Luento 2: Liikkeen kuvausta

Transkriptio

1 Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa

2

3

4

5 Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa

6 Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä Kuinka ratkaista nopeus ja paikka, jos kiihtyvyys (ei vakio!) tunnetaan ajan funktiona? Jaetaan aikaväli t = t 2 t 1 N yhtäsuureen osaan Aikavälillä t k hiukkasen nopeuden muutos v k on a k t k. a a(t) Koko välillä t vastaava muutos on v = v 2 v 1 = NX a k t k a k t k=1 Pienentämällä välejä saadaan v = lim tk!0 NX k=1 a k t k t 1 t k t N t

7 Määrätty integraali Määrätyn integraalin määritelmä v = v 2 v 1 = lim tk!0 NX k=1 a k t k = Z t2 t 1 a(t) eli nopeus on kiihtyvyyden integraali Vastaavasti, jos tunnetaan kappaleen nopeus ajan funktiona välillä t = t 2 t 1, niin x = x 2 x 1 = ts., paikka on nopeuden integraali Z t2 t 1 v(t)

8

9 Alkuehdot Jotta päästäisiin ratkaisuun, tehtävässä täytyy tietää joko nopeus tai paikka tietyllä ajanhetkellä Yleensä oletetaan, että suure tunnetaan ajanhetkellä t = 0: olkoon v(0) =v 0 ja x(0) =x 0 (ns. alkuehto). Tällöin yhtälöt saadaan muodoon a = dv =) v = v 0 + Z t 0 a ja v = dx =) x = x 0 + Z t 0 v

10 Differentiaaliyhtälöt Edelläesitetyt yksinkertaisia esimerkkejä differentiaaliyhtälöistä Erinomainen tapa kuvata fysikaalisia ja teknistieteellisiä probleemia Joskus hieman työläitä ratkoa tietokone auttaa! Tyypillisesti tällä kurssilla kohdattavat differentiaaliyhtälöt ovat muotoa dy = f (x, y) dx Useimmat laskuharjoitustehtävät separoituvia DY separoituva jos se on muotoa dy dx = g(x) h(y)

11 Separoituvan differentiaaliyhtälön ratkaiseminen DY separoituva jos se on muotoa dy = g(x) h(y) dx Yhtälö ratkaistaan kirjoittamalla se muotoon 1 h(y) dy dx = g(x) Integroidaan puolittain x:n suhteen Z 1 dy h(y) dx dx = Z g(x) dx Huomaa, että etsittävä ratkaisu on y(x), joten Z Z 1 dy h(y(x)) dx dx = g(x) dx g(b) Z f (g) dg = f (g(t)) dg Z b Muuttujanvaihto g(a) a

12 Separoituvan differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Nyt ratkaistava integraalit Zy(x) y(x 0 ) dy h(y(x)) = Z x x 0 g(x) dx Integrointirajat määräytyvät ongelman asettelusta (alkuehdoista)

13 Esimerkki Tehtävänanto Suoralla liikkuvan kappaleen kiihtyvyys on a = Kv, missä K > 0. Liikkeen alussa v(t = 0) =v 0. Määritä kappaleen nopeus v ajan t funktiona.

14 Esimerkki Tehtävänanto Suoralla liikkuvan kappaleen kiihtyvyys on a = Kv, missä K > 0. Liikkeen alussa v(t = 0) =v 0. Määritä kappaleen nopeus v ajan t funktiona. Ratkaisu Kokonaiskiihtyvyys a = dv = Kv

15 Ratkaisu Tämä on separoituva yhtälö Zv(t) v(t 0 ) dv Kv = Z t t 0 Ratkaistaan integraalit log(kv) log(kv 0 ) K h v i = t t 0 =) log v0 = K (t t 0 ) =) =) v = v 0 h e K (t t 0) i

16 Harjoitus Kysymys Laskuvarjohyppääjä hyppää paikallaan olevasta helikopterista ajan hetkellä t = 0, korkeudelta H. Hyppääjän kiihtyvyyteen vaikuttaa maan vetovoiman kiihtyvyyden lisäksi vauhtiin verrannollinen ilmanvastus v. Määritä Hyppääjän nopeus ajan funktiona ja Tasapainonopeus, eli hyppääjän saavuttama nopeus pitkän pudotuksen jälkeen.

17

18

19

20

21

22 Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa

23 Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Kinematiikassa ollaan kiinnostuneita hiukkasen liikkeestä, mutta ei siitä mikä sen saa aikaan Suureet aika t, paikka x, nopeus v ja kiihtyvyys a Valitaan akseli: hiukkanen liikkuu x-akselin suuntaisesti Tarkastellaan muutamia perustehtävätyyppejä, ja miten ne ratkaistaan Harjoitellaan näitä pitkin syksyä laskuharjoituksissa Tapaatte niitä myös matematiikan kurssilla MS-A010x Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

24 Kinematiikan perustehtävätyypit Jokin suureista a, v tai x annettu toisen suureen tai ajan t funktiona Aina pätee Paikan ilmaisee funktio x(t) Hetkellinen nopeus v = dx Hetkellinen kiihtyvyys a = dv = d 2 x 2 Ratkaistaan hiukkasen liike näiden tietojen perusteella a(t) v(t) x(t) a(v) v(x) a(x)

25 Johdatus differentiaaliyhtälöihin 1. kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö (DY) (first order ordinary differential equation) f x, y, dy = 0, y = y(x) dx Yhtälön yleinen ratkaisu (general solution) y = f 0 (x, C), C = jokin vakio Alkuehdon (initial condition) y 0 = y(x 0 ) ja yleisen ratkaisun avulla saadaan erityisratkaisu (particular solution) y = f 0 (x, C 0 ), missä C 0 määräytyy alkuehdosta

26 Perustehtävätyyppi 1: tunnettu x(t) Jos x(t) tunnetaan, saadaan muut suureet suoraan paikan yhteydestä nopeuteen ja kiihtyvyyteen a(t) a(t) = dv(t) v(t) = dx(t) = d dx(t) = d 2 x(t) 2 v(t) Ratkaisu saadaan derivoimalla paikan lauseketta x(t)

27 Perustehtävätyyppi 2: tunnettu a(t) a(t) tunnetaan ja halutaan v(t) sekä x(t) Nopeuden yhteydestä kiihtyvyyteen a(t) = dv(t) = dv = Separoituva 1. kertaluvun DY Ratkaistaan integroimalla =) dv = a(t) a(t) v(t) x(t)

28 Perustehtävätyyppi 2: tunnettu a(t) Integrointivakio C katoaa käyttämällä alkuehtoa (tunnetut t 0 ja v 0 ) ja määrättyä integraalia a(t) dv = a(t) =) Z v v 0 dv = Z t t 0 a(t) v(t) Hiukkasen paikka x(t) saadaan vastaavasti integroimalla v(t):tä x(t)

29 Perustehtävätyypit 3 ja 4: tunnettu a(v) tai v(x) v(t) Ratkaistaan annetusta a(v):stä v(t) separoimalla ja integroimalla a(v) = dv =) Z t t 0 = Z v v 0 dv a(v) Integraalista saadaan v(t), jota integroimalla saadaan x(t) a(v) x(t) v(x)

30 Perustehtävätyypit 3 ja 4: tunnettu a(v) tai v(x) Samalla tavalla v(x):lle v(x) = dx =) Z t t 0 = Z x x 0 dx v(x) v(t) x(t) josta voidaan ratkaista x(t)? Miksi a(v):tä tai v(x):ää ei voitu integroida suoraan? a(v) v(x)

31 Perustehtävätyyppi 5: tunnettu a(x) Kun tunnetaan a(x) niin v(x) saadaan järjestelemällä derivaattoja a(x) = dv =) Z x = dv x 0 a(x) dx = 1 = dv Z v v 0 v dv dx dx = dx dv dx = v dv dx x(t) v(x) Tästä saadaan edelleen menetelmällä 4 ratkaistua x(t) a(x)

32 Perustehtävätyyppi 6: v(x) suoraan a(v):stä Kun tunnetaan a(v) niin siitä saadaan v(x) suoraan separoimalla ja integroimalla v(x) a(x) = v dv dx =) Z x x 0 dx = Z v v 0 v dv a(v) a(v) Vaihtoehtoisesti voidaan myös a(v)! v(t)! x(t) ja sitten eliminoida tv(t):n ja x(t):n muodostamasta yhtälöryhmästä Sangen monimutkainen tapa

33 Numeerinen ratkaisu Tehtävätyypeissä 2-6 analyyttisen ratkaisun löytyminen riippuu integroitavan funktion muodosta Laskuharjoitustehtävissä on yleensä analyyttinen ratkaisu Todellisen elämän probleemissa ei ole Mikäli analyyttistä ratkaisua ei löydy, voidaan integraali laskea numeerisesti tietokoneella ja saada siten approksimaatio oikealle ratkaisulle! Tärkeintä onkin saada muodostettua tarkasteltavalle systeemille sitä kuvaavat differentiaaliyhtälöt