1 sup- ja inf-esimerkkejä

Transkriptio

1 Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R jatkuva; ts. r(t) = (x(t), y(t)) ja funktiot x, y : [a, b] R ovat jatkuvia. Tasokäyrän C = r[a, b] kaarenpituus on { n } l = sup r(t k ) r(t k 1 ) a = t 0 < t 1 < < t n = b, n N. Supremum otetaan siis kaikkien parametrivälin [a, b] äärellisten jakojen suhteen. Ainoastaan murtoviivan C tapauksessa kaarenpituus saadaan suoraan jonkin yksittäisen jaon avulla. Riemann-integraali. Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio; ts. on olemassa sellainen vakio C R, että f(x) C kaikilla x [a, b]. Muodostetaan välin [a, b] jako ja siihen liittyvä yläsumma a = x 0 < x 1 < x < < x n = b S = n M k (x k x k 1 ), M k = sup{f(x) x k 1 x x k }, ja alasumma s = n m k (x k x k 1 ), m k = inf{f(x) x k 1 x x k }. Aina pätee: (i) s S, vaikka ne laskettaisiin eri jakopisteillä. (ii) Kun jako tihenee, niin s kasvaa ja S pienenee. Funktion f yläintegraali välillä [a, b] on I + = inf{s S on johonkin jakoon liittyvä yläsumma}, ja vastaava alaintegraali välillä [a, b] on I = sup{s s on johonkin jakoon liittyvä alasumma}. 1

2 Aina pätee I I +. Funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], jos I + = I. Tällöin merkitään b a f(x) dx = I +. Pätee: Funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b] jokaista ε > 0 vastaa sellainen jako, jossa S s < ε. Täydellisyysaksioma Reaalilukujen joukon erottaa rationaalilukujen joukosta Q Täydellisyysaksioma, eli jokin seuraavista keskenään yhtäpitävistä ominaisuuksista: (i) Jos A R on ylhäältä rajoitettu joukko, niin sillä on pienin yläraja sup A R. (ii) Nouseva ja ylhäältä rajoitettu reaalilukujono (a n ) n N suppenee kohti raja-arvoa L R. (iii) Jos (I n ) n N on pienenevä jono (inkluusion suhteen, eli I n+1 I n kaikilla n) suljettuja välejä I n R, niin leikkaus I n. Todistuksen idea: (i) (ii) (iii) (i). (i) (ii): Oletetaan, että (i) on voimassa ja olkoon (a n ) nouseva ja ylhäältä rajoitettu jono. Oletuksesta (i) seuraa, että on olemassa L = sup{a n n N} R. Osoitetaan, että lim n a n = L. Olkoon ε > 0. Koska L ε ei ole joukon {a n n N} yläraja, niin on olemassa sellainen n ε N, että a nε > L ε. Koska (a n ) on nouseva, niin a n a nε > L ε kaikilla n n ε. Tällöin siis L ε < a n L < L + ε aina, kun n n ε. Tästä seuraa, että lim n a n = L, joten ominaisuus (ii) on todistettu. (ii) (iii): Oletetaan, että (ii) on voimassa ja olkoon (I n ) = ([a n, b n ]) pienenevä jono suljettuja välejä. Ehdosta I n+1 I n seuraa, että a n+1 a n ja b n+1 b n kaikilla n N. Lisäksi a n b n b 1 ja b n a n a 1 kaikilla n. Näin ollen jono (a n ) on nouseva ja ylhäältä rajoitettu, jono (b n ) laskeva ja

3 alhaalta rajoitettu. Oletuksesta (ii) ja sen käänteisestä muodosta (ii) seuraa, että on olemassa raja-arvot a = lim n a n R, b = lim n b n R. Lisäksi suppiloperiaatteen nojalla pätee a b. Kun osoitetaan, että I n = [a, b], niin ominaisuus (iii) on todistettu. (Tapaus a = b on mahdollinen, mutta OK!) a) I n [a, b]: Olkoon x I n. Tällöin x I n kaikilla n, ts. a n x b n kaikilla n, joten suppiloperiaatteen nojalla a x b; ts. x [a, b]. b) [a, b] I n : Olkoon x [a, b]. Koska (a n ) on nouseva ja (b n ) laskeva, niin a n a x b b n kaikilla n; ts. x I n kaikilla n. Näin ollen x I n. (iii) (i): Oletetaan, että (iii) on voimassa ja olkoon A R ylhäältä rajoitettu joukko. Valitaan yksi piste c A ja määritellään jokaisella n pisteet a n, b n R seuraavalla tavalla: Olkoon p n N pienin sellainen luku, jolle on joukon A yläraja, ja merkitään b n = c + p n n a n = c + p n 1 n. Nämä luvut eivät siis ole joukon A ylärajoja millään indeksillä n. Tarkoituksena on soveltaa ehtoa (iii) suljettujen välien I n = [a n, b n ] leikkaukseen. Koska c + p n = c + p n n+1 n on joukon A yläraja, niin p n+1 p n kaikilla n. Toisaalta c + p n n+1 = c + p n 1 n = a n ei ole joukon A yläraja, joten p n+1 > p n kaikilla n. Jäljelle jää kaksi vaihtoehtoa: p n+1 = p n tai p n+1 = p n 1. Tutkimalla molemmat tapaukset erikseen nähdään, että jono (a n ) on nouseva ja (b n ) laskeva; ts. I n+1 I n kaikilla n. Ehdosta (iii) seuraa nyt, että I n. Toisaalta b n = a n +1/ n kaikilla n, joten a = lim n a n = lim n b n = b. Tästä seuraa, että I n = {b}. 3

4 Lopuksi täytyy vielä osoittaa, että b = sup A, jolloin ominaisuus (i) on todistettu. a) Luku b on joukon A yläraja: Jos x A, niin x b n kaikilla n, joten suppiloperiaatteen nojalla x lim n b n = b. b) Jos b R on joukon A yläraja, niin b b: Vastaoletus: Joukolla A on yläraja b < b. Koska lim n a n = b, niin jollakin indeksillä n 1 on voimassa a n1 > b (valitaan raja-arvon määritelmässä esim. ε = (b b )/). Jonon (a n ) valinnan perusteella a n1 ei ole joukon A yläraja, joten sitä pienempi luku b ei voi sekään olla yläraja. Tämä ristiriita osoittaa vastaoletuksen vääräksi, joten väite on todistettu. 3 Ylinumeroituvuus Lause. Reaalilukujenjoukko on ylinumeroituva, ts. ei ole olemassa surjektiota f : N R. Todistus. (Cantorin diagonaalimenetelmä) Riittää osoittaa, että äärettömien 0 1-jonojen joukko on ylinumeroituva, koska tällaiset jonot a vastaavat yksikäsitteisellä tavalla desimaalilukua 0,a. Vastaoletus: Kaikki 0 1-jonot voidaan indeksöidä luonnollisten lukujen avulla muodossa 1. jono = a 1 = a 11 a 1 a jono = a = a 1 a a jono = a 3 = a 31 a 3 a Tässä siis a mn = m:nnen jonon n:s alkio {0, 1}. Tarkastellaan taulukosta muodostettua diagonaalijonoa d = a 11 a a ja muodostetaan uusi jono d vaihtamalla jonon d jokainen alkio operaatiolla a 1 a. Tällöin siis 0 1 ja 1 0. Saatu jono d ei kuitenkaan voi esiintyä yllä olevassa listassa: se ei ole a 1, koska jonojen 1. termit ovat erisuuret; se ei ole a, koska jonojen. termit ovat erisuuret. Yleisesti, d ei ole a n, koska jonojen n:nnet termit ovat erisuuret. Tämä ristiriita osoittaa vastaoletuksen vääräksi, joten lause on todistettu. 4 Irrationaaliluvut Lause. Reaaliluku on irrationaalinen. 4

5 Todistus. Vastaoletus: On olemassa sellaiset p Z ja q N, että = p/q. Voidaan olettaa, että p ja q ovat keskenään jaottomia, eli niiden suurin yhteinen tekijä on 1. Oletuksesta seuraa = p /q, eli p = q. Tämä tarkoittaa, että p on parillinen, joten p on parillinen (koska parittoman neliö on pariton: (n+1) = (n +n)+1). On siis olemassa k N, jolle p = k. Sijoittamalla aikaisempaan yhtälöön saadaan (k) = q eli q = k. Näin ollen q on parillinen, joten myös q on parillinen. Molemmat luvut p ja q ovat siis parillisia, joka on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä, ja lause on todistettu. Lause. (i) Kahden eri reaaliluvun välissä on aina rationaaliluku (ja itse asiassa äärettömän monta). (ii) Kahden eri reaaliluvun välissä on aina irrationaaliluku (ja itse asiassa äärettömän monta). Todistus. (i) Olkoot r < s reaalilukuja. Koska s r > 0, niin on olemassa q N, jolle 1/q < s r. Koska jonon (p/q) p N peräkkäisten termien erotus on 1/q, täytyy jonkin niistä sijaita avoimella välillä ]r, s[. Toistamalla vastaava päättely nähdään, että tällaisia rationaalilukuja on äärettömän monta. (ii) Olkoon taas r < s. Valitaan aluksi kohdassa (i) saatu rationaaliluku r < p/q < s. Tämän jälkeen voidaan valita niin suuri n N, että n < s p q. Luku x = p q + n ]r, s[ on nyt vaadittu irrationaaliluku, koska vastaoletuksesta x = a/b, a Z, b N, seuraa ristiriita ( a = n b p ) Q. q Päättelyä toistamalla saadaan äärettömän monta tällaista irrationaalilukua. 5