Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Transkriptio

1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin kolmesta suuresta perustuloksesta, nimittäin tasaisen rajoituksen periaate (tämä luku) sekä avoimen kuvauksen lause (luku 8). Kolmas näistä suurista perustuloksista (Hahn Banachin lause) tulee dualiteetin yhteydessä luvussa 9, ja se ei perustu täydellisyyteen. Koska Bairen lauseella on paljon muitakin sovelluksia, tarkastelemme sitä yleisissä metrisissä avaruuksissa. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Palautetaan mieliin: jono (x n ) X on Cauchyn jono, jos jokaista ε > vastaa n ε N, jolle d(x p, x q ) < ε, aina kun p, q n ε. Aivan kuten normiavaruuksienkin tapauksessa, metrinen avaruus (X, d) on täydellinen, jos sen jokainen Cauchyn jono (x n ) X suppenee. Bairen lause käsittelee avoimia tiheitä osajoukkoja V X. Esimerkkejä tällaisista ovat V = R n \[, 1] R n, kun n 2 tai vaikkapa R\Z. Huomautus. Osajoukko V X on tiheä V = X B(x, r) V kaikilla x X, r > W V kaikilla avoimilla W X. Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, jonka esitti ensimmäisenä Rene Baire ( ) Lause (Bairen lause). Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus. Jos V j X, j N, on numeroituva kokoelma avoimia tiheitä osajoukkoja, niin V j on tiheä avaruudessa X. Erityisesti siis V j. Todistus. Kts. Väisälä: Topologia II, 1.8. [Hahmotelma: on osoitettava, että B(x, r) ( V n ) kaikilla x X ja r >. Koska V 1 on tiheä löytyy y 1 V 1 B(x, r). Joukko V 1 B(x, r) on avoin, joten on olemassa sellainen < r 1 < 1, että sulkeuma B(y 1, r 1 ) V 1 B(x, r). Oletuksen nojalla V 2 on tiheä, joten löytyy y 2 V 2 B(y 1, r 1 ). Koska oikeanpuoleinen leikkausjoukko on avoin niin on olemassa sellainen < r 2 < 1/2, että B(y 2, r 2 ) V 2 B(y 1, r 1 ). Jatkamalla tätä konstruktiota saamme jonon

2 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI (y n ) X, jolle B(y n, r n ) V n B(y n 1, r n 1 ), n = 1, 2,..., missä < r n < 1/n. Koska y m B(y n, r n ) kaikilla m n konstruktion perustella, niin (y n ) on Cauchyn jono. Koska (X, d) on täydellinen, on siis olemassa z = lim n y n. Tällöin rajalla myös z B(y n, r n ) V n B(x, r) kaikilla n, joten piste z B(x, r) ( V n).] Bairen lause tulee usein käyttöön seuraavassa (yhtäpitävässä) muodossa: 7.2. Seuraus. Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus, ja X = F n, missä F n X on suljettu kaikilla n N. Silloin ainakin yksi joukoista F n sisältää avoimen pallon (erityisesti sisus int(f n ) ). Todistus. Olkoon V n = X \ F n kun n N, jolloin V n X on avoin kaikilla n N. Tehdään vastaoletus ja oletetaan, että millään n N joukko F n ei sisällä avointa palloa B(x, r), eli V n B(x, r) kaikilla x X ja r >. Siispä V n on tiheä ja avoin jokaisella n N. Nyt Bairen lause mukaan leikkaus V n on tiheä avaruudessa X. Erityisesti siis löytyy sellainen alkio x X, että x V n = (X \ F n ) = X \ F n. Mutta tämä on ristiriidassa oletuksen X = F n kanssa. Siispä vastaoletus on väärä ja väite seuraa. Muotoilemme aluksi ensimmäisen suurista lauseista ja todistamme sen soveltamalla Bairen lausetta Lause (Banach Steinhausin lause eli tasaisen rajoituksen periaate). Olkoon E Banachin avaruus, F normiavaruus ja {T α } α J kokoelma jatkuvia lineaarikuvauksia T α : E F (tässä indeksijoukko J on mielivaltainen). Tällöin on kaksi toisensa poissulkevaa vaihtoehtoa: joko (1) on olemassa sellainen luku M <, että tai T α M jokaisella α J,

3 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 117 (2) on olemassa kiinteä vektori x E, jolle sup T α x =. α J Erityisesti, jos M(x) := sup α J T α x < jokaisella x E, niin sup α J T α = sup sup T α x <. α J x B E Huomautus. Jos väite (1) ei toteudu, niin a priori on olemassa vektorit x α E (α J), joille x α = 1 ja sup α T α x α =. Väite (2) sanookin, että voidaan valita yksi ja sama vektori x E kaikilla α J. Ennen kuin todistamme Banach Steinhausin lauseen, tarkastelemme hieman sen käyttöä. Ensimmäisenä tasaisen rajoituksen periaatteen sovelluksena osoitamme vahvan parannuksen pisteittäisen rajaoperaattorin jatkuvuudelle (katso Esimerkki 6.5 sivulla 15 ja Lause 6.6 sivulla 16) Lause. Olkoon E Banachin avaruus, F normiavaruus ja (T n ) L (E,F) sellainen jono jatkuvia lineaarikuvauksia, että Tx := lim n T n x on olemassa kaikilla x E. Tällöin T L (E,F), eli T on jatkuva lineaarikuvaus. Todistus. Kuvaus T on lineaarinen Lauseen 6.2 sivulla 14 nojalla. Oletuksen mukaan jono (T n x) suppenee avaruudessa F jokaisella x E. Siispä jono (T n x) on Cauchyn jono ja edelleen Lauseen 3.3 sivulla 29 mukaan rajoitettu. Siispä M(x) sup T n x < x E. n N Nyt Banach Steinhausin Lauseen 7.3 nojalla löytyy sellainen M <, että T n M kaikilla n N. Saadaan Tx = lim T n x sup T n x M x n kun x E, joten T M. n N Lähtöavaruuden täydellisyys on edellä olennainen ehto: 7.5. Esimerkki. Esimerkin 6.3 sivulla 14 mukaisessa tilanteessa P = { x : x on R-kertoiminen polynomi }, T n x = n ( x(1) x(1 1 n )), kun x P, x = sup x(t) t [,1] Esimerkissä 6.3 näytettiin, että T n L (P, R) ja T n x Tx kun n, missä Tx = x (1), kun x P on polynomi. Mutta, tällöin T / L (P, R) ei ole jatkuva. Johtopäätökset: i) (P, ) ei ole täydellinen (suora tapa harjoituksissa)

4 118 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI ii) Oletus, että E Banachin avaruus on olennainen Lauseessa 7.4. Koska olemme saaneet jo hieman esimakua Banach Steinhausin lauseen tehokkuudesta ja voimasta, niin siirrymme lauseen todistukseen. Banach Steinhausin lauseen todistus. Olkoon F(n, α) := { x E : T α x n }, kun α J, n N. Kuvaus f α : x T α x on kahden jatkuvan kuvauksen yhdisteenä jatkuva. Siispä F(n, α) = f 1 α ([ n, n]) E on suljettu joukko jokaisella α J ja jokaisella n N, sillä joukko [ n, n] R on suljettu ja f α on jatkuva. Tällöin myös leikkausjoukko F n := α J F(n, α) E on suljettu, sillä mielivaltainen leikkaus suljetuista joukoista on edelleen suljettu. Oletetaan nyt, että vaihtoehto (2) ei päde. Väitteen todistamiseksi on siis osoitettava, että tällöin vaihtoehto (1) on välttämättä voimassa. Olkoon tätä varten x E mielivaltainen. Koska oletimme, että vaihtoehto (2) ei päde, niin sup T α x <. α J Siten löytyy sellainen n N, että sup T α x n. α J Siispä x F(n, α) jokaisella α J eli x F n. Tästä seuraa heti, että E = F n. Koska E on Banachin avaruus, niin Seurauksen 7.2 nojalla löytyy sellainen N N ja sellainen avoin pallo B(x, r ), että (7.6) B(x, r ) F N. Osoitamme seuraavaksi, että ehdosta (7.6) seuraa, että T α x 2N/r jokaisella α J ja jokaisella x B E. Olkoon x E ja x < 1. Tällöin x + r x B(x, r ), joten T α (x + r x) N. Siispä T α x = 1 r T α (r x) = 1 r T α (x + r x) T α (x ) 1 r ( Tα (x + r x) + T α (x ) ) 2N r =: M Siis T α M jokaisella α J.

5 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimerkki. Olkoon (a k ) k N R sellainen lukujono, että (7.8) a k x k suppenee avaruudessa R kaikilla x = (x k ) l 1. k=1 Havaitaan, että jos (a k ) l on rajoitettu jono, niin (7.8) toteutuu: a k x k sup a j x k <, kun x = (x k ) l 1. j N k=1 k=1 Siispä sarja a k x k suppenee (jopa itseisesti), kun x = (x k ) l 1. Herää kysymys, onko olemassa muita lukujonoja (a k ), joille (7.8) on voimassa? Osoitamme käänteisen suunnan eli jos lukujono (a k ) toteuttaa ehdon (7.8), niin (a k ) l. (Tämä esimerkki liittyy läheisesti luvun 9 duaalisuusteoriaan.) Todistus. Asetetaan kaikilla n N f n (x) = a j x j kun x = (x k ) l 1. Tällöin f n on lineaarinen l 1 R kaikilla n N ja f n (x) = a j x j a j x j max a k x j k=1,...,n max k=1,...,n a k x 1 < kaikilla x = (x k ) l 1 ja kaikilla n N. Siis f n on jatkuva l 1 R kaikilla n. Oletuksen (7.8) nojalla on olemassa raja-arvo lim f n(x) = lim a j x j = a j x j =: f(x) n n kaikilla x = (x k ) l 1. Koska l 1 on Banachin avaruus, niin Lauseen 7.4 perusteella lineaarinen operaattori f L (l 1, R) on jatkuva. On siis olemassa M <, jolle f(x) = a j x j M x 1 kaikilla x = (x k ) l 1. Sijoitetamalla vektorit e k = (,,...,, 1 funktionaaliin f havaitaan, että }{{} k:nnes,,,...) l 1, k N, joten (a k ) l. sup k N a k = sup f(e k ) sup M e k 1 = M, k k

6 12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Banach Steinhausin lauseen sovelluksia Fourier-sarjoihin Muistamme, että C 1 -funktioille Fourier-sarja suppenee pisteittäin ja jokaisella L 2 -funktiolla Fourier-sarja suppenee ainakin L 2 -normin mielessä. Lisäksi Fejérin lauseen 5.4 nojalla jatkuvalla funktiolla f Fourier-osasummien keskiarvo suppenee tasaisesti kohti f:ää. Edellisten tietojen valossa seuraava tulos on yllättävä (tämä Banach Steinhausin lauseen sovellus oli ainakin yllätys löytöaikanaan): 7.9. Lause. On olemassa jatkuva -jaksollinen funktio f C(, ), jonka Fourier-sarja f(k)e ikx hajaantuu pisteessä x =. Todistus. Olkoon k= S n (f; x) = f(k)e ikx. Näytämme, että on olemassa sellainen jatkuva funktio f C(, ), jolla f() = f() ja sup S n (f; ) =, n N mistä erityisesti seuraa, että funktion f Fourier-sarja hajaantuu, kun x =. Edelleen tästä seuraa, että S n (f; ) f(), kun n. Tähän tarvitaan luvun 5 tietoja. Lemman 5.2 sivulla 79 mukaan S n (f; x) = 1 missä D n on Dirichlet n ydin (7.1) D n (x) = Asetetaan f(t)d n (x t) dt = (D n f)(x), Λ n (f) = S n (f; ) = e ikx = sin ( (n )x) sin( x 2 ). Tällöin kuvaus Λ n on lineaarinen C(, ) R, ja Λ n (f) = 1 D n( t)=d n(t) f(t)d n ( t) dt 1 f D n (t) dt, f(k). f(t) D n ( t) dt

7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 121 kun f C(, ), joten Λ n () 1 D n 1 kaikilla n N. Osoitamme, että edellinen arvio on itse asiassa yhtäsuuruus, eli että (7.11) Λ n 1 Lisäksi osoitamme, että (7.12) lim n D n 1 = lim D n (t) dt kaikilla n N. n D n (t) dt =, mikä yhdessä kaavan Λ n = () 1 D n 1 ja tasaisen rajoituksen periaatteen kanssa osoittaa väitteen, kuten tulemme pian huomaamaan. Osoitetaan ensin jälkimmäinen raja-väite (7.12), sillä sen argumentti on suoraviivaisempi. Ideana on soveltaa hyvin tunnettua arviota sin( t) < t < t, joka on voimassa kaikilla t >, esitykseen (7.1). Suoraan arvioimalla ja muuttujanvaihdon 2 2 avulla saamme silloin D n (t) dt = = 2 π (n+1/2)π sin((n + 1)t) 2 dt t sin s ds s > k=1 1 k k=1 π 1 kπ sin((n + 1)t) dt 2 t kπ, kun n. (k 1)π Edellä tunnetusti kπ sin t dt = π sin t dt = 2 kaikilla k. (k 1)π Osoitamme nyt epäyhtälön (7.11). Olkoon g n funktio g n (t) = { 1, kun D n ( t) 1, kun D n ( t) < sin t dt jolloin siis g n (t)d n ( t) = D n ( t) kun t [, ]. Tällöin on olemassa jono jatkuvia -periodisia funktioita (f j ) C(, ), joille 1 f j (t) 1 ja lim j f j (t) = g n (t) pisteittäin. Tämä nähdään vertaamalla Lauseen 5.6 todistukseen tai tekemällä suora päättely. (Itse asiassa, g n = χ F χ F c, missä funktion D n jatkuvuuden nojalla joukko F = {t [, ] : D n ( t) } on suljettu. Haluttu funktiojono (f j ) on konstruoitu Lauseen 5.6 osissa (1) ja (2).) tähän tulee kuva!!

8 122 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Koska f j 1 jokaisella j N, niin Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen avulla, kun majoranttina käytetään funktiota D n L 1, saadaan Λ n sup Λ n (f j ) lim Λ n (f j ) = lim j j N = 1 g n (t)d n ( t) dt = 1 1 j D n ( t) dt. f j (t)d n ( t) dt Siis epäyhtälö (7.11) pätee, ja siten Λ n, kun n. Nyt Banach Steinhausin lauseen 7.3 vaihtoehto (2) jää jäljelle, koska suljimme juuri vaihtoehdon (1) pois. Siten on olemassa sellainen jatkuva f C(, ), jolle mikä osoittaa väitteen. sup n N Λ n (f) = sup S n (f; ) =, n N Lisätietoja Fourier-sarjoista: - Du-Bois Reymond (1876): konkreettinen jatkuva -periodinen f, jonka vastaava Fourier-sarja f(k)e ikx hajaantuu pisteessä x = (kts. [Körner: Fourier Analysis, luku 18]). - Banach ja Steinhaus (1927): Lauseen 7.9 ei-konstruktiivinen esimerkki. - Kolmogorov (1926): on olemassa sellainen integroituva f L 1 (, ), jonka Fourier-sarja hajaantuu joka pisteessä x [, ]! Muistamme, että jos f L 2, niin funktion f Fourier-sarja suppenee L 2 -normin mielessä. Onko sama voimassa funktioille avaruudessa L 1?? Vastaamme tähän myös Banach Steinhausin lauseen avulla negatiivisesti Lause. On olemassa sellainen f L 1 (, ), että f f(k)e ikx L 1, kun n. Todistus. Määritellään T n : L 1 (, ) L 1 (, ) asettamalla (T n f)(x) = S n (f; x) = f(k)e ikx, kun f L 1 (, ), x [, ] ja n N. Selvästi T n on lineaarinen, koska f f(k) on lineaarinen kaikilla k Z. Suoraan laskemalla saamme yksinkertaisen arvion funktion f Fourier-kertoimille f(k) 1 f(t) e ikt dt = 1 f 1,

9 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 123 kun f L 1 (, ) ja k Z. Tästä saamme trigonometrisen polynomin T n f L 1 -normille arvion T n f 1 = f(k)e ikx 1 f(k) e ikx L 1 (2n + 1) f 1 kaikilla f L 1 (, ), joten T n : L 1 (, ) L 1 (, ) on jatkuva kaikilla n N. Väitteen osoittamiseksi teemme vastaoletuksen, eli oletamme että kaikilla f L 1 (, ) pätee lim T nf f 1 =. n Tällöin jono (T n f) n N suppenee kaikilla f L 1 (, ), joten sup n T n f 1 < kaikilla f L 1 (, ). Nyt Banach Steinhausin lauseen 7.3 vaihtoehdon (1) mukaan T n M < kaikilla n N. Luvun 5 nojalla Fejérin ydin on K j (x) = 1 j + 1 j D k (x). Olkoon n N kiinteä. Tiedämme sivulla 79 olevan Lemman 5.3 sekä Fejérin Lauseen 5.4 (sivulla 81) perusteella, että T n (K j ) = D n K j = K j D n D n tasaisesti välillä [, ] kun j (tässä Fejérin lause on sovellettu jatkuvaan funktioon D n ). Koska lisäksi K j ja 1 k= K j (t) dt = 1, niin () 1 K j 1 = 1 jokaisella j N, ja siis T n sup T n (K j ) L 1 lim T n (K j ) L 1 = D n. j j Edellisen Lauseen 7.9 todistuksen mukaan D n 1, joten T n, kun n, mikä on ristiriita. Näin S n (f; x) ei suppene kohti funktiota f normin mielessa avaruudessa L 1 jollakin f L 1 (, ). (Vahvempi tieto: Banach-Steinhausin lauseen vaihtoehdon (2) mukaan on jopa olemassa f L 1 (, ), jolle sup n N T n (f) 1 = sup n N S n (f; ) 1 = ). Edellinen Lause 7.13 (sekä toki Kolmogorovin em. tulos vuodelta 1926) näyttää, että Fourier-sarjojen yhteydessä avaruus L 1 poikkeaa huomattavasti avaruudesta L 2. Herää kysymys, miten muut L p -avaruudet käyttäytyvät? Voidaan todistaa (mutta todistukset sivuutetaan tällä kurssilla), soveltamalla joko funktioteoriaa tai nk. singulaarisia integraaleja, että jos 1 < p <, niin funktion f L p (, ) Fourier-sarja suppenee L p -normissa kohti funktiota f, eli f S n (f, ) p, kun n,

10 124 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI kaikilla f L p (, ). Pisteittäisestä suppenemisesta tiedetään, että jos 1 < p < ja f L p (, ), niin Fourierin osasummille pätee f(x) = lim f(k)e ikx m.k. x [, ]. n Tämä tulos on syvällinen Carlesonin Huntin lause 6-luvulta.