MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005"

Transkriptio

1 MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005

2 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset Lukujoukot Peruslaskutoimitukset Laskujärjestys Murtoluvut m n Murtoluvun laventaminen ja supistaminen Sekaluku Murtoluvuilla laskeminen Murtoluvut laskimella Potenssi Potenssien laskutoimitukset Eksponentin vaikutusalue ja potenssin arvo Potenssina nolla tai negatiivinen luku Kymmenpotenssimuoto Neliöjuuri a Kirjaimet matematiikassa 22 4 Polynomit P (x) = 2x 2 x Polynomin arvo Polynomien yhteen- ja vähennyslasku Kertolasku Yhtälöt 2x 3 = 5x Yhtälön ratkaiseminen Prosentti % 35 7 Muuta Lukujen pyöristäminen Mittayksiköt Koordinaatisto

3 1 Sanasto Tähän kappaleeseen on koottu tärkeiden matemaattisten merkkien selitykset sekä selitetty tiettyjen sanojen matemaattinen tarkoitus. Lisäksi käydään läpi merkintätapoja, joita esimerkiksi oppikirjoissa käytetään yleisesti. Osa tässä kappaleessa esitellyistä asioista löytyy monisteen myöhemmistä luvuista. Toisaalta kaikki muualta monisteesta löytyvät asiat eivät löydy välttämättä tästä sanastosta, mutta voit palata aina tähän kappaleeseen, kun vastaasi tulee merkki tai sana, jonka sisältöä et muista. Merkit Merkki Selitys Esimerkki Yhtälö- ja epäyhtälö merkit = On yhtä kuin = 5 tai x = 7 eli muuttujan x arvo on 7. On eri suuri kuin tai x 0 eli muuttujan x arvo ei ole luku 0. > On suurempi kuin 5 > 1 tai x > 0 eli muuttuja x on suurempi kuin 0 (eli mikä tahansa positiivinen luku esimerkiksi 3,2). < On pienempi kuin 3 < 1 tai x < 0 eli muuttuja x on pienempi kuin 0. On suurempi tai sama kuin 5 5 tai x 0 eli muuttuja x on suurempi tai sama kuin 0. On pienempi tai sama kuin 5 7 tai x 0 eli muuttuja x on pienempi tai sama kuin 0. Epäyhtälö merkkien muistamista voi helpottaa sääntö: Suu auki suurempaan piikittelee pienempää. Laskutoimituksia a Luvun a neliöjuuri Laske luvun 9 neliöjuuri: 9 = 3. Saadaan laskimella. x n Potenssi. Luku x potenssiin n. Luku x kerrotaan n kertaa itsellään. 2 3 = = 8. 1

4 Sulkumerkit ( ) Kaarisulut Käytetään silloin, kun laskussa ei ole sisäkkäisiä sulkulaskuja. [ ] Hakasulut Käytetään, kun laskussa on kahdet sisäkkäiset sulut. { } Aaltosulut Käytetään, kun laskussa on kolmet sisäkkäiset sulut. Muuta a Itseisarvo luvusta a Tarkoittaa luvun etäisyyttä nollasta, aina positiivinen eli esim. 5 = 5 ja 3 = 3. Sanoja Sana Selitys Esimerkki Laskutoimituksiin liittyviä sanoja Summa Tarkoittaa yhteenlaskun tulosta. Lukujen 4 ja 5 summa on 9, koska = 9. Tai lukujen x ja 3 summa on x + 3. Erotus Tarkoittaa vähennyslaskun tulosta. Lukujen 5 ja 7 erotus on 2, koska 5 7 = 2. Tai lukujen a ja b erotus on a b. Tulo Tarkoittaa kertolaskun tulosta. Lukujen 3 ja 8 tulo on 24, koska 3 4 = 24. Tai lukujen x ja 2 tulo on x 2 = 2x. Osamäärä Tarkoittaa jakolaskun tulosta. Lukujen 21 ja 7 osamäärä on 3, koska 21 : 7 = 21 7 = 3. Tai lukujen a ja b osamäärä on a b. Neliö Kuutio Tarkoittaa luvun toista potenssia. Tarkoittaa luvun kolmatta potenssia. Luvun 5 neliö on 5 2 = 5 5 = 25. Luvun 5 kuutio on 5 3 = =

5 Murtoluvut Osoittaja Murtoluvussa viivan yläpuolella oleva luku eli jaettava. Murtoluvun osoittaja on Nimittäjä Murtoluvussa viivan alapuolella oleva luku eli jakaja. Murtoluvun nimittäjä on Laventaminen Supistaminen Samannimiset murtoluvut Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Murtoluvut, joilla on sama nimittäjä. 4) 2 3 = = (5 10 : 5 = : 5 = 2 3 Murtoluvut ja 1 13 ovat samannimiset. Potenssit Kantaluku Potenssimerkinnässä a x kantaluku on a. Luvun ( 3) 17 kantaluku on 3. Eksponentti Samankantaiset potenssit Potenssimerkinnässä a x eksponentti on x. Potenssit, joilla on sama kantaluku ovat samankantaisia. Luvun 2 13 eksponentti on 13. Potenssit 5 3 ja ovat samankantaisia. Polynomit Polynomin aste Tarkoittaa polynomissa olevan muuttujan korkeinta potenssia. Muita Positiivinen Luku, joka on suurempi kuin nolla. Negatiivinen Luku, joka on pienempi kuin nolla. Epänegatiivinepi Luku, joka on suurem- tai sama kuin nolla. Polynomin x 5 + 2x 1 aste on 2. Luku 3 on positiivinen. Luku 0 ei ole positiivinen! Luku -2 on negatiivinen. Luku 0 ei ole negatiivinen! Luku 0 on epänegatiivinen. 3

6 Merkintätapoja Sääntö Esimerkki Kertomerkki Kertomerkkiä ei kirjoiteta näkyviin: Kirjaimen kerroin Eksponentti Luvun ja kirjaimen välistä, kun luku on ennen kirjainta. Kahden tai useamman kirjaimen välistä. Sulkujen edestä ja välistä. Jos kirjaimen kertoimena on luku 1 sitä ei kirjoiteta näkyviin. Jos kirjaimen kertoimena on luku 1, merkitään vain etumerkki. Jos kirjaimen tai luvun eksponentti on 1, sitä ei kirjoiteta näkyviin. 3 x = 3x a b = ab 5 (x + 1) = 5(x + 1) tai (x + 1) (x 2) = (x + 1)(x 2) x = 1x tai 1a = a. x = 1x tai 1a = a x 1 = x tai 3 = 3 1 Jakaja Jos luvun jakajana tai murtoluvun nimittäjänä on luku 1, sitä ei kirjoiteta näkyviin. x 1 = x tai 3 = 3 1 Huom! Edellisen voi ajatella myös toisin päin: Jokaisella luvulla tai lausekkeella on aina jakajana luku 1. Tästä on usein hyötyä esim. yhtälöitä ratkottaessa. 4

7 2 Luvut ja laskutoimitukset Tässä kappaleessa tutustutaan lukujoukkoihin ja kerrataan laskutoimituksia. 2.1 Lukujoukot Luonnolliset luvut: 0, 1, 2, 3,... Kokonaisluvut:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... Huomaa, että kaikki luonnolliset luvut ovat myös kokonaislukuja. Rationaaliluvut eli murtoluvut: Rationaaliluku on muotoa m n oleva luku, jossa m ja n ovat kokonaislukuja (mutta n ei saa olla nolla). Eli esimerkiksi 2 on rationaaliluku. 5 Toisaalta myös 0, 4 on rationaaliluku. Itseasiassa se on edellinen murtoluku desimaalimuodossa esitettynä (näpyttele laskimeen 2 : 5). Kaikkien rationaalilukujen desimaalimuoto on joko päättyvä tai päättymätön mutta jaksollinen. Myös kaikki kokonaisluvut ovat rationaalilukuja, koska voidaan kirjoittaa esimerkiksi 4 = 4 24 tai 4 = 1 6. Irrationaaliluvut ovat päättymättömiä ja jaksottomia desimaalilukuja. Esimerkiksi luku 2 = 1, on irrationaaliluku. Myös luku π on irrationaaliluku. Voidaan ajatella, että irrationaaliluvut ovat rationaalilukujen välissä. Kaikki edelliset yhdessä muodostavat reaaliluvut. Reaaliluvut ovat niitä lukuja, joilla lukiomatematiikassa lasketaan. Reaalilukujen voidaan ajatella sijaitsevan suoralla, johon ne on sijoitettu suuruusjärjestykseen. Tätä suoraa kutsutaan lukusuoraksi ja luku 0 jakaa sen kahteen osaan: negatiivisiin ja positiivisiin lukuihin. Kun lukusuoraa kuljetaan vasemmalle luvut pienenevät ja vastaavasti oikealle mentäessä luvut suurenevat Kuva 1: Lukusuora Tehtäviä 1. Merkitse lukusuoralle a) Luku 1, 5 b) Luku 5 c) Luku 2 2 d) Luvusta 4 seuraava kokonaisluku e) Lukua 0 edeltävä kokonaisluku 5

8 Vaikeampia: f) Luvut, joilla pätee 6 x 2 g) Luvut, joiden etäisyys luvusta 6 on pienempi kuin 2 h) Mikä on luvusta 3 seuraava luku? 2.2 Peruslaskutoimitukset Yhteen- ja vähennyslasku E1 Laske a) 5 13 = 8 b) 5 13 = 18 c) 5 + ( 13) = 5 13 = 8 d) 5 ( 13) = = 18 Yhteen- ja vähennyslaskussa kaksi peräkkäistä miinus-merkkiä (korkeintaan sulkumerkki saa olla välissä) muuttuvat plus-merkiksi ja peräkkäinen miinus- ja plusmerkki miinus-merkiksi. Yhteen- ja vähennyslaskun merkkisääntö: Kertolasku Sääntö: Esimerkki: a + ( b) = a b 3 + ( 2)= 3 2 = 1 a + (+b) = a + b 3 + (+2)= 3 2 = 5 a ( b) = a + b 3 ( 2)= = 5 a (+b) = a b 3 (+2)= 3 2 = 1 E2 Laske a) 3 4 = 12 b) 5 7 = 35 c) 6 ( 2) = 12 d) 3 ( 2) 3 ( 1) = 18 Kertolaskussa kahden samanmerkkisen luvun tulo on aina positiivinen ja kahden erimerkkisen tulo aina negatiivinen. Jos kerrottavia on useita, vastauksen etumerkki on negatiivinen, jos negatiivisia tulontekijöitä (eli kerrottavia) on pariton määrä. Muuten vastaus on positiivinen. E3 a) 12 0 = 0 b) = 0 Kun mikä tahansa luku kerrotaan luvulla 0, vastaukseksi tulee 0. Kertolaskun merkkisääntö: Sääntö: Esimerkki: + + = + 3 2= 6 = + 3 ( 2)= 6 + = 3 ( 2)= 6 + = 3 2= 6 6

9 Jakolasku E4 Laske a) 6 2 = 3 b) 6 2 = 3 c) 6 6 = 3 d) 2 2 = 3 Jakolaskuun pätee samat säännöt kuin kertolaskuun. Eli jos jaettava ja jakaja on erimerkkisiä, vastaus on negatiivinen. Yleensä murtoluvussa (eli jakolaskussa ) miinusmerkki on tapana merkitä koko murtoluvun eteen. Tämä tarkoittaa sitä, että joko jakaja tai jaettava on negatiivinen, mutta ei molemmat. Luvulla 0 ei saa koskaan jakaa! Eli laskutoimitusta a, jossa a on mikä tahansa luku, 0 ei ole määritelty! Vastaluku Lukuja, jotka ovat lukusuoralla yhtä kaukana nollasta, mutta sen eri puolilla, sanotaan toistensa vastaluvuiksi. Luvun vastaluvun saa muodostettua laittamalla luvun eteen miinus- merkin eli toisin sanoen kertomalla luvun luvulla 1 eli toisin sanoen vaihtamalla luvun etumerkin vastakkaiseksi. E5 Luvun 3 vastaluku on 3 ja luvun 5 vastaluku on ( 5) = 5. Luvun ja sen vastaluvun summa on aina 0. Käänteisluku Luvun ja sen käänteisluvun tulo on 1. Luvun käänteisluku saadaan muodostettu vaihtamalla luvun osoittajan ja nimittäjän paikat. Jos luvulla ei ole nimittäjää (eli jakajaa, eli viivan alapuolella olevaa lukua), voidaan se kirjoittaa näkyviin. Muistetaan, että kaikilla kokonaisluvuilla on nimittäjänä luku 1. E6 Luvun 5 7 käänteisluku on 7 5. Luvun 3 = 3 1 käänteisluku on 1 3. Itseisarvo Luvun a (eli minkä tahansa kuviteltavissa olevan reaaliluvun) itseisarvo merkitään a, ja se tarkoittaa luvun a etäisyyttä nollasta lukusuoralla. E7 Luvun 3 itseisarvo on 3 = 3 ja luvun 3 itseisarvo on 3 = 3, koska luvut 3 ja 3 ovat kolmen askeleen päässä nollasta. Edellisestä voidaan päätellä, että luvun ja sen vastaluvun itseisarvot ovat aina yhtä suuret! 7

10 Tehtäviä 2. Laske a) b) c) 4 + ( 7) d) 4 + ( 7) e) 4 17 f) 17 ( 5) g) Laske a) 3 7 b) 7 ( 3) c) 7 ( 3) d) 7 5 e) 2 ( 3) ( 4) f) 2 ( 3) ( 4) Laske a) 3 12 b) 5 ( 6) c) 3 + ( 8) ( 4) 5. Laske a) 3 12 b) 8 ( 7) c) 3 ( 2) ( 4) 6. Laske a) 14 : 2 b) 81 : ( 9) c) 4 ( 2) ( 4) 7. Laske a) 8 4 b) 12 4 c) Ilmoita vastauksen etumerkki a) 34 ( 2) 3 ( 5) ( 1) ( 7) b) 12 ( 1) ( 5) 3 3 ( 8) ( 3) 6 c) 3 6 ( 3) ( 2) ( 2) 9. Ilmoita seuraavien lukujen vastaluvut a) 5 b) 7 c) 7a d) a Ilmoita seuraavien lukujen käänteisluvut a) 2 b) 5 c) 2 5 d) 0, 5 e) 1 3 f) a g) a Laske a) 13 b) 2 19 c) Laske lukujen 21 ja 7 a) Summa b) Tulo c) Erotus d) Osamäärä. 13. Laske lukujen 13 ja 5 summan ja erotuksen tulo. 8

11 2.3 Laskujärjestys Pitkät laskut, joissa on useita laskutoimituksia lasketaan aina seuraavassa järjestyksessä. 1) Sulkeissa olevat laskutoimitukset 2) Potenssit 3) Kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle 4) Yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle Jos tästä laskujärjestyksestä poikkeaa, laskun tulos ei luultavasti ole oikea (oikein hyvällä tuurilla näinkin voi käydä). Tätä järjestystä on on siis noudatettava! Muista, että taskulaskin antaa aina oikean vastauksen, jos laskun näppäilee siihen täsmälleen sellaisena kuin se paperissa lukee. Eli kokeessa voit tarkistaa aina laskusi laskimella (myös murtolukulaskut), mutta muista merkitä myös välivaiheet näkyviin. Niitä laskin ei anna. Muista yhteen- ja vähennyslaskun sekä kerto- ja jakolaskun merkkisäännöt! E8 Laske a) = = 14 b) (2 + 3) 4 = 5 4 = 20 c) 3 4 ( 2) 3 = 3 4 ( 8) = = 35 d) 3( ) 1 = 3(2 + 9) 1 = = 33 1 = 32 Tehtäviä 14. Laske 15. Laske a) b) (4 + 5) 4 32 c) 12 4 : 2 d) a) c) b) : ( 2) d) ( 0, 5) 16. Laske ( a) ) 4 b) 15 6 ( 3) 3 c) 15 6 : ( 3) d) ( 3) ( 5) Laske a) 5 + 4(1 3 2 ) b) (2 5)

12 2.4 Murtoluvut m n Murtoluku on muotoa m oleva luku, jossa m ja n ovat kokonaislukuja. Murtoviivan n alapuolella oleva luku n ei kuitenkaan saa olla nolla, koska nollalla ei saa jakaa. E9 Esimerkiksi 2 3, 5 2 ja 6 ovat murtolukuja. 2 Murtoluvun voi ajatella aina jakolaskuna. Viivan yläpuolella on jaettava ja viivan alapuolella on jakaja. Eli esimerkiksi murtoluku 2, joka luetaan kaksi per neljä tarkoittaa myös jakolaskua kaksi jaettuna 4 neljällä. Murtoluvut voidaan aina esittää myös desimaalilukuna. Tämä onnistuu näppäilemällä laskimeen murtolukua vastaava jakolasku. Murtoluvun desimaalimuoto on joko päättyvä tai jaksollinen ja päättymätön. E10 Esimerkkejä murtolukujen desimaalimuodoista. a) 7 8 = 0, 875 b) = 0, c) = 0, Vastaavasti kaikki päättyvät tai päättymättömät, mutta jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuina. Tämä onnistuu usein päättelemällä. E11 Muuta murtoluvuksi a) 0, 4 = 2 5 b) 0, = 1 9 c) 1, 5 = 3 2. Murtoluvun osien nimet Kuten edellä todettiin muotoa m olevassa luvussa viivan yläpuolella olevaa lukua m n sanotaan jaettavaksi ja viivan alapuolella olevaa lukua n jakajaksi. Näille on olemassa kuitenkin matematiikassa täysin omat nimityksensä, jotka on syytä opetella. Viivan yläpuolella olevaa lukua kutsutaan osoittajaksi ja viivan alapuolella olevaa lukua nimittäksi. Eli murtoluku on aina muotoa osoittaja nimittäjä Jos näitä ei muuten opi muistamaan, voi käyttää hyväkseen jokseenkin lapsellista muistisääntöä (yleensä muistisäännöt ovat lapsellisia): Osoittaja alkaa kirjaimella O ja nimittäjä kirjaimella N. Myös otsa alkaa kirjaimella O ja vastaavasti nenä kirjaimella N. Koska otsa on nenän yläpuolella, täytyy myös osoittajan olla nimittäjän yläpuolella. 10

13 2.4.1 Murtoluvun laventaminen ja supistaminen Tutkitaan esimerkiksi murtolukuja 3 5 ja 9. Huomataan, että molemmat murtoluvut 15 tarkoittavat samaa desimaalilukua 0, 6 (kokeile laskimella!). Lähemmällä tarkastelulla huomataan, että murtolukua 9 15 saadaan murtoluvusta 3, kun sekä sen osoittaja 5 (= 3) että nimittäjä (= 5) kerrotaan luvulla 3. Eli murtoluku säilyy yhtäpitävänä, kun sekä sen osoittaja että nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Tätä kutsutaan murtoluvun laventamiseksi. Voimme suorittaa vastaavan päättelyn myös toiseen suuntaan. Eli murtoluku 3 5 saadaan murtoluvusta 9, kun sekä osoittaja (= 9) että nimittäjä (= 15) jaetaan jaetaan luvulla 3. Eli murtoluku säilyy yhtäpitävänä, jos sekä sen osoittaja että nimit- 15 täjä jaetaan samalla luvulla. Tätä kutsutaan murtoluvun supistamiseksi. Murtolukujen laventamista tarvitaan, kun lasketaan murtolukuja, joilla on eri nimittäjä, yhteen tai vähennetään toisistaan. Koska yhteen- ja vähennyslasku voidaan suorittaa vain murtoluvuille, joilla on sama nimittäjä, täytyy alkuperäiset murtoluvut laventaa ensin samannimisiksi. Kun murtolukuja lavennetaan, merkitään luku, jolla lavennus tehdään murtoluvun eteen vasempaan ylänurkkaan ennen sulkumerkkiä ). E12 6) 7 11 = = Supistamista puolestaan tarvitaan, kun esimerkiksi laskun vastauksena olevassa murtoluvussa sekä osoittaja että nimittäjä ovat jaollisia samalla luvulla. Murtoluku vastaus on tapana esittää aina muodossa, josta sitä ei voi supistaa enää millään luvulla. Luku, jolla murtoluku supistetaan merkitään murtoluvun perään oikeaan ylänurkkaan sulkumerkin ( jälkeen. Luku, jolla supistaminen suoritetaan on pääteltävä itse katsomalla mikä on suurin kokonaisluku, jolla sekä osoittaja että nimittäjä ovat jaollisia. E13 36 (6 6 = Sekaluku Jos murtoluvun nimittäjä on pienempi kuin osoittaja, voidaan murtoluku muuttaa sekaluvuksi. Sekaluku koostuu kokonaisosasta ja murto-osasta. Esimerkiksi luvun 3 4 kokonaisosa on 3 ja murto-osa 4. Edellinen luku luetaan suomen kielellä kolme 5 5 kokonaista neljä viidesosaa. 11

14 Murtolukuja on syytä osata muuttaa sekaluvuiksi ja päinvastoin. Murtoluku saadaan muutettua sekaluvuksi laskemalla ensin kuinka monta kertaa murtoluvun nimittäjä menee sen osoittajaan. Tästä tulee sekaluvun kokonaisosa. Tämän jälkeen vähennetään edellä saatu kokonaisosa alkuperäisen murtoluvun osoittajasta ja tehdään tästä erotuksesta sekaluvun murto-osan osoittaja. Sekaluvun murto-osan nimittäjä pysyy samana kuin alkuperäisen murtoluvun nimittäjä oli. E14 Muuta sekaluvuksi Koska 11 menee 41:een kolme kertaa kokonaisena on sekaluvun kokonaisosa 3. Koska 3 11 = 33, saadaan murto-osan osoittajaksi = 8. Eli = Sekaluvun saa muutettua murtoluvuksi kertomalla kokonaisosalla murto-osan nimittäjän ja lisäämällä tämän tulon murto-osan osoittajaan. Nimittäjä pysyy samana kuin sekaluvun murto-osan nimittäjä oli. E15 Muuta murtoluvuksi = = = Voidaan kirjoittaa vielä edellinen yleisenä laskusääntönä Murtoluvuilla laskeminen Yhteen- ja vähennyslasku a m n = m + a n. n Vain samannimisiä murtolukuja voidaan laskea yhteen tai vähentää toisistaan. Mikäli murtoluvut ovat eri nimisiä, pitää ne laventaa samannimisiksi. Helpoiten laventaminen onnistuu laventamalla ristiin eli laventamalla toisen murtoluvun nimittäjällä toinen murtoluku. Joskus laventaminen onnistuu myös helpomminkin. Kun murtoluvut ovat samannimisiä, laskutoimitus suoritetaan laskemalla pelkät osoittajat yhteen. E16 Laske a) 7) ) 5 7 = = = = =

15 b) 2) ) 2 4 = = = = 8 (4 2 = 12 3 Kertolasku c) 2) 1 6 3) 2 4 = = = = 4 (4 1 = 12 3 Murtolukujen kertolaskussa kerrotaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät keskenään. E = = = Jakolasku Murtolukujen jakolasku muutetaan ensin kertolaskuksi ja sitten lasketaan syntynyt kertolasku. Jakolasku saadaan muutettua kertolaskuksi kertomalla jaettava ja jakajan käänteisluvulla. Eli muuta kertomerkki jakomerkiksi ja vaihda jakajan osoittajan ja nimittäjän paikat. E : 5 11 = = = Seuraavassa taulukossa on yhteenvetona kaikki murtolukujen laskutoimitukset. Laskutoimitus Laskusääntö Esimerkki Yhteenlasku Vähennyslasku q) m n + n) p mq + pn = q nq q) m n n) p mq pn = q nq 3) ) 1 3 = = = ) 1 3 = = 1 2 = Kertolasku m n p q = m p n q = = 15 (3 5 = 24 8 Jakolasku m n : p q = m n q p = m q n p 1 2 : 3 4 = = = 4 (2 2 =

16 2.4.4 Murtoluvut laskimella Murtoluvuilla on helppo laskea käyttäen laskinta. Kaikista funktiolaskimista löytyy näppäin a b/c, joilla murtolukuja käsitellään. Näppäilemällä esimerkiksi 2 a b/c 3 saadaan murtoluku 2, joka näyttää laskimen 3 näytöllä tältä: 2 3. Vastaavasti sekaluku 3 1 voidaan näppäillä 3 a b/c 1 a b/c 2 ja se näyttää 2 laskimessa tältä: Näppäilemällä murtoluvun ja painamalla painiketta = (tai vastaava) laskin antaa kyseisen murtoluvun supistettuna, mutta sekalukuna. Sekaluvun saa yleensä muutettua murtoluvuksi painamalla Shift ja murtolukunäppäintä. Jos kaikki laskutoimituksen luvut on syötetty laskimeen murtolukuina, antaa laskin vastauksen myös murtolukuna. Joissakin uusissa laskimissa on hieman kehittyneet murtolukujen laskuominaisuudet ja murtolukunäppäinkin saattaa näyttää erilaiselta. Tehtäviä 18. Muunna desimaaliluvuksi a) 2 b) 11 c) Muunna sekaluvuksi a) 29 b) 1254 c) Muunna murtoluvuksi a) 3 6 b) 3 10 c) Lavenna annetut murtoluvut samanimisiksi a) 7 8 ja 2 3 b) 5 8 ja 3 4 c) 5 12 ja Supista a) Laske b) c) a) b) c)

17 24. Laske a) b) c) Laske a) b) c) Tutki likiarvoja käyttämättä, kumpi luvuista ja on suurempi Sievennä a) 1 a + 1 b b) 3a + a Supista a) b) 29. Määritä känteisluku luvulle a) 2 3 b) c) a b d) a + b 30. Laske a) 1 2 : 2 5 b) 1 : 5 6 c) 2 5 : 4 d) Laske murtolukujen ja 1 6 a) summa b) erotus c) tulo d) osamäärä e) vastalukujen summa b) vastalukujen erotus Laske lausekkeen x arvo, kun x = Laske lausekkeen a b c + d arvo kun a = 2, b = 2 3, c = 1 ja d = Mikä luku on puolet luvusta 2 5? 36. Mikä luku on kolme neljäsosaa luvusta 3 1 5? 15

18 2.5 Potenssi Kertolaskua, jossa kaikki kerrottavat (eli tulon tekijät) ovat yhtä suuria, voidaan merkitä lyhennetyllä tavalla, potenssimerkinnällä. E = 2 6 Potenssimerkinnän nimitykset ja potenssin määritelmä: (kantaluku ) a m ( eksponentti) jossa a m = } a a {{... a} m kappaletta Jos kahdella potenssilla on sama kantaluku, ovat potenssit samankantaisia Potenssien laskutoimitukset Potensseihin liittyy joukko laskutoimituksia, jotka on esitelty seuraavassa taulukossa. Laskusääntö Kaava Esimerkki Samankantaisten potenssien tulo a m a n = a m+n = = 2 9 = 512 tai x 5 x 12 = x 5+12 = x 17 Samankantaisten potenssien osamäärä a m a n = am n = = 3 2 = 9 tai x 12 x 3 = x12 3 = x 9 Tulon potenssi (ab) n = a n b n (2x) 3 = 2 3 x 3 = 8x 3 Osamäärän potenssi ( a b) n = a n b n ( x 3 ) 4 = x = x4 81 Potenssin potenssi ( a m ) n = a m n ( x 5 ) 3 ( 3x 2 ) 3 27x 6 = x 5 3 = x 15 tai = 3 3( x 2) 3 = 27x 2 3 = 16

19 Huomaa, että esimerkiksi laskutoimitukselle x 3 + x 5 ei ole olemassa mitään laskusääntöä. Itse asiassa sitä ei voi laskea pidemmälle tai sieventää kauniimmaksi. Tästä lisää polynomien yhteydessä. Vielä kertauksena muutama tärkeä asia. Jos luvun eksponenttina on luku 1 sitä ei merkitä näkyviin. E20 a) x x = x 1+1 = x 2 b) x4 x 3 = x4 3 = x 1 = x. Luvun toista potenssia kutsutaan luvun neliöksi ja luvun kolmatta potenssia luvun kuutioksi. E21 Luvun 5 neliö on 5 2 = Eksponentin vaikutusalue ja potenssin arvo Potenssimerkinnässä eksponentti vaikuttaa vain siihen lukuun, johon se on suoraan kiinni. Eksponentin vaikutus aluetta voidaan muuttaa käyttämällä sulkuja. Eli esimerkiksi merkinnät ( 2) 4 ja 2 4 tarkoittavat eri laskuja. Ensimmäisessä kantalukuna on 2 ja jälkimmäisessä 2. E22 Laske a) ( 1) 4 = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = 1 b) 1 4 = = 1 c) ( 1) 5 = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = 1 d) 1 5 = = 1 Edellisestä esimerkistä nähdään että potenssilaskun vastauksen merkki riippuu kantaluvun etumerkistä ja eksponentin arvosta. Saadaan seuraava yleinen sääntö: Potenssin merkkisääntö Kun kantaluku on positiivinen (+) on, potenssin arvo on aina postiivinen (+). Kun kantaluku on negatiivinen ( ), potenssin arvo on: positiivinen (+), jos eksponentin arvo on parillinen negatiivinen ( ), jos eksponentin arvo on pariton Potenssina nolla tai negatiivinen luku Esimerkiksi laskutoimitus a3 voidaan laskea joko supistamalla a3 a 3 a = a a a 3 a a a = 1 1 = 1 17

20 tai samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännöllä a 3 a 3 = a3 3 = a 0. Koska saimme samalle laskulle kaksi erinäköistä vastausta, on sovittu, että a 0 = 1. Vastaavasti laskutoimitus a2 voidaan laskea joko supistamalla a5 a 2 a 5 = a a a a a a a = 1 a a a = 1 a 3 tai samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännöllä a 2 a 5 = a2 5 = a 3. Jälleen samalle laskulle saatiin kaksi erinäköistä vastausta, joten on sovittu, että a 3 = 1 a 3. Eli yleisesti Laskusääntö Kaava Esimerkki Nollas potenssi a 0 = 1 ( 3) 0 = 1 Negatiivinen eksponentti a n = 1 a n 2 3 = = 1 8 ( a ) n ( b ) n ( 2 ) 2 ( = = = b a 3 2) 4 = Kymmenpotenssimuoto Hyvin suuret ja pienet luvut on järkevintä ilmoittaa kymmenpotenssimuodossa, eli tulona jonka ensimmäinen tekijä on luku yhden ja kymmenen väliltä ja toinen tekijä jokin luvun kymmenen potenssi. 2.1 Esimerkki. Ilmoita kymmenpotenssimuodossa: 18

21 a) = b) = 3, c) = 4, d) 0, = e) 0, = 6, Kymmenpotenssimuodon saa avattua luvuksi, kun kertoimessa olevaa pilkkua siirretään joko vasemmalle (kun eksponentti postiivinen) tai oikealle (eksponentti negatiivinen) eksponentin osoittaman määrän numeroita. Vastaavasti onnistuu myös luvun kirjoittaminen kymmenpotenssimuotoon. Positiivinen eksponentti suuri luku Negatiivinen eksponentti pieni luku Eksponentti ilmoittaa kuinka monta numeroa pilkku siirtyy Tehtäviä Sievennä 37. a) x 3 x 2 b) xx 3 c) xx 3 x a) a7 a 4 b) b4 b c) c12 c 3 c 4 d) c5 c a) (3x) 2 b) (2a) 3 c) ( 5b) a) (a 3 ) 4 b) (x 5 ) 5 c) (x 2 x 3 ) 4 d) a) b) 3 ( 4) 2 c) (3 4) 2 ( 1 ) a) b) 4 ( 1 1 2) 2 c) 1, a) x 2 x x 3 x 4 b) 5 m 5 m c) a 8 : a a 2 : a 4 d) 3 2 (5 7) a) Merkitse potenssilauseke ja laske sen arvo, kun kantaluku on 4 ja eksponentti on 2. b) Merkitse potenssilauseke, jonka kantaluku on a + 1 ja eksponentti on 2. Laske sen arvo, kun a = 13 19

22 45. Laske lausekkeen arvo, kun x = 2 a) x 2 x 5 b) ( 2 x) 3 c) 6( x) 3 d) x 3 x Laske lausekkeen arvo, kun x = 1 ja y = 3 a) x y b) (2 + x) y c) xy Laske tai sievennä a) b) (2x)5 4x Laske luvun neliö a) 2 b) 4 c) Laske luvun kuutio a) 2 b) 3 c) 4 ( 4x ) Laske tai sievennä a) 2 23 b) c) ( ab 2 c) 6 a y 51. Sievennä ( a3 a 6 a a a 2 a 4 a 3 ) 2 : a Kirjoita kymmenpotenssimuodossa a) 100 b) c) d) 72 e) 5750 f) 0, g) 0, h) 0, Kirjoita ilman potenssimerkintää a) b) 3, c) 1, d) 7, e) 2, f) 34, Laske a) b) 3,

23 2.6 Neliöjuuri a Neliöjuuri jostakin luvusta a (a 0), eli a tarkoittaa sellaista ei-negatiivista (eli 0) lukua, jonka neliö eli toinen potenssi on a. Negatiivisista luvuista ei voi ottaa neliöjuurta. Tehtäviä 55. Mikä on neliön sivun pituus, kun neliön ala on a) 9 ruutua b) 100 cm 2 c) 4m 2 d) 6 ruutua 56. Laske a) 49 b) 400 c) 4 a) 0, 04 b) 0, c) Laske a) b) c) Laske a) b) c) Laske a) ( 3) 2 b) 4 2 c) ( 5) Laske a) b) c)

24 3 Kirjaimet matematiikassa Kirjain tarkoittaa aina jotakin tuntematonta lukua, eli muuttujaa. Saman laskun sisällä sama kirjain tarkoittaa samaa tuntematonta lukua. Kirjaimilla voidaan laskea kuten luvuillakin. On kuitenkin muistettava, että emme tiedä mikä tietty luku on kyseessä, mikä asettaa tiettyjä rajoituksia laskujen tekemiselle. Olemme aikaisemmin laskeneet kirjaimilla potenssien yhteydessä, niihin liittyvät laskusäännöt on syytä siis muistaa. Kirjaimella voi olla jokin kerroin tai eksponentti. Kerroin on kirjaimen edessä oleva luku. Se on todellakin kerroin eli se kertoo kuinka monta kertaa kyseinen kirjain on juuri siinä. Eli 3x tarkoittaa kolme kappaletta x:iä. Luvun ja kirjaimen väliin ei ole tapana kirjoittaa kertomerkkiä näkyviin, mutta se on aina siellä. Eli 2x = 2 x. Myöskään kirjaimen kerrointa ei kirjoiteta näkyviin, jos se on 1. Eli x = 1x. Vastaavasti x = 1x. Myöskään kahden kirjaimen väliin ei ole tapana kirjoittaa kertomerkkiä näkyviin, eli a b = ab. Ajatellaan lasku 2x + x. Laskussa esiintyy kahdessa kohtaa muuttuja x. Siinä pyydetään laskemaan yhteen kaksi kappaletta x:iä ja yksi kappale x:iä, eli yhteensä meillä on kolme kappaletta x:iä, eli 2x + x = 3x. Pystymme laskemaan yhteen, eli sieventämään, koska kirjain on molemmissa yhteenlaskettavissa sama. Voidaan tarkistaa, että olemme laskeneet oikein kokeilemalla jollakin tietyllä luvulla laskun oikeellisuutta. Jos luku x olisi 4, lasku olisi muotoa = = 12 joka on todellakin sama kuin 3 4 = 12, eli olemme laskeneet oikein. Emme kuitenkaan voi laskea laskua 2x+y yhtään sievemmäksi, koska x ja y ovat eri kirjain, eli tarkoittavat eri lukua. Vastaavasti emme voi laskea 2x + 3, koska lukuun kolme ei liity kirjainta x. Jos näitä laskuja yrittää laskea jotenkin, voi aina kokeilla sijoittaa jonkun luvun kirjaim(i)en paikalle, kuten edellä, ja tarkistaa onko olettama oikea. Kertolaskussa ei haittaa, että kirjaimet ovat eri kirjaimia. Esimerkiksi x y voidaan kirjoittaa ilman kertomerkkiä xy. Jos kirjaimilla on kertoimia ne kerrotaan keskenään ja kirjain osat keskenään. Esimerkiksi 2x 3y = 2 3 x y = 6xy. Myös pelkkä kirjain ja sen kerroin voidaan tietenkin kertoa luvulla. Esim. 2x 4 = 2 4 x = 8x. Sieventäminen tarkoittaa laskun kirjoittamista sievempään eli loppuun asti laskettuun muotoon. E23 Sievennä 2x 3 3x 4 = 2 3 x 3 x 4 = 6x 3+4 = 6x 7. Tehtäviä 61. Sievennä a) 4a + 7a b) 10x 6x c) 8y + 13y d) 7a 18a 22

25 62. Sievennä a) 3x 10x b) 4a + 3b c) 2a ( 2a) + ( 2a) 2a d) 7x 12y 11x + 3y 63. Sievennä a) 4a 7a b) 10a 6b c) 8y 2y d) 8x 4x ( 3) 4x e) 8x 64. Sievennä a) 3a 9a 12a b) y ( 13y) c) a 2a b d) 3x 6a 3 e) 3a 6b 4 Polynomit P (x) = 2x 2 x + 1 Polynomiksi sanotaan mitä tahansa lauseketta, joka on summan muodossa ja jossa ei esiinny muuttujaa (eli kirjainta) nimittäjässä. Jokaista polynomin yhteenlaskettavaa sanotaan termiksi. Polynomissa esiintyviä kirjaimia sanotaan muuttujiksi ja termiä, jossa ei ole kirjainta vakioksi. Otsikossa olevan polynomin muuttuja on x, termit ovat 2x 2, x sekä 1 ja vakiotermi on 1. Huomaa, että etumerkki kuuluu aina termille! Esimerkkejä polynomeista: 4x 3 + 2x 2 a 2 + b 2 10 z 3 2 x x 1 ei ole polynomi, koska siinä esiintyy muuttuja x nimittäjässä. x Polynomeja merkitään antamalla niille nimeksi jokin iso kirjain, yleensä P, Q tai R ja laittamalla polynomissa esiintyvät muuttujat tämän kirjaimen perään sulkujen sisään pilkulla eroteltuina. E24 P (x) = 2x 3 3x + 1 R(x, y) = 2x 3y 23

26 Polynomin termit on tapana luetella muuttujan eksponentin mukaisessa laskevassa suuruusjärjestyksessä. Polynomin asteella tarkoitetaan polynomissa esiintyvän muuttujan korkeinta potenssia. E25 Polynomin R(a) = 3a 4 2a 3 + 2a aste on 4. Monomi on polynomi, jossa on yksi termi. E26 2x 3 ja x ovat monomeja. Binomi on polynomi, jossa on kaksi termiä. E27 2x 1 ja x 3 + 2x 2 ovat binomeja. 4.1 Polynomin arvo Polynomin arvo tarkoittaa sitä lukua, joka saadaan, kun polynomin muuttujan tai muuttujien paikalle sijoitetaan jokin tietty luku ja lasketaan syntynyt lasku. Eli kaikki polynomissa esiintyvät kirjaimet korvataan annetulla luvulla. Jos tämä annettu luku on negatiivinen, sen ympärille on aina laitettava sulut! Muista myös, että mitään muuta polynomista ei saa muuttaa kuin kirjaimet, jotka korvataan annetulla luvulla. Merkintä P ( 2) tarkoittaa polynomin P arvoa muuttujan arvolla 2. E28 Laske polynomin P (x) = 3x 2 x + 2 arvo muuttujan x arvolla 1. P ( 1) = 3 ( 1) 2 ( 1) + 2 = = 6 E29 Lukujen sijoittaminen x 3x + 2 x x = = = = = 0 = = = = = = ( 1) + 2 = = 1 ( 1) = = 2 ( 1) 2 = = = = = = ( 2) + 2 = = 4 ( 2) = = 5 ( 2) 2 = 4 24

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Taso T1 Matematiikka 3 osp OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Tämän kolmiosaisen materiaalin avulla opiskelija voi suorittaa itsenäisesti tai ohjatusta matematiikan pakollisen osa-alueen tasolla T1. Osa

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne

matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne 1 Turun kristillisen opiston oppimateriaaleja -sarja Tekijä: Eeva Rinne Julkaisija: Turun kristillisen opiston säätiö, Lustokatu 7, 20380 Turku. www.tk-opisto.fi

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa 1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa (Lähde: Lamon, S. 1999. Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Publishers.) Murtolukujen alueelle siirryttäessä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01 KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan

Lisätiedot

b) Kun vähenevä on 1000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava 180. Mikä on toinen?

b) Kun vähenevä on 1000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava 180. Mikä on toinen? LASKUTOIMITUKSET Nimi: ) Muista laskutoimituksissa käytettävät nimet. a) Mikä on lukujen 650 ja 70 summa erotus b) Kun vähenevä on 000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava

Lisätiedot

- mittayksikkö eli yksikkö on mittaamisessa tarvittava apuväline. - yksiköiden avulla voidaan verrata mitattujen suureiden arvoja

- mittayksikkö eli yksikkö on mittaamisessa tarvittava apuväline. - yksiköiden avulla voidaan verrata mitattujen suureiden arvoja - 26 - - mittayksikkö eli yksikkö on mittaamisessa tarvittava apuväline - yksiköien avulla voiaan verrata mitattujen suureien arvoja - suure on jonkin esineen tai asian mitattava ominaisuus, jonka arvo

Lisätiedot

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS K. V Ä I S Ä L Ä A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A I KAHDESTOISTA PAINOS PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ Kouluhallituksen hyväksymä WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖN KIRJAPAINOSSA

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8 Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi

Lisätiedot

1.1 Yhtälön sieventäminen

1.1 Yhtälön sieventäminen 1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

7 Matematiikka. 3. luokka

7 Matematiikka. 3. luokka 7 Matematiikka Matematiikka on tapa hahmottaa ja jäsentää ympäröivää maailmaa. Lapsi löytää ja omaksuu leikin, toiminnan sekä keskustelujen avulla matemaattisia käsitteitä, termejä, symboleja ja periaatteita.

Lisätiedot

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan! Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla 1(8) Kymmenjärjestelmä desimaalilukujen ja mittayksiköiden muunnosten pohjana A. Miten saadaan desimaalilukuihin ymmärrystä 10-järjestelmän avulla? B. Miten saadaan mittayksiköiden muunnoksiin ymmärrystä

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

Luokka 0-1. Vertailua (Luokka 0-1) Lukukäsite ja luvut 0-10 (Luokka 0-1) Yhteen- ja vähennyslasku 0-5 (Luokka 0-1)

Luokka 0-1. Vertailua (Luokka 0-1) Lukukäsite ja luvut 0-10 (Luokka 0-1) Yhteen- ja vähennyslasku 0-5 (Luokka 0-1) Lasku-Lassin maatila - Harjoituslista Sivu 1 / 20 Luokka 0-1 Vertailua (Luokka 0-1) 1. Etsi erilainen Kuvavalinta 2. Mikä ei kuulu joukkoon? Kuvavalinta 3. Pitempi, lyhyempi Kuvavalinta 4. Mikä ei kuulu

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia 3 Peruslaskutoimitukset luvuilla 3 Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5 Prosentti 7 Prosenteilla vertaaminen 9 Kuvaaminen koordinaatistossa 11 2 Lausekkeesta yhtälöksi

Lisätiedot

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Matti Lehtinen Desimaaliluvut ovat niin jokapäiväisiä ja niillä laskemiseen niin totuttu, ettei yleensä tule miettineeksi, mitä ne oikeastaan ovat. Joskus kauan

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

Timo Ojala ja Timo Ranta Matematiikan perustietojen kertaus

Timo Ojala ja Timo Ranta Matematiikan perustietojen kertaus Timo Ojala ja Timo Ranta Matematiikan perustietojen kertaus (a+b) a +a b+ab +b MATEMATIIKAN OPISKELUSTA JA SOVELTAMISESTA Matematiikka on jatkuvasti kehittyvä itsenäinen tiede. Matematiikassa tutkitaan

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA 1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Seuraavien tehtävien tekemiseen tarvitset tulitikkuja

Lisätiedot

Johdatus insinöörimatematiikkaan

Johdatus insinöörimatematiikkaan Timo Ojala ja Timo Ranta Johdatus insinöörimatematiikkaan 01 (a+b) a +a b+ab +b ESIPUHE Aluksi haluan onnitella sinua hienosta uravalinnasta: Insinöörin ammatti on arvostettu perinteinen ammatti, joka

Lisätiedot

Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku

Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku Pasi Leppäniemi OuLUMA, sivu 1 POLYNOMIPELI Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku Luokkataso: 8-9 lk Välineet: pelilauta, polynomikortit, monomikortit, tuloskortit,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn

TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN. Katri Währn TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN Katri Währn 2013 JOHDANTO Myyntityön koulutusohjelman matematiikan valintakoe perustuu koulumatematiikkaan riippumatta siitä, onko hakijan

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Seguinin lauta A: 11-19

Seguinin lauta A: 11-19 Lukujen syventäminen Kun lapsi ryhtyy montessorileikkikoulussa syventämään tietouttaan lukualueesta 1-1000, uutena montessorimateriaalina tulevat värihelmet. Värihelmet johdattavat lasta mm. laskutoimituksiin,

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla

Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla 1. Tehtävänanto Pohdi kuinka opettaisit yläasteen oppilaille murtolukujen peruslaskutoimitukset { +, -, *, / } Cuisenairen lukusauvoja apuna

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Yksikkömuunnokset. Pituus, pinta-ala ja tilavuus. Jaana Ohtonen Språkskolan/Kielikoulu Haparanda-Tornio. lördag 8 februari 14

Yksikkömuunnokset. Pituus, pinta-ala ja tilavuus. Jaana Ohtonen Språkskolan/Kielikoulu Haparanda-Tornio. lördag 8 februari 14 Yksikkömuunnokset Pituus pinta-ala ja tilavuus lördag 8 februari 4 SI-järjestelmän perussuureet ja yksiköt Suure Suureen tunnus Perusyksikkö Yksikön lyhenne Määritelmä Lähde: Mittatekniikan keskus MIKES

Lisätiedot

Oppikirjamaraton-tiimi. Kirjasta puuttuu vielä muun muassa kuvitusta, yhtenäistämistä ja muita

Oppikirjamaraton-tiimi. Kirjasta puuttuu vielä muun muassa kuvitusta, yhtenäistämistä ja muita Oppikirjamaraton-tiimi Vapaa matikka 1 Matikka verkosta vapauteen! Kirjasta puuttuu vielä muun muassa kuvitusta, yhtenäistämistä ja muita loppumetrien toimituksellisia temppuja. Kerro meille mitä kirjassa

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI Kirjoita potenssimerkintдnд a) b) ( 4) ( 4) ( 4) c)

KOKEITA KURSSI Kirjoita potenssimerkintдnд a) b) ( 4) ( 4) ( 4) c) KOKEITA KURSSI MATEMATIIKAN KOE KURSSI (A). Kirjoita potenssimerkintдnд a) 9 9 9 9 9 b) ( ) ( ) ( ) c) 7 7 7... 7 d) luvun 8 neliц e) luvun kuution vastaluku. 77 kpl. Laske lausekkeen a b arvo, kun a)

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:... MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Paavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net

Paavo Räisänen. Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut. www.ohjelmoimaan.net Paavo Räisänen Ohjelmoijan binaarialgebra ja heksaluvut www.ohjelmoimaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa ja levittää ei kaupallisissa tarkoituksissa. Kuitenkaan omille nettisivuille opasta

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

TI-30X II funktiolaskimen pikaohje

TI-30X II funktiolaskimen pikaohje 0 TI-30X II funktiolaskimen pikaohje Sisältö Näppäimet... 1 Resetointi... 1 Aiempien laskutoimitusten muokkaaminen... 2 Edellisen laskutoimituksen tuloksen hyödyntäminen (ANS) ja etumerkki... 3 DEL ja

Lisätiedot

Vapaa matikka. Määritelmä sanalle rekursio: ks. rekursio. Polynomifunktiot (MAA2)

Vapaa matikka. Määritelmä sanalle rekursio: ks. rekursio. Polynomifunktiot (MAA2) Vapaa matikka Polynomifunktiot (MAA2) Määritelmä sanalle rekursio: ks. rekursio. Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 4.0 -lisenssillä. Versio 0.90 (22.9.2014) LISENSSI Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 1: Lasketaan reaaliluvuilla

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 1: Lasketaan reaaliluvuilla Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio : Lasketaan reaaliluvuilla Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. Tervetuloa opiskelemaan Avoimen Matematiikan pariin Yläkoulun

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Oppikirjamaraton-tiimi. Kirjasta puuttuu vielä muun muassa kuvitusta, yhtenäistämistä ja muita

Oppikirjamaraton-tiimi. Kirjasta puuttuu vielä muun muassa kuvitusta, yhtenäistämistä ja muita Oppikirjamaraton-tiimi Vapaa matikka 1 Matikka verkosta vapauteen! Kirjasta puuttuu vielä muun muassa kuvitusta, yhtenäistämistä ja muita loppumetrien toimituksellisia temppuja. Kerro meille mitä kirjassa

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

Vapaa matikka. Funktiot ja yhtälöt (MAA1)

Vapaa matikka. Funktiot ja yhtälöt (MAA1) Vapaa matikka Funktiot ja yhtälöt (MAA1) La distance n y fait rien; il n y a que le premier pas qui coûte. Marie Anne de Vichy-Chamrond, marquise du Deffand kirjeessä Jean le Rond d Alembert lle 7. heinäkuuta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100 1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl

Lisätiedot

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI TEHTÄVIEN KUVAUKSET 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI -TEKSTI- ESSI TAMMINEN -TAITTO- TOMMY JOHANSSON 2015 VILLE TEAM Esipuhe Tämä kirja on kokonaiskatsaus

Lisätiedot

Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut

Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut Solmu 3/2008 1 Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut Tauno Metsänkylä Matematiikan laitos, Turun yliopisto Kun kokonaislukujen 0,1,2,... joukkoa laajennetaan vaiheittain ottamalla mukaan negatiiviset kokonaisluvut,

Lisätiedot