puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille x R. Lämmönjohtumisyhtälöllä on eräänä ratkaisuna (HT) ns. lämpöydin (tai lämmönjohtumisyhtälön perusratkaisu) k(x, t) 1 4πt e x2 /(4t). Vastaavasti, n-ulotteisella lämmönjohtumisyhtälöllä on ainakin ratkaisu (x, t) 1 (4πt) n/2 e x 2 /(4t). Tällöin myös (x, t) k(x ξ, t) on ratkaisu kaikille ξ R, joten yhtälön lineaarisuuden nojalla tällaisten ratkaisujen lineaarikombinaatiot ovat ratkaisuja. Kun f : R R on annettu funktio, niin sen avulla rakennettu lineaarikombinaatio on (8.2) (K t f)(x) k(x ξ, t)f(ξ) dξ 1 4πt e (x ξ)2 /(4t) f(ξ) dξ. Tässä funktioista k t : x k(x, t) ja x f(x) muodostettu funktio K t f on nimeltään funktioiden k t ja f konvoluutio, ja sitä merkitään tavallisesti (k t f)(x) Funktiolla k t on seuraavat tärkeät ominaisuudet: k t (x) ja k t (x ξ)f(ξ) dξ. k t (x) dx 1. Jälkimmäinen seuraa muuttujanvaihdolla x 4t y, kun muistetaan, mitä Sir William Thomson on lausunut (ks. kuvaa 5; vrt. [27, Problem 3 41]). Lisäksi k t lähestyy varsin nopeasti nollaa, kun x. Yksinkertaisempi konvoluutio saadaan, kun k t :n sijasta käytetään funktiota { 1/δ, kun x δ/2, g(x), kun x > δ/2. Tällöin nimittäin (g f)(x) g(x ξ)f(ξ) dξ 1 δ x+δ/2 x δ/2 f(ξ) dξ. Tässä tapauksessa konvoluutio on siis funktion f liikkuva keskiarvo. Lisäksi tämäkin konvoluutio on hieman sileäpi kuin f: jos f on integroituva, on g f jatkuva, ja 1 Viimeksi muutettu 21.1.26. 46

8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 47 WHAT EVERY YOUNG MATHEMATICIAN SHOULD KNOW LORD K. ELVIN The purpose of this paper is to call attention to a result of which many mathematicians seem to be ignorant. Theorem 1. The value of e x2 dx is Proof. We have ( 2 ( e dx) x2 2π 2π 2π 2π π. e x2 dx π. ) ( e x2 dx e x2 e y2 dx dy e (x2 +y 2) dx dy e r2 r dr dθ [ ] e r2 r dr dθ [ r ] e r2 dθ 2 r [ ] 1 dθ 2 e y2 dy ) by Fubini using polar coordinates Remark 2. A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Date: April 1, 21. 1 Kuva 5

8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 48 jos f on jatkuva, on g f jatkuvasti derivoituva. Lisäksi, koska g(x) dx 1 ja (g f)(x) g(ξ)f(x ξ) dξ, on jatkuvalle funktiolle f (g f)(x) f(x) g(ξ) f(x ξ) f(x) dξ sup{ f(x ξ) f(x) ξ δ/2}, kun δ. Kun konvoluutiossa käytetään lämpöydintä, saadaan seuraava tulos: Lause 8.1. Olkoon f : R R jatkuva ja rajoitettu. Tällöin kaavan (8.2) avulla määritelty funktio u: R [, ) R, { u(x, t) Kt f(x), kun t >, ja u(x, ) f(x), on jatkuva ja rajoitettu, kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva joukossa R (, ), ja toteuttaa alkuarvotehtävän (8.1). Todistus. Rajoitetulle funktiolle g : R R olkoon Funktiolle ξ k(x ξ, t)f(ξ) on joten epäoleellinen integraali suppenee itseisesti, ja g sup{ g(x) x R}. k(x ξ, t)f(ξ) k(x ξ, t) f, K t f(x) Siis x K t f(x) on rajoitettu, ja k(x ξ, t)f(ξ) dξ K t f(x) f k(x ξ, t) dξ f. K t f f. Seuraavat aputulokset, jatkuvuuslemma ja derivointilemma, on differentiaali- ja integraalilaskennan kursseilla todistettu tapauksessa, missä integroimisjoukko on kompakti. Tapauksessa, missä integroimisjoukko ei ole kompakti tai missä integraali on epäoleellinen, tulokset on helpointa todistaa Lebesguen integraalin avulla. Klassisempia, epäoleelliseen Riemannin integraaliin pohjautuvia tuloksia löytyy mm. kirjasta [14, II/1, 4.12]. Lause 8.2 (Jatkuvuuslemma). Olkoot X R n ja Y R m avoimia joukkoja sekä f : X Y R jatkuva funktio siten, että (i) kaikille y Y funktio x f(x, y) on (itseisesti) integroituva X:ssä, t.s. f(x, y) dx < ; ja X (ii) on olemassa funktio h: X R siten, että h on (itseisesti) integroituva ja f(x, y) h(x) kaikille x X, y Y.

Tällöin funktio ϕ: Y R, on jatkuva. 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 49 ϕ(y) X f(x, y) dx Lause 8.3 (Derivointilemma). Olkoot X R n ja Y R m avoimia joukkoja sekä f : X Y R jatkuva funktio siten, että (i) kaikille y Y funktio x f(x, y) on (itseisesti) integroituva X:ssä, t.s. f(x, y) dx < ; X (ii) kaikille x X ja kaikille y Y funktiolla y f(x, y) on osittaisderivaatta f (x, y); ja y j (iii) on olemassa funktio h: X R siten, että h on (itseisesti) integroituva ja f (x, y) h(x) kaikille x X, y Y. y j Tällöin funktiolla ϕ: Y R, on osittaisderivaatta ϕ y j (x, y) ja Koska ϕ(y) ϕ y j (y) X X f(x, y) dx f y j (x, y) dx. Jatketaan lauseen 8.1 todistusta. Kiinnitetään < t < t 1 <. Tällöin k(ξ, t) 1 e ξ2 /(4t) 1 e ξ2 /(4t 1 ) kaikille ξ R ja t (t, t 1 ). 4πt 4πt K t f(x) 1 4πt e ξ2 /(4t) f(x ξ) dξ. toteutuvat jatkuvuuslemman oletukset (valitaan h(ξ) 1 4πt e ξ2 /(4t 1 ) f, X R ja Y R (t, t 1 )). Funktio u(x, t) K t f(x) on siis jatkuva joukossa R (t, t 1 ). Koska t ja t 1 ovat mielivaltaiset, on u jatkuva joukossa R (, ). Derivoituvuus: Arvioidaan derivaattaa k 1 (ξ, t) t 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t) + 1 ξ 2 /(4t) 4πt 4t 2 e ξ2 vastaavaan tapaan kuin edellä funktiota k: Kiinnitetään < t < t 1 <. Tällöin kaikille x R ja t (t, t 1 ) on 1 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t) 1 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t 1 )

ja Siis 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 5 1 ξ 2 /(4t) 4πt 4t 2 e ξ2 1 ξ 2 e ξ2 /(4t 1 ). 4πt 4t 2 k 1 (ξ, t) t 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t 1 ) + 1 ξ 2 e ξ2 /(4t 1 ) : h(ξ). 4πt 4t 2 Käyttämällä kuvan 5 tietoa apuna on helppo näyttää, että h on integroituva. Derivointilemman nojalla joukossa R (t, t 1 ) on on Derivaatalle u (x, t) t k (ξ, t)f(x ξ) dξ. t k 1 2ξ /(4t) (ξ, t) x 4πt 4t e ξ2 k x (x ξ, t) 1 x ξ e (x ξ)2 /(4t 1 ) 4πt 2t 1 4πt x + ξ 2t e x2 /(4t 1 ) e 2xξ/(4t 1) e ξ2 /(4t 1 ) 1 A + ξ e 2A ξ]/(4t1) e ξ2 /(4t 1 ) : h(ξ) 4πt 2t kun x < A, ξ R ja t (t, t 1 ). Koska h on integroituva, on derivointilemman nojalla joukossa ( A, A) (t, t 1 ) u (x, t) x k (x ξ, t)f(ξ) dξ. x Toisen kertaluvun derivaattojen olemassaolo ja integraalin derivoitavuus integraalin sisällä osoitetaan vastaavalla tavalla (HT). Derivaattojen jatkuvuus saadaan jatkuvuuslemmasta. Koska funktio k toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön, on funktiolle u u (x, t) t k (ξ, t)f(x ξ) dξ t 2 k x (x ξ, t)f(ξ) dξ 2 u (x, t). 2 x2 2 k (ξ, t)f(x ξ) dξ x2 Funktion u jatkuvuus pisteissä (x, ), x R: Edellä käytetty menetelmä (jatkuvuuslemma) ei sovellu tässä tapauksessa, joten jatkuvuus pitää todeta suoraan määritelmästä. Olkoon x R. Osoitetaan, että Koska lim u(x, t) f(x ). (x,t) (x,) k(x ξ, t) dξ 1,

on Siis 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 51 u(x, t) f(x ) k(x ξ, t)(f(ξ) f(x ) dξ k(x ξ, t)(f(ξ) f(x )) dξ + ξ x η u(x, t) f(x ) + ξ x η ξ x η ξ x η k(x ξ, t) f(ξ) f(x ) dξ k(x ξ, t)(f(ξ) f(x )) dξ. k(x ξ, t) f(ξ) f(x ) dξ : I 1 + I 2. Olkoon ε >. Koska f on jatkuva pisteessä, on olemassa δ(ε) > siten, että f(ξ) f(x ) ε/2, kun ξ x < δ(ε). Valitaan η δ(ε)/2. Tällöin I 1 k(x ξ, t) f(ξ) f(x ) dξ on ξ x η ξ x η Olkoon nyt x x < η/2. Koska I 2 ξ x η/2 ξ x η k(x ξ, t)ε/2 dξ ε/2 k(x ξ, t) dξ ε/2. R {ξ R ξ x η} {ξ R ξ x η/2}, k(x ξ, t)( f(ξ) + f(x ) ) dξ 2 f ξ x η/2 Muuttujanvaihdolla (x ξ)/(2 t) u saadaan k(x ξ, t) dξ 1 e (x ξ)2 /(4t) dξ 1 4πt π Siis I 2 2 f π ξ x η/2 u η/(4 t) e u2 du. k(x ξ, t) dξ. u η/(4 t) Koska u η/(4 t) e u2 du, kun t +, on olemassa t(ε) > siten, että I 2 ε/2, Siis, kun x x < η/2 ja < t < t(ε), on Väite seuraa tästä. kun < t < t(ε). u(x, t) f(x ) I 1 + I 2 ε. e u2 dξ. Lause 8.4. Olkoon u: R [, ) R jatkuva ja rajoitettu funktio, jolla joukossa R (, ) on jatkuvat osittaisderivaatat u, u ja 2 u. t x x 2 Oletetaan, että joukossa R (, ) funktio u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön u t 2 u x. 2 Jos u(x, ) kaikille x R, niin u(x, t) kaikille x R ja t.

Todistus. Asetetaan 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 52 g(x, t) e t cosh x. Tällöin g toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön g 2 g koko tasossa R 2. t x 2 Olkoon ε >. Tällöin on olemassa N N siten, että missä u(x, t) + εg(x, t) joukossa R [, ) \ Q N, Q N {(x, t) R 2 x N, t N 2 }. Nimittäin, (x, t) R [, ) \ Q N, jos ja vain jos x > N tai t > N 2. Koska u on rajoitettu ja g(x, t), jos x, tai jos t, seuraa väitetty epäyhtälö välittömästi. Sovelletaan lausetta 5.1 funktioon u + εg ja joukkoon Q N. Lauseen 5.1 nojalla on u(x, t) + εg(x, t) joukossa Q N, kun näytetään, että u(x, t) + εg(x, t) joukon Q N reunan osalla Γ. Kun t ja x N, on u(x, ) + εg(x, ) u(x, ) + ε cosh x. Muilla reunan Γ osilla voidaan käyttää edellä todistettua epäyhtälöä ja funktion u + εg jatkuvuutta. Siis u(x, t) + εg(x, t) joukossa Q N. Toisaalta, u(x, t) + εg(x, t) joukossa R [, ) \ Q N, joten u(x, t) + εg(x, t) koko puolitasossa R [, ). Koska tämä on voimassa kaikille ε >, on u(x, t) koko puolitasossa R [, ). Toistamalla päättely funktiolle u + εg, saadaan u(x, t) koko puolitasossa R [, ). Siis u(x, t) koko puolitasossa R [, ). Seuraus 8.5. Olkoon u: R [, ) R jatkuva ja rajoitettu funktio, jolla joukossa R (, ) on jatkuvat osittaisderivaatat u, u ja 2 u. t x x 2 Oletetaan, että joukossa R (, ) funktio u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön u t 2 u x. 2 Tällöin kaikille x R ja t > on voimassa niin u(x, t) 1 4πt e (x ξ)2 /(4t) u(ξ, ) dξ. Huomautus 8.6. Lämpöyhtälön ratkaisuun läheisesti liittyy virhefunktio Esimerkiksi, jos erf x 2 x e ξ2 dξ. π f(x) K t f(x) 1 x/ 4t π { 1, kun x, ja, kun x <, e ξ2 dξ 1 2 + 1 2 erf ( x 4t ). Tästä nähdään, että alkuehdolla f lämpöyhtälön ratkaisu u(x, t) K t f(x) > kaikille t >. Tämä voidaan tulkita esimerkiksi niin, että lämmön etenemisnopeus on ääretön.

8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 53 Kuva 6. Lämpöyhtälön ratkaisu välillä 2 x 2, < t 3, kun alkuehtona on f(x) 1, kun x, ja f(x), kun x <. Vasemmassa kuvassa aika-akseli on kuvasta poispäin kulkeva akseli, oikeassa kuvassa vasemmalta oikealla kulkeva akseli. Toisaalta, jos tarkastellaan lämpötilan u(x, t) tasa-arvokäyriä, voidaan esittää toisenkinlainen tulkinta. Nimittäin, funktiolla u(x, t) 1 2 + 1 2 erf( x 4t ) on vakioarvo jokaisella käyrällä x/ 4t vakio c. Olkoon u c funktion u arvo käyrällä x c 4t. Funktion u lausekkeesta nähdään, että u c on c:n aidosti kasvava funktio. Lisäksi jokaiselle t > käyrällä u(x, t) u c on täsmälleen yksi piste x X(t). Tämä piste liikkuu nopeudella X (t) c t. Tämä nopeus on äärellinen, ja se kuvaa lämpötilan tasa-arvokäyrät liikkumisnopeutta pisteessä (X(t), t). 8.2. Operaattoripuoliryhmä. Olkoon C b (R) kaikkien rajoitettujen, jatkuvien funktioiden f : R R muodostama vektoriavaruus. Funktion f C b (R) supremumnormi on f sup{ f(x) x R}. Lauseen 8.1 todistuksen alussa näytettiin, että K t f on hyvinmääritelty kaikille f C b (R), ja että K t f f. Funktion K t f määritelmän (K t f)(x) k(x ξ, t)f(ξ) dξ 1 4πt e (x ξ)2 /(4t) f(ξ) dξ nojalla on selvää, että K t on riippuu funktiosta f lineaarisesti, t.s. K t : C b (R) C b (R) on lineaarikuvaus (eli K t (αf + βg) αk t f + βk t g). Edellisestä normiepäyhtälöstä seuraa helposti, että K t on jatkuva: On luonnollista asettaa vielä K t f K t g K t (f g) f g. K f f. Siis kaikille t kuvaus K t : C b (R) C b (R) on jatkuva lineaarikuvaus. Yleensä tällaisia nimitetään operaattoreiksi.

8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 54 Osoitetaan, että operaattoriperheellä (K t ) t on seuraava ominaisuus: kaikille s, t ja f C b (R) on K s+t f K s (K t f) ja K f f. Operaattoriperhettä (K t ) t, jolla on yllä kuvattu ominaisuus, kutsutaan operaattoripuoliryhmäksi. Jälkimmäinen ominaisuus on selvä. Ensimmäisen toteamiseksi olkoot u(x, t) K t f(x) ja u s (x, t) u(x, t + s) K t+s f. Funktio u s toteuttaa alkuehdon u s (x, ) u(x, t) ja, kuten on helppo todeta, lämpöyhtälön u s 2 u s t x. Koska myös funktio v(x, s) K sg(x), missä g(x) 2 u(x, t) toteuttaa lämpöyhtälön ja saman alkuehdon, on yksikäsitteisyyslauseen nojalla u s (x, t) v(x, s) K s g(x). Siis K t+s f K s g K s (K t f). Lauseen 8.1 todistuksessa osoitettiin, että Osoitetaan, että K t f f pisteittäin, kun t +. K t f f normin suhteen, kun t +, kun rajoitutaan tasaisesti jatkuviin funktioihin. Olkoot f : R R rajoitettu ja tasaisesti jatkuva ja u(x, t) K t f(x). Todistus on enimmiltä osiltaan saman kuin lauseen 8.1 todistus. Olkoon ε >. Koska f on tasaisesti jatkuva, on olemassa δ > siten, että Nyt ξ x <δ f(x) f(ξ) < ε/2, kaikille x, ξ R, joille x ξ < δ. u(x, t) f(x) k(x ξ, t)(f(ξ) f(x) dξ k(x ξ, t)(f(ξ) f(x)) dξ + k(x ξ, t)(f(ξ) f(x)) dξ. Siis u(x, t) f(x) Normille saadaan + ε 2 ξ x <δ ξ x δ ξ x <δ ε 2 + 2 f π ξ x δ k(x ξ, t) f(ξ) f(x) dξ k(x ξ, t) f(ξ) f(x) dξ k(x ξ, t) dξ + 2 f u δ/ 4t e u2 du. ξ x δ K t f f sup{ u(x, t) f(x) x R} ε 2 + 2 f e u2 du. π u δ/ 4t k(x ξ, t) dξ

8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 55 Koska u δ/ 4t e u2 du, kun t +, on olemassa t(ε) > siten, että K t f f ε 2 + ε 2 ε, kun < t < t(ε). Huomautus 8.7. Lauseen 8.1 todistuksesta ilmenee, että K t f(x) on hyvinmääritelty, jos f on mitallinen ja oleellisesti rajoitettu eli jos f L (R). Tällöin K t f C b (R) kaikille t > ja K t f f, kun oikealla puolella normi f tulkitaan L -normiksi. Tästä epäyhtälöstä seuraa, että K t : L (R) C b (R) on jatkuva lineaarikuvaus. Lisäksi funktiolle u(x, t) K t f(x) on u C (R (, )). Lauseen 8.1 todistuksesta nähdään myös, että jos f L (R) ja f on jatkuva pisteessä x R, niin K t f(x) f(x), kun t +. Vastaavankaltaiset tulokset ovat voimassa myös funktioille f L p (R), kun 1 p <. Ensinnäkin K t f(x) on hyvinmääritelty, jos f L (R), ja K t f L p (R) kaikille t > sekä K t f p f p, missä f p ( R f(x) p dx ) 1/p. Tästä epäyhtälöstä seuraa, että Kt : L p (R) L p (R) on jatkuva lineaarikuvaus. Lisäksi funktiolle u(x, t) K t f(x) on u C (R (, )). Alkuehto toteutuu tässä tilanteessa L p -normin mielessä: K t f f p, kun t +. 8.3. Matriisin eksponenttifunktio. Olkoot a, u R. Alkuarvotehtävän { u (t) a u(t) reaaliakselilla R, u() u, ratkaisu on tavallinen eksponenttifunktio u(t) e at u. Vastaava alkuarvotehtävä vektoriarvoiselle funktiolle u (u 1,..., u n ) on differentiaaliiyhtälöryhmä u 1(t) a 1,1 u 1 (t) + + a 1,n u n (t). u n(t) a n,1 u 1 (t) + + a n,n u n (t) u 1 () u,1. u n () u,n Merkitään A (a i,j ) n i,j1 ja u (u,1,..., u,n ). Tällöin alkuarvotehtävä voidaan esittää vektorimuotoisena yhtälönä, missä A u(t) on tavallinen matriisin ja vektorin

tulo 11 : (8.3) 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 56 { u (t) A u(t), u() u. Neliömatriisille A voidaan määritellä eksponenttifunktio asettamalla exp(a) e A 1 j! Aj, missä A I on yksikkömatriisi ja matriisiin A potenssit määritellään normaaliin tapaan rekursiivisesti A j+1 A j A (matriistulo). Jotta määritelmä olisi hyvä, pitäisi osoittaa, että sarja suppenee. Sarjan suppenevuus tulkitaan suppenevuudeksi euklidisessa avaruudessa R n2. Suppenevuuden toteaminen käy vastaavaan tapaan kuin reaalimuuttujan eksponenttifunktion, kun huomataan käyttää lineaarikuvausnormia apuna, Lineaarikuvausnormille on voimassa j A sup{ Ax x R n, x 1}. AB A B, kun A ja B ovat samankokoisia neliömatriiseja. Erityisesti neliömatriisin A potensseille on A j A j. Matrisin eksponenttifunktion sarjalla on näin majoranttina lukusarja j 1 j! Aj j 1 j! A j e A. Tästä seuraa, että matrisin eksponenttifunktion sarja suppenee itseisesti. Matrisin eksponenttifunktion avulla voidaan määritellä reaalimuuttujan funktio t e ta 1 j! tj A j. j Tämä sarja voidaan derivoida termeittäin (perustelu kuten reaalimuuttujan eksponenttifunktiolle), jolloin saadaan d 1 d dt eta j! dt tj A j 1 j! jtj 1 A j 1 A (j 1)! tj 1 A j 1 A e ta. j1 j1 Kun tätä sovelletaan funktioon u(t) e ta u, missä u R n on annettu vektori, saadaan j1 u (t) d dt eta u A e ta u A u(t). Lisäksi u() e A u I u u. Matriisin eksponenttifunktion avulla siis saadaan ratkaisu alkuarvotehtävälle (8.3). Matriisin eksponenttifunktiolla vielä seuraavaa operaattoriryhmäominaisuus e (s+t)a e sa e ta kaikille s, t R. 11 Banachin avaruuksia tunteva lukija huomaa, että vastaava ongelma Banachin avaruudessa E on: Kun A: E E on jatkuva lineaarikuvaus, niin määrää derivoituva funktio u: R E siten, että u (t) A u(t) ja u() u.

8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 57 Matriisin eksponenttifunktion avulla on helppo ratkaista myös epähomogeeninen alkuarvotehtävä { v (t) A v(t) + f(t), v() v, missä f : R R on annettu jatkuva funktio. Käytetään apuna vakion variointia: Koska homogeenisella yhtälölla ratkaisuna on v(t) e ta v, tehdään yrite v(t) e ta u(t), missä u(t) on nyt tuntematon funktio. Derivoimalla saadaan v (t) A e ta u(t) + e ta u (t) A v(t) + e ta u (t). Sijoittamalla tämä v differentiaaliyhtälöön, saadaan A v(t) + f(t) v (t) A v(t) + e ta u (t) joten e ta u (t) f(t). Matriisilla e ta on käänteismatriisi e ta (vrt. operaattoriryhmäominaisuuteen), joten u (t) e ta f(t). Integroimalla puolittain välin [, s] yli, saadaan u(s) u() + s e ta f(t) dt. Koska v() v, on u() v, ja ratkaisuksi v(t) saadaan t v(t) e ta u(t) e ta v + e ta e sa f(s) ds e ta v + t e (t s)a f(s) ds. Lämpöyhtälön ratkaisun u(x, t) K t f(x) operaattoriperhe (K t ) t käyttäytyy monessa kohtaa samalla tavalla kuin matriisin eksponenttifunktio. Kuitenkin operaattoriperhe muodostaa vain operaattoripuoliryhmän ja derivaattayhtälönä saadaan d dt K tf 2 x 2 K tf kun t >. Matriisin A tilalla on siis nyt osittaisdifferentiaalioperaattori 2. Analogia on muuten x 2 hyvä, mutta operaattori 2 ei ole jatkuva juuri minkään hyvän normin suhteen, eikä x 2 operaattori 2 eksponettifunktiota voi määrätä sarjan avulla kuten yllä. x 2 Sen sijaan edellä löydetty tulos toimii myös epähomogeeniselle lämpöyhtälölle u t 2 u + f(x, t) x puolitasossa 2 R2 + R (, ), u(x, ) u (x) kaikille x R. Tämän ratkaisu on u(x, t) K t u (x) + t K t s f(x, s) ds. Matriisiin eksponenttifunktiosta ja operaattoripuoliryhmistä lisätietoa löytyy mm. seuraavista kirjoista: [11, 14 2], [12, Ch. 3], [13, Ch. VII], [32, Ch. Nine], [34, Ch. X], [38, Ch. IX].

8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 58 8.4. Ratkaisun monotonisuudesta. Olkoon R n rajoitettu alue, jonka reuna on riittävän sileä. Olkoon u lämpöyhtälön u n t u 2 u x 2 j ratkaisu alueessa Q (, ) siten, että se toteuttaa jommankumman seuraavista reunaehdoista u(x, t) j1 kaikille x ja t >, tai n u(x, t) kaikille x ja t >. Tässä n u on u:n suuntaisderivaatta reunan yksikkönormaalin n suuntaan. Ratkaisusta u oletetaan, että u C 2 (). Kaikille k Z + asetetaan I k (t) u(x, t) 2k dx. Väite 8.8. Funktio I k : [, ) R on vähenevä. j1 Todistus. Koska funktio u ja alue ovat sileitä, voidaan I k :n derivaatta laskea derivoimalla integrandi. Kun lisänä käytetään divergenssilausetta, saadaan I k(t) t u(x, t)2k 2k 1 u dx 2k u(x, t) (x, t) dx t n 2k u 2k 1 u dx 2k u 2k 1 2 u dx x 2 j1 j n ( 2k 1 u ) n ( u ) 2 2k u dx 2k(2k 1) u 2k 2 dx x j x j x j 2k u 2k 1 n u dx 2k(2k 1) n j1 j1 u 2k 2 ( u x j ) 2 dx Koska reunaehtojen nojalla reunaintegraali on nolla, saadaan n ( u ) 2 I k(t) 2k(2k 1) u 2k 2 dx. x j Väite seuraa tästä. Lause 8.9. Kun t, olkoon Tällöin M : [, ) R on vähenevä. j1 M(t) max{ u(x, t) x }. Todistus. Olkoot s < t. Edellisen väitteen nojalla kaikille k Z + on (I k (t)) 1/(2k) (I k (s)) 1/(2k). Riittää siis osoittaa, että lim k (I k (t)) 1/(2k) M(t).

8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 59 Lemma 8.1. Olkoon v : R jatkuva funktio. Tällöin ( 1/(2k). max{ v(x) x } lim v(x) dx) 2k k Todistus. Olkoon M max{ v(x) x }. Tällöin ( ) 1/(2k) ( 1/(2k) v(x) 2k dx M dx) 2k M 1/(2k), missä on joukon tilavuus. Olkoon x 1 piste, jolle v(x 1 ) M. Olkoon ε > siten, että ε < M. Funktion v jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > siten, että v(x) v(x 1 ) < ε, kun x x 1 < δ, joten v(x) > M ε kun x x 1 < δ. Olkoon 1 {x x x 1 < δ}. Tällöin ( ) 1/(2k) ( ) 1/(2k) ( ) 1/(2k) v(x) 2k dx v(x) 2k dx (M ε) 2k dx (M ε) 1 1/(2k). 1 1 Siis ( 1/(2k) (M ε) 1 1/(2k) v(x) dx) 2k M 1/(2k). Kun k, saadaan ( 1/(2k) M ε lim v(x) dx) 2k M k Koska ε > on mielivaltainen, väite seuraa.