Neliönjäännösten resiprookkilaki: todistus ja sovelluksia

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marianna Rajala Neliönjäännösten resirookkilaki: todistus ja sovelluksia Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 009

2 Tamereen ylioisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Rajala, Marianna: Neliönjäännösten resirookkilaki: todistus ja sovelluksia Pro gradu -tutkielma, 55 s., 1 liites. Matematiikka Toukokuu 009 Tiivistelmä Olkoot ja erisuuria arittomia alkulukuja. Oletetaan silloin, että tiedetään, onko neliönjäännös modulo vai neliöneäjäännös modulo. Tällöin voidaan kysyä, tiedetäänkö silloin, että on neliönjäännös modulo tai neliöneäjäännös modulo. Euler löysi kokeellisesti tähän kysymykseen myöntävän vastauksen vuonna Hän ei kuitenkaan ystynyt todistamaan vastausta oikeaksi. Vuonna 1785 Legendre muotoili Eulerin vastauksen uudelleen elegantimaan lauseen muotoon käyttämällä omalla nimellään kulkevaa symbolia. Tämä lause tunnetaan nykyisin neliönjäännösten resirookkilakina ja se kertoo, onko kongruenssilla x (mod ratkaisuja, kun tiedetään, onko kongruenssilla x (mod ratkaisuja. Tässä tutkielmassa todistetaan neliönjäännösten resirookkilaista muoto ( ja todistetaan se ekvivalentiksi muodon ± a a (mod 4a kanssa. Lisäksi esitetään lauseen sovelluksia. Lukijalta edellytetään joidenkin lukuteorian erusasioiden tuntemista. Oletetaan muun muassa, että lukija tuntee jaollisuuden ja suurimman yhteisen tekijän tarkan määritelmän sekä alkuluvun käsitteen. Päälähdeteoksena käytetään Kenneth H. Rosenin kirjaa Elementary number theory and its alications. ii

3 Sisältö 1 Johdanto 1 Historiaa 3.1 Gauss, neliönjäännösten resirookkilain ensimmäinen todistaja 3. Euler Legendre Valmistelevia tarkasteluja Kongruenssi Primitiivinen juuri Neliönjäännös Legendren symboli ja Eulerin kriteeri Neliönjäännösten resirookkilain todistus Gaussin lemma Resirookkilain todistus Ekvivalenttisuustodistus Resirookkilain sovelluksia Legendren symbolin arvioiminen Neliönjäännösten kaksi erusongelmaa ja muita laskuesimerkkejä Peinin testi Resirookkilaki Jacobin symbolille Ortogonaaliset yksikkömatriisit Viitteet 55 Liite 56 iii

4 1 Johdanto Olkoot ja erisuuria arittomia alkulukuja. Oletetaan silloin, että tiedetään, onko neliönjäännös modulo vai neliöneäjäännös modulo. Tällöin voidaan kysyä, tiedetäänkö silloin, että on neliönjäännös modulo tai neliöneäjäännös modulo. Euler löysi kokeellisesti tähän kysymykseen myöntävän vastauksen vuonna Hän ei kuitenkaan ystynyt todistamaan vastausta oikeaksi. Vuonna 1785 Legendre muotoili Eulerin vastauksen uudelleen elegantimaan lauseen muotoon käyttämällä omalla nimellään kulkevaa symbolia. Tämä lause tunnetaan nykyisin neliönjäännösten resirookkilakina ja se kertoo, onko kongruenssilla x (mod ratkaisuja, kun tiedetään, onko kongruenssilla x (mod ratkaisuja. Jatkossa tuloksesta käytetään myös lyhyemää nimitystä resirookkilaki. Neliönjäännösten resirookkilaki esitetään usein muodossa ( Legendre julkaisi lauseelle myös monia todistuksia. Jokaisesta todistuksesta löydettiin kuitenkin vakavia uutteita. Ensimmäisen itävän todistuksen esitti Gauss, joka toisten töistä tietämättömänä uudelleen keksi tuloksen 18- vuotiaana vuonna Hänen sanotaan [4] uhranneen tuloksen todistamiseen kaiken mahdollisen aikansa yhden vuoden ajan. Sen jälkeen, kun Gauss oli esittänyt ensimmäisen todistuksensa resirookkilaille vuonna 1796, hän jatkoi erilaisten todistusten etsimistä. Hänen tiedetään Rosenin [16] mukaan löytäneen ainakin kuusi erilaista todistusta. Tavoitteena Gaussilla oli löytää sellainen todistus, joka olisi yleistettävissä korkeammille otensseille. Tässä hän onnistui kuudennen todistuksensa kohdalla (kts.[6] tai [10]. Gauss ei kuitenkaan ole ollut ainoa, joka on halunnut etsiä erilaisia todistustaoja resirookkilaille. Muun muassa Cauchy, Dedekind ja Eisenstein kuuluvat siihen nimekkäiden matemaatikkojen joukkoon, joka on julkaissut todistuksen resirookkilaille. Franz Lemmermeyer itää internetissä 1 yllä listaa resirookkilain todistuksista. Listalla on tällä hetkellä 4 todistusta. Luvussa 4 tullaan esittämään resirookkilaille todistus, jonka esitti alun erin Max Eisenstein. Tämä todistus on yksinkertaistettu muoto Gaussin kolmannesta todistuksesta. Yksinkertaistuksen tekee mahdolliseksi Eisensteinin esittämä lause, joka auttaa muuttamaan neliönjäännösten resirookkilain todistuksen kolmion hilaisteiden (lattice oint laskemiseksi. Ennen 1 htt:// hb3/fchrono.html(haettu

5 resirookkilain todistamista tullaan tekemään valmistelevia tarkasteluja luvussa 3, jossa esitetään tarvittavia käsitteitä, määritelmiä ja lauseita koskien mm. neliönjäännöstä ja Legendren symbolia. Lukijalta edellytetään joidenkin lukuteorian erusasioiden tuntemista. Oletetaan mm., että lukija tuntee jaollisuuden ja suurimman yhteisen tekijän tarkan määritelmän sekä alkuluvun käsitteen. Päälähdeteoksena käytetään Kenneth H. Rosenin kirjaa Elementary number theory and its alications. Mainittakoon vielä, että aina, kun todistuksen kohdalla ei ole mainintaa lähdeteoksesta, kyseessä on tekijän itse todistama lause. Tämä ei tarkoita, etteikö kyseisiä lauseita olisi todistettu missään lähdeteoksista. Lähes kaikki esimerkit ovat tekijän itse tuottamia, vaikka niihin on otettu mallia lähdeteoksien vastaavista esimerkeistä. Tämän tutkielman liitteeseen on myös listattu aiheeseen liittyvää suositeltavaa luettavaa, jota ei ole käytetty lähdemateriaalina.

6 Historiaa.1 Gauss, neliönjäännösten resirookkilain ensimmäinen todistaja James Anderson ja James Bell [1, s. 4-7] esittelevät kiintoisia historian henkilöitä. Yksi heistä on Carl Friedrich Gauss, joka eli vuosina Hän syntyi Saksassa ja oli tavallisen työläiserheen lasi. Jotkut lähteet kertovat Andersonin ja Bellin mukaan, että Gaussin isä olisi ollut muurari ja toiset lähteet väittävät hänen olleen uutarhuri, kanavan esimies ja lihakauias. Gaussin isä vastusti Gaussin koulutusta ja toivoi hänen jatkavan omaa uraansa, mikä se ikinä olikin. Andersonin ja Bellin mukaan on kerrottu, että Gaussin isä akotti oikansa aikaisin nukkumaan talviaikaan säästääkseen valoa ja olttoainetta, mutta Gauss teki kynttilän tyhjäksi koverretusta turnisista oiskellakseen. Gaussin sanotaan myös olleen liian älykäs siihen, ettei häntä ja hänen tuloksiaan olisi huomattu. Hän oiskeli itsekseen esimerkiksi lukemista ja aritmetiikkaa. On myös kerrottu, että Gauss löysi kolmevuotiaana virheen isänsä tilikirjoista. Ensimmäisillä matematiikan tunneillaan Gaussin oettaja, J. G. Büttner, yysi oilaitaan laskemaan yhteen kokonaisluvut yhdestä sataan itääkseen luokkansa toimeliaana. Gauss ratkaisi ongelman sekunneissa löydettyään kaavan n:n ensimmäisen kokonaisluvun summan laskemiseksi. Büttner säästi itseään määrätessään Gaussin raskaaseen työhön järjestelemään matematiikan kirjoja ja määrätessään assistenttinsa tutoroimaan Gaussia. Gauss tuotiin Brunswickin herttuan tietoisuuteen ja herttuasta tulikin Gaussin suojelija kuolemaansa saakka. Herttualta saamansa tuen avulla Gauss ystyi osallistumaan Collegium Caroliumin oetukseen vuosina Kyseessä oli ylioistoon valmistava koulu. Tämän ajanjakson aikana Gauss muodosti ienimmän neliösumman menetelmän. Vuonna 1795 hän ääsi Göttingeniin, mutta ei ollut vielä äättänyt, oiskelisiko hän filosofiaa vai matematiikkaa. Yhdeksäntoistavuotiaana Göttingenissä ollessaan Gauss keksi, että säännöllinen 17-sivuinen monikulmio voitaisiin muodostaa käyttämällä ainoastaan suoraa kulmaa ja komassia. Tämä keksintö, joka oli ollut ratkaisematon vuosisatoja, sai Gaussin valitsemaan matematiikan. Ilmeisesti matematiikan oetus oli tähän aikaan heikkoa Göttingenissä, ja siksi Gauss työskenteli yksin todistaen joitakin suurimmista tuloksistaan. Valmistuttuaan Göttingenistä 1798 Gauss alasi Brunswickiin, missä hän työskenteli suojelijansa rahallisella avustuksella. Gaussille myönnettiin tohtorin arvo Hänen väitöskirjansa, algebran eruslauseen todistus, oli ääosin kirjoitettu Johann Frederick Pfaffin alaisuudessa. Pfaff oli Saksan arhaiten tunnettu matemaatikko. Gauss oli tavannut hänet kirjastossa. Myöhemmin Gauss tuotti lauseelle useita todistuksia. Kun 3

7 Gaussin suojelija kuoli, Gauss hyväksyi aikan Göttingenistä. Hän äätti ottaa tuolinsa astronomiasta, jotta hänellä olisi enemmän aikaa työskennellä. Gauss ei kuitenkaan itänyt oettamisesta vaan suosi matematiikan harrastustaan. Göttingenistä hän oistui tuolinsa vastaanottamisen jälkeen ainoastaan kaksi kertaa. Ollessaan 4-vuotias Gauss aloitti työstämään Disuisitiones Arithmeticaeta. Teos vakiinnutti lukuteorian aseman matematiikan osa-alueena. Gauss loi teoksessaan lukujen kongruenssit. Hän julkaisi myös ensimmäisen todistuksen neliönjäännösten resirookkilaille. Yhteensä Gauss esitti Andersonin ja Bellin mukaan resirookkilaille kahdeksan todistusta 17 vuoden sisällä 3. Hän näytti myös, että säännöllinen sivuinen monikulmio voidaan konstruoida suorakulmalla ja komassilla, jos on muotoa n 1, ja todisti Wilsonin lauseen yleistyksen. Kirja oli jaettu seitsemään kaaleeseen ja tuli tunnetuksi seitsemän sinetin kirjana, sillä sitä oli liian vaikea lukea. Kaikkien onneksi Peter Gustav Lejeune-Dirichlet onnistui rikkomaan nämä sinetit ja kirjoitti teoksen luettavamaan muotoon. Andersonin ja Bellin mukaan Gaussin kirjaa oli saatavilla vain muutama kaale julkaisijan konkurssin vuoksi. Edes kaikilla hänen oilaillaan ei ollut sitä. Dirichlet n sanotaan nukkuneen kyseinen kirja tyynynsä alla. Vaikka Gauss tunnetaan yleisesti matematiikan rinssinä, hän oli yhtä tunnettu fysiikassa, mekaniikassa ja teoreettisessa astronomiassa. Esimerkkinä kerrottakoon, että Gauss keksi heliotrooin ja yhdessä Weberin kanssa, joka oli fyysikko Göttingenissä, hän keksi ja käytti lennätintä yhden mailin etäisyydellä. Mainittakoon vielä, että Gauss iti kirjaa todistuksistaan aina 19-vuoden iästä eteenäin. Useimmat näistä todistuksista Gauss iti salassa ja julkaisi vain muutamia. Näitä muistiinanoja ei julkaistu ennen vuotta Tästä syystä useat matemaatikkojen tänä aikana julkaisemat tulokset osoittautuivatkin Gaussin jo todistamiksi.. Euler Anderson ja Bell [1, s. 188] esittelevät matemaatikoista myös Eulerin. Léonard Euler, , oli luterilaisen astorin oika Sveitsistä. Hänen isänsä oli hänen ensimmäinen oettajansa ja halusi ojastaan aia. Euler ääsi onnekseen Jean Bernoullin oilaaksi. Bernoulli oli yksi Eurooan arhaista matemaatikoista. Koska Eulerin mahdollisuudet Sveitsissä olivat rajalliset, hän, useiden muiden eurooalaisten matematiikoiden taaan, meni vasta erustettuun Pietarin Akatemiaan. Venäjällä asuessaan Euler menetti näön toisesta silmästään. Vähän hänen saaumisensa jälkeen oliittinen tukahduttaminen alkoi Venäjällä. Neljäntoista vuoden jälkeen Euler lähti Venäjältä 3 Huomaa, että kuten johdannossa mainittiin Rosen [16] väittää todisituksia olleen ainakin kuusi. Tarkasta lukumäärästä ei siis voida olla varmoja 4

8 Berliinin Akatemian matematiikan osaston johtajaksi. Anderson ja Bell kertovat, että ilmeisesti Saksan kuningataräidin kysyessä Eulerilta, miksi hän oli niin ujo, hän vastasi tulleensa juuri maasta, jossa uhujat hirtettiin. Häntä idettiin kaikesta huolimatta yhä suuressa arvossa Venäjällä. Kun Venäjä hyökkäsi Saksaan 1760, he tuhosivat Eulerin maatilan. Kun venäläiset saivat tämän tietoonsa, menetys korvattiin välittömästi ja keisarinna lisäsi mukaan ylimääräisen lahjan. Sitä, millainen lahja oli, Anderson ja Bell eivät kerro. Friedrick II kanssa syntyneiden erimielisyyksien vuoksi Euler alasi Venäjälle oltuaan 5 vuotta Saksassa ja vastaanotti Katariina suuren esittämän avokätisen tarjouksen. Neljä vuotta Venäjälle muuttamisen jälkeen Euler menetti näön toisestakin silmästä ja oli sokea viimeiset 17 vuotta elämästään. Euler ei kuitenkaan luounut matematiikan luomisesta. Andersonin ja Bellin mukaan vuonna 1771 syttyi tulialo, joka tuhosi Eulerin talon. Hänen sveitsiläinen alvelijansa, Peter Grimes, syöksyi rohkeasti alavaan taloon ja kantoi sokean Eulerin ulos. Katariina rakennutti hänelle välittömästi uuden talon. Kerrotaan, että 18.äivä syyskuuta 1783 Euler käytti iltaäivän laskien lakeja allojen nousulle ja hahmotellen laskelmia vasta löydetyn Uranuksen radalle. Myöhemmin Euler oli leikkimässä lasenlasensa kanssa ja olttamassa iiua, kun hän sai aivohalvauksen. Piiu tiui hänen suustaan, hän lausahti "kuolen"ja Eulerin elämä äättyi. Myöhemmin esiteltävä φ -funktio on nimetty Eulerin mukaan. Anderson ja Bell väittävätkin hänen olleen tuotteliain matematiikan kirjoittaja. Hänen työnsä täyttäisivät heidän mukaansa yli 75 suurta kirjaa. Hän oli aktiivinen käytännöllisesti katsoen jokaisella matematiikan osa-alueella. Lukuteoriassa Euler teki suunnattoman määrän töitä, joihin kuuluvat muun muassa useiden Fermat n vähäisemien lauseiden todistaminen. Hän sai ansioita toologian idean synnyttämisestä. Hän voitti myös arvokkaan Biennal-alkinnon tieteiden akatemiasta kaksitoista kertaa. Euler käytti ensimmäisenä käsitettä funktio. Wikiediassa kerrotaan, että "tämän lisäksi Euler aloitti muun muassa verkkoteorian ja variaatiolaskennan erusteiden tutkimisen. Häneltä ovat eräisin myös monet modernit merkinnät, muun muassa summa, ii ja imaginaariyksikkö. Yksi tunnetuimmista Eulerin töistä on niin sanottu Eulerin identiteetti e πi Sitä idetään yleisesti matematiikan kauneimana kaavana". 5

9 .3 Legendre Anderson ja Bell [1] estittelevät myös Adrien-Marie Legendren. Kuten johdannossa mainittiin, Adrien-Marie Legendre ( oli ensimmäinen, joka esitti neliönjäännösten resirookkilain. Legendre oli varakkaasta eteläranskalaisesta erheestä, mutta eli suurimman osan elämästään Pariisissa. Häntä koulutettiin Collége Mazarinissa Pariisissa ja hän oli matematiikan rofessorina Ècole Militiairessa viisi vuotta. Hän luoui aikastaan käyttääkseen enemmän aikaa tutkimukseensa. Kaksi vuotta myöhemmin hän voitti alkinnon Berliinin Akatemiassa esseestään ammusten radoista. Hänet valittiin tieteiden akatemiaan, mihin hän jäi sen sulkemiseen (10 vuotta myöhemmin asti. Hän ei suostunut taiumaan hallitukselle, kun se yritti määrätä akatemiaa. Hän joutui luoumaan eläkkeestään ja kuoli köyhyydessä. Legendre ei ollut erityisen idetty ja arvostettu, vaikka hän oli suuri matemaatikko. Hän ei omasta mielestään saanut ansaitsemaansa tunnustusta ja oli Andersonin ja Bellin mielestä varmasti oikeassa. Hän oli erityisen ärtynyt Gaussista. Anderson ja Bell väittävät Gaussin olleen sitä mieltä, että jos hän oli äiväkirjassaan osoittanut lauseelle todistuksen, se oli hänen. Legendren mielestä sen henkilön, joka todistuksen oli julkaissut, kuului saada kunnia. Legendrehän esitti ensimmäisenä tässä tutkielmassa esitetyn muodon neliönjäännösten resirookkilaista, mutta ei kyennyt todistamaan sitä. Gauss todisti sen ja jätti Legendren anoksen huomiotta. Legendre julkaisi ensimmäisen todistuksen ienimien neliösummien metodista. Tämän todistuksen on Andersonin ja Bellin mukaan sanottu olevan ensimmäinen tyydyttävä todistus. Jälleen kerran Gauss vaati aiemman kunnian. Parhaiten Legendre tunnetaan kirjastaan euklidisesta geometriasta, jota idetään Andersonin ja Bellin mukaan yhtenä arhaimmista ikinä kirjoitetuista oikirjoista. Hän työskenteli monilla alueilla, mutta on lähinnä tunnettu työstään lukuteoriassa, taivaallisessa mekaniikassa ja ellitisten funktioiden teoriassa. Neliönjäännösten resirookkilain ja Legendren symbolin lisäksi, hänen työnsä lukuteoriassa sisälsi Fermat n suuren lauseen todistuksen, kun n 5 ja alkulukujen jakauman arvioinnin. Hän oli myös yksi kolmesta valtuutetusta, jotka tarkkailivat standardimetrin määrittämiselle välttämätöntä kolmiomittausta. 6

10 3 Valmistelevia tarkasteluja Tässä luvussa käsitellään luvun 4 käsittelyn kannalta tärkeitä määritelmiä ja lauseita sekä tutustutaan tutkielmassa käytettäviin merkintöihin. Kaikkia määritelmiä ja lauseita ei käytetä sellaisenaan, vaan ne on tarkoitettu ajattelun kehittämiseen. Resirookkilain ymmärtäminen vaatii tietynlaista ajattelua. Jos toisin ei mainita, lukujen oletetaan olevan kokonaislukuja. Tässä luvussa oletetaan lukijan tuntevan lukuteoria erusmerkinnät sekä jaollisuuden, alkuluvun ja suurimman yhteisen tekijän käsitteet. 3.1 Kongruenssi Kongruenssit mahdollistavat jaollisuussuhteiden käsittelemisen jota kuinkin yhtäsuuruuden taaan [16]. Seuraavassa esitellään muutamia kongruessin ominaisuuksia, jotka helottavat resirookkilain todistuksen ymmärrettävyyttä. Määritelmä 3.1. Olkoon m ositiivinen kokonaisluku. Silloin sanotaan luvun a olevan kongruentti luvun b kanssa modulo m, jos m (a b. Jos luku a on kongruentti luvun b kanssa modulo m, niin merkitään a b (mod m [8, s. 18]. Vastaavasti, jos m (a b, merkitään a b (mod m. Tällöin a ja b ovat eäkongruentteja. Lukua m kutsutaan kongruenssin moduliksi. Esimerkki 3.1. Kongruenssin määritelmän mukaan 13 1 (mod 4, koska 4 ( Toisaalta 13 4 (mod 4, sillä 4 ( Lause 3.1. Olkoot a ja b kokonaislukuja. Silloin a b (mod m, jos ja vain jos on olemassa sellainen kokonaisluku k, että a b + km. Todistus. Vrt.[16, s. 14]. Jos a b (mod m, niin m (a b. Tästä seuraa, että on olemassa kokonaisluku k, jolle ätee km a b siten, että a b+km. Kääntäen, jos on olemassa kokonaisluku k, jolle a b + km, niin km a b. Siis m (a b ja näin ollen a b + km. Esimerkki 3.. Selvästi 14 (mod 3.Toisaalta Lause 3.. Olkoot a,b,c kokonaislukuja sekä olkoon m ositiivinen kokonaisluku. Olkoon a b (mod m. Silloin (i a + c b + c (mod m (ii a c b c (mod m (iii ac bc (mod m. 7

11 Todistus. Vrt.[16, s. 144]. Koska a b (mod m, tiedetään, että m (a b. Yhtäsuuruudesta (a + c (b + c a b, nähdään, että m ((a + c (b + c, mistä seuraa kohta (i. Samoin kohta (ii seuraa siitä, että (a c (b c a b. Kohdassa (iii tulee huomata, että ac bc c(a b. Siis ac bc (mod m. Esimerkki 3.3. Sovelletaan lausetta kongruenssiin 13 1 (mod 4, jolloin kongruenssit ovat voimassa (mod 4, (mod 4, (mod 4 Lause 3.3. Olkoon m ositiivinen kokonaisluku. Jos a b (mod m ja c d (mod m, niin ac bd (mod m. Todistus. Vrt.[16, s. 145]. Huomataan ensin, että ac bd ac bc + bc bd c(a b + b(c d ckm + blm m(ck + bl. Siis m (ac bd. Näin ollen ac bd (mod m. Esimerkki 3.4. Selvästi 8 3 (mod 5 ja 7 (mod 5. Tällöin itää myös aikkansa 56 6 (mod 5, joka voidaan sieventää vielä muotoon 56 1 (mod 5 Kongruenssin jakaminen uolittain kokonaisluvulla ei ole aivan yhtä yksinkertaista kuin kertominen. Seuraavassa lauseessa esitellään, miten uolittain jakaminen on mahdollista. Lause 3.4. Merkitään (a, m d. Silloin [8, s. 19] ab ac (mod m b c (mod m/d. Todistus. Kongruessin ja jaollisuuden määritelmien erusteella voidaan selvästi esittää ekvivalenssiketju ab ac (mod m m (ab ac m a(b c m d a (b c d m (b c d b c (mod m/d. 8

12 Korollaari 3.1. Olkoon m ositiivinen kokonaisluku ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että (a, m 1. Silloin ab ac (mod m b c (mod m. Esimerkki 3.5. Selvästi (mod 6 ja (4, 6, joten lauseen 3.4 erusteella 10 4 (mod. Määritelmä 3.. Joukko {r 1, r,..., r m } on täydellinen jäännössysteemi modulo m, jos r i r j (mod m, aina kun i j. [7, s. 4] Esimerkki 3.6. {0, 1,,..., m 1} on täydellinen jäännössysteemi modulo m. Määritelmä 3.3. Eulerin funktio φ määritellään kaavalla [7, s. 4] φ(n {r : 1 r n, (r, n 1}, n Z +. Esimerkki 3.7. Seuraavassa taulukossa on esitetty Eulerin φ-funktion arvot luvun m arvoille m φ(m Taulukko 1. Eulerin φ-funktion arvoja. Huomautus 3.1. φ(m on arillinen aina, kun m >. [16, s. 43] Huomautus 3.. Jos on alkuluku, niin φ( 1. Tämä ätee myös toisin äin. Jos on ositiivinen kokonaisluku ja φ( 1, niin on alkuluku. [16, s. 4] Huomautus 3.3. φ( a a a 1, kun on alkuluku ja a Z +. [16, s. 41] Määritelmä 3.4. Joukko {r 1, r,..., r φ(m } on suistettu jäännössysteemi modulo m, jos 1 (r i, m 1, kun i 1,,..., φ(m, r i r j (mod m, kun i j. [7, s. 4] Esimerkki 3.8. {r 1 r m, (r, m 1} on suistettu jäännössysteemi modulo m. Lause 3.5. Olkoon {r 1, r,..., r φ(m } suistettu jäännössysteemi modulo m ja olkoon a sellainen nollasta eroava kokonaisluku, että (a, m 1. Silloin A {ar 1, ar,..., ar φ(m } on suistettu jäännössysteemi modulo m. [7, s. 5] 9

13 Todistus. Vrt.[9]. Joukossa A on φ(m alkiota, joten riittää osoittaa, että suistetun jäännössysteemin määritelmän kohdat 1 ja ätevät. (1Vastaoletus: On olemassa i {1,..., φ(m} siten, että (ar i, m > 1. Siis on olemassa alkuluku siten, että ar i ja m, koska ositiivinen kokonaisluku on alkulukujen tulo. Tästä seuraa, että a ja m tai r i ja m. Jos a ja m, niin (a, m > 1, mikä on ristiriita. Jos taas r i ja m, niin (r i, m > 1. Siis{r 1, r,..., r φ(m } ei ole suistettu jäännössysteemi modulo m, mikä on ristiriita. Siis kohta 1 on voimassa. (Vastaoletus: On olemassa i, j {1,..., φ(m}, i j sekä ar i ar j (mod m. Koska (a, m 1, seuraa, että r i r j (mod m, mikä on ristiriita. Siis kohta on voimassa. Lause 3.6 (Eulerin-Fermat n lause. Olkoon m ositiivinen kokonaisluku ja a sellainen kokonaisluku, että (a, m 1. Tällöin a φ(m 1 (mod m. [7, s. 5] Todistus. Vrt.[9]. Merkitään ja R {r 1, r,..., r φ(m } {r 0 r m 1, (r, m 1} ar {ar 1,..., ar φ(m }. Nyt jokaista ar i ar kohti on olemassa yksikäsitteinen r j R siten, että r j ar i (mod m. Tällöin lauseen 3.3 erusteella ar 1 ar ar φ(m r 1 r... r φ(m (mod m. Toisin sanottuna a φ(m r 1 r r φ(m r 1 r r φ(m (mod m. Koska suistetun jäännössysteemin määritelmän erusteella (r 1 r r φ(m, m 1, niin saadaan a φ(m 1 (mod m. Esimerkki 3.9. Eulerin-Fermat n lauseen erusteella sillä (5, φ( (mod 16, Lause 3.7 (Fermat n ieni lause. Jos on alkuluku ja a, niin a 1 1 (mod. [16, s. 17] 10

14 Todistus. Huomautuksen 3.3 erusteella tiedetään, että φ( 1. Koska a, niin jaollisuuden määritelmän erusteella (, a 1. Täten lauseen 3.6 erusteella a φ( 1 (mod eli a 1 1 (mod. Korollaari 3.. Jos on alkuluku, niin a a (mod. Todistus. Katso [7] tai [16]. Määritelmä 3.5. Olkoon (a, m 1. Silloin kongruenssin ax 1 (mod m ratkaisua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi modulo m. [7, s. 7] Huomautus 3.4. Kun (a, m 1, niin luvun a käänteisluku modulo m on olemassa ja se on yksikäsitteinen modulo m. [7, s. 7] Esimerkki Luku 9 on luvun 7 käänteisluku modulo 31, sillä (7, 31 1 ja (mod 31. [7, s. 7] Lause 3.8. Olkoon alkuluku ja a. Silloin luku a on itsensä käänteisluku modulo, jos ja vain jos a 1 (mod tai a 1 (mod. [7, s. 7] Todistus. Kts. [7, s. 7] Lause 3.9 (Wilsonin lause. Jos on alkuluku, niin ( 1! 1 (mod. Todistus. Vrt.[16, s. 16]. Tutkitaan ensin taaukset ja 3. : ( 1! 1! 1 1 (mod 3 : (3 1!! 1 (mod 3. Oletetaan sitten, että > 3. Olkoon a {, 3,..., }. Koska (a, 1, niin tiedetään, että luvun a käänteisluku modulo on olemassa. Koska (a 1 ja (a + 1, niin edellisen lauseen nojalla luvun a käänteisluku modulo on eri kuin luku a itse. Siis luvut, 3,..., voidaan jakaa erillisiin areihin siten, että jokaisen arin tulo on kongruentti luvun 1 kanssa modulo. Tämä voidaan tehdä, sillä lukuja on arillinen määrä ja luvut 1 ja 1 ovat itsensä käänteisalkioita modulo. Kertomalla nämä arit keskenään saadaan, että 3 ( 1 (mod Koska 1 1 (mod, niin saadaan, että 3 ( 1 1 (mod eli ( 1! 1 (mod 11

15 Lause 3.10 (Kiinalainen jäännöslause. Olkoot m 1, m,..., m r, missä r, areittain suhteellisia alkulukuja. Tällöin kongruenssiryhmällä x a 1 (mod m 1 x a (mod m. x a r (mod m r on yksikäsitteinen ratkaisu modulo M m 1 m m r. Todistus. Kts.[7, s. 8] Esimerkki Ratkaise kongruenssiryhmä x 1 (mod x 1 (mod 5 x 0 (mod 3. Koska,3,5 ovat areittain suhteellisia alkulukuja, niin kiinalaisen jäännöslauseen nojalla kongruenssiryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu modulo Tällöin M M M Koska (mod (mod (mod 3, niin y 1 1 (mod y 1 (mod 5 y 3 1 (mod 3. Siis x (mod 30. 1

16 3. Primitiivinen juuri Aloitetaan aiheen käsittely kokonaisluvun kertaluvun käsitteestä. Olkoot a ja m suhteellisia alkulukuja ja m > 1. Silloin lauseen 3.6 mukaan a φ (m 1 (mod m. Tällöin on olemassa ainakin yksi sellainen ositiivinen kokonaisluku x, että a x 1 (mod m. Koska kokonaisluvut ovat hyvinmääriteltyjä, voidaan todeta, että on olemassa sellainen ienin kokonaisluku x, joka totetuttaa edellä mainitun kongruenssin. Määritelmä 3.6. Olkoot a ja m suhteellisia alkulukuja ja m > 0. Tällöin luvun a kertaluku modulo m on ienin sellainen ositiivinen kokonaisluku x, että a x 1 (mod m. Merkitään x ord m a. [7, s. 15] Esimerkki 3.1. Etsitään ord 5. Aluksi todetaan, että (, 5 1. Nyt 1 (mod (mod (mod (mod 5. Tämän erusteella ord 5 4. Ei ole tareen laskea vaihtoehtoa 5, sillä etsimme ienintä sellaista ositiivista kokonaislukua x, että kongruenssilla a x 1 (mod m on ratkaisu. Seuraava lause on tareellinen, kun etsitään kongruenssin a x 1 (mod m kaikkia ratkaisuja. Lause Olkoot a ja m suhteellisia alkulukuja ja m > 0. Silloin ositiivinen kokonaisluku x on kongruenssin a x 1 (mod m ratkaisu, jos ja vain jos ord m a x. Todistus. Vrt.[16, s. 334]. Oletetaan, että ord m a x. Nyt x (ord m ak, missä k Z +. Siis a x a (ordmak (a ordma k 1 k 1 (mod m Oletetaan seuraavaksi, että a x 1 (mod m. Tällöin jakoalgoritmin mukaan on olemassa sellaiset kokonaisluvut ja r, että Tästä nähdään, että x (ord m a + r, kun 0 r < ord m a. a x a ordma+r (a ordma a r a r (mod m. Koska a x 1 (mod m, tiedetään, että a r 1 (mod m. Eäyhtälöstä a r < ord m a voidaan äätellä, että r 0, sillä määritelmän mukaan ord m a on ienin ositiivinen kokonaisluku, jolle ätee a ordma 1 (mod m. Koska r 0, saadaan x ord m a. Näin ollet ord m a x. 13

17 Esimerkki Koska ord 5 4, niin esimerkiksi x 1 on kongruenssin x 1 (mod 5 ratkaisu, sillä 4 1. Toisaalta x 6 ei ole kongruenssin x 1 (mod 5 ratkaisu, sillä 4 6. Korollaari 3.3. Jos a ja m ovat suhteellisia alkulukuja ja m > 0, niin ord m a φm Todistus. Vrt.[16, s. 335]. Koska (a, m 1, niin Eulerin-Fermat n lauseen mukaan a φ(m 1 (mod m. Kuitenkin lauseen 3.11 mukaan luku x on kongruenssin a x 1 (mod m ratkaisu, jos ja vain jos ord m a x. Nyt x φ(m. Näin ollen ord m a φ(m. Esimerkki Etsitään ord 15. Koska φ(15 8, niin edellä mainitun seurauksen erusteella mahdollisia ord 15 arvoja ovat 1,, 4 ja 8. Koska niin ord (mod (mod (mod (mod 15, Huomautus 3.5. Jos luvun φ(m tekijöistä valitaan mielivaltaisesti jokin x, ei välttämättä ole olemassa sellaista lukua a, että x olisi sen kertaluku modulo m. Jos a on sellainen luku, että (a, m 1, niin korollaarin 3.3 mukaan ord m a φ(m. Luvun ord m a suurin mahdollinen arvo on siis φ(m. Tästä seuraa rimitiivisen juuren määritelmä. Määritelmä 3.7. Olkoot r ja m suhteellisia alkulukuja ja m > 1. Jos ord m r φ(m, niin sanotaan, että r on rimitiivinen juuri modulo m. Toisin sanoen luvulla m on rimitiivinen juuri r, jos r φ(m 1 (mod m ja r k 1 aina, kun k < φ(m. [7, s. 17] Esimerkki Koska ord 9 6 φ(9, on rimitiivinen juuri modulo 9. Koska ord 7 3 φ(7, ei ole rimitiivinen juuri modulo 7. Huomautus 3.6. Kaikilla kokonaisluvuilla ei ole rimitiivistä juurta. Tällaisia lukuja ovat muun muassa 8,1 ja

18 3.3 Neliönjäännös Martin J. Erickson [5] kysyy, milloin neliökongruenssit ovat ratkaistavissa. Hän kysyy myös, miten niiden ratkaisut löydetään. Tässä työssä tullaan huomaamaan, että ratkaisun avain on alkulukujen neliönjäännökset, kuten Erickson esittää. On olemassa kaksi lähestymistaaa ongelmalle x a (mod, missä on alkuluku. Voidaan valita ja etsiä sellaisia luvun a arvoja, että sillä on neliöjuuri modulo tai voidaan valita a ja etsiä modulia, jolle on olemassa luvun a neliöjuuri. Aloitetaan tämän luvun käsittely käsittelemällä yleistä neliökongruenssia, ax + bx + c 0 (mod m, missä a 0 (mod m. Käytetään Ericksonia [5] mukaillen neliöksi täydentämistä. Kerrotaan kongruenssi termillä 4a: 4a x + 4abx + 4ac 0 (mod m. Sieventämällä äästään muotoon: (ax + b b 4ac (mod m. Kun tehdään suistus y b 4ac (mod m, nähdään, että jos m on ariton ja (a, m 1 ylläolevalla kongruenssilla on ratkaisu, jos ja vain jos kongruenssilla y b 4ac (mod m on ratkaisu. Siirrytään seuraavaksi käsittelemään neliönjäännöksiä. Määritelmä 3.8. Luku a on neliönjäännös modulo m, jos a on suhteellinen alkuluku luvun m kanssa ja on olemassa sellainen kokonaisluku x, että a x (mod m. Jos tällaista lukua x ei ole olemassa, a on neliöneäjäännös. [3, s. 180] Koska jatkossa rajoitutaan taauksiin, joissa m on ariton alkuluku, esitetään myös seuraava määritelmä. Määritelmä 3.9. Olkoon ariton alkuluku ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että a. Tällöin a on neliönjäännös modulo, jos kongruenssilla x a (mod on ratkaisu. Jos kongruenssilla ei ole ratkaisua, kutsutaan lukua a neliöneäjäännökseksi modulo. Voidaan käyttää myös nimitystä eäneliönjäännös. [1, s. 100] 15

19 Huomautus 3.7. Jos a b (mod, niin a ja b ovat molemmat joko neliönjäännöksiä tai neliöneäjäännöksiä modulo. Näin ollen neliönjäännöksiä tutkittaessa riittää, että tarkastellaan lukuja 1,,..., 1. [17] Esimerkki Tutkitaan alkulukua 5. Tarkastellaan suistettua jäännössysteemiä modulo 5, joka on joukko {1,,3,4}. Nyt 1 1 (mod 5 4 (mod (mod (mod 5. Siis luvut 1 ja 4 ovat neliönjäännöksiä modulo 5 ja luvut ja 3 ovat neliöneäjäännöksiä modulo 5. Seuraavan lauseen tulos voidaan huomata myös edellisestä esimerkistä. Lause 3.1. Olkoon ariton alkuluku ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että a. Tällöin kongruenssiyhtälöllä x a (mod on joko tasan kaksi ratkaisua tai ei ratkaisuja ollenkaan. Todistus. [16, s. 40]. Jos kongruenssilla x a (mod on ratkaisu, merkitään x x 0, niin voidaan helosti osoittaa, että x x 0 on toinen eäkongruentti ratkaisu. Koska ( x 0 x 0 a (mod, nähdään, että x 0 on ratkaisu. Nyt x 0 x 0 (mod, sillä jos x 0 x 0 (mod, niin saadaan x 0 0 (mod. Tämä on mahdotonta, koska on ariton ja x 0. Voidaan tarkentaa, että x 0, koska x 0 a (mod ja a. Jotta osoitettaisiin, että ei ole enemää kuin kaksi ratkaisua, oletetaan, että x x 0 ja x x 1 ovat molemmat kongruenssin x a (mod ratkaisuja. Tällöin saadaan x 0 x 1 a (mod, niin että x 0 x 1 (x 0 + x 1 (x 0 x 1 0 (mod. Tällöin (x 0 + x 1 tai (x 0 x 1 niin, että x 1 x 0 (mod tai x 1 x 0 (mod. Tästä syystä kongruenssilla x a (mod on tasan kaksi ratkaisua, jos sillä on ratkaisu. 16

20 Lause Jos on ariton alkuluku, on olemassa tasan ( 1/ neliönjäännöstä ja ( 1/ neliöneäjäännöstä modulo lukujen 1,,..., 1 joukossa. Todistus. Vrt. [16, s. 403]. Jotta löydettäisiin kaikki neliönjäännökset modulo lukujen 1,,..., 1 joukosta, tulee tarkastella näiden lukujen neliöiden ienimiä ositiivisia jäännöksiä modulo. Koska neliöitä on 1 kaaletta ja jokaisella muotoa x a (mod olevalla kongruenssilla on joko kaksi tai ei yhtään ratkaisua, täytyy tällöin olla tasan ( 1 neliönjäännöstä modulo lukujen 1,,..., 1 joukossa. Jäljelle jääneet ( 1 ( 1 ( 1 lukua ienemää ositiivista lukua ovat neliöneäjäännöksiä modulo. 3.4 Legendren symboli ja Eulerin kriteeri Seuraavaksi esitellään Legendren symboli ja Eulerin kriteeri. Eulerin kriteeri, kuten neliönjäännösten resirookkilakikin, erustuu Legendren symbolin ominaisuuteen. Määritelmä Olkoon ariton alkuluku ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että a. Tällöin a { 1, jos a on neliönjäännös modulo 1, jos a on neliöneäjäännös modulo. Tätä kutsutaan Legendren symboliksi. [16, s. 404] Esimerkki Koska luvut 1,4 ovat neliönjäännöksiä ja luvut,3 neliöneäjäännöksiä modulo 5, ( ( ja ( Lause 3.14 (Eulerin kriteeri. Olkoon ariton alkuluku ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että (, a 1. Tällöin [16, s. 404] ( a a ( 1 (mod. 17

21 Todistus. Vrt.[7, s. 4]. Todistetaan ensin lauseen ensimmäinen osa. Oletetaan, että a on neliönjäännös modulo. Silloin kongruenssilla x a (mod on ratkaisu, jota merkitään x 1. Koska (a, 1, niin myös (x 1, 1. Täten Fermat n ienen lauseen nojalla a ( 1/ (x 1 ( 1/ x (mod. Oletetaan sitten, että a ( 1/ 1 (mod. Olkoon r rimitiivinen juuri modulo. Koska (a, 1, niin a r k (mod jollakin k, missä 1 k φ( 1. Siis Täten lauseen 3.11 nojalla ( 1 k r a ( 1 1 (mod. ord r k ( 1 eli ( 1 k ( 1. Huomaa, että k ( 1 c ( 1, missä c Z + eli k c eli k on arillinen. Merkitään k j. Nyt (r j r k a (mod, joten r j on kongruenssin x a (mod ratkaisu. Näin ollen a on neliönjäännös modulo. Todistetaan lauseen toinen osa. Fermat n ienen lauseen nojalla (a ( 1/ 1(a ( 1/ + 1 a (mod. Siis a ( 1/ 1 0 (mod tai a ( 1/ (mod eli a ( ( 1/ 1 (mod tai a ( 1/ 1 (mod. Siis a 1 (mod. a Eulerin kriteeri voidaan todistaa myös Wilsonin lauseen (lause 3.9 avulla. Kts. esimerkiksi [17, s. 189]. Esimerkki Olkoon 7. Silloin Eulerin kriteerin mukaan ja 4 ( (mod 7 6 ( (mod 7. Siis on 4 neliönjäännös ja 6 on neliöneäjäännös modulo 7. 18

22 Lause Seuraavat ominaisuudet ätevät Legendren symboleille: (3.1 (3. (3.3 (3.4 (3.5 (3.6 ( 1 1 ( a b ab ( a 1 1 a 0 a Z a Jos a b (mod, niin { 1, jos 1 (mod 4 1, jos 1 (mod 4 ( b. Todistus. Vrt. [5, s. 13] ja [16, s. 405]. Kohta (3.1 seuraa Legendren symbolin määritelmästä. a Kohta (3.: Eulerin kriteerin erusteella tiedetään, että a ( 1/ (mod, b ( 1/ (mod ja (ab ( 1/. Näin ollen b ab ( a b a ( 1/ b ( 1/ (ab ( 1/ ab (mod. Koska Legendren symboli voi saada vain arvot ±1, voidaan äätellä, että ( Kohta (3.3: koska a ( a b ab. ±1 kohdasta (3. seuraa, että ( a a a 1. 1 Kohta (3.4: Eulerin kriteerin erusteella tiedetään, että ( 1 ( 1/ (mod. Jos 1 (mod 4, niin 4k +1, jollakin kokonaisluvulla k. Näin ( ollen ( 1 ( 1/ ( 1 k 1. Siis 1 1. Jos 3 (mod 4, niin 4k + ( 3, jollakin kokonaisluvulla k. Näin ollen ( 1 ( 1/ ( 1 k+1 1. Siis 1. 1 Kohta (3.5 seuraa siitä, että neliönjäännöksiä ja neliöneäjäännöksiä on yhtä aljon. 19

23 Kohta (3.6: jos a b (mod, niin kongruenssilla x a (mod on ratkaisu, jos ja vain jos kongruenssilla x b (mod on ratkaisu. Täten a ( b. 0

24 4 Neliönjäännösten resirookkilain todistus Olkoot ja erisuuria arittomia alkulukuja. Jos kongruenssi x (mod on ratkeava, merkitään 1. Jos kongruenssi ei ole ratkeava, merkitään 1. Vastaavasti kongruenssin ratkeavuuden erusteella merkitään 1 tai 1. Tällä tavoin määriteltyjen Legendren symbolien välillä on voimassa yhtälö, jota kutsutaan neliönjäännösten resirookkilaiksi. Lause 4.1 (Neliönjäännösten resirookkilaki. Olkoot ja erisuuria arittomia alkulukuja. Tällöin ( ( ( Neliönjäännösten resirookkilaki siis väittää, että Legendren symbolit ja vastaavat toisiaan aina, kun kongruenssi 3 (mod 4 ei ole voimassa. Kun 3 (mod 4, ( (. Koska Legendren symboli ±1, jos ja ovat arittomia alkulukuja ja, saadaan, että +1. Tämä todistaa seuraavan korollaarin. Korollaari 4.1. Jos ja ovat erillisiä arittomia alkulukuja, niin [14, s. 16] ( ( Ennen kuin voidaan todistaa neliönjäännösten resirookkilaki johdannossa esitetyllä tavalla, tulee todistaa Gaussin lemma. 1

25 4.1 Gaussin lemma Gaussin lemma tarjoaa tavan selvittää, onko alkuluvun kanssa suhteellinen alkuluku a, a Z, neliönjäännös vai neliöneäjäännös modulo. Lause 4. (Gaussin lemma. Olkoon ariton alkuluku ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että (a, 1. Olkoon s joukon X {a, a, 3a,..., ( 1 a} sellaisten alkioiden lukumäärä, joiden jakojäännös modulo on suuremi kuin. Silloin a ( 1 s.[16, s. 407] Todistus. Vrt.[11, s. 140] ja [16, s. 407]. Joukon X alkiot ovat eäkongruentteja modulo. Nimittäin koska (a, 1, kongruenssilla ha ka (mod on ratkaisu ainoastaan, kun h k (mod. Muodostetaan joukot U ja V siten, että joukkoon U kuuluvat ne joukon X alkioiden jakojäännökset, jotka ovat ienemiä kuin / ja joukkoon V kuuluvat ne joukon X alkioiden jakojäännökset, jotka ovat suuremia kuin /. Merkitään U {u 1, u,..., u t } ja V {v 1, v,..., v s }. Tällöin s+t 1( 1. Luvut v 1, v,..., v s ovat kaikki välillä [0, 1 ]. Yksikään näistä luvuista ei ole kongruentti joukon U alkion kanssa modulo, sillä jos ja v i u j (mod v i ba (mod, u j ca (mod, missä i {1,,..., s}, j {1,,..., t} ja b, c {1,,..., 1 ( 1}, niin b + c 0 (mod. Tämä on mahdotonta, sillä 0 < b + c <, ehdon b, c {1,,..., 1 ( 1} erusteella. Siis luvut u 1, u,..., u t, v 1, v,..., v s ovat kaikki ienemiä tai yhtäsuuria kuin luku 1( 1 ja niitä on 1 ( 1 kaaletta. Kertomalla nämä luvut keskenään, saadaan u 1 u u t ( v 1 ( v ( v s ( 1 1! ( 1 s Nyt Eulerin kriteerin erusteella seuraa, että ( a ( 1 s.! a 1 ( 1 (mod.

26 7 Esimerkki 4.1. Lasketaan Gaussin lemman avulla. Lukujen 7, 7, , 4 7, 5 7 jakojäännökset( modulo 11 ovat 7, 3, 10, 6,, joista kolme on suuremia kuin 11. Näin ollen 7 ( Siis luku 7 on neliöneä- jäännös modulo ab a b x Koska tiedetään, että, Legendren symbolin arvon laskemiseksi riittää laskea kaikilla alkuluvuilla, joka jakaa luvun x. ( Tarkastellaan ensin taausta. Osoitetaan, että Legendren symbolin arvo riiuu ainoastaan kongruenssiluokasta modulo 8. ( Lause 4.3. Olkoon ariton alkuluku. Silloin ( 1 ( 1/8. Siis luku on neliönjäännös alkuluvuille ±1 (mod 8 ja neliöneäjäännös alkuluvuille ±3 (mod 8. Todistus. Vrt.[16, s. 408]. Olkoon s kokonaislukujen 1,,..., (( 1/ sellaisten ienimien ositiivisten jakojäännösten määrä, jotka ovat lukua / suuremia. Silloin Gaussin lemman erusteella tiedetään, että ( ( 1 s. Koska kaikki yllämainitut kokonaissluvut ovat lukua ienemiä, riittää laskea ainoastaan lukua / suuremien määrä, jotta tiedettäisiin kuinka monen jakojäännös on suuremi kuin /. Kokonaisluku j, missä 1 j ( 1/, on ienemi kuin /, kun j /4. Näin ollen lukua / ienemiä kokonaislukuja on /4 kaaletta. Täten lukua / suuremia kokonaislukuja on s ( 1/ /4 kaaletta. Nyt Gaussin lemman erusteella nähdään, että ( 1 ( 1 /4. Lauseen todistamiseksi riittää osoittaa, että kaikilla arittomilla kokonaisluvuilla ätee (4.1 1 /4 1 8 (mod. Pitää huomata, että (4.1 ätee ositiiviselle kokonaisluvulle, jos ja vain jos se ätee luvulle + 8. Tämä seuraa siitä, että ( (+8/4 +4 ( /4 + 1 /4 (mod 3

27 ja ( (mod. Koska jokainen ariton alkuluku on kongruentti luvun n ±1 tai n ±3 kanssa modulo 8, voidaan äätellä, että 4.1 ätee jokaiselle arittomalle alkuluvulle, jos se ätee luvuille n ±1 ja n ±3. Sillä, että luvut ±1, 3 eivät ole alkulukuja, ei ole merkitystä kongruenssien käsittelyn kannalta. Tarkastellaan nämä taaukset: n 1 : 1 1 n 1 : 1 1 n 3 : 3 1 n 3 : 3 1 1/ (mod 1/4 0 ( / (mod 3/4 3 1 ( (mod (mod. Koska jokainen ariton alkuluku on kongruentti luvun n ±1 tai n ±3 kanssa modulo 8, seuraa, että jokaiselle arittomalle alkuluvulle ätee 1 /4 1 8 (mod ja edelleen ( 1 ( 1/8. Kongruenssiluokassa ( 1/8 (mod tehdyistä laskuista voidaan huomata, että 1, jos ±1 (mod 8 ja 1, jos ±3 (mod 8. (Vaihtoehtoisia todistuksia esitetään muun muassa lähteissä [5, s. 137], [1, s. 105] ja [17, s. 19]. Ericksonin mukaan [5, s. 138] Legendren symbolin arvon laskeminen kokonaislukua kolme suuremmalle alkuluvulle Gaussin lemmaa kayttäen on vaikeamaa. On kuitenkin olemassa taa määrittää tämän Legendren symbolin arvo kongruenssiluokasta modulo

28 ( Legendren symboli 3 ( voidaan liittää symboliin 3 (. Koska 3 1, jos ja vain jos 1 (mod 3, saadaan ratkaistua alkueräinen ongelma. Tätä suhdetta Legendren symbolien ja välillä kutsutaan siis neliönjäännösten resirookkilaiksi Resirookkilain todistus Tässä luvussa esiteltävä todistus noudattaa tiukasti Rosenin esittämää todistusta [16, s. 40].Todistuksen ohjana käytetään Rosenin todistusta, koska se on yksi heloimmista resirookkilain todistuksista ymmärtää. Neliönjäännösten resirookkilaki on Rosenin [16] mielestä yksi kiehtovimmista ja haastavimmista lukuteorian tuloksista. Lause liittää siis toisiinsa Legendren symbolien arvot, kuten edellä ollaan todettu, kun ja ovat arittomia alkulukuja. Ennen varsinaista lauseen todistusta Rosen [16, s. 418] esittelee resirookkilauseesta muodon, joka osoittaa, että Legendren symbolin arvo riiuu a ainoastaan jäännösluokasta modulo 4a ja että Legendren symbolin arvo on sama kaikilla alkuluvuilla, jonka jäännös on r tai 4a r jaettaessa luvulla 4a. Tämä muoto esitetään lauseessa 4.4. Lause 4.4. Olkoon ariton alkuluku ja olkoon a kokonaisluku sekä (a, 1. Jos on alkuluku, jolle ätee ± (mod 4a, niin [16, s. 418] Osoitamme luvussa 4.3, että edellä esitetyt kaksi resirookkilain muotoa (lauseet 4.1 ja 4.4 ovat ekvivalentit. Seuraava Eisensteinin lause mahdollistaa johdannossa mainitun Gaussin kolmannen resirookkilaille esittämän todistuksen yksinkertaistuksen. Lause 4.5. Jos on ariton alkuluku ja a on ariton kokonaisluku sekä (a, 1, niin a ( 1 T (a,, missä T (a, ( 1/ i1 ja/. a a a 5

29 Todistus. Vrt.[16, s. 41-4]. Tarkastellaan lukujen a, a,..., (( 1/a ienimiä ositiivisia jakojäännöksiä. Olkoot u 1, u,..., u s niistä ne, jotka ovat lukua / suuremia, ja v 1, v,..., v t ne, jotka ovat lukua / ienemiä. Jakoalgoritmista saadaan ja ja/ + r j, missä jäännös r j on muotoa u j tai v j. Kun lasketaan yhteen ( 1 tällaista yhtälöä, saadaan (4. ( 1/ j1 ja ( 1/ j1 s t ja/ + u j + v j j1 j1 Kuten Gaussin lemman todistuksessa osoitettiin, kokonaisluvut v 1,..., v s, u 1,..., u t ovat kokonaisluvut 1,,..., ( 1/ jossakin järjestyksessä. Kun lasketaan yhteen nämä kokonaisluvut, saadaan (4.3 ( 1/ j1 s t s t j ( v j + u j s v j + u j j1 j1 j1 j1 Kun vähennetään yhtälöstä (4.3 yhtälö (4. uolittain, nähdään, että ( 1/ j1 ja ( 1/ j1 j ( 1/ j1 s ja/ s + v j. j1 Koska T (a, ( 1/ j1 ja/, niin saadaan edellinen lauseke seuraavaan ekvivalenttiin muotoon ( 1/ s (a 1 j T (a, s + v j. j1 j1 Kun suistetaan tätä viimeistä yhtälöä modulo, äästään muotoon 0 T (a, s (mod, sillä a ja ovat arittomia. Näin ollen T (a, s (mod. Gaussin lemman erusteella a ( 1 s. Näin ollen siitä, että ( 1 s ( 1 T (a,, seuraa ( a ( 1 T (a,. 6

30 5 Esimerkki 4.. Käytetään edellistä lausetta Legendren symbolin arvon selvittämiseksi. Arvioidaan siis 13 summaa 6 5i/13] 5/ / /13 + 0/13 + 5/ /13 i ( Siis 5 13 ( arvon selvittämiseksi arvioidaan sum- 5 ( Vastaavasti Legendren symbolin maa 13i/5 13/5 + 6/ i1 13 Siis ( Seuraava esimerkki esittelee resirookkilain todistuksen kulkua. Kyseessä on siis yksi neliönjäännösten resirookkilain esityistaaus. Esimerkki 4.3. Olkoon 5 ja 13. Tarkastellaan kokonaislukuareja (x, y, missä (5 1 1 x ja ( y 6. Tällaisia areja on 1 kaaletta. Voidaan huomata, että mikään näistä areista ei täytä ehtoa 13x 5y, koska silloin 13 5y ja näin ollen 13 5, mikä on mahdotonta, tai 13 y, mikä on mahdotonta, sillä 1 y 6. Nämä 1 aria jaetaan kahteen ryhmään kuvan 1 mukaisesti riiuen lukujen 13x ja 5y suhteellisesta koosta. Ne kokonaislukuarit (x, y, missä 1 x, 1 y 6 ja 13x > 5y ovat täsmälleen ne samat arit, missä 1 x ja 1 y 13x/5. 7

31 ( 5 Kuva 1. Kokonaislukuisteiden laskeminen tulon 13 selvittämiseksi. Kiinnitetylle kokonaislukuarvolle x, 1 x, on olemassa 13x/5 mahdollista luvun y arvoa. Näin ollen niiden arien kokonaismäärä, jotka toteuttavat ehdot 1 x, 1 y 6 ja 13x > 5y, on 13i/5 13/5 + 6/ i1 Nämä 7 aria ovat (1, 1, (1,, (, 1, (,, (, 3, (, 4 ja (, 5. Ne kokonaislukuarit (x, y, missä 1 x ja 1 y 6 ja 13x < 5y, ovat täsmälleen ne samat arit, missä 1 y 6 ja 1 x 5y/13. Kiinnitetylle kokonaislukuarvolle y, 1 y 6, on olemassa 5y/13 mahdollista luvun x arvoa. Näin ollen niiden arien kokonaismäärä, jotka toteuttavat ehdot 1 x, 1 y 6 ja 13x < 5y, on i/13 5/ / /13 + 0/13 + 5/ /13 i

32 Nämä 5 aria ovat (1, 3, (1, 4, (1, 5, (1, 6 ja (, 6. Täten nähdään, että i/5 + 5i/ i1 i1 Siis ( ( 1 i1 13i/5 + 6 i1 5i/13 ( 1 i1 13i/5 ( 1 6 i1 5i/13. Koska lauseen 4.5 erusteella 13 ( 1 ( 5 i1 13i/5 ja ( i1 5i/13, nähdään, että ( 13 5 ( Seuraavaksi esitetään todistus neliönjäännösten resirookkilaille edellisen esimerkin tyyliä noudattaen. Todistus. Vrt.[16, s. 40]. Tarkastellaan kokonaislukuareja (x, y, missä 1 x ( 1/ ja 1 y ( 1/. Tällaisia areja on selvästi 1 1 kaaletta. Jaetaan arit kahteen ryhmään kuvan mukaisesti riiuen lukujen x ja y suhteellisesta koosta. ( Kuva. Kokonaislukuisteiden laskeminen tulon ( selvittämiseksi. Ensiksi huomataan, että kaikille areille ätee x y. Jos olisi x y, niin y, jolloin tai y. Kuitenkin, koska ja ovat erisuuria alkulukuja, tiedetään, että, ja koska 1 y ( 1/, tiedetään, että y. 9

33 Jotta tiedettäisiin sellaisten kokonaislukuarien (x, y, missä ja 1 x ( 1/, 1 y ( 1/, x > y, määrä, itää huomata, että kyseessä olevat arit ovat täsmälleen samat arit, missä 1 x ( 1/ ja 1 y x/. Jokaiselle kiinnitetylle kokonaisluvulle x, 1 x ( 1/, on olemassa x/ ehdon 1 y x/ täyttävää y:n arvoa. Täten kokonaislukuarien (x, y, missä 1 x ( 1/, ja kokonaismäärä on 1 y ( 1/ x > y, ( 1/ j1 j/. Tarkastellaan sitten kokonaislukuareja (x, y, missä ja 1 x ( 1/, 1 y ( 1/ x < y. Nämä arit ovat täsmälleen samat, kuin ne arit (x, y, missä 1 y ( 1/ ja 1 x y/, kuten kuvasta voidaan nähdä. Näin ollen jokaiselle kiinnitetylle kokonaisluvulle y, 1 y ( 1/, on olemassa tasan y/ kokonaislukua x, jolle ätee 1 x y/. Siis sellaisten kokonaislukuarien (x, y, missä 1 x ( 1/, ja 1 y ( 1/ x < y, 30

34 kokonaismäärä on ( 1/ j1 j/. Kun lasketaan yhteen näiden luokkien sisältämien arien kokonaismäärät ja muistetaan, että tällaisten arien kokonaismäärä on 1, nähdään, että ( 1/ j1 j/ + ( 1/ j1 j/ 1 1 1, sillä jokaisen arin on kuuluttava jomaan kumaan luokkaan. Jos käytetään edellisen lauseen merkintöjä saadaan, Näin ollen T (, + T (, 1 1. ( 1 T (,+T (, ( 1 T (, ( 1 T (, ( Gaussin lemman ja lauseen 4.5 erusteella ( ( 1 T (, ja ( 1 T (, (. Näin ollen ( Ekvivalenttisuustodistus Tässä luvussa todistamme edellä esitetyt kaksi resirookkilain muotoa ekvivalenteiksi. Lause 4.6. Olkoot ja erisuuria arittomia alkulukuja ja olkoon a ositiivinen kokonaisluku. Tällöin neliönjäännösten resirookkilain muoto ( ( ( on ekvivalentti muodon ± a a (mod 4a kanssa. 31

35 Todistus. Vrt.[15, s ]. Oletetaan, että ja ovat erisuuria arittomia alkulukuja ja a on ositiivinen kokonaisluku. Lisäksi oletetaan, että ( ( ( Nyt riittää todistaa, että ± a (mod 4a ( a, kun a on ariton alkuluku(a,. Jos lause ätee tässä taauksessa, yleinen taaus seuraa tekijöihinjaon ja kongruenssin ominaisuuksien erusteella. Tarkastellaan ensin taausta, (mod 4a. Koska kongruenssin (mod 4a mukaan on voimassa( kongruenssi (mod a. Tästä saadaan lauseen 3.15 erusteella, että. Tämän tiedon ja resirookkilain ensimmäisen muodon erusteella saadaan ( a a a ( ( 1 1 a 1 ( 1 a 1 a 1 1 ( 1 a 1 a ( 1 a 1 + a. Nyt, kun +4at, jollakin t Z, saadaan + ( 1+at. Koska luku 1 + at on arillinen, niin + 0 (mod 4. Siis a 1 + on arillinen ja täten. Näin ollen resirookkilain toinen muoto ätee tässä taauksessa. a a Vastaavasti käsitellään taausta (mod 4a. Nyt on voimassa ( kongruenssi (mod a. Tästä saadaan, että tiedon ja resirookkilain ensimmäisen muodon erusteella saadaan a a. Tämän ( a ( ( 1 1 a 1 ( 1 1 a 1 a 1 ( 1 a a ( 1 1 a 1 a 1 1 ( 1 ( 1 a 1 ( a ( 1 a a ( 1 a 1 + a ( ja + 0 (mod 4. Siis a 1 + on arillinen, joten a ( Kääntäen oletetaan, että resirookkilain toinen muoto ätee. Oletetaan lisäksi, että > ja (mod 4. a. 3

36 Näin ollen + 4a, jollekin a 1. Nyt tätä toista muotoa ja lauseita 3.15 ja 4.3 käyttämällä saadaan + 4a 4a a a 4a ( ( 1 1. ( Täten, jos 1 (mod 4, niin ( 1/ on arillinen ja (mod 4, niin 1 on arillinen ja siten ( Jos 3 (mod 4, niin ( 1/ on ariton ja ( 1/ on ariton ja siten ätee kummassakin taauksessa. ( ( (. Koska. Tällöin myös ( Näin ollen resirookkilaki Viimeiseksi oletetaan, että (mod 4. Tällöin + 4a, jollekin a 1. Tästä ja resirookkilain toisesta muodosta sekä lauseesta 3.15 saadaan + 4a a a 4a + (. Nyt jos 1 (mod 4, niin 3 ((mod ( 4 ja siten ( 1/ on arillinen ja ( 1/ on ariton. Näin ollen ( Jos sitten 3 (mod 4, niin 1 ((mod ( 4 ja siten ( 1/ on ariton ja ( 1/ on arillinen. Näin ollen ( Täten resirookkilain muodot ovat yhtäitävät. Ericksonin mukaan [5, s. 138] Legendren symbolin ( 3 arvon laskeminen kokonaislukua kolme suuremmalle alkuluvulle Gaussin lemmaa kayttäen on hankalaa. Seuraavassa esimerkissä huomataan, kuinka kätevästi se saadaan laskettua resirookkilain avulla. Esimerkki 4.4. Edellisen lauseen erusteella saadaan, että ( 3 1, jos ja vain jos ±1 (mod 1. Tätä tarkastellaan tarkemmin seuraavassa luvussa. 33

37 5 Resirookkilain sovelluksia Neliönjäännösten resirookkilailla on sekä teoreettisia että käytännöllisiä sovelluksia. Sitä voidaan käyttää muun muassa laskuissa ja hyödyllisten tulosten todistamiseen. Tässä luvussa esitellään muutamia kiintoisia sovelluksia. 5.1 Legendren symbolin arvioiminen Resirookkilakia käytetään muun muassa Legendren symbolien arvioimiseen. Edellisessä kaaleessa voitiin huomata, että ( 1/ on arillinen, kun 1 (mod 4, ja ariton, kun 3 (mod 4. Edelleen voidaan huomata, että ( 1 ( 1 on arillinen, kun 1 (mod 4 ja 1 (mod 4, ja ( 1 ( 1 on ariton, jos 3 (mod 4. Tällöin saadaan ( { 1, jos 1 (mod 4 tai 1 (mod 4 1, jos 3 (mod 4. (Pitää huomata, että yllä ei ole kyse oissulkevasta tai:sta. ( Koska ainoat mahdolliset arvot Legendren symboleille ja nähdään, että, jos 1 (mod 4 tai 1 (mod 4, jos 3 (mod 4. ovat ±1, Tämä tarkoittaa sitä, että jos ja ovat arittomia alkulukuja, niin elleivät molemmat ja ole kongruentteja luvun 3 kanssa modulo 4. Jos molemmat ja ovat kongruentteja luvun 3 kanssa modulo 4, niin. Esimerkki 5.1. Olkoon 17 ja ( 1. Koska( (mod 4, 17 1 neliönjäännösten resirookkilain nojalla. Nyt lauseen kohdan (3.6 nojalla tiedetään, että ja saman lauseen kohdan (3.3 nojalla seuraa, että 1. Tästä saadaan, että

38 5.1.1 Neliönjäännösten kaksi erusongelmaa ja muita laskuesimerkkejä Seuraavat esimerkit osoittavat kuinka neliönjäännösten resirookkilakia voidaan käyttää neliönjäännöksiin liittyvien erusongelmien ratkaisuissa. Esimerkit ovat lähteen [, s ] mukaisia. Esimerkki 5.. Määritä, onko 19 neliönjäännös vai neliöneäjäännös modulo 383. Ratkaisu. Arvioidaan Legendren symbolia käyttämällä Legedren symbolien multilikatiivisuutta, resirookkilakia, jaksollisuutta ja Legendren symbolien ja arvoja, jotka on laskettu aiemmin. 1 Koska Legendren symbolien ominaisuuksien erusteella saadaan Resirookkilakia ja lausetta 3.15 sekä jaksollisuutta käyttämällä saadaan ( ( , ja ( Näin ollen 1 ja 19 on siis neliönjäännös modulo ( 18 9 ( ( Esimerkki 5.3. Määritä ne arittomat alkuluvut, joille luku 3 on neliönjäännös, ja ne, joille se on neliöneäjäännös. Ratkaisu. Resirookkilain korollaarin 4.1 nojalla saadaan ( ( ( 3 ( ( ( Jotta voitaisiin määrittää 3, itää tietää arvo (mod 3, ja jotta voitaisiin määrittää ( 1 1, itää tietää arvo 1 (mod tai arvo (mod 4. Siksi tarkastellaan arvoa (mod 1. Tarkasteltavana on vain neljä taausta, 1, 5, 7 tai 11 (mod 1. Muut taaukset tulevat oissuljetuksi, sillä on ariton. ( Taaus 1. 1 (mod 1. Tässä taauksessa 1 (mod 3, joten 1. Lisäksi 1 (mod 4, joten 1 on arillinen ja näin ollen