LORENTZIN MUUNNOSTEN FYSIKAALISIA SEURAAMUKSIA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LORENTZIN MUUNNOSTEN FYSIKAALISIA SEURAAMUKSIA"

Transkriptio

1 LORENTZIN MUUNNOSTEN FYSIKAALISIA SEURAAMUKSIA Lorentzin kontraktio: liikkuva sauva kutistuu Aikadilataatio: liikkuva kello jätättää Nämä fysikaaliset efektit johtavat arkijärjen kannalta vaikeasti ymmärrettäviin seuraamuksiin, paradokseihin : Lorentzin kontraktio lipputankoparadoksi aikadilataatio kaksosparadoksi Hyvä www-sivu:

2 Lorentzin kontraktio " t '! t! vx % $ ' # & c x'!(x! vt) K sauvan lepokoordinaatisto l0 Δx' K eli sauva liikkuu K:ssa l0 Δx' γ ( Δx vδt) Δx l K K päät mitataan samanaikaisesti Δt 0 l γ l l v / c 0 0 Liikkuva sauva lyhenee ts. sauvan suhteen liikkuva havaitsija mittaa sen pituudeksi pienemmän numeron kuin sen suhteen levossa oleva havaitsija.

3 esimerkki: l 0 00 cm l [cm] Kaikki avaruudelliset etäisyydet näyttävät liikkuvan havaitsijan mielestä lyhyemmiltä. Esim. havaitsija aurinkokunnan läpi kiitävässä raketissa näkee Aurinko-Maa etäisyyden lyhyenevän yo. tavalla. 3

4 LIPPUTANKOPARADOKSI valittu mukavuussyistä lipputanko omassa lepokoordinaatistossaan: l 0 0 m v 3c / tallin lepokoordinaatistossa: l l 5 m mahtuu talliin! 0 5 m Nopeus aina suhteellista: lipputangon lepokoordinaatistossa v 3c / l 0 0 m l γ 5m, 5m 7,5 m tankoa jää ulkopuolelle? 4

5 Ongelman ratkaisu liittyy samanaikaisuuden määritelmään: pituusmittaus tapahtuu määritelmän mukaan mittaamalla päätepisteet samanaikaisesti. Mutta miten tietää, että lipputanko on tallin sisällä? signaali etenee korkeintaan valon nopeudella Tieto saapuu toiseen päähän ajassa Δt l / c tässä ajassa lipputanko on kulkenut max. matkan 0 3 vδt c l0 / c 8. 7 m eli takapää saa tiedon, kun se on m. m tallin sisäpuolella Muistettakoon myös että ei ole olemassa absoluuttisen jäykkiä kappaleita: joko lipputanko tai vaihtoehtoisesti tallin takaseinä on murskautunut jo aikapäiviä sitten kun tangon takapäähän saapuu viimein tieto seinäkontaktista. 5

6 Aikadilataatio v K on kellon lepokoordinaatisto K K ajan mittaus kaksi tapahtumaa Δt ' t ' t ' Δx' 0 kellon paikka ei muutu K:ssa v Δ t γ Δt ' Δx ' c Δt ' Δt K liikkuu K :n suhteen nopeudella -v 0 aika venyy : liikkuvassa koordinaatistossa aika kuluu hitaammin 6

7 Oikeammin: K:n suhteen liikkuva kello näyttää K:n mielestä jätättävän verrattuna K:n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon. Aika ei kulu hitaammin K :ssa: kello on siellä levossa, mutta liike on suhteellista: K :sta katsottuna K:n kello jätättää verrattuna K :n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon. Kumpikin on oikeassa: ei ole olemassa oikeaa (absoluuttista) aikaa esimerkki: Δt vuosi Δt [päiviä] Entä jos Maasta (K) lähetetään raketti (K ), joka palaa takaisin niin, että K ja K voivat lopulta verrata kellojaan kumman kello on jätättänyt? kaksosparadoksi (kelloparadoksi) Tähän palataan myöhemmin 7

8 ESIMERKKI: epästabiilit hiukkaset Korkeaenergiaisia myoneja syntyy ilmakehän yläkerroksissa kosmisten säteiden (esim. protonien) aiheuttamissa reaktioissa. Myoni on epästabiili ja hajoaa keskimäärin ajassa T s eli kulkee keskimäärin matkan ct m. Mutta myoneja nähdään kuitenkin paljon! selitys: suhteellisuusteoria 8

9 Myonin kello liikkuu Maahan nähden ja siis jätättää. 9

10 Lorentz-kontraktio selittää ilmiön yhtä lailla: myonin näkemä matka kutistuu. 0

11 DOPPLERIN ILMIÖ lähetetään valonsäde K :sta K:hon v f hav f läh K K Mikä taajuus f hav havaitaan K:ssa kun K :sta lähteneen valon taajuus on f läh? K ja K päällekkäin kun t0 fotoni lähtee liikkeelle hetkellä t K:n aikaa K :sta fotonin kulkema matka on x vt ennen kuin se saapuu K:hon x c c( t t) t t c v intervalli t -t vastaanotetaan intervallina c ( t t) c v

12 Mikä siis on t -t K :ssa? Valonsäde saapuu K:hon K :n kellon mukaan kun t c v t x c v t t vt x ' γ γ K :n intervalli t -t vastaanotetaan siis intervallina ) ( ) ( ' ' t t t t t t Lähetetty frekvenssi ' f läh Δt loittoneva lähde f f lähestyvä lähde f f läh hav läh hav

13 läh läh läh läh läh hav f f f f f f ) ( ) ) ) ( ) (( (...)...)( (...) (...) ( normaali Doppler: frekvenssi pienenee aallonpituus suure- nee punasiirtymä. suhteellisuusteoreettinen korjaus Loittonevalle kohteelle 3

14 AVARUUSAIKA Suhteellisuusteoriassa kolmiavaruus ja aika yhdessä muodostavat neliulotteisen avaruusajan. Tämä neliulotteinen avaruusaika ei kuitenkaan ole euklidinen vaan epäeuklidinen Minkowskin avaruus sen 907 ensimmäisenä esittäneen matemaatikko Hermann Minkowskin mukaan. Tarkastellaan siis neliulotteista avaruutta, jonka koordinaatit ovat x! (x 0, x, x, x 3 ) (ct, x, y, z) (t, x) missä x α on nelivektori Kreikkalaiset kirjaimet käyvät läpi kaikki aika-avaruuden suunnat (0,,,3), latinalaiset kirjaimet vain avaruussuunnat (,,3). Minkowskin huomio oli, että yhdistelmä!c t x y z!c t x ei muutu Lorentz-muunnoksissa, ts. se on Lorentz-invariantti. 4

15 Todistetaan tämä (voidaan rajoittua yksinkertaisuuden vuoksi :een ulottuvuuteen): aika avaruus " t '! t! vx % $ ' # & c x'!(x! vt)!c t ' x'! [!c (t! vx / c ) ( x! vt) ] Myös etäisyysmitta! [!c t! v x / c 4 tvx x v t! tvx]! [!(c! v )t (! v / c )x ]!c t x!c "t ("x "y "z ) ts. ei riipu siitä, missä koordinaatistossa se lasketaan. on invariantti, Erityisesti lepokoordinaatistossa laskettuna saadaan arvo c Δt lepo c Δτ missä τ on nimeltään invariantti itseisaika. 5

16 ) ( ) ( c t dt dt dz dt dy dt dx c dt d z y x t c c v Δ Δ Δ Δ Δ τ τ Invariantin itseisajan suhde kelloaikaan t Erityisesti lepokoordinaatistossa kelloaika itseisaika: dt d τ Koska dτ on invariantti, se voidaan laskea missä koordinaatistossa hyvänsä. 6

17 Invariantin itseisajan (-aikavälin) neliö voi olla myös nolla tai negatiivinen! -c Δτ 0 valonlaatuinen < 0 ajanlaatuinen > 0 paikanlaatuinen Avaruusaika voidaan esittää avaruusaikadiagrammin avulla: ct x -ct ct x ct tulevaisuus valokartio - 45 o x x maailmanviiva menneisyys valo kulkee pitkin valokartiota 7

18 Maailmanviivat pysyvät valokartion sisällä: tapahtumat ovat ajanlaatuisia. Maailmanviivat näyttävät erilaisilta eri koordinaatistoissa. Valokartion muoto ei muutu Lorentz-muunnoksissa, koska!c t ' x'!ct x Tapahtumat ovat pisteitä avaruusaika-diagrammissa. Esimerkki: avaruusraketti lähtee K:sta ajanhetkellä t nopeudella v 3c/5 ct v3c/5 valo kulkee valokartion kanssa samansuuntaisesti x 8

19 KAKSOSPARADOKSI ELI KELLOPARADOKSI A jää Maahan koordinaatistoon K A:n kaksonen B lähtee avaruusmatkalle lähes valon nopeudella A:n mielestä B:n kello jätättää, B:n mielestä A:n kello jätättää B kääntyy ja palaa takaisin Maahan, jolloin A ja B voivat vertailla kellojaan samassa lepokoordinaatistossa Kumman kello on jätättänyt? B kokee kiihtyvyyksiä lähtiessään, kääntyessään ja lopuksi pysähtyessään koordinaatistoon K. Kiihtyvä liike edellyttää yleistä suhteellisuusteoriaa, mutta ongelman voi ratkaista ilman kiihtyvyyden yksityiskohtaista tarkastelua. Ongelmaa voi tarkastella monella tavoin: seurataan tässä, miten A ja B vertailevat kellojaan. Kelloja voi vertailla vain lähettämällä signaaleja Maan ja avaruusraketin välillä. 9

20 Oletetaan konkreettisuuden vuoksi seuraavaa: B tekee matkan Maasta Siriukseen, joiden välinen etäisyys on 8 valovuotta B kulkee sekä meno- että paluumatkan tasaisella nopeudella v 4c/5 A:n suhteen Oletetaan, että kiihdytykset ja jarrutukset tapahtuvat äärettömän nopeasti A:n koordinaatistossa K raketti kulkee siis kaikkiaan 6 vv ja palaa takaisin ajassa 6 5/4 0 v A lähettää B:lle signaaleja, jotka kertovat, paljonko kello lähetyshetkellä on K:ssa Saatuaan signaalin B kuittaa sen välittömästi lähettämällä A:lle signaalin, jossa kertoo, paljonko kello lähetyshetkellä on K :ssa Signaalit lähetetään tasaisin välein, ja voimme hyödyntää taajuuskaavoja: loittoneva: f hav f läh t ' t lähestyvä: f hav f läh t ' t 0

21 Kun raketti loittonee Maasta, se saa A:n viestin välein 9 / 5 Δt ' Δt Δt 3Δt / 5 Esimerkki: Maasta vuoden välein lähetetyt viestit saadaan K :ssa kolmen vuoden välein; kuitatut, 3 vuoden välein lähetetyt viestit saadaan K:ssa vuoden välein. Kun raketti lähestyy Maata, se saa A:n viestin välein / 5 Δt ' Δt Δt 3 9 / 5 Δt A lähettää B kuittaa B saa viestin A saa kuittauksen B loittonee B loittonee Δt 3Δt läh 9Δt läh B loittonee B lähestyy Δt 3Δt Δt /3 riippuu t :stä ja t :stä B lähestyy B lähestyy Δt Δt läh /3 Δt läh /9

22 ct 0 A saa vuonna lähetetyn signaalin takaisin vuonna 9 A päättelee: B sai signaalin A:n aikaa vuonna 8/5 B:n maailmanviiva Toisaalta A tietää, että B sai viestin kun t 3 vuotta Δ 5 3 t ' Δt valosignaalin maailmanviiva 0 Lorentz-muunnoksen avulla 3 Δt ' Δt dt ( 4 5) 5 γ Δt OK 4 8 x

23 lähtee A:sta B:ssä tyyppi takaisin A:ssa B:ssä A- aikaa / 3 8 / 3 / / 3 8 / 3 3 / 3 9 / 3 / tämän jälkeen lähetetyt viestit B saa paluumatkallaan 4 0 / 3 / 3 9 / 3 6 / 3 7 / 3 / 3 9 / 3 8 / Esim: signaali lähtee A:sta kun t 5 Δt ' ' loittonee lähenee B on palatessaan nuorempi kuin A 3

24 0 lähestyy A:n aika 0 0 B:n aika loittonee 4

25 MITÄ B NÄKEE? Ensimmäiset 3 / 3 vuotta A vanhenee vuotta aikadilataatio /(3 / 3 )3/5 OK Seuraavat 5 / 3 vuotta B lähettää signaalinsa poispäin mennessä ja vastaanottaa kuittauksen takaisin tullessaan tämän aikana A vanhenee kaikkiaan 6 vuotta Viimeiset 3 / 3 vuotta A vanhenee vuotta 60 Nuorempi on se, joka vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa A pysyy koko ajan samassa lepokoordinaatistossa, B vaihtaa Siriuksessa koordinaatistoa Mistä A tietää ettei ole vaihtanut inertiaalikoordinaatistoa? Tämä vaatii kiihtyvyysmittauksen. 5

26 Maa A:n koordinaatistossa raketti liikkuu Sirius 8 vv B:n koordinaatistossa Maa Sirius Lorentzkontraktio 4.8 vv raketti paikoillaan Raketin näkemä etäisyys pienenee 6

27 KÄSITTELY ITSEISAJAN AVULLA Itseisaika on invariantti: dτ dt v ( t) c ct lasketaan A:n lepokoordinaateissa ct paluu B:n rata t paluu (!! ) B dt " v (t) t paluu # < # dt t paluu 0 c 0 t paluu (!! ) A " dt t paluu 0 A:n lepokoordinaatisto x Kun kelloja lopuksi vertaillaan A:n lepokoordinaatistossa, se on silloin myös B:n lepokoordinaatisto itseisaika on sama kuin kelloaika ( Δτ ) Δt > ( Δτ ) Δt ' A B A:n kelloaika > B:n kelloaika kun kelloja verrataan koordinaatistossa K 7

28 MINKOWSKIN AVARUUS Avaruuden määrittämiseksi tarvitaan vielä pistetulo Kolmiavaruus: x x i (x, x, x 3 ) (x, y, z) x! x! ij x i x j x y z Invariantti kierroissa: x! Rx x' # x& % ( x " x! x'" x' (x, y, z)r T R y x " x % $ z ( ' kreikkalaiset indeksit α,,... 0,..., 4 latinalaiset indeksit i, j,..., 3 Minkowskin avaruus: x! (x 0, x, x, x 3 ) (ct, x, y, z) (t, x) Määritellään pistetulo siten, että vektorin pituus on invariantti Lorentzin muunnoksissa. 8

29 x!! x! "c t x y z # "c t x "c t ' x' # x'!! x'! Pistetulo invariantti Lorentzin muunnoksen määrittämissä 4-ulotteisen avaruuden kierroissa x!! L(v)x! x'! # ct& % ( x x! " x!! x'! " x'! (ct, x, y, z)l T L % ( % y ( % ( $ z '! x! " x! Minkowskin avaruus on epäeuklidinen: x!! x! " c t x 9

30 ETÄISYYDEN MÄÄRITELMÄ Kahden pisteen välinen etäisyys euklidisessa 3-avaruudessa: x ( x, y, z), x ( x dx, y dy, z dz) dl ( x x ) dx dy dz dx dx 0 Minkowskin avaruuden neliulotteinen etäisyys on vastaavasti < 0 ds (x! x! ) dx! " dx!!c dt dx dy dz 0 > 0 Minkowskin avaruudessa etäisyyden neliö voi olla negatiivinen. 30

31 Yleinen metriikka on 4 x 4 matriisi Minkowskin avaruuden metriikka määrittää pistetulon: x!! x! " "!# x! x # #x 0 x 0 x x x x x 3 x 3 Minkowskin metriikka:! "# diag(!,,,) NOTAATIO Metriikka ds g!" dx! dx "!c dt dx dy dz " #!" dx! dx " Einsteinin summasääntö: summa yli toistuvien indeksien 3

32 Minkowskin avaruuden 4-ulotteinen karteesinen koordinaatisto: yksikkövektorit e µ Huom! koordinaatisto ei ole euklidinen! e 0! e 0 ", e i! e j! ij, e 0! e j 0 # e µ! e " # µ" Mielivaltainen nelivektori x voidaan kirjoittaa tässä karteesisessa koordinaatistossa x! x 0 e 0 x e x e x 3 e 3! x 0 e 0 xe x ye y ze z! x 0 e 0 r Nelivektorien a ja b välinen pistetulo: a!! b! "a 0 b 0 a b a b a 3 b 3 # "a 0 a 0 a! b Toisessa, K:n suhteen x-akselin suuntaan liikkuvassa koordinaatistossa K x'! L(ve x )x! "(x 0! #x)e 0!(x! "x 0 )e x ye y ze z Nelivektori muuntuu Lorentz-muunnoksessa toiseksi nelivektoriksi 3

33 Esimerkki x! 3e 0! e! e e 3 x!! x! "9 [(") (") () ] 0 Nelivektorin pituus voi siis olla 0 vaikka vektori itsessään on 0 Toinen esimerkki y! e 0 e! 3e e 3 y!! y! "4 [() ("3) () ] 0 x!! y! 3"# [(" # ) (" # "3) (#)] "3 x'! x'! (x!" L # T )!!(L $# x)! x!! x! nelivektorin pituuden neliö on invariantti x'! y'! (x!" L # T )!!(L $# y)! x!! y! sama luku koordinaatistosta riippumatta kahden nelivektorin pistetulo on invariantti sama luku koordinaatistosta riippumatta kannattaa laskea invariantit koordinaatistossa, jossa lasku on helpoin 33

34 MINKOWSKIN AVARUUDEN FORMALISMIA Nelivektori voi yleisesti olla ajan ja paikan funktio; komponentti on tällöin A! (x 0, x); A'! L! " A " L! 0A 0 L! A L! A L! 3A 3 Tässäkin tapauksessa Totutellaan notaatioon jossa summattavat indeksit ovat eri kerroksissa nelivektorit muuntuvat nelivektoreiksi A!! A! "!# A! A # "(A 0 ) A! A "(A 0 ) (A x ) (A y ) (A z ) Sanomme, että nelivektorit A ja B ovat kohtisuorassa toisiaan vasten jos A! B! "# A " B # 0 Kolmiavaruudessa nopeus on vektori. Minkowskin avaruudessa sen vastine on nelinopeus, joka on nelivektori dx α /dt ei kuitenkaan käy, sillä dx! dt! d(l(v)x! ) dt ' " L(v) dx! dt 34

35 Itseisaika dτ on invariantti; määritellään siis nelinopeus u u!! dx!! d" dx " v / c dt # c dt " v / c dt e 0 dx & $ % dt ' (!ce 0!v!!(c, v) Nelinopeus muuntuu kuten muutkin nelivektorit u'! L(v)u! nelinopeuden määritelmä Nelinopeuden neliö on u!!u! "(u 0 ) u! u "! c! v "c nelinopeuden neliö on vakio 35

36 Esimerkki v x y z 0.6c; v v 0 v 0.6ce u! c! 0.6 e 0 0.6c! 0.6 e.5ce ce Voimme edelleen määritellä nelikiihtyvyyden Nelikiihtyvyys muuntuu kuten muutkin nelivektorit a! du! d" d x! d" a'! L(v)a! Nelikiihtyvyys on aina kohtisuorassa nelinopeutta vastaan: u!!u! c " u!! du! d" 0 " a!!u! 0 36

37 Mikä on nelikiihtyvyyden fysikaalinen merkitys? a! du!! d" du " # du!! v / c dt dt # d # dt c#e dx& 0! $ % dt ' ( #! d! dt ce d! 0 $ % dt v!a & ' ( d! dt d dt! v (t) / c v dv dt (! v (t) / c ) 3/ " 0 hetkellisessä lepokoordinaatistossa, jossa v 0 ja γ hetkellisessä lepokoordinaatistossa a! (0, a) Newtonin. laki on voimassa erityisessä kappaleen mukana liikkuvassa koordinaatistossa (yleensä tämä ei ole inertiaalikoordinaatisto!) 37

Suhteellisuusteorian perusteet 2017

Suhteellisuusteorian perusteet 2017 Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016 763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016 1. Valoa nopeampi liike (a) Sekunnissa kuvan 1(a) aaltorintama etenee 10 m. Samassa ajassa rannan ja aallon leikkauspiste etenee matkan s.

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2012

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2012 763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2012 1. Valoa nopeampi liike Sekunnissa kuvan 1 aaltorintama etenee 10 m. Samassa ajassa rannan ja aallon leikkauspiste etenee matkan s. Kulman

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

763306A Johdatus suhteellisuusteoriaan 2 Kevät 2013 Harjoitus 1

763306A Johdatus suhteellisuusteoriaan 2 Kevät 2013 Harjoitus 1 763306A Johdatus suhteellisuusteoriaan 2 Kevät 2013 Harjoitus 1 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi a) Osoita että muunnos x = x cos φ + y sin φ y = x sin φ + y cos φ (1) kuvaa x y tason koordinaatiston

Lisätiedot

YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA

YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA suppean suhteellisuusteorian yleistys mielivaltaisiin, ei-inertiaalisiin koordinaatistoihin teoria painovoimasta lähtökohta: periaatteessa kahdenlaisia massoja F mia hidas,

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

Fysiikkaa runoilijoille Osa 2: suppea suhteellisuusteoria

Fysiikkaa runoilijoille Osa 2: suppea suhteellisuusteoria Fysiikkaa runoilijoille Osa 2: suppea suhteellisuusteoria Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja fysiikan tutkimuslaitos www.helsinki.fi/yliopisto 1 Hiukkaset ja kentät Klassisessa mekaniikassa

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA

YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA suppean suhteellisuusteorian yleistys mielivaltaisiin, ei-inertiaalisiin koordinaatistoihin teoria painovoimasta lähtökohta: periaatteessa kahdenlaisia massoja F mia hidas,

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1 763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi

Lisätiedot

Moderni fysiikka. Syyslukukausi 2008 Jukka Maalampi

Moderni fysiikka. Syyslukukausi 2008 Jukka Maalampi Moderni fysiikka Syyslukukausi 008 Jukka Maalampi 1 1. Suhteellisuus Galilein suhteellisuuus Fysiikan lakien suhteellisuus Suppea suhteellisuusteoria Samanaikaisuuden suhteellisuus Ajan dilaatio Pituuden

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä

S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä (ks. esim. http://www.kotiposti.net/ajnieminen/sutek.pdf). 1. a) Suppeamman suhteellisuusteorian perusolettamukset (Einsteinin suppeampi suhteellisuusteoria

Lisätiedot

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Esko Suhonen Fysikaalisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2001, pienin korjauksin 2010 Sisältö 1 SUHTEELLISUUSTEORIAN SYNTY 2 11 Newtonin mekaniikan peruslait ja Newtonin

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Liikkuvan varauksen kenttä

Liikkuvan varauksen kenttä Luku 13 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin kerran elämässään Liénardin ja Wiechertin potentiaalit

Lisätiedot

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1 Mistä aine koostuu? - kaikki aine koostuu atomeista - atomit koostuvat elektroneista, protoneista ja neutroneista - neutronit ja protonit koostuvat pienistä hiukkasista, kvarkeista Alkeishiukkaset - hiukkasten

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet kevät 2014

Suhteellisuusteorian perusteet kevät 2014 Suhteellisuusteorian perusteet kevät 014 Luennot maanantaisin ja tiistaisin 1-14, D101 Syksy Räsänen: C36 Laskuharjoitukset (5% arvosanasta) Kuusi suomenkielistä ryhmää ja yksi ruotsinkielinen ryhmä, alk.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Ajankohtaista FuksiProffaBuffa Järjestetään

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys

Lisätiedot

JOHDATUS SUHTEELLI- SUUSTEORIAAN

JOHDATUS SUHTEELLI- SUUSTEORIAAN JOHDATUS SUHTEELLI- SUUSTEORIAAN Erkki Thuneberg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2017 Järjestelyjä Johdatus suhteellisuusteoriaan -kurssi on jaettu kahteen osaan, 1 ja 2. Osa 1 käsittää tämän monisteen

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Suhteellisuusteoria. Jouko Nieminen Tampereen Teknillinen Yliopisto Fysiikan laitos

Suhteellisuusteoria. Jouko Nieminen Tampereen Teknillinen Yliopisto Fysiikan laitos Suhteellisuusteoria Jouko Nieminen Tampereen Teknillinen Yliopisto Fysiikan laitos Ketkä pohjustivat modernin fysiikan? Rømer 1676 Ampere Fizeau 1849 Young 1800 Faraday Michelson 1878 Maxwell 1873 Hertz

Lisätiedot

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan

Lisätiedot

Kohti yleistä suhteellisuusteoriaa

Kohti yleistä suhteellisuusteoriaa Kohti yleistä suhteellisuusteoriaa Miksi vakionopeudella liikkuvat koordinaatistot ovat erityisasemassa (eli miksi Lorentz-muunnos tehdään samalla tavalla joka paikassa aika-avaruudessa)? Newtonin gravitaatiolaki

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Erkki Thuneberg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2017 Järjestelyjä Johdatus suhteellisuusteoriaan -kurssi on jaettu kahteen osaan, 1 ja 2. Osa 1 käsittää tämän monisteen luvut

Lisätiedot

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin

Lisätiedot

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Erkki Thuneberg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2016 Järjestelyjä Johdatus suhteellisuusteoriaan -kurssi on jaettu kahteen osaan, 1 ja 2. Osa 1 käsittää tämän monisteen luvut

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Erkki Thuneberg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2013 Järjestelyjä Johdatus suhteellisuusteoriaan -kurssi on jaettu kahteen osaan, 1 ja 2. Osa 1 käsittää tämän monisteen luvut

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit 9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

Kosmologian yleiskatsaus. Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja Fysiikan tutkimuslaitos

Kosmologian yleiskatsaus. Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja Fysiikan tutkimuslaitos Kosmologian yleiskatsaus Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja Fysiikan tutkimuslaitos www.helsinki.fi/yliopisto 1 Päämääriä Kosmologia tutkii maailmankaikkeutta kokonaisuutena. Kehitys,

Lisätiedot

Osoitetaan esimerkin avulla, että valonnopeuden invarianssi johtaa myös välimatkojen suhteellisuuteen. Puhutaan pituuden kontraktiosta.

Osoitetaan esimerkin avulla, että valonnopeuden invarianssi johtaa myös välimatkojen suhteellisuuteen. Puhutaan pituuden kontraktiosta. Pituuden kontraktio Luento Luento Osoitetaan esimerkin avua, että vaonnopeuden invarianssi johtaa myös väimatkojen suhteeisuuteen Puhutaan pituuden kontraktiosta Ks kuvaa aa Maire istuu junassa (koord

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Luku 16 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Tämä luku seuraa CL:n lukuja 11 ja 12, joissa asiaa on käsitelty laajemmin sekä osittain RMC:n lukua 22. Esitietoina oletetaan modernin fysiikan alkeista

Lisätiedot

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

Epäeuklidista geometriaa

Epäeuklidista geometriaa Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Luku 14 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Tämän luvun esitietoina oletetaan modernin fysiikan alkeista tai muualta tutut perustiedot Lorentzin muunnoksista jne. Koska tensorilaskenta ei ole kaikille

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria

Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Luku 14 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria Tämän luvun esitietoina oletetaan modernin fysiikan alkeista tai muualta tutut perustiedot Lorentzin muunnoksista, pituuskontraktiosta ja ajan venymisestä.

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Sisällysluettelo. Alkusanat 11. A lbert E insteinin kirjoituksia

Sisällysluettelo. Alkusanat 11. A lbert E insteinin kirjoituksia Sisällysluettelo Alkusanat 11 A lbert E insteinin kirjoituksia Erityisestä ja yleisestä su hteellisuusteoriasta Alkusanat 21 I Erityisestä suhteellisuusteoriasta 23 1 Geometristen lauseiden fysikaalinen

Lisätiedot

Lyhyt katsaus gravitaatioaaltoihin

Lyhyt katsaus gravitaatioaaltoihin : Lyhyt katsaus gravitaatioaaltoihin Valtteri Lindholm Helsingin Yliopisto Teoreettisen fysiikan syventävien opintojen seminaari Sisältö Suppea ja yleinen suhteellisuusteoria Häiriöteoria Aaltoratkaisut

Lisätiedot

Tyhjä pallosymmetrinen avaruus

Tyhjä pallosymmetrinen avaruus Tyhjä pallosymmetinen avauus Yleisen suhteellisuusteoian yhtälöitä on helppo käsitellä silloin kun aika-avauus on lähes tasainen, tai eityisen symmetisissä tapauksissa. Tyhjä pallosymmetinen avauus on

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

763105P Johdatus suhteellisuusteoriaan 1 Kevät 2013 Harjoitus 1

763105P Johdatus suhteellisuusteoriaan 1 Kevät 2013 Harjoitus 1 763105P Johdatus suhteellisuusteoriaan 1 Kevät 2013 Harjoitus 1 1. Risteävät lentokoneet Lentokone lentää maahan kiinnitetyn koordinaatiston K suhteen nopeudella u ˆx. Oheisessa kuvassa se on kuvattuna

Lisätiedot

Liikemäärä ja voima 1

Liikemäärä ja voima 1 Liikemäärä ja voima 1 Tällä luennolla tavoitteena Kinematiikan ongelma ja sen ratkaisu: Miten radan ja nopeuden saa selville, jos kappaleen kiihtyvyys tunnetaan? Analyyttinen ratkaisu Liikemäärän, voiman

Lisätiedot

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 763102P

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 763102P JHDATUS SUHTEELLISUUSTERIAAN 763102P Petri Mutka Fysikaalisten tieteiden laitos ulun yliopisto 2005 1. Johdanto Suhteellisuusteoria, joka koostuu kahdesta erillisestä teoriasta, on toinen modernin fysiikan

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

MEI Kontinuumimekaniikka

MEI Kontinuumimekaniikka MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: 7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,

Lisätiedot