4.3.7 Epäoleellinen integraali

Transkriptio

1 Esimerkki (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään integraalissa f(mx)dx A muuttujanvaihto y = Mx. Tätä varten asetetaan kuvaus x = M 1 y =: G(y), missä y M(A), joka on oletusten nojalla kompakti (sillä jatkuva funktio kuvaa kompaktin joukon kompaktiksi). Selvästi G : M(A) A on C 1 -bijektio ja kuvauksen G Jacobin matriisi missä tahansa pisteessä on M 1. Täten A f(mx)dx = M(A) f(mg(y)) det(m 1 ) dy = 1 det(m) M(A) f(y)dy.

2 4.3.7 Epäoleellinen integraali Tähän asti olemme integroineet funktioita vain rajoitettujen joukkojen yli. Määritellään (rajoittamattoma) funktion integraali yli rajoittamattoman joukon samaan tapaan kuin yksiulotteisessa tapauksessa käyttämällä raja-arvoja. Määritelmä Olkoon A R m. Olkoot f : A R sellainen funktio ja K N A, N N vapaasti valittu perhe sellaisia kompakteja joukkoja, että 1. K N on nollajoukko jokaisella N N, 2. K N K N+1 jokaisella N N ja N=1 K N = A, 3. K N f(x)dx on olemassa kaikilla N N. Jos raja-arvo lim f(x)dx N K N on olemassa ja sen arvo ei riipu joukkojen K N valinnasta, niin funktio f on epäoleellisesti integroituva yli joukon A ja funktion f (epäoleellinen) integraali yli joukon A on f(x)dx = lim f(x)dx. (4.3.16) A N K N Jos raja-arvoa (4.3.16) ei ole tai sen arvo riippuu joukkojen K j valinnasta, niin f ei ole epäoleellisesti integroituva yli joukon A.

3 Seuraava lause helpottaa epäoleellisen integroituvuuden tutkimista. Lause (i) Olkoon A ja f kuten määritelmässä Jos f 0 ja raja-arvo (4.3.16) on olemassa yhdellä kompaktien joukkojen perheellä {K N : N N}, niin silloin funktio f on epäoleellisesti integroituva yli joukon A. 2. (ii) Olkoon f, g : A R sellaisia funktioita, että f g ja molemmat funktiot ovat integroituvia samojen A:n kompaktien osajoukkojen yli. Jos g on epäoleellisesti integroituva yli joukon A, niin myös f on epäoleellisesti integroituva yli joukon A. Todistus. Sivuutetaan (katso esim. Zorich, Vladimir A.: Mathematical Analysis II. Springer (2004), s ). Huomautus Epäoleellisen integraalin raja-arvo kirjoitetaan esiin limes-merkintää käyttäen yleensä vain tarvittaessa. Esimerkiksi rajoittamattomien joukkojen yli integroitaessa, kuten yksiulotteisessa integraalissa / e t dt = e t 0 tehdään rajankäyni sijoituksen yhteydessä, eikä limestä ole välttämätöntä kirjoittaa. Seuraavissa esimereissä rajankäynti tehdään asian oppimisen edistämiseksi. 0

4 Esimerkki Laske [1, ) [1, ) x 2 exp( x 1 x 2 )dx 1 dx 2. Ratkaisu: Kyseessä on ei-negatiivinen funktio. Valitaan helpoin mahdollinen jono kasvavia kompakteja joukkoja: [1, N] [1, N], jolloin riittää tarkastella raja-arvoa N ( N ) Fubini lim exp( x 1 x 2 )dx 1 dx 2 = lim x 2 exp( x 1 x 2 )dx 1 dx 2 N N [1,N] [1,N] = lim N 1 N 1 = lim N = exp( 1) 1 exp( Nx 2 ) + exp( x 2 )dx 2 exp( N 2 ) N exp( N) exp( N) N + exp( 1)

5 Esimerkki Tutki, onko funktio f(x) = x 2, x R2, epäoleellisesti integroituva yli joukon R 2. Ratkaisu: Integrandi on ei-negatiivinen, joten riittää tarkastella yhtä kasvavien kompaktien joukkojen perhettä. Valitaan kompakteiksi joukoiksi suljetut origokeskiset pallot B(0, N), missä N N. Lasketaan 1 lim N 1 + x 2dx käyttämällä napakoordinaatteja eli 1 lim N 1 + x 2dx = lim N B(0,N) Fubini = lim N B(0,N) [0,N] [0,2π] N 0 r 1 + r 2dr r 1 + r 2 cos 2 (θ) + r 2 sin 2 (θ) drdθ 2π Täten funktio ei ole epäoleellisesti integroituva yli joukon R 2. 0 dθ = lim N 2π log(1 + N 2 ) = +

6 Kuva 4.8: Kochin lumihiutale Määritelmä Olkoon A R m. Jos (epäoleelinen) intgraali A 1dx on olemassa, niin lukua A 1dx nimitetään joukon A (hyper)tilavuudeksi (pinta-alaksi, kun m = 2). Esimerkki Olkoon A Kochin lumihiutaleen rajaama joukko Lasketaan Kochin lumihiutaleen sisään sulkema pinta-ala epäoleellisen Riemannin integraalin avulla. Valitaan kompakteiksi kasvaviksi joukoiksi iteraatiokäyrän rajaama joukko. Jokaisessa iteraatiossa tämän joukon pinta-ala kasvaa 3 4 N 1 kolmion pinta-alalla, joista kunkin ala on A 0 9 N. Tällöin kokonaisala on A = lim N A 0 + N k=1 3 4 N 1A 0 9 = lim A N N 1 N 3 A 0 k=0 ( ) N 4 = A 0

7

8 Huomautus On syytä huomata, että Kochin lumihiutale ei ole paloittain C 1 -käyrä. Näytetään tämä vastaoletuksen kautta: Oletetaan, että kyseessä on C 1 -käyrä. Arvioidaan Kochin lumihiutaleen kehän pituutta tarkastelemalla N:nen iteraation monitahokkaan kärkipisteiden etäisyyksiä. Koska kyseiset pisteet ovat myös Kochin lumihiutaleen pisteitä, niin selvästi koko Kochin lumihiutaleen pituus on suurempi kuin näiden pisteiden etäisyyksien summa. Toisin sanoen N:nen iteraation monitahokkaan kehän pituus antaa alarajan Kochin hiutaleen kehän pituudelle. Iteratiossa suora taivutetaan tasasivuiseksi kolmioksi, jolloin suoran pituus kasvaa tekijällä 4 3. Täten N + 1 :n iteraation jälkeen kehän pituus on kasvanut tekijällä ( 4 N 3) alkutilanteeseen nähden. Kun N kasvaa rajatta, nähdään että kehän pituuden alaraja kasvaa rajatta. Täten Kochin lumihiutale ei ole C 1 -polun kuvajoukko.

9 4.4 Vektoriarvoisen funktion integraali Seuraavasta määritelmästä on hyötyä esim. todennäköislaskennassa (odotusarvojen laskeminen) sekä vektoriarvoisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ratkottaessa. Määritelmä Olkoon A R m ja f : A R n. Funktio f on (epäoleelisesti) integroituva yli joukon A, jos sen jokainen koordinaattifunktio on (epäoleellisesti ) integroituva yli joukon A. Tällöin vektoria ( ) f(x)dx = f 1 (x)dx,..., f n (x)dx nimitetään funktion f integraaliksi yli joukon A. A A A Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2, x 2 2) kaikilla x 1, x 2 R. Silloin ( ) f(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 = x 1 x 2 dx 1 dx 2, x 2 2dx 1 dx 2 = [0,2] [0,1] [0,2] [0,1] [0,2] [0,1] ( 1, 2 ). 3

10 4.4.1 Pintaintegraali Tarkastellaan tässä luvussa rajoitettuja C 1 -sileitä pintoja avaruudessa R 2 tai R 3. Palautetaan mieleen, että joukko S R m on C 1 -sileä pinta, jos löytyy sellainen C 1 -funktio F, että S = F 1 ({0}) ja F (x) 0 jokaisella x S. Implisiittifunktiolauseen nojalla löytyy sellaiset avoimet joukot U i R m, että S U i voidaan esittää (mahdollisen koordinaattien uudelleenjärjestämisen jälkeen) C 1 -funktion φ i : V i R m 1 R kuvaajana. Kun Săon kompakti, äärellinen määrä joukkoja U i riittää peittämään koko joukon S. Määritellään ensin, mitä tarkoitetaan yksinkertaisen C 1 -sileän pinnan pinta-alalla. Määritelmä Olkoon S R 3 rajoitettu joukko, V R 2 sellainen rajoitettu avoin joukko, jonka reuna V on nollajoukko, ψ : V R 3 sellainen injektiivinen C 1 -funktio, että (y) (y) 0 kaikilla y V ja S = ψ(v ). Tällöin joukkoa S nimitetään yksinkertaiseksi pinnaksi ja funktiota ψ sen parametriesitykseksi. Yksinkertaisen pinnan pinta-ala on dy. V Huomautus Motivaatio pinta-alan määritelmään on samankaltainen kuin muuttujanvaihdossa. Oletetaan, että R ij V on suorakulmio, jonka mitat ovat hyvin pieniä. Linearisoidaan kuvaus G : y ψ(y) korvaamalla kuvaus sen 1. asteen Taylorin polynomilla G(y + h) G(y) + J G,y h, missä y R ij.

11 Kuvauksen G : y ψ(y) Jacobin matriisi on 3 2-matriisi 1 y 1 (y) 1 (y) J G,y = 1 (y) 2 (y) 3 (y) 3 (y) Lasketaan joukon G(R ij ) G(y)+J G,y (R ij ) pinta-ala. Tällöin päädytään tarkastelemaan suunnikasta J G,y (R ij ), jonka virittävät vektorit a (y) ja b (y) R 3, missä a ja b on suorakulmion R ij sivujen pituudet. Sen pinta-ala on (y) (y) R ij. Täten päädytään Riemannin summiin. Lause Olkoon S R 3. Jos U R 2 on sellainen rajoitettu avoin joukko, että U on nollajoukko ja g : U R on sellainen C 1 -funktio, että niin joukon S pinta-ala on S = {(y, g(y)) : y U}, U 1 + g(y) 2 dy. Todistus. Funktio ψ(y) = (y, g(y)), y U, on määritelmän mukainen, sillä (y) ( (y) = 1, 0, g ) ( (y) 0, 1, g ) ( (y) = g (y), g ) (y), 1.

12 Määritelmä Joukko S R 3 on paloittain yksinkertainen pinta, jos löytyy sellaiset yksinkertaiset käyrät C 1,..., C K R 3, että S\ K k=1 C k on yksinkertaisten pistevieraiden pintojen yhdiste. Paloittain yksinkertaisen pinnan pinta-ala on sen muodostavieen pistevieraiden yksinkertaisten pintojen pinta-alojen summa Esimerkki Olkoon c > 0. Laske puolipallon pinta-ala. S = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x x x 2 3 = c 2, x 3 0} Ratkaisu: Joukko S on paloittain yksinkertainen pinta sillä pallokoordinaatit x 1 = c cos(φ) sin(θ) x 2 = c sin(φ) sin(θ) x 3 = c cos(θ) määrittelevät kuvauksen ψ(φ, θ) = c(cos(φ) sin(θ), sin(φ) sin(θ), cos(θ)) missä θ (0, π/2) ja φ (0, 2π). Tällöin kuvaus ψ on injektiivinen C 1 -kuvaus ja S\ψ((0, 2π) (0, π/2)) on C 1 -käyrien yhdiste.

13 Lasketaan puolipallon pinta-ala äsken opitulla tavalla: Tarvittava ristitulo on ja (θ, φ) = c( sin(φ) sin(θ), cos(φ) sin(θ), 0) φ (θ, φ) = c(cos(φ) cos(θ), sin(φ) cos(θ), sin(θ)) θ (θ, φ) φ θ (θ, φ) = ( c2 cos(φ) sin 2 (θ), sin(φ) sin 2 (θ), sin(θ) cos(θ)) ) (θ, φ) (θ, φ) φ θ cos = c2 2 (φ) sin 4 (θ) + sin 2 (φ) sin 4 (θ) + sin 2 (θ) cos 2 (θ) }{{} 1 sin 2 (θ) = c 2 sin(θ). Voimme laskea pinta-alan 2π (θ, φ) (θ, φ) φ θ dθdφ = (0,2π) (0,π/2) 0 dφ π/2 0 c 2 sin(θ)dθ = 2πc 2.

14 Skalaarifunktion pintaintegraali Skalaariarvoisen funktion pinta-integraali määritellään suoraviivaisesti. Määritelmä Olkoon S yksinkertainen pinta, jonka parametriesitys on ψ : V R 3. Jatkuvan funktion f : S R integraali yli pinnan S on f(x)dσ(x) = f(ψ(y)) (y) (y) dy (Muita merkitätapoja: S fda, S fda). S V Määritelmä Olkoon S paloittain yksinkertainen pinta, joka on pistevieraiden yksinkertaisten pintojen S 1,..., S K yhdiste. Kun pinnan S k parametriesitys on ψ (k) : V k R 3, niin jatkuvan funktion f : S R integraali yli pinnan S on S f(x)dσ(x) = K f(ψ (k) (y)) (k) (y) (k) (y) V k dy k=1 Huomautus Paloittain yksinkertaisen pinnan S pinta-ala on 1dσ(x) S

15 4.5 Integraalilaskennan klassisia tuloksia Gaussin divergenssilause Lemma Olkoon S R 3 yksinkertainen pinta, jonka parametriesitys on ψ : V R 3. Tällöin vektori y n(x) = 1 (y) (y) (y) (y on pinnan S normaalivektori. Todistus. Olkoon a = (a 1, a 2 ) V. Oletusten mukaan (y) (y) 0 kaikilla y S. Tällöin vektorit (a) ja (a) ovat lineaarisesti riippumattomia, jolloin ainakin jokin determinanteista i (a) i (a) j (a) j 0, (4.5.17) (a) missä i, j = 1, 2, 3. Oletetaan, että i = 1, j = 3 toteuttaa ehdon (4.5.17). Käänteiskuvauslauseen nojalla kuvaus on tällöin lokaalisti kääntyvä. ψ : (y 1, y 2 ) (ψ 1 (y 1, y 2 ), ψ 3 (y 1, y 2 ))

16 Toisin sanoen löytyy sellainen kuvaus g : (x 1, x 3 ) g(x 1, x 3 ), että (y 1, y 2 ) = g(ψ(y 1, y 1 )) = (x 1, x 3 ) kun pisteet (y 1, y 2 ) ovat riittävän lähellä pistettä a. Tällöin pinta S voidaan esittää pisteen ψ(a) pienessä ympäristössä funktion f(x 1, x 2, x 3 ) = ψ 2 (g(x 1, x 3 )) x 2 tasa-arvojoukkona. Derivoinnin ketjusäännön nojalla ( 2 f(x 1, x 2, x 3 ) = (g(x 1, x 3 )) g 1 (x 1, x 3 ) + 2 (g(x 1, x 3 )) g 2 (x 1, x 3 ), 1, x 1 x 1 2 (g(x 1, x 3 )) g 1 (g(x 1, x 3 )) + 2 (g(x 1, x 3 )) g ) 2 (x 1, x 3 ) x 3 x 3 Funktion g osittaisderivaatat saadaan Jacobin matriisista [ ] J g,x = J 1 ψ,g(x) = 1 3 (g(x 1, x 3 )) 1 (g(x 1, x 3 )) ( )(g(x 1, x 3 )) 3 (g(x 1, x 3 )) 1 (g(x 1, x 3 ))