Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Transkriptio

1 Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä pisteessä sitä sivuavan tangentin) kulmakerroin; spiraalin tai pyörteen/keskuksen tapauksessa ilmoita myös trajektorin suunta (vasta- tai myötäpäivään) Tarkastellaan luentojen Esimerkin 45 mukaista työttömyysmallinnusta Merkitään jolloin p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, U(t) = työttömyys, p (t) p(t) = vuotuinen inflaatio Oletetaan, että inflaatio-odotuksilla π(t) täydennetty Phillipsin käyrä on p (t) p(t) = 3 U(t) + 05 π(t) () Inflaatio-odotusten muutoksen oletetaan olevan suoraan verrannollinen todellisen inflaation ja odotusten erotuksen kanssa mallin p π (t) (t) = 05 p(t) π(t) () mukaisesti Oletetaan, että (nominaalisen) rahan määrä kasvaa vakionopeudella eli m (t) = r m(t) m R, missä m(t) kuvaa rahan määrää, ja että kansakunnan yhteenlasketun ostovoiman yhteys työttömyyteen noudattaa yhtälöä m U (t) (t) = m(t) p (t) = r m p (t) (3) p(t) p(t) (a) Muodosta tästä kahden tuntemattoman yhtälön systeemi sijoittamalla yhtälö () yhtälöihin () ja (3) (b) Selvitä mallin mukaiset inflaatio-odotukset, työttömyys ja todellinen inflaatio, kun talous on tasapainotilassa Miten rahan määrän muutosnopeus r m vaikuttaa tasapainoon? (c) Määritä tasapainopisteen laatu ja stabiliteetti (d) Oletetaan, että keskuspankki pyrkii kasvattamaan rahan määrää vuosinopeudella r m = 3 % Mikä on tällöin tasapaino-työttömyys? Suomen nykyinen työttömyysaste on 94 % Laskeeko vai nouseeko mallin mukainen työttömyysaste tällöin pitkällä aikavälillä? Ratkaise seuraavat lineaariset systeemit käyttämällä tehtävän matriisimuotoilua, ja selvitä kriittisen pisteen laatu ja stabiliteetti x = 3x x, x = x x ;

2 (b) { x = x + x, x = 4x x (c) { x = 3x + x, x = x x ; 3 Ratkaise seuraavat systeemit tutkimalla ensin homogeenista yhtälöä, ja etsimällä sitten erityisratkaisu, joka on muotoa x p = (a a ) T Etsi myös systeemien kriittiset pisteet ja määritä niiden laatu ja stabiliteetti x = x + 4, x = 3x 6x 6; (b) { x = 5 x + 7 x 5, x = x x + ; (c) { x = x x +, x = 3x x Ratkaise seuraavat lineaariset systeemit sekä määritä kriittisen pisteen laatu ja stabiliteetti (a) (b) (c) 3 x, 4 x, 5 5 Ratkaise seuraavat lineaariset systeemit x (a) (b) (c) x, x, x 0

3 6 Ratkaise seuraavat lineaariset systeemit ja alkuarvotehtävä (a) (b) (c) 7 Tutkitaan systeemiä x; 3 x; x, x(0) = α x 0 (a) Määritä, miten ratkaisujen käyttäytyminen vaihtelee vakion α arvon mukaan Etsi sellaiset vakion α rajatapaukset, joissa ratkaisujen käyttäytyminen tai stabiliteetti muuttuu (b) Ratkaise tehtävä, kun α = 3 ja piirrä ratkaisua kuvaava vaihediagrammi (c) Ratkaise tehtävä, kun α = 5 ja piirrä ratkaisua kuvaava vaihediagrammi 8 Esitä seuraavien differentiaaliryhmien vaihediagrammi ja tarkastele ratkaisun stabiliteettia kriittisen pisteen ympäristössä (a) (b) (c) x; 0 x; 6 5 x 9 Etsi yhtälöä Ax vastaava eksponenttimatriisifunktio e At Toisin sanottuna, etsi sellainen perusmatriisi X, jolle X(0) = I seuraavissa tapauksissa 3 (a) A = 4 ; (b) A = ; 4 (c) A = 3

4 0 Olkoot ja tutkitaan yhtälöä Ax A =, 4 (a) Etsi yhtälöä vastaava perusmatriisi X(t) (b) Laske matriisieksponentti e At (c) Ratkaise yhtälö Ax alkuarvolla x(0) = 5 (d) Ratkaise Ax + alkuarvolla x(0) = 0 0 Olkoot x (t) = yhtälön Ax ratkaisuja e t x (t) = e t (a) Kirjoita yhtälöä vastaava perusmatriisi ja laske eksponenttifunktio e At (b) Kirjoita yhtälön yleinen ratkaisu, ja etsi alkuarvoja x(0) = ja x(0) = 0 vastaavat ratkaisut (c) Etsi matriisin A ominaisarvot - ja vektorit (d) Määritä matriisi A Olkoot x (t) = e 3t ( ) x (t) = e t ( ) yhtälön Ax ratkaisuja (a) Kirjoita yhtälöä vastaava perusmatriisi ja laske eksponenttifunktio e At (b) Kirjoita yhtälön yleinen ratkaisu, ja etsi alkuarvoja 0 x(0) = ja x(0) = 0 vastaavat ratkaisut (c) Määritä matriisi A 3 Olkoot A =, 4 (a) Etsi matriisin A ominaisvektorit ja muodosta tehtävän 9 mukainen matriisi T = ( ξ ξ ) (b) Käyttämällä sijoitusta x = Ty kirjoita yhtälö Ax muodossa Mikä on matriisi D? y = Dy

5 (c) Määritä eksponenttifunktio e Dt ja selvitä sen avulla alkuperäisen yhtälön Ax perusmatriisi tehtävässä 9 esitetyllä tavalla 4 Tutkitaan toisen kertaluvun lineaarista yhtälöä ay (t) + by (t) + cy(t) = 0, a, b, c R, a 0 (4) (a) Osoita, että sijoituksella x(t) = y (t) yhtälö (4) voidaan kirjoittaa kahden kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön systeeminä (b) Olkoot y ja y yhtälön (4) ratkaisuja, ja olkoot x ja x vastaavat (a)- kohdassa tuottamasi systeemin ratkaisut Osoita, että toisen kertaluvun yhtälölle (4) määritelty Wronskin determinantti W (y, y )(t) = y y y y ja yhtälösysteemin ratkaisuille x (t) ja x (t) määritelty Wronskin determinantti W (x, x )(t) yhtyvät kaikilla t I 5 Origo (0, 0) on seuraavien epälineaaristen yhtälöryhmien kriittinen pisteet Määritä sen laatu ja tutki stabiliteettia x y + xy, y = 3x y xy; (b) { x x xy, y = 3y xy y ; (c) { x + x y, y = x y + x 3 6 Etsi seuraavien epälineaaristen yhtälöryhmien kriittiset pisteet sekä määritä niiden laatu ja analysoi stabiliteettia xe y, y = e y ; (b) { 4x + y, y = 3x y; (c) { y, y = x y 7 Esitä seuraavien differentiaaliyhtälöryhmien vaihediagrammi ja tarkastele ratkaisun stabiliteettia kriittisten pisteiden ympäristössä x + 3y, y = x + 6y;

6 (b) { x x y, y = y xy; (c) Ratkaistaan seuraava yleisillä vakioiden α, ρ arvoilla, joten mikäli ratkaisu on satulaura tai spiraali, ei tarvitse selvittää satulauran kulmakerrointa tai spiraalin pyörimissuuntaa { x α y, y = (αx α ρ)y, 0 < α, ρ < Tämä malli kuvastaa talouden dynaamista käyttäytymistä pitkällä aikavälillä Muuttuja x vastaa pääomavarantoa, joka kasvaa konkaavin tuotantofunktion x α mukaisesti, kun samalla tuotosta kulutetaan y verran (eli y vastaa kulutusta) 8 Käytä tehtävän 4 sijoitusta ja muunna seuraavat epälineaariset differentiaaliyhtälöt ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemeiksi Selvitä myös systeemien kriittiset pisteet ja niiden laatu (a) y y + y = 0, (b) y y + 9 = 0, (c) y ( y )y + y = 0 Teoreettiset tehtävät 9 Olkoot A symmetrinen n n-matriisi ja ξ, ξ n sen lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit Merkitään ominaisvektoreista muodostettua matriisia T := ( ξ ξ n ) (a) Osoita että A = TDT, missä λ λ 0 D = 0 0 λ n on matriisin A ominaisarvoista muodostettu diagonaalimatriisi (b) Osoita, että sijoituksella x = Ty yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa Ax (5) y = Dy (6)

7 (c) Osoita, että ja että TQ = e λ t 0 0 Q(t) := e Dt 0 e λ t 0 = 0 0 e λnt ξ () e λ t ξ (n) e λnt n e λ t ξ n (n) ξ () on yhtälön (5) perusmatriisi e λnt, ξ i = ξ (i) ξ (i) n, (7) Huomautus! Huomaa, että yhtälöryhmä (6) voidaan kirjoittaa muodossa y (t) = λ y (t), y (t) = λ y (t), y n(t) = λ n y n (t), missä kukin yhtälö riippuu vain yhdestä tuntemattomasta funktiosta y i (t), i =,,, n (engl decoupled system) Tällöin kukin yhtälö voidaan ratkaista erikseen kertaluvun yhtälönä ja saadaan triviaali perusmatriisi (7) 0 Olkoot S t : R R jokaisella t 0 sellainen, että (i) S 0 (x) = x kaikilla x R, (ii) S t+s (x) = S t (S s (x)) kaikilla x R, ja (iii) lim t s S t (x) = S s (x) kaikilla s 0 ja x R Tällöin sanomme, että {S t } t 0 on jatkuva puoliryhmä Usein myös merkitään S t (x) =: S(t)x ja tulkitaan, että jokaisella t 0 objekti S(t) on operaattori, joka kuvaa lähtöjoukon alkion x maalijoukon alkioksi S(t)x Yleisemmin sekä lähtö- että maalijoukko voivat olla myös muita (funktio)avaruuksia R :n sijasta (a) Osoita, että yhtälöryhmään Ax, x(0) = x o, (8) liittyvä matriisieksponenttifunktio määrittelee, avaruuden R pisteisiin operoivan, puoliryhmän S(t) = e At kaavalla S(t)x o = e At x o kaikille x o R Vinkki: Osoita, että sekä e At e As ja e A(t+s) ratkaisevat alkuarvo-ongelman Z = AZ, Z(0) = e As Huomautus! Yhtälöryhmä (8) määrittelee dynaamisen systeemin, jossa ratkaisu (x (t), x (t)) aloittaa pisteestä x o ja etenee matriisin A määräämän dynamiikan mukaisesti Koska e At x o on alkuarvo-ongelman yksikäsitteinen ratkaisu, puoliryhmän e At voidaan tulkita määrittävän tämän dynaamisen systeemin evoluution ajan suhteen

8 (b) Määritellään puoliryhmän S(t) infinitesimaalinen generaattori kaavalla [S(t) S(0)]x o Ax o = lim t 0 t Osoita, että puoliryhmän e At infinitesimaalinen generaattori on matriisi A Huomautus! Tämän tuloksen nojalla (lineaarista) dynaamista evoluutiota kuvaava puoliryhmä määrittelee systeemiin liittyvään differentiaaliyhtälön, jonka kerroinmatriisi saadaan puoliryhmän infinitesimaalisena generaattorina

9 Bonus-tehtävä 5 p: kurssipalaute Bonuspisteitä ei lasketa harjoituserän pisteen minimipistemäärään (a) Kuinka monta tuntia olet osallistunut luennoille (0-4 h)? (b) Kuinka monta tuntia olet osallistunut harjoituksiin (0-4 h)? (c) Kuinka monta tuntia olet käyttänyt kurssimateriaalin itseopiskeluun luentojen ja harjoitusten ulkopuolella? (d) Kuinka paljon koet oppineesi kurssilla suhteessa 4 op kurssilaajuuteen asteikolla (vähän) 5 (paljon)? (e) Miten arvioisit kurssia yleisesti asteikolla (huono) 5 (erinomainen)? (f) Mitä kurssilla olisi voitu tehdä paremmin? (g) Oliko kurssissa jotain positiivista, jota toivoisit myös muilta kursseilta?