u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
|
|
- Pekka Halonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti ilmaistuna: ns. Dirichlet n integraalin Du) = u dx, minimoivat funktiot toteuttavat Laplace-yhtälön u =, ja kääntäen. Täsmennetään ja rajataan tilannetta) hieman. Olkoon R n rajoitettu alue, jonka reuna on sileä niin, että voidaan soveltaa divergenssilausetta). Olkoon f : R annettu jatkuva funktio. Olkoot A f = {U C ) U = f} ja A = {U C ) U = }. Tarkoitus on löytää funktio u A f siten, että Du) = inf U A f DU). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä keskenään yhtäpitäviksi: } u A f ja { u Af ja Du) = inf DU) U A f u = Oletetaan aluksi, että minimointitehtävällä on ratkaisu u A f. Tällöin kaikille v A ja t R on u + tv A f, joten Du + tv) Du). Siis funktio t Du + tv) saavuttaa pienimmän arvonsa hetkellä t =. Lasketaan tämän funktion derivaatta: Koska Du + tv) = u + t v dx = u dx + t u v dx + t v dx = Du) + t u v dx + t Dv), niin d Du + tv) = u v dx + tdv). dt Erityisesti siis hetkellä t = on u v dx = kaikille v A. Divergenssilauseen tai ensimmäisen Greenin kaavan) nojalla u v dx = u v dx + ν u v ds. 19 Viimeksi muutettu Dirichlet n periaatteen historiasta: A. F. Monna: Dirichlet s principle. A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis, Oosthoek,
2 1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 89 Koska v = reunalla, häviää reunaintegraali, joten u v dx = kaikille v A. Tästä on melko helppo osoittaa, että u =. Oletetaan kääntäen, että u A f ja u =. Olkoon ũ A f mielivaltainen. Tällöin funktiolle v := u ũ on v A ja ũ = u+v. Jälleen divergenssilauseen avulla u v dx = u v dx + ν u v ds = u v dx. Oletuksen mukaan u =, joten u v dx =. Kuten edellä, on Dirichlet n integraalille Dũ) = Du + v) = Du) + u v dx + Dv) = Du) + Dv) Du). Siis u minimoi Dirichlet n integraalin joukossa A f. Funktioluokka C ) on Dirichlet n integraaliin liittyen turhan suppea. Loogisemmin integraaliin liittyy joukko {U C 1 ) DU) < ja U = f}. Tarkastellaan myöhemmin tätä tapausta, kun on tason origokeskinen yksikköympyrä. 1.. Periaate II. Kirjaa [7, Ch. 4] seuraten.) Olkoot, f : R, A f ja A kuten edellä. Oletetaan, että on olemassa ϕ C ) siten, että ϕ = f. Tällöin Laplaceyhtälön epähomogeenisiin reuna-arvoihin liittyvä Dirichlet n tehtävä u A f ja u = ja Poissonin yhtälön homogeenisiin reuna-arvoihin liittyvä Dirichlet n tehtävä v A ja v = ϕ ovat keskenään yhtäpitävät tehtävät. Nimittäin, jos u A f ja u =, niin funktiolle v = u ϕ on v C ), v = u ϕ = ϕ ja v = u ϕ = f f =. Kääntäen, jos v A ja u = ϕ, niin funktiolle u = v + ϕ on u C ), u = v + ϕ = ϕ + ϕ = ja u = v + ϕ = + f = f. Poissonin yhtälöön liittyy seuraava minimointiongelma: on määrättävä funktio ) u A siten, että Du) g u dx = inf DU) g U dx. U A Tässä g : R on annettu jatkuva funktio. Huomaa, että nyt ei ole itsestään selvää, että tarkasteltava funktio on alaspäin rajoitettu. Oletetaan aluksi, että minimimointitehtävällä on ratkaisu u A. Nyt u+tv A kaikille v A ja t R, joten = d ) Du + tv) gu + tv) dx = u v dx gv dx. dt t=
3 1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 9 Divergenssilauseen nojalla tämä ehto voidaan kirjoittaa muotoon = u v dx gv dx = u v dx + ν u v ds = u v dx gv dx = u + g) v dx. gv dx Tästä seuraa, että u + g =. Siis u on seuraavan reuna-arvotehtävä ratkaisu { u = g :ssa, ja ux) = reunalla. Oletetaan kääntäen, että u A ja u = g. Merkitään F U) = DU) g U dx, kun U A. Nyt kaikille v A on F u + v) = Du) + u v dx + Dv) gu dx gv dx. Divergenssilauseen nojalla u v dx = Siis F u + v) = Du) = Du) + Dv) u v dx + u v dx + Dv) ν u v ds = u v dx. gu dx Du) Siis u minimoi funktionaali)n F joukossa A. Yhteenvetona: u A ja ) Du) g u dx = inf DU) g U dx U A gu dx gv dx gu dx = F u). { u A ja u = g Dirichlet n periaatteen tämän version hyvä puoli on, että tämä voidaan helposti laajentaa Sobolev-avaruuksien funktioille. Dirichlet n periaatteen ja Sobolev-avaruuksien yhteys puolestaan on se, että Sobolev-avaruuksille minimin olemassaolo on suhteellisen helppo todistaa Periaate III. Kirjaa [4,.E,.B] seuraten.) Olkoon R n rajoitettu alue, jonka reuna on riittävän sileä. Funktioille u, v C 1 ) asetetaan Du) = u dx ja Iu, v) = u v dx. Kuvaus 1, : u ) 1/ Du) + u dx
4 1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 91 on normi vektoriavaruudessa C 1 ). Olkoon H 1 ) vektoriavaruuden C 1 ) täydentymä tämän normin suhteen. [Avaruus H 1 ) on tavallinen Sobolevin avaruus W 1, ); reunan sileyttä tarvitaan siihen, että C 1 ) on tiheä Sobolevin avaruuden W 1, ) = H 1 ) aliavaruus.] Olkoon H) 1 aliavaruuden Cc ) sulkeuma H 1 ):ssa. Sobolevin avaruudessa Dirichlet n reuna-arvotehtävä { u = :ssa, ja ux) = fx) reunalla, voidaan tulkita esimerkiksi seuraavaksi ongelmaksi: Olkoon f H 1 ) annettu funktio. On määrättävä funktio u H 1 ) siten, että u on harmoninen :ssa ja u f H 1 ). Tässä viimeinen ehto tulkitaan reunaehdoksi u f = reunalla. Lause 1.1. Funktio u H 1 ) on harmoninen :ssa, jos ja vain jos u on kohtisuorassa aliavaruutta H 1 ) vastaan bilineaarimuodon I suhteen, t.s. Iu, v) = kaikille v H 1 ). Todistusidea). Divergenssilauseen nojalla kaikille u C 1 ) ja v Cc ) on u v dx = u v dx + ν u v ds = Iu, v). Koska yhtälön molemmat puolet ovat u:n jatkuvia lineaarimuotoja H 1 )-normin suhteen, pätee identiteetti myös kaikille u H 1 ) ja v Cc ). Siis u on harmoninen :ssa 1) u on yhtälön u = heikko ratkaisu :ssa u v dx = kaikille v Cc ) ) 3) Iu, v) = kaikille v C c ) 4) Iu, v) = kaikille v H 1 ). Perusteluja: 1) Weylin lemma seuraavana); ) heikon ratkaisun määritelmä; 3) edellä todettu divergenssilauseen seuraus; 4) kun u H 1 ) on v Iu, v) jatkuva H 1 )-normin suhteen. Väite seuraa y.o. ketjusta. Lause 1. Weylin lemma 1 ). Olkoon u L 1 loc ) yhtälön u = heikko ratkaisu, t.s. u v dx = kaikille v Cc ). Tällöin u C ) ja u =. 1 Hermann Weyl: The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J. 7, 194. Sobolevin avaruudet ovat peräisin vain paria vuotta aiemmin ilmestyneestä artikkelista Sergei) [Lvovitš)] Sobolev: Sur un théorème d analyse fonctionelle, Math. Sbornik 4 46), 1938 venäjäksi).
5 1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 9 Todistusidea). Konvoluutiota ja silottamista tunteville.) Valitaan ϕ Cc B, 1)) siten, että ϕx) dx = 1. R n Kaikille ε > asetetaan ϕ ε x) = ε n ϕx/ε) ja ϕ ε x) = ϕ ε x). Asetetaan vielä ε = {x R n Bx, ε) }. Nyt kaikille ψ Cc ε ) on ϕ ε ψ Cc ) ja u ϕ ε C ε ), joten u ϕ ε ) ψ dx = u ϕ ε ) ψ dx = u ϕ ε ψ)) dx = u ϕ ε ψ) dx =. Tästä seuraa, että u ϕ ε ) = joukossa ε. Keskiarvo-ominaisuuden nojalla kaikille x ε ja riittävän pienille r > on u ϕ ε )x) = 1 u ϕ ω n r n ε )x + y) dy. B,r) Koska u L 1 loc ), on kaikille :n kompakteille osajoukoille K voimassa u ϕ ε u L 1 K):ssa. Keskiarvo-ominaisuudesta seuraa, että u ϕ ε u lokaalisti tasaisesti :ssa. Keskiarvo-ominaisuuden käänteislauseen nojalla u on harmoninen. Funktiot u H 1 ), joille Du) =, ovat vakiofunktioita ja muodostavat H 1 ):n suljetun aliavaruuden. Olkoon tämän ortogonaalikomplementti E. Vaikka u Du) ei ole normi avaruudessa H 1 ), voidaan Hilbertin avaruuksien teoriaa soveltaa H 1 ):n suljettuun aliavaruuteen E. Tällöin u, v) Iu, v) on sisätulo E:ssä, ja H 1 ) E. Projektiolauseen nojalla jokainen f E voidaan esittää muodossa f = u + w, missä w H 1 ) ja u on sisätulon I mielessä kohtisuorassa aliavaruutta H 1 ) vastaan. Edellisten lauseiden nojalla u on harmoninen. Koska myös vakiofunktiot ovat harmonisia, voidaan jokainen f H 1 ) esittää muodossa f = u + w, missä w H 1 ) ja u on harmoninen. Muistettakoon, että ortogonaaliprojektio voidaan karakterisoida myös etäisyyden minimoivana vektorina: Vektorin f E ortogonaaliprojektio suljetulle aliavaruudelle H 1 ) on vektori w H 1 ), jolle etäisyys Df w) on pienin mahdollinen. Ortogonaaliprojektiolauseen tulokset voidaan siirtää seuraavaksi lauseeksi: Lause 1.3 Dirichlet n periaate). Olkoot f, u H 1 ). Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: i) u on harmoninen ja f u H 1 ); ii) Du) Dv) kaikille v H 1 ), joille f v H 1 ); iii) Df u) Dv) kaikille v H 1 ), joille f v on harmoninen. Huomautus 1.4. Ortogonaaliprojektiolauseen hienous ei ole niinkään edellisessä karakterisaatiossa, vaan siinä, että se takaa jaon f = u + w, missä w H 1 ) ja u on harmoninen, olemassaolon. Siis H 1 ) = H H 1 ), missä H = {u H 1 ) C ) u on harmoninen}. Tässä summa on ortogonaalinen ei-definiitin sisätulon Iu, v) = u v dx suhteen.
6 1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA Yksikköympyrä. Esimerkki kirjasta [, Band I, IV.].) Olkoot B = {x, y) R x + y < 1} ja u ) u ) ) Du) = + dx dy, x y B kun u: B R on jatkuvasti derivoituva. Napakoordinaateissa r, θ) on, kun vr, θ) := ur cos θ, r sin θ), 1 π v ) 1 v ) ) Du) = Dv) = + r dr dθ. r r θ Olkoon reunalla S 1 = B annettu jatkuva funktio f, ja oletetaan, että f on esitetty Fourier n sarjana fθ) = a + a k cos kθ + b k sin kθ). Olkoon A f = {U C 1 B) CB) U S 1 = f}. Etsitään funktiota u A f, joka minimoi Dirichlet n integraalin Du) joukossa A f, t.s. u A f ja Du) = inf U A f DU). Esitetään funktio u napakoordinaattien ja Fourier n sarjojen avulla seuraavasti: Funktion vr, θ) Fourier n sarja muuttujan θ suhteen on vr, θ) = f r) + f k r) cos kθ + g k r) sin kθ), missä f k r) = 1 π π vr, θ) coskθ) dθ, g k r) = 1 π π vr, θ) sinkθ) dθ. Koska funktio θ v, θ) = u, ) on vakiofunktio, on f ) = u, ) ja f k ) = g k ) =, kun k 1. Jotta v1, θ) = fθ), pitää olla f k 1) = a k ja g k 1) = b k. Koska u on jatkuva suljetussa yksikköympyrässä B ja jatkuvasti derivoituva avoimessa ympyrässä B, ovat f k ja g k jatkuvia välillä [, 1] ja jatkuvasti derivoituvia välillä [, 1) jatkuvuus- ja derivointilemmat). Fubinin lauseen, Parsevalin kaavan ja monotonisen konvergenssin lauseen avulla saadaan Dv) = π + π 1 f r) r dr 1 f kr) ) + k r f kr) r dr + π 1 g kr) ) + k r g kr) r dr. Huomaa, että tässä voi olla Dv) =. Kaava pitää paikkansa myös tässä tapauksessa, mikä nähdään seuraavasti: Olkoon B ρ = {x, y) R x + y < ρ }, kun < ρ < 1. Koska u C 1 B) on u C 1 B ρ ), joten yllä oleva kaava pätee, kun integrointi ulotetaan välille r ρ. Kun ρ 1, saadaan yllä oleva kaava.
7 1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 94 Kirjoitetaan summissa esiintyvät integraalit k 1) 1 f kr) ) + k r f kr) r dr 1 = f kr) k ) 1 r f kr) r dr + k f kr)f k r) dr = = 1 1 f kr) k r f kr) ) 1 r dr + k f k r) f kr) k ) r f kr) r dr + ka Muista: f k ) = ja f k 1) = a k.) Vastaavasti 1 g kr) ) + k r g kr) r dr = 1 1 k g kr) k ) r g kr) r dr + kb Integraalille Dv) saadaan siis pienin arvo, kun 1 f r) r dr =, f kr) k ) 1 r f kr) r dr =, g kr) k kr)) r g r dr =. Nämä ehdot reunaehtojen f k 1) = a k ja g k 1) = b k kera) toteutuvat, kun f r) = vakio = a, f k r) = a k r k, g k r) = b k r k. Siis Dv) saa pienimmän arvonsa, kun ja tällöin vr, θ) = a + r k a k cos kθ + b k sin kθ), Dv) = π k a k + b k). Huomaa, että v:lle saatu sarja on sama, johon päädyttiin Poissonin integraalin yhteydessä kuinkas muuten!). Huomaa myös, että Dirichlet n integraali Dv) on äärellinen, jos reunafunktiolta f vaaditaan hieman enemmän kuin vain jatkuvuus. Jos oletetaan, että f on jatkuva, niin tällöin π f θ) dθ = π k a k + b k). Tässä käytetään apuna Parsevalin kaava, joka pätee myös kaikille L -funktioille. Ongelma: Mitä tapahtuu, jos reunafunktio f on vain jatkuva? k Esimerkiksi, olkoon a k = 1, kun k = p p, p = 1,,..., a k =, muuten, ja b k = kaikille k Z +.
8 Tällöin Kuitenkin sarja Du) = 1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 95 k a k + b k) = fθ) = a k cos kθ = suppenee tasaisesti, joten f on jatkuva. Alussa olleen nojalla jokaiselle u A f on Du) = Dv) = π π + π 1 f r) r dr + π 1 k a k + b k) 1 ) p =. p p=1 p=1 1 p cosp θ) 1 f kr) k kr)) r f r dr g kr) k ) r g kr) r dr + π k a k + b k) Siis DU) = kaikille U C 1 B) CB), joille U S 1 = f. Toisaalta, Dirichlet n tehtävällä { u = yksikköympyrässä B, ja ucos θ, sin θ) = fθ) ympyrän kehällä S 1, on yksikäsitteisesti määrätty ratkaisu u C B) CB) Poissonin integraalin avulla). Tässä siis Dirichlet n tehtävän ratkaisua ei loydetä Dirichlet n integraalin minimoivista funktioista. Huomautus 1.5. Edellä konstruoitu funktio on esimerkki ns. lakunaarisista Fourier n sarjoista. Kokonaislukujono λ k ) Z + on lakunaarinen, jos on olemassa vakio q > 1 siten, että λ k+1 > qλ k kaikille k Z +. Fourier n sarja α k cosλ k θ) + β k sinλ k θ)) on lakunaarinen, jos jono λ k ) on lakunaarinen. Kirjassa [1, V.1.] osoitetaan, että jos funktion f L 1, π) Fourier n sarja on lakunaarinen kosinisarja α k cosλ k θ), ja jos f on derivoituva jossakin pisteessä θ, niin α k λ k, kun k. Tästä seuraa erityisesti, että Weierstrassin funktio k cos k θ) ei ole derivoituva missään. Samoin edellä ollut reunafunktio f ei ole derivoituva missään. Huomautus 1.6. Jatkuvan funktion Fourier n sarja voi hajaantua melko isossakin joukossa. Ks. [38, II.4] esimerkki Banachin ja Steinhausin lauseen sovelluksista): Jos {θ j j N} [, π] on annettu joukko, niin on olemassa ylinumeroituva joukko P ja jatkuva, π-jaksoinen funktio f siten, että P {θ j j N} ja funktion f Fourier n sarja hajaantuu jokaisessa joukon P pisteessä. Huomautus 1.7. Yksikköympyrän kehällä määritellyt funktiot voidaan samastaa π-jaksoisten funktioiden f : R R kanssa. Jos f L S 1 ), niin f voidaan
9 1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 96 esittää L -normin suhteen suppenevana sarjana fθ) = a + a k cos kθ + b k sin kθ). Tällaiselle funktiolle on f = π fθ) dθ = π a + π a k + b k) <. Jos lisäksi f on absoluuttisesti jatkuva ja f L S 1 ), niin π f = f θ) dθ = π k a k + b k). Tässä f on melkein f:n Sobolev-avaruusnormi f 1, = f + f Kun s R, s, asetetaan f H = π s a + π k s a k + b k) ja H s S 1 ) = {f L S 1 ) f H s < }. Huomaa, että H S 1 ) = L S 1 ), ja kun s Z +, on f H s f s, Sobolevavaruusnormi, f s, = f + f s) ). Voidaan osoittaa, että a) Sobolevin avaruus H 1 B) on joukon C 1 B) täydentymä ympyrän B Sobolevavaruusnormin suhteen; b) kuvaus C 1 B) CS 1 ), u u S 1, voidaan jatkaa jatkuvaksi lineaarikuvaukseksi γ : H 1 B) L S 1 ); c) kuvajoukko γh 1 B)) = H 1/ S 1 ). Huomaa, että f H 1/ = π a + π k a k + b k ). Lisäksi on helppo todistaa Sobolevin upotuslauseen kaltainen tulos: Jos f H s S 1 ) ja s > 1/, niin f on jatkuva tarkemmin: f eroaa jatkuvasta funktiosta vain nollamittaisessa joukossa). Vastaavasti: Jos f H s S 1 ) ja s > k + 1/, missä k N, niin f on k kertaa jatkuvasti derivoituva. Myös avaruuksille H s S 1 ), missä s <, löytyy käyttöä duaaliavaruudelle on H s S 1 )) = H s S 1 ), kun s, ainakin isometristä isomorfismia lukuunottamatta). ) 1/
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedot= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.
6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
Lisätiedoton Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g) 1,2 = (f g) 2 + (f g ) 2, missä ( ) 2 on L 2 (0, 1):n tavallinen sisätulo.
f ( n n 6. Sobolevin avaruudet 1 Monisteen [7, 15.4 ja määritelmä 15.26] mukaan Banachin avaruus H 1,p (0, 1 on normiavaruuden C 1 p(0, 1 = {f C 1 (0, 1 f, f L p (0, 1} täydentymä, kun normina on f f p
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotMathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π
78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
Lisätiedotpuolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt
8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedot3. Teoriaharjoitukset
3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
Lisätiedot7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista
7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista Värähtelevän jousen ja lämmönjohtumisyhtälöiden ratkaisemisessa päädyttiin seuraavankaltaiseen reuna-arvotehtävään { V = λv välillä (a, b), ja V (a) = V (b) = 0.
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotPerusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotStokesin lause LUKU 5
LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotp-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta
p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan
Lisätiedot