Mellin-muunnos ja sen sovelluksia

Transkriptio

1 Mellin-muunnos ja sen sovelluksia LuK-tutkielma Eetu Leinonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 28

2 Sisältö Johdanto 2 Esitiedot 2 2 Mellin-muunnos 3 2. Muunnoksen perusominaisuuksia Mellin-muunnoksen sovelluksia 3. Sarjojen summat Reuna-arvotehtävät ja integraaliyhtälöt Lähdeluettelo 6

3 Johdanto Tässä tutkielmassa käsitellään Mellin-muunnosta ja sen tärkeimpiä sovellutuksia. Mellin-muunnos on integraalimuunnos, kuten tunnetummat Fourierja Laplace-muunnoksetkin. Mellin-muunnoksen kehittäjänä tunnetaan yleisesti Hjalmar Mellin, Tyrnävältä lähtöisin oleva matemaatikko, joka opiskeli mm. Karl Weierstrassin alaisuudessa. Tutkielman alussa esitietoina käydään läpi muutama tarpeellinen määritelmä, jonka jälkeen määritellään Mellinmuunnos ja sen käänteismuunnos sekä määritetään muutaman funktion Mellinmuunnokset. Tämän jälkeen tutkielmassa todistetaan useita Mellin-muunnoksen perusominaisuuksia. Tutkielman viimeisessä luvussa tarkastellaan Mellinmuunnoksen soveltamista sarjojen summien laskemiseen sekä reuna-arvotehtävien ja integraaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Päälähteenä tutkielmassa käytetään teosta []. Esitiedot Määritelmä.. Gammafunktio määritellään integraalina Γ(z) t z e t dt, z C, Re z >. Määritelmä.2. Betafunktio määritellään integraalina B(z, w) t z ( t) w dt, Re z, Re w >. Huomautus.3. Gamma- ja Betafunktioiden välillä on yhteys [3, s. 232] B(z, w) Γ(z)Γ(w) Γ(z + w). Määritelmä.4. Olkoon s C, Re s >. Funktiota ζ(s) n s kutsutaan Riemannin zetafunktioksi. Määritelmä.5. Mellin-muunnoksen kanssa yleensä määritellään myös kaksi erilaista konvoluutiota ( ) x dξ (f g)(x) f(ξ)g ξ ξ ja (f g)(x) 2 n f(xξ)g(ξ) dξ.

4 2 Mellin-muunnos Määritelmä 2.. Olkoot f : ], [ R funktio ja p C. Funktion f Mellin-muunnos pisteessä p on M {f(x)} f(p) ja tämän käänteismuunnos on M { f(p)} f(x) 2πi x p f(x) dx x p f(p) dp, mikäli f on analyyttinen yhdensuuntaisvyössä a < Re p < b ja c ]a, b[. Näiden muunnosten keskinäinen käänteisyys voidaan todistaa Fourier-muunnoksen avulla [, s.34]. Esimerkki 2.2. Olkoon f(x) e nx, n >. Tällöin muuttujanvaihdolla nx t saadaan M{e nx } f(p) Esimerkki 2.3. Olkoon f(x) saadaan { } M + x f(p) x p e nx dx n p +x t p e t dt n p.. Tällöin muuttujanvaihdolla x t t x p + x dx B(p, p) Γ( p). t p ( t) p dt Esimerkki 2.4. Olkoon f(x) (e x ). Nyt Esimerkin 2.2 nojalla { } M e x f(p) x p e x dx x p e nx dx n n n p ζ(p). 3

5 Esimerkki 2.5. Olkoon f(x) 2. Nyt Esimerkin 2.2 avulla e 2x { } 2 M e 2x f(p) 2 x p dx e 2x 2 n 2 p x p e 2nx dx 2 n n n p 2 p ζ(p). Esimerkki 2.6. Jos f(x), niin e x + { } M ( 2 p )ζ(p), e x + sillä 2 e 2x e x e x +. (2n) p Esimerkki 2.7. Jos f(x), niin muuttujanvaihdolla x (+x) n { } M x p ( + x) n dx ( + x) n t p ( t) n p dt B(p, n p) 2. Muunnoksen perusominaisuuksia Lause 2.8. Olkoon M{f(x)} f(p). Tällöin. M{f(ax)} a p f(p), a > ; 2. M{x a f(x)} f(p + a); 3. M{f(x a )} a f( p a ); 4. M{ x f( x )} f( p); 5. M{(ln x) n f(x)} dn dp n f(p). Γ(n p). Γ(n) t saadaan t 4

6 Todistus.. (Skaalausominaisuus) Määritelmän nojalla ja muuttujanvaihdolla ax t M{f(ax)} x p f(ax) dx a p 2. (Siirto-ominaisuus) Määritelmän nojalla M{x a f(x)} x p x a f(x) dx 3. Määritelmän nojalla ja muuttujanvaihdolla t x a M{f(x a )} a x p f(x a ) dx a t p a f(t) dt a f t p f(t) dt f(p) a p. x p+a f(x) dx f(p + a). (t a ) p f(t)t a a ( p a). dt () 4. Määritelmän nojalla ja muuttujanvaihdolla t x { ( )} M x f x p ( ) x x f dx t p f(t) dt x f( p). 5. Määritelmän ja tuloksen d dp xp (ln x)x p nojalla M{(ln x) n f(x)} x p (ln x) n f(x)dx d dp Toistamalla samaa vielä n kertaa saadaan dn dp n x p f(x) dx dn dp n f(p). x p (ln x) n f(x)dx. Funktion f derivaattojen Mellin-muunnoksille voidaan osoittaa useita hyödyllisiä ominaisuuksia. Lause 2.9. Olkoon M{f(x)} f(p). Tällöin. M{f (x)} (p ) f(p ), jos x p f(x), kun x ja x ; 2. M{f (x)} (p )(p 2) f(p 2), jos x p f (x) kun x ja x sekä x p 2 f (x) kun x ja x ; 5

7 3. M{f (n) (x)} ( ) n Γ(p n) f(p n), jos x p r f (n r ) (x) kun x ja x kaikilla r,, 2,..., n ; 4. M{xf (x)} p f(p), jos x p f(x) kun x ja x p f() ; 5. M{x 2 f (x)} ( ) 2 p(p + ) f(p), jos x p+r f(x) kun x ja x p+r f(x) häviaa origossa, kun r, ; 6. M{x n f (n) (x)} ( ) n Γ(p+n) f(p), jos x p+n r f (n r) (x) kun x ja x kaikilla r, 2,..., n. Todistus.. Määritelmän nojalla ja osittaisintegroimalla M{f (x)} x p f (x) dx (p ) f(p ). x p f(x) (p ) x p 2 f(x) dx (2) 2. Nyt saadaan osittaisintegroimalla kaksi kertaa M{f (x)} x p f (x) dx x p f (x) (p ) (p ) x p 2 f (x) dx x p 2 f(x) + (p )(p 2) (p )(p 2) f(p 2). x p 3 f(x) dx (3) 6

8 3. Osittaisintegroimalla n kertaa saadaan M{f (n) (x)} (p ) x p f (n) (x) dx x p f (n ) (x) (p ) + (p )(p 2) x p 2 f (n 2) (x) x p 3 f (n 2) (x) dx ( ) n (p )(p 2) (p n) x p 2 f (n ) dx x p n f(x) dx ( ) n Γ(p n) (p )(p 2) (p n) Γ(p n) f(p n) ( ) n Γ(p n) f(p n), sillä Γ(z + n) (z + n )(z + n 2) zγ(z) (kts [3, Theorem 6.2]). 4. Nyt M{xf (x)} x p f (x) dx x p f(x) p x p f(x) dx p f(p). (4) 5. Nyt M{x 2 f (x)} (p + ) x p+ f (x) dx x p+ f (x) (p + ) ( ) 2 p(p + ) f(p). x p f(x) + p(p + ) x p f (x) dx x p f(x) dx (5) 7

9 6. Osittaisintegroimalla n kertaa saadaan M{x n f (n) (x)} x p+n f (n) (x) dx x p+n f (n ) (x) (p + n ) (p + n ) + (p + n )(p + n 2) x p+n 2 f (n 2) (x) ( ) n (p + n )(p + n 2) p x p+n 2 f (n ) dx x p+n 3 f (n 2) (x) dx ( ) n (p + n )(p + n 2) p f(p) n Γ(p + n) ( ) f(p). x p f(x) dx Lause 2.. Olkoon M{f(x)} f(p). Tällöin M{ ( x d dx) n f(x)} ( ) n p n f(p) kaikilla n, 2,.... Todistus. Osoitetaan väite induktiolla. Todistetaan ensin perusaskel n 2. Tuloksien (4) ja (5) nojalla { ( M x d ) 2 f(x)} M{x 2 f (x) + xf (x)} M{x 2 f (x)} + M{xf (x)} dx p f(p) + p(p + ) f(p) ( ) 2 p 2 f(p). Asetetaan induktio-oletus. M{(x d dx )k } { ( ) k p k f(p) jollakin k > (x ) } d k 2. Todistetaan seuraavaksi induktioväite M dx f(x) ( ) k p k f(p). Induktio-oletuksen ja tuloksen (4) nojalla { ( M x d ) k { f(x)} M (x d dx dx )(x d } { dx )k f(x) M x d } dx g(x) p g(p) p(( ) k p k f(p)) ( ) k p k f(p). Näin ollen induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. 8

10 Edellä todettujen derivaattojen muunnosten lisäksi myös integraaleja voidaan muuntaa. Määritelmä 2.. I n f(x) on n:s toistettu integraali funktiosta f, eli ja I f(x) I n f(x) x x f(t) dt I n f(t) dt. Lause 2.2. Olkoon M{f(x)} f(p). Tällöin. M{ x f(t) dt} p f(p + ), 2. M{I n f(x)} M{ x I n f(t) dt} ( ) n Γ(p+n) f(p + n). Todistus.. Merkitään F (x) x I n f(t) dt, jolloin F (x) f(x), ja F (). Nyt { x } M{f(x), p} (p )M f(t) dt, p tuloksen (2) nojalla. Kun merkitään p p + saadaan { x } M f(t) dt, p p M{f(x), p + } p f(p + ). 2. Merkitään F (x) I n f(x) x f(t) dt. Nyt F (n) (x) f(x), jos F (k) () kaikilla k,,..., n. Siten tuloksen (3) nojalla M{F (n) (x), p} ( ) n Γ(p n) M{I nf(x), p n}. Kun merkitään p p + n, saadaan M{I n f(x), p} ( ) n M{f(x), p+n} ( )n Γ(p + n) Γ(p + n) f(p+n). Tulon muunnoksen sijaan tarkastellaan konvoluutioiden muunnoksia. Lause 2.3. Olkoot M{f(x)} f(p) ja M{g(x)} g(p). Tällöin 9

11 . M{f(x) g(x)} f(p) g(p), 2. M{f(x) g(x)} f(p) g( p), 3. M{f(x)g(x)} 2πi Todistus. f(s) g(p s) ds.. Määritelmän nojalla { ( ) } x dξ M{f(x) g(x)} M f(ξ)g ξ ξ ( ) x dξ x p dx f(ξ)g ξ ξ f(ξ) dξ ( ) x x p g dx ξ ξ 2. Määritelmän nojalla { M{f(x) g(x)} M 3. Määritelmän nojalla M{f(x)g(x)} f(ξ) dξ ξ ξ p f(ξ) dξ x p dx g(ξ) dξ (ξη) p g(η)ξ dη } f(xξ)g(ξ) dξ ξ p g(ξ) dξ 2πi 2πi 2πi f(xξ)g(ξ) dξ, ( ) x ξ η, η p g(η) dη f(p) g(p). η p ξ p f(η) dη ξ x p f(x)g(x) dx x p g(x) dx f(s) ds (xξ η), η p f(η) dη g( p) f(p). f(s) g(p s) ds. x s f(s) ds x p s g(x) dx

12 3 Mellin-muunnoksen sovelluksia 3. Sarjojen summat Lause 3.. Olkoon M{f(x)} f(p). Tällöin n f(n + a) 2πi missä ξ(p, a) on Hurwitzin zetafunktio ξ(p, a) n f(p)ξ(p, a) dp, (6), a, Re(p) >. (n + a) p Todistus. Käänteisestä Mellin-muunnoksesta seuraa f(n + a) 2πi Kun tätä summataan jokaisen n N yli saadaan josta väite seuraa. n f(n + a) 2πi f(p)(n + a) p dp. f(p)ξ(p, a) dp, Huomautus 3.2. Kun a, niin Lauseen 3. tulos (6) yksinkertaistuu muotoon f(n) f(p)ζ(p) dp, 2πi n missä ζ(p) on Riemannin zetafunktio. Esimerkki 3.3. Esimerkin 2.2 nojalla saadaan ( ) n n p t n n ( ) n t n n x p n te x x p + te x p x p e nx dx ( ) n t n e nx dx x dx t e x + t dx.

13 Kun t, niin Esimerkin 2.6 nojalla saadaan ( ) n n p x p n e x + dx { } M ( 2 p )ζ(p). e x + Esimerkki 3.4. Sarjan cos(βn) n, β < 2π summa voidaan laskea Mellin-muunnoksen avulla. Määritetään ensin funktion f(x) cos(βx) n 2 Mellin-muunnos. Se on M{f(x)} M{cos(βx)} x p cos(βx) dx x p eiβx + e iβx dx ( x p e iβx dx ) x p e iβx dx. Lasketaan integraalit erikseen. Muuttujanvaihdoilla y iβx ja y iβx saadaan ( ) p x p e iβx dx y p e y dy iβ ( ) p pπ iβ β p ei 2 ja x p e iβx dx (iβ) p Näin ollen funktion f Mellin-muunnos on M{cos(βx)} β p ei y p e y dy (iβ) pπ p β p e i 2. pπ 2 + e i pπ 2 2 β p cos(pπ 2 ). Mellin-muunnoksen siirto-ominaisuuden nojalla (tulos ()) { } cos(βn) M ( pπ ) n 2 β Γ(p 2) cos p 2 2 π Γ(p 2) ( pπ cos β p 2 2 Tästä saadaan Lauseen 3. nojalla cos(βn) n 2 2πi n β2 4πi 2 Γ(p 2) β p 2 cos ( pπ 2 ) ζ(p) dp ). ( 2π ζ( p) β )p dp, (7) (p )(p 2)

14 sillä π p ζ( p) 2 p cos ( ) pπ 2 ζ(p) ja Γ(z +) zγ(z). Tämän Riemannin zetafunktion ominaisuuden todistus löytyy lähteestä [2, s.25]. Integraali (7) saadaan laskettua residylauseen nojalla. Navat, joissa residyt tulee laskea ovat p 2,,. Residyt näissä pisteissä ovat (kts. [3]) ( ) p ( ) p 2π ζ( p) 2π ζ( p) Res 2 lim (p 2) lim p 2 β (p )(p 2) p 2 β (p ) ( 2π β ) 2 ζ( ) 4π2 β 2 ( 2 ) π2 3β 2, ja Res lim p Res lim p lim s ( ) p 2π ζ( p) β (p )(p 2) 2π β ζ() 2π β ( ) p 2π ζ( p) β ( 2π β ( 2 (p ) lim p ) π β (p ) lim (p )(p 2) s ) s s(s + ) lim s ζ(s)(s ) 2, ( ) p 2π ζ( p) β (p 2) ( ) s 2π ζ(s) ( s) β s(s + ) josta saadaan sarjan summaksi n cos(βn) n 2 β2 4πi 2πi β2 2 ( π2 3β 2 + π β 2 ( π2 3β 2 + π β 2 ) ) π2 6 πβ 2 + β Reuna-arvotehtävät ja integraaliyhtälöt Esimerkki 3.5. Ratkaistaan reuna-arvotehtävä x 2 u xx + xu x + u yy, x < < y < { A, x u(x, ), u(x, ), x >, 3

15 missä A on vakio. Ottamalla yhtälöstä Mellin-muunnos, muuttuu reunaarvotehtävä muotoon { ( M{x 2 u xx + xu x + u yy } M x d ) 2 u} + M{u yy } ũ yy + p 2 ũ, < y <, dx ũ(p, ), Muunnetun ongelman ratkaisuksi saadaan ũ(p, y) A p ũ(p, ) A sin(py), < Re p <, sin p x p dx A p. josta alkuperäisen ongelman ratkaisu voidaan selvittää käänteisellä Mellinmuunnoksella. Tällöin u(x, y) A 2πi x p p sin(py) sin p Integroitavalla funktiolla on yksinkertaisia napoja pisteissä p nπ, n, 2, 3,..., jotka ovat puoliympyrän muotoisen suljetun käyrän sisällä koordinaatiston oikealla puoliskolla. Residylauseen nojalla Nyt n dp. ( ) x p sin(py) u(x, y) A Res nπ. p sin p Res nπ x p sin(py) p sin p x nπ sin(nπy) sin(nπ) + nπ cos(nπ) ( )n nπ x nπ sin(nπy), joten u(x, y) A π ( ) n n x nπ sin(nπy). n Esimerkki 3.6. Ratkaistaan integraaliyhtälö f(ξ)k(xξ) dξ g(x), x >, missä f(x) on tuntematon. Soveltamalla integraaliyhtälöön Mellin-muunnosta, muuntuu yhtälö muotoon f( p) k(p) g(p), 4

16 jolloin f(p) g( p) h(p), missä h(p) k( p). Nyt käyttämällä käänteistä Mellin-muunnosta f(x) M { g( p) h(p)} jos h(x) M { h(p)} on olemassa. Esimerkki 3.7. Ratkaistaan integraaliyhtälö ( ) x dξ f(ξ)g ξ ξ h(x), g(ξ)h(xξ) dξ, missä f(x) on tuntematon. Kun yhtälöstä otetaan Mellin-muunnos muuttujan x suhteen, muuttuu yhtälö muotoon f(p) h(p) k(p), k(p) g(p). Käänteisen Mellin-muunnoksen avulla saadaan yhtälön ratkaisu ( ) x dξ f(x) M { h(p) k(p)} h(ξ)k ξ ξ. Esimerkki 3.8. Ratkaistaan integraaliyhtälö e xξ f(ξ) dξ ( + x) n, joka on siis muotoa e x f ( + x). n Otetaan Mellin-muunnos integraaliyhtälön molemmilta puolilta, jolloin Esimerkkien 2.2 ja 2.7 nojalla eli Tällöin M{e x, p} f( p) f( p) f(p) Lauseen 2.9 nojalla f( p) Γ(n + p ) Γ(n) Γ(n p). Γ(n) Γ(p + n ) Γ(n p), Γ(n) Γ(n). f(x) Γ(n) ( )n n dn x dx n e x Γ(n) xn e x. 5

17 Lähdeluettelo [] Debnath L and Bhatta D, Integral transforms and their applications, second edition, Chapman and Hall, 27 [2] Davies B, Integral Transforms and Their Applications, third edition, Springer-Verlag New York, 22 [3] Osborne A D, Complex variables and their applications, Addison-Wesley, 999 6