7. Tasaisen rajoituksen periaate

Transkriptio

1 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin kolmesta suuresta perustuloksesta, nimittäin tasaisen rajoituksen periaate (tämä luku) sekä avoimen kuvauksen lause (luku 8). Kolmas näistä suurista perustuloksista (Hanh Banachin lause) tulee dualiteetin yhteydessä luvussa 9, ja se ei perustu täydellisyyteen. Koska Bairen lauseella on muitakin sovelluksia, tarkastelemme sitä yleisissä metrisissä avaruuksissa. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Palautetaan mieliin: jono (x n ) X on Cauchyn jono, jos jokaista ε > vastaa n ε N, jolle d(x p, x q ) < ε, aina kun p, q n ε. Aivan kuten normiavaruuksienkin tapauksessa, metrinen avaruus (X, d) on täydellinen, jos sen jokainen Cauchyn jono (x n ) X suppenee. Bairen lause käsittelee avoimia tiheitä osajoukkoja V X. Esimerkkejä tällaisista ovat V = R n \[, 1] R n, kun n 2 tai vaikkapa R\Z. Huomautus. Osajoukko V X on tiheä V = X B(x, r) V kaikilla x X, r > W V kaikilla avoimilla W X. Seuraava lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, jonka esitti ensimmäisenä Rene Baire ( ) Lause (Bairen lause). Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus. Jos V j X, j N, on numeroituva kokoelma avoimia tiheitä osajoukkoja, niin Erityisesti siis V j. V j on tiheä avaruudessa X. j=1 Todistus. Kts. Väisälä: Topologia II, 1.8. Bairen lause tulee usein käyttöön seuraavassa (yhtäpitävässä) muodossa: 7.2. Seuraus. Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus, ja X = F n, missä F n X on suljettu kaikilla n N. Silloin ainakin yksi joukoista F n sisältää avoimen pallon (erityisesti sisus int(f n ) ).

2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 19 Todistus. Olkoon V n = X \ F n kun n N, jolloin V n X on avoin kaikilla n N. Tehdään vastaoletus ja oletetaan, että millään n N joukko F n ei sisällä avointa palloa B(x, r), eli V n B(x, r) kaikilla x X ja r >. Siispä V n on tiheä ja avoin jokaisella n N. Nyt Bairen lause mukaan leikkaus V n on tiheä avaruudessa X. Erityisesti siis löytyy sellainen alkio x X, että x V n = X \ F n = X \ F n. Mutta tämä on ristiriidassa oletuksen X = F n kanssa. Siispä vastaoletus on väärä ja väite seuraa. Muotoilemme aluksi ensimmäisen suurista lauseista ja todistamme sen soveltamalla Bairen lausetta Lause (Banach Steinhausin lause eli tasaisen rajoituksen periaate). Olkoon E Banachin avaruus, F normiavaruus jaä {T α } α J kokoelma jatkuvia lineaarikuvauksia T α : E F (tässä indeksijoukko J on mielivaltainen). Tällöin on kaksi toisensa poissulkevaa vaihtoehtoa. 1. Joko on olemassa sellainen luku M <, että T α M jokaisella α J, 2. tai on olemassa kiinteä vektori x E, jolle sup T α x =. α J Erityisesti siis, jos M(x) := sup α J T α x < jokaisella x E, niin sup α J T α = sup sup M(x) <. α J x B E Huomautus. Jos väite 1. ei toteudu, niin a priori on olemassa vektorit x α E (α J), joille x α = 1 ja sup α T α x α =. Väite 2. sanookin, että voidaan valita yksi ja sama vektori x E kaikilla α J. Ennen kuin todistamme Banach Steinhausin lauseen, tarkastelemme hieman sen käyttöä. Ensimmäisenä tasaisen rajoituksen periaatteen sovelluksena osoitamme vahvan parannuksen pisteittäisen rajaoperaattorin jatkuvuudelle (katso Esimerkki 6.5 sivulla 99 ja Lause 6.6 sivulla 1) Lause. Olkoon E Banachin avaruus, F normiavaruus ja (T n ) L (E, F ) sellainen jono jatkuvia lineaarikuvauksia, että T x := lim T n x on olemassa kaikilla x E. Tällöin T L (E, F ) eli T on jatkuva.

3 11 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Todistus. Kuvaus T on lineaarinen Lauseen 6.2 sivulla 98 nojalla. Oletuksen mukaan jono (T n x) suppenee avaruudessa F jokaisella x E. Siispä jono (T n x) on Cauchyn jono ja edelleen siis Lauseen 3.3 sivulla 25 mukaan rajoitettu. Siispä M(x) sup T n x < x E. Nyt Banach Steinhausin Lauseen 7.3 nojalla löytyy sellainen M <, että T n M kaikilla n N. Saadaan siis T x = lim T n x sup T n x M x kun x E, joten T M. Lähtöavaruuden täydellisyys on edellä olennainen ehto: 7.5. Esimerkki. Esimerkin 6.3 sivulla 98 mukaisessa tilanteessa P = { x : x on R-kertoiminen polynomi } x = sup x(t), ja T n x = n ( x(1) x(1 1 )), n t [,1] kun x P polynomi. Esimerkissä 6.3 sivulla 98 näytettiin, että T n L (P, R) ja T n x T x kun n. Edelleen osoitettiin, että T x = x (1), kun x polynomi, mutta tällöin Tässä T / L (P, R) ei ole jatkuva. Johtopäätökset: i) (P, ) ei ole täydellinen (toinen tapa on näytetty harjoituksissa) ii) Oletus E Banachin avaruus on olennainen Lauseessa 7.4. Koska olemme saaneet jo hieman esimakua Banach Steinhausin lauseen tehokkuudesta ja voimasta, niin siirrymme lauseen todistukseen. Banach Steinhausin lauseen todistus. Olkoon F (n, α) := { x E : T α x n }, kun α J, n N. Kuvaus f α : x T α x on kahden jatkuvan kuvauksen yhdisteenä jatkuva. Siispä F (n, α) = fα 1 ([ n, n]) E on suljettu joukko jokaisella α J ja jokaisella n N, sillä joukko [ n, n] R on suljettu ja f α on jatkuva. Tällöin myös leikkausjoukko F n := α J F (n, α) E on suljettu, sillä mielivaltainen leikkaus suljetuista joukoista on edelleen suljettu. Oletetaan nyt, että vaihtoehto 2. ei päde. Väitteen todistamiseksi on siis osoitettava, että tällöin vaihtoehto 1. on välttämättä voimassa.

4 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 111 Olkoon x E mielivaltainen. Koska oletimme, että vaihtoehto 2. ei päde, niin Siten löytyy sellainen n N, että sup T α x <. α J sup T α x n. α J Siispä x F (n, α) jokaisella α J eli x F n. Tästä päättelemme välittömästi, että E = F n. Koska E on Banachin avaruus, niin Seurauksen 7.2 nojalla löytyy sellainen N N ja sellainen avoin pallo B(x, r ), että (7.6) B(x, r ) F N. Osoitamme seuraavaksi, että palloehdosta (7.6) seuraa, että T α x 2N/r jokaisella α J ja jokaisella x B E (, 1). Olkoon x E ja x < 1. Tällöin x + r x B(x, r ), joten T a (x + r x) N. Siispä T α x = 1 r T α (r x) = 1 r T α (x + r x) T α (x ) 1 r ( Tα (x + r x) + T α (x ) ) 2N r =: M Siis T α M jokaisella α J Esimerkki. Olkoon (a k ) k R sellainen lukujono, että (7.8) a k x k suppenee avaruudessa R kaikilla x = (x k ) l 1. Havaitaan, että jos (a k ) l on rajoitettu jono, niin (7.8) toteutuu: a k x k sup j a j x k <, kun x = (x k ) l 1 Siispä sarja a k x k suppenee (jopa itseisesti),kun x = (x n ) l 1. Herää kysymys, onko olemassa muita lukujonoja (a k ), joille (7.8) on voimassa? Harjoitustehtävänä (HT 1/26) osoitimme käänteisen suunnan, eli jos jono (a k ) toteuttaa ehdon (7.8) jokaisella x l 1, niin välttämättä jono (a k ) l. Sivuhuomatuksen mainittakoon, että tämä esimerkki liittyy läheisesti luvun 9 duaalisuuteen.

5 112 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Banach Steinhausin lauseen sovelluksia Fourier-sarjoihin Muistamme, että C 1 -funktioille Fourier-sarja suppenee pisteittäin ja jokaisella L 2 -funktiolla Fourier-sarja suppenee ainakin L 2 -normin mielessä. Edellisten tietojen valossa seuraava tulos on yllättävä (tämä Banach Steinhausin lauseen sovellus oli ainakin yllätys löytöaikanaan): 7.9. Lause. On olemassa jatkuva -jaksollinen funktio f C(, ), jonka Fourier-sarja f(k)e ikx hajaantuu pisteessä x =. k= Todistus. Olkoon S n (f; x) = f(k)e ikx. Näytämme, että on olemassa sellainen jatkuva funktio f C(, ), jolla f() = f() ja sup S n (f; ) =, mistä erityisesti seuraa, että funktion f Fourier-sarja hajaantuu, kun x =. Edelleen tästä seuraa, että S n (f; ) f(), kun n. Tähän tarvitaan luvun 5 tietoja. Lemman 5.2 sivulla 74 mukaan S n (f; x) = 1 missä D n on Dirichlet n ydin (7.1) D n (x) = Asetetaan f(t)d n (x t) dt = (D n f)(x), e ikx = sin ( (n )x) sin( x 2 ) Λ n (f) = S n (f; ). Tällöin kuvaus Λ n on lineaarinen C(, ) R, ja Λ n (f) = 1 f(t)d n ( t) dt 1 D n( t)=d n(t) f D n (t) dt, f(t) D n ( t) dt kun f C(, ), joten Λ n () 1 D n 1 kaikilla n N. Osoitamme, että edellinen arvio on itse asiassa yhtäsuuruus eli osoitamme, että (7.11) Λ n 1 D n (t) dt kaikilla n N.

6 Lisäksi osoitamme, että (7.12) lim D n 1 = lim FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 113 D n (t) dt =, mikä yhdessä edellisen yhtäsuuruuden Λ n = () 1 D n 1 osoittaa yhdessä tasaisen rajoituksen periaatteen väitteen, kuten tulemme pian huomaamaan. Osoitetaan ensin jälkimmäinen väite (eli raja-arvo väite (7.12)), sillä se on suoraviivaisempi osoittaa. Ajatuksena on soveltaa hyvin tunnettua arviota sin( t ) < t < t, joka on voimassa kaikilla t > esitykseen (7.1). Suoraan 2 2 arvioimalla saamme sin((n D n (t) dt )t) π dt sin((n t )t) dt t = = 2 π (n+1/2)π 1 k sin s ds s > 1 kπ kπ, kun n. Osoitamme nyt epäyhtälön (7.11). Olkoon g n funktio { 1, kun D n ( t) g n (t) = 1, kun D n ( t) < (k 1)π sin t dt Tällöin on olemassa jono jatkuvia funktioita (f j ) C(, ), joille 1 f j (t) 1 ja lim j f j (t) = g n (t) pisteittäin. Tämä nähdään vertaamalla Lemmaan 5.6 tai tekemällä suora päättely päättely: tähän tulee kuva!! Koska f j 1 jokaisella j N, niin Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen avulla, kun majoranttina käytetään funktiota D n L 1, saadaan Λ n sup Λ n (f j ) lim Λ n (f j ) = lim j j = 1 g n (t)d n ( t) dt = 1 1 j D n ( t) dt f j (t)d n ( t) dt

7 114 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Siis epäyhtälö (7.11) pätee, ja siten Λ n, kun n. Nyt Banach Steinhausin lauseen 7.3 vaihtoehto 2. jää jäljelle, sillä suljimme vaihtoehdon 1. pois. Siispä on olemassa sellainen jatkuva f C(, ), jolle mikä osoittaa väitteen. sup Λ n (f) = sup S n (f; ) =, Lisätietoja Fourier-sarjoista: Du-Bois Reymond (1876): konkreettinen jatkuva -periodinen f, jonka vastaava Fourier-sarja f(k)e ikx hajaantuu pisteessä x = (kts. [Körner: Fourier Analysis, luku 18]). Banach ja Steinhaus (n. 192-luku): Lauseen 7.9 ei-konstruktiivinen esimerkki. Kolmogorov (1926): on olemassa sellainen integroituva f L 1 (, ), jonka Fourier-sarja hajaantuu joka pisteessä x [, ]! Muistamme, että jos f L 2, niin funktion f Fourier-sarja suppenee L 2 -normin mielessä. Onko sama voimassa funktiolle avaruudessa L 1?? Nyt vastaamme tähän Banach Steinhausin lauseen avulla negatiivisesti Lause. On olemassa sellainen f L 1 (, ), että f f(k)e ikx L, kun n. 1 Todistus. Määritellään T n : L 1 (, ) L 1 (, ) asettamalla (T n f)(x) = S n (f; x) = f(k)e ikx, kun f L 1 (, ), x [, ] ja n N. Selvästi T n on lineaarinen. Suoraan laskemalla saamme yksinkertaisen arvion funktion f Fourier-kertoimille f(k) 1 f(t) e ikt dt = 1 f 1, kun f L 1 (, ) ja k Z. Siispä saamme trigonometrisen polynomin T n f L 1 -normille arvion T n f 1 = f(k)e ikx 1 f(k) e ikx L 1 (2n + 1) f 1 kaikilla f L 1 (, ), joten T n : L 1 (, ) L 1 (, ) on jatkuva kaikilla n N.

8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 Väitteen osoittamiseksi teemme vastaoletuksen. Oletamme, että kaikilla f L 1 (, ) pätee lim T nf f 1 =. Tällöin jono (T n f) suppenee kaikilla f L 1 (, ), joten sup T n f 1 < kaikilla f L 1 (, ). Nyt Banach Steinhausin lauseen 7.3 vaihtoehdon 1. mukaan T n M < kaikilla n N. Toisaalta tiedämme, että Fejérin ydin on K j (x) = 1 j + 1 j D k (x). Tällöin voimme päätellä sivulla 74 oleva Lemman 5.3 sekä Fejérin Lauseen 5.4 (sivulla 76), että T n (K j ) = D n K j = K j D n D n tasaisesti välillä [, ]. Koska K j ja 1 K j (t) dt = 1, niin () 1 K j 1 = 1 jokaisella j N ja siis k= T n sup T n (K j ) L 1 lim T n (K j ) L 1 = D n j j Edellisen lauseen todistuksen mukaan D n 1, joten siis T n, kun n, mikä johtaa ristiriitaan. Siis S n (f; x) ei suppene kohti funktiota f normin mielessa avaruudessa L 1 jollakin f L 1 (, ). Kolmogorovin tulos vuodelta 1926 ja edellinen lause näyttävät, että Fouriersarjojen yhteydessä avaruus L 1 poikkeaa huomattavasti avaruudesta L 2. Herää kysymys, miten muut L p -avaruudet käyttäytyvät? Voidaan todistaa (mutta todistukset sivuutetaan tällä kurssilla), soveltamalla joko funktioteoriaa tai nk. singulaarisia integraaleja, että jos 1 < p <, niin funktion f L p (, ) Fourier-sarja suppenee L p -normissa kohti funktiota f. Pisteittäisestä suppenemisesta tiedetään tiedetään, jos 1 < p < ja f L p (, ), niin Fourierin osasumma on f(x) = lim f(k)e ikx m.k. x [, ]. Tämä tulos on syvällinen Carlsonin Huntin lause 6-luvulta.