MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005"

Transkriptio

1 MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005

2 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset Lukujoukot Peruslaskutoimitukset Laskujärjestys Murtoluvut m n Murtoluvun laventaminen ja supistaminen Sekaluku Murtoluvuilla laskeminen Murtoluvut laskimella Potenssi Potenssien laskutoimitukset Eksponentin vaikutusalue ja potenssin arvo Potenssina nolla tai negatiivinen luku Kymmenpotenssimuoto Neliöjuuri a Kirjaimet matematiikassa 22 4 Polynomit P (x) = 2x 2 x Polynomin arvo Polynomien yhteen- ja vähennyslasku Kertolasku Yhtälöt 2x 3 = 5x Yhtälön ratkaiseminen Prosentti % 35 7 Muuta Lukujen pyöristäminen Mittayksiköt Koordinaatisto

3 1 Sanasto Tähän kappaleeseen on koottu tärkeiden matemaattisten merkkien selitykset sekä selitetty tiettyjen sanojen matemaattinen tarkoitus. Lisäksi käydään läpi merkintätapoja, joita esimerkiksi oppikirjoissa käytetään yleisesti. Osa tässä kappaleessa esitellyistä asioista löytyy monisteen myöhemmistä luvuista. Toisaalta kaikki muualta monisteesta löytyvät asiat eivät löydy välttämättä tästä sanastosta, mutta voit palata aina tähän kappaleeseen, kun vastaasi tulee merkki tai sana, jonka sisältöä et muista. Merkit Merkki Selitys Esimerkki Yhtälö- ja epäyhtälö merkit = On yhtä kuin = 5 tai x = 7 eli muuttujan x arvo on 7. On eri suuri kuin tai x 0 eli muuttujan x arvo ei ole luku 0. > On suurempi kuin 5 > 1 tai x > 0 eli muuttuja x on suurempi kuin 0 (eli mikä tahansa positiivinen luku esimerkiksi 3,2). < On pienempi kuin 3 < 1 tai x < 0 eli muuttuja x on pienempi kuin 0. On suurempi tai sama kuin 5 5 tai x 0 eli muuttuja x on suurempi tai sama kuin 0. On pienempi tai sama kuin 5 7 tai x 0 eli muuttuja x on pienempi tai sama kuin 0. Epäyhtälö merkkien muistamista voi helpottaa sääntö: Suu auki suurempaan piikittelee pienempää. Laskutoimituksia a Luvun a neliöjuuri Laske luvun 9 neliöjuuri: 9 = 3. Saadaan laskimella. x n Potenssi. Luku x potenssiin n. Luku x kerrotaan n kertaa itsellään. 2 3 = = 8. 1

4 Sulkumerkit ( ) Kaarisulut Käytetään silloin, kun laskussa ei ole sisäkkäisiä sulkulaskuja. [ ] Hakasulut Käytetään, kun laskussa on kahdet sisäkkäiset sulut. { } Aaltosulut Käytetään, kun laskussa on kolmet sisäkkäiset sulut. Muuta a Itseisarvo luvusta a Tarkoittaa luvun etäisyyttä nollasta, aina positiivinen eli esim. 5 = 5 ja 3 = 3. Sanoja Sana Selitys Esimerkki Laskutoimituksiin liittyviä sanoja Summa Tarkoittaa yhteenlaskun tulosta. Lukujen 4 ja 5 summa on 9, koska = 9. Tai lukujen x ja 3 summa on x + 3. Erotus Tarkoittaa vähennyslaskun tulosta. Lukujen 5 ja 7 erotus on 2, koska 5 7 = 2. Tai lukujen a ja b erotus on a b. Tulo Tarkoittaa kertolaskun tulosta. Lukujen 3 ja 8 tulo on 24, koska 3 4 = 24. Tai lukujen x ja 2 tulo on x 2 = 2x. Osamäärä Tarkoittaa jakolaskun tulosta. Lukujen 21 ja 7 osamäärä on 3, koska 21 : 7 = 21 7 = 3. Tai lukujen a ja b osamäärä on a b. Neliö Kuutio Tarkoittaa luvun toista potenssia. Tarkoittaa luvun kolmatta potenssia. Luvun 5 neliö on 5 2 = 5 5 = 25. Luvun 5 kuutio on 5 3 = =

5 Murtoluvut Osoittaja Murtoluvussa viivan yläpuolella oleva luku eli jaettava. Murtoluvun osoittaja on Nimittäjä Murtoluvussa viivan alapuolella oleva luku eli jakaja. Murtoluvun nimittäjä on Laventaminen Supistaminen Samannimiset murtoluvut Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Murtoluvut, joilla on sama nimittäjä. 4) 2 3 = = (5 10 : 5 = : 5 = 2 3 Murtoluvut ja 1 13 ovat samannimiset. Potenssit Kantaluku Potenssimerkinnässä a x kantaluku on a. Luvun ( 3) 17 kantaluku on 3. Eksponentti Samankantaiset potenssit Potenssimerkinnässä a x eksponentti on x. Potenssit, joilla on sama kantaluku ovat samankantaisia. Luvun 2 13 eksponentti on 13. Potenssit 5 3 ja ovat samankantaisia. Polynomit Polynomin aste Tarkoittaa polynomissa olevan muuttujan korkeinta potenssia. Muita Positiivinen Luku, joka on suurempi kuin nolla. Negatiivinen Luku, joka on pienempi kuin nolla. Epänegatiivinepi Luku, joka on suurem- tai sama kuin nolla. Polynomin x 5 + 2x 1 aste on 2. Luku 3 on positiivinen. Luku 0 ei ole positiivinen! Luku -2 on negatiivinen. Luku 0 ei ole negatiivinen! Luku 0 on epänegatiivinen. 3

6 Merkintätapoja Sääntö Esimerkki Kertomerkki Kertomerkkiä ei kirjoiteta näkyviin: Kirjaimen kerroin Eksponentti Luvun ja kirjaimen välistä, kun luku on ennen kirjainta. Kahden tai useamman kirjaimen välistä. Sulkujen edestä ja välistä. Jos kirjaimen kertoimena on luku 1 sitä ei kirjoiteta näkyviin. Jos kirjaimen kertoimena on luku 1, merkitään vain etumerkki. Jos kirjaimen tai luvun eksponentti on 1, sitä ei kirjoiteta näkyviin. 3 x = 3x a b = ab 5 (x + 1) = 5(x + 1) tai (x + 1) (x 2) = (x + 1)(x 2) x = 1x tai 1a = a. x = 1x tai 1a = a x 1 = x tai 3 = 3 1 Jakaja Jos luvun jakajana tai murtoluvun nimittäjänä on luku 1, sitä ei kirjoiteta näkyviin. x 1 = x tai 3 = 3 1 Huom! Edellisen voi ajatella myös toisin päin: Jokaisella luvulla tai lausekkeella on aina jakajana luku 1. Tästä on usein hyötyä esim. yhtälöitä ratkottaessa. 4

7 2 Luvut ja laskutoimitukset Tässä kappaleessa tutustutaan lukujoukkoihin ja kerrataan laskutoimituksia. 2.1 Lukujoukot Luonnolliset luvut: 0, 1, 2, 3,... Kokonaisluvut:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... Huomaa, että kaikki luonnolliset luvut ovat myös kokonaislukuja. Rationaaliluvut eli murtoluvut: Rationaaliluku on muotoa m n oleva luku, jossa m ja n ovat kokonaislukuja (mutta n ei saa olla nolla). Eli esimerkiksi 2 on rationaaliluku. 5 Toisaalta myös 0, 4 on rationaaliluku. Itseasiassa se on edellinen murtoluku desimaalimuodossa esitettynä (näpyttele laskimeen 2 : 5). Kaikkien rationaalilukujen desimaalimuoto on joko päättyvä tai päättymätön mutta jaksollinen. Myös kaikki kokonaisluvut ovat rationaalilukuja, koska voidaan kirjoittaa esimerkiksi 4 = 4 24 tai 4 = 1 6. Irrationaaliluvut ovat päättymättömiä ja jaksottomia desimaalilukuja. Esimerkiksi luku 2 = 1, on irrationaaliluku. Myös luku π on irrationaaliluku. Voidaan ajatella, että irrationaaliluvut ovat rationaalilukujen välissä. Kaikki edelliset yhdessä muodostavat reaaliluvut. Reaaliluvut ovat niitä lukuja, joilla lukiomatematiikassa lasketaan. Reaalilukujen voidaan ajatella sijaitsevan suoralla, johon ne on sijoitettu suuruusjärjestykseen. Tätä suoraa kutsutaan lukusuoraksi ja luku 0 jakaa sen kahteen osaan: negatiivisiin ja positiivisiin lukuihin. Kun lukusuoraa kuljetaan vasemmalle luvut pienenevät ja vastaavasti oikealle mentäessä luvut suurenevat Kuva 1: Lukusuora Tehtäviä 1. Merkitse lukusuoralle a) Luku 1, 5 b) Luku 5 c) Luku 2 2 d) Luvusta 4 seuraava kokonaisluku e) Lukua 0 edeltävä kokonaisluku 5

8 Vaikeampia: f) Luvut, joilla pätee 6 x 2 g) Luvut, joiden etäisyys luvusta 6 on pienempi kuin 2 h) Mikä on luvusta 3 seuraava luku? 2.2 Peruslaskutoimitukset Yhteen- ja vähennyslasku E1 Laske a) 5 13 = 8 b) 5 13 = 18 c) 5 + ( 13) = 5 13 = 8 d) 5 ( 13) = = 18 Yhteen- ja vähennyslaskussa kaksi peräkkäistä miinus-merkkiä (korkeintaan sulkumerkki saa olla välissä) muuttuvat plus-merkiksi ja peräkkäinen miinus- ja plusmerkki miinus-merkiksi. Yhteen- ja vähennyslaskun merkkisääntö: Kertolasku Sääntö: Esimerkki: a + ( b) = a b 3 + ( 2)= 3 2 = 1 a + (+b) = a + b 3 + (+2)= 3 2 = 5 a ( b) = a + b 3 ( 2)= = 5 a (+b) = a b 3 (+2)= 3 2 = 1 E2 Laske a) 3 4 = 12 b) 5 7 = 35 c) 6 ( 2) = 12 d) 3 ( 2) 3 ( 1) = 18 Kertolaskussa kahden samanmerkkisen luvun tulo on aina positiivinen ja kahden erimerkkisen tulo aina negatiivinen. Jos kerrottavia on useita, vastauksen etumerkki on negatiivinen, jos negatiivisia tulontekijöitä (eli kerrottavia) on pariton määrä. Muuten vastaus on positiivinen. E3 a) 12 0 = 0 b) = 0 Kun mikä tahansa luku kerrotaan luvulla 0, vastaukseksi tulee 0. Kertolaskun merkkisääntö: Sääntö: Esimerkki: + + = + 3 2= 6 = + 3 ( 2)= 6 + = 3 ( 2)= 6 + = 3 2= 6 6

9 Jakolasku E4 Laske a) 6 2 = 3 b) 6 2 = 3 c) 6 6 = 3 d) 2 2 = 3 Jakolaskuun pätee samat säännöt kuin kertolaskuun. Eli jos jaettava ja jakaja on erimerkkisiä, vastaus on negatiivinen. Yleensä murtoluvussa (eli jakolaskussa ) miinusmerkki on tapana merkitä koko murtoluvun eteen. Tämä tarkoittaa sitä, että joko jakaja tai jaettava on negatiivinen, mutta ei molemmat. Luvulla 0 ei saa koskaan jakaa! Eli laskutoimitusta a, jossa a on mikä tahansa luku, 0 ei ole määritelty! Vastaluku Lukuja, jotka ovat lukusuoralla yhtä kaukana nollasta, mutta sen eri puolilla, sanotaan toistensa vastaluvuiksi. Luvun vastaluvun saa muodostettua laittamalla luvun eteen miinus- merkin eli toisin sanoen kertomalla luvun luvulla 1 eli toisin sanoen vaihtamalla luvun etumerkin vastakkaiseksi. E5 Luvun 3 vastaluku on 3 ja luvun 5 vastaluku on ( 5) = 5. Luvun ja sen vastaluvun summa on aina 0. Käänteisluku Luvun ja sen käänteisluvun tulo on 1. Luvun käänteisluku saadaan muodostettu vaihtamalla luvun osoittajan ja nimittäjän paikat. Jos luvulla ei ole nimittäjää (eli jakajaa, eli viivan alapuolella olevaa lukua), voidaan se kirjoittaa näkyviin. Muistetaan, että kaikilla kokonaisluvuilla on nimittäjänä luku 1. E6 Luvun 5 7 käänteisluku on 7 5. Luvun 3 = 3 1 käänteisluku on 1 3. Itseisarvo Luvun a (eli minkä tahansa kuviteltavissa olevan reaaliluvun) itseisarvo merkitään a, ja se tarkoittaa luvun a etäisyyttä nollasta lukusuoralla. E7 Luvun 3 itseisarvo on 3 = 3 ja luvun 3 itseisarvo on 3 = 3, koska luvut 3 ja 3 ovat kolmen askeleen päässä nollasta. Edellisestä voidaan päätellä, että luvun ja sen vastaluvun itseisarvot ovat aina yhtä suuret! 7

10 Tehtäviä 2. Laske a) b) c) 4 + ( 7) d) 4 + ( 7) e) 4 17 f) 17 ( 5) g) Laske a) 3 7 b) 7 ( 3) c) 7 ( 3) d) 7 5 e) 2 ( 3) ( 4) f) 2 ( 3) ( 4) Laske a) 3 12 b) 5 ( 6) c) 3 + ( 8) ( 4) 5. Laske a) 3 12 b) 8 ( 7) c) 3 ( 2) ( 4) 6. Laske a) 14 : 2 b) 81 : ( 9) c) 4 ( 2) ( 4) 7. Laske a) 8 4 b) 12 4 c) Ilmoita vastauksen etumerkki a) 34 ( 2) 3 ( 5) ( 1) ( 7) b) 12 ( 1) ( 5) 3 3 ( 8) ( 3) 6 c) 3 6 ( 3) ( 2) ( 2) 9. Ilmoita seuraavien lukujen vastaluvut a) 5 b) 7 c) 7a d) a Ilmoita seuraavien lukujen käänteisluvut a) 2 b) 5 c) 2 5 d) 0, 5 e) 1 3 f) a g) a Laske a) 13 b) 2 19 c) Laske lukujen 21 ja 7 a) Summa b) Tulo c) Erotus d) Osamäärä. 13. Laske lukujen 13 ja 5 summan ja erotuksen tulo. 8

11 2.3 Laskujärjestys Pitkät laskut, joissa on useita laskutoimituksia lasketaan aina seuraavassa järjestyksessä. 1) Sulkeissa olevat laskutoimitukset 2) Potenssit 3) Kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle 4) Yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle Jos tästä laskujärjestyksestä poikkeaa, laskun tulos ei luultavasti ole oikea (oikein hyvällä tuurilla näinkin voi käydä). Tätä järjestystä on on siis noudatettava! Muista, että taskulaskin antaa aina oikean vastauksen, jos laskun näppäilee siihen täsmälleen sellaisena kuin se paperissa lukee. Eli kokeessa voit tarkistaa aina laskusi laskimella (myös murtolukulaskut), mutta muista merkitä myös välivaiheet näkyviin. Niitä laskin ei anna. Muista yhteen- ja vähennyslaskun sekä kerto- ja jakolaskun merkkisäännöt! E8 Laske a) = = 14 b) (2 + 3) 4 = 5 4 = 20 c) 3 4 ( 2) 3 = 3 4 ( 8) = = 35 d) 3( ) 1 = 3(2 + 9) 1 = = 33 1 = 32 Tehtäviä 14. Laske 15. Laske a) b) (4 + 5) 4 32 c) 12 4 : 2 d) a) c) b) : ( 2) d) ( 0, 5) 16. Laske ( a) ) 4 b) 15 6 ( 3) 3 c) 15 6 : ( 3) d) ( 3) ( 5) Laske a) 5 + 4(1 3 2 ) b) (2 5)

12 2.4 Murtoluvut m n Murtoluku on muotoa m oleva luku, jossa m ja n ovat kokonaislukuja. Murtoviivan n alapuolella oleva luku n ei kuitenkaan saa olla nolla, koska nollalla ei saa jakaa. E9 Esimerkiksi 2 3, 5 2 ja 6 ovat murtolukuja. 2 Murtoluvun voi ajatella aina jakolaskuna. Viivan yläpuolella on jaettava ja viivan alapuolella on jakaja. Eli esimerkiksi murtoluku 2, joka luetaan kaksi per neljä tarkoittaa myös jakolaskua kaksi jaettuna 4 neljällä. Murtoluvut voidaan aina esittää myös desimaalilukuna. Tämä onnistuu näppäilemällä laskimeen murtolukua vastaava jakolasku. Murtoluvun desimaalimuoto on joko päättyvä tai jaksollinen ja päättymätön. E10 Esimerkkejä murtolukujen desimaalimuodoista. a) 7 8 = 0, 875 b) = 0, c) = 0, Vastaavasti kaikki päättyvät tai päättymättömät, mutta jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuina. Tämä onnistuu usein päättelemällä. E11 Muuta murtoluvuksi a) 0, 4 = 2 5 b) 0, = 1 9 c) 1, 5 = 3 2. Murtoluvun osien nimet Kuten edellä todettiin muotoa m olevassa luvussa viivan yläpuolella olevaa lukua m n sanotaan jaettavaksi ja viivan alapuolella olevaa lukua n jakajaksi. Näille on olemassa kuitenkin matematiikassa täysin omat nimityksensä, jotka on syytä opetella. Viivan yläpuolella olevaa lukua kutsutaan osoittajaksi ja viivan alapuolella olevaa lukua nimittäksi. Eli murtoluku on aina muotoa osoittaja nimittäjä Jos näitä ei muuten opi muistamaan, voi käyttää hyväkseen jokseenkin lapsellista muistisääntöä (yleensä muistisäännöt ovat lapsellisia): Osoittaja alkaa kirjaimella O ja nimittäjä kirjaimella N. Myös otsa alkaa kirjaimella O ja vastaavasti nenä kirjaimella N. Koska otsa on nenän yläpuolella, täytyy myös osoittajan olla nimittäjän yläpuolella. 10

13 2.4.1 Murtoluvun laventaminen ja supistaminen Tutkitaan esimerkiksi murtolukuja 3 5 ja 9. Huomataan, että molemmat murtoluvut 15 tarkoittavat samaa desimaalilukua 0, 6 (kokeile laskimella!). Lähemmällä tarkastelulla huomataan, että murtolukua 9 15 saadaan murtoluvusta 3, kun sekä sen osoittaja 5 (= 3) että nimittäjä (= 5) kerrotaan luvulla 3. Eli murtoluku säilyy yhtäpitävänä, kun sekä sen osoittaja että nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Tätä kutsutaan murtoluvun laventamiseksi. Voimme suorittaa vastaavan päättelyn myös toiseen suuntaan. Eli murtoluku 3 5 saadaan murtoluvusta 9, kun sekä osoittaja (= 9) että nimittäjä (= 15) jaetaan jaetaan luvulla 3. Eli murtoluku säilyy yhtäpitävänä, jos sekä sen osoittaja että nimit- 15 täjä jaetaan samalla luvulla. Tätä kutsutaan murtoluvun supistamiseksi. Murtolukujen laventamista tarvitaan, kun lasketaan murtolukuja, joilla on eri nimittäjä, yhteen tai vähennetään toisistaan. Koska yhteen- ja vähennyslasku voidaan suorittaa vain murtoluvuille, joilla on sama nimittäjä, täytyy alkuperäiset murtoluvut laventaa ensin samannimisiksi. Kun murtolukuja lavennetaan, merkitään luku, jolla lavennus tehdään murtoluvun eteen vasempaan ylänurkkaan ennen sulkumerkkiä ). E12 6) 7 11 = = Supistamista puolestaan tarvitaan, kun esimerkiksi laskun vastauksena olevassa murtoluvussa sekä osoittaja että nimittäjä ovat jaollisia samalla luvulla. Murtoluku vastaus on tapana esittää aina muodossa, josta sitä ei voi supistaa enää millään luvulla. Luku, jolla murtoluku supistetaan merkitään murtoluvun perään oikeaan ylänurkkaan sulkumerkin ( jälkeen. Luku, jolla supistaminen suoritetaan on pääteltävä itse katsomalla mikä on suurin kokonaisluku, jolla sekä osoittaja että nimittäjä ovat jaollisia. E13 36 (6 6 = Sekaluku Jos murtoluvun nimittäjä on pienempi kuin osoittaja, voidaan murtoluku muuttaa sekaluvuksi. Sekaluku koostuu kokonaisosasta ja murto-osasta. Esimerkiksi luvun 3 4 kokonaisosa on 3 ja murto-osa 4. Edellinen luku luetaan suomen kielellä kolme 5 5 kokonaista neljä viidesosaa. 11

14 Murtolukuja on syytä osata muuttaa sekaluvuiksi ja päinvastoin. Murtoluku saadaan muutettua sekaluvuksi laskemalla ensin kuinka monta kertaa murtoluvun nimittäjä menee sen osoittajaan. Tästä tulee sekaluvun kokonaisosa. Tämän jälkeen vähennetään edellä saatu kokonaisosa alkuperäisen murtoluvun osoittajasta ja tehdään tästä erotuksesta sekaluvun murto-osan osoittaja. Sekaluvun murto-osan nimittäjä pysyy samana kuin alkuperäisen murtoluvun nimittäjä oli. E14 Muuta sekaluvuksi Koska 11 menee 41:een kolme kertaa kokonaisena on sekaluvun kokonaisosa 3. Koska 3 11 = 33, saadaan murto-osan osoittajaksi = 8. Eli = Sekaluvun saa muutettua murtoluvuksi kertomalla kokonaisosalla murto-osan nimittäjän ja lisäämällä tämän tulon murto-osan osoittajaan. Nimittäjä pysyy samana kuin sekaluvun murto-osan nimittäjä oli. E15 Muuta murtoluvuksi = = = Voidaan kirjoittaa vielä edellinen yleisenä laskusääntönä Murtoluvuilla laskeminen Yhteen- ja vähennyslasku a m n = m + a n. n Vain samannimisiä murtolukuja voidaan laskea yhteen tai vähentää toisistaan. Mikäli murtoluvut ovat eri nimisiä, pitää ne laventaa samannimisiksi. Helpoiten laventaminen onnistuu laventamalla ristiin eli laventamalla toisen murtoluvun nimittäjällä toinen murtoluku. Joskus laventaminen onnistuu myös helpomminkin. Kun murtoluvut ovat samannimisiä, laskutoimitus suoritetaan laskemalla pelkät osoittajat yhteen. E16 Laske a) 7) ) 5 7 = = = = =

15 b) 2) ) 2 4 = = = = 8 (4 2 = 12 3 Kertolasku c) 2) 1 6 3) 2 4 = = = = 4 (4 1 = 12 3 Murtolukujen kertolaskussa kerrotaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät keskenään. E = = = Jakolasku Murtolukujen jakolasku muutetaan ensin kertolaskuksi ja sitten lasketaan syntynyt kertolasku. Jakolasku saadaan muutettua kertolaskuksi kertomalla jaettava ja jakajan käänteisluvulla. Eli muuta kertomerkki jakomerkiksi ja vaihda jakajan osoittajan ja nimittäjän paikat. E : 5 11 = = = Seuraavassa taulukossa on yhteenvetona kaikki murtolukujen laskutoimitukset. Laskutoimitus Laskusääntö Esimerkki Yhteenlasku Vähennyslasku q) m n + n) p mq + pn = q nq q) m n n) p mq pn = q nq 3) ) 1 3 = = = ) 1 3 = = 1 2 = Kertolasku m n p q = m p n q = = 15 (3 5 = 24 8 Jakolasku m n : p q = m n q p = m q n p 1 2 : 3 4 = = = 4 (2 2 =

16 2.4.4 Murtoluvut laskimella Murtoluvuilla on helppo laskea käyttäen laskinta. Kaikista funktiolaskimista löytyy näppäin a b/c, joilla murtolukuja käsitellään. Näppäilemällä esimerkiksi 2 a b/c 3 saadaan murtoluku 2, joka näyttää laskimen 3 näytöllä tältä: 2 3. Vastaavasti sekaluku 3 1 voidaan näppäillä 3 a b/c 1 a b/c 2 ja se näyttää 2 laskimessa tältä: Näppäilemällä murtoluvun ja painamalla painiketta = (tai vastaava) laskin antaa kyseisen murtoluvun supistettuna, mutta sekalukuna. Sekaluvun saa yleensä muutettua murtoluvuksi painamalla Shift ja murtolukunäppäintä. Jos kaikki laskutoimituksen luvut on syötetty laskimeen murtolukuina, antaa laskin vastauksen myös murtolukuna. Joissakin uusissa laskimissa on hieman kehittyneet murtolukujen laskuominaisuudet ja murtolukunäppäinkin saattaa näyttää erilaiselta. Tehtäviä 18. Muunna desimaaliluvuksi a) 2 b) 11 c) Muunna sekaluvuksi a) 29 b) 1254 c) Muunna murtoluvuksi a) 3 6 b) 3 10 c) Lavenna annetut murtoluvut samanimisiksi a) 7 8 ja 2 3 b) 5 8 ja 3 4 c) 5 12 ja Supista a) Laske b) c) a) b) c)

17 24. Laske a) b) c) Laske a) b) c) Tutki likiarvoja käyttämättä, kumpi luvuista ja on suurempi Sievennä a) 1 a + 1 b b) 3a + a Supista a) b) 29. Määritä känteisluku luvulle a) 2 3 b) c) a b d) a + b 30. Laske a) 1 2 : 2 5 b) 1 : 5 6 c) 2 5 : 4 d) Laske murtolukujen ja 1 6 a) summa b) erotus c) tulo d) osamäärä e) vastalukujen summa b) vastalukujen erotus Laske lausekkeen x arvo, kun x = Laske lausekkeen a b c + d arvo kun a = 2, b = 2 3, c = 1 ja d = Mikä luku on puolet luvusta 2 5? 36. Mikä luku on kolme neljäsosaa luvusta 3 1 5? 15

18 2.5 Potenssi Kertolaskua, jossa kaikki kerrottavat (eli tulon tekijät) ovat yhtä suuria, voidaan merkitä lyhennetyllä tavalla, potenssimerkinnällä. E = 2 6 Potenssimerkinnän nimitykset ja potenssin määritelmä: (kantaluku ) a m ( eksponentti) jossa a m = } a a {{... a} m kappaletta Jos kahdella potenssilla on sama kantaluku, ovat potenssit samankantaisia Potenssien laskutoimitukset Potensseihin liittyy joukko laskutoimituksia, jotka on esitelty seuraavassa taulukossa. Laskusääntö Kaava Esimerkki Samankantaisten potenssien tulo a m a n = a m+n = = 2 9 = 512 tai x 5 x 12 = x 5+12 = x 17 Samankantaisten potenssien osamäärä a m a n = am n = = 3 2 = 9 tai x 12 x 3 = x12 3 = x 9 Tulon potenssi (ab) n = a n b n (2x) 3 = 2 3 x 3 = 8x 3 Osamäärän potenssi ( a b) n = a n b n ( x 3 ) 4 = x = x4 81 Potenssin potenssi ( a m ) n = a m n ( x 5 ) 3 ( 3x 2 ) 3 27x 6 = x 5 3 = x 15 tai = 3 3( x 2) 3 = 27x 2 3 = 16

19 Huomaa, että esimerkiksi laskutoimitukselle x 3 + x 5 ei ole olemassa mitään laskusääntöä. Itse asiassa sitä ei voi laskea pidemmälle tai sieventää kauniimmaksi. Tästä lisää polynomien yhteydessä. Vielä kertauksena muutama tärkeä asia. Jos luvun eksponenttina on luku 1 sitä ei merkitä näkyviin. E20 a) x x = x 1+1 = x 2 b) x4 x 3 = x4 3 = x 1 = x. Luvun toista potenssia kutsutaan luvun neliöksi ja luvun kolmatta potenssia luvun kuutioksi. E21 Luvun 5 neliö on 5 2 = Eksponentin vaikutusalue ja potenssin arvo Potenssimerkinnässä eksponentti vaikuttaa vain siihen lukuun, johon se on suoraan kiinni. Eksponentin vaikutus aluetta voidaan muuttaa käyttämällä sulkuja. Eli esimerkiksi merkinnät ( 2) 4 ja 2 4 tarkoittavat eri laskuja. Ensimmäisessä kantalukuna on 2 ja jälkimmäisessä 2. E22 Laske a) ( 1) 4 = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = 1 b) 1 4 = = 1 c) ( 1) 5 = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = 1 d) 1 5 = = 1 Edellisestä esimerkistä nähdään että potenssilaskun vastauksen merkki riippuu kantaluvun etumerkistä ja eksponentin arvosta. Saadaan seuraava yleinen sääntö: Potenssin merkkisääntö Kun kantaluku on positiivinen (+) on, potenssin arvo on aina postiivinen (+). Kun kantaluku on negatiivinen ( ), potenssin arvo on: positiivinen (+), jos eksponentin arvo on parillinen negatiivinen ( ), jos eksponentin arvo on pariton Potenssina nolla tai negatiivinen luku Esimerkiksi laskutoimitus a3 voidaan laskea joko supistamalla a3 a 3 a = a a a 3 a a a = 1 1 = 1 17

20 tai samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännöllä a 3 a 3 = a3 3 = a 0. Koska saimme samalle laskulle kaksi erinäköistä vastausta, on sovittu, että a 0 = 1. Vastaavasti laskutoimitus a2 voidaan laskea joko supistamalla a5 a 2 a 5 = a a a a a a a = 1 a a a = 1 a 3 tai samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännöllä a 2 a 5 = a2 5 = a 3. Jälleen samalle laskulle saatiin kaksi erinäköistä vastausta, joten on sovittu, että a 3 = 1 a 3. Eli yleisesti Laskusääntö Kaava Esimerkki Nollas potenssi a 0 = 1 ( 3) 0 = 1 Negatiivinen eksponentti a n = 1 a n 2 3 = = 1 8 ( a ) n ( b ) n ( 2 ) 2 ( = = = b a 3 2) 4 = Kymmenpotenssimuoto Hyvin suuret ja pienet luvut on järkevintä ilmoittaa kymmenpotenssimuodossa, eli tulona jonka ensimmäinen tekijä on luku yhden ja kymmenen väliltä ja toinen tekijä jokin luvun kymmenen potenssi. 2.1 Esimerkki. Ilmoita kymmenpotenssimuodossa: 18

21 a) = b) = 3, c) = 4, d) 0, = e) 0, = 6, Kymmenpotenssimuodon saa avattua luvuksi, kun kertoimessa olevaa pilkkua siirretään joko vasemmalle (kun eksponentti postiivinen) tai oikealle (eksponentti negatiivinen) eksponentin osoittaman määrän numeroita. Vastaavasti onnistuu myös luvun kirjoittaminen kymmenpotenssimuotoon. Positiivinen eksponentti suuri luku Negatiivinen eksponentti pieni luku Eksponentti ilmoittaa kuinka monta numeroa pilkku siirtyy Tehtäviä Sievennä 37. a) x 3 x 2 b) xx 3 c) xx 3 x a) a7 a 4 b) b4 b c) c12 c 3 c 4 d) c5 c a) (3x) 2 b) (2a) 3 c) ( 5b) a) (a 3 ) 4 b) (x 5 ) 5 c) (x 2 x 3 ) 4 d) a) b) 3 ( 4) 2 c) (3 4) 2 ( 1 ) a) b) 4 ( 1 1 2) 2 c) 1, a) x 2 x x 3 x 4 b) 5 m 5 m c) a 8 : a a 2 : a 4 d) 3 2 (5 7) a) Merkitse potenssilauseke ja laske sen arvo, kun kantaluku on 4 ja eksponentti on 2. b) Merkitse potenssilauseke, jonka kantaluku on a + 1 ja eksponentti on 2. Laske sen arvo, kun a = 13 19

22 45. Laske lausekkeen arvo, kun x = 2 a) x 2 x 5 b) ( 2 x) 3 c) 6( x) 3 d) x 3 x Laske lausekkeen arvo, kun x = 1 ja y = 3 a) x y b) (2 + x) y c) xy Laske tai sievennä a) b) (2x)5 4x Laske luvun neliö a) 2 b) 4 c) Laske luvun kuutio a) 2 b) 3 c) 4 ( 4x ) Laske tai sievennä a) 2 23 b) c) ( ab 2 c) 6 a y 51. Sievennä ( a3 a 6 a a a 2 a 4 a 3 ) 2 : a Kirjoita kymmenpotenssimuodossa a) 100 b) c) d) 72 e) 5750 f) 0, g) 0, h) 0, Kirjoita ilman potenssimerkintää a) b) 3, c) 1, d) 7, e) 2, f) 34, Laske a) b) 3,

23 2.6 Neliöjuuri a Neliöjuuri jostakin luvusta a (a 0), eli a tarkoittaa sellaista ei-negatiivista (eli 0) lukua, jonka neliö eli toinen potenssi on a. Negatiivisista luvuista ei voi ottaa neliöjuurta. Tehtäviä 55. Mikä on neliön sivun pituus, kun neliön ala on a) 9 ruutua b) 100 cm 2 c) 4m 2 d) 6 ruutua 56. Laske a) 49 b) 400 c) 4 a) 0, 04 b) 0, c) Laske a) b) c) Laske a) b) c) Laske a) ( 3) 2 b) 4 2 c) ( 5) Laske a) b) c)

24 3 Kirjaimet matematiikassa Kirjain tarkoittaa aina jotakin tuntematonta lukua, eli muuttujaa. Saman laskun sisällä sama kirjain tarkoittaa samaa tuntematonta lukua. Kirjaimilla voidaan laskea kuten luvuillakin. On kuitenkin muistettava, että emme tiedä mikä tietty luku on kyseessä, mikä asettaa tiettyjä rajoituksia laskujen tekemiselle. Olemme aikaisemmin laskeneet kirjaimilla potenssien yhteydessä, niihin liittyvät laskusäännöt on syytä siis muistaa. Kirjaimella voi olla jokin kerroin tai eksponentti. Kerroin on kirjaimen edessä oleva luku. Se on todellakin kerroin eli se kertoo kuinka monta kertaa kyseinen kirjain on juuri siinä. Eli 3x tarkoittaa kolme kappaletta x:iä. Luvun ja kirjaimen väliin ei ole tapana kirjoittaa kertomerkkiä näkyviin, mutta se on aina siellä. Eli 2x = 2 x. Myöskään kirjaimen kerrointa ei kirjoiteta näkyviin, jos se on 1. Eli x = 1x. Vastaavasti x = 1x. Myöskään kahden kirjaimen väliin ei ole tapana kirjoittaa kertomerkkiä näkyviin, eli a b = ab. Ajatellaan lasku 2x + x. Laskussa esiintyy kahdessa kohtaa muuttuja x. Siinä pyydetään laskemaan yhteen kaksi kappaletta x:iä ja yksi kappale x:iä, eli yhteensä meillä on kolme kappaletta x:iä, eli 2x + x = 3x. Pystymme laskemaan yhteen, eli sieventämään, koska kirjain on molemmissa yhteenlaskettavissa sama. Voidaan tarkistaa, että olemme laskeneet oikein kokeilemalla jollakin tietyllä luvulla laskun oikeellisuutta. Jos luku x olisi 4, lasku olisi muotoa = = 12 joka on todellakin sama kuin 3 4 = 12, eli olemme laskeneet oikein. Emme kuitenkaan voi laskea laskua 2x+y yhtään sievemmäksi, koska x ja y ovat eri kirjain, eli tarkoittavat eri lukua. Vastaavasti emme voi laskea 2x + 3, koska lukuun kolme ei liity kirjainta x. Jos näitä laskuja yrittää laskea jotenkin, voi aina kokeilla sijoittaa jonkun luvun kirjaim(i)en paikalle, kuten edellä, ja tarkistaa onko olettama oikea. Kertolaskussa ei haittaa, että kirjaimet ovat eri kirjaimia. Esimerkiksi x y voidaan kirjoittaa ilman kertomerkkiä xy. Jos kirjaimilla on kertoimia ne kerrotaan keskenään ja kirjain osat keskenään. Esimerkiksi 2x 3y = 2 3 x y = 6xy. Myös pelkkä kirjain ja sen kerroin voidaan tietenkin kertoa luvulla. Esim. 2x 4 = 2 4 x = 8x. Sieventäminen tarkoittaa laskun kirjoittamista sievempään eli loppuun asti laskettuun muotoon. E23 Sievennä 2x 3 3x 4 = 2 3 x 3 x 4 = 6x 3+4 = 6x 7. Tehtäviä 61. Sievennä a) 4a + 7a b) 10x 6x c) 8y + 13y d) 7a 18a 22

25 62. Sievennä a) 3x 10x b) 4a + 3b c) 2a ( 2a) + ( 2a) 2a d) 7x 12y 11x + 3y 63. Sievennä a) 4a 7a b) 10a 6b c) 8y 2y d) 8x 4x ( 3) 4x e) 8x 64. Sievennä a) 3a 9a 12a b) y ( 13y) c) a 2a b d) 3x 6a 3 e) 3a 6b 4 Polynomit P (x) = 2x 2 x + 1 Polynomiksi sanotaan mitä tahansa lauseketta, joka on summan muodossa ja jossa ei esiinny muuttujaa (eli kirjainta) nimittäjässä. Jokaista polynomin yhteenlaskettavaa sanotaan termiksi. Polynomissa esiintyviä kirjaimia sanotaan muuttujiksi ja termiä, jossa ei ole kirjainta vakioksi. Otsikossa olevan polynomin muuttuja on x, termit ovat 2x 2, x sekä 1 ja vakiotermi on 1. Huomaa, että etumerkki kuuluu aina termille! Esimerkkejä polynomeista: 4x 3 + 2x 2 a 2 + b 2 10 z 3 2 x x 1 ei ole polynomi, koska siinä esiintyy muuttuja x nimittäjässä. x Polynomeja merkitään antamalla niille nimeksi jokin iso kirjain, yleensä P, Q tai R ja laittamalla polynomissa esiintyvät muuttujat tämän kirjaimen perään sulkujen sisään pilkulla eroteltuina. E24 P (x) = 2x 3 3x + 1 R(x, y) = 2x 3y 23

26 Polynomin termit on tapana luetella muuttujan eksponentin mukaisessa laskevassa suuruusjärjestyksessä. Polynomin asteella tarkoitetaan polynomissa esiintyvän muuttujan korkeinta potenssia. E25 Polynomin R(a) = 3a 4 2a 3 + 2a aste on 4. Monomi on polynomi, jossa on yksi termi. E26 2x 3 ja x ovat monomeja. Binomi on polynomi, jossa on kaksi termiä. E27 2x 1 ja x 3 + 2x 2 ovat binomeja. 4.1 Polynomin arvo Polynomin arvo tarkoittaa sitä lukua, joka saadaan, kun polynomin muuttujan tai muuttujien paikalle sijoitetaan jokin tietty luku ja lasketaan syntynyt lasku. Eli kaikki polynomissa esiintyvät kirjaimet korvataan annetulla luvulla. Jos tämä annettu luku on negatiivinen, sen ympärille on aina laitettava sulut! Muista myös, että mitään muuta polynomista ei saa muuttaa kuin kirjaimet, jotka korvataan annetulla luvulla. Merkintä P ( 2) tarkoittaa polynomin P arvoa muuttujan arvolla 2. E28 Laske polynomin P (x) = 3x 2 x + 2 arvo muuttujan x arvolla 1. P ( 1) = 3 ( 1) 2 ( 1) + 2 = = 6 E29 Lukujen sijoittaminen x 3x + 2 x x = = = = = 0 = = = = = = ( 1) + 2 = = 1 ( 1) = = 2 ( 1) 2 = = = = = = ( 2) + 2 = = 4 ( 2) = = 5 ( 2) 2 = 4 24

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Taso T1 Matematiikka 3 osp OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Tämän kolmiosaisen materiaalin avulla opiskelija voi suorittaa itsenäisesti tai ohjatusta matematiikan pakollisen osa-alueen tasolla T1. Osa

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne

matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne 1 Turun kristillisen opiston oppimateriaaleja -sarja Tekijä: Eeva Rinne Julkaisija: Turun kristillisen opiston säätiö, Lustokatu 7, 20380 Turku. www.tk-opisto.fi

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 9.1 ke 11.1 ma 16.1 ke 18.1 ma 23.1 ke 25.1 ma 30.1 ke 1.2 ma 6.2 ke 8.2

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa 1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa (Lähde: Lamon, S. 1999. Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Publishers.) Murtolukujen alueelle siirryttäessä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01 KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin

MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin HAAGA-HELIA MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin Katri Währn Kevät 2012 1 FUNKTIOLASKIMEN KÄYTTÖ Funktiolaskimeen on sisäänrakennettuna laskujärjestelmä eli se osaa laskea kerto-

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Neeviikuu 4B: Opettajan oppaan liitteet

Neeviikuu 4B: Opettajan oppaan liitteet Neeviikuu 4B: Opettajan oppaan liitteet Kopiontipohjat. Oppikirjan liitteet 2 a. Murtokakut 2 3 2. Kymmenjärjestelmävälineet 4 a. Satataulu 4 b. Satataulu ja kymmensauvat 5 c. Kymmenjärjestelmäalusta 6

Lisätiedot

b) Kun vähenevä on 1000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava 180. Mikä on toinen?

b) Kun vähenevä on 1000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava 180. Mikä on toinen? LASKUTOIMITUKSET Nimi: ) Muista laskutoimituksissa käytettävät nimet. a) Mikä on lukujen 650 ja 70 summa erotus b) Kun vähenevä on 000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava

Lisätiedot

- mittayksikkö eli yksikkö on mittaamisessa tarvittava apuväline. - yksiköiden avulla voidaan verrata mitattujen suureiden arvoja

- mittayksikkö eli yksikkö on mittaamisessa tarvittava apuväline. - yksiköiden avulla voidaan verrata mitattujen suureiden arvoja - 26 - - mittayksikkö eli yksikkö on mittaamisessa tarvittava apuväline - yksiköien avulla voiaan verrata mitattujen suureien arvoja - suure on jonkin esineen tai asian mitattava ominaisuus, jonka arvo

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8 Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla 1(8) Kymmenjärjestelmä desimaalilukujen ja mittayksiköiden muunnosten pohjana A. Miten saadaan desimaalilukuihin ymmärrystä 10-järjestelmän avulla? B. Miten saadaan mittayksiköiden muunnoksiin ymmärrystä

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusmääritelmiä Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaFonaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esihää kahden

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

7 Matematiikka. 3. luokka

7 Matematiikka. 3. luokka 7 Matematiikka Matematiikka on tapa hahmottaa ja jäsentää ympäröivää maailmaa. Lapsi löytää ja omaksuu leikin, toiminnan sekä keskustelujen avulla matemaattisia käsitteitä, termejä, symboleja ja periaatteita.

Lisätiedot

1.2 Polynomien peruslaskutoimitukset (+, ja )

1.2 Polynomien peruslaskutoimitukset (+, ja ) 1. Polynomien peruslaskutoimitukset (+, ja ) 1..1 Yhteen- ja vähennyslasku Polynomien yhteen- ja vähennyslasku on käsiteltävissä yhdessä, sillä vähennyslasku voidaan muuttaa aina yhteenlaskuksi niin luvuilla,

Lisätiedot

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS K. V Ä I S Ä L Ä A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A I KAHDESTOISTA PAINOS PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ Kouluhallituksen hyväksymä WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖN KIRJAPAINOSSA

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan! Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1.1 Yhtälön sieventäminen

1.1 Yhtälön sieventäminen 1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan

Lisätiedot

6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU

6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU 6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU Murtoluku Sekaluku Osoittaja Nimittäjä Kokonaisosa Murto-osa Murtoluvun muuttaminen Jos murtoluvun osoittaja on suurempi

Lisätiedot

R1 Harjoitustehtävien ratkaisut

R1 Harjoitustehtävien ratkaisut MAB R Harjoitustehtävien ratkaisut R Harjoitustehtävien ratkaisut. Jos lämpötila nousee asteesta asteella, mikä on uusi lämpötila? +. Lämpötila nousee viiteen asteeseen. Lukusuoralla: 0 + Nuolen pituus.

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Mitä jos matikantunnilla olisi hauskaa! YYKAAK OO-TUO TEPERHE OA4 Yli esteiden ISBN

Mitä jos matikantunnilla olisi hauskaa! YYKAAK OO-TUO TEPERHE OA4 Yli esteiden ISBN ! OOB A Yli esteiden Nimi Kappale 1 1. Oppilas käy peruskoulua yhdeksän vuotta. Ludvig aloitti ensimmäisellä luokalla 01. 0 Minä vuonna hän lopettaa peruskoulun? Hanna lopetti peruskoulun 01. Minä vuonna

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia 3 Peruslaskutoimitukset luvuilla 3 Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5 Prosentti 7 Prosenteilla vertaaminen 9 Kuvaaminen koordinaatistossa 11 2 Lausekkeesta yhtälöksi

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2 MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Luokka 0-1. Vertailua (Luokka 0-1) Lukukäsite ja luvut 0-10 (Luokka 0-1) Yhteen- ja vähennyslasku 0-5 (Luokka 0-1)

Luokka 0-1. Vertailua (Luokka 0-1) Lukukäsite ja luvut 0-10 (Luokka 0-1) Yhteen- ja vähennyslasku 0-5 (Luokka 0-1) Lasku-Lassin maatila - Harjoituslista Sivu 1 / 20 Luokka 0-1 Vertailua (Luokka 0-1) 1. Etsi erilainen Kuvavalinta 2. Mikä ei kuulu joukkoon? Kuvavalinta 3. Pitempi, lyhyempi Kuvavalinta 4. Mikä ei kuulu

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku

Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku Pasi Leppäniemi OuLUMA, sivu 1 POLYNOMIPELI Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku Luokkataso: 8-9 lk Välineet: pelilauta, polynomikortit, monomikortit, tuloskortit,

Lisätiedot

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Matti Lehtinen Desimaaliluvut ovat niin jokapäiväisiä ja niillä laskemiseen niin totuttu, ettei yleensä tule miettineeksi, mitä ne oikeastaan ovat. Joskus kauan

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

PUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut Desimaaliluvut tai

PUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut Desimaaliluvut tai PUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut 1/2 yksi kahdesosaa (puoli) 2/3 kaksi kolmasosaa 3/4 kolme neljäsosaa 4/5 neljä viidesosaa 5/6 viisi kuudesosaa 6/7 kuusi seitsemäsosaa 7/8 seitsemän kahdeksasosaa 8/9 kahdeksan

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA 1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Seuraavien tehtävien tekemiseen tarvitset tulitikkuja

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Timo Ojala ja Timo Ranta Matematiikan perustietojen kertaus

Timo Ojala ja Timo Ranta Matematiikan perustietojen kertaus Timo Ojala ja Timo Ranta Matematiikan perustietojen kertaus (a+b) a +a b+ab +b MATEMATIIKAN OPISKELUSTA JA SOVELTAMISESTA Matematiikka on jatkuvasti kehittyvä itsenäinen tiede. Matematiikassa tutkitaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys

0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusmääritelmiä Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys Luonnolliset luvut: 1,2,3,4... Kokonaisluvut (ℵ):... 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4... RaBonaaliluvut: kaikki luvut jotka voidaan esidää kahden kokonaisluvun

Lisätiedot

Johdatus insinöörimatematiikkaan

Johdatus insinöörimatematiikkaan Timo Ojala ja Timo Ranta Johdatus insinöörimatematiikkaan 01 (a+b) a +a b+ab +b ESIPUHE Aluksi haluan onnitella sinua hienosta uravalinnasta: Insinöörin ammatti on arvostettu perinteinen ammatti, joka

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot