= 0 y oleva yhtälö. Vastaavasti yhtälö. x, u

Transkriptio

1 1. Määritelmiä Ensimmäisen ja toisen kertaluvun ratkaisemattomassa muodossa olevat tavalliset differentiaaliyhtälöt ovat tuntemattomalle funktiolle y = y(x) muotoa F (x, y, y ) = 0 ja G(x, y, y, y ) = 0 olevia yhtälöitä. 3 Jos nämä yhtälöt voidaan ratkaista ensimmäisen ja vastaavasti toisen kertaluvun derivaatan suhteen, saadaan normaalimuotoiset differentiaaliyhtälöt y = f(x, y) ja vastaavasti y = g(x, y, y ). Differentiaaliyhtälöiden kurssilla osoitetaan, että normaalimuotoisella differentiaaliyhtälöllä on varsin lievin oletuksin ratkaisu. Lisäksi annettuja alkuehtoja y(x 0 ) = y 0 ja vastaavasti y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0 kohti ratkaisuja on vain yksi. Koska tällä kurssilla ei tarkastella osittaisdifferentiaaliyhtälöitä yleisesti, annettakoon osittaisdifferentiaaliyhtälöiden yleisten määritelmien sijaan pari yleisluontoista esimerkkiä. Kun F on annettu funktio, niin yleinen ensimmäisen kertaluvun ratkaisemattomassa muodossa oleva kahden muuttujan osittaisdifferentiaaliyhtälö funktiolle u = u(x, y) on muotoa ( F x, y, u, x, ) = 0 y oleva yhtälö. Vastaavasti yhtälö ( F x, y, u, x, y, 2 u x, 2 u 2 x y, 2 u ) = 0 y 2 on yleinen toisen kertaluvun ratkaisemattomassa muodossa oleva kahden muuttujan osittaisdifferentiaaliyhtälö. Osittaisdifferentiaaliyhtälöä kutsutaan lineaariseksi, jos yhtälössä olevat tuntemattomaton funktion osittaisderivaatat esiintyvät lineaarisesti, t.s. jos esimerkiksi toisen kertaluvun, n muuttujan funktion u = u(x) = u(x 1,..., x n ) yhtälö voidaan esittää muodossa n 2 u n a i,j + b j + cu = f, x i x j x j i,j=1 j=1 missä a i,j, b j ja f ovat annettuja muuttujan x funktioita, ja jokin a i,j 0. Y.o. lineaarinen yhtälö on homogeeninen, jos f = 0. Vastaavasti, toisen kertaluvun yhtälö on kvasilineaarinen, jos se on muotoa n 2 u a i,j (x, u(x), u(x)) + b(x, u(x), u(x)) = 0, x i x j i,j=1 missä a i,j ja b ovat annettuja funktioita, jotka voivat riippua muttujasta x, funktiosta u sekä sen ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatoista eli sen gradientista u. 2 Viimeksi muutettu Siis mikä tahansa yhtälö, jossa tuntematon funktio ja sen derivaattoja, ei ole differentiaaliyhtälö. Esimerkkejä ei-differentiaaliyhtälöistä ovat y (x) = y(y(x)) ja y (x) = f(x, y(x τ)), missä τ on annettu vakio. 1

2 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 2 Vastaavasti, ensimmäisen kertaluvun kvasilineaarinen yhtälö on muotoa n a j (x, u(x)) + b(x, u(x)) = 0, x j j=1 missä a j ja b ovat annettuja funktioita, jotka voivat riippua muuttujista x ja u Esimerkkejä. 2. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöistä Esimerkki 2.1. Yksinkertaisin osittaisdifferentiaaliyhtälö kahden muuttujan funktiolle u = u(x, y) lienee x = 0. Tämän yleinen ratkaisu on analyysin peruslauseen nojalla u(x, y) = ψ(y), missä ψ on mielivaltainen funktio. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden tapauksessa yleiseen ratkaisuun ilmestyy yleensä ns. integroimisvakioita. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tapauksessa niiden tilalle tulevat määräämättömät funktiot. Esimerkki 2.2. Yksinkertainen osittaisdifferentiaaliyhtälöryhmä kahden muuttujan funktiolle u = u(x, y) on yhtälöpari x = 0, y = 0, eli u = (0, 0). Tämän yleinen ratkaisu alueessa on (vrt. Differentiaali- ja integraalilaskenta 1) u(x, y) = vakio. Esimerkki 2.3 (Eulerin yhtälö). Funktio u: R n \ {0} R on astetta k oleva positiviisesti homogeeninen funktio, jos u(λx 1,..., λx n ) = λ k u(x 1,..., x n ) kaikille λ > 0 ja kaikille (x 1,..., x n ) R n \ {0}. Derivoimalla yllä oleva ehto puolittain λ:n suhteen ja sijoittamalla λ = 1, saadaan funktiolle u = u(x 1,..., x n ) osittaisdifferentiaaliyhtälö (2.1) x 1 x x n x n = ku. Osoitetaan kääntäen, että jos u toteuttaa yhtälön (2.1), niin u on astetta k oleva positiviisesti homogeeninen funktio. Olkoon x = (x 1,..., x n ) R n \ {0}. Asetetaan v : (0, ) R, v(λ) = u(λx) = u(λx 1,..., λx n ). Tällöin v (λ) = x 1 x 1 (λx) + + x n x n (λx) (2.1) = kλ 1 u(λx) = kλ 1 v(λ). Funktiolle v saadun tavallisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on v(λ) = λ k C,

3 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 3 missä C on integroimisvakio. Mutta v(1) = u(x), joten C = u(x), ja siis u(λx) = v(λ) = λ k u(x). Esimerkki 2.4 (Transporttiyhtälö). Kuljetus- tai transporttiyhtälö on paikasta x ja ajasta t riippuva yhtälö t (x, t) + b xu(x, t) = 0, missä b = (b 1,..., b n ) R n on annettu vakiovektori. Lisäksi x = (x 1,..., x n ) R n ja t R sekä ( x u(x, t) = (x, t),..., ) (x, t) x 1 x n on funktion (x, t) u(x, t) gradientti x-muuttujan suhteen. Tarkastellaan aluksi yksiulotteista tapausta (eli n = 1). Oletetaan, että vesi virtaa vaakasuorassa putkessa (x-akseli) vakionopeudella c. Veteen joutuu saastetta, jonka pitoisuus hetkellä t paikassa x on u(x, t) (yksikkönä g/cm). Saasteen määrä hetkellä t välillä [0, b] on M = b 0 u(x, t) dx. Hetken h kuluttua sama saatunut aines on siirtynyt x-akselilla matkan c h, joten M = b 0 u(x, t) dx = Derivoimalla b:n suhteen puolittain saadaan b+ch ch u(b, t) = u(b + ch, t + h). u(x, t + h) dx. Derivoimalla h:n suhteen saadaan 0 = c (b + ch, t + h) + (b + ch, t + h). x t Kun lopulta h 0, päädytään yksiulotteiseen transporttiyhtälöön t (b, t) + c(b, t) = 0. x Esimerkki 2.5 (Cauchyn ja Riemannin yhtälöt). Olkoot u ja v reaaliarvoisia, kahden muuttujan x ja y funktioita, jotka toteuttavat Cauchyn ja Riemannin yhtälöt x = v y, Asetetaan w = u + iv. Tällöin w x + i w y = ( x v y y = v x. ) ( v + i x + ) = 0. y Kääntäen, jos kompleksiarvoinen funktio w toteuttaa yhtälön w x + i w y = 0, niin w:n reaali- ja imaginaariosat toteuttavat Cauchyn ja Riemannin yhtälöt. Funktoita, jotka toteuttavat Cauchyn ja Riemannin yhtälöt, tutkitaan kompleksianalyysiin kurssilla. Siellä osoitetaan, että funktiot u ja v toteuttavat Cauchyn ja

4 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 4 Riemannin yhtälöt, jos ja vain jos funktiolla w = u + iv on kompleksisen erotusosamäärän mielessä derivaatta kaikkialla: Kun asetetaan z = x+iy ja z 0 = x 0 +iy 0 (sekä sovitaan, että w(z) = u(x, y) + iv(x, y)), on w (z 0 ) = dw dz (z 0) = lim z z0 w(z) w(z 0 ) z z 0. Funktiota w : Ω C, jolla on (kompleksinen) derivaatta w (z 0 ) jokaisessa alueen Ω C pisteessä z 0, sanotaan (kompleksi-)analyyttiseksi. [ A Kind of Magic : Canalyysin kurssilla osoitetaan, että pelkästä derivaatan w (z) olemassaolosta alueessa Ω seuraa, että funktiolla w on kaikkien kertalukujen derivaatat, w:n Taylorin sarja suppenee ja esittää funktiota w, yms. 4 ] Esimerkki 2.6 (Hans Lewyn esimerkki vuodelta 1957). Useimmille funktioille f yhtälöllä 1 ( + i ) + i(x 1 + ix 2 ) = f 2 x 1 x 2 x 3 ei ole lainkaan ratkaisua u = u(x 1, x 2, x 3 ). Ks. [9, s ], missä f = f(x 1 ) siten, että f:llä saa olla kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat, mutta f ei ole reaalianalyytinen. Yksinkertaisemman näköisiä ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä, joilla ei ole ratkaisua, löytyy Nirenberg luennoista [23, II.1] (esimerkiksi tasossa +ix = f(x, y); x y tässäkin f voi olla C ). Lewyn esimerkissä ensisijainen ongelmien aiheuttaja on kerroinfunktioiden kompleksisuus. Reaalisessa tilanteessa voidaan osoittaa, että jos osittaisdifferentiaaliyhtälössä n a j (x) = f(x) x j j=1 pisteessä x 0 jokin kerroin a j (x 0 ) 0, niin on olemassa (lokaali) muuttujanvaihto x y (eli pisteen x 0 ympäristössä määritelty diffeomorfismi) siten, että uusien muuttujien y = (y 1,..., y n ) suhteen yhtälö saa muodon ũ y 1 = f(y), joka on helppo ratkaista. Tarvittavan muuttujanvaihdon löytäminen ei kuitenkaan ole yksinkertaista (ainakaan yleisessä tapauksessa). Ks. esimerkiksi [11, 7.1, 31, 32] Pintaparvi. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on käyrä, joka riippuu reaalisesta parametrista c, joten yleinen ratkaisu on käyräparvi y = f(x, c). Jos taas käyräparvi y = f(x, c) on annettu, voidaan sille yrittää määrätä differentiaaliyhtälö seuraavasti: Derivoidaan y muuttujan x suhteen ja eliminoidaan c yhtälöparista y = f(x, c), y = f (x, c). x 4 Toisaalta, kun Cauchyn ja Riemannin yhtälöt yhdistetään Greenin kaavaan, saadaan Cauchyn lause ja sen seurauksena Cauchyn kaava. Magia haihtuu pikkuhiljaa Cauchyn kaavan seurausten myötä.

5 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 5 Esimerkiksi kaikki origon kautta kulkevat suorat (poislukien y-akseli) voidaan esittää parvena y = cx, c R. Derivoimalla x:n suhteen saadaan y = c, joten saadaan differentiaaliyhtälö y = y x eli y = y/x. Vastaavasti kaikki R 3 :n origon kautta kulkevat tasot (poislukien z-akselin suuntaiset) voidaan esittää parvena z = ax + by, a, b R. Derivoimalla x:n suhteen saadaan z x = a ja vastaavasti z y = b, joten tasoparvelle saadaan osittaisdifferentiaaliyhtälö z = x z x + y z y. Hieman yleisemmin: Olkoot Ω R 2 alue ja f : Ω R annettu funktio. Tällöin yhtälö (2.2) z = A(f(x, y)), missä A on mielivaltainen reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio, antaa pintaparven, jonka projektio xy-tasoon on Ω. Derivoimalla yhtälö (2.2) puolittain x:n ja y:n suhteen ja eliminoimalla funktio A päädytään ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöön ( F x, y, u, x, ) = 0. y Esimerkki 2.7. Olkoot a, b R. Määrätään välillä [a, b] määriteltyjen funktioiden z = A(x) kuvaajien määräämien pyörähdyspintojen yhtälö, kun pyörähdysakselina on z-akseli. Olkoon r = r(x, y) = x 2 + y 2 (tämä on y.o. funktio f ja Ω on rengas a < r < b). Pyörähdyspinta on funktion (x, y) z = A(r) = A( x 2 + y 2 ) kuvaaja. Derivoimalla saadaan z x = A (r) x r, z y = A (r) y r, joista eliminoimalla r päädytään osittaisdifferentiaaliyhtälöön y z x x z y = Karakteristiset käyrät I. Tarkastellaan seuraavaksi ensimmäisen kertaluvun homogeenisen osittaisdifferentiaaliyhtälön (2.3) a(x, y) + b(x, y) x y = 0 ratkaisemista. Tässä a = a(x, y) ja b = b(x, y) ovat annettuja jatkuvasti derivoituvia funktioita tasoalueessa Ω. Oletetaan aluksi, että yhtälöllä (2.3) on jatkuvasti derivoituva ratkaisu u = u(x, y). Olkoot (x 0, y 0 ) Ω ja z 0 = u(x 0, y 0 ). Oletetaan, että tasa-arvokäyrällä on jatkuvasti derivoituva parametriesitys Siis u(x, y) = z 0 x = f(t), y = g(t), t I. u(f(t), g(t)) = z 0 kaikille t I.

6 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 6 Ketjusäännön avulla saadaan 0 = dz 0 dt = d df u(f(t), g(t)) = dt x dt + dg y dt. Siis käyrän t (f(t), g(t)) tangenttivektori on kohtisuorassa u:n gradienttia vastaan, joten se on vektorin ( y, ) x suuntainen. Toisaalta, yhtälön (2.3) nojalla myös vektori (a(x, y), b(x, y)) on tämän vektorin suuntainen. Siis käyrän t (f(t), g(t)) tangenttivektori ja (a(x, y), b(x, y)) ovat saman suuntaisia. Tärkeän erikoistapauksen muodostavat differentiaaliyhtälöryhmän dx dy (2.4) = a(x, y), = b(x, y) dt dt ratkaisukäyrät x = f(t), y = g(t). Muistettakoon, että kun a ja b ovat jatkuvasti derivoituvia alueessa Ω, niin jokaisen pisteen (x 0, y 0 ) Ω kautta kulkee täsmälleen yksi differentiaaliyhtälöryhmän (2.4) ratkaisukäyrä. Määritelmä 2.8. Differentiaaliyhtälöryhmän (2.4) dx dy = a(x, y), = b(x, y) dt dt ratkaisukäyrien x = f(t), y = g(t), avulla määritellyt käyrät t (f(t), g(t), z), missä z R, ovat osittaisdifferentiaaliyhtälön (2.3) karakteristisia käyriä. a(x, y) + b(x, y) x y = 0 Lause 2.9. Olkoot a = a(x, y), b = b(x, y) ja u = u(x, y) jatkuvasti derivoituvia funktioita tasoalueessa Ω. Tällöin u on osittaisdifferentiaaliyhtälön (2.3) ratkaisu, jos ja vain jos u:n kuvaaja {(x, y, z) (x, y) Ω, z = u(x, y)} on yhdiste yhtälön (2.3) karakteristisista käyristä. Todistus. : Olkoon u ratkaisu. Olkoot (x 0, y 0 ) Ω ja z 0 = u(x 0, y 0 ). Olkoon x = f(t), y = g(t), t I, differentiaaliyhtälön (2.4) ratkaisu, jolle Siis x(0) = x 0, y(0) = y 0. Tällöin u(f(0), g(0)) = u(x 0, y 0 ) = z 0 ja kaikille t I on d u(f(t), g(t)) = dt x (f(t), g(t)) f (t) + y (f(t), g(t)) g (t) = (f(t), g(t)) a(f(t), g(t)) + (f(t), g(t)) b(f(t), g(t)) = 0. x y u(f(t), g(t)) = vakio = z 0,

7 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 7 joten jokainen u:n kuvaajan piste on jollakin yhtälön karakteristisella käyrällä. : Oletetaan, että u:n kuvaaja on yhdiste karakteristisista käyristä. Olkoot (x 0, y 0 ) Ω ja z 0 = u(x 0, y 0 ). Olkoon x = f(t), y = g(t), t I, differentiaaliyhtälön (2.4) ratkaisu, jolle x(0) = x 0, y(0) = y 0. Hetkellä t = 0 karakteristisen käyrän tangenttivektori on (f (0), g (0), 0) = (a(x 0, y 0 ), b(x 0, y 0 ), 0). Funktion u kuvaajan normaali pisteessä (x 0, y 0, z 0 ) on ( x (x 0, y 0 ), ) y (x 0, y 0 ), 1. Näiden vektoreiden tulee olla kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten x (x 0, y 0 ) a(x 0, y 0 ) + y (x 0, y 0 ) b(x 0, y 0 ) + ( 1) 0 = 0. Siis u toteuttaa yhtälön (2.3). Lause Jos tasoalueessa Ω jatkuvasti derivoituva funktio u = u(x, y) on yhtälön (2.3) ratkaisu, niin (x, y) A(u(x, y)), missä A: R R on mielivaltainen jatkuvasti derivoituva funktio, on parvi yhtälön (2.3) ratkaisuja. Esimerkki Olkoot a, b R, 0 a < b, ja Ratkaistaan osittaisdifferentiaaliyhtälö Ω = {(x, y) R 2 a 2 < x 2 + y 2 < b 2 }. y x x y = 0. Määrätään aluksi yhtälön karakteristiset käyrät. Tätä varten tarkastellaan differentiaaliyhtälöryhmää dx dt = y, dy dt = x. Tämän yleinen ratkaisu on x(t) = r cos(t α), y(t) = r sin(t α), t R, missä r ja α ovat parametreja. Jotta (x(t), y(t)) Ω, on oltava a < r < b. Osittaisdifferentiaaliyhtälön karakteristiset käyrät ovat siis origokeskisiä, r-säteisiä ympyröitä nostettuna z-akselin suunnassa. Osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisuilla u on näillä ympyröillä vakioarvo. Jokainen muotoa (x, y) z = A(x 2 + y 2 ) oleva funktio on osittaisdifferentiaaliyhtälön y x x y = 0 ratkaisu. Toisaalta, jos u on osittaisdifferentiaaliyhtälön y x x y muotoa A(x 2 + y 2 ), koska funktioksi A voidaan valita A(r) = u( x, 0). = 0 ratkaisu, niin u on

8 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 8 Esimerkki Olkoot a, b R, a 2 + b 2 > 0, ja Ω = R 2. Ratkaistaan osittaisdifferentiaaliyhtälö a x + b y = 0. Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisut ovat dx dt = a, dy dt = b x(t) = at + α, y(t) = bt + β, t R, missä α ja β ovat parametreja. Karakteristiset käyrät ovat siis vektorin (a, b) suuntaiset suorat nostettuna z-akselin suunnassa. Nämä suorat voidaan voidaan esittää yhtälönä muodossa bx + ay = vakio. Jokainen muotoa (x, y) z = A( bx + ay) oleva funktio on osittaisdifferentiaaliyhtälön a x + b y = 0 ratkaisu. Toisaalta, jos u on osittaisdifferentiaaliyhtälön a + b = 0 ratkaisu, niin u on x y muotoa A( bx + ay), koska funktioksi A voidaan valita A(s) = u( s/b, 0), jos b 0. Muista, että ratkaisulla on vakioarvo suoralla bx + ay = s; piste ( s/b, 0) on tämän suoran ja x-akselin leikkauspiste. Esimerkki 2.13 (Muuttujanvaihto). Ratkaistaan edellinen osittaisdifferentiaaliyhtälö a x + b y = 0 vaihtoehtoisen, mutta monesti hyödyllisen tempun avulla. Asetetaan ξ = ax + by, η = bx + ay ja U(ξ, η) = u(x, y), missä x ja y ovat yhtälöryhmän ratkaisuna saadut ξ:n ja η:n funktiot. Tällöin joten Siis x = U ξ ξ x + U η η x = a U ξ b U η, y = U ξ ξ y + U η η y = b U ξ + a U η, a ( x + b y = a a U ) ( U ) ξ b U + b η ξ + a U = (a 2 + b 2 ) U η ξ. a x + b y joten U(ξ, η) = A(η) eli u(x, y) = A( bx + ay). = 0 U ξ = 0,

9 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ Karakteristiset käyrät II. Tarkastellaan seuraavaksi yleistä kvasilineaarista osittaisdifferentiaaliyhtälöä n (2.5) a j (x, u(x)) = b(x, u(x)). x j j=1 Tässä funktiot a j, 1 j n, ja b ovat joukossa Ω R määriteltyjä reaaliarvoisia funktioita, ja Ω R n on annettu alue. Määritelmä Differentiaaliyhtälöryhmän dx j (2.6) dt = a dz j(x, z), = b(x, z) dt ratkaisukäyrät t (x 1 (t),..., x n (t), z(t)) Ω R, ovat osittaisdifferentiaaliyhtälön (2.5) karakteristisia käyriä. Erona lineaarisen homogeenisen osittaisdifferentiaaliyhtälön karakteristisiin käyriin on se, että nyt z-komponentti ei välttämättä ole vakio eivätkä karakteristiset käyrät siis ratkaisun u tasa-arvokäyriä. Lause Olkoot Ω R n alue, a j = a j (x, z), 1 j n, ja b = b(x, z) jatkuvasti derivoituvia funktioita joukossa Ω R, sekä u = u(x) alueessa Ω jatkuvasti derivoituva. Tällöin u on osittaisdifferentiaaliyhtälön (2.5) ratkaisu, jos ja vain jos u:n kuvaaja {(x, z) Ω R z = u(x)} on yhdiste yhtälön (2.5) karakteristisista käyristä. Esimerkki 2.16 (Eulerin yhtälö). Olkoon k annettu reaaliluku. Määrätään osittaisdifferentiaaliyhtälön x x n = ku x 1 x n ratkaisut joukossa Ω = R n \ {0}. Karakteristiset käyrät määräävä differentiaaliyhtälö on nyt Tämän ratkaisut ovat dx j dt = x j, 1 j n, dz dt = kz. x j (t) = c j e t, 1 j n, z(t) = c n+1 e kt. Tapaus c 1 = = c n = 0 ei tule kyseeseen, koska (x 1 (t),..., x n (t)) Ω. Ratkaisulla u = u(x) on siis se ominaisuus, että u(x 1 (t),..., x n (t)) = z(t) eli u(c 1 e t,..., c n e t ) = c 3 e kt. Tästä ehdosta on helppo päätellä, että u on positiivisesti homogeeninen, astetta k oleva funktio. Esimerkki 2.17 (Transporttiyhtälö). Tarkastellaan aluksi yksiulotteista transporttiyhtälöä t (x, t) + b(x, t) = 0, x missä b on reaalinen vakio. Koska kyse on vakiokertoimisesta homogeenisesta yhtälöstä, on yhtälön ratkaisu u(x, t) = f(x ct),

10 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 10 missä f on mielivaltainen jatkuvasti derivoituva funktio. Yleisessä tapauksessa t (x, t) + b xu(x, t) = 0, missä b = (b 1,..., b n ) R n on annettu vakiovektori, karakateristen käyrien avulla voidaan päätellä, että ratkaisulla u on vakioarvo pitkin suoria, joiden suuntavektori on (b, 1) R n R. Todetaan tämä vielä suoraan: Asetetaan Tällöin z(s) = u(x + sb, t + s). z (s) = b x u(x + sb, t + s) + (x + sb, t + s) = 0, t joten funktio s z(s) on vakio. Asetetaan alkuehto u(x, 0) = g(x), R n :ssä, missä g on annettu funktio. Edellisen nojalla yhtälön ratkaisuille u on voimassa u(x + sb, t + s) = vakio = c. Kun valitaan s = t, on alkuehdon nojalla c = u(x tb, 0) = g(x tb). Koska funktiolla u on vakioarvo suoralla (x + sb, t + s), s R, on u(x, t) = u(x + sb, t + s) = u(x tb, 0) = g(x tb). Jos g on jatkuvasti derivoituva, on helppo todeta, että näin saatu u on todella alkuarvotehtävän (x, t) + b(x, t) = 0, t x Rn (0, ):ssä u(x, 0) = g(x), R n :ssä, ratkaisu. Tarkastellaan vielä epähomogeenista alkuvarvotehtävää (x, t) + b(x, t) = f(x, t), t x Rn (0, ):ssä u(x, 0) = g(x), R n :ssä, missä f = f(x, t) on annettu funktio. Kuten edellä, olkoon Tällöin z(s) = u(x + sb, t + s). z (s) = b x u(x + sb, t + s) + (x + sb, t + s) = f(x + sb, t + s). t

11 Alkuehdon u(x, 0) = g(x) nojalla saadaan Siis 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 11 u(x, t) g(x bt) = u(x, t) u(x bt, 0) = z(0) z( t) = 0 t t t+s=σ = 0 u(x, t) = g(x bt) + z (s) ds = 0 t f(x + sb, t + s) ds f(x + (σ t)b, σ) dσ. t 0 f(x + (σ t)b, σ) dσ Cauchyn tehtävä. Tarkastellaan vielä edellä esiintynyttä alkuarvotehtävää yleisemmin. Olkoot Ω tasoalue ja a, b, c: Ω R R kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvia funktioita. Olkoon Γ Ω annettu käyrä, jolla on jatkuvasti derivoituva parametriesitys x = p(s), y = q(s), s J. Olkoon u 0 käyrällä Γ annettu jatkuvasti derivoituva funktio; u 0 oletetaan esitetyn käyrän parametrisoinnin avulla eli u 0 on annettu funktio J R. Selvitetään alkuarvotehtävän, ns. Cauchyn tehtävän, ratkaisemista: a(x, y, u) + b(x, y, u) = c(x, y, u) alueessa Ω, x y u = u 0 käyrällä Γ, t.s. u(p(s), q(s)) = u 0 (s). Oletetaan, että kaikille z R käyrän Γ tangenttivektori pisteessä (x, y) = (p(s), q(s)) ja vektori (a(x, y, z), b(x, y, z)) eivät ole yhdensuuntaiset, t.s. b(x, y, z) p (s) + a(x, y, z) q (s) 0. Muista, että vektori ( b(x, y, z), a(x, y, z)) saadaan vektorista (a(x, y, z), b(x, y, z)) 90 kierrolla, ja että ehto b(x, y, z) p (s) + a(x, y, z) q (s) = 0 tarkoittaa, että k.o. vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Olkoon s J. Asetetaan (x s, y s, z s ) = (p(s), q(s), u 0 (s)). Olkoon t (f(t, s), g(t, s), h(t, s)) osittaisdifferentiaaliyhtälön karakteristinen käyrä, t.s. differentiaaliyhtälöryhmän dx dt = a(x, y, z), dy dt = b(x, y, z), dz dt = c(x, y, z), t I, ratkaisu, joka kulkee pisteen (x s, y s, z s ) kautta hetkellä t = 0. Erityisesti (f(0, s), g(0, s)) = (p(s), q(s)) ja h(0, s) = u 0 (s). Tavallisen differentiaaliyhtälöryhmän alkuarvotehtävän dx j = F dt j (x), x j (0) = x 0,j, 1 j m, ratkaisu x(t, x 0 ) on myös lähtöpisteen x 0 suhteen jatkuvasti derivoituva, t.s. funktio (t, x 0 ) x(t, x 0 ) on jatkuvasti derivoituva; ks. [11, 32]. Tämän seurauksena ratkaisun komponenttifunktiot f, g ja h ovat jatkuvasti derivoituvia muuttujan (t, s) funktioina. Muistettakoon, että ratkaisun u arvo karakteristisella käyrällä toteuttaa u(f(t, s), g(t, s)) = h(t, s), joten alkuehto toteutuu: u(p(s), q(s)) = u(f(0, s), g(0, s)) = h(0, s) = u 0 (s).

12 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 12 Kuva 1. Cauchyn tehtävän ratkaiseminen: siirrytään alkuehdot määräävältä käyrältä Γ karakteristisia käyriä myöten pisteeseen (x, y, z). Ratkaisun u arvo pisteessä (x, y) on z. Ratkaistaan t ja s yhtälöistä g t g s x = f(t, s), y = g(t, s). Käänteiskuvauslauseen nojalla tämä onnistuu ainakin lokaalisti, sillä hetkellä t = 0 Jacobin determinatti on [ f ] f det t s = f g t s f g s t = a(x s, y s, z s )q (s) b(x s, y s, z s )p (s) 0. Käänteiskuvaus (x, y) (t(x, y), s(x, y)) on jatkuvasti derivoituva, joten myös on jatkuvasti derivoituva. (x, y) h(t(x, y), s(x, y)) = u(x, y) 2.6. Cauchyn ja Kovalevksin lause. Cauchyn ja Kovalevksin lause on varsin yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause. Monesti sen käytettävyyttä kuitenkin rajoittaa oletus esiintyvien funktioiden analyyttisyydestä. Lewyn esimerkin ja Cauchyn ja Riemannin yhtälöiden valossa tältä oletukselta ei kuitankaan voida välttyä. Funktio f on (reaali-)analyyttinen välillä (a, b), jos jokaiselle x 0 (a, b) on olemassa δ > 0 siten, että välillä (x 0 δ, x 0 + δ) funktio f voidaan esittää suppenevana potenssisarjana f(x) = a j (x x 0 ) j. j=0

13 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 13 Koska potenssisarja voidaan derivoida termeittäin suppenemisvälillään, on erityisesti pisteessä x 0 f (k) (x 0 ) = a k k!, joten kyseinen sarja on siis funktion f Taylorin sarja T x0 f(x), T x0 f(x) = k=0 1 k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. On hyvä huomata, että Taylorin sarjan T x0 f(x) ei tarvitse supeta kaikissa pistessä x, joissa f(x) on määritelty. Esimerkiksi, funktio f : (, 1) R, f(x) = 1/(1 x), on analyyttinen koko määrittelyjoukossaan. Tässä Taylorin sarja T 0 f(x) on geometrinen sarja k=0 xk, joka suppenee vain välillä ( 1, 1). Tarkastellaan seuraavaksi usean muuttujan funktion Taylorin sarjaa. Olkoot Ω R n alue ja f : Ω R annettu funktio. Kun α = (α 1,..., α n ) N n asetetaan α = α α n ja α! := α 1! α n!. Edelleen, kun x = (x 1,..., x n ) R n asetetaan x α := x α 1 1 x αn n ja D α f = α f α1+ +αn x := f α x α. 1 1 x αn n Näillä merkinnöillä funktion f Taylorin k-asteinen polynomi pisteen x 0 suhteen on T k,x0 f(x) = α k 1 α f α! x (x 0) (x x α 0 ) α. Funktio f on (reaali-)analyyttinen alueessa Ω, jos jokaiselle x 0 Ω on olemassa δ > 0 siten, että pallossa B(x 0, δ) funktio f voidaan esittää suppenevana potenssisarjana f(x) = α N n a α (x x 0 ) α. Samaan tapaan kuin yhden muuttujan funktiolle tälle yhtäpitävää on, että jokaisella pisteellä x 0 Ω on ympäristö, missä funktion f Taylorin polynomien jono suppenee kohti funktiota f, T k,x0 f(x) f(x), kun k. Lause 2.18 (Cauchyn ja Kovalevksin lause 5 ). Olkoot funktiot x u 0,i (x), R n R, 1 i l, analyyttisiä origon ympäristössä. Olkoot edelleen (x 1,..., x, t, u 1,..., u l ) A i,j,k (x 1,..., x, t, u 1,..., u l ), R l R, 1 i, j, k l (x 1,..., x, t, u 1,..., u l ) F i (x 1,..., x, t, u 1,..., u l ), R l R, 1 i l analyyttisiä origon ympäristössä. 5 Lineaarisille yhtälöryhmille Augustin Louis Cauchy, Mémoire sur les intégrales des systèmes d équations différentielles et aux derivées partielles, et sur le developpement de ces intégrals en séries ordonnés suivant les puissances ascendentes d un paramètre que renferment les équations proposées (1842); ja Cauchy, Mémoire sur les systèmes d équations aux derivées partielles d ordre quelconque, et sur leur réduction à des systémes d équations linéaires du premier ordre (1942); epälineaarisille yhtälöryhmille Sonja Kovalevski, Zur Theorie der Partiellen Differentialgleichungen (1875).

14 2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖISTÄ 14 Tällöin Cauchyn tehtävällä i l t = A i,j,k (x, t, u(x, t)) k + F i (x, t, u(x, t)), 1 i l, x j j,k=1 u i (x, 0) = u 0,i (x), 1 i l. on yksikäsitteinen, origon (x, t) = (0, 0) R n R ympäristössä määritelty analyyttinen ratkaisu u: (x, t) (u 1 (x, t),..., u l (x, t)). Vrt. [3, I.5], [2, Band II, Erstes Kapitel, 7.4].