MEKANIIKKA A. Heikki Vanhamäki

Transkriptio

1 MEKANIIKKA A Heikki Vanhamäki Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto 2018

2 Sisältö Aluksi Kohti suhteellisuusteoriaa Newtonin liikelait Sähkömagnetismi Sähkömagnetismi ja Galilein muunnos Michelsonin ja Morleyn koe Ongelman ratkaisu Lorentzin koordinaatistomuunnos Muunnoksen johto Lorentzin muunnoksen tarkastelua Esimerkki: Myonien hajoaminen Nopeuden muunnoskaavat Neliulotteinen aika-avaruus Aika ja paikka nelivektorina Nelinopeus Miksi nelivektoreita? Geometrinen tulkinta Esimerkki: Kaksosparadoksi Relativistinen dynamiikka Liikemäärä Energia Neliliikemäärä Energia ja massa Fotonit Hiukkasreaktion kynnysenergia

3 5 Satelliittipaikannus Takaisin Newtonin mekaniikkaan Hiukkasjoukko ja säilymislait Magneettisista voimista Häiriöteoriaa Lagrangen mekaniikkaa Yleistetyt koordinaatit Lagrangen liikeyhtälöt Esimerkkejä Nopeudesta riippuvat voimat Variaatiolaskenta ja Lagrangen yhtälöt Hamiltonin periaate Variaatiolaskentaa Lagrangen yhtälöiden johto Hamiltonin periaatteesta Lagrangen yhtälö side-ehtojen kanssa Symmetriat ja säilymislait Hamiltonin funktio Yhteenveto Keskeisvoima ja kahden kappaleen ongelma Redusointi yhden kappaleen ongelmaksi Keskeisvoimakentän yleinen ratkaisu Ellipsiradat 1/r potentiaalissa Hyperbeliradat 1/r potentiaalissa Ratojen sulkeutuvuus keskeispotentiaalissa Pienet värähtelyt Yksinkertainen värähtelijä Monikomponenttinen värähtelijä Normaalikoordinaatit Liite A: Vektoreita, derivointia ja integrointia 135 A.1 Vektorilasku A.2 Derivointi A.3 Vektorit ja derivointi A.4 Vektorit ja integrointi Tähdellä merkityt luvut ja kappaleet ovat ylimääräistä asiaa. Niitä voidaan käsitellä luennoilla mikäli aikaa on, mutta tenttiin ei niistä tule kysymyksiä. 3

4 Liite B: Taylorin sarja 143 B.1 Taylorin sarja B.2 Approksimatiivisia sarjakehitelmiä Liite C: Differentiaaliyhtälöistä 145 C.1 Yleisiä määritelmiä C.2 Esimerkkejä Liite D: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot 152 D.1 Napakoordinaatisto D.2 Sylinterikoordinaatisto D.3 Pallokoordinaatisto

5 Aluksi Järjestelyjä Luennot: maanantaisin (ei 10.9.) klo ja torstaisin klo Harjoitukset: Viikottainen laskupäivä 7 viikon ajan (4 eri ryhmää) Harjoitusassistentit: Markku Lehto, Niina Mäkinen ja Juhani Pieskä Välikoe 1: Tiistaina Välikoe 2: Maanantaina Esitiedot: Mekaniikka 1 sekä vektorilaskennan ja differentiaali- ja integraalilaskennan perusteet. Kurssin verkkosivulta löytyy luentomateriaali (tämä moniste), harjoitustehtävät ja myöhemmin myös ratkaisuja osaan harjoitustehtävistä. Katso sieltä myös mahdolliset muutokset luento- ja harjoitusaikoihin. Kurssiin kuuluvat oleellisena osana laskuharjoitukset, joiden tehtävät laitetaan kurssin verkkosivulle pian vastaavan luennon jälkeen. Harjoitustehtäviä kannattaa yrittää laskea ensin itsenäisesti esim. kotona, sillä kahden tunnin laskupäivä on liian lyhyt kaiken alusta aloittamiseen. Kummassakin välikokeessa on 4 tehtävää, jotka arvostellaan skaalalla 0-6 pistettä. Lisäksi harjoitustehtävien ratkaisemisesta annetaan maksimissaan 6 pistettä (yksi kuudesosa tehtävistä tehtynä 1 piste, jne). Kurssin maksimipistemäärä on siis = 54. Läpipääsyyn tarvitaan 27 pistettä. Kurssin jälkeen järjestetään kaksi uusintaa (näillä näkymin joulu- ja tammikuussa). Uusinnassa koko kurssin aihealue on yhdessä kokeessa, eivätkä mahdolliset laskuharjoituspisteet enää vaikuta arvosanaan. Suosittelen kurssin suorittamista välikokeilla, mikäli mahdollista. 5

6 Taustaa Mekaniiikka 2 kurssi luennoidaan nykymuodossaan ensimmäistä kertaa syksyllä Se on tähdätty toisen vuoden opiskelijoille ja on jatkoa Mekaniikka 1 kurssille, joka luennoitiin nykymuotoisena ensimmäistä kertaa syksyllä Mekaniikka 2 laajentaa ja syventää aikaisemmin opittua Newtonin mekaniikkaa kahteen hieman erilliseen suuntaan. Kurssin alkupuolella tutustumme suppeaan suhteellisuusteoriaan. Se ei ole johdettavissa Newtonin mekaniikasta, vaan sisältää uutta fysiikka. Suhteellisuusteoria sisältää Newtonin liikelait erikoistapauksenaan, rajalla jossa kappaleiden nopeudet ovat pieniä verrattuna valonnopeuteen 2. Erot alkavat tulla näkyviin suuremmissa nopeuksissa, jolloin ajan ja paikan käsitteitä täytyy muokata, eivätkä kaikki havaitsijat ole enää yksimielisiä edes kaikkien tapahtumien aikajärjestyksestä (tässä ei ole kysymys siitä että he saisivat tiedon tapahtumista eri aikaan, vaan aivan todellisesta erosta tapahtumien järjestyksessä). Nämä arkikokemuksesta poikkeavat efektit saavat aikaan paradoksaalisilta vaikuttavia tilanteita (esim. kaksosparadoksi ja lipputankoparadoksi), jotka kuitenkin tarkemmin tarkasteltuna ratkeavat kaikkia havainnoitsijoita tyydyttävällä tavalla. Suhteelisuusteoreettiset efektit ovat hyvin tärkeitä esimerkiksi hiukkasfysiikassa, missä kiihdytetyt hiukkaset liikkuvat lähes valonnopeudella. Suppea suhteellisuusteoria ei kuitenkaaan pysty kuvaamaan painovoimaa, vaan siihen tarvitaan tämän kurssin ulkopuolelle jäävää yleistä suhteellisuusteoriaa. Kurssin jälkimmäisellä puoliskolla tutustumme niin kutsuttuun analyyttiseen mekaniikkaan, jolla tarkoitetaan Newtonin mekaniikan esittämistä joko Joseph- Louis Lagrangen tai William Hamilton esittämillä tavoilla. Lagrangen mekaniikan ja Hamiltonin mekaniikan nimillä kulkevat formulaatiot korostavat energian ja liikemäärän säilymistä sekä systeemin symmetrioita, mutta Newtonin mekaniikassa niin tärkeä voiman käsite on näissä lähestymistavoissa taka-alalla. Lagrangen ja Hamiltonin formalismit eivät sinänsä sisällä mitään uutta fysiikkaa, sillä ne ovat täysin yhtäpitävä Newtonin lakien kanssa. Sen sijaan ne tekevät monien ongelmien käsittelystä helpompaa, ja toimivat samalla klassisena ponnahduslautana kohti kvanttimekaniikkaa. Kirjallisuutta Tämä luentomoniste on yritetty kirjoittaa siten, että mitään varsinaista oppikirjaa ei tarvittaisi. On kuitenkin hyödyllistä tutustua myös muihin samaa aihetta käsitteleviin oppikirjoihin, sillä erilaiset lähestymistavat auttavat usein asian ymmärtä- 2 Valon nopeus tarkoittaa valon eli sähkömagneettisen säteilyn nopeutta jossakin väliaineessa, kun taas valonnopeus on luonnonvakio. Ainoastaan tyhjiössä valon nopeus on valonnopeus. 6

7 misessä. Lähes kaikissa fysiikan yleisoppikirjoissa on luku joka käsittelee suhteellisuusteoriaa. Lisäksi aiheesta on kirjoitettu useita eri tasoisille kursseille suunnattuja oppikirjoja. Kurssin tukena voi käyttää esimerkiksi seuraavia opuksia: H.D. Young and R.A. Freedman: University Physics, 13th edition (Pearson). Muun muassa Mekaniikka 1:llä käytety oppikirja, joka sisältää luvun verran suhteellisuusteoriaa. J. Maalampi ja T. Perko, Lyhyt modernin fysiikan johdatus (1997, korjattu painos 2006). Helsingin yliopiston modernin fysiikan johdantokurssille tehty oppikirja, joka sisältää paitsi johdatuksen suppeaan suhteellisuusteoriaan, myös alkeita yleisen suhteellissuuteorian mukaisesta kosmologiasta sekä johdannon kvanttimekaniikkaan. Saatavilla Limes Ry:n verkkokaupasta. E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime Physics (2nd ed., 1992). Varsin perusteellinen ja helposti lähestyttävä (lähes kansantajuinen) esitys suhteellisuusteorian perusteista 3. R. Feynman, R. Leighton and M. Sands, The Feynman lectures on physics, volume 1. Feynmanin luennot auttavat fysiikan syvällisemmässä ymmärtämisessä. Ensimmäinen kirja käsittelee mekaniikka ja sisältää pari lukua suhteellisuusteoriasta 4. Analyyttisestä mekaniikasta on kirjoitettu oppikirjoja hyllymetreittäin. Tässä on vain muutama suositeltava opus: H. Goldstein, Classical Mechanics (painokset 1951 ja 1980, kolmas painos Poolen ja Safkon kanssa 2001). Aikaisemmin tämä oli erittäin yleisesti käytetty oppikirja, joten kirjastossa pitäisi olla useita kappaleita. Uusin painos sisältää myös kaaosteoriaa. L.D. Landau ja E.M. Lifshitz, Mechanics. Jokaisen teoreettisen fyysikon tulisi tutustua Landaun ja Lifshitzin 10-osaiseen kirjasarjaan, jonka ensimmäinen osaa käsittelee klassista mekaniikkaa. H. Koskinen ja R. Vainio, Klassinen mekaniikka (2010). Helsingin yliopiston Analyyttisen mekaniikan kurssille kirjoitettu oppikirja. Saatavilla Limes Ry:n verkkokaupasta 5. 3 Löytyy enemmän tai vähemmän laillisena pdf:nä netistä. 4 Vapaasti luettavissa netissä, 5 Kirjan perustana oleva luentomoniste saattaa vielä löytyä googlella. 7

8 Kiitokset Tämä moniste pohjautuu lähes kokonaan Erkki Thunebergin luentomateriaaliin aikaisemmilta analyyttisen mekaniikan ja suhteellisuusteorian kursseilta. Lisäksi Helsingin yliopistossa luennoidut vastaavat kurssit ovat vaikuttaneet tämän monisteen sisältöön. Vakioita ja merkintöjä c = m/s, valon nopeus tyhjiössä G = Nm 2 /kg 2, gravitaatiovakio h = Js, Planckin vakio, usein esiintyy myös = h/2π e = C, alkeisvaraus, elektronin varauksen itseisarvo k B = J/K, Boltzmannin vakio ɛ 0 = C 2 /Nm 2, sähkövakio (tyhjiön permittiivisyys) µ 0 = 4π 10 7 N/A 2, magneettivakio (tyhjiön permeabiliteetti) m e = kg, elektronin massa m p = kg, protonin massa u = kg, atomimassayksikkö 1 ev = J, elektronivoltti, energian yksikkö hiukkasfysiikassa γ v = 1/ 1 v 2 /c 2, yleinen lyhennysmerkintä suhteellisuusteoriassa β v = v/c, yleinen lyhennysmerkintä suhteellisuusteoriassa a/bc = a/(bc), laskujärjestyssääntö tässä monisteessa 8

9 Luku 1 Kohti suhteellisuusteoriaa 1.1 Newtonin liikelait Tarkastellaan pistemäistä hiukkasta. Hiukkasen hetkellistä paikkaa kuvaa paikkavektori r. Komponenttimuodossa r = xê x + yê y + zê z, (1.1) missä ê x, ê y ja ê z tarkoittavat koordinaattiakselien suuntaisia yksikkövektoreita. (Usein käytetään myös merkintöjä i = ê x, j = ê y ja k = ê z. Vektorilaskentaa kerrataan liitteessä A.) Hiukkasen nopeus u on paikan derivaatta ajan t suhteen: Komponenteittain tämä voidaan kirjoittaa muotoon u x = dx dt, u = dr dt. (1.2) u y = dy dt, u z = dz dt. (1.3) Kannattaa huomata että hiukkasen nopeus on vektori jolla on sekä suunta että suuruus. Nopeuden itseisarvoa u kutsutaan vauhdiksi, vaikka joskus sitä tulee epähuomiossa kutsuneeksi nopeudeksi. Kiihtyvyys a puolestaan määritellään nopeuden aikaderivaattana: a = du dt = d2 r dt. (1.4) 2 Mekaniikassa harvemmin tarvitsee paikan korkeampia aikaderivaattoja, mutta mainittakoon että kiihtyvyyden aikaderivaatta on nimeltään nykäys. Liian suuri nykäys esimerkiksi täyteen ahdetussa bussissa tekee pystyssä pysymisestä hankalaa. Newtonin mekaniikan perustana ovat kolme liikelakia, jotka Newton esitti vuonna 1687: 9

10 N1: Jos mikään voima ei vaikuta hiukkaseen niin se jatkaa liikettään vakionopeudella (tai pysyy paikallaan). N2: Hiukkasen kiihtyvyys on suoraan verrannollinen hiukkaseen vaikuttavaan voimaan f ja on voiman suuntainen. Kaavana dp dt = f, (1.5) missä liikemäärä p on määritelmän mukaan hiukkasen nopeuden ja massan tulo p = mv. Massan m oletetaan olevan hiukkasesta riippuva vakio. N3: Jos hiukkanen vaikuttaa toiseen hiukkaseen jollakin voimalla, niin tämä toinen hiukkanen vaikuttaa ensimmäiseen hiukkaseen täsmälleen saman suuruisella, mutta vastakkaissuuntaisella voimalla. Lisäksi voimat oletetaan hiukkasia yhdistävän janan suuntaisiksi. Pohjimmiltaan nämä ovat havaintoihin perustuvia kokeellisia tuloksia, joita ei Newtonin mekaniikan puitteissa edes yritetä johtaa mistään syvemmästä teoriasta. Newtonin toinen laki antaa toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön hiukkasen paikalle, m d2 r = f(r, u, t). (1.6) dt2 Tämä voidaan ainakin periaatteessa ratkaista, kunhan tunnetaan hiukkaseen vaikuttavan voiman lauseke. Yleisesti ottaen voima voi riippua paitsi paikasta ja ajasta, myös hiukkasen itsensä nopeudesta (esim. ilmanvastus). Lisäksi ratkaisuun tarvitaan kaksi integroimisvakiota jotka määräävät hiukkasen radan. Yleensä integroimisvakiot annetaan alkuehtoina, eli kerrotaan hiukkasen paikka r(t 0 ) ja nopeus u(t 0 ) jollakin ajan hetkellä t 0. Koordinaatistoa jossa Newtonin lait ovat voimassa sellaisenaan kutsutaan inertiaalikoordinaatistoksi. Inertiaalikoordinaatiston voi peraatteessa tunnistaa ensimmäisen lain mukaan: jos testihiukkaseen ei vaikuta mikään voima, ja jos se jatkaa liikettään tasaisella nopeudella (tai pysyy paikallaan), on kyseessä inertiaalikoordinaatisto. Tämän testin toteuttaminen käytännössä voi tietysti olla vaikeaa, sillä erityisesti painovoimaa on useimmiten mahdoton poistaa. Käytännön toteutuksen vaikeudesta riippumatta voidaan kuitenkin periaatteellisesti ajatella tällaista mahdollisuutta. 10

11 z y K nopeus u x u = vakio f = 0 K on inertiaalikoordinaatisto Oletetaan että koordinaatisto K on inertiaalikoordinaatisto. Oletetaan toinen koordinaatisto K, joka liikkuu tasaisella nopeudella K:n suhteen. Nyt testihiukkanen, joka liikkuu tasaisella nopeudella K:n suhteen, liikkuu tasaisella nopeudella myös K :n suhteen. Tästä johtuen myös K :n täytyy olla inertiaalikoordinaatisto. Päätellään että kaikki K:n suhteen tasaisella nopeudella liikkuvat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja, ts. voimme soveltaa Newtonin lakeja missä tahansa niistä. z y K vt x z' y' K' K on inertiaalikoordinaatisto, v = vakio x' K' on inertiaalikoordinaatisto Käytännön kokemuksesta tiedämme että tämä toimii. Esimerkiksi tyynellä merellä tasaisella nopeudella liikkuvan aluksen matkustajat voivat pelata pöytätennistä yhtä vaivattomasti kuin kuivalla maalla. Tekemällä kokeita vain aluksen sisällä ei voi päätellä, onko alus liikkeellä vai levossa. Newtonin lakien mukaan voidaan kaikki mekaniikan ongelmat (ainakin periaatteessa) ratkaista ilmaisemalla kaikki kappaleiden koordinaatit jossain (vapaasti valittavassa) inertiaalikoordinaatistossa. Näin saatu tulos voidaan sitten ilmaista missä tahansa koordinaatistossa, muuttamalla lasketut tulokset lopuksi tällaiseen koordinaatistoon. Esimerkiksi voimme ratkaista mitä pyörivässä karusellissa pudonneelle kolikolle tapahtuu tarkastelemalla tätä koordinaatistossa, joka on levossa maan suhteen. (Tässä oletetaan että maahan sidottu ns. laboratoriokoordinaatisto on riittävällä tarkkuudella inertiaalinen.) Vaihtoehtoisesti on kuitenkin mahdollista myös käyttää koordinaatistoa, joka on kiihtyvässä liikkeessä inertiaalikoordinaatistoon nähden. Esimerkiksi voidaan käyttää pyörivään karuselliin kiinnitettyä koordinaatistoa. Tällaisesta koordinaatistosta nähtynä hiukkanen on kiihtyvässä liikkeessä vaikka inertiaalikoordinaatistossa f = 0. Tässäkin tapauksessa voidaan käyttää Newtonin lakeja, jos samalla muutetaan voiman määritelmää: inertiaalikoordinaatistossa vaikuttavaan voimaan 11

12 pitää lisätä hitausvoima, joka aiheutuu koordinaatiston kiihtyvyydestä. Esimerkkeinä ovat keskipakoisvoima ja Coriolis-voima. Tutkitaan vielä tarkemmin siirtymistä kahden inertiaalikoordinaatiston välillä. Tämä tapahtuu Newtonin mekaniikassa Galilein koordinaatistomuunnoksen avulla. Olkoot K ja K kaksi inertiaalikoordinaatistoa, joiden akselit ovat yhdensuuntaiset. Liikkukoon koordinaatisto K koordinaatiston K suhteen tasaisella nopeudella v positiivisen x-akselin suuntaan. Valitaan myös että koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = 0. z y K vt r x z' y' K' r' x' = x - vt y' = y z' = z Hiukkasen paikkaa voidaan nyt kuvata kummassakin koordinaatistossa. Kuvasta päätellään että eri koordinaatistoissa mitatut koordinaatit saadaan toisistaan kaavoilla x = x vt y = y x' z = z. (1.7) Tämä Galilein koordinaatistomuunnos voidaan esittää myös vektorimuodossa r = r vt. Esimerkki 1. Bussin keulaan kiinnitetty koordinaatisto K ohittaa tasaisella nopeudella 14 m/s pysäkkiin kiinnitetyn koordinaatiston K ajanhetkellä t = 0. Jussi seisoo pysäkillä paikassa x = 2 m. Mikä on hänen sijaintinsa bussin koordinaatistossa hetkellä t = 3 s? Lasketaan ensimmäisestä kaavasta (1.7) x = x vt = 2 m 14 m/s 3 s = 40 m. Esimerkki 2. Anne istuu paikalla x = 4 m bussin koordinaatistossa. Mikä on hänen paikkansa ajanhetkellä t = 3 s pysäkin koordinaatistossa? Ratkaistaan ensimmäisestä kaavasta (1.7) x = x + vt = 4 m + 14 m/s 3 s = 38 m. Tutkitaan seuraavaksi millaiset nopeudet hiukkaselle mitataan eri inertiaalikoordinaatistoissa. Kappaleen nopeus saadaan derivoimalla sen paikkakoordinaatteja ajan suhteen, u = dr/dt koordinaatistossa K ja u = dr /dt koordinaatistossa K. Derivoimalla yhtälöitä (1.7) ajan suhteen ja ottamalla huomioon että v on 12

13 vakio saadaan nopeuskomponenttien Galilein muunnosyhtälöt u x = u x v u y = u y u z = u z. (1.8) Myös nämä voidaan esittää vektorimuodossa u = u v. Esimerkki 3. Hannu kävelee bussissa nopeudella 2 m/s keulaa kohti. Mikä on hänen nopeutensa pysäkin koordinaatistossa? Identifioidaan u x = 2 m/s. Ratkaistaan ensimmäisestä kaavasta (1.8) u x = u x + v = 2 m/s + 14 m/s = 16 m/s. Esimerkki 4. Pekka kävelee suojatien yli nopeudella 3 m/s. Mikä on hänen nopeutensa bussin koordinaatistossa? Nyt u y = 3 m/s. Kaavojen (1.8) mukaan u = 14ê x + 3ê y m/s, jolloin u = m/s. Huomaa että ê x = ê x jne. Tutkitaan vielä kiihtyvyyksiä eri inertiaalikoordinaatistoissa. Kappaleen kiihtyvyys saadaan derivoimalla sen nopeutta ajan suhteen, a = du/dt koordinaatistossa K ja a = du /dt koordinaatistossa K. Derivoimalla yhtälöitä (1.8) saadaan a x = a x a y = a y a z = a z, (1.9) eli kiihtyvyys molemmissa koordinaatistoissa on sama, vektorimuodossa a = a (tässä tosin tulee huomaamattaan olettaneeksi että myös aika t on sama). Newtonin II laki (1.5) sanoo m du dt = ma = f. (1.10) Koska kiihtyvyys a on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa, täytyy myös voiman f olla riippumaton valitusta inertiaalikoordinaatistosta (tässä tosin tulee huomaamattaan olettaneeksi että myös massa m on sama). Voimalla f voi olla monia syitä: painovoima, tukivoima, kitkavoima, sähkövoima, magneettivoima jne. Tarkastellaan tässä vain painovoimaa. Newtonin painovoimateorian mukaan kahden kappaleen, joiden massat ovat m 1 ja m 2 ja paikat r 1 ja r 2, välillä vaikuttaa vetovoima jonka suuruus on f = G m 1m 2 r 1 r 2 2. (1.11) Tässä G = Nm 2 /kg 2 on kokeellisesti mitattu gravitaatiovakio. 13

14 Siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen, muuttuvat hiukkasten paikat r 1 ja r 2 Galilein muunnoksen mukaan kuten kaavoissa (1.7). Näiden erotus r 1 r 2 ei kuitenkaan muutu. Siksi saadaan kaavasta (1.11) että gravitaatiovoima on riippumaton koordinaatistosta. Siis kaavan (1.10) yhteydessä saatu vaatimus toteutuu. Newtonin lakien perusteella pystytään hyvin tarkasti kuvaamaan makroskooppisten kappaleiden liikkeitä maanpäällisissä olosuhteissa, aurinkokunnan kappaleita jne., joiden nopeudet ovat pieniä valon nopeuteen verrattuna. Jatkossa tullaan havaitsemaan että Newtonin teoria on kuitenkin riittämätön kun tarkasteltavien kappaleiden nopeus lähestyy valonnopeutta. 1.2 Sähkömagnetismi Newtonin mekaniikassa kaikki tuntuu sujuvan mainiosti, mutta 1800 luvulla kehitelty sähkön ja magnetismin yhdistävä teoria alkoi aiheuttaa päänvaivaa. Sähkömagnetismin teoria kiteytyy Maxwellin yhtälöihin, jotka James Clerk Maxwell esitti vuonna Nykyisellä vektorinotaatiolla ne voidaan kompaktisti ilmaista muodossa E = ρ ɛ 0 (1.12) E = B t (1.13) B = 0 (1.14) B = E µ 0 ɛ 0 t + µ 0j. (1.15) Nämä yhtälöt määräävät miten sähkökenttä E(r, t) ja magneettikenttä B(r, t) käyttäytyvät. Yhtälöissä esiintyy lisäksi varaustiheys ρ, sähkövirrantiheys j ja kaksi vakiota ɛ 0 ja µ 0. Maxwellin yhtälöitä täydentää Lorentz-voiman lauseke f = q (E + u B), (1.16) joka antaa varattuun hiukkaseen kohdistuvan voiman. Tässä hiukkasen sähkövaraus on q ja sen nopeus on u. Maxwellin yhtälöt pyritään johtamaan (tai ainakin perustelemaan) ja niiden monia seurauksia tarkastellaan sähkömagnetismin kursseilla. Tässä vaiheessa ei ole tarkoituskaan yrittää niitä ymmärtää. Todetaan vain että tällaiset yhtälöt ovat olemassa, ja että yksi niiden ratkaisu on etenevä aalto. Etsitään yhtälöiden (1.12)-(1.15) ratkaisua tyhjiössä, missä ei ole varauksia eikä sähkövirtoja, eli ρ = 0, j = 0. Kokeillaan yritettä E = E 0 ê y f(x ct) B = B 0 ê z f(x ct). (1.17) 14

15 Tässä ê y ja ê z ovat y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit ja f on mielivaltainen jatkuva ja derivoituva funktio. Huomataan että yrite riippuu paikasta ja ajasta vain kombinaatiossa x ct. Tällainen yrite esittää x-akselin suuntaan nopeudella c etenevää aaltoa, riippumatta funktion f muodosta 1 Seuraavaksi sijoitetaan yrite (1.17) Maxwellin yhtälöihin (1.12)-(1.15). Todetaan että nämä kaikki toteutuvat niin, että kun vaaditaan epätriviaali ratkaisu jossa E 0 0, täytyy olla c = 1 ɛ0 µ 0. (1.18) Lisäksi saadaan ehto E 0 :n ja B 0 :n välille, minkä laskeminen jätetään harjoitustehtäväksi (liitteessä A olevista vektorilaskennan kaavoista on varmasti apua). Perustuen aikansa mittauksiin Maxwell laski kaavasta (1.18) aallon nopeudeksi km/s ja vertasi sitä valolle mitattuun nopeuteen km/s. Ottaen huomioon mittausepätarkkuuden, nämä tulokset ovat samat. Maxwell totesi: Voimme tuskin välttyä siltä päätelmältä että valo koostuu värähtelyistä samassa väliaineessa joka aiheuttaa sähköiset ja magneettiset ilmiöt. Tämä on yksi teoreettisen fysiikan hienoimpia tuloksia: pystyttiin päättelemään että valo, jolla aiemmin ei ajateltu olevan mitään tekemistä sähköisyyden tai magnetismin kanssa, osoittautuukin olevan seurausta näistä luvulla Heinrich Hertz osoitti Maxwellin teoreettiset tulokset oikeiksi tuottamalla ja vastaanottamalla sähkömagneettisia aaltoja. 1.3 Sähkömagnetismi ja Galilein muunnos Siitä että Maxwellin yhtälöt määräävät valon nopeuden seuraa kuitenkin ongelma. Galilein muunnoksen (1.8) perusteella tiedämme, että nopeus riippuu havaitsijasta. Jos valolle mitataan nopeus c yhdessä inertiaalikoordinaatistossa, se ei ole sama toisessa. Käyttäen koordinaatistoja K ja K kuten edellä, oletetaan että u on valon nopeus koordinaatistossa K ja että se on vakio c, siis u 2 x + u 2 y + u 2 z = c 2. Silloin kaavan (1.8) mukaan valon nopeus u koordinaatistosta K toteuttaa yhtälön (u x + v) 2 + u 2 y + u 2 z = c 2. (1.19) 1 Perustelu: Merkitään ω = x ct. Funktiolla f(w) on jokin tietty muoto, joka hetkellä t 1 on pisteen x 1 ympärillä, missä ω 1 = x 1 ct 1. Hetkellä t 2 = t 1 + t funktion muoto on sama, mutta se on keskittynyt pisteen x 2 = x 1 + c t ympärille, missä ω:lla on sama arvo kuin äsken, ω 2 = x 2 ct 2 = ω 1. Vaihtoehtoisesti voit ajatella siirtymistä nopeudella c liikkuvaan koordinaatistoon K, jossa kaavan (1.7) perusteella w = x ct = x, joten f(ω) ei riipu ajasta. Siispä K:ssa f(ω) etenee nopeudella c. 15

16 Erikoistapauksena tästä nähdään että K :n liikenopeuden v suunnassa valon nopeus on c v ja sitä vastakkaisessa suunnassa c + v. (a) c c c y c c c c c x K c+v y' c-v Kuvassa katkoviivalla on merkitty ympyrä, jolle valonsäteet ovat saapuneet ajanhetkellä t kun ne ovat lähteneet koordinaatistojen origosta hetkellä t = 0, jolloin origot yhtyvät. (a) Koordinaatistosta K nähtynä valonsäteet kulkevat joka suuntaan samalla nopeudella c. (b) Koordinaatistosta K nähtynä valonsäteiden nopeus Galilein muunnoksen mukaan noudattaa kaavaa (1.19). Näyttäsi siis siltä, että valon nopeus ei voi olla vakio eri inertiaalikoordinaatistoissa, vaan ainoastaan yhdessä sellaisessa, ja muissa valon nopeus riippuisi sen kulkusuunnasta. Näin ajateltiin 1800-luvulla koska ei nähty olevan mitään muuta vaihtoehtoa. Miksi valon nopeus olisi vakio vain yhdessä koordinaatistossa? Tässä voi verrata valoa ääniaaltoihin, jotka ovat ilmassa (tai muussa aineessa) eteneviä värähtelyjä. Niiden nopeus luonnollisestikin on vakio eri suuntiin vain siinä koordinaatistossa, missä ilma on levossa. Ajateltiin että valo muistuttaisi ääniaaltoja siinä, että sekin olisi värähtelyjä jossain väliaineessa. Silloin olisi luonnollista, että valon nopeus olisi vakio vain siinä inertiaalikoordinaatistossa, jossa tämä väliaine on levossa. Tällaista hypoteettista väliainetta alettiin kutsua eetteriksi. Koska Maxwellin yhtälöt johtivat valon vakionopeuteen, oli myös oletettava, että nämä yhtälöt ovat voimassa ainoastaan eetterin lepokoordinaatistossa. Koska valo näytti kulkevan myös näennäisessä tyhjiössä, täytyi eetterin olla kaikkialla. (Myös Maxwell oletti tällaisen väliaineen olevan olemassa, kuten ilmenee edellä esitetystä lainauksesta.) Oltiin siis päädytty siihen, että on olemassa kaikkialle levittäytynyt väliaine niin, että valon nopeus olisi täsmälleen sama kaikkiin suuntiin vain sen lepokoordinaatistossa. Olisi tietysti kiinnostavaa määrittää tuo koordinaatisto, sillä sitä voitaisiin käyttää absoluuttisena lepokoordinaatistona jonka suhteen kaikki liike mitattaisiin. Ilmeisesti Maa ei voisi olla levossa sen suhteen, koska Maan kiertoliike Auringon ympäri muuttaa nopeuttamme jatkuvasti. Mutta voisiko Aurinkokaan olla levossa eetterin suhteen? Asian voisi selvästikin saada selville mittaamalla valon nopeutta eri suuntiin. Ongelmana on kuitenkin valon suuri nopeus. Jotta (b) x' K' 16

17 erotettaisiin Maan nopeus v eetteriin nähden, ei virhe valon nopeuden mittauksessa saa olla huomattavasti suurempi kuin v. 1.4 Michelsonin ja Morleyn koe Michelsonin vuonna 1881 suorittamassa ja Michelsonin ja Morleyn v uusimassa kokeessa pyrittiin määrittämään maan ratanopeus eetterin suhteen. Periaatteena oli verrata maan rataliikkeen suunnassa ja sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa kulkevien valonsäteiden nopeuksia valon interferenssin avulla. P 1 l 1 P P 2 S l 2 T Laboratoriossa levossa olevasta lähteestä S tuleva valonsäde jakautuu puoliläpäisevällä peilillä P kahteen osaan. Peililtä P heijastunut valo ohjautuu peilille P 1 ja peilin P läpäissyt valo peilille P 2. Peilit P 1 ja P 2 heijastavat valon takaisin peiliin P. Osa kumpaakin tietä kulkeneesta valosta tulee teleskooppiin T, missä eri teitä kulkeneiden valonsäteiden interferenssi voidaan havaita. Interferenssiä syntyy jos eri teitä kulkevat säteet käyttävät matkaan eri ajan, sillä silloin valonsäteisiin liittyvät aaltorintamat ovat eri vaiheissa. Interferenssin oletettiin riippuvan sekä eri reittien matkaerosta että erisuuruisesta nopeudesta. Tarkastellaan aluksi peilin P 2 kautta kulkevaa valonsädettä ja oletetaan, että S-P-P 2 on maan rataliikkeen suunnassa. Kun maan nopeus eetterin suhteen on v, niin valon nopeus on c v suunnassa P-P 2 ja c + v suunnassa P 2 -P kuten edellä todettiin. (K on eetterin lepokoordinaatisto, K maahan kiinnitetty koordinaatisto.) Peilin P 2 ollessa etäisyydellä l 2 peilistä P, edestakaiseen matkaan P-P 2 -P valolta kuluu aika t 2 = l 2 c v + l 2 c + v = 2cl 2 c 2 v = 2l 2γv 2, 2 c 17

18 missä γ v = 1 1 v2 /c 2. (1.20) Peilin P 1 kautta kulkevalle säteelle u x = 0 = u z kaavassa (1.19), joten sen nopeus on u y = c 2 v 2. Säteen edestakaiseen matkaan P-P 1 -P käyttämä aika on 2l 1 t 1 = c2 v = 2l 1 2 c γ v. Eri reittejä kulkeneiden säteiden aikaero on siis t = t 2 t 1 = 2γ v c (γ vl 2 l 1 ). Aikaero aiheuttaa interferenssin teleskoopissa. Koska hieman vinosti tulleilla säteillä on hieman eri matka, nähdään teleskoopissa interferenssijuovia. (kuva: Wikipedia) Jatketaan koetta kiertämällä laitteistoa 90 siten, että peiliin P 1 kulkeva säde etenee maan rataliikkeen suuntaan. Vastaavilla laskuilla kuin edellä saadaan aikaeroksi t = t 2 t 1 = 2γ v c (l 2 γ v l 1 ). Laitteiston kiertämisen pitäisi siirtää interferenssijuovia määrällä, joka on suoraan verrannollinen aikojen t ja t erotukseen = t t = 2γ v c (γ v 1)(l 1 + l 2 ). Siirtymän suuruus verrattuna interferenssijuovien etäisyyteen on S = T = 2(l 1 + l 2 ) γ v (γ v 1), (1.21) λ missä T = λ/c on värähdysaika ja λ valon aallonpituus. Pienten nopeuksien (v c) kyseessä ollen kerroin γ v voidaan approksimoida lausekkeella γ v = 1 1 v2 /c 2 = v (1.22) c2

19 (Tässä on käytetty hyväksi Taylorin sarjaa, katso liite B.) Suureelle S saadaan S (l 1 + l 2 )v 2 λc 2. (1.23) Michelson ja Morley käyttivät laitteistoa, jolle l 1 + l 2 22 m. Jos käytetyn valon aallonpituus on m ja v:n oletetaan olevan maan ratanopeuden suuruusluokkaa (v 30 km/s), saadaan yhtälöstä (1.23) S 0.4. Näin suuri interferenssijuovien suhteellinen siirtymä olisi varmuudella havaittu. Siirtymää ei kuitenkaan havaittu alkuperäisissä kokeissa eikä myöhemminkään koetta uusittaessa. Oltiin siis päätelty että eetteri täytyi olla olemassa mutta miten Maa olisi voinut olla levossa sen suhteen? Seuraavassa luetellaan muutamia tämän ongelman selitysyrityksiä ja niiden heikkouksia: 1. Maa kuljettaa eetterin mukanaan. Tämä on selitys, jota Michelson itse ehdotti. Tähtivalon aberraatio, joka havaittiin jo 1729, osoittaa kuitenkin selityksen vääräksi. Aberraatiolla ymmärretään tähtien aseman näennäistä siirtymistä vuodenaikojen mukaan pitkin ympyränkehää, jonka näkökulma on 41. (1 = 1 kaarisekunti = 1 astetta.) Siirtyminen johtuu 3600 Maan rataliikkeestä. Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi suoraan Maan ratatason eli ekliptikan yläpuolella olevaa tähteä. Sinä aikana kun tähden valo kulkee siihen suunnatun l-pituisen kaukoputken läpi, siirtyy kaukoputki Maan rataliikkeen suuntaan matkan s = vt = vl/c. Jotta tähti nähtäisiin, on putkea kallistettava kulma α, jonka suuruus on noin s/l = v/c 10 4 rad. Kuuden kuukauden kuluttua Maan rataliike on vastakkaissuuntainen ja aberraation suunta siten myös vastakkainen. Kokonaisaberraatiokulma 2α = rad = 41 on erinomaisen hyvin sopusoinnussa havaintojen kanssa. Valon aberraatiosta voidaan päätellä, ettei eetteri kulje Maan mukana. Mikäli se kulkisi, niin eetteri olisi levossa Maan suhteen, jolloin kaukoputkea ei tarvitsisi kallistaa eikä mitään aberraatiota myöskään havaittaisi. 2. Kaikki kappaleet kutistuvat liikesuunnassaan tekijällä 1 v 2 /c 2. Tämä Lorentzin esittämä oletus selittäisi Michelsonin ja Morleyn kokeen tuloksen. Pelkästään sellaisenaan oletus on kuitenkin ristiriitainen, kuten myöhemmin tullaan näkemään. 3. Sähkömagnetismin teoria on virheellinen. Useimmat korjatuista teorioista perustuvat oletukselle, että valonnopeus on vakio c valolähteen suhteen, mutta on riippumaton sen väliaineen liiketilasta jonka läpi valo kulkee. Tällaisia teorioita kutsutaan emissioteorioiksi. Koska Michelsonin ja Morleyn kokeessa sekä valolähde että havaitsija ovat maan lepokoordi- 19

20 naatistossa, niin emissioteoriat selittävät kokeen lopputuloksen automaattisesti. Emissioteoriat on kuitenkin voitu kokeellisesti kumota. Ensiksikin, Michelsonin ja Morleyn koe on suoritettu auringonvaloa käyttäen eikä mitään interferenssijuovien siirtymistä havaittu. Toisaalta, tutkittaessa nopeiden pionien hajoamista, on syntyvän säteilyn nopeuden todettu olevan riippumaton hajoavien hiukkasten nopeudesta. Samaan johtopäätökseen valonnopeuden riippumattomuudesta valolähteen nopeudesta on tultu myös kaksoistähtihavaintojen perusteella. 1.5 Ongelman ratkaisu Ongelma oli siis että Galilein muunnoksen perusteella valonnopeus voi olla vakio vain yhdessä koordinaatistossa, mutta vaikka Maan täytyi liikkua sen suhteen, tätä liikettä ei havaittu. Ratkaisun ydin on että tässä päättelyssä oli hiljaisesti oletettu että aika on absoluuttinen eli kaikille havaitsijoille sama. Einsteinin suuri oivallus oli, että kun tästä oletuksesta luovutaan, koko ongelma häviää. Galilein muunnosta täytyy siis korjata siten että valonnopeus on aina vakio ja Maxwellin yhtälöt pätevät kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Mitään eetteriä ei silloin tarvita. Einstein esitti teoriansa loogisesti lähtemällä liikkeelle kahdesta peruspostulaatista. Nämä ovat 1) Kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat kaikkien fysiikan lakien suhteen samanarvoisia. 2) Valonnopeus tyhjiössä on vakio c. Teoriaa rakennettaessa näiden postulaattien oletetaan olevan voimassa, ja katsotaan mihin looginen päättely johtaa. Kannattaa kuitenkin pitää mielessä että fysiikka ei ole matematiikkaa tai logiikkaa: tuloksia pitää aina verrata havaintoihin, ja mikäli ne ovat ristiriidassa, täytyy olla valmis muokkaamaan alkuperäisiä postulaatteja. Ensimmäistä peruspostulaattia kutsutaan suhteellisuusperiaatteeksi. Koska mitkään koetulokset eivät tukeneet absoluuttisen lepokoordinaatiston olemassaoloa, Einstein hylkäsi koko eetterikäsitteen asettamalla kaikki inertiaalikoordinaatistot tasavertaiseen asemaan. Toinen peruspostulaatti tukeutui havaintoihin, tai oikeastaan kykenemättömyyteen havaita eetteriä. Sen yhtenä välittömänä seurauksena on, että aika riippuu havaitsijan liiketilasta: Koska nopeus on aikayksikössä kuljettu matka ja matka on käytetystä koordinaatistosta riippuva, on välttämätöntä, että myös aika on suhteellista. Näin suhteellisuusteorian toinen peruspostulaatti romuttaa Newtonin mekaniikan absoluuttisen ajan käsitteen sekä Galilein muunnosyhtälöt. 20

21 Valonnopeuden vakioisuus antaa mahdollisuuden eri paikoissa ja eri liiketiloissa olevien kellojen osoittamien aikojen keskinäiseen vertailuun. Vertailu voidaan suorittaa eri suuntiin yhtä suurella nopeudella etenevillä valosignaaleilla. Peruspostulaattien lisäksi suhteellisuusteoriassa käytetään sellaisia luonnollisia oletuksia kuin että avaruus ja aika ovat homogeenisia ja avaruus on isotrooppinen. Homogeenisuus tarkoittaa että mikään paikka tai aika ei ole erityisasemassa (nämä tavallaan sisältyvät postulaattiin 1). Isotrooppisuus tarkoittaa että kaikki avaruuden suunnat ovat yhdenvertaisia. Homogeenisuus ja isotropia on tietysti ymmärrettävä jonkinlaisella periaatteellisella tasolla, sillä esimerkiksi Maapallolla suunnat ylös ja alas eivät todellakaan ole saman arvoisia. Mutta ajatuksena on että itse avaruus on alas-suunnassa samanlaista kuin ylös-suunnassa, vaikka eräs planeetta sattuukin löytymään hyvin läheltä alas-suunnasta. Näitä peruspostulaatteihin lisättäviä itsestään selviä oletuksia ei usein kirjoiteta näkyviin kaikissa niissä kohdissa joissa niitä tarvitaan, mutta ne on hyvä pitää mielessä. Esimerkiksi jotkin (hyvin spekulatiiviset) kvanttigravitaatioteoriat nimittäin vihjaavat ettei avaruus olisikaan täysin isotrooppinen. Tällä olisi joitain mitattavissa olevia vaikutuksia, mutta toistaiseksi mitään viitettä avaruuden epäisotropiasta ei ole havaittu. 21

22 Luku 2 Lorentzin koordinaatistomuunnos Suhteellisuusteoriassa Galilein intuitiivisesti selvä koordinaatistomuunnos ei siis toimikkaan, joten joudumme kehittämään uuden muunnoksen voidaksemme vertailla kahden eri havaitsijan mittauksia. Tällaisen muunnoksen esitti hollantilainen fyysikko Hendrik Lorentz jo vuotta ennen Einsteinin suhteellisuusteoriaa. Lorentz päätyi muunnoskaavoihinsa tutkimalla Maxwellin elektrodynamiikkaa, ja etsimällä muunnosta joka säilyttäisi elektrodynamiikan kaavat saman näköisinä kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Lorentz tosin uskoi vahvasti eetterin olemassaoloon, joten hänen tulkintansa muunnoskaavojen fysikaalisesta merkityksestä jäi vaillinaiseksi. Myös Einstein käytti lähtökohtanaan Maxwellin elektrodynamiikkaa. Vaikka tässäkin luentomonisteessa painotetaan Michelsonin ja Morleyn kokeita, Einstein ei itse asiassa artikkelissaan suoraan mainitse niitä, vaikka huomauttaakin ettei eetteriä ole kokeellisesti havaittu. Sen sijaan Einsteinia kummastuttivat ne epäsymmetriat joita ilmenee sovellettaessa Maxwellin elektrodynamiikkaa liikkuviin kappaleisiin. Sähkömagnetismin roolin korostuminen suhteellisuusteorian historiassa ei ole mikään sattuma, sillä jälkikäteen tiedämme että Maxwellin elektrodynamiikka oli ensimmäinen suhteellisuusteorian kanssa sopusoinnussa oleva fysiikan teoria. Einsteinin vuoden 1905 artikkeli 1 on itse asiassa ihan käypää luettavaa vielä nykyäänkin. Harvoin näkee tieteellistä artikkelia jossa uusi teoria esitellään niin valmiissa muodossa. 1 Saksaksi Zur Elektrodynamik bewegter Körper, englanniksi On the Electrodynamics of Moving Bodies, löytyy helposti googlella. 22

23 2.1 Muunnoksen johto Pyrkimyksenä on suhteellisuusteorian peruspostulaattien avulla löytää muunnosyhtälöt kahden inertiaalikoordinaatiston välille. Kuten edellä, oletetaan koordinaatistot K ja K siten että vastinakselit ovat yhdensuuntaiset, koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t = 0 sekä että koordinaatiston K liike tapahtuu yhteisen x- ja x -akselin suunnassa. y y' z K x=vt x z' K' Jotain mikä tapahtuu tietyssä paikassa tiettyyn aikaan kutsutaan tapahtumaksi. Olkoot jonkin tapahtuman koordinaatit x, y, z ja t koordinaatistossa K, sekä x, y, z ja t koordinaatistossa K. Tarkastellaan aluksi etäisyyksiä liikesuuntaan nähden kohtisuorilla suunnilla. Havaitsijoilla K ja K ajatellaan olevan metrimitat, jotka on todettu yhtä pitkiksi vertaamalla niitä levossa toisiinsa ja jotka on asetettu y- ja y -akselien suuntaisiksi. Mikäli olisi y y, niin hetkellä, jolloin mitat ohittavat toisensa, olisi toinen niistä toista lyhyempi. Oletetaan, että K:n mielestä K :n mitta, joka liikkuu, on hänen omaansa lyhempi. Vastaavasti (avaruuden isotrooppisuuden perusteella) K :n mielestä K-koordinaatisto liikkuu ja siihen kiinnitetty mitta on lyhyempi. Koska mittojen vertailu tapahtuu samassa pisteessä samalla ajanhetkellä (mittojen ohitushetkellä), on ainoa ratkaisu, että y = y. Vastaavasti z = z. Edellä jo päättelimme, että t t. On luonnollista olettaa, että uudet paikkaja aikakoordinaatit riippuvat alkuperäisistä paikka- ja aikakoordinaateista eli x = x (x, t) x' t = t (x, t). (2.1) Seuraavaksi päättelemme että näiden funktioiden täytyy olla lineaarisia, siis esimerkiksi x (x, t) = A 1 x + B 1 t + C. Jos näin ei olisi, se tarkoittaisi että avaruus ei olisi homogeeninen, toisin sanoen tyhjän avaruuden yksi paikka olisi erilainen kuin toinen. Vastaavasti ajan suhteen. Koska lisäksi oletimme, että koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t = 0, myös vakiotermit häviävät, jolloin täytyy 23

24 olla x = A 1 x + B 1 t t = A 2 x + B 2 t. (2.2) Kertoimet A 1, A 2, B 1 ja B 2 voidaan määrittää seuraavista ehdoista: 1 K :n nopeus K:n suhteen on v. 2 Valonnopeus c on sama molemmissa koordinaatistoissa. Ensimmäisestä ehdosta saadaan että kun x = 0, täytyy olla x = vt. Sijoittamalla ensimmäiseen yhtälöön (2.2) saadaan (A 1 v+b 1 )t = 0. Koska tämän täytyy toteutua kaikilla t, saadaan B 1 = va 1. Muunnos (2.2) saa siis muodon x = A 1 (x vt) t = A 2 x + B 2 t. (2.3) Jatkossa sovelletaan ehtoa 2 hetkellä t = t = 0 origosta lähtevään valoon. Tutkitaan ensin positiivisen x-akselin suuntaan etenevää valoa. Ehto 2 sanoo että jos x = ct niin myös x = ct. Tämä on havainnollistettu kuvassa kohdassa (a). (a) y y' (b) y y' x'= ct' x= ct x'= -ct' x= -ct x x' x x' (c) y y' y= ct x' 2 +y' 2 = ct' x x' Sijoittamalla yhtälöihin (2.3) saadaan c 2 A 2 + cb 2 = (c v)a 1. (2.4) Seuraavaksi sovelletaan ehtoa negatiivisen x-akselin suuntaan etenevään valoon, mikä antaa ehdon että jos x = ct niin myös x = ct (kuvan b-kohta). Sijoittamalla yhtälöihin (2.3) saadaan c 2 A 2 cb 2 = (c + v)a 1. (2.5) 24

25 Yhtälöparista (2.4)-(2.5) saadaan ratkaistua A 2 = (v/c 2 )A 1 ja B 2 = A 1. Muunnos (2.3) saa siis muodon x = A 1 (x vt) t = A 1 (t v x). (2.6) c2 Kertoimen A 1 määrittämiseksi käytämme vielä ehtoa 2 yleiseen suuntaan etenevään valoon. Ehto 2 sanoo että x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 silloin kun x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. Sijoitetaan jälkimmäiseen kaavat (2.6), y = y ja z = z. Pienellä laskulla saamme ehdon siihen muotoon, että jos c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0 niin myös ) (1 v2 (c 2 t 2 x 2 ) y 2 z 2 = 0. (2.7) A 2 1 c 2 y-akselin suuntaisen valon erikoistapauksessa (x = 0, y = ct, z = 0, kuvan c- kohta) saadaan tästä ehto A 2 1(1 v 2 /c 2 ) 1 = 0. Tästä saadaan 1 A 1 = ± 1 v2 /c. (2.8) 2 Vain plusmerkki kelpaa, koska muuten ajan suunta vaihtuisi muunnoksessa. Nähdään myös että välttämättä v < c kun vaaditaan että A 1 :n täytyy olla äärellinen reaaliluku. (Vaikka edellä olevassa johdossa käytettiin hyväksi ehtoa 2 vain kolmeen suuntaan kulkevalle valolle, voidaan helposti nähdä että muista suunnista ei tule mitään lisäehtoja. Siis ehto 2 toteutuu kaikkiin suuntiin kulkevalle valolle.) Olemme näin johtaneet Lorentzin koordinaatistomuunnoksen: t = t (v/c2 )x 1 v2 /c 2, (2.9) x = x vt 1 v2 /c 2 y = y z = z missä v < c. Käyttämällä lyhennysmerkintöjä β v = v/c ja γ v = 1/ 1 β 2 v muunnoskaavat voidaan kirjoittaa kompaktimmassa muodossa c t = γ v (c t β v x), (2.10) x = γ v (x β v c t) y = y z = z Jälkimmäinen muoto tuo myös paremmin esiin symmetrian ajan ja liikkeen suuntaisen paikkakoordinaatin x välillä. 25

26 2.1.1 Yleinen Lorentzin muunnos Edellä olevat muunnoskaavat johdettiin olettamalla koordinaatistot K ja K siten että niiden vastinakselit ovat yhdensuuntaiset, koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t = 0 ja että koordinaatiston K liike tapahtuu yhteisen x- ja x - akselin suunnassa. Tämä kuulostaa varsin rajoittuneelta erikoistapaukselta, mutta tuloksena saatu muunnoskaava on yleispätevä. Muunnosta tehdessämme voimme nimittäin ensin kääntää koordinaatiston K sellaiseen asentoon että koordinaatistojen välinen nopeus v on x-akselin suuntainen. Tämä on mahdollista, sillä nopeudenhan on oltava vakio, muuten molemmat koordinaatistot eivät voi olla inertiaalisia. Kierron jälkeen teemme kaavojen (2.10) mukaisen muunnoksen, jonka jälkeen voimme taas kääntää koordinaatiston K haluttuun asentoon. Kääntöjen lisäksi voimme halutessamme myös siirtää koordinaatiston K origoa ennen muunnosta ja K :n origoa muunnoksen jälkeen. Jatkossa kuitenkin yksinkertaisuuden vuoksi rajoitumme tutkimaan alkuperäisen oletuksen mukaisia koordinaatistoja K ja K. 2.2 Lorentzin muunnoksen tarkastelua Tutkitaan ensimmäiseksi tapausta missä v c. Matemaattisesti voidaan ajatella että c. Totea että tässä rajatapauksessa Lorentzin muunnos (2.9) on identtinen Galilein muunnoksen (1.7) kanssa ja t = t. Siis valoa huomattavasti hitaamman liikkeen tapauksessa Lorentzin muunnos redusoituu Galilein muunnokseksi. Harjoitustehtävänä on osoittaa että ratkaisemalla muunnoksesta (2.9) x, y, z ja t saadaan c t = γ v (c t + β v x ). (2.11) x = γ v (x + β v c t ) y = y z = z Tämä on Lorentz-muunnoksen (2.9) käänteismuunnos. Samaan tulokseen olisi tultu soveltamalla alkuperäistä Lorentz-muunnosta K :n suhteen nopeudella v liikkuvaan K:hon. Olkoot kahden tapahtuman 1 ja 2 koordinaatit (t 1, x 1, y 1, z 1 ) ja (t 2, x 2, y 2, z 2 ) koordinaatistossa K. Koordinaatistossa K samoja tapahtumia merkitään vastaavasti pilkutettuina (t 1, x 1, y 1, z 1 ) ja (t 2, x 2, y 2, z 2). Merkitään t = t 2 t 1, t = t 2 t 1, x = x 2 x 1, x = x 2 x 1, 26

27 ja samoin y- ja z-koordinaateille. Tällöin voidaan todeta suoralla laskulla että myös nämä erotukset toteuttavat samat Lorentz-muunnokset (2.9) ja (2.11) eli sekä käänteismuunnoksen c t = γ v (c t β v x), (2.12) x = γ v ( x β v c t) y = y z = z c t = γ v (c t + β v x ). (2.13) x = γ v ( x + β v c t ) y = y z = z. Tämä on seurausta Lorentz-muunnoksen lineaarisuudesta Samanaikaisuuden suhteellisuus Koska y- ja z-koordinaatit eivät muutu Lorentzin muunnoksessa (2.9), keskitytään seuraavassa vain koordinaatteihin x ja t. Tarkastellaan tapahtumia jotka ovat samanaikaisia koordinaatistossa K, siis t = 0. Kaavan (2.13) mukaan niiden aikaväli koordinaatistossa K on c t = γ v β v x. Tämä ei häviä jos x 0 ja v 0. Näin ollen eripaikkaisten tapahtumien samanaikaisuus on koordinaatistosta riippuva käsite. Esimerkki. Jos oletetaan x = 1 m ja v = 0.5c, saadaan t = 1.9 ns Pituuden kutistuminen (kontraktio) Tarkastellaan x-akselin suuntaista sauvaa, joka on levossa K :ssa. Sauvan lepopituus l 0 on sen tässä koordinaatistossa mitattu pituus l 0 = x = x 2 x 1, missä x 1 ja x 2 ovat sen päiden koordinaatit. Tarkasteltaessa sauvaa koordinaatistosta K, on luonnollista määrätä sauvan pituus niin, että sen päiden koordinaatit luetaan samalla ajanhetkellä K:n mukaan, eli t = t 2 t 1 = 0. Olkoot lukemat x 1 ja x 2. Koordinaatistossa K mitattu sauvan pituus on siis l = x = x 2 x 1. Muunnoksesta (2.12) saadaan nyt l 0 = x = lγ v eli l = l 0 /γ v = l 0 1 v2 /c 2. (2.14) 27

28 Lauseke (2.14) osoittaa, että liikkuva kappale on kutistunut liikkeensä suunnassa, l < l 0. tätä kututaan Lorentzin kontraktioksi. Kaava (2.14) johdettiin tarkemmin määrittelemättömien K ja K koordinaatistojen välille, joten se on voimassa kaikkien inertiaalikoordinaatistojen välillä: voimme antaa mille tahansa inertiaalikoordinaatistolle nimen K tai K. Siis kaikki (tasaisella nopeudella) liikkuvat kappaleet kutistuvat liikkeensä suunnassa kaavan (2.14) osoittamalla tavalla. Erityisesti tilanne on symmetrinen yllä käytettyjen K ja K koordinaatistojen välillä 2 : Jos molemmissa on mittakeppi jonka lepopituus on l 0, niin kummassakin koordinaatistossa olevien havaitsijoiden mukaan toisen koordinaatiston liikkuva keppi on kutistunut hänen omaansa verrattuna. Esimerkki. Jos oletetaan l 0 = 1 m ja v = 0.5c, saadaan l = 0.87 m Ajan venyminen (dilataatio) Tarkastellaan kappaletta, johon on kiinnitetty kello. Tämän kellon mittaamaa aikaa τ kutsutaan kappaleen ominaisajaksi tai itseisajaksi 3. Tämän vastakohtana aikaa t tai t kutsutaan joskus koordinaattiajaksi tai laboratorioajaksi. Oletetaan että kappale on levossa koordinaatistossa K. Siis kahdelle tapahtumalle (t 1, x 1) ja (t 2, x 2) sen historiassa pätee x = 0 ja tapahtumien välillä kulunut ominaisaika on sama kuin tämän koordinaatiston koordinaattiaika, τ = t. Koordinaatistossa K mitataan samojen tapahtumien aikaeroksi t. Kaavasta (2.13) saadaan t = γ v τ. (2.15) Tätä tulosta kutsutaan ajan venymäksi tai ajan dilataatioksi. Siis missä tahansa liikkuvassa koordinaatistossa on kappaleen kahden tapahtuman välille mitattu aikaero suurempi kuin kappaleen ominaisaikaero, t > τ. Lyhyemmin sanottuna liikkuva kello näyttää jätättävän. Tämäkin tulos on yleisesti voimassa kaikkien inertiaalikoordinaatistojen välillä. Jos sekä K:ssa että K :ssa on levossa oleva kello, niin kummassakin koordinaatistossa olevat havaitsijat kokevat toisen koordinaatiston kellon käyvän hitaasti. Tästä ei saada aikaan ristiriitaa, sillä kelloja vertaillaan samassa pisteessä vain kerran: koordinaatistojen origojen ohittaessa toisensa hetkellä t = t = 0. Tämän jälkeen kellot erkanevat toisistaan eivätkä enää palaa samaan avaruusajan pisteeseen (jos ne kohtaavat uudestaan, on kyseessä kaksosparadoksi, katso kappale 3.5). Esimerkki. Jos oletetaan τ = 1 s ja v = 0.5c, saadaan t = 1.15 s. 2 Suhteellisen nopeuden v merkki muuttuu vaihdettaessa koordinaatistosta toiseen, mutta se ei vaikuta gammaan. 3 Tämä ominaisajan määritelmä pätee myös kiihtyvässä liikkeessä olevalle kappaleelle. 28

29 2.3 Esimerkki: Myonien hajoaminen Ajan venymistä ja pituuden kutistumista voidaan havainnollistaa kosmisen säteilyn myonien hajonnan mittauksilla. Elektronien kaltaisia, mutta niitä noin 200 kertaa raskaampia myoneja syntyy π-mesonien eli pionien hajotessa. Pioneja puolestaan syntyy ylemmissä ilmakerroksissa esimerkiksi kosmisen säteen eli lähes valonnopeudella liikkuvan protonin törmätessä happi- tai typpiatomissa olevaan protoniin. Myoni on epästabiili hiukkanen, jonka puoliintumisaika on T 0 = 1.5 µs hiukkasen lepokoordinaatistossa mitattuna. (Puoliintumisaika on aika jossa keskimäärin puolet alkuperäisistä hiukkasista on hajonnut.) Tarkastellaan esimerkkinä maata kohti korkeudesta l 0 = 3000 m nopeudella v = 0.99c lentävää myoniparvea. (a) Ensinäkemältä myonit ehtivät puoliintumisajassa kulkea matkan vt m. Näyttäisi siis siltä että suurin osa myoneista hajoaa jo korkealla maan pinnan yläpuolella. Puoliintumisaika oli kuitenkin annettu myonien lepokoordinaatistossa. Tätä vastaava aika maan lepokoordinaatistossa on huomattavasti pidempi. Ajan venymäkaavasta (2.15) saadaan Siten myonin puoliintumisajassa kulkema matka on T = γ v T 0 = 11 µs. (2.16) vt 3200 m. (2.17) Koska tämä on noin 7% suurempi kuin etäisyys maahan, todetaan että oikeasti yli puolet myoneista saapuu maan pinnalle ennen hajoamistaan. 29

30 (a) (b) (b) Yllä oleva tarkastelu oli tehty maan lepokoordinaatistossa. Toinen luonnollinen vaihtoehto on tarkastella asiaa myonien lepokoordinaatistossa. Tässä koordinaatistossa puolet myoneista on hajonnut puoliintumisajassa T 0 = 1.5 µs. Tässä koordinaatistossa maa kuitenkin liikkuu myoneja kohden nopeudella v. Siksi etäisyys maahan on kaavan (2.14) mukaan kutistunut pituudeksi l = l 0 1 v2 /c m. (2.18) Nopeudella v = 0.99c lähestyvä maa törmää myoneihin ajassa l/v 1.4 µs. Koska tämä on noin 7% lyhyempi kuin myonin puoliintumisaika, todetaan että maan törmätessä myoneihin on alle puolet niistä hajonnut. Molemmissa koordinaatistoissa pääteltiin siis sama fysikaalinen lopputulos, joka on myös mitattavissa. 2.4 Nopeuden muunnoskaavat Edellä pääteltiin että kappaleen nopeus ei voi ylittää valonnopeutta. Mutta eikö laskemalla kaksi nopeutta yhteen voisi ylittää valonnopeutta? Tällainen tilannehan syntyy esimerkiksi silloin kun nopeasti liikkuva radioaktiivinen atomi hajoaa ja sinkoaa hajoamistuoteet suurella nopeudella ympäriinsä. 30

31 Tarkastellaan kappaletta, jonka hetkellinen nopeus on u = (u x, u y, u z ) koordinaatistossa K. Tavoitteena on laskea nopeus u = (u x, u y, u z) koordinaatistossa K. Differentioimalla koordinaattien muunnosyhtälöt (2.9) saadaan c dt = γ v (c dt β v dx). Nopeus saadaan muodostamalla erotusosamäärä u x = dx dt dx = γ v (dx β v c dt) (2.19) dy = dy (2.20) dz = dz (2.21) = c(dx β vc dt) c dt β v dx = u x v 1 vu x /c 2. (2.22) Tässä siis u x = dx/dt nopeuden määritelmän mukaan. Tekemällä vastaava lasku nopeuden y ja z komponenteille, saadaan muunnoskaavat u u x v x = 1 vu x /c 2 u y = u y 1 v2 /c 2 1 vu x /c 2 u z = u z 1 v2 /c 2. (2.23) 1 vu x /c 2 Kuten aiemmin, käänteinen muunnos saadaan muuttamalla koordinaatistojen välisen nopeuden v etumerkki ja vaihtamalla pilkulliset ja pilkuttomat u:t keskenään: u x + v u x = 1 + vu x/c 2 u y = u y 1 v2 /c vu x/c 2 u z = u z 1 v2 /c 2. (2.24) 1 + vu x/c 2 Harjoitustehtäväksi jää todeta että nopeuden muunnoskaavat (2.23) palautuvat Galilein muunnokseen (1.8) kun v c ja u c, eli rajalla c. Tarkastellaan erikoistapauksena vain x-suunnassa tapahtuvaa liikettä, jolloin u y = u z = 0 ja u = u x. Määrittelemällä w = u x voidaan ensimmäinen yhtälöistä (2.24) kirjoittaa muotoon u = v + w 1 + vw/c 2. (2.25) 31

32 Tämä tunnetaan suhteellisuusteorian mukaisena nopeuksien yhteenlaskukaavana, missä nopeudet v ja w yhdistettynä antavat nopeuden u. Nimittäjä antaa poikkeaman Galilein muunnoksen (1.8) mukaisesta yhteenlaskusta u = v + w. Tämäkin tulos on yleisesti voimassa kaikkien inertiaalikoordinaatistojen välillä, kunhan liikkeet ovat yhteisen x-akselin suuntaisia. Yleisemmässä tapauksessa pitää käyttää muunnoskaavoja (2.23). Fysikaalinen tilanne voisi olla vaikkapa se että radioaktiivinen atomi liikkuu laboratoriokoordinaatistossa K nopeudella v, kun taas koordinaatisto K liikkuu atomin mukana. Atomi emittoi positronin nopeudella w itsensä eli koordinaatiston K suhteen. Jos emissio tapahtuu samaan suuntaan kuin mihin itse atomi liikkuu K:ssa, niin laboratoriokoordinaatistossa positronin nopeudeksi mitataan u. Kaava (2.25) voidaan esittää seuraavalla kuvaajalla. Kuvasta nähdään että jos v < c ja w < c, niin aina myös u < c. Toisin sanoen lisäämällä toisiinsa alle valonnopeuksia, ei koskaan voida saavuttaa valonnopeutta. Lisäämällä alle valonnopeus valonnopeuteen saadaan valonnopeus. Totea tämä laskemalla suoraan kaavasta (2.25). 32

33 Luku 3 Neliulotteinen aika-avaruus Edellisessä luvussa näimme kuinka aika ja paikka sekoittuvat Lorentzin muunnoksessa lähes symmetrisesti. Tästä syystä niitä kannattaa käsitellä mahdollisimman samalla tavalla, mikä tapahtuu parhaiten ottamalla käyttöön neliulotteinen aika-avaruus. Tämän teki ensimmäisenä matemaatikko Hermann Minkowski vuonna 1907, minkä takia suppean suhteellisuusteorian aika-avaruutta kutsutaan Minkowskin avaruudeksi. Myöhemmin Einstein osoitti yleisessä suhteellisuusteoriassaan kuinka aikaavaruuden kaareutuminen vastaa painovoimaa, mutta siihen ei tällä kurssilla mennä. Minkowskin avaruus on rajatapaus yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruudesta, kun kaarevuus häviää (eli painovoima on häviävän heikko). Tämän takia Minkowskin avaruutta kutsutaan myös laakeaksi avaruusajaksi. 3.1 Aika ja paikka nelivektorina Jos käsittelemme neliulotteista aika-avaruutta, meidän täytyy yleistää tavallinen karteesinen kolmiulotteinen paikkavektori neliulotteiseksi. Luonnollinen valinta on ottaa neljänneksi koordinaatiksi aika t, mutta on mukavampaa jos kaikilla paikkavektorin komponenteilla on sama fysikaalinen yksikkö. Sitä paitsi Lorentzin muunnoskaavoissa (2.10) aika esiintyy yhdistelmänä c t. Siispä määrittelemme hiukkasen paikkaa kuvaavan nelivektorin x µ = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (c t, x, y, z). (3.1) Kannattaa huomata että yhtä metriä vastaava aikayksikkö on varsin lyhyt, noin 3.34 ns. Kuten myöhemmin näemme, paikan lisäksi voidaan määritellä muita nelivektoreita, kuten nopeus ja liikemäärä. Yllä oleva notaatio on hyvin yleinen suhteellisuusteoriassa, mutta muitakin esitystapoja on käytössä. Nelivektoria merkitään lyhyesti esimerkiksi λ µ. Yläin- 33

34 deksi saa arvot 0-3, eikä niitä pidä sekoittaa potensseihin 1. Nelivektorin yläindeksi on perinteisesti jokin kreikkalainen aakkonen, joten µ:n sijasta se voisi olla vaikka ν tai α. Indeksin vaihtaminen ei ole sen merkityksellisempi operaatio kuin summausindeksin vaihtaminen i:stä j:ksi, joten x µ ja x ν tarkoittavat siis samaa nelivektoria. Sen sijaan x µ ja λ µ tarkoittavat eri vektoreita. Komponenttia λ 0 kutsutaan nelivektorin aikakomponentiksi ja komponentteja (λ 1, λ 2, λ 3 ) sen avaruuskomponenteiksi. Tavallisen kolmiulotteisen paikkavektorin (kolmivektorin) avulla nelipaikka voidaan kirjoittaa muodossa x µ = (c t, r). (3.2) Huomaa että nelivektoria ei tässä lihavoida, toisin kuin tavallisia kolmivektoreita. Nelivektoreiden avulla Lorentzin muunnos voidaan esittää matriisikertolaskuna, x 0 x 1 x 2 x 3 = γ v β v γ v 0 0 β v γ v γ v x 0 x 1 x 2 x 3. (3.3) Lorentz-muunnos on neliavaruuden koordinaatistomuunnos. Kuten normaalille vektorille, sanotaan että itse nelivektori x µ ei muutu tällaisessa muunnoksessa vaikka sen komponenttien arvot muuttuvat. Vaikka tapahtumien koordinaatit riippuvat valitusta koordinaatistosta, itse tapahtumat pysyvät samoina. Kolmiulotteisessa avaruudessa eräs tärkeä koordinaattimuunnoksissa säilyvä suure on paikkavektorin pituus x 2 + y 2 + z 2. Luonnollisesti myöskään kahden paikan välinen etäisyys (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 ei muutu koordinaatistosta toiseen siirryttäessä. Miten kaavassa (3.1) määritellyn nelipaikkavektorin pituus tulisi laskea, jotta se säilyisi Lorentz-muunnoksessa? Komponenttien neliöiden summaaminen ei täytä tätä vaatimusta. Sen sijaan suoraviivainen lasku (joka jätetään harjoitustehtäväksi) osoittaa että suure s 2 = (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (3.4) ei muutu Lorentz-muunnoksessa. Toisin sanoen (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 = (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2. (3.5) Tällaista koordinaatistomuunnoksessa vakiona pysyvää lukua kutsutaan neliskalaariksi tai Lorentz-invariantiksi suureeksi. 1 Huomaa että joissain kirjoissa indeksointi on 1-4, jolloin paikkavektorille x 4 = ct 34

35 Yhtälöä (3.4) käytetään nelivektorin pituuden s määritelmänä, myös muille nelivektoreille kuin paikkavektoreille 2. Tämä eroaa tavallisen kolmivektorin pituudesta kahdella erittäin tärkeällä tavalla: nelivektorin pituuden neliö voi olla negatiivinen, eikä s 2 = 0 tarkoita sitä että x µ olisi välttämättä nollavektori (0, 0, 0, 0). Vaikka sanotaankin että suhteellisuusteoria yhdistää ajan ja paikan neliulotteiseksi aika-avaruudeksi, ne eivät silti ole täysin tasa-arvoisia. Tästä on tärkeimpänä osoituksena juuri kaavassa (3.4) oleva merkkiero ajan ja paikan välillä. Yhtälöiden ( ) mukaan myös kahden tapahtuman erotusvektori x µ 1 x µ 2 noudattaa Lorentz-muunnosta, joten intervallin neliö, joka määritellään vastaavalla lausekkeella ( s) 2 = c 2 ( t) 2 ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2, (3.6) säilyy muuttumattomana. Tämän perusteella kahden tapahtuman välimatka luokitellaan kolmeen mahdolliseen kategoriaan: Jos ( s) 2 > 0, niin tapahtumien ero on ajanluonteinen Jos ( s) 2 = 0, niin tapahtumien ero on valonluonteinen Jos ( s) 2 < 0, niin tapahtumien ero on paikanluonteinen Fysikaalinen tulkinta on se että erotuksen ollessa ajanluonteinen voi valoa hitaampi signaali kulkea tapahtumasta 1 tapahtumaan 2. Valonluonteisessa erotuksessa ainoastaan valonnopeudella etenevä signaali ehtii ensimmäisestä tapahtumasta toiseen. Paikanluonteisessa tapauksessa tarvittaisiin valoa nopeampi signaali. Koska sellaisia ei ole havaittu, ei kyseisten tapahtumien välillä voi olla kausaalista syy/seuraus-suhdetta. Koska intervallin neliö säilyy Lorentz-muunnoksessa, kaikki havaitsijat liiketilastaan riippumatta ovat yksimielisiä siitä, mitkä tapahtumat voivat olla kausaalisessa suhteessa toisiinsa. 3.2 Nelinopeus Nelipaikan jälkeen seuraava looginen askel on määritellä myös nopeus nelivektorina u µ. Normaaliavaruudessa nopeus on määritelmän mukaan paikan aikaderivaatta, u = dr/dt. Tämä pitäisi nyt yleistä Minkowskin avaruuteen. Lisäksi haluamme että samalla tavalla kuin paikkavektori x µ, niin myös nelinopeus u µ saadaan muunnettua koordinaatistosta toiseen Lorentz-muunnoksella (3.3). 2 Huomaa että joissain kirjoissa merkit on vaihdettu päinvastaisiksi, eli s 2 = (x 0 ) 2 + (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2. Tämä toimii yhtä hyvin, mutta eri määritelmiä ei saa sekoittaa keskenään. 35

36 Suoraviivaisin ajatus olisi laskea nelipaikan derivaatta ajan suhteen, dx µ /dt. Tämä ei kuitenkaan kelpaa, sillä se ei muunnu halutulla tavalla: nelipaikka x µ kyllä noudattaa Lorentzin muunnosta, mutta koordinaattiajan t muuttuminen koordinaatistosta toiseen siirryttäessä sotkee asian. Toimiva vaihtoehto on käyttää kappaleessa määriteltyä ominaisaikaa τ. Määrittelemme siis nelinopeuden hiukkasen nelipaikan derivaattana ominaisajan suhteen, u µ = dxµ dτ. (3.7) Huomaa että sovellettaessa kaavaa (2.15) liikkuu koordinaatisto K nyt hiukkasen mukana, joten γ:n lausekkeessa esiintyvä nopeus on nyt u. Kaavalla (3.7) määritelty nelinopeus u µ todellakin on nelivektori, minkä voi perustella seuraavasti. Paikkavektori x µ ja myös sen muutos dx µ ovat nelivektoreita, kuten edellisessä kappaleessa osoitettiin. Koska ominaisaika τ on määritelty kappaleen mukana kulkevan kellon mittaamaksi ajaksi, sen täytyy olla koordinaatistosta riippumaton eli neliskalaari. Siksi myös ominaisajan muutos dτ on neliskalaari, jonka jokainen havainnoitsija voi laskea oman koordinaattiaikansa muutoksesta dt kaavan (2.15) avulla. Koska kaavassa (3.7) olevan derivaatan (tai erotusosamäärän) osoittaja muuntuu kuten nelivektori ja nimittäjä on koordinaatistosta riippumaton, täytyy itse derivaatan muuntua kuten nelivektori 3. Katsotaan nelinopeuden komponentteja erikseen. Aikakomponentille saadaan u 0 = dx0 dτ = d(ct) dτ = c dt dτ = c 1 u2 /c 2 = γ uc. (3.8) Tässä on käytetty kaavan (2.15) differentiaalimuotoa ja gamman lausekkeessa on käytettävä hiukkasen nopeutta u. Samalla tavoin x-komponentille saadaan u 1 = dx1 dτ = dx dτ = dx dt dt dτ = γ uu x, (3.9) missä on käytetty derivoinnin ketjusääntöä funktioon x(t(τ)) sekä kaavaa (2.15). Laskemalla vastaavasti y- ja z-komponenteille saadaan u µ = (γ u c, γ u u). (3.10) Nelinopeuden aikaosa u 0 ja avaruusosa (u 1, u 2, u 3 ) ovat siis valonnopeus c ja kolminopeus u, molemmat kerrottuina tutulla tekijällä (1 u 2 /c 2 ) 1/2. Tästä seuraa 3 Tämä on ihan pätevä argumentti, mutta tällaisen päättelyn kanssa pitää olla tarkkana. Esimerkiksi kahden nelinopeuden summa on kyllä nelivektori, mutta se ei (yleensä) ole nelinopeus. Yritä keksiä perustelu miksi nelinopeudet eivät summaudu. 36

37 että valonnopeudella liikkuvalle hiukkaselle, esimerkiksi fotonille, ei voi määrittää nelinopeutta. Niille on parempi käyttää liikemäärää, mihin tutustumme seuraavassa luvussa. Nelinopeus on siis nelivektori, joten Lorentz-muunnoksessa se muuttuu samalla tavalla kuin paikka kaavassa (3.3): u 0 u 1 u 2 u 3 = γ v β v γ v 0 0 β v γ v γ v u 0 u 1 u 2 u 3. (3.11) Tässä pitää vain huomata että nelinopeuden komponenteissa (3.10) oleva γ u riippuu hiukkasen nopeudesta (koordinaatistoss K se on tietysti γ u ), kun taas Lorenzmuunnoksessa oleva γ v riippuu koordinaatistojen K ja K välisestä nopeudesta. Tällä tavoin saatu nelinopeuden muunnoskaava on yhtäpitävä aikaisemmin eri tavalla johdetuille nopeuden muunnoskaavoille (2.23), paitsi että nyt mukana on myös nelinooeuden aikakomponentti. Yllä oleva nelinopeuden muunnoskaava on suhteellisuusteoreettisesti ajatellen paremmassa muodossa, sillä Lorentzmuunnos näkyy siinä eksplisiittisenä matriisina. Silti joissain käytännön laskuissa muoto (2.23) saattaa olla näppärämpi. Lasketaan vielä nelinopeusvektorin pituus käyttäen samaa kaavaa kuin paikkavektorin pituudelle. Tällöinhän pituus on koordinaatistosta riippumaton neliskalaari. Saamme s 2 = (u 0 ) 2 (u 1 ) 2 (u 2 ) 2 (u 3 ) 2 = c2 u 2 1 u 2 /c 2 = c2. (3.12) Tämä ei sinänsä ole uusi tulos, sillä jo Lorentzin muunnosta johtaessamme oletimme valonnopeuden olevan koordinaatistosta riippumaton vakio. Tästä on silti ajoittain hyötyä, esimerkiksi tarkistettaessa esittääkö joku nelivektori fysikaalisesti mahdollista nelinopeutta Nelikiihtyvyys Voisimme jatkaa nelipaikan derivaattojen laskemista määrittelemällä nelikiihtyvyyden a µ = duµ dτ. (3.13) Tämä ei kuitenkaan ole yhtä hyödyllinen käsite kuin kolmikiihtyvyys a klassisessa mekaniikassa, emmekä tarvitse sitä jatkossa. Nelikiihtyvyyden komponenttien laskeminen jää siis ylimääräiseksi harjoitustehtäväksi asiasta kiinnostuneille. 37

38 3.3 Miksi nelivektoreita? Edellä tarkastelimme nelipaikkaa ja sen derivaattana nelinopeutta. Vaatimuksena oli että koordinaatistosta toiseen siirryttäessä näiden vektoreiden komponentit muuttuvat Lorentzin muunnoksen osoittamalla tavalla. Tämä voidaan ottaa nelivektorin yleiseksi määritelmäksi: Neljän luvun ryhmää λ µ kutsutaan nelivektoriksi, jos koordinaatiston muunnoksissa sen komponentit muuttuvat samalla tavalla kuin tapahtumavektorin x µ koordinaatit (ct, x, y, z). Samalla voidaan myös antaa yleinen määritelmä neliskalaarille: Neliskalaarilla tarkoitetaan lukua, joka pysyy muuttumattomana neliavaruuden koordinaattimuunnoksissa. Totesimme että esimerkiksi jokaisen nelivektorin pituus, määriteltynä kaavalla (3.6), on automaattisesti neliskalaari, kuten myös ominaisaika. Nelivektoreiden käyttöön on kaksi syytä. Ensinnäkin niiden avulla fysikaaliset yhtälöt voidaan kirjoittaa muodossa joka on saman näköinen kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Esimerkkinä tästä on nelinopeuden määritelmä (3.7), joka ei sisällä mitään viittausta koordinaatistoon jossa se pitäisi laskea. Tälläisen yhtälön sanotaan olevan Lorentz-kovariantti. Fysiikan lakien kirjoittaminen Lorentzkovariantissa muodossa on periaatteellisesti tärkeää, sillä silloin on helppo nähdä Einsteinin ensimmäisen postulaatin (ks. kappale 1.5) toteutuvan. Toisekseen, vaikka tässä kurssissa tarkasteltavassa suppeassa suhteellisuusteoriassa pärjättäisiin ilman nelivektoreita, tulee niiden käyttö käytännössä pakolliseksi sekä yleisessä suhteellisuusteoriassa että suppean suhteellisuusteorian ja kvanttimekaniikan yhdistävässä kvanttikenttäteoriassa. Ilman nelivektoreita näiden teorioiden muutenkin mutkikkaat yhtälöt olisivat täysin läpitunkemattomia. 3.4 Geometrinen tulkinta Esimerkiksi ajan venymistä koskien voidaan ihmetellä että jos liikkuva kello 1 jätättää paikallaan pysyvään kelloon 2 nähden, niin miten on mahdollista että kellon 1 lepokoordinaatistosta katsoen kello 2 jätättää? Tämä ja monet muut vastaavat kysymykset on kätevä selvittää käyttäen ns. Minkowskin diagrammeja. Totutellaan aluksi vinokulmaiseen koordinaatistoon. Normaalistihan x- ja y- akselit piirretään toisiaan vastaan kohtisuoriksi. 38

39 y (4a,2b) b a x Tason pisteet voidaan kuitenkin hyvin esittää myös vinokulmaisilla koordinaateilla x ja y. Tason pisteen koordinaattien lukeminen tässä tapauksessa on havainnollistettu kuvassa. y b a x (4a,2b) Minkowskin diagrammeissa tarkastellaan tapahtumia x-c t tasossa. Tällaisen diagramman pisteet ovat tapahtumia. Kappaleiden liikkeitä kuvaavia viivoja kutsutaan maailmanviivoiksi. M K A ct N L Yllä olevassa kuvassa on esimerkkinä kappaleiden K, L, M ja N maailmanviivat: K on levossa origossa, L liikkuu positiivisen x-akselin suuntaan ja M negatiivisen x-akselin suuntaan tasaisella nopeudella, kun taas N on kiihtyvässä liikkeessä. Kappaleet K ja M kohtaavat tapahtumassa A. Alla olevassa Minkowskin diagrammassa koordinaatiston K samanpaikkaiset tapahtumat sijaitsevat samalla pystyviivalla x = vakio. Samanaikaiset tapahtumat taas sijaitsevat samalla vaakasuoralla viivalla t = vakio. Koska akseleille x ja ct 39 x

40 on valittu samat yksiköt, valon etenemistä kuvaavat suorat x = ±ct + vakio ovat 45 asteen kulmassa. ct samanpaikkaiset tapahtumat origon kanssa valo origosta negatiiviseen x-suuntaan valo origosta positiiviseen x-suuntaan x samanaikaiset taphtumat origon kanssa Tarkastellaan Lorentzin muunnosta Minkowskin diagrammissa. Koordinaatiston K x -akseli määräytyy ehdosta t = 0. Kaavasta (2.9) saadaan, että tämä vastaa suoraa ct = (v/c)x. Vastaavasti t -akseli määräytyy ehdosta x = 0, jolle saadaan ct = (c/v)x. Nämä akselit ovat kiertyneet akseleista x ja t kulmalla α kohti valon viivaa ct = x. Kiertymiskulmalle α saadaan tan α = v/c. Alla olevassa kuvassa K akselit on piirretty samaan diagrammaan K:n akseleiden kanssa, kun suhteellinen nopeus v > 0. Negatiivisen nopeuden tapauksessa K :n akselit kääntyvät vastakkaiseen suuntaan, siten että ct osoittaa ylävasemmalle ja x alaoikealle. ct ct' ct = x α x' α x Nyt tapahtumien samanpaikkaisuus sekä aikajärjestys K -koordinaatistossa saadaan lukemalla tätä vinokulmaista koordinaatistoa. 40

41 ct ct' tällä suoralla tapahtumat samanpaikkaisia K':ssa x' x tällä suoralla tapahtumat samanaikaisia K':ssa valo origosta ct=x tai ct'=x' Seuraavassa kuvassa on vielä havainnollistettu tapahtumien aikojen synkronointi sekä K:ssa että K :ssa. ct ct' ct ct' x' x' Kellot synkronoitu K:ssa x Kellot synkronoitu K':ssa Seuraavassa kuvassa tutkitaan tapausta missä kummassakin koordinaatistossa K ja K on yksi levossa oleva kello, jotka kohtaavat ja näyttävät samaa aikaa Minkowskin diagrammin origossa. K:n mielestä tapahtumat A ja B ovat samanaikaisina, ja toteaa että hänen oma kellonsa näyttää enemmän kuin K :n kello, kuten ajan venymisen mukaan kuuluu. Toisinpäin taas K kokee tapahtumat B ja C samanaikaisiksi, ja myös hän toteaa että hänen oma kellonsa näyttää enemmän kuin K:n kello, kuten ajan venymisen mukaan kuuluu. Näistä ei synny ristiriitaa sen takia että tapahtumat A ja C eivät ole samat, vaan C on tapahtuman A menneisyyttä. x 41

42 ct D ct' A C K B K' x' K ja K' Myös K kokee että K mittaa hänen menneisyyttään, sillä hänen mielestään A on samanaikainen D:N kanssa, ei B:n kanssa. Siis molemmat havaitsijat toteavat toistensa kellojen jätättävän koska he havaitsevat toistensa menneisyyttä. Huomautetaan vielä että tässä ei ole kysymys signaaliviiveestä, vaan sama tulos saadaan käyttämällä aikaisemman kuvan synkronoituja kelloja ja vertaamalla niitä vain samoissa paikoissa. Signaaliviiveen takiahan K saa tiedon tapahtumasta B vasta kauan tapahtuman A jälkeen, aikaisintaan silloin kun B:stä lähtenyt valonsäde saavuttaa paikan x = 0. K osaa kuitenkin laskea matkaan kuluneen ajan ja poistaa sen näkemästään. K siis pystyy jälkikäteen konstruoimaan kuvassa esitetyn Minkowskin diagrammin, ja päätyy parhaiden mahdollisten havaintojen sekä laskujen jälkeen tulokseen että tapahtumat A ja B ovat samanaikaisia. K voi tehdä samat toimenpiteet, ja päätyy tulokseen että B tapahtuu ennen A:ta. Minkowskin diagrammit ovat hyödyllisiä kun pyritään ymmärtämään tapahtumien järjestys ajan tai paikan suhteen eri koordinaatistoissa. Sen sijaan tarkat vertailut aika- ja paikkakoordinaateista on varmempi laskea Lorentzin muunnoksesta [kaavat (2.9) ja (2.11)] tai, mikäli mahdollista, käyttäen pituuden kutistumisen ja ajan venymän kaavoja [(2.14) ja (2.15)] Kausaalisuus Tarkastellaan Minkowskin avaruuden tapahtumaa P, jonka koordinaateille (x P, ct P ) on voimassa x P > ct P, ja t P > 0. x 42

43 ct=-x ct Q ct=x O P x Nyt voidaan löytää nopeus v joka on suurempi kuin c 2 t P /x P mutta silti pienempi kuin c. Kun tehdään Lorentz-muunnos koordinaatistoon jonka nopeus on v, asettuu sen x akseli tapahtuman P ja valoviivan ct = x väliin. ct ct' Q x' O P x Nähdään että K:ssa P on myöhäisempi kuin origo O (sillä t > 0), mutta K :ssa P on aikaisempi kuin origo O (sillä t < 0). Nähdään siis että tapahtuma P voi olla O:hon nähden joko tulevaisuudessa tai menneisyydessä, riippuen siitä missä koordinaatistossa asiaa katsotaan. Tarkastellaan seuraavaksi tapahtumaa Q jonka koordinaateille (x Q, ct Q ) on voimassa ct Q > x Q. Nähdään että missä tahansa inertiaalikoordinaatistossa K tämä tapahtuma on myöhäisempi kuin O. Näin siksi että x -akseli on aina rajattu loivemmaksi kuin valoviivat, joten piste Q on aina on x -akselin yläpuolella. 43

44 sama kuin tuolla ct O:n tulevaisuus, O:lla voi olla vaikutus näihin O O:n menneisyys, näillä voi olla vaikutus O:hon aikasuhde O:hon riippuu koordinaatistosta, x ei syy-seuraus-suhdetta O:hon Vastaavalla tavalla päättelemällä huomataan että origosta lähtevät valoviivat jakavat tapahtumat O:n suhteen kolmeen luokkaan, yllä olevan kuvan mukaisesti. O:n tulevaisuus tarkoittaa tapahtumia, joiden aika kaikissa koordinaatistoissa on myöhempi kuin O:n. Jos O:ssa tapahtuu jotain, esimerkiksi lähetetään signaali, sillä voi olla vaikutusta näihin tapahtumiin, esim. lamppu syttyy signaalin saapuessa. O:n menneisyys tarkoittaa tapahtumia, joiden aika kaikissa koordinaatistoissa on aikaisempi kuin O:n. Näillä tapahtumilla voi olla vaikutusta O:hon, esimerkiksi O:ssa syttyy lamppu kun signaali aikaisemmasta tapahtumasta saapuu. Näiden alueiden ulkopuolelle jää epämääräisyysalue, jossa tapahtumien aikajärjestys riippuu valitusta koordinaatistosta. Tällaisilla tapahtumilla ei voi olla mitään syy/seuraus-suhdetta (eli kausaalisuutta) O:n kanssa. Tämä päätellään seuraavasti: Jos tapahtuma P olisi seuraus jostain tapahtumasta O:ssa, niin kaiken järjen mukaan O:n täytyy tapahtua ensin ja vasta sitten P:n. Kuitenkin edellä olevan mukaan löytyy myös koordinaatisto, jossa P on aikaisempi kuin O. Tässä siis seuraus olisi ennen syytä, mikä ei tunnu mahdolliselta. Siis P ei voi olla O:n seuraus, eikä myöskään toisin päin. Vaatimuksesta että kaikkien havaitsijoiden mielestä syyn täytyy aina olla ennen seurausta, päätellään lisäksi että mikään syy/seuraus-suhde ei voi edetä nopeammin kuin valo. Siis mitään hyödyllistä informaatiota ei voi siirtää valoa nopeammin. Mikäli valoa nopeampia signaaleja olisi, niin aina löytyisi koordinaatisto jossa seuraus näyttäisi edeltävän syytä, mikä tuntuu mahdottomalta. Tästä huolimatta valoa nopeampia signaaleja on toki etsitty, mutta mitään kokeellista näyttöä ei ole löytynyt. Edellä tutkittiin intervallin neliötä ( s) 2. Verrattaessa yhtä tapahtumaa ori- 44

45 goon ja tarkasteltaessa vain x ja t koordinaatteja se saa muodon s 2 = c 2 t 2 x 2. (3.14) Kaavassa (3.6) todettiin että tämä on koordinaatistosta riippumaton. Laskemalla s 2 :n arvoja nähdään helposti että sillä on yksinkertainen yhteys edellä tehtyyn tapahtumien luokitteluun: kun s 2 > 0 eli ajanluonteinen, on tapahtuma origon absoluuttista menneisyyttä tai tulevaisuutta, jolloin tapahtumilla voi olla syy-seuraus-suhde kun s 2 < 0 eli paikanluonteinen, riippuu tapahtuman aikajärjestys origoon nähden koordinaatistosta, eikä tapahtumilla voi olla syy-seuraus-suhdetta kun s 2 = 0 eli valonluonteinen, origosta lähtevä valonnopeudella kulkeva signaali juuri saapuu tähän tapahtumaan. Alla olevaan kuvaan on piirretty erään kappaleen maailmanviiva. Koska sen nopeus u < c, täytyy maailmanviivan tangentin kulmakertoimen d(ct)/dx itseisarvon olla suurempi kuin 1 jokaisessa maailmanviivan pisteessä. Tämä on myös geometrinen tulkinta nelinopeudelle: se osoittaa maailmanviivan tangentin suuntaan, vaikka sitä lisäksi skaalataankin tekijällä γ u. s 2 > 0 ct s 2 < 0 x s 2 = 0 Vaikka yllä tarkasteltiin intervallin neliötä vain x ct tasossa, samat päätelmät saadaan myös neliulotteisessa Minkowskin avaruudessa. Tästä on vaikea piirtää kuvaa, mutta ohessa on kuva kolmiulotteisen x y ct-avaruuden valokartiosta. 45

46 paikanluonteiset tapahtumat O:n suhteen ct O:n tulevaisuus y x O:n menneisyys 3.5 Esimerkki: Kaksosparadoksi Suhteellisuusteoria johtaa moniin tuloksiin, jotka ensi näkemältä vaikuttavat ristiriitaisilta. Ehkä yleisimmät hämmennyksen syyt ovat ajan suhteellisuuden ja siihen liittyvän samanaikaisuuden suhteellisuuden unohtuminen, sekä myös äärellisen signaalinopeuden unohtuminen. Äärellinen signaalinopeus nimittäin tarkoittaa sitä, että suhteellisuusteoriassa ei ole täysin jäykkiä kappaleita 4. Usein käytetty esimerkki on hyvin pitkät sakset. Kun saksien kahvoista vääntää, eivät saksien kärjet lähde heti liikkeelle, vaan aikaisintaan silloin kun valonnopeudella kulkeva signaali välittyy kahvoista kärkiin asti. Saksien on siis pakko taipua ainakin hieman jo pelkän signaaliviiveen takia 5. Signaaliviive unohtuu usein myös kappaleiden törmäyksiä miettiessä: tieto törmäyksestä ei voi edetä kappaleen sisällä valoa nopeammin. Tarkastellaan nyt lähemmin ajan suhteellisuudesta aiheutuvaa kaksosparadoksia ja käytetään asian selvittelyssä edellä kuvattuja Minkowskin diagrammoja. Asetelma Kaisa (K) ja Liisa (L) ovat kaksosia. L lähtee suurella nopeudella liikkuvalla aluk- 4 Signaali voi edetä materiaalissa joko sähkömagneettisten voimien välityksellä lähes valonnopeudella, tai sitten mekaanisena aaltona äänen nopeudella. 5 Lisäksi pitkienkään saksien kärkiä ei saa kulkemaan valoa nopeammin vaikka vääntäisi kahvoista kuin nopeasti tahansa. Sakset nimittäin taipuvat myös suhteellisuusteoreettisten hitausvoimien takia. 46

47 sella pitkälle avaruusmatkalle, K:n jäädessä kotiin. Oletetaan että alus liikkuu tasaisella nopeudella alku-, käännös- ja loppuvaiheen lyhyitä kiihdyksiä lukuun ottamatta. Ajan venymäkaavan (2.15) mukaan L:n kello käy menomatkalla K:n mielestä hänen omaa kelloaan hitaammin. Suhteellisuusperiaatteen mukaan voimme päätellä edelleen, että L:n kellon tavoin myös L:n sydämenlyönnit, ajatukset ja kaikki elintoiminnot hidastuvat K:n näkemänä. L ei kuitenkaan huomaa tapahtumien tempossa mitään epätavallista. Mikäli hän huomaisi, sitä tuntemusta voisi käyttää määrittelemään absoluuttisen liikkeen tai lepokoordinaatiston, mikä suhteellisuusperiaatteen mukaan on mahdotonta havaita. Koska nopeus esiintyy ajan venymäkaavassa (2.15) neliöterminä, L:n kello käy myös paluumatkalla K:n kelloa hitaammin. Näin ollen L:n palattua matkalta hän on sisarustaan nuorempi. Mikäli aluksen nopeus olisi lähellä valonnopeutta, sisarusten ikäero olisi todella huomattava. Paradoksi Näennäinen ristiriita syntyy vetoamalla liikkeen suhteellisuuteen, jolloin tilanteen pitäisi olla symmetrinen L:n ja K:n välillä. Kun samaa tilannetta tarkastellaan alukseen kiinnitetystä L:n koordinaatistosta, näyttävät Maapallo ja sen pinnalla oleva K liikkuvan. Koska liikkuvan koordinaatiston aika käy lepokoordinaatiston aikaa hitaammin, pitäisi L:n mielestä K:n olla häntä nuorempi matkan jälkeen. Tämä päättely on kuitenkin virheellinen. Tarkempi analyysi Piirrämme kuvatusta tilanteesta avaruusaikadiagrammin. K:n maailmanviiva on maapallon ominaisaika-akselin suuntainen suora. L:n maailmanviiva koostuu avaruusmatkan tapahtumien osalta kahdesta lähes suorasta osasta L 1 ja L 2, joista L 1 vastaa meno- ja L 2 paluumatkaa. Suhteellisuusperiaate asettaa inertiaalihavaitsijat tasavertaiseen asemaan. K on inertiaalihavaitsija, mutta L, jonka idealisoitukin maailmanviiva koostuu kahdesta suorasta, ei ole. Voimme ajatella havaitsijan L korvatuksi kahdella inertiaalihavaitsijalla, joista L 1 poistuu maasta ja L 2 lähestyy maata tasaisella nopeudella. Havaitsijat K ja L 1 sekä K ja L 2 ovat samanarvoisia. Sen sijaan K ja L eivät ole samassa asemassa, koska L 2 liikkuu L 1 :n suhteen. Toisin sanoen mitään oikeaa paradoksia ei ole olemassa. Sisarusten kohdatessa L todella on nuorempi kuin K. 47

48 E ct K D L L 1 C A L 2 B L O Kaaviosta nähdään että tulos liittyy olennaisesti L:n tekemään käännökseen tapahtuman A luona. Juuri ennen käännöstä L on omasta mielestään yhtä vanha kuin K tapahtumassa B. Tämä johtuu siitä että L on samassa koordinaatistossa kuin inertiaalinen L 1, jonka x -akseli on samansuuntainen kuin viiva B-A (ks. aiemmat kuvat kellojen samanaikaisuudesta). Käännöksen aikana L:n oma kello ei paljon ehdi käydä, mutta samalla hänen mielestään K vanhenee todella nopeasti, sillä käännöksen jälkeen hän vertaa itseään K:hon tapahtumassa D. Tämä johtuu siitä että käännöksen jälkeen L on samassa koordinaatistossa kuin inertiaalinen L 2, jonka x -akseli on samansuuntainen kuin suora A-D (L 2 akselit ovat kääntyneet yhtä paljon kuin L 1 :n, mutta ne aukeavat vasemmalle koska L 2 etenee negatiivisen x-akselin suuntaan). Käännökseen liittyvä kiihtyvyys rikkoo symmetrian L:n ja K:n välillä, sillä se saa L:n siirtymään inertiaalikoordinaatistosta L 1 toiseen inertiaalikoordinaatistoon L 2. Kaikki tietävät että kahden paikan välillä voi kulkea reittejä jotka ovat eripituisia. Suhteellisuusteorian mukaan sama koskee myös aikaa: kahden tapahtuman välillä kulunut aika riippuu kuljetusta reitistä niiden välillä. Kaavan (2.15) avulla voidaan kappaleen mukana kulkevan kellon näyttämän ominaisajan differentiaali kirjoittaa muotoon dτ = dt = 1 u(t)2 dt. (3.15) γ u c 2 Tässä siis u(t) on kappaleen nopeus jossakin inertiaalikoordinaatistossa, lausut- 48 x

49 tuna kyseisen koordinaatiston koordinaattiajan t funktiona. Ominaisajan muutos pitemmällä aikavälillä saadaan integroimalla yhtälö (3.15) puolittain. Näin saadaan t2 τ 2 τ 1 = 1 u(t)2 dt = t 1 t2 1 c t 1 c 2 c 2 ( dx dt ) 2 ( ) 2 dy dt ( ) 2 dz dt (3.16) dt Tätä kaavaa voi soveltaa kaksosparadoksin käsittelyyn, sillä sitä käyttäen voi laskea kummankin kaksosen iän käyttäen missä tahansa inertiaalikoordinaatistossa mitattuja nopeuksia. Myös kiihtyvä liike tulee otettua huomioon, kunhan vain nopeus u(t) on tiedossa 6. Luvussa 8 tutustumme variaatiolaskentaan, mitä hyödyntäen on helppo harjoitustehtävä osoittaa että kaavan (3.16) mukaan kahden kiinnitetyn tapahtuman x µ 1 ja x µ 2 välillä kuluvalla ominaisajalla on ääriarvo, kun kuljetaan sellaista maailmanviiva pitkin jolla nopeus u on vakio. Pieni mietintä osoittaa että tässä tapauksessa kyseessä on ominaisajan maksimi. Kaikki ylimääräinen kurvailu siis pienentää matkaan kuluvaa ominaisaikaa. Kaksosparadoksin tapauksessa kiinnitetyt tapahtumat x µ 1 ja x µ 2 ovat L:n lähtö maapallolta ja saapuminen takaisin. Pisimmän mahdollisen ominaisajan näiden tapahtumien välillä kuluttaa K, joka istuu kotona odottamassa L:n paluuta. 6 Tätä ei oikein voi todistaa suppeassa suhteellisuusteoriassa, mutta sekä yleinen suhteellisuusteoria että epävakailla hiukkasilla tehdyt kiihdytinkokeet osoittavat liikkuvan havaitsijan mittaaman ominaisajan riippuvan ainoastaan hetkellisistä nopeuksista, eivätkä nopeuden muutoksiin liittyvät kiihtyvyydet vaikuta siihen. 49

50 Luku 4 Relativistinen dynamiikka Tarkastellaan nyt hieman lähemmin hiukkasten liikkeitä ja niitä kuvaavaa relativistista dynamiikkaa. Osoittautuu että Mekaniikka 1:ltä tuttuja liikemäärän ja (liike-)energian määritelmiä täytyy hieman parannella. 4.1 Liikemäärä On kokeellinen tosiasia että kappaleiden liikettä voidaan hyvin tarkasti kuvata Newtonin lakien pohjalta, kunhan kappaleiden nopeudet ovat pieniä verrattuna valonnopeuteen. Sen sijaan hyvin suurissa nopeuksissa Newtonin teoria ei aivan sellaisenaan enää toimi. Osoittautuu että Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki kelpaavat edelleen sellaisinaan. Myös toinen laki voidaan kirjoittaa saman näköisenä, dp = f, (4.1) dt mutta liikemäärää ei enää määritellä vakio kertaa nopeutena. Sen sijaan on käytettävä yleisempää määritelmää p = m 0 α(u)u = m rel u. (4.2) Tässä on selkeyden vuoksi otettu käyttöön merkintä m 0 tarkoittamaan hiukkasen lepomassaa 1. Muuntokerroin α on jokin funktio, jonka oletetaan riippuvan hiukkasen vauhdista u = u, mutta ei liikkeen suunnasta û = u/u. Koska ulkoisesti Newtonin lait säilyvät ennallaan, seuraa toisesta ja kolmannesta laista edelleen liikemäärän säilyminen samoin kuin klassisessa mekaniikassa (tätä tarkastellaan lähemmin kurssin jälkimmäisellä puoliskolla kappaleessa 1 Huomaa että varsinkin vanhemmissa oppikirjoissa käytetään myös liikemassan käsitettä. Merkintä m voi tarkoittaa kumpaa tahansa ja se pitäää tarkistaa asiayhteydestä. Uudemmissa kirjoissa ei yleensä oteta käyttöön liikemassan käsitettä, ks. kappale

51 6.1.1). Oikeastaan liikemäärän säilymistä voi pitää perustavana luonnonlakina, ja voima on vain apusuure, joka määritellään kaavalla (4.1). Myös kulmaliikemäärän ja energian säilymislait pätevät edelleen. Pyritään selvittämään liikemäärään ja massaan liittyvä funktio α. Ensinnäkin, koska Newtonin teorian tiedetään toimivan hyvin pienillä nopeuksilla, täytyy olla α(u) 1 kun u c. Lepomassa vastaa siis klassisen fysikkan massaa. Ajatellaan hiukkasta jonka nopeus K:ssa on u = (0, u, 0). Sama nopeus K :ssa on kaavan (2.23) perusteella u = ( v, u/γ v, 0). Näissä tapauksissa saadaan liikemäärän y-komponentille tulokset p y = m 0 α(u)u m 0 u, p y = m 0 α( v 2 + u 2 /γ 2 v) u γ v m 0 α(v) u γ v. (4.3) Jälkimmäiset muodot on saatu olettaen u c ja u v. Huomaa että hiukkasen x-suuntainen nopeus K :ssa voi olla lähellä valonnopeutta, eli kysessä ei ole epärelativistinen raja. Arvataan nyt (ja perustellaan kohta), että x-suuntainen Lorentzmuunnos ei voi muuttaa hiukkasen liikemäärän y-komponenttia. Ehdosta p y = p y saadaan lauseke α(v) = γ v eli α(u) = 1 1 u2 /c 2. (4.4) Liikemäärän (4.2) yleiseksi lausekkeeksi saadaan p = m 0 u 1 u2 /c 2 = m 0γ u u. (4.5) Huomataan että Lorentzin skaalaustekijä γ u kompensoi nelinopeuden y-komponentin muuttumisen, siten että liikemäärän y-komponentti pysyy samana K:ssa ja K :ssa. Täsmällisempi tarkastelu. Analysoidaan kahden identtisen hiukkasen elastista törmäystä 2 Oletetaan että kun törmäystä tarkastellaan koordinaatisto K:ssa, on hiukkasen 1 nopeus alkutilassa (u x, u y ) = (v, u) ja lopputilassa (u x, u y ) = (v, u). Hiukkaselle 2 oletetaan (u x, u y ) = (0, w) alkutilassa ja (u x, u y ) = (0, w) lopputilassa. Törmäys on siis hienosäädetty niin että hiukkanen 2 liikkuu vain y suunnassa, kun taas hiukkanen 1 liikkuu myös x-suunnassa tasaisella nopeudella (ks. alla olevan kuvan yläpaneeli). Vaatimalla että y-suuntainen liikemäärä säilyy, saadaan alku- ja lopputilaa vertaamalla ehto m 0 α( v 2 + u 2 )u m 0 α(w)w = 0. (4.6) 2 Elastinen tarkoittaa että hiukkaset eivät muutu törmäyksessä. 51

52 Huomaa että Newtonin mekaniikassa päätyisimme ehtoon u = w, mutta relativistisessa dynamiikassa tämä ei päde, sillä hiukkasen 1 nopeus x-suunnassa vaikuttaa sen liikemäärään y-suunnassa skaalaustekijän α takia. K u v u v alkutila K:ssa w w lopputila K:ssa γu alkutila K':ssa lopputila K':ssa γu K' v w/γ v w/γ Tarkastellaan sitten samaa törmäystä koordinaatistossa K, joka liikkuu nopeudella (v, 0) K:hon nähden. Käyttämällä nopeuden muunnoskaavaa (2.23) saadaan hiukkasen 1 nopeudeksi (u x, u y) = (0, γ v u) alkutilassa ja (u x, u y) = (0, γ v u) lopputilassa. Vastaavasti hiukkaselle 2 saadaan (u x, u y) = ( v, w/γ v ) alkutilassa ja (u x, u y) = ( v, w/γ v ) lopputilassa. Tässä koordinaatistossa tilanne on siis päinvastainen, eli hiukkanen 1 liikkuu vain y-suunnassa, kun taas hiukkasella 2 on myös x suuntaista liikettä. Liikemäärän säilyminen koordinaatistossa K johtaa ehtoon m 0 α(γ v u)γ v u m 0 α( v 2 + w 2 /γ 2 v) w γ v = 0. (4.7) Oletuksen mukaan hiukkaset ovat identtiset, ja tilanne on muutenkin symmetrinen koordinaatistojen K ja K kesken. Voidaan itse asiassa ajatella että havaitsijat K ja K, kumpikin omassa koordinaatistossaan, ovat singonneet hiukkaset liikkeelle y-suuntaan identtisillä laitteilla. Tällöin niiden nopeudet ovat identtiset, eli u = w/gamma v. Siispä yhtälöt (4.6) ja (4.7) antavat samat ehdot, α( v 2 + u 2 )u α(γ v u)γ v u = 0. (4.8) Tuntemattoman funktion α(x) ratkaiseminen tästä yhtälöstä on hieman haasteellista, mutta aikaisempaan tulokseen nojautuen voimme tyytyä tarkistamaan että α(x) = γ x = 1/ 1 x 2 /c 2 todella toteuttaa yhtälön 52

53 Tarkastellaan sitten kappaletta joka on aluksi levossa, mutta johon kohdistuu vakiovoima f. Kaavasta (4.1) saamme integroitua helposti p = ft eli m 0 u p = = ft. (4.9) 1 u2 /c2 Koska kaikki vektorit ovat samaan suuntaan, voimme tarkastella vain suuruuksia. Pienellä laskulla voimme ratkaista yhtälöstä (4.9) nopeuden u = 1 (m0 /ft) 2 + 1/c 2. (4.10) Tämä on esitetty seuraavassa kuvassa (jatkuva viiva). c c c m f 3 c m f Newtonin teorian mukainen nopeus u = ft/m 0 (katkoviiva) kasvaa rajatta, mutta suhteellisuusteorian mukaan nopeuden kasvu hidastuu suurissa nopeuksissa. Ajan kuluessa nopeus lähestyy valonnopeutta mutta ei saavuta sitä koskaan. Kannattaa kuitenkin huomata että vaikka nopeudella on yläraja, voi suhteellisuusteorian mukainen liikemäärä kasvaa rajatta. Hiukkasen inertia, eli sen liikemäärän riippuvuus nopeudesta tai kiihtyvyyden riippuvuus voimasta, pystytään mittaamaan esimerkiksi hiukkaskiihdyttimissä, ja tulokset ovat tarkasti suhteellisuusteorian mukaiset. 4.2 Energia Liikemäärän säilymisen lisäksi toinen tärkeä säilymislaki on energian säilyminen. Myös suhteellisuusteoriassa lähdetään siitä että energian säilymisen laki on voimassa. Jotta tähän päästäisiin, on Newtonin mekaniikasta tuttua kineettisen energian lauseketta E k = 1 2 m 0u 2 korjattava. 53

54 Samoin kuin Newtonin mekaniikassa, hiukkasen kineettisen energian muutos on sama kuin hiukkaseen kohdistuvien voimien tekemä työ, de k = dw = fdx. Tarkastellaan hiukkasta joka on aluksi paikallaan origossa (x = 0 ja t = 0). Siihen kohdistuvan voiman ansiosta sen kineettinen energia hetkellä t saadaan voiman tekemää työtä integroimalla, E k (t) = x(t) 0 f(x)dx. (4.11) Tehdään muuttujan vaihdos x = x(t) jolloin dx = (dx/dt)dt = udt ja E k (t) = 0 t t 0 f(t)u(t)dt. (4.12) Teho jolla voima tekee työtä on f(t)u(t). Sijoittamalla tähän voima liikeyhtälöstä (4.1) sekä liikemäärän lauseke (4.5) ja laskemalla saadaan ( ) t d m 0 u E k (t) = udt dt 1 u2 /c 2 = 0 m 0 u du dt. (4.13) (1 u 2 /c 2 ) 3/2 dt Tehdään uusi muuttujan vaihdos u(t) = u jolloin (du/dt)dt = du ja E k (u) = u 0 mu du. (4.14) (1 u 2 /c 2 ) 3/2 Tästä jo nähdään että tulos riippuu vain nopeudesta, ei siitä miten hiukkanen tähän nopeuteen kiihdytetään. Integroimalla saadaan E k (u) = / u 0 m 0 c 2 1 u2 /c, (4.15) 2 mistä saadaan lopputuloksena hiukkasen kineettinen energia E k (u) = m 0 c 2 1 u2 /c 2 m 0c 2. (4.16) Tämä lauseke voidaan kirjoittaa myös muotoon E k (u) = [m 0 γ u m 0 ]c 2, (4.17) 54

55 Tämän pohjalta Einstein teki huomattavasti yleisemmän hypoteesin, nimittäin mitä tahansa energiaa E vastaa massa ja myös massaa vastaa energia niin että E = m 0 γ u c 2 = m 0 c 2 1 u2 /c 2. (4.18) Tämä lasku ei varsinaisesti todista että lepomassaa vastaisi jokin energia, ainoastaan sen että kineettisen energian muutokset näyttävät vastaavan (liike)massan muutoksia. Lepomassan energiavastaavuutta voidaan perustella myös ydinreaktioiden avulla, ja viimeistään antimaterian löytyminen osoitti että massalliset hiukkaset voivat hävitä kokonaan ja muuttua massattomien fotonien energiaksi. Liikkuvan kappaleen energia kaavan (4.18) mukaan on E = γ u m 0 c 2 = Kehitetään tämä Taylorin sarjaksi u:ssa. Saadaan ( ) 1/2 E = m 0 c 2 1 u2 c 2 ) ( = m 0 c u 2 2 c m 0 c 2 1 u2 /c 2. (4.19) u 4 c = m 0 c m 0u m u 4 0 c (4.20) 2 Tässä ensimmäinen termi on lepoenergia, josta juuri keskusteltiin. Vertaamalla kaavaan (4.16) todetaan, että loput termit yhteensä ovat sama kuin kineettinen energia E k = E m 0 c 2 = 1 2 m 0u m u 4 0 c (4.21) 2 Tunnistetaan että tässä ensimmäinen termi on täsmälleen Newtonin mekaniikasta tuttu kineettinen energia. Korkeammat termit ovat pieniä, kun kappaleen nopeus u c. Suurissa nopeuksissa (missä u c) on Taylorin sarjan (4.21) sijasta parempi käyttää kineettisen energian täsmällistä lauseketta (4.16), joka voidaan myös kirjoittaa muotoon E k = (γ u 1)m 0 c 2. (4.22) 4.3 Neliliikemäärä Tarkastellaan kappaletta jonka lepomassa on m 0. Kappaleen neliliikemäärä p µ määritellään kaavalla p µ = m 0 u µ. (4.23) 55

56 Tässä on siis palattu muodollisesti samaan määritelmään kuin Newtonin mekaniikassa, mutta tällä kertaa nelivektoreilla lausuttuna: neliiikemäärä p µ on lepomassa m 0 kertaa nelinopeus u µ. Tämän täytyy olla nelivektori, sillä u µ on nelivektori ja m 0 on neliskalaari. Neliliikemäärän komponentit saadaan suoraan laskettua vastaavista nelinopeuden komponenteista (3.10), p µ = m 0 u µ = (m 0 γ u c, m 0 γ u u). (4.24) Verrataan tätä edellä pääteltyihin energian (4.19) ja liikemäärän (4.5) kaavoihin E = m 0 γ u c 2, p = m 0 γ u u. (4.25) Todetaan että neliliikemäärän (4.24) avaruusosa on täsmälleen sama kuin relativistinen kolmiliikemäärä p. Sen aikakomponentti taas on p 0 = E/c. Todetaan siis että neliliikemäärän aikakomponentti on sama kuin energia (epäoleellista vakiotekijää 1/c lukuun ottamatta). Koko neliliikemäärä voidaan siis kirjoittaa ( ) E p µ = c, p. (4.26) Tämä on kiinnostava tulos, jonka mukaan Newtonin teoriassa varsin erilaisilta vaikuttavat energia ja liikemäärä ovatkin suhteellisuusteoriassa saman suureen eri komponentteja. Huomaa että tämä on mahdollista vain siinä tapauksessa että E sisältää kineettisen energian lisäksi kappaleen lepoenergian m 0 c 2. Koska sekä relativistinen energia että relativistinen kolmiliikemäärä ovat säilyviä suureita, niin myös neliliikemäärä säilyy. Tämä siis tarkoittaa että missä tahansa yksittäisessä koordinaatistossa kaikki neliliikemäärän komponentit erikseen ovat säilyviä suureita. Kuitenkin siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen energia ja kolmiliikemäärä sekoittuvat Lorentzin muunnoksessa. Ainoastaan neliliikemäärän pituus on Lorentz-invariantti, kuten kaikkien nelivektoreiden pituus. Neliliikemäärä siis muuntuu kuten mikä tahansa nelivektori, E /c p x p y p z = γ v β v γ v 0 0 β v γ v γ v E/c p x p y p z. (4.27) 56

57 Lasketaan neliliikemäärän pituuden neliö. s 2 = (p 0 ) 2 (p 1 ) 2 (p 2 ) 2 (p 3 ) 2 = E2 c 2 = E2 c 2 p2 p2 x p 2 y p 2 z = m 2 0c 2 γ 2 u m 2 0γ 2 uu 2 = m 2 0c 2. (4.28) Tässä toinen yhtäsuuruus on saatu kaavasta (4.26) ja neljäs sijoittamalla neliliikemäärän komponentit kaavasta (4.25). Kaava (4.28) antaa kappaleen energian, lepomassan ja liikemäärän välille yhtälön E 2 = c 4 m c 2 p 2. (4.29) Tämä kaava on erittäin hyödyllinen monissa yhteyksissä. Esimerkiksi jos hiukkasen liikemäärä tunnetaan, saadaan kaavasta (4.29) sen energia E = c m 2 0c 2 + p 2. (4.30) Kineettinen energia saadaan vähentämällä lepoenergia m 0 c 2, E k = E m 0 c 2 = c m 2 0c 2 + p 2 m 0 c 2. (4.31) Alla olevassa kuvassa on hahmoteltu relaatio (4.30) olettaen p y = p z = 0. Pienillä liikemäärillä, eli kun p m 0 c, hiukkasen energia on E m 0 c 2 + p 2 /2m 0. Se on siis lepoenergian ja Newtonin teorian mukaisen kineettisen energian summa. Tilannetta jolloin p m 0 c kutsutaan ultrarelativistiseksi rajaksi. Tällöin hiukkasen energia lähenee asymptoottisesti arvoa E = cp. E c ultrarelativistinen alue E c = mc p x epärelativistinen alue E c = p x 57

58 Kaavoista (4.25) voidaan helposti johtaa myös p = E u. (4.32) c2 Tästä suoraan näkee, että kappaleen hitaus tulee sen energiasta. Laskemalla voi todeta, että yhdessä kaavat (4.29) ja (4.32) ovat ekvivalentteja kaavojen (4.25) kanssa. Esimerkiksi hiukkasfysiikassa kaavaa (4.29) käytetään paljon, sillä hiukkasten törmäyksiä selvitellessä tarvitaan relaatiota E:n ja p:n välillä. Kun sitten E ja p on saatu selville, voidaan nopeus tarvittaessa laskea kaavasta (4.32) Hiukkasjoukon neliliikemäärä Useamman hiukkasen tapauksessa eri hiukkasten neliliikemäärät voi laskea yhteen, jolloin saa koko joukon neliliikemäärän 3. Hiukkasjoukon kokonaisneliliikemäärä säilyy sellaisissakin reaktioissa joissa hiukkasten lukumäärä muuttuu. Jos alkutilassa on n hiukkasta joiden neliliikemäärät ovat p µ i ja lopputilassa on l hiukkasta neliliikemäärillä p µ i, niin n p µ i,alku = i=1 l p µ i i=1, µ = (4.33) Relativistinen liikeyhtälö Jotta hiukkasten liikkeitä erilaisten voimien vaikutuksen alaisena voitaisiin analysoida tarkasti, täytyy Newtonin liikelaki kirjoittaa suhteellisuusteoreettisesti korrektissa muodossa. Parhaiten tämä käy äsken määritellyn neliliikemäärän avulla. Pohjautuen Newtonin lakiin (4.1), luonnollinen arvaus nelivektorimuotoiselle liikeyhtälölle on dp µ dτ = f µ. (4.34) Derivaatta siis otetaan koordinaattiajan sijasta hiukkasen ominaisajan suhteen, samoin kuin nelinopeuden kanssa. Tämä yhtälö voidaan ymmärtää nelivoiman f µ määritelmäksi. Käyttäen nelikiihtyvyyden (3.13) ja neliliikemäärän (4.23) määritelmää, liikeyhtälö voidaan kirjoittaa myös muotoon m 0 du µ dτ = m 0a µ = f µ. (4.35) 3 Kahden nelivektorin summa on aina nelivektori, mikä johtuu Lorentz-muunnoksen lineaarisuudesta. Kahden nelinopeuden summa ei kuitenkaan ole fysikaalinen nelinopeus, vaikka se onkin nelivektori. Sen sijaan kahden neliliikemäärän summa on neliliikemäärä, sillä liikemäärälle ei ole samanlaista ylärajaa kuin nopeudelle. 58

59 Nelivektoreilla kirjoitetut liikeyhtälöt ovat siis täysin saman näköisiä kuin Newtonin mekaniikan vastaavat yhtälöt. Emme tässä ryhdy sen tarkemmin selvittelemään nelivoiman olemusta. Tyydymme vain toteamaan että määritelmästä (4.34) lähtien nelivoimalle voidaan johtaa lauseke f µ = (γ u f β u, γ u f). (4.36) Tässä f on tavallinen kolmiulotteinen voimavektori (kolmivoima) ja β u = u/c. Nelivoima muuntuu inertiaalikoordinaatistojen välillä Lorentzin muunnoksella, kuten muutkin nelivektorit. Nelivoima voi johtua esimerkiksi kitkavoimista tai jousivoimista, vaikkakin niitä on lähes aina paras tarkastella väliaineen tai jousisysteemin lepokoordinaatistossa. Haluttaessa tarkastelun voi kuitenkin tehdä muissakin inertiaalikoordinaatistoissa. Sähkömagneettinen Lorenzin voima (1.16) olisi hyvä esimerkki perustavanlaatuisesta voimasta jota on usein tarkoituksenmukaista tarkastella eri koordinaatistoissa, mutta silloin olisi keskusteltava myös sähkö- ja magneettikenttien muuntumisesta Lorentz-muunnoksessa, mikä ei ole opintojen tässä vaiheessa tarkoituksenmukaista. Valitettavasti Newtonin painovoimalaki (1.11) ei muunnu Lorentz-muunnoksessa oikealla tavalla, joten sen tutkiminen johtaisi ristiriitaisiin tuloksiin eri inertiaalikoordinaatistojen välillä. Tämä olikin Einsteinin motivaatio yleisen suhteellisuusteorian kehittämiselle, missä painovoima esitetään täysin erilaisella tavalla. 4.4 Energia ja massa Kerrataan vielä E:n ja m 0 :n määritelmät: E on suure jonka olennainen ominaisuus on että se säilyy, siis se voi muuttua muodosta toiseen mutta sen kokonaismäärä pysyy muuttumattomana. Massa m 0 taas on hiukkaseen liittyvä vakio joka ilmenee hitautena ja painovoimana 4. Einsteinin kaavan (4.18) mukaan energia ja massa ovat olennaisesti sama asia, sillä hiukkasen ollessa levossa ne eroavat vain vakiotekijällä c 2. Tarkastellaan seuraavassa joitakin tämän tuloksen seurauksia Sidosenergia ja potentiaalienergia Kaavasta (4.18) nähdään että arkipäiväisiin kappaleisiin liittyy valtava energia, esim. 1 kg massa vastaa energiaa J. Tämä vastaa yhden ydinvoimalan muutaman vuoden tuottoa. Käytännössä tämä kappaleiden sisältämä energia näkyy meille ainoastaan massana, siis siinä että painovoima vaikuttaa siihen sekä 4 Tämä tosin menee yleisen suhteellisuusteorian puolelle. 59

60 hitautena. Miksi se ei näy energiana johtuu siitä, että ehdottomasti suurin osa siitä on sitoutuneena stabiileihin hiukkasiin, jotka eivät muutu normaaliolosuhteissa. Ydinreaktioissa nämä kuitenkin voivat muuttua, jolloin osa energiasta voi vapautua (tai sitä voi sitoutua lisää). Tämä antaa mahdollisuuden selittää esim. radioaktiivisuuden, missä hyvin energeettistä gamma- ja hiukkassäteilyä syntyy ydinreaktiossa. Kaava (4.18) on voitu osoittaa päteväksi vertaamalla hiukkasten massojen muutoksia ydinreaktiossa. Esimerkki 1: Protonin massa on noin m p = atomimassayksikköä (u) ja elektronin massa m e = u. Niistä muodostuvan vetyatomin (isotooppi 1 1H) massa on m H = u. Huomataan että M p + m e m H u kg, eli vetyatomi on kevyempi kuin sen muodostavat protoni ja elektroni yhteensä. Kaavan E = mc 2 mukaan massavaje vastaa energiaa J eli elektronivolttia (ev. Tuo vastaa varsin tarkkaan (massan mittaustarkkuuden rajoissa) vedyn ionisaatioenergiaa. Kun vapaa protoni ja elektroni yhdistyvät vedyksi, tuon verran energiaa vapautuu. Energia on peräisin protonin ja elektronin välisestä sähköisestä vetovoimasta, ja se häviää systeemistä ultraviolettivalona. Esimerkki 2: Protoni koostuu kahdesta ylös-kvarkista ja yhdestä alas-kvarkista. Kvarkkien yhteenlaskettu massa on noin 0.01 u, eli noin prosentin protonin massasta. Ilmeisesti loppu protonin massasta on kvarkkien keskinäisestä vuorovaikutuksesta syntyvää sidosenergiaa. Se että tässä tapauksessa sidosenergia lisää massa, toisin kuin vetyatomissa, johtuu siitä että kavrkkien välinen vahva vuorovaikutus on hyvin erilainen kuin elektronin ja protonin välinen sähköinen vuorovaikutus. Osa kappaleen energiasta on sitoutuneena siinä oleviin kemiallisiin sidoksiin, jotka voivat muuttua kemiallisissa reaktioissa. Kemiallisista reaktiosta johtuva massan muutos on kuitenkin häviävän pieni verrattuna kappaleen lepomassaan m 0. Esimerkiksi 1 kg puuta palaessa vapautuu J, mikä on sama kuin massan muutos g. Tämän mittaaminen vaatisi merkittävästi suurempaa tarkkuutta kuin mihin nykyisin pystytään. Tapauksessa, missä tutkittavien kappaleiden rakenne pysyy muuttumattomana, on lepoenergia vakio. Tällöin energian säilyminen esimerkiksi hiukkasten törmätessä on sama kuin kineettisen energian säilyminen. Jos hiukkasten nopeudet ovat pieniä valonnopeuteen verrattuna, johtaa energian säilyminen suhteellisuusteoriassa samaan ehtoon kuin Newtonin teoriassa. Tarkastellaan vielä potentiaalienergiaa. Uskoen kaavaan (4.18) täytyy tähänkin liittyä massa. Tämä massa on siis varastoitunut kenttään joka synnyttää potentiaalin, esimerkiksi sähkökenttään. Makroskooppisten kappaleiden tapaukses- 60

61 sa tätä kenttään liittyvää massaa on vaikea tai mahdoton suoraan mitata, mutta teorian yleisen järkevyyden perusteella meidän lienee pakko siihenkin uskoa. Yhteenvetona, kaikki energiamuodot näkyvät kappaleen hitautena ja painovoiman vaikutuksena siihen. Siis esimerkiksi kappaleessa oleviin kemiallisiin sidoksiin liittyy energia, ja siksi myös hitaus ja painovoima, joskin tämä on häviävän pieni osuus koko kappaleen hitaudesta ja painovoimasta Liike-energia ja massa Jos kerran kaikki energiamuodot näkyvät massana, niin eikö liike-energiaankin liity massa? Varsinkin vanhemmassa suhteellisuusteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa tosiaan määritellään hiukkasen relativistinen liikemassa m rel kaavalla m rel = m 0 γ u. (4.37) Tällä tavoin määritelty liikemassa siis sisältää sekä lepomassan m 0 että hiukkasen liike-energian. Uudemmassa kirjallisuudessa liikemassan käsitteestä on kuitenkin luovuttu, sillä se tuntuu aiheuttavan enemmän sekaannuksia kuin hyötyä. Esimerkiksi yksi suosittu kysymys on se, että jos liikemassa kasvaa nopeuden mukana, niin eikö tarpeeksi nopeasti liikkuvan hiukkasen pitäisi romahtaa mustaksi aukoksi? Kun muistaa että liike-energia ja siksi myös liikemassa riippuu koordinaatistosta, niin voi päätyä johtopäätökseen että tarpeeksi nopeasti liikkuvan havaitsijan mielestä Maapallon pitäisi romahtaa mustaksi aukoksi, mikä ei tietenkään ole totta. Nuo ovat tietysti on yleiseen suhteellisuusteoriaan liittyviä kysymyksiä, jota ei voi täsmällisesti käsitellä tämän kurssin puitteissa. Todetaan kuitenkin, että yleisessä suhteellisuusteoriassa kaikki energia ja liikemäärä kytkeytyy gravitaatioon, eli avaruuden kaareutumiseen. Energia ja liikemäärä tulevat mukaan neliliikemäärän muodossa, ja lopputulos on se että olennaisesti kaareutumiseen vaikuttaa hiukkasen neliliikemäärän neliö, eli kaavan (4.28) mukaan sen lepomassa 5. Koska liikemassa käsite on hieman hankala, on käytännöksi muovautunut puhua liikkuvan kappaleen yhteydessä (kokonais)energiasta, ja massalla useimmiten tarkoitetaan kappaleen lepomassaa m 0. Jos kirjallisuudessa törmää liikemassan käsitteeseen, on sitä paras ajatella lyhennysmerkintänä suureelle m 0 γ u, ja jättää puheet massan kasvamisesta nopeuden mukana vähemmälle huomiolle. 5 Hieman käsiä heilutellen voi sanoa että tasaisella nopeudella liikkuva ja paikallaan pysyvä hiukkanen aiheuttavat yhtä suuren painovoimakentän, mutta kentän muoto ja suunta riippuu hiukkasen nopeudesta. Tämä on saman tyyppinen ilmiö kuin sähköisesti varatun hiukkasen sähkökentän muuntuminen nopeuden mukana. 61

62 4.5 Fotonit Tarkastellaan tapausta, missä hiukkasen lepomassa häviää, m 0 = 0. Kaavan (4.30) mukaan pätee tällöin E = pc. (4.38) Massaton hiukkanen on siis aina ultrarelativistisella rajalla. Sijoittamalla tämä yhtälön (4.32) skalaarimuotoon p = (E/c 2 )u saadaan u = c. Tämä tarkoittaa että lepomassaton hiukkanen liikkuu aina valonnopeudella. Myös toisinpäin, valonnopeudella liikkuvan hiukkasen lepomassan täytyy hävitä. Tämän perusteella tulkitaan että sähkömagneettisen säteilyn kvantti fotoni on tällainen hiukkanen. Sähkömagneettinen säteily saadaan Maxwellin yhtälöiden ratkaisuna tyhjiössä, kuten kappaleessa 1.2 osoitettiin. Maxwellin yhtälöiden mukaan säteilyn nopeus on valonnopeus. Sähkömagneettinen säteily on aaltoliikettä, jota kuvaa aallonpituus λ ja taajuus ν. Aaltoliikkeen perusyhtälön mukaan aallon nopeus on λν. Sähkömagneettisen aallon tapauksessa siis c = λν. Taajuuden tai aallonpituuden mukaan sähkömagneettinen säteily jaetaan eri tyyppeihin, mm. radioaallot, mikroaallot, infrapuna, näkyvä valo, sekä ultravioletti-, röntgen- ja gammasäteily. Lisäksi aaltoa kuvaa sen amplitudi, ja aallon energia on verrannollinen amplitudin neliöön. Toisaalta sähkömagneettista säteilyä voi kuvata ikään kuin se koostuisi massattomista hiukkasista, fotoneista, joilla on energiaa ja liikemäärää. Tämä erilaisten kuvailujen vastaavuus on pohjimmiltaan kvanttimekaaninen ilmiö Fotonin energia liikemäärä Vuonna 1900 Max Planck esitti, että sähkömagneettisen säteilyn energia ei ole jatkuva vaan koostuu kvanteista, joita kutsutaan fotoneiksi. Hän esitti että fotonin energian E ja taajuuden ν välillä on yhteys E = hν, (4.39) missä h = Js on Planckin vakio. Soveltamalla kaavaa (4.38) fotoniin saadaan että sillä on myös liikemäärä p = hν c = h λ. (4.40) (Myöhemmin de Broglie esitti että myös elektroneille ja muille materiaalisille hiukkasille pätee vastaava relaatio liikemäärän ja kvanttimekaanisen aallonpituuden välillä.) Fotonin neliliikemäärä (4.26) on siis ( hν p µ = c, hν ) c ˆn, (4.41) 62

63 missä ˆn on valon etenemissuuntaan osoittava yksikkövektori. Suora lasku osoittaa että fotonin neliliikemäärän pituus on 0, mikä seuraa myös kaavasta (4.28) kun lepomassa häviää. Suhteellisuusteoria ja kvanttiteoria ovat molemmat fysiikan keskeisiä teorioita. Nähdään että nämä teoriat ovat hyvin sopusoinnussa keskenään kuvatessaan sähkömagneettisia aaltoja. Koska fotoneilla on liikemäärä, aiheutuu niiden absorboitumisesta kappaleeseen voima. Tätä kutsutaan säteilypaineeksi 6. Myös peiliin, josta fotonit heijastuvat, aiheutuu säteilypaine (harjoitustehtävä). Meille tavanomaisissa yhteyksissä säteilypaine on verraten heikko ilmiö, mutta se on tärkeä esimerkiksi astrofysiikassa. Massattomuudestaan huolimatta fotonit kytkeytyvät myös gravitaatiokenttään, sillä niillä on energiaa. Tämä on taas yleiseen suhteellisuusteoriaan liittyvä kysymys, mutta karkeasti ottaen gravitaatio vaikuttaa fotoniin ikään kuin sillä olisi massa E/c Dopplerin ilmiö ja valon aberraatio Valoaalloilla esiintyy ääniaaltojen tavoin Dopplerin ilmiö. Dopplerin ilmiö tarkoittaa että havaitun valon taajuus riippuu valolähteen ja havaitsijan keskinäisestä liikkeestä. Suhteellinen liike vaikuttaa myös siihen mihin suuntaan valonsäde etenee eri havaitsijoiden suhteen. Tätä kutsutaan valon aberraatioksi. Asian selvittämiseksi tutkitaan samaa fotonia kahdesta koordinaatistosta K ja K nähtynä. Kuten edellä, oletetaan että K liikkuu nopeudella v koordinaatiston K x-akselin suuntaan. K:ssa valonsäde etenee x-akseliin nähden kulmassa θ. Fotonin rata ja liikemäärä nähtynä kummassakin koordinaatistoissa on esitetty kuvissa (a) ja (b). (a) y K θ p x (b) Yhtälön (4.41) mukaan fotonin neliliikemäärän komponentit koordinaatistossa 6 Määritelmän mukaan paine on voima pinta-alayksikköä kohden. Toisaalta voima on liikemäärän muutos aikayksikössä, joten fotonien liikemäärän muutos heijastumisessa tai absorptiossa aiheuttaa paineen. y' K' θ' p' x' 63

64 K ovat siis E/c = hν/c p x = hν c cos θ p y = hν c sin θ Vastaavasti koordinaatistossa K samat komponentit ovat E /c = hν /c p x p y = hν c = hν c cos θ sin θ Tekemällä kaavan (4.27) mukainen Lorentzin muunnos saadaan yhteys pilkullisten ja pilkuttomienn suureiden välille. Pienten sievennysten jälkeen taajuuksien ja kulmien väliset relaatiot voidaan kirjoittaa muotoon Dopplerin ilmiö ν = νγ v (1 β v cos θ) (4.42) ν cos θ = νγ v ( β v + cos θ) (4.43) ν sin θ = ν sin θ (4.44) Oletetaan nyt että säteily on lähtenyt lähteestä, joka on levossa koordinaatistossa K. Tällöin kaava (4.42) antaa koordinaatiston K mukana liikkuvan havaitsijan mittaaman taajuuden ν, kun tunnetaan lähettäjän taajuus ν, koordinaatistojen välinen nopeus v ja signaalin etenemiskulma θ (mitattuna lähettäjän koordinaatistossa). Jos valolähde lähestyy suoraan havaitsijaa kohti, on θ = π, ja kaava (4.42) saadaan sievennettyä muotoon ν 1 + v/c = ν 1 v/c. (4.45) Tässä tapauksessa ν > ν, siis havaitun säteilyn taajuus on suurempi kuin lähettäjän lepokoordinaatistossa. Tätä kutsutaan sinisiirtymäksi. Suoraan havaitsijasta poispäin loittonevalle lähteelle θ = 0, jolloin ν 1 v/c = ν 1 + v/c. (4.46) 64

65 Nyt ν < ν, mitä kutsutaan punasiirtymäksi. Suhteellisuusteorian mukaan myöskin kohtisuora liike aiheuttaa Dopplerin siirtymän. Mikäli valolähde ohittaa havaitsijan siten että θ = π/2, näkee havaitsija yhtälön (4.42) mukaan taajuuden ν ν =. (4.47) 1 v2 c 2 Tässä täytyy kuitenkin ottaa huomioon se että kohtisuoruus on suhteellista. Mikäli tarkoitamme kohtisuoralla ohituksella sitä että θ = π/2, täytyy käyttää kaavoja (4.43) ja (4.44). Ensimmäisestä saadaan tulos cos θ = β, jonka avulla voidaan jälkimmäisestä laskea vastaanottajan mittaama taajuus ν = ν(1 cos 2 θ) = ν 1 v2 c. (4.48) 2 Dopplerin ilmiötä kuvaava yleinen lauseke (4.42) poikkeaa vastaavasta epärelativistisesta kaavasta tekijän 1/γ v = 1 v 2 /c 2 = v2 /c 2 + osalta. Yleisenä piirteenä suhteellisuusteorian antamille korjauksille on se, että ne sisältävät v/c:n toisia tai korkeampia potensseja. Kohtisuoran liikeen aiheuttama Dopplerin siirtymä onkin täysin suhteellisuusteoreettinen ilmiö. Dopplerin ilmiön on tärkeä esimerkiksi tähtitieteessä ja kosmologiassa. Tähdistä tulevassa valossa on samoja spektriviivoja kuin tietyillä alkuaineilla maan päällä mitattuna, mutta ne ovat siirtyneet hieman eri taajuuksille. Tästä voidaan päätellä tähtien radiaalinen liike meitä kohti tai meistä poispäin 7. Muutamaa lähintä galaksia lukuunottamatta muista galakseista tuleva valo on aina säännönmukaisesti punasiirtynyt. Näyttää siis siltä että kaikki kaukaiset galaksit liikkuvat meistä poispäin, mikä kosmologiassa tulkitaan seuraukseksi koko maailmakaikkeuden laajenemisesta. Valon aberraatio Kuten yllä huomattiin, kulmat θ ja θ eivät ole samat. Yhtälöistä (4.43) ja (4.44) saadaan relaatio tan θ sin θ = γ v (cos θ β) = sin θ c2 v 2 c cos θ v. (4.49) Huomataan että fotonin suunnan muuttuminen ei riipu taajuudesta. Yllä oleva suhteellisuusteoreettinen tulos poikkeaa klassisesta tuloksesta taaskin tekijällä 1/γ v. 7 Ongelma on se että emme tiedä mikä on näkösäteen ja nopeuden välinen kulma, eli sekä θ että θ ovat tuntemattomia. Koska sivuttaisen liikkeen vaikutus Dopplerin siirtymään on kuitenkin tekijällä v/c pienempi kuin radiaalisen liikkeen, voi pienien nopeuksien kohdalla sivuttaisliikkeen jättää huomiotta ja laskea radiaalisen nopeuden olettamalla että θ = 0 tai θ = π 65

66 Tunnetuin esimerkki valon aberraatiosta on kiintotähtien näennäisen paikan muuttuminen Maan rataliikkeen vaikutuksesta. Tämän ilmiön havaitseminen ja selittäminen ja 1700-luvun vaihteessa oli itse asiassa ensimmäinen suora osoitus siitä että Maa todella kiertää Aurinkoa. 4.6 Hiukkasreaktion kynnysenergia Kahden hiukkasen keskinäisessä sironnassa voi syntyä uusia hiukkasia, jos törmäysenergia on riittävän korkea. Uusien hiukkasten syntyyn tarvittava kynnysenergia voidaan laskea neliliikemäärän säilymisestä. Tarkastellaan tilannetta jossa kaksi protonia (p) törmää toisiinsa, ja törmäyksessä syntyy uusi protoni-antiprotoni pari. Antiprotoni ( p) on protonin lepomassan omaava hiukkanen, jonka varaus on protonin varauksen suuruinen, mutta vastakkaismerkkinen. Protoni-antiprotoni parin syntyprosessi voidaan esittää reaktioyhtälönä p + p p + p + (p + p). Symmetrinen törmäys Tarkastellaan aluksi tilannetta jossa törmäävät protonit liikkuvat vastakkaisiin suuntiin yhtä suurilla nopeuksilla. Alkutilassa protoneiden neliliikemäärät ovat kaavan (4.24) mukaisesti p µ 1 = (γ u m p c, p x, 0, 0). p µ 2 = (γ u m p c, p x, 0, 0). (4.50) Lopputilassa meillä on neljä hiukkasta. Oletetavasti pienin mahdollinen törmäysenergia saadaan siinä tapauksessa että kaikki hiukkaset ovat törmäyksen jälkeen levossa. Tällöin p µ 3 = p µ 4 = p µ 5 = p µ 6 = (m p c, 0, 0, 0). Neliikemäärän säilyminen tarkoittaa sitä että jokaisen komponentin on säilyttävä erikseen. Siis p µ 1 + p µ 2 = p µ 3 + p µ 4 + p µ 5 + p µ 6, µ = Selvästikkin tämä toteutuu kun 2γ u = 4. Siis γ u = 2, jolloin kummankin protonin liike-energia on E k = cp 0 m p c 2 = m p c 2. Kummallakin törmääjällä pitää siis olla kineettistä energiaa oman massansa verran. Vaadittava nopeus on 66

67 u = 3/2c 0.866c. Levossa oleva kohtio Tarkastellaan sitten tilannetta missä nopeasti liikkuva protoni törmää laboratoriossa paikallaan olevaan protoniin. Alkutilan neliliikemäärät ovat p µ 1 = (γ u m p c, p x, 0, 0). p µ 2 = (m p c, 0, 0, 0). (4.51) Lasketaan tässä välissä hiukkasen 1 neliliikemäärän pituuden neliö, sillä sitä tarvitaan kohta. Kaavaa (4.28) soveltamalla saadaan m 2 pc 2 = γ 2 um 2 pc 2 p 2 x. (4.52) Tällä kertaa lopputilan hiukkaset eivät voi olla levossa laboratoriokoordinaatistossa, sillä silloin liikemäärä ei säilyisi. Sen sijaan minimaalinen törmäysenergia saavutetaan silloin kun lopputilan hiukkaset ovat levossa systeemin massakeskipisteen suhteen. Massakeskipistekoordinaatistossa lopputilan neliliikemäärät ovat siis p µ 3 = p µ 4 = p µ 5 = p µ 6 = (m p c, 0, 0, 0). (4.53) Nyt neliliikemäärän säilymistä ei voi soveltaa suoraan, sillä yhtälöiden (4.51) ja (4.53) liikemäärät on lausuttu eri koordinaatistoissa. Varmuuden vuoksi jälkimmäisen yhtälön nelivektorit on merkitty pilkuilla. Voisimme tietysti määrittää massakeskipistekoordinaatiston nopeuden laboratorion suhteen ja tehdä sitten Lorentz-muunnoksen jolla saisimme kaikki neliliikemäärät samaan koordinaatistoon. Kuitenkin on olemassa helpompi tapa, joka perustuu neliskalaarien käyttöön. Lasketaan ensin hiukkassysteemin kokonaisneliliikemäärä alkutilassa ja lopputilassa. Alkutilassa saamme Tämän nelivektorin pituuden neliö on P µ t = p µ 1 + p µ 2 = ((1 + γ u )m p c, p x, 0, 0). (4.54) S 2 t = (1 + γ u ) 2 m 2 pc 2 p 2 x = (2 + 2γ u )m 2 pc 2. (4.55) Jälkimmäinen muoto on saatu yhtälön (4.52) avulla. Lopputilan kokonaisneliliikemäärä on P µ t = p µ 3 + p µ 4 + p µ 5 + p µ 6 = (4m p c, 0, 0, 0). (4.56) Sen pituuden neliö on St 2 = 16m 2 pc 2. (4.57) 67

68 Liikemäärän ja energian säilymislakien takia alkutilan ja lopputilan kokonaisneliliikemäärät ovat samat. Koska kyseessä on sama nelivektori ja koska nelivektorin pituus säilyy Lorentz-muunnoksessa, täytyy kaavoissa (4.55) ja (4.57) laskettujen pituuksien olla samat. Tämä oivallus on keskeinen temppu, jolla monien hiukkasreaktioiden selvittely helpottuu ratkaisevasti: neliskalaarien arvot voi laskea missä tahansa inertiaalikoordinaatistossa, joten on paras valita se koordinaatisto jossa lasku on mahdollisimman helppo. Vaatimalla St 2 = St 2, saamme kaavoista (4.55) ja (4.57) tuloksen γ u = 7. Törmääjänä toimivan protonin liike-energia on E k = (γ u 1)m p c 2 = 6m p c 2. Törmääjällä pitää siis olla kineettistä energiaa 6 kertaa oman massansa verran. Vaadittava nopeus on u = 48/49c 0.980c. Liikemäärän säilymisen takia tällaisessa epäsymmetrisessä törmäyksessä vaadittiin selvästi suurempi liike-energia kuin ensin tarkastellussa symmetrisessä törmäyksessä. Tämä on (eräs) syy siihen miksi suurissa hiukkaskiihdyttimissä ei yleensä käytetä kiinteitä kohtioita, vaan törmäytetään kaksi hiukkassuihkua vastakkain. 68

69 Luku 5 Satelliittipaikannus 1 GPS (Global Positioning System) on ensimmäinen, tunnetuin ja käytetyin avoimesti saataville tullut satelliittipaikannusjärjestelmä. Yhdysvaltalaisen GPS:n lisäksi nykyään on käytössä venäläinen GLONASS. Euroopan Galileo on vielä rakenteilla, kun taas Kiinan, Japanin ja Intian järjestelmillä ei ole globaalia kattavuutta. GPS perustuu nimellisesti 24:ään mutta käytännössä yli 30:een maata noin kilometrin säteellä (20100 km korkeudella) kiertävään satelliittiin. Satelliiteissa on tarkat atomikellot ja ne lähettävät mikroaaltotaajuudella koodattua aikamerkkiä, jossa on lisäksi mukana tarkat satelliitin ratatiedot. Koska GPS:n käyttäjä ei käytännössä voi tietää kellonaikaa riittävän tarkasti (valolle 1 metri = 3.34 ns), hänellä on neljä tuntematonta koordinaattia selvitettävänään: t, x, y, z. Koska satelliittien paikat (x i, y i, z i ) ja niistä tulevan signaalin lähetysaika (t i ) tiedetään, GPS vastaanotin voi laskea oman paikkansa vertaamalla neljästä satelliitista tulevia signaaleja. Olettamalla että signaali kulkee valonnopeudella, havaitsijan ja satelliittien aika- ja paikkakoordinaateille saadaan c 2 (t t 1 ) 2 = (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 + (z z 1 ) 2 c 2 (t t 2 ) 2 = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) 2 c 2 (t t 3 ) 2 = (x x 3 ) 2 + (y y 3 ) 2 + (z z 3 ) 2 c 2 (t t 4 ) 2 = (x x 4 ) 2 + (y y 4 ) 2 + (z z 4 ) 2 Käytännössä signaalit eivät etene aivan valonnopeudella, sillä ilmakehä ja ionosfäärin plasma hidastavat sitä hieman. Tästä aiheutuva virhe on kuitenkin varsin pieni 2. Mikäli käytettävissä on useampia satelliitteja, tulee paikannus tarkemmaksi ja tulokselle voi laskea myös virhearvion. 1 Tähdellä merkityt luvut ja kappaleet ovat ylimääräistä asiaa. Niitä voidaan käsitellä luennoilla mikäli aikaa on, mutta tenttiin ei niistä tule kysymyksiä. 2 Signaalin nopeus ilmassa ja plasmassa riippuu taajuudesta, joten useampia taajuuksia vertaamalla virhe saadaan lähes kokonaan eliminoitua. 69

70 Merkitään satelliitin nopeutta v:llä. Ajan venymäkaavan mukaan satelliitin kellon ominaisaika t sat eroaa maanpäällisen kellon ajasta t kaavalla ) t sat = 1 (1 v2 c t v2 t. (5.1) 2 2c 2 Tämän lisäksi yleinen suhteellisuusteoria, missä käsitellään painovoimaa, antaa lisäkorjauksen niin, että edellisen kaavan sijasta pitää kirjoittaa ( t sat = 1 + Φ Φ ) E v2 t. (5.2) c 2 2c 2 Tässä Φ = GM/r on painovoimapotentiaali, M on maan massa, r etäisyys maan keskipisteestä, Φ E = GM/r E on painovoimapotentiaali maan pinnalla ja r E on maapallon säde. Testimassaan m kohdistuva painovoima saadaan potentiaalista kaavalla f = m Φ. [Totea että tämä on ekvivalentti kaavan (1.11) kanssa.] Ympyräradalla saadaan keskeiskiihtyvyydestä ja painovoimasta ehto Sijoittamalla tämä kaavaan (5.2) saadaan [ t sat = 1 + GM c 2 r E v 2 = GM r. (5.3) ( 1 3 r E 2 r )] t. (5.4) Nähdään että matalilla radoilla, r < 3 2 r E, ajan venymällä on suurempi vaikutus kuin painovoimalla ja satelliitin kello käy hitaammin kuin maassa. GPS-satelliittien radoilla on toisin päin, satelliitin kello käy korjaustekijällä nopeammin. Jos suhteellisuusteoriasta tulevaa korjausta ei otettaisi huomioon, joutuisivat GPS-satelliittien ja maassa olevan valvomon atomikellot jo 10 minuutin kuluttua synkronoinnista 267 ns aikaeroon. Naiivisti voisi ajatella että tämä vastaa 80 metrin paikannusvirhettä, ja usein kuuleekin sanottavan että GPS:n toiminta riippuu suhteellisuusteoriasta. Ihan tarkalleen näin ei kuitenkaan ole. Satelliitit nimittäin ovat samalla etäisyydellä, joten niiden kellot käyvät keskenään samaa aikaa. Ja yllä olevissa paikannuskaavoissa ainoastaan eri satelliiteista tulevien signaalien keskinäisellä aikaerolla on merkitystä: kaikissa signaaleissa oleva yhteinen virhe ei vaikuta paikanmääritykseen, vaan se näkyisi virheenä ajan t määrittämisessä. Tavallisen käyttäjän olisi kuitenkin lähes mahdotonta huomata edes millisekunnin aikavirhettä 3. 3 Kellojen käyntiero vaikuttaisi myös satelliitin paikan laskentaan sen lähettämien ratatietojen perusteella. Kuitenkin vuorokauden aikana kertyvä noin 38 mikrosekunnin ero kerrottuna satelliitin ratanopeudella on vain noin 0.14 metriä. GPS-satelliittien ratatietoja päivitetään joka tapauksessa päivittäin, jolloin tuokin virhe jäisi tavalliselta käyttäjältä huomaamatta. 70

71 Yllä laskettu kellojen erilainen käyntinopeus on kyllä helposti havaitavissa satelliittien ja valvomon kelloja sykronoitaessa, ja ero vastaa tarkalleen teorian ennustetta. Nykyiset paikannuslaittteet voivat myös yhdistää signaaleja eri systeemeistä, esimerkiksi GPS:stä ja GLONASS:sta, jolloin satelliittien erilaisista radoista johtuvat erilaiset kellokorjaukset tulisivat esiin. Näistä syistä johtuen suhteellisuusteoreettiset korjaukset otetaankin huomioon säätämällä ennen laukaisua satelliitin kello käymään hieman hitaasti, niin että kiertoradalla se käy samaa tahtia valvomon kellon kanssa. 71

72 Luku 6 Takaisin Newtonin mekaniikkaan Palataan nyt takaisin klassiseen mekaniikkaa, jossa siis oletetaan että nopeudet ovat paljon valonnopeutta pienempiä. Syynä on se että haluamme esittää Mekaniikka 1:ltä tutun Newtonin mekaniikan yleisemmässä muodossa, jolloin myös matemaattinen formalismi muuttuu. Tämän voisi tehdä ottaen huomioon myös suhteellisuusteoreettiset efektit, mutta silloin esitystapa muuttuisi varsin mutkikkaaksi. Käyttämällä yksinkertaisempaa epärelativistista lähestymistapaa itse asia toivottavasti välittyy paremmin. Lisäksi tiedämme klassisen mekaniikan olevan erittäin hyvä approksimaatio todellisuudelle, kun nopeudet ovat pieniä. Newtonin mekaniikan perustana ovat siis kolme liikelakia, joiden oletamme olevan voimassa: N1: Jos mikään voima ei vaikuta hiukkaseen niin se jatkaa liikettään vakionopeudella (tai pysyy paikallaan). N2: Hiukkasen kiihtyvyys on suoraan verrannollinen hiukkaseen vaikuttavaan voimaan F ja on voiman suuntainen. Kaavana dp dt = F, (6.1) missä liikemäärä on määritelmän mukaan p = mv ja massa m on hiukkasesta riippuva vakio. N3: Jos hiukkanen vaikuttaa toiseen hiukkaseen jollakin voimalla, niin tämä toinen hiukkanen vaikuttaa ensimmäiseen hiukkaseen täsmälleen saman suuruisella, mutta vastakkaissuuntaisella voimalla. Lisäksi voimat oletetaan hiukkasia yhdistävän janan suuntaisiksi. Pohjimmiltaan nämä ovat havaintoihin perustuvia kokeellisia tuloksia, joita ei Newtonin mekaniikan puitteissa edes yritetä johtaa mistään syvemmästä teoriasta. 72

73 Alkuverryttelyksi ja Mekaniikka 1:llä opiskellun Newtonin mekaniikan kertaamiseksi johdetaan suuret säilymislait, eli liikemäärän, energian ja liikemäärämomentin säilyminen lähtien Newtonin laeista. 6.1 Hiukkasjoukko ja säilymislait Tarkastellaan N massapisteen n = 1, 2,..., N muodostamaa järjestelmää. Tarvitaan seuraavat käsitteet: Hiukkasten massat ovat m 1, m 2,..., m N. Ne oletetaan vakioiksi. Hiukkasen j hiukkaseen k aiheuttama sisäinen voima (internal force) on F j k. Hiukkaseen k vaikuttavien sisäisten voimien summa on F (i) k = N F j k. (6.2) j=1 j k Hiukkaseen k vaikuttava ulkoinen voima (external force) on F (e) k. Näistä hyvin yleisistää määritelmistä voidaan yllä esitettyjen liikelakien avulla johtaa useita tärkeitä tuloksia, jotka ovat siis voimassa kaikille määritelmät täyttäville systeemeille Liikemäärän säilymislaki Newtonin toisen lain avulla hiukkasen k liikeyhtälö on dp k dt = F (i) k + F (e) k. (6.3) Määritellään hiukkasjoukon kokonaisliikemäärä P summana yksittäisten hiukkasten liikemääristä. Siis P = N p k = k=1 Sen aikaderivaatalle saadaan lauseke dp dt = N k=1 dp k dt = N k=1 73 N m k v k. (6.4) k=1 F (i) k + N k=1 F (e) k. (6.5)

74 Newtonin kolmannen lain mukaan kahden hiukkasen väliset voimat toteuttavat ehdon F k j = F j k, (6.6) joten sisäisten voimien summa häviää: N k=1 F (i) k = N k=1 N F j k = 0. (6.7) Esimerkiksi termit F 1 2 ja F 2 1, jotka molemmat esiintyvät summassa, kumoavat toisensa. Summassa on pidettävä huoli siitä että ei yritetä laskea hiukkasen itseensä kohdistamaa voimaa, sillä esimerkiksi painvoimalain sokea soveltaminen antaisi sille äärettömän arvon. Vaihtoehtoisesti voitaisiin määritellä hiukkasen itseensä kohdistama voima nollaksi. Määritellään hiukkasjoukkoon vaikuttava ulkoinen kokonaisvoima summana yksittäisiin hiukkasiin vaikuttavista ulkoisista voimista, F (e) = j=1 j k N k=1 F (e) k. (6.8) Tästä seuraa, että hiukkassysteemin kokonaisliikemäärän P aikaderivaatta on yhtä kuin ulkoinen voima F (e) : dp dt = F (e). (6.9) Tästä voimme lukea liikemäärän säilymislain: jos systeemiin ei vaikuta ulkoisia voimia (tai niiden summa F (e) häviää), niin systeemin kokonaisliikemäärä on vakio. Määritellään vielä systeemin massakeskipisteen paikkakoordinaatti R = N k=1 m kr k N k=1 m, (6.10) k sekä systeemin kokonaismassa M = N m k. (6.11) k=1 Koska hiukkasten massat oletettiin vakioiksi, voidaan kokonaisliikemäärälle (6.4) kirjoittaa N dr k P = m k dt = d N m k r k = M dr dt dt. (6.12) k=1 74 k=1

75 Tätä käyttäen voidaan kaava (6.9) kirjoittaa muotoon F (e) = dp dt = M d2 R dt 2. (6.13) Näemme, että systeemin massakeskipiste liikkuu ikään kuin koko massa olisi keskittynyt massakeskipisteeseen, johon ulkoinen voima vaikuttaa. Systeemin sisäiset voimat eivät siis vaikuta massakeskipisteen liikkeeseen, vaikka ne saattavat esimerkiksi muuttaa systeemin muotoa. Eräs tuloksen (6.13) seuraus on, että emme voi pelkän liikkeen perusteella päätellä keilapallon koostuvan atomeista, tai protonin koostuvan kvarkeista. Toisaalta, jos esimerkiksi tähti ei näytä liikkuvan kaavan (6.13) mukaisesti, voimme päätellä että systeemin massakeskipiste ei ole tähden keskipisteessä, vaan sillä täytyy olla himmeä (ja siksi näkymätön) seuralainen, esimerkiksi planeetta tai kääpiötähti Kulmaliikemäärän säilymislaki Hiukkasjoukon kokonaiskulmaliikemäärä (tai liikemäärämomentti) origon suhteen määritellään summana yksittäisten hiukkasten kulmaliikemääristä, L = N r k p k. (6.14) k=1 Derivoidaan L ajan suhteen: dl dt = = N k=1 N k=1 ( drk dt m kv k + r k dp ) k dt r k F (i) k + N k=1 r k F (e) k. (6.15) 75

76 Tässä on käytetty identiteettiä v k v k = 0 ja hiukkaseen k vaikuttava voima on jaettu sisäiseen ja ulkoiseen osaan. Ensimmäisen termin sisäisille voimille saadaan N k=1 = 1 2 = 1 2 = 1 2 r k F (i) k = N k=1 N k=1 N k=1 N k=1 N r k F j k j=1 j k N (r k F j k + r k F j k ) j=1 j k N (r k F j k + r j F k j ) j=1 j k N (r k r j ) F j k = 0. (6.16) j=1 j k Tässä kolmas yhtäsuuruus on saatu vaihtamalla summausindeksien nimet jälkimmäisessä termissä, neljäs voiman ja vastavoiman laista (6.6) ja viimeinen siitä että keskinäinen voima F j k ja hiukkasten yhdysvektori r k r j oletettiin yhdensuuntaisiksi. Määritellään hiukkasjoukkoon kohdistuva ulkoinen vääntömomentti (origon suhteen) summana yksittäisiin hiukkasiin kohdistuvista vääntömomenteista: N (e) = N k=1 r k F (e) k. (6.17) Näin saadaan dl dt = N (e). (6.18) Siis kulmaliikemäärän aikaderivaatta on yhtä kuin ulkoinen vääntömomentti. Tästä on luettavissa kulmaliikemäärän säilymislaki: Mikäli hiukkassysteemiin vaikuttava ulkoinen vääntömomentti jonkin pisteen suhteen on nolla, niin sen kulmaliikemäärä ko. pisteen suhteen säilyy. Kannattaa huomata että laskumme oli täysin yleinen: vaikka laskimme kulmaliikemäärän ja vääntömomentin origon suhteen, emme missään vaiheessa tehneet mitään oletusta origon sijainnista hiukkasten suhteen. 76

77 6.1.3 Energian säilymislaki Kun hiukkassysteemi siirtyy tilasta 1 tilaan 2, tekevät voimat työn W 12, joka voidaan laskea summana yksittäisiin hiukkasiin kohdistuneesta työstä: W 12 = N (2) k=1 (1) F k dr k. (6.19) Ilmaistaan hiukkasten paikat r k (t) parametrin t avulla, joka muuttuu arvosta t 1 tilassa 1 arvoon t 2 tilassa 2. Tehdään integraaliin (6.19) muuttujan vaihto (2) (1) F k dr k = t2 t 1 F k dr k dt. (6.20) dt Käyttäen liikeyhtälöä tämä integraali voidaan kirjoittaa muodossa (2) = = (1) t2 t 1 F k dr k = / (2) (1) t2 t 1 ( d 1 dt 2 m kvk 2 dv k m k dt v kdt ) dt = Summaamalla yli hiukkasten saadaan siis missä T on hiukkassysteemin kineettinen energia (2) (1) d ( ) 1 2 m kvk m kv 2 k. (6.21) W 12 = T 2 T 1, (6.22) T = N k=1 1 2 m kv 2 k. (6.23) Tutkitaan seuraavaksi, voidaanko W 12 ilmaista myös voimien avulla. Sanotaan, että voimakenttä F (r) on konservatiivinen, jos sen tekemä työ on riippumaton kuljetusta tiestä. Tällöin voiman viivaintegraalin on hävittävä kaikille suljetuille poluille l (mieti miksi): F dr = 0, l. (6.24) l l Stokesin lauseen mukaan on F dr = ( F ) ds, (6.25) S 77

78 missä S on suljetun käyrän l rajoittama pinta. Tässä = ê x x + ê y y + ê z z. (6.26) Jos nyt voimakenttä F (r) on pyörteetön, toisin sanoen F (r) = 0, (6.27) niin se on konservatiivinen. Kääntäen voidaan osoittaa että konservatiivinen voimakenttä on välttämätä pyörteetön. Vektorilaskennasta tiedämme, että skalaarifunktion gradientti toteuttaa edellä olevan ehdon. Siis muotoa F (r) = V (r) (6.28) oleva voimakenttä on konservatiivinen. Skalaarifunktiota V (r) kutsutaan potentiaaliksi tai potentiaalienergiaksi. Hiukkassysteemissä työ jakaantuu ulkoisten ja sisäisten voimien tekemään työhön W 12 = = N (2) k=1 (1) (2) N k=1 (1) F k dr k F (e) k dr k + N k=1 N j=1 j k (2) (1) F j k dr k. Oletetaan, että ulkoiset voimat ovat konservatiivisia. Kirjoitetaan F (e) k = k U (e) k (r k), missä nablan alaindeksi k kertoo että se operoi r k :hon. (Potentiaalilla U on alaindeksi siltä varalta, että hiukkaseen kohdistuva voima voi riippua hiukkasen paikan lisäksi hiukkasen tyypistä, esim. massasta tai sähkövarauksesta.) Ulkoisten voimien tekemälle työlle saadaan = = W (e) 12 = N k=1 (1) (2) N k=1 (2) (1) N k=1 ( (2) (1) k U (e) k (r k) dr k U (e) k dx k + x k du (e) k = N k=1 (e) U k dy k + y k / (2) U (e) (1) ) (e) U k dz k z k k (r k). (6.29) 78

79 Oletetaan, että myös sisäiset voimat ovat konservatiivisia. Tällä tarkoitetaan sitä, että jokaiselle hiukkasparille (j, k), missä j < k, on olemassa potentiaali U jk (r j, r k ) siten että F j k = k U jk (r j, r k ) F k j = j U jk (r j, r k ). (6.30) [Huomaa että voiman ja vastavoiman laista (6.6) seuraa että U jk voi riippua vain erotuksesta r j r k, U jk (r j r k ), mutta tämä ei ole oleellista energian säilymisen kannalta.] Sisäisten voimien tekemäksi työksi saadaan W (i) 12 = = = = N k 1 (2) k=1 j=1 (1) k 1 (2) N k=1 j=1 (1) k 1 (2) N k=1 j=1 N k 1 k=1 j=1 (1) (F j k dr k + F k j dr j ) / (2) (1) [ k U jk (r j, r k ) dr k + j U jk (r j, r k ) dr j ] du jk (r j, r k ) U jk (r j, r k ). (6.31) Tässä kolmas yhtäsuuruus seuraa siitä että laskettaessa differentiaalia du jk (r j, r k ) pitää ottaa osittaisderivaatat kaikkien muuttujien (r j, r k ) = (x j, y j, z j, x k, y k, z k ) suhteen, mikä vastaa juuri edellisessä muodossa olevia gradientteja muuttujien r j ja r k suhteen. Määritellään hiukkassysteemin kokonaispotentiaali (huomaa että kukin hiukkaspari lasketaan vain kerran) V = N k=1 U (e) k (r k) + N k 1 U jk (r j, r k ). (6.32) k=1 j=1 Yhdistämällä kaavoista (6.22) ja (6.29)-(6.32) saadaan W 12 = T 2 T 1 = (V 2 V 1 ). (6.33) Toisin sanoen, saamme energian säilymislain: jos hiukkassysteemiin vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia, niin systeemin kokonaisenergia T + V on vakio. 79

80 6.2 Magneettisista voimista Newtonin kolmannen lain mukaan hiukkasten toisiinsa kohdistamat voimat ovat yhtä suuria mutta vastakkaissuuntaisia, F k j = F j k. Lisäksi keskinäinen voima F j k ja hiukkasten yhdysvektori r k r j oletettiin yhdensuuntaisiksi. Näiden avulla johdetut säilymislait vaikuttavat olevan voimassa kaikissa tilanteissa. Silti esimerkiksi magneettiset voimat näyttävät rikkovan Newtonin kolmatta lakia. Sähköiset ja magneettiset voimat noudattavat Lorentzin voimalakia, jonka mukaan sähkökenttä E ja magneettikenttä B kohdistavat varattuun hiukkaseen voiman F = q(e + v B). (6.34) Tässä q on hiukkasen sähköinen varaus ja v on sen nopeus. Staattisissa tilanteissa sähköinen voima ei aiheuta murheita Newtonin kolmannen lain suhteen, sillä staattinen sähkökenttä noudattaa samanlaista 1/r 2 lakia kuin painovoima. Lisäksi staattinen sähkökenttä osoittaa radiaalisesti kohti varattua hiukkasta tai siitä poispäin, jolloin hiukkasten välinen voima on yhdensuuntainen niiden yhdysvektorin kanssa. Sen sijaan magneettinen voima on hankalampi tapaus. Tarkastellaan tilannetta jossa varattu hiukkanen liikkuu x-akselia pitkin ja toinen varattu hiukkanen on y-akselia pitkin. Hetkellä t ensimmäinen hiukkanen on origon kohdalla ja toinen kohdassa y = 1. Liikkuva varattu hiukkanen luo pienen lokalisoituneen sähkövirran. Siihen liittyvän magneettikentän voi laskea Biotin ja Savartin laista, jonka mukaan infinidesimaalisen virtaelementin magneettikenttä on db(r) = µ 0 di (r r ). (6.35) 4π r r 3 Tässä r on virtaelementin paikka ja yksittäisen hiukkasen tapauksessa itse virtaelementi on di = qv. Siispä hetkellä t hiukkanen 1 aiheuttaa magneettikentän, joka hiukkasen 2 kohdalla on yksikkövektorin ê z suuntainen. Tällöin hiukkaseen 2 vaikuttaa magneettinen voima suuntaan ê x. Sen sijaan hiukkasen 2 aiheuttama magneettikenttä häviää hiukkasen 1 kohdalla, joten mitään vastavoimaa ei näytä olevan. Myöskään hiukkasten toisiinsa kohdistamat vääntömomentit eivät summaudu nollaan, toisin kuin kaavassa (6.16). Näyttäisi siis siltä että magneettiset voimat rikkoisivat Newtonin kolmatta lakia, sekä sen lisäksi vielä liikemäärän ja liikemäärämomentin säilymislakeja. Dynaamisissa tilanteissa myös sähköiset voimat voivat syyllistyä vastaaviin rikkomuksiin, sillä silloin sähkökentät eivät enää noudata staattisista tilanteista tuttuja kaavoja. Nämä ovat kuitenkin pintapuolisesta tarkastelusta aiheutuvia näköharhoja. Sähkömagnetiikan kursseilla osoitetaan että sähkö- ja magneettikentän muodostamaan sähkömagneettiseen kenttään voi sisältyä energiaa, liikemäärää ja lii- 80

81 kemäärämomenttia. Yllä olevassa tilanteessa vastavoima tavallaan kohdistuu sähkömagneettiseen kenttään, johon sitoutuu liikemäärää ja pyörimismäärää. On siis väärin sanoa että varatut hiukkaset vuorovaikuttavat keskenään sähköisillä ja magneettisilla voimilla. Sen sijaan on parempi sanoa että varatut hiukkaset luovat ympärilleen sähkömagneettisen kentän, jonka kanssa muut varatut hiukkaset vuorovaikuttavat. Tästä päästäisiinkin kohti klassista kenttäteoriaa, mutta siihen ei tällä kurssilla syvennytä. 6.3 Häiriöteoriaa Mekaniikan ongelmien tarkka ratkaisu on monesti hankalaa, jopa mahdotonta. Usein riittävän tarkkaan ratkaisuun voidaan päästä käyttämällä yksinkertaisempaa häiriölaskua. Itse asiassa kysymys on vain ratkaisun kehittämisestä Taylorin sarjaksi jonkin (pienen) parametrin suhteen, jolloin laskuun otetaan mukaan vain sarjan alimmat termit (Taylorin sarjasta on pieni kertaus liitteessä B). Tämä toimii mikäli sarja eli häiriökehitelmä suppenee tarpeeksi nopeasti parametrin potenssien mukana. Seuraava esimerkki havainnollistanee tätä hyvin yleistä menetelmää. Ilmanvastus heittoliikkeessä Tutkitaan ilmanvastuksen vaikutusta heittoliikkeeseen. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että vastusvoima on suoraan verrannollinen nopeuteen, eli F vastus = kv. Liikeyhtälö on m r = mgê y kṙ, (6.36) missä aikaderivaattaa on merkitty pisteellä. Tämän ratkaisu on muotoa r(t, k). Häiriökehitelmä Olettaen, että ilmanvastus on suhteellisen pieni, on mahdollista kehittää r(t, k) Taylorin sarjaksi parametrin k:n suhteen: r(t, k) = r 0 (t, k) + r 1 (t, k) + r 2 (t, k) +..., (6.37) missä alaindeksi antaa termin kertaluvun k:ssa (r i k i ). Sijoitetaan tämä liikeyhtälöön (6.36). Tämän yhtälön tulee toteutua kussakin k:n kertaluvussa erikseen, sillä se on ainoa tapa jolla yhtälö voi toteutua millä tahansa k:n arvolla. Keräämälä nollannen kertaluvun termit yhteen saadaan yhtälö m r 0 = mgê y. (6.38) Tämä on tuttu heittoliikkeen yhtälö ilman ilmanvastusta. Se voidaan integroida, jolloin saadaan sopivilla alkuehdoilla (alkunopeus V, alkupaikka origossa) x 0 (t) = V x t, y 0 (t) = V y t 1 2 gt2. (6.39) 81

82 Yhtälön (6.36) ensimmäisen kertaluvun termit antavat m r 1 = kṙ 0. (6.40) Termi ṙ 0 saadaan äsken lasketusta nollannen kertaluvun ratkaisusta. Tätä yhtälöä integroimalla saadaan korjaukset x 1 (t) = k 2m V xt 2, y 1 (t) = k ( 1 m 2 V yt 2 1 ) 6 gt3. (6.41) Häiriökehitelmää voitaisiin jatkaa korkeampiin kertalukuihin. Lausekkeet pidentyisivät, mutta tämän esimerkin tapauksessa ne pysyisivät t:n polynomeina, joten differentiaaliyhtälöiden ratkominen olisi suoraviivaista. Toisen kertaluvun liikeyhtälöksi tulisi m r 2 = kṙ 1. (6.42) Termi kṙ 1 on todellakin toista kertalukua k:n suhteen, sillä yllä laskettu r 1 sisältää yhden k:n. Ottamalla ratkaisuun mukaan vain nollas ja ensimmäinen kertaluku saadaan karkea käsitys siitä miten ilmanvastus vaikuttaa heittoliikkeeseen. Tässä approksimaatiossa kappale osuu maahan kun y 0 (t) + y 1 (t) = 0. Näennäisesti ehto antaa kolmannen asteen polynomin t:lle, mutta taaskin ehdon voi vaatia toteutuvan jokaisella k:n potenssilla erikseen. Tästä saadaan maahan osumisen hetki sarjakehitelmänä k:n suhteen, sekä heiton pituus kv 2 y t = 2V y g 2 3 mg +... (6.43) 2 x = 2V xv y g 8 3 kv x V 2 y mg (6.44) Ilmanvastuksen takia heitto jää lyhyemmäksi kuin tyhjiössä, mikä kuulostaa järkevältä tulokselta. Analyyttinen ratkaisu Tässä yksinkertaisessa tapauksessa heittoliikkeelle on olemassa myös analyyttinen ratkaisu, ( x(t) = mv x k y(t) = gmt k 1 e kt m ), ( gm 2 + mkv y + k 2 ) ( ) 1 e kt m. (6.45) 82

83 Analyyttistä ratkaisua voi verrata yllä olevaan häiriökehitelmään joko numeerisesti tai esittämällä ratkaisussa olevan eksponenttifunktion Taylorin sarjana. Tällainen vertailu paljastaa että suurilla t:n arvoilla häiriökehitelmään pitää ottaa mukaan aina vain enemmän termejä riittävän tarkkuuden saavuttamiseksi. Yleisesti ottaen häiriösarjan tarkkuuden ja suppenemisen arvioiminen on tärkeä mutta usein hankala kysymys. 83

84 Luku 7 Lagrangen mekaniikkaa Siirrytään nyt hieman abstraktimpaan mekaniikan formulointiin johtamalla Lagrangen liikeyhtälöt Newtonin laeista. Sitä ennen meidän täytyy kuitenkin laajentaa hieman koordinaattien käsitettä. 7.1 Yleistetyt koordinaatit Newtonin mekaniikassa käytetään hiukkasten paikkojen ilmaisemiseen paikkavektoreita r k, k = 1, 2,..., N. Useissa tapauksissa on sen sijaan hyödyllistä käyttää yleistettyjä koordinaatteja. Ne määritellään funktioina jotka riippuvat hiukkasten paikkakoordinaateista, ja lisäksi niissä voi olla ekplisiittinen aikariippuvuus. Systeemissä on N kappaletta hiukkasia ja jokaiseen hiukkaseen liittyy 3 paikkakoordinaattia. Jotta yleistetyt koordinaatit kuvaisivat systeemin tilan täydellisesti, täytyy niitäkin olla 3N kappaletta. Siis yleisesti ottaen meidän täytyy määritellä yleistettyjä koordinaatteja kuvaavat funktiot q i, i = 1, 2,..., 3N: tai q i = q i (r 1,..., r N ; t) i = 1,..., 3N. (7.1) q i = q i (x 1, y 1, z 1,..., x N, y N, z N ; t) i = 1,..., 3N. (7.2) Tässä on tärkeää huomata että yleistetty koordinaatti q i voi riippua useamman hiukkasen paikasta. Joskus tosin tarkastelemme yleistettyjä koordinaatteja joille q 3n 2 = q 3n 2 (x n, y n, z n ; t), q 3n 1 = q 3n 1 (x n, y n, z n ; t), q 3n = q 3n (x n, y n, z n ; t), missä n = 1,..., N. Tässä jokaiselle hiukkaselle määritellään oma muunnos, mutta kyseessä ei välttämättä ole mikään yksinkertainen koordinaatiston kierto tai siirto. 84

85 Periaatteessa ainoa vaatimus paikka- ja yleistettyjen koordinaattien välillä on, että niillä on yksi yhteen vastaavuus (ainakin jossain määrittelyalueessa). Toisin sanoen vaaditaan, että on olemassa käänteismuuunnos r k = r k (q 1,..., q 3N ; t) k = 1,..., N. (7.3) Tämä vaatimus voidaan ilmaista siten että muunnokseen liittyvä niin kutsuttu Jacobin determinantti ei saa olla nolla, kaavana q 1 q D = (q 1,..., q 3N ) x 1 3N x 1 (x 1,..., z N ) = (7.4) q 1 z N Yksinkertaisimmillaan yleistetyissä koordinaateissa ei ole kysymys kovin uudesta asiasta. Niitä on varmasti käytetty jo Mekaniikka 1 kurssilla, vaikka silloin asiaan ei kiinnitetty sen suurempaa huomiota. Nimittäin jo siirtymää karteesisesta koordinaatistosa sylinteri- tai pallokoordinaatistoon voi pitää yleistettyjen koordinaattien käyttöön ottona. Karteesisessa koordinaatistossahan hiukkasen paikka ilmoitetaan SI-järjestelmän mukaisesti metreinä (tai vastaavana matkana) kolmessa eri suunnassa. Pallokoordinaatistossa sen sijaan mukaan tulee kaksi kulmaa, jotka lausutaan asteina tai radeina. Muunnoksessa (7.1) on kyse vain tämän yleistämisestä monimutkaisempiin muunnoksiin. Kuten yllä todettiin, N:stä hiukkasesta koostuvan systeemin täydelliseen kuvailuun tarvitaan periaatteessa 3N koordinaattia, olivat ne sitten tuttuja paikkakoordinaatteja tai abstraktimpia yleistettyjä koordinaatteja. Kuitenkin monissa tapauksissa erilaisista systeemiä koskevista rajoitteista tai oletuksista johtuen todellisten vapausasteiden määrä on pienempi. Esimerkiksi Mekaniikka 1:llä tutkitun yksinkertaisen heilurin kuvaamiseen tarvitaan oikeastaan vain yksi koordinaatti, kulma jonka lanka muodostaa pystysuoran suunnan kanssa. Toisena esimerkkinä voi ajatella noin atomista koostuvaa kännykkää. Koska atomit ovat keskinäisillä sidosvoimilla ryhmittyneet tiettyyn pysyvään muotoon, kyseistä jäykkää kappaletta voi kuvata kuudella koordinaatilla: 3 koordinaattia antaa massakeskipisteen paikan ja 3 kulmaa kännykän asennon. Mikäli kännykkä lasketaan pöydälle näyttö ylöspäin, riittää kolme koordinaattia: 2 koordinaattia antaa massakeskipisteen paikan pöydällä ja kolmas latauspistokkeen suunnan. Yleistettyjen koordinaattien kanssa monimutkaistenkin lisäehtojen ja oletusten huomioiminen on usein helpompaa kuin pelkkien paikkakoordinaattien kanssa Matemaattista pyörittelyä Lähestytään asiaa nyt hieman toisesta suunnasta. Oletetaan että yleistetyt koordiaatit on jo määritelty kaavan (7.1) tavalla, ja katsotaan muutamia käänteismuun- 85 q 3N z N

86 noksen r k = r k (q 1,..., q 3N ; t) (7.5) seuraamuksia. Hiukkasjoukon liikettä kuvaavat nyt siis yleistetyt koordinaatit jotka ovat ajan funktioita, q i (t). Käytetään aikaderivaatan lyhennysmerkkinä pistettä, df dt f (7.6) mille tahansa ajan funktiolle f(t). Erityisesti siis dq i dt = q i. (7.7) Nopeus on edelleen määritelmänsä mukaisesti paikkakoordinaattien aikaderivaatta. Käyttämällä derivoinnin ketjusääntöä käänteismuunnoksen antamiin paikkakoordinaatteihin, saadaan nopeudeksi v k = dr k dt = r k t + i r k q i q i. (7.8) Tässä siis ajan suhteen otettu kokonaisderivaatta d/dt on laskettu auki osittaisderivaattoina sekä eksplisiittisen aikariippuvuuden että yleistettyjen koordinaattien kautta tulevan aikariippuvuuden summana. Nähdään että v k riippuu myös yleistettyjen koordinaattien aikaderivaatoista q i. Täten v k :n komponentit ovat seuraavaa muotoa olevia funktiota f (q 1,..., q 3N ; q 1,..., q 3N ; t). (7.9) Jatkossa tarkastellaan paljon funktioita, jotka ovat tätä samaa muotoa. Näille määritellään osittaisderivaatat f q i, f q i, f, (i = 1,..., 3N). (7.10) t Näissä osittaisderivaatoissa muuttujia q i, q i ja t käsitellään toisistaan riippumattomina. Kannattaa huomata että alkuperäisen oletuksemme (7.1) mukaan paikka- ja yleistettyjen koordinaattien välinen muunnos riippu vain koordinaattiarvoista ja ajasta, ei nopeudesta. Siispä käänteismuunnos (7.5) ei myöskään riipu aikaderivaatoista q i, joten paikkavektoreille r k (7.5) pätee r k q i = 0. (7.11) 86

87 Lasketaan osittaisderivaatta v k / q i. Kaavasta (7.8) saadaan ( ) v k = r k q j + r k. (7.12) q i q i q j t j Huomaa että summausindeksi on vaihdettu j:ksi, jotta i ei esiintyisi kahdessa eri merkityksessä. Koska r k ja siten r k / q i ja r k / t ovat riippumattomia q i :stä, saadaan v k q i = j r k q j q j q i. (7.13) Koska q i ja q j käsitellään osittaisderivoinneissa toisistaan riippumattomina lukuun ottamatta tapausta i = j, pätee q j q i = δ ij, (7.14) missä on käytetty Kroneckerin deltaa, { 1 kun i = j, δ ij = 0 kun i j. (7.15) Siten saadaan mitä kohta tullaan käyttämään. Kaava (7.16) voidaan kirjoittaa v k q i = r k q i, (7.16) q i dr k dt = r k q i. (7.17) Voidaan huomata, että vasemmalla puolella olevien derivointien järjestys on oleellinen, sillä r k ei riipu ollenkaan q i :stä. Osoitetaan, että derivointien järjestys voidaan kuitenkin muuttaa lausekkeessa d r k. (7.18) dt q i Koska r k q i = r k q i (q 1,..., q 3N ; t) (7.19) 87

88 niin d r k = dt q i j 2 r k q j q i q j + 2 r k t q i = 2 r k q j + 2 r k q j i q j q i t ( ) = r k q j + r k q i q j j t = v k q i, (7.20) sillä osittaisderivointien järjestys voidaan aina vaihtaa ja q j ja q i tulkitaan osittaisderivoinnissa toisistaan riippumattomiksi. 7.2 Lagrangen liikeyhtälöt Niin kutsutussa Lagrangen mekaniikassa Newtonin liikeyhtälö on kirjoitetaan yleistettyjen koordinaattien avulla. Seuraavassa johdetaan Lagrangen liikeyhtälöt lähtien Newtonin liikeyhtälöistä dp k dt = F k, k = 1,..., N. (7.21) Kerrotaan molemmat puolet pistetulona r k / q i :lla ja summataan k:n yli: k dp k dt r k q i = k F k r k q i, i = 1,..., 3N. (7.22) Yksinkertaisuuden vuoksi summausrajat (k = 1,..., N) on jätetty merkitsemättä. Huomaa, että yhtälöryhmät (7.21) ja (7.22) ovat täysin ekvivalentteja koska muunnoksen r k :n ja q i :n välillä vaaditaan olevan yksi yhteen. Määritellään oikean puolen suure yleistetyksi voimaksi Q i : Q i k F k r k q i. (7.23) Muokataan yhtälön (7.22) vasemmalla puolella olevaa termiä: dp k dt r k = d ( p k r ) k p k d r k q i dt q i dt q i = d ( m k v k v ) k m k v k v k dt q i q i = d [ ( )] 1 dt q i 2 m kvk 2 ( ) 1 q i 2 m kvk 2, (7.24) 88

89 missä toisella rivillä käytettiin tuloksia (7.16), (7.20) ja p k = m k v k. Näin ollen voidaan (7.22) kirjoittaa ( ) d T T = Q i. (7.25) dt q i q i Tässä T on kineettinen energia. Tämä on Lagrangen liikeyhtälö. On tärkeää huomata että tämä ei ole yhtälö kineettiselle energialle T, vaan tarkoituksena on ratkaista hiukkasten radat lausuttuna yleisten koordinaattien q i avulla. Useimmiten Lagrangen liikeyhtälöllä tarkoitetaan sitä erikoistapausta, jossa voimat ovat konservatiivisia. Tarkastellaan sitä nyt lähemmin. Konservatiiviselle voimalle pätee F k = k V (r 1,..., r N ; t). (7.26) Tällöin yleistetty voima on Q i k = k F k r k = k V r k q i q i k ( V x k + V y k + V ) z k x k q i y k q i z k q i = V q i. (7.27) Toisin sanoen yleistetty voima saadaan suoraan derivoimalla potentiaalia, kun se on ilmaistu yleistettyjen koordinaattien funktiona: V = V (q 1,..., q 3N ; t). (7.28) Koska V ei tässä riipu q i :stä, voidaan (7.27) aivan yhtä hyvin kirjoittaa muodossa Q i = V + d ( ) V. (7.29) q i dt q i Näin saadaan kaavasta (7.25) konservatiivisille systeemeille Lagrangen liikeyhtälö ( ) d L L = 0, i = 1,..., 3N, (7.30) dt q i q i missä L = T V on Lagrangen funktio. Yleisten koordinaattien avulla lausuttuna se on muotoa L = L (q 1,..., q 3N ; q 1,..., q 3N ; t), ja monissa tapauksissa sen voi tulkita olevan systeemin liike-energian ja potentiaalienergian erotus. 89

90 7.2.1 Mitä on tapahtunut? Mitä tapahtuu siirryttäessä Newtonin yhtälöistä Lagrangen yhtälöihin d dt dp k dt ( ) L q i = F k, k = 1,..., N, (7.21) L q i = 0, i = 1,..., 3N? (7.30) Yleistetyt koordinaatit voidaan usein valita edullisemmin kuin paikkavektorit. Vektoriyhtälön sijasta meillä on skalaariyhtälö. Lisäksi itse funktio L ei muutu koordinaattimuunnoksessa, ainoastaan vain sen riippuvuus koordinaateista. Liikkeen rajoitusehdot on usein helpompi ottaa huomioon. Helpompi yleistettävyys (esim. q i voi olla magneettikentän voimakkuus) toimii myös nopeudesta riippuvalle potentiaalille V (q 1,..., q 3N ; q 1,..., q 3N ; t) jos vain yhtälö (7.29) on voimassa. Rajoitus: liikeyhtälö (7.30) pätee vain konservatiivisille voimille, joten kitkaa ei sallita. Vaatimus: osattava lausua L = T V yleistettyjen koordinaattien avulla. Erityisesti kineettinen energia on osattava lausuttava muodossa T = k 1 2 m kv 2 k = k ( ) 1 2 m r k k q i + r 2 k, (7.31) q i i t missä toinen potenssi on ymmärrettävä pistetulona. Tästä seuraa, että T on muotoa T = a + i a i q i + i a ij q i q j, (7.32) missä a, a i ja a ij ovat funktioita jotka riippuvat muuttujista q i (i = 1,..., 3N) ja t. j 90

91 7.3 Esimerkkejä Tutkitaan Lagrangen liikeyhtälöä muutamassa yksinkertaisessa tapauksessa. Esim. 1. Yksi hiukkanen karteesisissa koordinaateissa On hyvä tutkia myös tämä yksinkertaisin tapaus, jossa yleistetyt koordinaatit ovat tutut q 1 x, q 2 y ja q 3 z. Tällöin potentiaalifunktio on muotoa V = V (x, y, z) ja liike-energia on Siispä Lagrangen funktioksi saadaan Lagrangen yhtälö (7.30) antaa 0 = d ( ) L dt ẋ 0 = d ( ) L dt ẏ 0 = d ( ) L dt ż T = 1 2 mv2 = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2). (7.33) L = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) V (x, y, z). (7.34) L x = d V (mẋ) + dt x L y L z = d V (mẏ) + dt y Tuloksena on (niin kuin pitääkin) tutut Newtonin yhtälöt: (7.35) (7.36) = d V (mż) + dt z. (7.37) mẍ = V, mÿ = V, m z = V x y z. (7.38) Esim. 2. Yksi hiukkanen napakoordinaateissa Napakoordinaatit x-y-tasossa määrittelee yhtälö r = ê x r cos φ + ê y r sin φ. (7.39) Yleistetyt koordinaatit ovat nyt q 1 r ja q 2 φ. Tällöin V = V (r, φ). Kineettisen energian laskemiseksi tarvitaan ṙ = ê x (ṙ cos φ r φ sin φ) + ê y (ṙ sin φ + r φ cos φ). (7.40) Kineettiselle energialle saadaan tästä T = 1 2 mṙ2 = 1 ( ) 2 m ṙ 2 + r 2 φ2. (7.41) Tässä osuus 1 2 mṙ2 tulee radiaalisesta liikkeestä ja 1 2 mr2 φ2 kulmaliikkeestä. 91

92 y rdφ dr dφ r Lagrangen funktio on siis L = 1 ( ) 2 m ṙ 2 + r 2 φ2 Osittaisderivaatoille saadaan Lagrangen yhtälöt ovat siis x L ṙ = mṙ, L φ = mr2 φ, d dt V (r, φ). (7.42) L r = mr φ 2 V r (7.43) L φ = V φ. (7.44) d dt (mṙ) ( ) = mr φ 2 V r mr 2 φ (7.45) = V φ. (7.46) Tulkinta: Yhtälössä (7.46) mr 2 φ = m(r ṙ)z = L z on kulmaliikemäärän z-komponentti, kuten voidaan todeta pienellä laskulla. Oikealla puolella esiintyvä suure on taas yleistetyn voiman määritelmän mukaan V φ = Q φ = F r φ = F rê φ = (r F ) z = N z, (7.47) missä ê φ = ê x sin φ + ê y cos φ on yksikkövektori atsimuuttisuuntaan. Toisin sanoen (7.46) voidaan kirjoittaa muodossa L z = N z, joka on erikoistapaus aiemmin johdetusta yhtälöstä (6.18). Yhtälö (7.45) puolestaan voidaan kirjoittaa muotoon m r mr φ 2 = Q r = F r, (7.48) missä r φ 2 = vφ 2 /r on ympyräliikkeen keskeiskiihtyvyys. Harjoitus: laske läpi esimerkin kaikki välivaiheet. 92

93 Vastaavalla tavalla kuin yhtälöissä ( ) voidaan johtaa hiukkasen kineettisen energian lausekkeet sylinteri- ja pallokoordinaateissa. x z φ ρ z Sylinterikoordinaateissa (ρ, φ, z), joissa y r = ê x ρ cos φ + ê y ρ sin φ + zê z, (7.49) saadaan tulokseksi T = 1 2 m ( ρ 2 + ρ 2 φ2 + ż 2 ). (7.50) z θ r y φ x Pallokoordinaateissa (r, θ, φ), joissa r = r(ê x cos φ + ê y sin φ) sin θ + ê z r cos θ, (7.51) saadaan tulokseksi T = 1 2 m ( ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ φ 2 ). (7.52) Usein esiintyviä potentiaaleja ovat seuraavat: (a) kappaleen potentiaalienergia vakiossa gravitaationkentässä V = mgh, missä g on gravitaatiokiihtyvyys, m 93

94 kappaleen massa ja h korkeus jolla kappale on, ja (b) venytetyn jousen potentiaalienergia V = 1 2 ks2, missä s on jousen pituuden muutos sen lepopituudesta ja k jousivakio (harjoitus). Esim. 3. Atwoodin pudotuskoe Kahta punnusta yhdistävä venymätön naru liukuu kitkatta kiinteällä pyörällä. Tämä on esimerkki järjestelmästä, jossa rajoitusehtojen vaikutuksesta on vain yksi oleellinen koordinaatti x. x l-x joten m 1 m 2 Tälle saadaan potentiaalienergiaksi V = m 1 gx m 2 g(l x), T = 1 2 m 1ẋ m 2ẋ 2, (7.53) L = 1 2 (m 1 + m 2 )ẋ 2 + m 1 gx + m 2 g(l x). (7.54) Tästä saadaan L ẋ = (m L 1 + m 2 )ẋ, x = (m 1 m 2 )g, (7.55) jolloin Lagrangen yhtälö antaa liikeyhtälön Tämän ratkaisu on x = 1 2 (m 1 + m 2 )ẍ = (m 1 m 2 )g. (7.56) ( m1 m 2 m 1 + m 2 ) gt 2 + v 0 t + x 0. (7.57) Esim. 4. Helmi tasaisesti pyörivässä tangossa Tämä on esimerkki ajasta riippuvasta rajoitusehdosta. y r φ=ωt x 94

95 Koska φ = ωt, ainoa vapaa koordinaatti on r. Olettaen V = 0 saadaan Lagrangen yhtälöstä saadaan 0 = d dt Tämän yleinen ratkaisu on L = T = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ω 2 ). (7.58) ( ) L L ṙ r = m r mω2 r. (7.59) r = A exp(ωt) + B exp( ωt). (7.60) Tässä on kaksi tuntematonta vakiota A ja B, kuten kuluu olla toisen asteen differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa. Näiden arvot voidaan määrittää kun tunnetaan helmen paikka ja nopeus jollain ajanhetkellä. 7.4 Nopeudesta riippuvat voimat Tarkastellaan kahta tärkeää esimerkkiä nopeudesta riippuvista voimista, nimittäin sähkömagneettista Lorentzin voimaa (6.34) sekä ilmanvastusta Lorentzin voima Lagrangen yhtälöitä (7.30) johdettaessa oletettiin että hiukkasiin vaikuttava voima on konservatiivinen, eikä riipu nopeudesta. Tällöin yleistetty voima voitiin kirjoittaa muotooon Q i = d V V. (7.29) dt q i q i Samanlainen yleistetyn voiman lauseke saadaan johdettua myös hiukkasen nopeudesta riippuvalle Lorentzin voimalle F = q (E + v B) (6.34) Tämä ei sinänsä ole yllättävää, sillä Lorentzin voima on konservatiivinen. Sen voi perustella itselleen esimerkiksi sillä että magneettinen voima ei tee työtä (v (v B) = 0), joten siihen ei liity energian muutoksia, ja staattinen sähkökenttä puolestaan noudattaa samanlaista 1/r 2 lakia kuin konservatiiviseksi tiedetty painovoima. Tämä puolivillainen selitys tosin ei kata ajallisista muutoksista aiheutuvia induktiosähkökenttiä. 95

96 Sen enempää asiaa perustelematta todetaan että Sähkömagnetismi 2 -kurssilla osoitetaan kuinka sähkö- ja magneettikentät voidaan lausua kahden potentiaalin avulla muodossa E = ϕ A (7.61) t B = A. (7.62) Tässä funktiota ϕ = ϕ(r, t) kutsutaan skalaaripotentiaaliksi, ja se on useimmiten sama kuin staattisen sähkökentän potentiaali. Vektorikenttää A = A(r, t) kutsutaan vektoripotentiaaliksi. Näiden avulla voidaan määritellä Lorentz-voiman nopeudesta riippuvaksi potentiaaliksi V (r, v, t) = q [ϕ(r, t) v A(r, t)]. (7.63) Sen että yllä oleva potentiaali todellakin antaa Lorentzin voiman voi tarkistaa suoraviivaisella (mutta hieman hikisellä) laskulla. Riittää osoittaa että yhtälössä (7.29) määritellyn voiman karteesiset komponentit todellakin saadaan potentiaalista muodossa F x = d V V dt v x x, (7.64) samoin y- ja z-komponenteille (tässä siis yksinkertaisuuden vuoksi yleistetyt koordinaatit ovat samat kuin karteesiset, ja osittaisderivaatoissa v x ja x käsitellään toisistaan riippumattomina). Potentiaalin avulla lausuttuna Lorentzin voiman lauseke on siis samaa muotoa kuin konservatiiviselle voimalle johdettu (7.29), joten myös Lagrangen liikeyhtälöt toimivat sellaisenaan Ilmanvastus Kuten todettua, yleisimmin käytetty Lagrangen yhtälöiden muoto (7.30) on voimassa vain konservatiivisille voimille, joten kitkavoimia ei voi ottaa huomioon. Kuitenkin esimerkiksi ilmanvastusta voidaan käsitellä liikeyhtälöiden yleisemmän muodon (7.25) avulla. Oletetaan että systeemiin vaikuttavat konservatiiviset voimat esitetään potentiaalilla V. Niiden lisäksi hiukkaseen vaikuttaa ilmanvastus F (d) = kv. Ilmanvastus voidaan esittää Rayleighin dissipaatiofunktion F avulla muodossa F (d) = F v, (7.65) F = k 2 (v2 x + v 2 y + v 2 z). Ensimmäisessä yhtälössä osittaisderivaatta / v pitää ymmärtää gradienttina, joka paikan sijasta operoi nopeuteen. Koska gradienttia ei oteta paikan suhteen, voima ei ole konservatiivinen, vaikka se voidaankin esittää potentiaalin avulla. 96

97 Dissipaatiofunktion fysikaalinen merkitys selviää laskemalla hiukkasen tekemä työ voimaa vastaan sen siirtyessä pienen matkan dr: dw = F (d) dr = F (d) vdt = k(v 2 x + v 2 y + v 2 z)dt. (7.66) Nähdään että teho dw/dt jolla hiukkanen menettää energiaa vastusvoiman takia on 2F. Määritelmän (7.23) mukaisiksi yleistetyn voiman komponenteiksi tulee Q j = F (d) r = F q j v r q j = F v v = F. (7.67) q j q j Kolmannessa yhtäsuuruudessa on käytetty tulosta (7.16) ja neljännessä derivaatan ketjusääntöä. Lagrangen liikeyhtälöksi tulee siis d dt ( ) L q i L q i + F q i = 0 (7.68) Lagrangen funktio L = T V sisältää liike-energian ja konservatiivisten voimien potentiaalin, mutta niiden lisäksi pitää tietää myös vastusvoimaa kuvaava dissipaatiofunktio F (joka sekin pitää osata lausua yleistettyjen koordinattien avulla). Tulos on yleistettävissä myös useamman hiukkasen systeemiin määrittelemällä systeemin dissipaatiofunktio summana yksittäisten hiukkasten funktioista. 97

98 Luku 8 Variaatiolaskenta ja Lagrangen yhtälöt Edellisessä luvussa johdimme Lagrangen liikeyhtälöt varsin suoraviivaisesti lähtemällä liikkeelle Newtonin liikelaista. Kuitenkin Lagrangen yhtälöt voidaan johtaa myös täysin toisenlaisella tavalla käyttäen tiettyä minimiperiaatetta. Tällaisella ajattelulla on pitkät perinteet, sillä esimerkiksi 1700-luvun alkupuolella ranskalainen matemaatikko ja filosofi Pierre Louis Maupertuis arveli että Kaikkien mahdollisten liikkeiden joukosta luonto valitsee sen, joka toteutuu pienimmällä vaikutuksella. Tämä on tietysti sukua Fermat in periaatteelle jonka mukaan valo kulkee kahden pisteen välillä sitä reittiä johon kuluu lyhin aika. Tarkimmin asian muotoili 1800-luvun alkupuolella mekaniikkaa ja optiikkaa tutkinut irlantilainen matemaatikko William Hamilton, joka käytti minimiperiaatteensa muotoiluun samoihin aikoihin kehitettyä variaatiolaskentaa. 8.1 Hamiltonin periaate Yleistettyjen koordinaattien q i (i = 1,..., n) muodostamaa avaruutta kutsutaan konfiguraatioavaruudeksi. Systeemin tilaa kullakin ajanhetkellä kuvaa yksi piste tässä abstraktissa avaruudessa. Ajan kuluessa tämä piste (yleensä) liikkuu ja siten piirtää polun konfiguraatioavaruudessa. Edellä johdettiin Lagrangen yhtälöt d dt ( ) L q i L q i = 0. (7.30) Tämä on differentiaaliyhtälö. Toisin sanoen se on differentiaalinen eli lokaali ehto, joka sitoo systeemin tilan jollain hetkellä t infinitesimaalisen lähellä oleviin 98

99 aikoihin t + dt. Tästä ehdosta voidaan johtaa systeemin aikakehitys pitkänkin aikavälin yli, kun differentiaaliyhtälö ratkaistaan. Joissain tapauksissa on hyödyllistä Lagrangen yhtälön (7.30) sijasta käyttää integraalimuotoista (eli globaalia) ehtoa. Siinä lausutaan suoraan ehto polulle konfiguraatioavaruudessa kahden pisteen välillä, vastaten äärellistä aikaväliä (t 1, t 2 ). Mekaniikan integraaliehdon nimi on Hamiltonin periaate: Olkoon annettuna konfiguraatioavaruuden kaksi pistettä, ja niitä vastaavat ajanhetket t 1 ja t 2. Systeemin liike näiden välillä tapahtuu siten, että integraalilla S = t2 t 1 L dt, missä L = T V (8.1) on stationaarinen arvo (käytännössä useimmiten minimi). q 2 t 2 Mahdollisia polkuja kahden pisteen välillä. Näistä toteutuu se joka antaa pienimmän arvon integraalille (8.1). t 1 q 1 Asiaa ei ole pakko ajatella aivan näin abstraktisti. Kuten aiemmin nähtiin, yleistetyt koordinaatit voidaan valita vastaamaan tavallisia paikkakoordinaatteja. Tällöin Hamiltonin pariaate sanoo että hiukkanen liikkuu paikasta r 1 paikkaan r 2 sellaista rataa r(t) pitkin, että Lagrangen funktion aikaintegraali t 2 t 1 L(r(t)) dt saa pienimmän mahdollisen arvon. Seuraavassa pyritään ymmärtämään Hamiltonin periaate tarkemmin, ja osoitetaan, että se on ekvivalentti Lagrangen yhtälöiden kanssa. Sitä ennen tarvitaan kuitenkin joitain uusia matemaattisia työkaluja. 8.2 Variaatiolaskentaa Olemme käyttäneet (reaaliarvoisia) funktioita, jotka riippuvat yhdestä muuttujasta kuten A(y), tai useammasta muuttujasta A(y 1, y 2,..., y n ). Nyt haluamme yleistää funktioihin A, jotka riippuvat äärettömästä määrästä muuttujia y(x), kun x 1 < x < x 2. Toisin sanoin, vastaten mitä tahansa funktiota y(x), on olemassa yksi luku A(y). Tällaista funktion funktiota kutsutaan funktionaaliksi. 99

100 Yksinkertainen esimerkki funktionaalista on määrätty integraali A(y) = x2 x 1 y(x)dx. (8.2) Integroinnin tulos on (reaali)luku, joka tietysti riippuu siitä mikä integroitava funktio y(x) on. Seuraavassa tutkimme hieman yleisempää funktionaalia, joka on muotoa x2 ( A(y) = f y(x), dy(x) ) dx, x dx, (8.3) x 1 missä f on jokin kolmen muuttujan funktio joka riippuu toisesta funktiosta y, sen derivaatasta dy/dx sekä integrointimuuttujasta x. Esimerkiksi [ x2 (dy ) ] 2 A(y) = + xy 2 dx. (8.4) dx x 1 Kutsutaan jatkossa funktiota y(x) radaksi, sillä sitä voi ajatella hiukkasen y-koordinaattina kaksiulotteisessa avaruudessa. Lisäksi oletamme, että integrointivälin päätepisteissä funktion y arvot on kiinnitetty vakioiksi, eli y(x 1 ) = y 1 ja y(x 2 ) = y 2. Vaadimme siis että hiukkasen rata alkaa ja päättyy tietyistä annatetuista pisteistä. Kaikki funktiot oletetaan matemaattisesti hyvin käyttäytyviksi (vähintään jatkuviksi ja 2 kertaa derivoituviksi). Seuraavaksi haluamme tutkia stationaaria arvoja, eli käytännössä minimejä tai maksimeja. Tavallisen yksimuuttujaisen funktion stationaariset arvot saadaan derivaatan nollakohdasta da(y) = 0. (8.5) dy Tällainen kohta voi olla joko lokaali tai globaali minimi taikka maksimi, tai sitten terassipiste 1 Miten tämä yleistetään funktionaaliin? Toisin sanoen miten derivoida funktionaalia funktion suhteen? Ratkaisu. Oletetaan, että rata y(x) antaa funktionaalin (8.3) ääriarvon (joko minimin tai maksimin). Tarkastellaan tällöin uutta rataa y(x, α) = y(x) + αη(x), (8.6) joka on lähellä alkuperäistä. Tässä η(x) on funktio jolle η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0, ja α on uusi riippumaton parametri jolla säädetään paljonko alkuperäistä rataa y(x) 1 Esimerkiksi funktion x 3 derivaatan nollakohtaa pisteessä x =

101 muutetaan. Ajatuksena on siis tehdä pieni muutos hiukkasen rataan ja katsoa kuinka funktinaalin arvo muuttuu. Muodostetaan parametrista α riippuva funktionaali A(α) = x2 x 1 f(y(x, α), dy(x, α), x)dx. (8.7) dx Jatkossa käytetään merkintää dy/dx ẏ lyhentämään kaavoja. Jotta y(x) antaisi A:lle stationaarisen arvon, kuten oletettiin, täytyy A(α):n derivaatan parametrin α suhteen hävitä alkuperäisen radan kohdalla, eli kohdassa α = 0: da(α) dα α=0 = 0. (8.8) Meidän täytyy siis laskea derivaatta auki: da(α) dα = = x2 x 1 x2 x 1 df dα ( f y η + f ẏ (y(x, α), ẏ(x, α), x)dx dη dx Jälkimmäisestä termistä saadaan osittaisintegroinnilla x2 x 1 f dη ẏ dx dx = / x 2 x 1 f ẏ η ) dx. (8.9) x2 x 1 d dx ( ) f ηdx. (8.10) ẏ Sijoitustermi häviää koska vaadimme että η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0. Saadaan siis da(α) x2 [ f dα = x 1 y d ( )] f ηdx. (8.11) dx ẏ Erityisesti integraali (8.11) pitää hävitä kaikille funktiolle η(x). Koska aina voidaan valita η(x):ksi funktio joka on nollasta poikkeava ainoastaan jonkin satunnaisesti valitun pisteen mielivaltaisen pienessä lähiympäristössä, voi ehto (8.8) toteutua vain jos hakasulkulauseke kaavassa (8.11) häviää kaikkialla. Siis f y d dx ( ) f = 0 x. (8.12) ẏ Tämä Eulerin yhtälö on variaatiolaskennan päätulos. Se on täysin samaa muotoa kuin Lagrangen liikeyhtälö, kun tehdään sijoitukset f L, y q i ja x t. Nimi variaatiolaskenta tulee siitä, että yhtälössä (8.6) esiintyvää funktio y:n muutosta usein kutsutaan y:n variaatioksi δy = η(x)dα. Tästä lisää myöhemmin. 101

102 8.2.1 Muutama esimerkki variaatiolaskuista Esim. 1. Tavalliselle integraalille A(y) = x2 eli optimoitava funktio on f = y. Tällöin f y d dx x 1 y(x)dx (8.2), ( f ẏ ) 1. (8.13) Siispä Eulerin yhtälö ei koskaan toteudu. Integraalilla (8.2) siis ei ole ääriarvoja yleisessä funktiojoukossa y(x). Tämä on tietysti odotettu tulos, sillä sopivalla funktion valinnalla integraalille saadaan mielivaltaisen suuri tai pieni arvo. Esim. 2. Määrättävä kahden pisteen välinen lyhin etäisyys tasossa. Tasossa viivaelementin pituus on ds = ( ) 2 dy dx 2 + dy 2 = 1 + dx == 1 + ẏ dx 2 dx. (8.14) Täytyy siis etsiä integraalin minimi. Nyt A = 2 1 ds = x2 x joten Eulerin yhtälössä olevat osittaisderivaatat ovat Eulerin yhtälö tulee muotoon ( ) 2 dy dx (8.15) dx f = f(ẏ) = 1 + ẏ 2, (8.16) f y f ẏ d dx ( = 0 (8.17) = ẏ 1 + ẏ 2. (8.18) ) ẏ 1 + ẏ 2 = 0, (8.19) joten täytyy olla ẏ 1 + ẏ 2 = C = vakio. (8.20) 102

103 Nähdään, että y toteuttaa differentiaaliyhtälön ẏ = a, (8.21) missä vakio a on a = C 1 C 2. (8.22) Differentiaaliyhtälön ratkaisu on y = ax + b (8.23) eli suoran viivan yhtälö. Esim. 3. Minimaalinen pyörähdyspinta y-akselin ympäri Etsitään pinta-alaltaan pienin pinta, joka on pyörähdyssymmetrinen y-akselin ympäri. Reunaehtona on se että pyörähdyspintaa rajaavan käyrän tulee kulkea pisteiden (x 1, y 1 ) ja (x 2, y 2 ) kautta, sillä välin päätepisteethän oli kiinnitetty. Fysikaalinen esimerkki on vaikkapa saippuakalvo kahden renkaan välillä. Käyräelementin pituus on ds = dx 2 + dy 2 = 1 + ẏ 2 dx. Yhden suikaleen pinta-ala on on siten da = 2πxds = 2πx 1 + ẏ 2 dx. Jätetään vakiotekijä 2π pois, jolloin minimoitavaksi jää integraali A = x2 x 1 x 1 + ẏ 2 dx. (8.24) Huomaa että tässä integrointi on x-akselia pitkin, mutta pinta saadaan pyöräyttämällä käyrää y-akselin ympäri (piirrä kuva!). Koska f = x 1 + ẏ 2 ei riipu eksplisiittisesti y:stä, tulee Eulerin yhtälö muotoon 0 = d dx ( ) f = d ẏ dx ( ) xẏ. (8.25) 1 + ẏ 2 103

104 Tästä saadaan ratkaisu (a ja b ovat integroimisvakioita) xẏ 1 + ẏ 2 = a x 2 ẏ 2 = a 2 ( 1 + ẏ 2) ẏ ( 2 x 2 a 2) = a 2 dy dx = a x2 a 2 a dx y(x) = x2 a 2 = b + a ln (x + ) x 2 a 2 ( x = b + a arcosh. a) Tässä arcosh on hyperbolinen käänteiskosini, joka määritellään logaritmifunktion avulla. On ehkä kätevämpää ratkaista tästä x(y), sillä pintahan saatiin pyöräyttämällä käyrä y-akselin ympäri. Käyrälle saadaan yhtälö ( ) y b x(y) = a cosh a = a (e y b a ) + e y b a. (8.26) Viimeinen muoto on hyperbolisen kosinin määritelmä eksponenttifunktioiden summana. Yllä oleva ratkaisu tunnetaan ketjukäyränä, syystä joka jääköön harjoitustehtäväksi. Vakiot a ja b määräytyvät käyrän päätepisteistä a=1.0 b= Minimaalinen pyörähdyspinta toteutettuna saippuakalvolla ( fun3_en/exper2/exper2.htm) sekä yksinkertainen ketjukäyrä (8.26). 104