u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

Transkriptio

1 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun tarkasteltava kappale on rajoitettu, esimerkiksi väli a x b, voidaan siirron x x a avulla yhtälö siirtää x-akselin välillä [, c]. Venytyksen x xπ/c avulla tarkasteltavan x-akselin välin voidaan olettaa olevan [, π] ( u(xπ/c, t) = (π /c ) u(xπ/c, t); kerroin γ siis muuttuu). x x Lämpötilajakauman määräämiseksi tarvitaan lämmönjohtumisyhtälön lisäksi seuraavaa tietoa: a) Mitä tapahtuu sauvan päissä t.s. välin [, π] päätepisteissä? Esimerkiksi seuraavankaltaiset ehdot voidaan asettaa: u(, t) = kaikille t > : lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = ; u (, t) = kaikille t > : lämpövuo pisteessä x = on nolla eli sauvan pää x = on eristetty. b) Millainen on sauvan lämpöjakauma alkuhetkellä t =? Oletetaan, että sauvan lämpöjakauman hetkellä t = määrää funktio f. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan alkuarvo- reuna-arvotehtävän ratkaisu u = u(x, t): (3.1) (3.) (3.3) u t = u γ alueessa Q = (, π) (, ), x u(, t) = u(π, t) = kaikille t >, ja u(x, ) = f(x) kaikille x (, π). Käytetään apuna muuttujien erottamis- eli separointimenetelmää: sijoittamalla yrite u(x, t) = V (x)w (t) yhtälöön (3.1) saadaan yhtälö 1 W (t) γ W (t) = V (x) V (x) Tarkastellaan aluksi paikkariippuvaa yhtälöä V (x) = λv (x). = vakio = λ. Funktiolle u asetettujen reunaehtojen (3.) nojalla funktion V pitää toteuttaa ehdot V () = V (π) =. Nollasta eroavia, reunaehdot toteuttavia ratkaisuja on olemassa vain, jos λ = λ k = k ja k Z +. (HT: totea, että jos λ, niin ainoa ratkaisu on V.) Ratkaisut ovat tällöin V (x) = V k (x) = sin(kx). Aikariipuvan yhtälön ratkaisuksi saadaan nyt W (t) = e γ k t. Yhtälön ja reunaehtojen lineaarisuuden ja homogeenisuuden takia myös jokainen lineaarikombinaatio u n (x, t) = a k sin(kx) e γ k t, 6 Viimeksi muutettu

2 4. FOURIER N SARJOISTA 16 missä n Z + ja a 1,...,a n R, toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön (3.1) ja reunaehdot (3.). Alkuehdon (3.3) toteutumiseksi tulisi olla u n (x, ) = a k sin(kx) = f(x). Tämä ehto toteutuu vain harvoille funktioille f. Jotta alkuehto (3.3) toteutuisi helpommin, tarkastellaan voidaanko raja-arvona lim n u n (x, t) = u(x, t) saada funktio, joka toteuttaisi lämmönjohtumisyhtälön (3.1), reunaehdot (3.) ja ehdon u(x, ) = a k sin(kx) = f(x). Tämän ongelman ratkaisemiseksi tarkastelemme hieman Fourier n sarjojen teoriaa. 4. Fourier n sarjoista Määritelmä 4.1. Olkoot f, g : [, π] R jatkuvia funktioita. Asetetaan (f g) = f(x)g(x) dx, funktioiden f ja g sisätulo. Lisäksi asetetaan f = (f f) = f(x) dx, funktion f L -normi. Määritelmä 4.. Funktiot f ja g ovat ortogonaaliset (tai kohtisuorassa toisiaan vastaan), jos (f g) =. Joukko {g j j J} jatkuvia funktioita g j : [, π] R on ortogonaalinen, jos kaikille j, i J, missä j i, funktiot g j ja g i ovat ortogonaaliset. Joukko {g j j J} on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja g j = 1 kaikille j J. Lause 4.3. Sisätulolla ja normilla on seuraavat ominaisuudet: Kun f, g, h: [, π] R ovat jatkuvia funktioita ja a, b R, on (i) (g f) = (f g) (symmetrisyys); (ii) (af +bh g) = a (f g)+b (h g) (lineaarisuus ensimmäisen muuttujan suhteen); (iii) (f g) f g (Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö); (iv) af = a f (positiivihomogeenisuus); (v) f + g f + g (kolmioepäyhtälö); (vi) f ja f = vain, kun f = (definiittisyys). Lause 4.4. Olkoot kun k Z +. f (x) = 1, f k (x) = cos kx, f k 1 (x) = sin kx,

3 Tällöin joukko {f k n N} on ortogonaalinen. 4. FOURIER N SARJOISTA 17 Todistus. Väite saadaan suoraan integroimalla seuraavien trigonometristen identiteettien avulla: cos a cos b = 1 ( cos(a + b) + cos(a b) ), sin a sin b = 1 ( cos(a b) cos(a + b) ), sin a cos b = 1 ( sin(a + b) + sin(a b) ). Kun k Z, k, on cos(kx) dx = π k 1 sin(kx) =, ja sin(kx) dx = Olkoon n > m >. Tällöin ( ) (f n f m ) = 1 cos(nx + mx) + cos(nx mx) dx = (f n 1 f m 1 ) = 1 (f n 1 f m ) = 1 (f n f n ) = 1 (f n 1 f n 1 ) = 1 (f f m ) = (f f m 1 ) = (f f ) = Erityisesti, funktiot ( cos(nx mx) cos(nx + mx) ) dx = ( sin(nx mx) + sin(nx + mx) ) dx = ( ) π cos(nx + nx) + cos(nx nx) dx = 1 ( cos(nx nx) cos(nx + nx) ) dx = 1 cos(nx) dx = sin(nx) dx = 1 dx = π π k 1 ( cos(kx)) =. e (x) = 1 π, e n (x) = 1 π cos nx, e n 1 (x) = 1 π sin nx, kun n Z +, muodostavat ortonormeeratun joukon. Määritelmä 4.5. Trigonometrinen polynomi on muotoa ( s(x) = α + αk cos kx + β k sin kx ), missä n Z +, α,..., α n R, β 1,..., β n R, oleva funktio. 1 dx = π 1 dx = π

4 4. FOURIER N SARJOISTA 18 Määritelmä 4.6. Olkoon f : [, π] R jatkuva funktio. Lukuja a k, k N, ja b k, k Z +, a k = 1 π f(x) cos(kx) dx, b k = 1 π f(x) sin(kx) dx, kutsutaan funktion f Fourier n kertoimiksi. Kun luvut a k ja b k ovat funktion f Fourier n kertoimet, merkitään f(x) a + ( ak cos kx + b k sin kx ). Oikealla esiintyvää sarjaa kutsutaan funktion f Fourier n sarjaksi. Sinin parittomuudesta seuraa, että parittoman funktion f (t.s. f( x) = f(x)) Fourier n kertoimet a k =, joten parittoman funktion f Fourier n sarja on sinisarja f(x) b k sin kx. Vastaavasti kosinin parillisuudesta seuraa, että parillisen funktion f (t.s. f( x) = f(x)) Fourier n kertoimet b k =, joten parillisen funktion f Fourier n sarja on kosinisarja f(x) a + a k cos kx. Lemma 4.7. Olkoot f : [, π] R jatkuva funktio sekä e, e 1, e,... edellä määritelty ortonormaali funktiojono. Tällöin f (f e k )e k = f (f e k ). Lisäksi kaikille λ,..., λ n R on voimasssa f λ k e k = f (f e k )e k + Todistus. Suoraan laskemalla: ( f (f e k )e k = f ((f e k ) λ k ). ) (f e k )e k f (f e j )e j = (f f) + j= (f e j )(f e j ) j= (f e k )(f e j )(e k e j ) j, = f (f e k ). (f e k )(e k f)

5 4. FOURIER N SARJOISTA 19 Jälkimmäistä väitettä varten merkitään c k = (f e k ). Tällöin f λ k e k = f λ k (f e k ) λ k (e k f) + Toisaalta, Siis (c k λ k ) = f = f λ k c k c k λ k c k + c k λ k λ k e k = f + λ k c k + (c k λ k ) joten väite seuraa ensiksi todistetusta kaavasta. λ k c k, Huomautus 4.8. Funktion f Fourier n sarjan avulla funktiolle f saadaan paras mahdollinen approksimaatio L -normin mielessä; kaikkien, enintään astetta n olevien trigonometristen polynomien n λ ke k joukossa polynomi n (f e k)e k minimoi normin f n λ ke k : f λ k e k = f (f e k )e k + ((f e k ) λ k ) f (f e k )e k. Seuraus 4.9 (Besselin epäyhtälö). Olkoot a k, b k jatkuvan funktion f : [, π] R Fourier n kertoimet. Tällöin π ( a + π a k + bk) = (f e k ) f. joten Todistus. Edellisen lemman nojalla kaikille n Z + on voimassa f (f e k ) = f (f e k )e k, (f e k ) f. Epäyhtälö seuraa, kun n. Yhtäsuuruus saadaan, kun muistetaan, että a k = 1 π (f e k ), b k = 1 π (f e k 1 ), kun k >, ja a = λ k λ k π (f e ). Lemma 4.1. Olkoon f : R R jatkuvasti derivoituva, π-jaksoinen funktio. Tällöin derivaatan f Fourier n kertoimet a k ja b k ovat a =, a k = k b k, b k = k a k.

6 4. FOURIER N SARJOISTA Todistus. Kun k >, saadaan osittaisintegroinnilla πa k = f (x) cos(kx) dx = π π cos(kx) + f(x)k sin(kx) dx = πkb k. f(x) Jälkimmäinen väite seuraa vastaavasti. Lause Olkoon f : R R jatkuvasti derivoituva, π-jaksoinen funktio. Tällöin f:n Fourier n sarja suppenee tasaisesti ja sen summa on f(x). Todistus. Olkoon s n funktion f Fourier n sarjan n. osasumma, t.s. s n (x) := a + ( ak cos kx + b k sin kx ). Edellisestä lemmasta seuraa, että derivaatan f Fourier n sarja on ( f (x) kak sin kx + kb k cos kx ), joten f :n Fourier n sarjan n. osasumma on s n. Funktioiden e k ortogonaalisuusominaisuudesta saadaan ( ) s n = (s n s n) = π k a k + k b k. Besselin epäyhtälön nojalla on s n f, joten ( ) π k a k + k b k f. Siis positiiviterminen sarja ( k a k + k bk) suppenee. Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön nojalla ( ak + b k ) 1 ( = kak + kb k ) ( 1 ) 1/( ( k a k k k + k bk) ) 1/ Koska yliharmoninen sarja 1 suppenee, seuraa edellisestä, että positiiviterminen sarja k ( ak + b k ) suppenee. Weierstrassin M-testin perusteella Fourier n sarja g(x) := a + ( ak cos kx + b k sin kx ) suppenee tasaisesti. Sen summa g on tällöin jatkuva funktio. Koska funktion g Fourier n sarja suppenee tasaisesti, voidaan g:n Fourier n kertoimet laskea integroimalla sarja termeittäin. Ortogonaalisuusominaisuuksien nojalla kertoimet ovat juuri a k ja b k. Siis funktioiden f ja g Fourier n kertoimet ovat keskenään yhtäsuuret. Väite seuraa, josta tästä ehdosta voidaan osoittaa seuraavan f = g. Tätä varten tarvitaan kuitenkin yksi aputulos. Lause 4.1 (Weierstrassin approksimointilause). Olkoot f : R R jatkuva, πjaksoinen funktio ja ε >. Tällöin on olemassa trigonometrinen polynomi s siten, että f(x) s(x) ε kaikille x R.

7 4. FOURIER N SARJOISTA 1 Todistus. Löytyy esimerkiksi kirjoista [8], [1], [], [31], [8]. Lauseen 4.11 todistuksen loppuosa. Riittää osoittaa, että jos f on jatkuva, π-jaksoinen funktio, jolle (f e n ) = kaikille n N, niin f =. Ehdosta (f e n ) = kaikille n N seuraa, että (f s) = kaikille trigonometrisille polynomeille s. Weierstrassin approksimointilauseen nojalla on olemassa jono trigonometrisia polynomeja (s j ) j=1 siten, että s j f tasaisesti, kun j (valitse ε = 1/j ja s j = vastaava s). Tällöin (f s j ) = kaikille j Z +. Toisaalta, (f s j ) = f(x)s j(x) dx f(x)f(x) dx = (f f), kun j. Siis (f f) = eli f(x)f(x) dx =. Koska f on jatkuva, on f =. Lause 4.13 (Parseval). Ainakin jatkuvasti derivoituvien, π-jaksoisten funktioiden f ja f : R R Fourier n kertoimille a k, b k ja ã k, b k on voimassa π a ( ) ã + π ak ã k + b k bk = (f e k ) ( f e k ) = (f f). Huomautus Lukujonojen käyttäytymistä kuvataan usein ns. Landaun O- symbolin avulla. Olkoot (c k ) ja (d k) annettuja lukujonoja. Merkitään c k = O(d k ), kun k, jos on olemassa vakiot M R ja K Z + siten, että c k M d k, kun k K. Jatkuvan funktion Fourier n kertoimien jonot (a k ) ja (b k) ovat rajoitettuja, a k = O(1) ja b k = O(1) (esimerkiksi a k 1 π f(x) cos(kx) dx 1 π f(x) dx). π π Käyttämällä lausetta 4.1 toistuvasti, saadaan: Jos f on l kertaa jatkuvasti derivoituva, niin a k = O(k l ) ja b k = O(k l ). Käyttämällä samankaltaista menettelyä kuin lauseen 4.11 todistuksessa, saadaan osittain käänteinen tulos: Jos f:n Fourier n kertoimille on voimassa a k = O(k s ) ja b k = O(k s ), missä s >, niin f on l kertaa jatkuvasti derivoituva, missä l = s, jos s on kokonaisluku, ja l = s 1, jos s ei ole kokonaisluku. Erityisen kaunis yhteys saadaan C -funktioiden ja nopeasti vähenevien jonojen välille: π-jaksoisen funktion f : R R, jolla on kaikkien kertalukujen derivaatat, Fourier n kertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä eli toteuttavat kaikille s Z + on a k = O(k s ) ja b k = O(k s ). Kääntäen, jos π-jaksoisen funktion f : R R Fourier n kertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä, niin f on C -funktio.

8 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 5. Lämmönjohtumisyhtälö: ratkaisun yksikäsitteisyys Olkoot a, b R siten, että a < b, ja τ >. Merkitään Q = (a, b) (, τ). Olkoon Γ se reunan Q osa, joka saadaan, kun reunasta poistetaan [a, b] {τ}, t.s. Γ = ([a, b] {}) ({a} [, τ)) ({b} [, τ)). Lause 5.1. Olkoon u = u(x, t) joukon Q sulkeumassa Q jatkuva funktio, jolla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u ja u. t x Oletetaan, että (i) u toteuttaa joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön u (ii) u(x, t) kaikille (x, t) Γ. Tällöin u(x, t) kaikille (x, t) Q. Todistus. Olkoot ε > siten, että ε < τ, ja Olkoot δ > ja Q ε = (a, b) (, τ ε). v(x, t) = u(x, t) + δt. t = u x, ja Jatkuva funktio v saavuttaa kompaktissa joukossa Q ε pienimmän arvonsa. Olkoon (x, t ) jokin tällainen piste. Osoitetaan, että (x, t ) Γ, t.s. x = a, x = b tai t =. Tehdään antiteesi: a < x < b ja < t τ ε. Funktio x v(x, t ) saavuttaa siis pienimmän arvonsa välin [a, b] sisäpisteessä x, joten v (x x, t ). Tarkastelemalla funktiota t v(x, t) saadaan: Jos t < τ ε, niin v(x t, t ) =. Jos taas t = τ ε, niin v(x t, t ). Siis funktiolle v on v x (x, t ) v t (x, t ). Toisaalta, koska u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön, on v v (x, t) x t (x, t) = u u (x, t) (x, t) δ = δ <. x t Antiteesi on siis väärä, ja (x, t ) Γ. Oletuksen mukaan u(x, t) kaikille (x, t) Γ, joten u(x, t ). Nyt kaikille (x, t) Q ε on u(x, t) = v(x, t) δt v(x, t ) δt = u(x, t ) + δ(t t) δ(t t) δt. Koska δ on mielivaltainen, seuraa edellisestä, että u(x, t) kaikille (x, t) Q ε. Koska ε on mielivaltainen, seuraa tästä ja u:n jatkuvuudesta, että u(x, t) kaikille (x, t) Q. Kun edellistä lausetta soveltaan kahden funktion u 1 ja u erotukseen u u 1, saadaan Seuraus 5.. Olkoot u 1 ja u sulkeumassa Q jatkuvia funktioita, joilla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u j ja u j. t x Oletataan, että funktiot u 1 ja u toteuttavat joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön ja u 1 (x, t) u (x, t) kaikille (x, t) Γ. Tällöin u 1 (x, t) u (x, t) kaikille (x, t) Q.

9 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 3 Seurauslauseen 5. nojalla lämmönjohtumisyhtälön ratkaisu u määräytyy yksikäsitteisesti arvoistaan joukossa Γ: Jos u 1 (x, t) = u (x, t) kaikille (x, t) Γ, niin u 1 = u joukossa Q. Tästä ratkaisujen yksikäsitteisyysominaisuudesta puolestaan seuraa, että lämmönjohtumisyhtälölle ns. Dirichlet n reuna-arvotehtävä u t = u alueessa Q = (a, b) (, τ), ja x u(x, ) = f(x) reunalla Q, missä f : Q R on annettu funktio, on ylimäärätty: ratkaisun u arvot määräytyvät reunan osalle [a, b] {τ} niistä arvoista, jotka f määrää jo reunan osalla Γ. Vakiofunktio toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön, joten edellisestä seurauksesta saadaan: Jos u toteuttaa lauseen 5.1 oletukset ja niin Soveltamalla tätä vakioihin saadaan m u(x, t) M kaikille (x, t) Γ, m u(x, t) M kaikille (x, t) Q. M = sup{u(x, t) (x, t) Γ} ja m = inf{u(x, t) (x, t) Γ}. Seuraus 5.3 (Maksimiperiaate lämmönjohtumisyhtälölle). Olkoon u = u(x, t) joukon Q sulkeumassa Q jatkuva funktio, jolla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u ja u. t x Oletetaan, että u toteuttaa joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön. Tällöin u saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa reunan Q osajoukossa Γ. Asetetaan u,q = sup{ u(x, t) (x, t) Q}, u,γ = sup{ u(x, t) (x, t) Γ}. Tällöin u,q on normi joukossa C(Q). Vastaavasti u,γ on normi joukossa C(Γ). Seuraus 5.4. Olkoon u = u(x, t) joukon Q sulkeumassa Q jatkuva funktio, jolla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u ja u. t x Oletetaan, että u toteuttaa joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön. Tällöin u,q u,γ. Huomautus 5.5. Edelliset päättelyt on suoraan yleistettävissä useampiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön tilanteeseen. Muotoillaan lausetta 5.1 vastaava tulos uudestaan tähän tapaukseen. Olkoot Ω R n rajoitettu alue ja τ >. Merkitään Q = Ω (, τ). Olkoon Γ se reunan Q osa, joka saadaan, kun reunasta poistetaan Ω {τ}, t.s. Γ = (Ω {}) ( Ω [, τ)).

10 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 4 Lause 5.6. Olkoon u = u(x 1,..., x n, t) joukon Q sulkeumassa Q jatkuva funktio, jolla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u,..., u. t x n ja u x 1 Oletetaan, että (i) u toteuttaa joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön u t u t = u x 1 (ii) ja u(x, t) kaikille (x, t) Γ. Tällöin u(x, t) kaikille (x, t) Q. + + u, x n = u eli Huomautus 5.7. Olkoot Ω R n alue, Q = Ω (, ), sekä f : Ω R, g : Ω (, ) R ja h: Q R annettuja funktioita. Edellä on tarkasteltu lämmönjohtumisyhtälöön liittyen seuraavan ongelman erikoistapausta: On määrättävä funktio u: Q R (5.1) u u = h(x, t) alueessa Q, t (5.) u(x, t) = g(x, t) kaikille x Ω ja t >, sekä (5.3) u(x, ) = f(x) kaikille x Ω. Tässä (5.) on yhtälöön (5.1) liittyvä reunaehto ja (5.3) vastaavasti alkuehto. Reunaehdon (5.) sijasta muunkinlaisia ehtoja voidaan tarkastella (myöhemmin). Edellisissä yhtälöissä on ollut h ja g (vrt. esimerkiksi tehtävään (3.1) (3.3) ja lauseeseen 5.1). Tehtävää (5.1) (5.3) sanotaan (Hadamardin mielessä) hyvin asetetuksi, jos a) ratkaisu u on olemassa; b) funktio h, reunaehto g ja alkuehto f määräävät ratkaisun yksikäsitteisesti; c) ratkaisu u riippuu jatkuvasti suureista (f, g, h). Tässä ennenkaikkea viimeinen kohta riippuu jatkuvasti jää epämääräiseksi. Edellä yksiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön maksimiperiaateen yhteydessä osoitettu normiepäyhtälö pätee myös useampiulotteisessa tapauksessa: u,q u,γ. Tarkastellaan erityisesti yhtälöä (5.1), missä h ja g. Oletetaan, että kahta alkuehtofunktiota f 1 ja f vastaavat ratkauisut u 1 ja u ovat olemassa. Tällöin u 1 u,q f 1 f,γ. Kun tässä f 1 f,γ, niin myös u 1 u,q Ratkaisun olemassaolo. Tarkoitus on osoittaa, että sopivin funktiota f koskevin oletuksin sarja u(x, t) = a k sin(kx) e γ k t toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön (3.1) u t = u γ x alueessa Q = (, π) (, ),

11 reunaehdot (3.) ja alkuehdon (3.3) 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 5 u(, t) = u(π, t) = kaikille t >, u(x, ) = a k sin(kx) = f(x). Oletetaan, että f : [, π] R on jatkuvasti derivoituva ja f() = f(π) = (reunaehtojen vuoksi). Asetetaan f : R R siten, että f on π-jaksoinen ja pariton f:n laajennus, t.s. f( x) = f(x) kaikille x [, π]. Tällöin f on jatkuvasti derivoituva, joten sen Fourier n sarja suppenee kohti funktiota f. Lisäksi, koska f on pariton, on sen Fourier n sarja sinisarja. Erityisesti siis a k sin(kx) = f(x) kaikille x [, π]. Funktion u sarja suppenee joukossa [, π] [, ) tasaisesti, koska a k sin(kx) e γ k t a k <. Funktio u on siis jatkuva joukossa [, π] [, ). Erityisesti u toteuttaa reunaehdot (3.) ja alkuehdon (3.3). Koska kaikille t > ja s Z + on k s e γ k t, kun k, suppenevat myös u:n sarjasta termeittäin derivoimalla saadut sarjat tasaisesti. Tarkemmin: Olkoon t >. Tällöin kaikille t t ja x R on a k sin(kx) ( γ k ) e γ k t a k ( k ) sin(kx) e γ k t a k γ k e γ k t < ja a k k e γ k t <. Tästä seuraa, että u:n sarja voidaan derivoida termeittäin, jolloin derivaatoiksi saadaan u t (x, t) = a k sin(kx) ( γ k ) e γ k t u x (x, t) = a k ( k ) sin(kx) e γ k t. Tästä seuraa, että u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön (3.1). Seurauslauseen 5. nojalla löydetty ratkaisu on yksikäsitteinen. ja

12 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 6 On helppo todeta, että funktiot x sin(kx) ovat ortogonaaliset myös välillä [, π], t.s. silloin, kun funktioiden f ja g sisätulo määritellään kaavalla Siis Funktion f normille on tällöin f = (f g) = f(x)g(x) dx. f(x) dx = π Vastaavasti ratkaisun x u(x, t) normille on u(, t) = u(, t) = π u(x, t) dx = π a k e γ k t π a k. a k e γ k t. a k = f. Tästä seuraa, että ratkaisu u riippuu jatkuvasti myös L -normin mielessä. Edellisestä epäyhtälöstä saadaan vielä tarkempi epäyhtälö u(, t) = π a k e γ k t π t e γ a k = e γt f, joten u(, t) e γt f. Tämä sanoo, että ratkaisu vaimenee nollaan L -normin mielessä varsin nopeasti, kun t. Huomautus 5.8. a) Funktion f Fourier n sarja suppenee varsin väljin oletuksin; jatkuva derivoituvuus on usein liian rajoittava oletus. Fourier n kertoimet c j = (f e j ) = f(x)e j(x) dx voidaan määritellä funktiolle f, joka on Lebesgue-integroituva välillä [, π]. Jos f on lisäksi neliöintegroituva, t.s. jos f on Lebesgue-integroituva, niin f:n Fourier n sarja suppenee L -normin mielessä kohti funktiota f, f (f e j )e j, kun n. j= Myös L -funktion Fourier n kertoimien jono on rajoitettu (itse asiassa Parsevalin kaavan nojalla j= (f e j) = f <, joten kerroinjono suppenee kohti nollaa). b) Olkoon f neliöintegroituva välillä [, π] ja f : R R siten, että f on π-jaksoinen ja pariton laajennus. Olkoot a k funktion f Fourier n kertoimet, jolloin f(x) = a k sin(kx) L -normin mielessä.

13 Kun on kaikille N Z + u(, t) f = π 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 7 a k u(x, t) = a k sin(kx) e γ k t ( e γ k t 1 ) = π N a k ( e γ k t 1 ) + π k=n+1 Olkoon ε >. Koska j= a j <, on olemassa N Z + siten, että π ( a k e γ k t 1 ) ε kaikille t >. Kun t +, on k=n+1 π N ( a k e γ k t 1 ). Siis, kun t +, on u(, t) f, joten alkuehto u(x, ) = f(x) toteutuu L -normin mielessä. a k ( e γ k t 1 ). c) Vaikka f ei olisikaan jatkuvasti derivoituva, niin edellä määritellyllä funktiolla u, u(x, t) = a k sin(kx) e γ k t, on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat alueessa R (, ). Tähän kelpaa aiemmmin esitetty todistus. Itse asiassa Fourier n kerroinjonon (a k ) ei tarvitse olla edes rajoitettu. Riittää, että jono kasvaa enintään polynomiaalisesti. Tällä tarkoitetaan, että on olemassa M, d R siten, että a k M k d kaikille k Z +. Tämä ominaisuus on esimerkiksi jaksolllisen distribuution Fourier n kertoimilla.