraan trigonometrinen ientiteetti. Määritelmä 7. Välille [ π, 3π ] määritellään cos x siten, että cos x = x sin x = { 1 sin x, kun x [ π, π ], 1 sin x, kun x [ π, 3π ]. Huomautus 4. (a) cos π = cos π = cos 3π = ja cos = cos π = 1. (b) Kosinifunktio on jatkuvien funktioien yhistettynä funktiona jatkuva välillä [ π, 3π], sillä jatkuvuus pisteessä π perustuu siihen, että toispuoleiset raja-arvot yhtyvät funktion arvoon tässä pisteessä (katso huomautus 3). Nyt voimme laajentaa määritelmän koko reaaliakselille siten, että jatkuvuus säilyy. Määritelmä 8. Määritellään kosinifunktio jaksolliseksi siten, että kaikille x R asetetaan cos x = cos(x + nπ), missä n Z on sellainen, että x + nπ [ π, 3π ]. Huomautus 5. (a) Huomautuksen 4 sekä määritelmän 8 nojalla cos( π + nπ) = ja cos( + nπ) = cos(π + nπ) = 1 kaikilla n Z. (b) Huomautuksen 4 sekä lauseen 4 nojalla kosinifunktio on jatkuva ja rajoitettu koko reaaliakselilla. Seuraava tulos lienee merkittävimpiä tuloksia sini- ja kosinifunktiolle. Kappaleessa 6 osoitetaan, että sini- ja kosinifunktion avulla voiaan parametrisoia yksikköympyrä tätä tulosta hyöyntäen. Seuraus 5. Sini- ja kosinifunktioille on voimassa Pythagoraan trigonometrinen ientiteetti, jonka mukaan sin x + cos x = 1 kaikille x R. Toistus. Kosinifunktion määrittelyjen perusteella kaikille x R on ( sin x + cos x = sin x + ± 1 sin x) = 1. Seuraavan lemman avulla voiaan osoittaa, että kosinifunktio on parillinen eli cos( x) = cos x kaikilla x R. Lemma 5. Oletetaan, että A ja B ovat epätyhjiä välejä ja f : A B on erivoituva funktio. Tällöin 17

18 (a) jos f on pariton, niin f on parillinen, (b) jos f on parillinen, niin f on pariton. Toistus. (a) Oletetaan, että f on pariton ja erivoituva. Nyt toisaalta kejusäännön nojalla ja toisaalta parittomuuen perusteella x f( x) = f ( x) ( 1) = f ( x) x f( x) = x ( f(x)) = x f(x) = f (x). Koska molempien tapojen pitää johtaa samaan lopputulokseen, saaaan f ( x) = f (x) eli f ( x) = f (x). Derivaattafunktio f on siis parillinen. (b) Voiaan toistaa vastaavalla tavalla kuin kohta a. Seuraus 6. Kosinifunktio on parillinen. Toistus. Sinifunktion parittomuuen, kosinifunktion määrittelyjen sekä lemman 5 nojalla kosinifunktio on parillinen, sillä sinifunktion määrittely- sekä maalijoukko ], [ on epätyhjä väli. Kosinifunktion erivoituvuus on parillisuuen tapaan seuraus kosinifunktion määrittelystä sinifunktion avulla. Lause 9. Sinifunktio ja kosinifunktio ovat kaikkialla erivoituvia ja kaikille x R, x sin x = cos x ja cos x = sin x. x Toistus. Ensimmäinen yhtälö on suora seuraus sinifunktion erivoituvuuesta reaaliakselilla sekä kosinifunktion määrittelmästä. Kosinifunktio on erivoituva joukossa R \ { π + nπ, n Z} yhistettynä funktiona f g : R R erivoituvista funktioista g : R R + : 1 sin x ja f : R + R, f(x) = x. Eellä yhistetty funktio (f g) (x) = 1 sin x on hyvin määritelty, sillä sinifunktion määrittelyjen nojalla 1 sin x > 1 1 =. Pisteissä x n = π + nπ, n Z kosinifunktion määrittelyjen sekä huomautuksen 5 nojalla on 18

19 (f g) (x n ) = lim h = lim h + = lim h + = sin(x n ), 1 sin (x n + h) 1 sin x n h 1 sin (x n h) h ( sin(x n h)) 1 sin (x n h)( 1) 1 sin (x n h) 1 missä toiseksi viimeinen yhtäsuuruus perustuu L Hôpitalin sääntöön sekä ketjusääntöön. Samaan tapaan myös (f g) 1 sin (x n + h) 1 sin x n +(x n ) = lim h + h ) = lim h + = sin x n. ( ( sin(x n+h)) 1 sin (x n+h) 1 1 sin (x n+h) Vastaavasti kaikille x n = 3π + nπ, n Z voiaan samantapaisella laskulla osoittaa, että (f g) (x n ) = (f g) +(x n ) = sin(x n ). Eelleen pisteet { π + nπ, n Z} { π + nπ, n Z} = { π + nπ, n Z} ovat välin ], [= R sisäpisteitä, joten kosinifunktio on lauseen 6 nojallla erivoituva näissä pisteissä. Olkoon sitten x ] π, π [, tällöin ketjusäännöllä saaaan x cos x = 1 sin x x = 1 ( sin x cos x)(1 sin x) 1/ = sin x(1 sin x) 1/ (1 sin x) 1/ = sin x. Kun x ] π, 3π [ saaaan ketjusäännöllä x cos x = 1 sin x x = 1 ( sin x cos x)(1 sin x) 1/ = sin x( (1 sin x) 1/ )(1 sin x) 1/ = sin x. 19

20 Siten kaikille x R löytyy n Z siten, että x + nπ [ π, 3π ], jolloin x sin x = sin(x + nπ) = cos x x ja x cos x = cos(x + nπ) = sin x. x Toetaan seuraavaksi joitakin ominaisuuksia sini- ja kosinifunktioille. Lause 1. Sini- ja kosinifunktiolle on voimassa seuraavat ientiteetit. (a) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, (b) sin( π x) = cos x ja cos( π x) = sin x, (c) cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. Toistus. (a) Olkoon x ja y mielivaltaisia reaalilukuja sekä z = x + y. Nyt kaikilla t R, on (sin t cos(z t) + cos t sin(z t)) = cos t cos(z t) + sin t sin(z t) sin t sin(z t) cos t cos(z t) =. Siten sin t cos(z t) + cos t sin(z t) := K on vakio, koska ainoastaan vakiofunktion erivaatta on nolla kaikkialla. Nyt kun asetetaan t =, saaaan K = + 1 sin(z) = sin z ja kun asetetaan t = x, saaaan K = sin x cos(z x) + cos x sin(z x) = sin x cos y + cos x sin y, sillä z = x + y. Tämä toistaa kohan a väitteen. (b) Olkoon x, y R. Nyt kohan (a) ja kosinifunktion parillisuuen nojalla sin( π x) = sin(π ) cos( x) + cos(π ) sin( x) = cos( x) + = cos(x). Tämä toistaa b-kohan ensimmäisen yhtälön. Kun tähän yhtälöön sijoitetaan x = π y saaaan cos( π y) = sin( π π +y) = sin y, mikä toistaa jälkimmäisen yhtälön.

21 (c) Eelleen kun x, y R, saaaan kohtien (b),(a) sekä sinifunktion parittomuuen ja kosinifunktion parillisuuen nojalla cos(x + y) = sin( π x y) = sin( π x) cos( y) + cos(π = cos x cos y sin x sin y. x) sin( y) 5 Yleistetyt trigonometriset funktiot Määritellään seuraavaksi eellä määriteltyjen trigonometristen funktioien yleistykset, joita merkitsemme alaineksillä p. Määritelmät ovat muunnelmia tavallisten trigonometristen funktioien määritelmistä ja niien käsittelyssä pyritään nouattamaan samaa rakennetta kuin aiemmissa kappaleissa. Määrittelyt tehään paloittain, koska jatkuvuuen, erivoituvuuen sekä parillisuuen tai parittomuuen osoittaminen vaatii joienkin pisteien osalta tarkempaa tarkastelua. Tämän kappaleen päälähe on [7]. 5.1 Käänteinen sin p -funktio eli F p Määritellään yleistetty arcsin-funktio eli funktio F p arcsin-funktion määritelmää varioimalla. Määritelmä 9. Olkoon 1 < p < ja F p (x) := x, x [, 1[. (1 t p ) 1/p 1 Määritelmä on mielekäs, koska funktio f : [, x] R, f(t) = on jatkuva (1 t p ) 1/p suljetulla välillä [, x]. Siten funktio f on Riemann-integroituva välillä [, x]. F p -funktiolla on välillä [, 1[ samoja ominaisuuksia, joita arcsin-funktiolle toettiin välillä ] 1, 1[ (katso lause 1). Lause 11. Funktiolla F p (x) on seuraavat ominaisuuet (a) F p (x) on jatkuva välillä [, 1[. (b) F p (x) on erivoituva avoimella välillä ], 1[ ja tällä välillä F p (x) x = (1 x p ) 1/p. (c) F p (x) on aiosti kasvava, rajoitettu sekä injektiivinen funktio välillä [, 1[. 1

22 Toistus. Toistukset voiaan tehä samaan tapaan, kuin lauseessa 1. Funktion F p jatkuvuus ja erivoituvuus seuraavat integroitavan funktion jatkuvuuesta analyysin peruslauseen nojalla. Derivaattaa tutkimalla nähään aito kasvavuus. Eelleen aiosta kasvavuuesta seuraa suoraan injektiivisyys. Tarkistetaan rajoittuneisuus samaan tapaan kuin tapauksessa p =. Kun p ]1, [, on voimassa epäyhtälö 1 t 1 t p, kaikilla t [, 1[. Siten F p = x x = (1 t p ) 1 p (1 t) 1 p 1 x 1 1 = ( = 1 x u 1 p u 1 1 p + 1 u 1 p u ) ( 1 (1 x) 1 p +1) R. Kolmannessa integraalissa käytettiin sijoitusta t(u) = u + 1. Eelleen joten F p. (1 t p ) 1 p, Lauseen 11 nojalla funktio F p toteuttaa lemman 1 oletukset avoimella välillä ], 1[, joten seuraava määrittelyn laajennus on perusteltua. Seuraus 7. Laajennetaan funktion F p määrittely suljetulle välille [, 1] niin, että funktiosta tulee jatkuva, aiosti kasvava sekä rajoitettu ja missä F p [, 1] = [, c], x c = inf{f p (x), x [, 1[} = lim F p(x) = lim x + x + c = sup{f p (x), x [, 1[} = lim x 1 F p(x) = lim x 1 Määritellään luku π p seuraavasti Määritelmä 1. π p = F p (1). x = ja (1 t p ) 1/p (1 t p ). 1/p

23 Eelleen määritelmän 1 nojalla 5. Funktio sin p π p = F p (1) = sup{f p (x) : x < 1} = lim F p(x) x 1 = lim x 1 x (1 t p ) 1/p. Tässä kappaleessa määritellään funktio sin p siten, että sillä on samoja ominaisuuksia kuin sinifunktiolla. Lisäksi sin p -funktio yhtyy sinifunktioon eli sin (x) = sin(x), kun p =. Niissä toistuksissa, jotka nouattelevat lähes samaa rakennetta kuin sinifunktion yhteyessä, jätetään toistusten täsmällinen toteaminen lukijalle. Lauseen 11 nojalla funktio F p toteuttaa lauseen oletukset ja siten sille löytyy käänteisfunktio, jota kutsutaan sin p -funktioksi. Määritelmä 11. sin p -funktio välillä [, πp ] sin p : [, π p ] [, 1]. Huomautus 6. (a) Määritelmän 9 nojalla F p () = ja F p (1) = πp, joten sin p() = ja sin p ( πp ) = 1. (b) Lauseen nojalla funktio sin p (x) jatkuva ja aiosti kasvava välillä [, πp ]. Laajennetaan määrittely välille [ π p, π p ] peilaamalla funktio sin p ensin suoran x = πp ja sitten origon suhteen. Määritelmä 1. (a) Kun x [ πp, π p] määritellään (b) Kun x [ π p, ] määritellään sin p (x) = sin p (x π p ). sin p (x) = sin p ( x). Huomautus 7. (a) Funktion sin p jatkuvuus pisteissä x = πp sekä x = nähään samalla tapaan kuin huomautuksen 3 yhteyessä nähtiin. Siten funktio sin p on jatkuvien funktioien yhistettynä funktiona jatkuva välillä [ π p, π p ]. (b) Määritelmän 1 nojalla sin p (x) on pariton välillä [ π p, π p ]. 3

24 Määritelmä 13. Kaikille x R määritellään sin p (x) = sin p (x + nπ p ). Huomautus 8. Määritelmän perusteella 1 sin p (x), kun x + nπ p [ π p, ] ja sin p (x) 1, kun x + nπ p [, π p ], jollekin n Z. Seuraus 8. Funktio sin p on pariton koko reaaliakselilla. Toistus. Kaikille x R löytyy n Z siten, että x + nπ p [ π p, π p ]. Tällöin huomautuksen 7 sekä sin p -funktion määrittelyien nojalla sin p (x) = sin p (x + nπ p ) = sin p ( x nπ p ) = sin p ( x). 5.3 Funktion sin p erivoituvuus Samoin kuin eellä tässä kappaleessa ilmeisimmät toistukset jätetään lukijalle pääsääntöisesti silloin, kun voiaan viitata vastaaviin toistuksiin sinifunktion yhteyessä. Funktion sin p -erivoituvuus on sinifunktion tapaan seuraus käänteisfunktion erivoituvuuesta. Seuraava lemma voiaan toistaa vastaavasti kuin lemma, mutta tuloksen merkittävyyen vuoksi myös toistus kirjoitetaan auki. Lemma 6. Funktio sin p on erivoituva välillä ], πp πp [ ja kaikille x ], [, x sin p x = (1 (sin p (x)) p ) 1/p. Toistus. Lauseen 11 nojalla funktio y(x) = F p (x) on toteuttaa lauseen 5 oletukset avoimella välillä ], 1[, sillä y (x) = F x p(x) = (1 x p ) 1/p > (1 p ) 1/p >. Siten lauseen 5 nojalla on funktion y(x) käänteisfunktio x(y) = sin p (y) erivoituva jokaisessa pisteessä y ]F p (), F p (1)[=], πp [, jolloin y sin p(y) = y x(y) = 1 y (x) = 1 (1 x p ) = (1 1/p xp ) 1/p = (1 (sin p (y)) p ) 1/p. Lemmasta 6 seuraa erivoituvuus koko reaalikselille sin p -funktion ominaisuuksien takia. Toistetaan erivoituvuus paloissa kuten sinifunktion yhteyessä tehtiin. Seuraava lemma voiaan toistaa vastaavasti kuin lemma 3. Lemma 7. Funktio sin p (x) on erivoituva välillä ] πp, π p[ ja kaikilla x ] πp, π p[ on sin x p(x) = (1 (sin p (x)) p ) 1/p. Lemma 8. Funktio sin p (x) on erivoituva väleillä ] π p, πp (a) kun x ] πp, [, on sin x p(x) = (1 sin p (x) p ) 1/p, (b) kun x ] π p, πp [, on sin x p(x) = (1 sin p (x) p ) 1/p. 4 πp [ sekä ], [ ja

25 Toistus. (a) Kun x ] πp πp, [ on x ], [, jolloin määritelmän 1, lemman 6 ja ketjusäännön nojalla x sin p(x) = x sin p( x) = ( (1 (sin p ( x)) p ) 1/p ) = (1 (sin p ( x)) p ) 1/p = x sin p(x) = (1 sin p (x)) p ) 1/p, sillä kun x ] π p, [ on sin p ( x) = sin p (x) = sin p (x) määritelmän 1 ja huomautuksen 8 nojalla. (b) Kun x ] π p, πp πp [ on x ], π p[, jolloin määritelmän 1, lemman 7 ja ketjusäännön nojalla x sin p(x) = x sin p( x) = ( ( (1 (sin p ( x)) p ) 1/p )) = (1 (sin p ( x)) p ) 1/p = (1 sin p (x)) p ) 1/p, sillä kun x ] π p, [ on sin p ( x) = sin p (x) = sin p (x) määritelmän 1 ja huomautuksen 8 nojalla. Funktion sin p erivaatan raja-arvot molemmin puolin pisteitä πp πp,, ovat löyettävissä (ja ne ovat samoja). Tämän tieon sekä lauseien 7 ja 6 avulla voiaan osoittaa sin p -funktion erivoituvuus näissä pisteissä samaan tapaan kuin sinifunktion yhteyessä näytettiin pisteelle πp lemmassa 4. Lemma 9. Funktio sin p on erivoituva pisteissä πp sekä sin x p() = 1.,, πp ja x sin p( πp ) = x sin p( πp ) = Kun yhistetään yllä olevat lemmat, niin saaaan huomautuksen 8 nojalla Seuraus 9. Funktio sin p on erivoituva väleillä ] πp, πp ], ] π p, πp { x sin (1 sin p (x) p ) 1/p, kun x ] πp p(x) =, πp ], (1 sin p (x) p ) 1/p, kun x ] π p, πp ] sekä [ πp, π p[ ja ] tai x [ πp, π p[. Tästä seuraa sinifunktion erivoituvuus koko reaaliakselille. Tämän toistaminen voiaan tehä siten, että ensin osoitetaan määritelmän 1 ja lauseen 6 avulla erivoituvuus pisteissä π p ja π p. Sitten käytetään jaksollisuutta (lause 8), jonka avulla nähään, että funktio sin p on erivoituva reaaliakselilla. Toistus nouattelee seurauksen 4 toistuksen rakennetta. 5

26 Seuraus 1. Funktio sin p on erivoituva reaaliakselilla ja x sin p(x) = jollekin n Z. { (1 sin p (x) p ) 1/p, kun x + nπ p [ πp (1 sin p (x) p ) 1/p, kun x + nπ p [ π p, πp p [ πp p], 5.4 Funktio cos p Määritellään funktio cos p funktion sin p erivaattana. Tehään määrittely tällä kertaa heti koko reaaliakselille ja toetaan sitten, että saatu funktio on kosinifunktion tapaan jaksollinen, jatkuva, rajoitettu sekä parillinen. Tulosten yksityiskohtainen toistaminen sivuutetaan, mutta se voitaisiin toteuttaa samalla rakenteella kuin kosinifunktion yhteyessä tehtiin. Määritelmä 14. Määritellään funktio cos p (x) : R R kaavalla { cos p (x) = x sin (1 sin p (x) p ) 1/p, kun x + nπ p [ πp p(x) =, πp ], (1 sin p (x) p ) 1/p, kun x + nπ p [ π p, πp ] tai x + nπ p [ πp, π p], jollakin n Z. Funktio cos p on jaksollinen jaksolla π p ja jatkuvien funktioien yhistettynä funktiona jatkuva välillä [ π, 3π], sillä jatkuvuus pisteessä π seuraa toispuoleisten rajaarvojen olemassaolosta tässä pisteessä. Siten lauseen 4 nojalla funktio cos p on jatkuva ja rajoitettu koko reaaliakselilla. Lisäksi funktion sin p parittomuuen, määritelmän 14 ja lemman 5 nojalla funktio cos p on parillinen samaan tapaan kuin seurauksen 6 yhteyessä toettiin. Seuraus 11. Funktion cos p määritelmän seurauksena saaaan Pythagoraan trigonometrisen ientiteetin vastine Toistus. Olkoon x R. Nyt sin p (x) p + cos p (x) p = 1. sin p (x) p + cos p (x) p = sin p (x) p + ± (1 sin p (x) p ) 1/p p = sin p (x) p + 1 sin p (x) p = 1, sillä sin p (x) 1 huomatuksen 8 nojalla. Tässä mielessä sin p - ja cos p -funktiot muistuttavat klassisia vastineitaan. Niille ei kuitenkaan voi johtaa järkeviä vastineita lauseessa 1 esiintyville summakaavoille []. 6

27 6 Geometrinen näkökulma sekä katsaus yleistettyjen trigonometristen funktioien määritelmän taustoihin Geometrista tarkastelua varten otetaan käyttöön p-normi, jolla voiaan määritellä etäisyys ja eelleen tämän avulla yksikköympyrä p-metriikassa. Alla määritelty pnormi on R n -avaruuteen rajattu kirjallisuuessa usein esiintyvä l p -normi. Määritelmä 15. Olkoon p [1, [ ja olkoon x = (x 1, x,..., x n ) R n. Tällöin ( n ) 1 x p : = x k p p k=1 x : = max{ x n }. Kun p =, on kyseessä tavallinen Eukliinen normi =, jolle kaikilla x R n on x = x 1 + x x n. Eellä määritellyn p-normin on helppo osoittaa toteuttavan normin oletukset. Täsmällinen toistus löytyy lähteestä [8] joskin hieman yleisemmässä tapauksessa. Määritellään sitten p-normin avulla etäisyys p, joka virittää p-metriikan avaruuteen R n. Määritelmä 16. Olkoon a, b R n. Määritellään p : R n R n R, p (a, b) = a b p. Luku p (a, b) on pisteien a ja b välinen etäisyys p-metriikassa. Esimerkki 1. Kaupunkien kortteleissa kaut ovat usein 9 asteen kulmissa toisiinsa nähen. Siten kortteleissa ei voi liikkua linnuntietä eli lyhyintä mahollista reittiä. Sen takia pisteestä a R pisteeseen b R kuljettavan matkan mittaamiseen saattaa olla mielekästä käyttää 1-metriikkaa, city-block metric, jolle [9] a b 1 = a 1 b 1 + a b. Tällä tavoin mitattuna karttakoorinaatistossa pisteien (, ) ja (1, 1) etäisyys olisi (, ) (1, 1) 1 = =. Määritellään yksikköympyröiksi p-metriikassa pisteet, jotka ovat kullakin p-normilla mitattuna yhen yksikön etäisyyellä origosta. Määritelmä 17. Yksikköympyrä p-metriikassa on niien pisteien x = (x 1, x ) R n joukko, joille p ((, ), (x 1, x )) = 1. Esimerkki. Nyt yksikköympyrät {x R : x 1 = 1}, {x R : x = 1} ja {x R : x = 1} ovat piirretty kuvaan 1. Kun p = 1, yksikköympyrän oikea yläneljännes on joukko {x = (x 1, x ) R : x 1, x, x 1 = 1} = {(x 1, x ) R : x 1, x, x 1 + x = 1} = {(x 1, x ) R : x 1, x, x = x 1 + 1}. 7

28 Vastaavasti -normilla määritelty yksikköympyrän oikea yläneljännes on joukko {x R : x 1, x, x = 1} = {(x 1, x ) R : x 1, x, max{x 1, x } = 1} = {(1, x ) R : x 1} {(x 1, 1) R : x 1 1}. Vastaavilla tutkailuilla saaaan täyennettyä yksikköympyröien puuttuvat osat. Eukliisella normilla määritetty yksikköympyrä pietään tunnettuna. l p -normin arvoilla p = 1, p = ja p = määritetyt yksikköympyrät on esitetty kuvassa 1. Kuva 1: Yksikköympyrät määriteltynä p-normeilla p = 1, ja. Seuraus 1. Polku γ p : [ π p, π p ] [ 1, 1] [ 1, 1], γ p (t) = (cos p (t), sin p (t)) parametrisoi yksikköympyrän p-metriikassa. Toistus. Seurauksen 11 nojalla p ((, ); (cos p (t), sin p (t))) = (, ) (cos p (t), sin p (t)) p = ( cos p (t) p + sin p (t) p ) 1/p = 1 1/p = 1, kaikille t [ π p, π p ]. Siten määritelmän 17 nojalla polku γ p on yksikköympyrällä. Olkoon sitten piste (x, y) yksikköympyrällä. Tällöin selvästi x, y [ 1, 1]. Muistetaan, että funktiot sin p ja cos p ovat suljetulla välillä [ π p, π p ] jatkuvia ja saavuttavat tällä välillä arvot 1 sekä 1. Siten Bolzanon lauseen nojalla löytyy t [ π p, π p ], jolle cos p (t) = x. Nyt ( cos p (t) p + y p ) 1 p = 1 cos p (t) p + y p = 1, 8

29 missä lauseen 11 nojalla voiaan valita y p = sin p (t) p, jolloin y = sin p t tai y = sin p t. Ensimmäisessä tapauksessa on (cos p (t), sin p (t)) = (x, y). Jälkimmäisessä tapauksessa löytyy t [ π p, π p ] siten, että y = sin p t = sin p ( t) funktion sin p parittomuuen nojalla ja x = cos p t = cos p ( t) funktion cos p parillisuuen nojalla. Siten polku γ p sisältää pisteen (x, y). Eellä johettu tulos pätee erityisesti myös sini- ja kosinifunktioille. Tässä mielessä ne ovat geometrisesti analogisia cos p - ja sin p -funktioien kanssa. Eelleen kaikki karteesisen koorinaatiston pisteet (x, y) voiaan esittää cos p - ja sin p -funktioien avulla, kun seurauksessa 1 mainitut vektorit (cos p (t), sin p (t)) skaalataan reaaliluvulla r, jolloin x = r cos p (α) (4) y = r sin p (α), (5) missä α R. Sini- ja kosinifunktioien tapauksessa kyseessä on tuttu napakoorinaattimuunnos. Funktiot sin p ja cos p voitaisiin määritellä myös näillä yhtälöillä, jolloin pääyttäisiin samoihin funktioihin kuin käänteisfunktiomääritelmällä [3]. Yhtälöissä 4 ja 5 muuttuja r kertoo siis pisteen l p -etäisyyen origosta, sillä (r cos p (α), r sin p (α)) p = r (cos p (α), sin p (α)) p = r. Sen sijaan muuttujalle α saaaan vastine yksikköympyrän kaaren pituuesta vain arvolla p = [3]. Tämä osoitetaan seuraavaksi arcsin-funktion avulla. Näytetään aluksi, että funktio arcsin y kertoo Eukliista normia vastaavan yksikköympyrän pisteien (1, ) ja (x, y) välisen kaaren pituuen, kun x, y >. Tehään se valitsemalla yksikköympyrän oikealta yläneljännekseltä n N kappaletta pisteitä P n R järjestettynä y-koorinaattien mukaiseen suuruusjärjestykseen, siten että P 1 = (t 1, ) = (1, ) ja P n = (t n, 1 t n) = (x, y), missä x, y [, 1[. Näien pisteien muoostaman murtoviivan pituus n k=1 P k P k+1 voiaan ajatella erääksi alarajaksi pisteien P 1 ja P n väliselle kaaren pituuelle. Tämä on esitetty kuvassa. Supremum tällaisille approksimaatioille on ympyrän kaaren parametrisoivan polun γ : [, y] R, γ(t) = ( 1 t, t) pituus l(γ) (katso [1]) l(γ) = sup{ n γ(t k ) γ(t k 1 )) }, (6) k=1 missä pisteet = t < t <... < t n = y jakavat välin [, y[. On huomattava, että tällaisessa tarkastelussa polku täytyy määritellä siten, että ympyrän kaari kuljetaan vain kertaalleen. Koska yksikköympyrän oikean yläneljänneksen parametrisaatio on jatkuvasti erivoituva, voiaan käyttää polun pituuen integraalimääritelmää (katso [1]), jolloin saaaan 9

30 y l(γ y ) = γ y(t) y ( ) 1 t = t y 1 t + t = 1 t = y 1 1 t. Huomataan, että integroitava polku γ y voiaan suoraan laajentaa myös välille ] 1, 1[. Tällöin saatu funktio l(γ y ) : ] 1, 1[ R yhtyy funktion arcsin määritelmään. Siten yhtälöissä 1 ja sini- ja kosinifunktioien argumentti α voiaan tulkita yksikköympyrän pisteien (1, ) ja (x, y) välisen kaaren pituutena. Sen sijaan injektiota kulman eli sin p -funktion argumentin ja l p -normilla määritetyn yksikköympyrän kaaren pituuen välillä ei ole, koska yleisessä tapauksessa yksikköympyrä ei ole symmetrinen origon suhteen [3]. Yksikköympyrän kaaren pituuen laskeminen p-metriikassa osoittautuu ylipäänsä haastavaksi. Kaarta vastaavan sektorin pinta-alan avulla löyetään kuitenkin huomattavasti yksinkertaisempi funktio. Tämä funktio on yksi niistä ensimmäisistä yleistetyistä trigonometrisistä funktioista, joita ruotsalainen matemaatikko Eric Lunberg tutki jo 18-luvulla. Seuraavassa tarkastelussa esitietoina lukijalta oletetaan vektorifunktioien analyysin ja erityisesti Greenin lauseen tuntemusta. Iea lähestymistapaan on peräisin artikkelista [6][s. 1]. Pyritään siis etsimään sellainen funktio, joka antaa tuloksena sektorin pintaalan, kun kuljetaan yksikköympyrän pisteestä (1, ) pisteeseen (x, y) R, missä x, y [, 1]. Lisäksi halutaan, että funktio on yhteyessä y-koorinaatin muutokseen, samaan tapaan kuin arcsin-funktio on. Olkoon nyt y < 1 ja 1 < p <. Olkoon γ : R R : γ = γ 1 γ γ 3, missä Kuva : Ympyrän kaarta approksimoiaan murtoviivalla. 3

31 γ 1 : [, 1] R, γ 1 (t) = (t, ), γ : [, y] R, γ (t) = ((1 t p ) 1/p, t)ja γ 3 : [, y] R, γ 3 (t) = ((y t) (1 yp ) 1/p, y t). y Polku γ on yksikköympyrän {(x, y) R, (x, y) p } = 1 pisteestä (1, ) pisteeseen (x, y); x, y [, 1[ ulottuvaa kaarta vastaavan sektorin reunan parametrisoiva polku. Havainnekuva polusta γ arvolla p = on esitetty kuvassa 3. Kuva 3: Eukliisen normin määräämän yksikköympyrän erään sektorin reuna on parametrisoitu polulla γ = γ 1 γ γ 3. Lasketaan tämän polun rajaaman alueen S y nojalla pinta-ala V (S y ). Greenin lauseen V (S y ) = 1 S y = 1 y x x y γ = 1 ( y, x) s, sillä γ on positiivisesti suunnistettu, paloittain sileä ja itseään leikkaamaton joukon S y reunan parametrisoiva polku. Nyt saatu käyräintegraali yli polun γ voiaan laskea kolmessa osassa, jolloin osoittautuu, että polkujen γ 1 ja γ 3 yli integroiessa integraalit häviävät, sillä γ ja 1 ( y, x) s = 1 γ 1 1 (, t) (1, ) = 31

32 1 ( y, x) s = 1 y ( (y t), (y t) (1 ) ( ) yp ) 1/p (1 y p ) 1/p, 1 γ 3 y y = 1 y ((y t) (1 yp ) 1/p + (t y) (1 ) yp ) 1/p y y Siten =. 1 x) s = + γ( y, 1 ( y, x) s + γ = 1 y ( t, (1 t p ) 1/p) ( ) t p 1 (1 t p ) 1 p 1, 1 = 1 y ) (t p (1 t p ) 1 p 1 + (1 t p ) 1/p = 1 y ( (t p + (1 t p ))(1 t p ) 1 1) p = 1 = 1 y y (1 t p ) 1 p 1 (1 t p ) p 1 p Huomataan, että kun p =, saatu integraali yhtyy arcsin-funktion määritelmään eli. y (1 t ) 1 = y 1 t ) = arcsin y. Lisäksi havaitaan, että Eukliisessa metriikassa on voimassa yksikköympyrän ympyräsektorin kaarenpituuen arcsin y sekä sitä vastaavan sektorin pinta-alan V (S y ) välinen yhteys V (S y ) = arcsin y, kun y [ 1, 1]. Eelleen sektorin pinta-alan funktiosta V (S y ) voiaan huomata, ettei se yhy funktion F p määritelmään, kun p. Saatu funktio V (S y ) on kuitenkin erään yleistetyn sinifunktion käänteisfunktio, johon Lunberg päätyi tutkiessaan ifferentiaaliyhtälöä y = (1 x yp ) m/p arvolla m = p 1. Tätä funktiota Lunberg merkitsi S p 1 (x). Vastaavasti kosinifunktion p käänteisfunktion vastinetta eli integraalin x = 1 1 y (1 t p ) p 1 p 3

33 käänteisfunktiota Lunberg merkitsi C p 1 (x). Tähän integraaliin pääytään, kun p lasketaan sektorin pinta-ala vastaavalla tavalla kuin aiemminkin kuitenkin niin, että nyt sektori vastaa kaarta pisteestä (x, y) pisteeseen (, 1). Lunberg johti näille funktioille muun muassa Pythagoraan trigonometrisen ientiteetin vastineen S p 1 p (x) p + C p 1 (x) p = 1. p Myöhemmin yleisempiä trigonometrisiä funktioita on tutkittu melko paljon osittain siksi, että ne ovat tunnettujen ifferentiaaliongelmien ratkaisuja. Erityisesti näistä seuraavaksi tarkastellaan Dirichtlet:n ongelmaa mukaillen Peter Linqvistin tutkielmaa [1]: ) ( u p u = λ u p u välillä ], π p [, x u() =, u(π p ) =, missä luvut λ R ovat vakiomuotoisia ominaisarvoja.voiaan osoittaa, että ominaisfunktiot sin ˆ p (x), voiaan määritellä välillä [, ˆπp [ kaavalla missä x = ˆ sin p(x), (7) (1 tp )1/p p 1 ˆπ p = lim x (p 1) 1/p x (1. tp p 1 )1/p Yllä alkuperäiseen lähteeseen verrattuna määrittelyväli on muutettu suljetusta puoliavoimeksi ja ˆπ p :n määritelmä raja-arvoksi, jotta integraalit ovat hyvin määriteltyjä tässä kirjoitelmassa käytettyjen määritelmien valossa. Huomattakoon, että myös Lunberg tutki integraalin (7) tyyppistä funktiota. Integraalia (7) voiaan vielä yksinkertaistaa sijoituksella t(τ) = (p 1) 1/p τ, jolloin x = ˆ sin p(x) (1 tp p 1 )1/p (p 1) 1/psin ˆ p(x) = (p 1) 1/p τ (1 τ p ). 1/p Havaitaan, että käsitellyn Dirichtlet n ongelman kaikki ratkaisufunktiot voiaan esittää sin p -funktion avulla. Dirichtlet n ongelma on esitetty artikkelissa [3] p-laplaceoperaattorin avulla. Tämä yhteys on merkittävä, sillä tutkimus p-laplace-operaattoriin liittyen on laajaa. Eelleen Dirictlet n reunaehto-ongelmat ovat merkittävässä roolissa fysiikan tutkimuksessa, joista esimerkiksi sini- ja kosinifunktiot ovat ratkaisu kvanttimekaanisen äärettömän yksiulotteisen potentiaalikuopan tilanteeseen [11][s. 5-9]. 33