5 Differentiaaliyhtälöryhmät

Transkriptio

1 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) = F(t, y, y,, y (n 1) ) voidaan palauttaa ryhmäksi ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä asettamalla y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n 1) (1) y 1 = y 2 y 2 = y 3.. (2) y n 1 = y n 1

2 Tällöin y (n) = F(t, y, y 1, y 2,, y n ) (3) Yleinen differentiaaliyhtälöryhmä: y 1 = f 1 (t, y 1,, y n ) y 2 = f 2 (t, y 1,, y n ) y n = f 1 (t, y 1,, y n ) (4) Sisältää kaikki tärkeät tapaukset, koska korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt ja yhtälöryhmät voidaan palauttaa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmäksi. Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisu välillä a < t < b on n:n differentioituvan funktion joukko y 1 = φ 1 (t),, y n = φ n (t) (5) 2

3 Alkuarvoprobleema koostuu yhtälöstä (4) ja alkuehdoista y 1 (t 0 ) = K 1, y 2 (t 0 ) = K 2,, y n (t 0 ) = K n (6) Ratkaisujen olemassaolo ja yksikäsitteisyys: Olkoot f 1,, f n yhtälössä (4) jatkuvia funktioita, joilla on jatkuvat osittaisderivaatat f 1 / y 1,, f 1 / y n,, f n / y n jossain ty 1 y n avaruuden alueessa R sisältäen pisteen (t 0, K 1,, K n ). Tällöin yhtälöllä (4) on yksikäsitteinen ratkaisu jollain välillä t 0 α < t < t 0 + α, siten että alkuehdot (6) toteutuvat. Differentiaaliyhtälöryhmä on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon y 1 = a 11 (t)y a 1n (t)y n + g 1 (t) y n = a n1 (t)y a nn (t)y n + g n (t). (7) 3

4 Vektorimuodossa missä a 11 a 1n A =, y = a n1 a nn Yhtälöryhmä on homogeeninen, jos g = 0 y = Ay + g, (8) y 1. y n g = g 1. g n (9) y = Ay (10) Lineaariselle yhtälöryhmälle pätee: Jos a jk :t ja g j :t ovat jatkuvia t:n funktioita avoimella välillä α < t < β, joka sisältää pisteen t = t 0, yhtälöllä (8) on tällä välillä yksikäsitteinen alkuehdot toteuttava ratkaisu y(t). 4

5 Superpositioperiaate: Jos y (1) ja y (2) ovat homogeenisen differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisuja jollain välillä, myös lineaarikombinaatio y = c 1 y (1) + c 2 y (2) on ratkaisu. Homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisujen kanta välillä J on n:n ratkaisun lineaarisesti riippumaton joukko y (1),,y (n) tällä välillä ja vastaava lineaarikombinaatio y = c 1 y (1) + + c n y (n) (11) on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä J. Kantafunktioiden muodostama Wronskin determinantti: y (1) 1 y (2) 1 y (n) 1 W(y (1),, y (n) ) = y n (1) y n (2) y (n) n (12) 5

6 5.2 Vakiokertoimiset homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Oletetaan, että yhtälöryhmän y = Ay (13) kerroinmatriisi A = [a jk ] on vakio, eli sen alkiot eivät riipu t:stä. Yksittäisen yhtälön y = ky ratkaisu on y = Ce kt yrite: Sijoitetaan yhtälöön (13), saadaan y = xe λt (14) y = λxe λt = Ay = Axe λt (15) Jakamalla e λt :llä saadaan karakteristinen yhtälö Ax = λx (16) 6

7 Oletus: A:lla n:n ominaisvektorin muodostama kanta. Tällöin ratkaisut ovat y (1) = x (1) e λ 1t,,y (n) = x (n) e λ nt (17) Wronskin determinantti: x (1) 1 eλ 1t x (n) 1 eλ nt W(y (1), y (n) x (1) 2 ) = eλ 1t x (n) 2 eλ nt x (1) n e λ 1t x n (n) e λ nt x (1) 1 x (n) 1 = e λ 1t+ +λ n t x (1) 2 x (n) 2 x (1) n x (n) n (18) 7

8 Jos kerroinmatriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, vastaavat ratkaisut y (1),,y (n) muodostavat yhtälön (13) ratkaisujen kannan ja vastaava yleinen ratkaisu on y = c 1 x (1) e λ 1t + + c n x (n) e λ nt (19) Kahden yhtälön yhtälöryhmän ratkaisuja y 1 y 2 tasossa kutsutaan poluiksi (path, trajectory) ja ko. tasoa faasitasoksi (phase plane). Jos A:lla on kaksinkertainen ominaisarvo µ, jota vastaa vain yksi ominaisvektori x, saadaan toinen riippumaton ratkaisu sijoituksella Kolminkertainen ominaisarvo µ y (2) = xte µt + ue µt (20) y (3) = 1 2 xt2 e µt + ute µt + ve µt (21) 8

9 5.3 Faasitaso, kriittiset pisteet ja stabiilius Esitetään yhtälöryhmän y = Ay = a 11 a 12 y, (22) a 21 a 22 eli y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 (23) ratkaisut polkuina y 1 = y 1 (t), y 2 = y 2 (t) faasitasossa. Yhtälöstä (22) saadaan dy 2 = dy 2/dt dy 1 dy 1 /dt = y 2 y 1 = a 21y 1 + a 22 y 2 a 11 y 1 + a 12 y 2 (24) 9

10 Jokaiseen pisteeseen P : (y 1, y 2 ) liittyy pisteen P kautta kulkevan polun yksikäsitteinen tangenttisuunta dy 2 /dy 1 Piste P = P 0 : (0, 0) on kriittinen piste: Solmu, satulapiste, keskus tai spiraalipiste. Kriittisen pisteen laatu riippuu A:n ominaisarvoista λ 1, λ 2, jotka ovat karakteristisen yhtälön a det(a λi) = 11 λ a 12 a 22 λ = λ2 (a 11 + a 22 )λ + det A = 0 a 21 ratkaisuja. Merkitään (25) p = a 11 + a 22, q = deta = a 11 a 22 a 12 a 21, = p 2 4q (26) 10

11 Tällöin λ 2 pλ + q = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) = λ 2 (λ 1 + λ 2 )λ + λ 1 λ 2 (27) Kriittinen piste P 0 on 1. solmu, jos q > 0 ja 0, 2. satulapiste, jos q < 0, 3. keskus, jos p = 0 ja q > 0, 4. spiraalipiste, jos p 0 ja < 0 Kriittiset pisteet voidaan luokitella myös stabiiliuden mukaan: Piste P 0 on stabiili, jos kaikki jollain hetkellä P 0 :n lähellä olevat polut pysyvät sen lähellä kaikkina ajanhtekinä, ts. jokaista P 0 keskistä kiekkoa D ǫ, jonka säde ǫ > 0 vastaa P 0 keskinen kiekko D δ siten, että jokaisen D δ :ssa olevan pisteen P 1 kautta kulkevan polun kaikki pisteet ovat D ǫ :ssa. 11

12 Piste P 0 on stabiili ja attraktiivinen kriittinen piste, jos P 0 on stabiili ja jokainen pisteen D δ kautta kulkeva polku lähestyy P 0 :aa, kun t. Jos P 0 ei ole stabiili, se on epästabiili. p:n ja q:n avulla: piste P 0 on 1. stabiili ja attraktiivinen, jos p < 0 ja q > 0 2. stabiili, jos p 0 ja q > 0 3. epästabiili, jos p > 0 tai q < 0. Stabiilissa systeemissä pieni häiriö jollain ajanhetkellä muuttaa systeemin käyttäytymistä tulevilla ajanhetkillä vain vähän. 12

13 5.4 Epälineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Faasitasomenetelmiä voidaan käyttää epälineaaristen yhtälöryhmien y = f(y), eli y 1 = f 1 (y 1, y 2 ) y 2 = f 2 (y 1, y 2 ) (28) ratkaisemiseen. Yhtälöryhmä (28) on autonominen, jos riippumaton muuttuja t ei esiinny eksplisiittisesti. Tarkastellaan autonomisia yhtälöryhmiä ja oletetaan, että kriittinen piste P 0 on origo (tai voidaan siirtää origoon) ja että se on eristetty, eli lähistöllä ei ole muita kriittisiä pisteitä. 13

14 Kriittisten pisteiden ominaisuuksia voidaan usein tarkastella linearisoimalla: Otetaan huomioon, että f 1 (0, 0) = 0 ja f 2 (0, 0) = 0, ts. funktioissa f 1 ja f 2 ei ole vakiotermejä ja kirjoitetaan yhtälöryhmä (28) muotoon y = Ay + h(y), eli y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + h 1 (y 1, y 2 ) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + h 2 (y 1, y 2 ) Jos deta 0, kriittisen pisteen tyyppi ja stabiilisuus on sama kuin vastaavan lineaarisen yhtälöryhmän, joka saadaan linearisoimalla yhtälöryhmä (28) eli asettamalla h(y) = 0: y = Ay, eli (29) y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 (30) 14

15 Faasitasomenetelmää voidaan käyttää myös toisen kertaluvun autonomisen yhtälön F(y, y, y ) = 0 (31) muuntamiseen ensimmäisen kertaluvun yhtälöksi. Asetetaan y = y 1 ja y = y 2 ja käytetään ketjusääntöä: y = y 2 = dy 2 dt = dy 2 dy 1 dy 1 dt = dy 2 dy 1 y 2 (32) Saadaan ensimmäisen kertaluvun yhtälö ( F y 1, y 2, dy ) 2 y 2 dy 1 = 0. (33) 15

16 5.5 Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Tarkastellaan yhtälöryhmiä missä vektori g(t) 0. Yhtälöryhmän (34) yleinen ratkaisu on y = Ay + g, (34) y = y (h) + y (p), (35) missä y (h) (t) on vastaavan homogeenisen yhtälöryhmän y = Ay ratkaisu ja y (p) (t) on ryhmän (34) erityisratkaisu. Etsitään siis epähomogeenisen yhtälöryhmän erityisratkaisuja. 16

17 Määräämättömien kertoimien menetelmää voidaan käyttää, jos g:n komponentit ovat t:n kokonaislukupotensseja, eksponenttifunktioita, sinejä tai kosineja. Jos g:ssä on termi e λt, missä λ on A:n ominaisarvo, yritteenä on kÿtettävä termiä ute λt + ve λt. Parametrien variointimenetelmää voidaan soveltaa epähomogeenisiin lineaarisiin yhtälöryhmiin y = A(t)y + g(t), (36) missä A = A(t) ja g(t) on mikä tahansa funktio. Parametrien variointimenetelmä antaa erityisratkaisun y (p) jollain välillä J, jos homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu tunnetaan. y (h) = c 1 y (1) + + c n y (n) (37) 17

18 Komponenteittain: c 1 y (1) c n y (n) 1 y (h) =. = c 1 y n (1) + + c n y n (n) y (1) 1 y (n) 1 c 1.. y n (n) y n (n) c n = Y(t)c (38) Korvataan vakiovektori c vektorilla u(t): y (p) = Y(t)u(t) (39) Sijoitetaan y (p) yhtälöön (36), saadaan Y u + Yu = AYu + g (40) 18

19 Homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisut y (1) = Ay (1), y (2) = Ay (2),,y (n) = Ay (n) (41) voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä Y = AY, jolloin yhtälö (40) redusoituu muotoon Yu = g. Matriisilla Y on käänteismatriisi, ja voidaan ratkaista Integroidaan alkuarvosta t 0 t:hen, saadaan u(t) = t u = Y 1 g (42) t 0 Y 1 ( t)g( t)d t + C (43) Saadaan yleinen ratkaisu (erityisratkaisu, jos C = 0): y = Yu = YC + Y t t 0 Y 1 ( t)g( t)d t (44) 19

20 Yhtälöryhmille y = Ay + g(t), (45) joille A:lla on ominaisvektorien muodostama kanta, voidaan käyttää myös matriisin diagonalisointia. Voidaan osoittaa, että matriisi D = X 1 AX (46) on diagonaalinen ja sen diagonaalilla ovat matriisin A ominaisarvot. Määritellään uusi tuntematon funktio z = X 1 y, (47) jolloin y = Xz. (48) Sijoitetaan tämä yhtälöön (45), saadaan 20

21 Xz = AXz + g (49) Kerrotaan vasemmalta X 1 :llä, saadaan z = X 1 AXz + h, (50) missä h = X 1 g. Tämä voidaan kirjoittaa muotoon z = Dz + h (51) Komponenteittain z j = λ j z j + h j (52) Ratkaisemalla nämä n lineaarista yhtälöä saadaan (y = Xz) z j (t) = c j e λjt + e λ jt e λjt h j (t)dt (53) 21

22 6 Potenssisarjamenetelmistä Idea: Esitetään yhtälön y + p(x)y + q(x)y = 0 (54) kertoimet p(x) ja q(x) potenssisarjoina. Myös ratkaisun oletetaan olevan muotoa y = m=0 a m x m = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + (55) Sijoitetaan tämä sarja ja sen derivaatat y = m=1 ma m x m 1 = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + (56) 22

23 y = m=2 m(m 1)a m x m 2 = 2a a 3 x + 4 3a 4 x 2 + (57) alkuperäiseen yhtälöön. Ratkaisemalla tästä eri potenssien kertoimet saadaan yhtälön ratkaisu. Potenssisarjamenetelmillä voidaan ratkoa sovellusten kannalta tärkeitä differentiaaliyhtälöitä, joiden ratkaisu muuten olisi vaikeaa tai mahdotonta. Ratkaisuna saadaan usein erikoisfunktioita. Esim. Legendren differentiaaliyhtälö ratkaisuna Legendren polynomit (1 x 2 )y 2xy + n(n + 1)y = 0, (58) 23

24 P n (x) = M ( 1) m (2n 2m)! 2 n m!(n m)!(n 2m)! xn 2m = m=0 (2n)! 2 n (n!) 2 xn (2n 2)! 2 n 1!(n 1)!(n 2)! xn 2 +, (59) missä M = n/2 tai (n 1)/2, riippuen siitä kumpi on kokonaisluku. Muutama ensimmäinen Legendren polynomi: P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) (60) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) 24