Lebesguen mitta ja integraali

Transkriptio

1 Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta m(e) [0, ]. Mitta määrää integraalin joka on laajennus Riemannin integraalille: esim. 1 f dm = f (x) dx [0,1] 0 kaikilla Riemann-integroituvilla funktioilla f. Mitallinen funktio f : E R = funktio jonka integroituvuutta voidaan tutkia. Integroituva funktio f : E R = funktio jolle E f dm <. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

2 L p avaruudet, 1. versio Olkoon E R n mitallinen osajoukko, erityisesti E = [a, b] R. Asetetaan ja L p (E) = { f : E R f mitallinen ja E f p dm < } Erityisesti kun p = 1 saadaan ( f p = E ) 1/p f p dm. L 1 (E) = { f : E R f integroituva eli E f dm < }, ja kun p = 2 saadaan L 2 (E) = { f : E R f neliöintegroituva eli E f dm < } 2 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

3 Ongelma deniittisyyden kanssa Jos f = 0 melkein kaikkialla (almost everywhere), niin f p p = f p dm = 0, vaikka on mahdollista, että f (x) 0 joillain x E eli f 0. Tämä ongelma saadaan kierrettyä seuraavan ekvivalenssin kautta. Määritelmä 28. Olkoon f, g L p (E). Asetetaan E f g f (x) = g(x) melkein kaikilla x E Merkitään ekvivalenssiluokkia m ( { x E f (x) g(x) } ) = 0. [f ] = { h L p (E) h f }. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

4 Esimerkki 1 Esimerkki Olkoon f : [0, 1] R, f (x) = x, ja g : [0, 1] R { x, x 1 2 g(x) = 0, x = 1. 2 Tällöin f g (esim f, g L 1 ([0, 1])). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

5 Esimerkki 2 Esimerkki Olkoon h : [0, 1] R, h(x) = { 0, x [0, 1] Q 1, x [0, 1] \ Q. Tällöin h 1. Huomaa että L 1 ([0, 1]):ssä h 1 = 1 0 h dm = m([0, 1] \ Q) = 1 = 1 1. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

6 Ekvivalenssiluokkien normi ja vektorioperaatiot Ekvivalenssin idea on siinä, että kaikilla f L p (E) pätee f p = 0 f p dm = 0 E m({ x E f (x) p 0 }) = 0 m({ x E f (x) 0 }) = 0 f 0. Vastaavasti kaikilla g [f ] pätee g p = f p joten voidaan asettaa [f ] p = f p. Merkitään L p (E):n ekvivalenssiluokkien joukkoa tilapäisesti L [p] (E). Vektorioperaatiot ekvivalenssiluokille määritellään asettamalla [f ] + [g] = [f + g] λ[f ] = [λf ]. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

7 Samaistus Jatkossa ekvivalentit funktiot samaistetaan. Jos siis funktioille f, g : E R pätee [f ] = [g] eli f (x) = g(x) melkein kaikilla x E, niin kirjoitetaan f = g ja ajatellaan että kyseessä ovat (käytännössä) samat funktiot. Toisin sanoen ekvivalenssiluokat jätetään merkitsemättä. Samoin merkitään L p (E) = L [p] (E). Koska [f ] + [g] = [f + g], λ[f ] = [λf ], ja [f ] p = f p, niin tämä ei aiheuta ongelmia normiavaruuden rakenteen kanssa. Jatkossa erityisesti f p = 0 = f = 0 mutta tarkalleen ottaen tämä tarkoittaa sitä että f = 0 melkein kaikkialla. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

8 L p (E) on normiavaruus Edellä tehdyllä samaistuksella saadaan siis vektoriavaruus L p (E). Normi p on deniittinen ja täyttää muutkin normin ehdot. Vaikein ehto todistaa on kolmioepäyhtälö, joka on muotoiltu seuraavaksi lauseeksi. Lause 39 (Minkowskin epäyhtälö). Olkoon f, g L p (E). Tällöin f + g L p (E) ja f + g p f p + g p. (Todistus löytyy vanhasta luentomonisteesta Nopasta.) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

9 Banachin avaruudet Määritelmä 29. Täydellistä normiavaruutta kutsutaan Banachin avaruudeksi (Banach space). Esimerkki Jokainen Hilbertin avaruus on Banachin avaruus, koska Hilbertin avaruuksissa sisätulon määräämä normi on täydellinen. Esimerkki Jokainen avaruus l p n on Banachin avaruus. (Kun p = 2 kyseessä on Hilbertin avaruus, muulloin ei.) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

10 L p -avaruudet ovat Banachin avaruuksia Lause 40. L p (E) on Banachin avaruus. Erityisesti L 2 (E) on Hilbertin avaruus, missä sisätulo on määritelty kaavalla (f g) = E fg dm. (Todistus löytyy vanhasta luentomonisteesta Nopasta.) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

11 Jatkuvat funktiot tiheinä Olkoon nyt E = [a, b] R. Voidaan ajatella että C([a, b]) L p ([a, b]) sillä b a ja kaikilla f, g C([a, b]) pätee f (x) p dx < kun f C([a, b]) f g = f (x) = g(x) x [a, b]. Lisäksi C([a, b]) = L p ([a, b]) eli kaikilla h L p ([a, b]) ja kaikilla ɛ > 0 löytyy f C([a, b]) jolle h f p < ɛ. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109

12 Banachin avaruus C([a, b]) Aiemmin nähtiin että sisätulon (f g) = fg määräämä normi ei ole täydellinen avaruudessa C([a, b]). Sen sijaan avaruus L 2 ([a, b]) on täydellinen ja L 2 ([a, b]) = C([a, b]). Avaruudella C([a, b]) on myös luonnollinen normi joka on täydellinen. Asetetaan f = sup x [a,b] f (x) f C([a, b]). Lause 41. C([a, b]) on Banachin avaruus normin suhteen. Huomautus Funktiojonon suppeneminen normin suhteen on sama asia kuin tasainen suppeneminen (uniform convergence). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 19. huhtikuuta / 109