Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Palautus mennessä

Transkriptio

1 Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Kirje 1 Palautus mennessä Arvoisa lukiolainen, Onnittelut hyvästä menestyksestäsi MAOLin valtakunnallisen fysiikkakilpailun avoimessa sarjassa. Hyvän suorituksesi johdosta sinut on kutsuttu mukaan fysiikan olympiavalmennusryhmään, josta muun muassa valitaan Suomen edustajat kansainvälisiin fysiikkaolympialaisiin, jotka järjestetään heinäkuussa 2018 Portugalissa. Olympiavalmennuksen ensimmäinen vaihe koostuu valmennuskirjeistä. Kahden ensimmäisen kirjeen vastausten perusteella valitaan osallistujat pohjoismaiden ja Baltian fysiikkaolympialaisiin Tallinnaan (alustavasti ). Tämän kilpailun perusteella valitaan lopullinen Suomen edustusjoukkue kansainvälisiin fysiikkaolympialaisiin. Tallinnan kilpailuun valituille sekä lopulliselle olympiajoukkueelle järjestetään vielä jatkovalmennusta. Lisätietoja löytyy Fysiikan olympiavalmennuksen verkkosivuilta osoitteesta jyu.fi/ipho. Sivustolta löytyy myös muuta hyödyllistä oppimateriaalia lukiofysiikan tueksi valmennustaipaleelle. Valmennustoimintaan ja kilpailuihin osallistumisesta ei aiheudu mitään kuluja. Fysiikan olympiavalmennusta järjestää MAOL ry Opetushallituksen tuella. Voit osallistua valmennukseen myös, vaikka olisit aloittamassa asepalveluksesi heinäkuussa Varusmiehien osallistuminen kansainvälisiin fysiikkaolympialaisiin on yleensä onnistunut ongelmitta. Tässä on ensimmäinen valmennuskirje. Osa tehtävistä on perinteisiä laskuja, toisissa tutustutaan osittain sellaiseen fysiikkaan, mitä lukiokursseilla ei välttämättä käsitellä, mutta mitä fysiikkaolympialaisissa on hyvä hallita. Muutamat tehtävänannot ovat pitkähköjä, mutta sitä ei kannata säikähtää. Osa tehtävistä on pyritty laatimaan siten, että vaikka jotakin kohtaa ei saisi ratkaistua, voi tehtävän loppuosan silti tehdä. Valmennuskirje ei ole koe. Voit siis aivan vapaasti keskustella tehtävistä kavereiden, opettajien yms. kanssa ja hakea tietoa eri lähteistä. Tekemistä on aika paljon; kannattaa palauttaa ratkaisut myös, vaikka et olisikaan saanut ratkaistua kaikkia tehtäviä. Ongelmatilanteissa vinkkejä voi kysellä myös minulta sähköpostitse. Palauta ratkaisusi mennessä. Paperiset palautukset voi lähettää osoitteeseen Heikki Mäntysaari Fysiikan laitos PL 35 (YFL) Jyväskylän yliopisto ja sähköiset osoitteeseen heikki.mantysaari@jyu.fi. Paperiset ratkaisut palautetaan takaisin arvioinnin jälkeen. Liitä ratkaisuihisi mukaan oma nimesi, sähköpostiosoitteesi, kotiosoitteesi ja puhelinnumerosi. Seuraa sähköpostiasi säännöllisesti valmennuksen ajan. Tehtävä 1. (5p) Vastaa lyhyesti perustellen (a) Heität ankkurin veneestä järveen. Nouseeko vai laskeeko järven pinta? (b) Pingispallo kelluu vesilasissa suljetussa astiassa. Astian painetta kasvatetaan. Miten pallo asettuu paineen kasvaessa? (c) Miksi pyörivä hyrrä ei kaadu, vaikka se on pyöriessään kallellaan? Selitä erityisesti tällä videolla esiintyvä ilmiö: (d) Miksi veden pinnalla oleva öljyläikkä näkyy monivärisenä?. (e) Sateenkaaren yläpuolella saattaa joskus näkyä toinen, himmeämpi sateenkaari. Miten tämä sateenkaari muodostuu? Näkyykö se aina ja onko värien järjestys sama kuin pääsateenkaaressa? Tehtävä 2. (6p) Homogeeninen pallo (massa M, säde R) vierii kitkatta tasolla nopeudella v 1 ja törmää kynnykseen, jonka korkeus on h (kts. kuva 1). Kynnykseen osuessaan pallo pyörähtää kynnyksen päälle liukumatta (eli pyörii kuvan 1 pisteen P ollessa pyörimisakseli siten, että vain pallon yksi piste koskee kynnyksen reunaan). (a) Mikä on pallon massakeskipisteen nopeus v 2 välittömästi törmäyksen jälkeen? (b) Mikä on pallon nopeus v 3 sen noustua kynnyksen päälle? Vihje: törmäyksessä palloon kohdistuva voima ei aiheuta momenttia pisteen P suhteen. Mitä tästä seuraa? Tehtävä helpottuu, jos alkutilanteessa pallo liukuu koti kynnystä eikä vieri. Jos tehtävä ei meinaa ratketa, voit tarkastella tätä yksinkertaisempaa tapausta (jossa kannattaa jakaa pallon liikemäärä sopiviin komponentteihin). 1/5

2 Kuva 1: Pallon liike. Tehtävä 3. (6p) Kappaleen, jonka massa on (vakio) m, liikettä yhdessä ulottuvuudessa kuvaa tuttu Newtonin toinen laki F = ma, (10) missä F on kappaleeseen kohdistuva voima ja a sen kiihtyvyys. Voima on siis suoraan verrannollinen liikutettavan kappaleen kiihtyvyyteen. Arkikokemus taas monissa tilanteissa näyttää, että voima on jollain tavalla verrannollinen nopeuteen: esimerkiksi vedessä liikkuva kappale näyttää putoavan alaspäin vakionopudella tasaisen kiihtymisen sijaan. Yritämme nyt ymmärtää, miksi näin käy. (a) Nesteessä hitaasti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vastusvoima F v = Cv, (11) missä C on kappaleen muodosta ja koosta sekä nesteen ominaisuuksita riippuva positiivinen vakio. Jos kappaleeseen vaikuttaa lisäksi ulkoinen voima F u, saadaan yhtälöt (10) ja (11) yhdistämällä yhtälö ma = Cv + F u. Oletetaan, että F u ei riipu ajasta, mutta kiihtyvyys ja nopeus varmasti voivat muuttua ajan funktiona. Siten kirjoitamme edellisen yhtälön muotoon ma(t) = Cv(t) + F u. Kiihtyvyys on määritelmän mukaan nopeuden derivaatta: a(t) = v (t). Tätä määritelmää käyttäen saamme yhtälön mv (t) = Cv(t) + F u. (12) Tämä on niin sanottu differentiaaliyhtälö (katso taas olympiavalmennuksen kotisivuilta löytyvää matemaattisten menetelmien valmennusmateriaalia), ja tehtävämme on nyt löytää sellainen funktio v(t), että se toteuttaa ehdon (12). Lisäksi vaadimme, että alkuhetkellä t = 0 kappaleen nopeus on tasan v 0. Tämän jälkeen saamamme ratkaisufunktio v(t) kertoo kappaleen nopeuden milloin tahansa myöhemmin. Jos differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on sinulle tuttua esimerkiksi matematiikan syventäviltä kursseilta, ratkaise yhtälö (12). Toisaalta voimme yrittää ratkaista yhtälöä myös tekemällä valmistuneen arvauksen, että ratkaisu on muotoa v(t) = A 1 + A 2 e A3t, (13) missä A 1, A 2 ja A 3 ovat vakioita. Totea, että tämä funktio toteuttaa yhtälön (12) kun vakiot valitaan tietyllä tavalla. Huomaa, että yhtälön täytyy päteä kaikilla ajan t arvoilla. Ota lisäksi huomioon alkuehto v(t = 0) = v 0 ja päättele vakioiden A 1, A 2 ja A 3 arvot. (b) Edellisen kohdan tuloksena saamme ratkaistua nopeuden v(t). Tuloksen pitäisi näyttää tältä: v(t) = F ( u C + v 0 F ) u e Ct/m. (14) C Perustele, miksi kappaleen rajanopeus v r on v r = lim t v(t) = F u /C? Verrataan tätä tulosta yhtälöön (12), jonka kirjoitamme nyt muotoon ma = Cv +F u. Millä nopeuden v arvoilla kiihtyvyys a on nolla? Miten ja miksi tämä liittyy edellä laskettuun raja-arvoon? Tehdään lisäksi tärkeä oletus: nesteen aiheuttama vastusvoima on hyvin suuri, jolloin siis C on suuri. Edellä todettiin, että lim t = v r. Perustele (mahdollisesti sopivin lisäoletuksin), miksi olettamassamme tilanteessa v(t) v r on hyvinkin tarkka arvio jo melko pienillä ajoilla (tässä ei odoteta tarkkoja laskuja, vaan osoitus siitä, että ymmärrät, mistä on kyse, riittää). 2/5

3 Kuva 2: Maapallon läpi porattu tunneli Tuloksena saamme yhtälön v F u C. (15) (c) Edellä oletimme ulkoisen voiman F u olevan vakio. Nyt annamme sen muuttua ajan funktiona, F u = F u (t), mutta vain hitaasti. Koska nopeus lähestyy arvoa v r hyvinkin nopeasti, voimme olettaa, että v(t) = v r koko ajan, vaikka v r muuttuukin. Saamme siis yhtälön v(t) F u (t)/c, jonka voimme (unohtaen likiarvoisuuden) kirjoittaa muotoon F u (t) = Cv(t). (16) Jos olisimme olettaneet, että vastusvoimaa kuvaava kerroin C on mitättömän pieni (tai jopa C = 0), olisimmekin saaneet tutun yhtälön F u (t) = ma(t), (17) missä F u tarkoittaa kappaleeseen vaikuttavia ulkoisia voimia poislukien väliaineen vastus ja kitka. Vertaile näitä kahta liikeyhtälöä seuraavissa tapauksissa. Millä tavoin kappale putoaa painovoiman vaikutuksessa, kun F u on vakio? Mitä tapahtuu kappaleelle, joka heitetään ylöspäin? Jos kaksi samamassaista kappaletta pudotetaan yhtä aikaa samalta korkeudelta, putoaako toinen nopeammin? Jos kyllä, niin missä tilanteessa molemmat putoavat yhtä nopeasti? Näyttää siltä, että jos kappale toteuttaa liikeyhtälön (16), sen liike-energian ja potentiaalienergian summa (kokonaisenergia) ei olekaan vakio. Keksi esimerkkitilanne, jossa näin käy. Miksi energia ei näytä säilyvän? (d) Liikevastus voi olla edellä kuvatun kaltainen muutenkin kuin nesteissä. Myös ilmanvastus ja kitka voivat toimia kuvatulla tavalla. Anna kaksi esimerkkiä tilanteista, joissa liikeyhtälö (16) (tai jokin vastaava) kuvaa fysiikkaa oikein, ja yhtälö (17) ei toimi. Entä päinvastoin? Tehtävä 4. (6p) Tarkastellaan ideaalista levykondensaattoria, jossa levyjen pinta-ala on A ja levyjen välinen etäisyys on d. Kondensaattori kytketään aluksi jännitelähteeseen, ja kondensaattori varautuu siten että sen levyjen välisen sähkökentän voimakkuus on E. Tämän jälkeen kondensaattori irroitetaan jännitelähteestä. (a) Mikä on kondensaattorin sähkökentän energiatiheys levyjen välissä? (b) Kuinka suuri voima tarvitaan pitämään levyt vakioetäisyydellä toisistaan. Määritä voiman numeerinen arvo (suuruusluokka) jollekin järkevälle kondensaattorille. Ohje: tarkastele miten kondensaattorin energia muuttuu, kun levyjen välistä etäisyyttä muutetaan δd:n verran. (c) Asetetaan nyt kondensaattori puhtaaseen veteen (permittiivisyys ε = 70), kiinnitetään se hetkeksi jännitelähteeseen (jännite U) ja varautumisen jälkeen jännitelähde irroitetaan. Kuinka suuri paine-ero on kondensaattorin sisä- ja ulkopuolella? Laske paine-eron numeerinen arvo (suuruusluokka) jollekin järkevälle kondensaattorille. Vihje: Tarkastele, kuinka suuri työ on tehtävä, jotta pieni nestepatsas (poikkileikkauksen pinta-ala δa, pituus d) saadaan poistettua kondensaattorin sisältä. Yhdistä sitten toisiinsa painetta vastaan tehtävä työ ja kondensaattorin energian muutos. Saatat myös tarvita arviota 1/(1 + x) 1 x, joka pätee kun x 1 (osaatko perustella miksi?). 3/5

4 v 2 Δ t = s 2 v 1 Δ t = s 1 p 2 v 2 p 1 v 1 A 1 h 1 A 2 h 2 Kuva 3: Nesteen virtaus putkessa Tehtävä 5. (5+2p) Tarkastellaan kuvan 2 mukaista tilannetta, jossa maapallon läpi porataan tunneli siten, että tunneli kulkee maan keskipisteen kautta. Unohdetaan tässä ilmanvastus. Uhkarohkea kokeellinen fyysikko hyppää tunneliin pohjoisnavalta. (a) Kuinka kauan kestää, että hän palaa takaisin samaan pisteeseen? (b) Mikä on fyysikon kokema kiihtyvyys 5 minuutin pudotuksen jälkeen suhteessa putoamiskiihtyvyyteen maan pinnalla? Tehtävän ratkaisu vaatii seuraavan tuloksen: homogeenisen pallosymmetrisen massajakauman aiheuttama gravitaatiovoima m-massaiseen kappaleeseen pallon sisällä etäisyydellä r on F (r) = G M(r)m r 2, (29) missä M(r) on korkeintaan etäisyydellä r olevan massajakauman osan kokonaismassa. (c) Extra: Perustele tämä tulos seuraavasti: ota selvää mitä Gaussin laki (integraalimuodossa) sanoo sähkökentälle ja totea, että vastaava tulos pätee gravitaatiokentälle, sillä sähkö- ja gravitaatiokentän muoto on täsmälleen sama (F vakio r 2 ). Tehtävä 6. (6p) Tutustutaan Bernoullin yhtälöön: (a) Tarkastellaan (kokoonpuristumattoman) nesteen virtausta putkessa kuvan 3 mukaisesti. Olkoon nesten tiheys ρ, ja tarkastellaan nesteen virtausta aikavälin t ajan. Meillä on aluksi korkeudella h 1 vaakasuorassa putkessa nestealkio, joka etenee nopeudella v 1 ja putken poikkipinta-ala on A 1. Paine tässä osassa putkea on p 1. Vastaavat suureet myöhemmin putkessa ovat h 2, v 2, A 2 ja p 2. Osoita, että v1 2 2g + h 1 + p 1 ρg = v2 2 2g + h 2 + p 2 ρg, (45) eli toisin sanoen näytä, että nestevirtaukselle putkessa v 2 2g + h + p ρg on vakio. Ohje: Käytä energian säilymislakia W = E, missä W on paineen systeemiin tekemä työ ja E on systeemin mekaanisen kokonaisenergian muutos. (b) Tarkastellaan nyt litran maitotölkkiä, jonka alkareunaan porataan halkaisijaltaan d = 0,5 cm halkaisijaltaan oleva reikä. Oletetaan, että tölkki on täynnä maitoa (tiheys veden tiheys). Kuinka paljon nestettä (yksiköissä g/s) tölkistä suihkuaa välittömästi reiän avaamisen jälkeen? (c) Kuinka kauan tölkin tyhjeneminen kestää? Vertaa laskemaasi tulosta kokeellisesti määrittämääsi tyhjenemisaikaan. Ohje: muodosta lauseke nesteen massan m(t) aikaderivaatalle m (t). Muodostuvan (separoituvan) differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen löydät apua olympiavalmennuksen kotisivulta (https: // ipho) löytyvästä matemaattisten menetelmien materiaalista sekä kohdasta Tehtävä 3. Tehtävä 7. (6p) Avaruuslentojen kustannusten minimoinnin kannalta aluksen massan minimointi on ensiarvoisen tärkeää. Siksi on myöskin oleellista käyttää mahdollisimman energiatehokasta rataa siirryttäessä kiertoradalta toiselle. Tarkastellaan seuraavaksi siirtymistä Maasta Marsiin Voit olettaa, että Maan ja Marsin kiertoradat auringon ympäri ovat ympyröitä, ja käyttää ympyröiden säteelle kirjallisuudesta löytämääsi arvoa. (46) 4/5

5 (a) Tehokkain tapa siirtyä kiertoradalla korkeudelta toiselle (tässä tapauksessa korkeus on etäisyys auringosta) on ns. Hohmannin siirtoellipsi, jossa radan periheli (matalin kohta) on lähtöpiste, ja apheli (korkein kohta) sivuaa tavoitteena olevaa kiertorataa. Kuinka kauan matka Marsiin kestää? Voit jättää huomiotta Maan ja Marsin vetovoiman alukseen matkan aikana. (b) Jos alus kiertää aluksi maapalloa hyvin korkealla kiertoradalla, kuinka suuri nopeuden muutos on vähintään saatava aikaan, jotta alus saadaan siirrettyä halutulle radalle? (c) Mikä on aluksen ja Marsin suhteellinen nopeus aluksen saavuttaessa Marsin kiertoradan? (d) Missä kohtaa Marsin on oltava Maahan nähden, jotta alus päätyisi lopulta punaiselle planeetalle? (e) Millaisia oletuksia laskussa tehtiin? Millä tavoin todellinen aluksen liike eroaa lasketusta lennon eri vaiheissa? Arvioi mahdollisuuksien mukaan tehtyjen oletusten mielekkyyttä karkeilla laskuilla. Tehtävä 8. (6p) Kokeellinen tehtävä: määritä voima, joka tarvitaan rullalangan katkaisemiseen. Käytettävissä on pitkähkö pala rullalankaa, millimetripaperia/mittanauha, teippiä ja esine, jonka massa on n. 0,1 1,0 kg. Anna tuloksellesi virhearvio käyttäen valitsemaasi tähän tilanteeseen soveltuvaa menetelmää (lisätietoja virheanalyysistä löytyy olympiavalmennuksen kotisivuilta osoitteesta 5/5