4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

Transkriptio

1 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida, miten integraalissa tehdään muuttujan vaihto ja kuinka epäoleelliset integraalit (eng. improper integrals) määritellään. Huomautus Tässä luvussa sanalla integrointi tarkoitetaan Riemannin integraalia.toinen erittäin laajasti käytetty integraali on ns. Lebesguen integraali, joka määritellään eri tavoin kuin Riemannin integraali. Riemannin integraali ja Legesgue n integraali antavat saman arvon osalle integroitavista funktioista, mutta Lebesgue n interaalin voi laskea myös eräille funktioille, jotka eivat ole Riemann-integroituvia. Toisaalta Lebesgue n integraalia ei voi määritellä eräille funktioille, joiden epäoleellinen Riemann integraali on olemassa. Tämän vuoksi on syytä tuntea molemmat määritelmät.

2 4.3.1 Riemannin integraalin määritelmä Riittäisikö yhden muuttujan integraalien käyttö myös moniulotteisessa tapauksessa? Esimerkki Yhden muuttujan funktion, kuten f(x) = 4 cos(2x) (4.3.8) integraali yli välin [, 1] on 1 f(x)dx = 1 4 cos(2x)dx = 2 sin(2). Korvataan yhtälössä (4.3.8) luku 2 luvulla y R, luku 4 luvulla y 2 ja asetetaan f(x, y) = y 2 cos(xy) kaikilla x, y R. Samoin kuin yllä 1 f(x, y)dx = 1 y 2 cos(xy)dx = 1/ y sin(xy) = y sin(y). (4.3.9) Nyt voidaan laskea ns. iteroitu eli toistettu integraali, missä ensin lasketaan integraali x- muuttujan suhteen ja sitten integraali y-muuttujan suhteen: 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 f(x, y)dx dy = 2y 2 cos(xy)dx dy (4.3.9) = y sin(y)dy

3 Voidaanko nyt tulkita, että olemme laskeneet funktion f(x, y) integraalin yli joukon = {(x, y) R 2 : x [, 1], y [1, 2]}? Itse asiassa kyllä, mutta tarkastellaan kuitenkin toistakin esimerkkiä. Olkoon { 2x, kun y on irrationaalinen g(x, y) = 1, kun y on rationaalinen. Silloin 1 g(x, y)dx = Tällöin iteroitu integraali saa arvon 2 { 1 2xdx = 1, kun y on irrationaalinen 1 1 1dx = 1, kun y on rationaalinen. ( 1 ) g(x, y)dx dy = 1. Jos integroimisjärjestys vaihdetaan, niin ensin tulisi laskea integraali 2 1 2x1 R\ (y) + 1 (y)dy, mikä ei onnistu, sillä integrandi ei ole Riemannin mielessä integroituva! Toisaalta joukko I on sama integroitiinpa ensin muuttujan x tai muuttujan y yli..

4 Päättelemme tästä, että toistettu integraali ei ole ideaalinen moniulotteisen integraalin pohjaksi. Seuraavaksi esitetään tunnettu määritelmä, joka kykenee helposti tekemään selvän eron tapausten f (jonka integraalin saa laskea tällä taktiikalla) ja tapauksen g (jota ei voi integroida tällä taktiikalla) välille. Määritelmä Joukko R m on hypersuorakulmio, jos löytyy sellaiset välit I 1,..., I m R, että = I 1 I m. Hypersuorakulmion tilavuus (pinta-ala, kun m = 2) on välien I i, i = 1,..., m pituuksien tulo Huomautus Hypersuorakulmio = I 1 I m on kompakti, jos välit I 1,... I m R ovat suljettuja ja rajoitettuja. Esimerkki Joukko {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 2, 1 x 2 1, 1 x 3 11, x 4 5} on hypersuorakulmio = [, 2] [ 1, 1] [1, 11] [, 5], jonka tilavuus on = (2 ) (1 ( 1)) (11 1) (5 ) = 2.

5 Määritelmä Olkoon = I 1 I m kompakti hypersuorakulmio ja olkoon P i = {t (i) < < t (i) k i } välin I i jako jokaisella i = 1,..., m. Joukko P on hyoersuorakulmion jako, jos P sisältää kaikki hypersuorakulmiot missä 1 j i k i jokaisella i = 1,..., m. Esimerkki R j1,...,j m = [t (1) j 1 1, t(1) j 1 ] [t (m) j m 1, t(m) j m ], Kuva 4.5: Suorakulmion jako kahden muuttujan tapauksessa. Erityisesti j 1,j 2 R j1,j 2 =.

6 Määritelmä Olkoon R m hypersuorakulmio ja P, P sen kaksi jakoa. Jako P on jaon P hienonnus, jos jokainen jaon P hypersuorakulmio on jaon P jonkin hypersuorakulmion osajoukko. Määritelmä Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio ja P hypersuorakulmion jako, joka koostuu hypersuorakulmioista R j1,...,j m, missä 1 j i k i jokaisella i = 1,..., m. Olkoon f : R rajoitettu funktio. Tällöin funktion f Riemannin alasumma joan P suhteen on L(f, P ) = inf f(x) R j1,...,j m x R j1,...,jm j 1,...j m ja funktion f Riemannin yläsumma jaon P suhteen on U(f, P ) = sup f(x) R j1,...,j m x R j1,...,jm j 1,...j m Kun pisteet p (j 1,...,j m ) R j1,...,j m, niin L(f, P ) j 1,...j m f(p (j1,...,jm) ) R j1,...,j m U(f, P ). Jos P ja P ovat kaksi hypersuorakulmion jakoa, niin löytyy jakojen P ja P yhteinen hienonnus P. Silloin L(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) U(f, P ) eli alasumma minkä tahansa jaon suhteen on erityisesti aina pienenpi kuin yläsumma minkä tahansa muun jaon suhteen.

7 Määritelmä (Moniulotteinen Riemannin integraali). Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio ja f : R rajoitettu funktio. Jos sup P L(f, P ) = inf P U(f, P ), (4.3.1) niin f on (Riemannin mielessä) integroituva yli hypersuorakulmion. Tällöin lukua (4.3.1) sanotaan funktion f integraaliksi yli hypersuorakulmion ja lukua (4.3.1) merkitään f(x, y)dxdy tai fda tai f kun m = 2 f(x, y, z)dxdydz tai fdv tai f kun m = 3 f(x)dx tai f(x 1,..., x m )dx 1 x m kun m on mikä tahansa dimensio Esimerkki Olkoon f(x) = 1 jokaisella x R 2. Tutkitaan, onko f integroituva yli joukon = [, 2] [3, 6]: Olkoon P suorakulmion jako. Silloin Riemannin alasumma L(f, P ) = j 1,j 2 inf f(x) R j1,j 2 = x R j1,j }{{ 2 } =1 Samoin U(f, P ) =. Siis (4.3.1) on totta ja f(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 = (2 ) (6 3) = 6. [,2] [3,6]

8 Lause Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio ja olkoon f : R rajoitettu funktion. Tällöin f on integroituva yli joukon jos ja vain jos jokaisella ε > löytyy sellaiset :n jaot P = P ε ja P = P ε, että U(f, P ) L(f, P ) < ε. Todistus. Seuraa supremumin ja infimumin määritelmistä sekä yhtälöstä (4.3.1). Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2 ) = x 1 kaikilla (x 1, x 2 ) = [ 1, ] [ 1, ]. Tutkitaan, onko f integroituva yli joukon. Olkoon ɛ > ja olkoon P neliön sellainen jako, joka sisältää suorakulmiot R j1,j 2 = [a j1 1, a j1 ] [b j2 1, b j2 ] kaikilla 1 j 1 k 1 ja 1 j 2 k 2 ja a j1 a j1 1 < ɛ jokaisella j 1. Silloin L(f, P ) = ( ) inf x 1 R j1,...,j m x R j1,j j 1,j 2 2 = j 1,j 2 a j1 (a j1 a j1 1)(b j2 b j2 1) = j1 a j1 (a j1 a j1 1) b j2 b j2 1 j2 }{{} =1

9 Toisaalta U(f, P ) = j 1,j 2 sup ( x 1 ) R j1,...,j m x R j1,j 2 Lisäksi = j 1,j 2 a j1 1(a j1 a j1 1)(b j2 b j2 1) = j1 a j1 1(a j1 a j1 1) b j2 b j2 1 j2 }{{} =1 U(f, P ) L(f, P ) = j1 (a j1 a j1 1)(a j1 a j1 1) < ɛ Lauseen nojalla f on integroituva :n yli. Huomautus Esimerkin Riemannin summille saadaan myös geometrinen tulkinta tarkastelemalla funktion f kuvaajaa:

10 Kuva 4.6: Funktion f(x 1, x 2 ) = x 1 kuvaaja. Riemannin yläsumma approksimoi kiilan tilavuutta ylhäältä ja Riemannin alasumma approksimoi kiilan tilavuutta alhaalta.

11 Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2 ) = { 1 kun x 1, x 2 muulloin. Tutkitaan, onko f integroituva yli joukon = [, 1] [, 1]. Olkoon P suorakulmion vapaasti valittu jako. Tällöin L(f, P ) = inf f(x) R j1,...,j m = x R j1,...,jm j 1,...j m }{{} = ja U(f, P ) = sup f(x) R j1,...,j m =. x R j1,...,jm j 1,...j m } {{ } =1 Tällöin = sup L(f, P ) inf U(f, P ) = = 1, P P joten f ei ole Riemannin mielessä integroituva yli :n.

12 Suuri joukko integroituvia funktioita löytyy seuraavan lauseen avulla. Lause Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio ja olkoon f : R jatkuva funktio. Silloin funktio f on integroituva yli joukon. Todistus. Näytetään tulos yksinkertaisuuden vuoksi tapauksessa m = 2. Kompaktissa joukossa jatkuva funktio f on tasaisesti jatkuva. Kun ɛ > on annettu, niin tällöin löytyy sellainen δ >, että f(x) f(y) < ɛ (4.3.11) aina kun x y < δ ja x, y. Olkoon P sellainen suorakulmion jako, että sen jokaisen suorakulmion diagonaalin pituus on pienenpi kuin δ. Koska jatkuva funktio saavuttaa pienimmän ja suurimman arvonsa kompaktissa joukossa, niin U(f, P ) L(f, P ) = j 1,j 2 (( sup x R j1,...,jm f(x)) ( inf x R j1,...,jm f(x)) ) R j1,...,j m (4.3.11) ɛ. Koska ε on vapaasti valittavissa, niin Lauseen nojalla f on integoituva yli joukon.

13 4.3.2 Fubinin lause Seuraavaksi johdetaan tulos, jonka nojalla moniulotteisia Riemannin integraaleja voidaan laskea iteroitujen integraalien avulla. Lause Olkoot R R m ja R R n kompakteja hypersuorakulmioita ja olkoon f : R R R sellainen rajoitettu funktio, että 1. f on integroituva yli joukon R R 2. integraali f(x, y)dy on olemassa jokaisella x R. R R R Silloin funktio x R f(x, y)dy on integroituva yli joukon R ja ( ) f(x 1,... x m,, y 1,... y n )dx 1 dx m dy 1 dy n = f(x, y)dy dx. (4.3.12) Jos lisäksi funktio R f(x, y)dx on olemassa jokaisella y R, niin ( ) ( ) f(x, y)dx dy = f(x, y)dy dx. (4.3.13) R R R R R R

14 Esimerkki Fubinin lauseen nojalla esimerkiksi jatkuvan funktion f : R 3 R integraali yli joukon = [, 3] [ 1, ] [ 3, 4] on 3 ( ( 4 ) ) f(x 1, x 2, x 3 )dx 1 dx 2 dx 3 = f(x 1, x 2, x 3 )dx 3 dx 2 dx 1. Tässä käytetään Fubinia kahdesti joukkoon = [, 3] [ 1, ] [ 3, 4]: i) kun m = 1, n = 2 eli [, 3] ([ 1, ]) [ 3, 4]) }{{}}{{} =R = R ii) vielä erikseen tapaukseen n = 2 eli joukkoon [ 1, ] [ 3, 4]. }{{}}{{} =R = R Esimerkiksi, kun f(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 + x 3 x 2 2, niin 3 ( ( 4 ) ) x 2 1x 2 + x 3 x 2 2 dx 1 dx 2 dx 3 = x 2 1x 2 + x 3 x 2 2dx 3 dx 2 dx ( ( ) 4 = 7x 2 2 1x ( 3)2 x 22dx ) 2 dx = 7 2 x ( ) ( 3)2 dx ja = ( 3)2 2 = 28

15 Todistus. (Lause 4.3.3) Näytetään tulos tapauksessa m = n = 1. Yleisempi tapaus etenee vastaavasti. Tarkastellaan välejä = [a, b] ja = [c, d]. Koska funktio f on rajoitettu, niin löytyy vakiot e, E R joille e f(x, y) E (4.3.14) kaikilla x [a, b] ja y [c, d]. Karkea arvio (4.3.14) antaa epäyhtälön e(c c) d c f(x, y)dy E(d c) jokaisella x [a, b], mistä nähdään että funktio x d c f(x, y)dy on rajoitettu. Olkoon ɛ >. Oletuksen nojalla f on integroituva yli joukon [a, b] [c, d] ja lisäksi f(x, y)dy on olemassa jokaisella x [a, b]. Lauseen nojalla löytyy sellainen joukon [a, b] [c, d] jako P, että U(f, P ) L(f, P ) < ɛ. Merkitään jaon P muodostavia välien [a, b] ja [c, d] jakoja P 1 = {a = x < < x k = b} ja P 1 = {c = y < < y l = d}. Olkoon p (i) jokin piste joukossa [x i 1, x i ].

16 Kerrotaan inf f(x, y)(y j y j 1 ) (x,y) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] puolittain luvulla (x i x i 1 ). Silloin yj y j 1 f(p (i), y)dy inf f(x, y)(y j y j 1 )(x i x i 1 ) (x i x i 1 ) (x,y) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] sup (x,y) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] Summaamalla yli indeksien i ja j saadaan k L(f, P ) (x i x i 1 ) i=1 d c sup f(x, y)(y j y j 1 ) (x,y) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] yj f(p (i), y)dy y j 1 f(x, y)(y j y j 1 )(x i x i 1 ) f(p (i), y)dy U(f, P ). Koska p (i) on vapaasti valittavissa, nähdään 1 että ( ) ( d ) d L(f, P ) L f(, y)dy, P 2 U f(, y)dy, P 2 U(f, P ). (4.3.15) c Epähtälöiden (4.3.15), (4.3.15) ja Lauseen nojalla x [c,d] f(, y)dy on integroituva yli välin [a, b] ja integraalin arvo on vaadittua muotoa. 1 valitsemalla sellainen jono p (i) k, jolla d c f(p(i) k, y)dy suppenee kohti lukua sup d c c f(p(i) k, y)dy (vast. infimum).

17 4.3.3 Nollajoukko Samaan tapaan kuin paloittain jatkuvia funktioita voi integroida yksiulotteisessa tapauksessa, niin myös moniulotteinen integroituva funktio voi olla tietyllä tapaa paloittain jatkuva. On kuitenkin epäjatkuvuuksia, joita ei voi sallia. Esimerkki kehnosta epäjatkuvuudesta on fraktaalin, kuten Kochin lumihiutaleen, rajaama joukko. Hyvien ja huonojen epäjatkuvuuksien tunnistamisessa on avuksi ns. nollajoukon käsite. Koko avaruuden R m jako muodostetaan samoin kuin kompaktin hypersuorakulmion jako, paitsi että osa jaon hypersuorakulmioista saa olla rajoittamattomia suorakulmioita. Määritelmä Olkoon A R m ja P jokin avaruuden R m jako. Joukon A ja jaon P kontaktijoukko muodustuu sellaisista jaon P hypersuorakulmioista, R j1,...j m, joille A R j1,...j m. Kontaktijoukon tilavuutta (pinta-alaa, kun m = 2) merkitään κ(a, P ). Huomautus Jos A R m on rajoitettu joukko, niin löytyy aina sellainen jako, että κ(a, P ) <. Määritelmä Joukko A R m on nollajoukko, jos jokaisella ɛ > löytyy sellainen jako P, että kontaktijoukon tilavuus (pinta-ala, kun m = 2) κ(a, P ) < ɛ.

18 Esimerkki Neliön [, 1] [, 1] reuna on nollajoukko. Kuva 4.7: Neliön reunapisteiden kontaktijoukko punaisella. Huomautus Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Myös nollajoukon osajoukko on nollajoukko.

19 Lause Olkoon R m kompakti hypersuorakulmio. Jos g : R on jatkuva funktio, niin sen kuvaaja {(x, g(x)) : x } on nollajoukko. Todistus. Todistetaan väite yksinkertaisuuden vuoksi tapauksessa m = 2. Olkoon ɛ > Jatkuva funktio g on määritelty kompaktilla joukolla, joten se on tasaisesti jatkuva. Tällöin löytyy sellainen δ >, että g(x) g(y) < ɛ aina, kun x y < δ ja x, y. Muodostetaan välin :n sellainen jako P jonka suorakulmioiden R ij halkaisija on pienempi kuin δ. Kuvaajan osajoukko {(x, g(x)) : x R ij } voidaan peittää suorakulmaisella särmiöllä, jonka tilavuus on korkeintaan ɛ R ij. Tällaisten suorakulmioiden yhteenlaskettu tilavuus on korkeintaan ɛ R ij = ɛ. i,j