Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
|
|
- Ari-Matti Manninen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lähtötilanne
2 Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan.
3 Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä. Arvioidaan palkkien yhteenlaskettua pinta-alaa.
4 Kun osavälijakoa tihennetään, saadaan (rajalla) haluttu pinta-ala/integraalin arvo.
5 Kun osavälijakoa tihennetään, saadaan (rajalla) haluttu pinta-ala/integraalin arvo. Milloin tämä lähestymistapa toimii/antaa järkevän tuloksen? Miten tästä saadaan täsmällinen integraalin määritelmä...
6 Porrasfunktiot Funktio f : [a, b] R on porrasfunktio, jos on olemssa luvut a = x 0 < x 1 <... < x n = b ja a 1, a 2,..., a n R siten, että kaikille k = 1,..., n f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [. ESIMERKKI: f : [0, 2] R, 3 kun x ]0, 1[ f (x) = 1 2 kun x ]1, 3 2 [ 1 kun x ] 3 2, 2[. (Jakopisteissä x {0, 1, 3 2, 2} arvo f (x) voidaan määritellä vapaasti.) Tässä siis P = (0, 1, 3 2, 2), a 1 = 3, a 2 = 1 2, a 3 = 1.
7 P = (0, 1, 3 2, 2), a 1 = 3, a 2 = 1 2, a 3 = 1.
8 Porrasfunktion f (alkeis-) integraali yli välin [a, b] on f (x) dx = n a k (x k x k 1 ). k=1 Esimerkkimme tilanteessa 2 x=0 f (x) dx = ( 1 2 ) =
9 Geometrinen tulkinta: 2 x=0 f (x) dx = ALA 1 ALA 2.
10 Lemma Olkoon f, g: [a, b[ R porrasfunktioita. Tällöin 1 f + g on myös porrasfunktio ja (f + g)(x) dx = 2 λf on porrasfunktio kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx + g(x) dx. 3 Jos f g, niin f (x) dx g(x) dx. 4 Kaikille a < c < b, f (x) dx = c f (x) dx. f (x) dx + f (x) dx. x=c
11 Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että
12 Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [, g(x) = b k kun x ]x k 1, x k [.
13 Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [, g(x) = b k kun x ]x k 1, x k [. Esimerkiksi väite 3 seuraa tästä ja alkeisintegraalin määritelmästä, sillä f (x) dx = n a k (x k x k 1 ) k=1 n b k (x k x k 1 ) = k=1 g(x) dx, koska a k b k jos f g.
14 Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [, g(x) = b k kun x ]x k 1, x k [. Esimerkiksi väite 3 seuraa tästä ja alkeisintegraalin määritelmästä, sillä f (x) dx = n a k (x k x k 1 ) k=1 n b k (x k x k 1 ) = k=1 g(x) dx, koska a k b k jos f g. MUISTUTUS: Harjoitustehtäviin voi saada apuja tuutortuvalta!
15 Riemann-integraali Bernhard Riemann ( )
16 Rajoitetun funktion f : [a, b] [0, + [ alaintegraali on { } b ala f := sup h(x) dx : h on porrasfunktio ja h f Yläintegraali määritellään vastaavasti yl.ȧ { } b f := inf h(x) dx : h on porrasfunktio ja h f. Jos ala f = yl.ȧ f, sanotaan että f on Riemann-integroituva yli välin [a, b], jolloin sen Riemann-integraali on f (x) dx := ala f = yl.ȧ f..
17 Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa.
18 Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. f on siis Riemann integroituva jos ja vain jos on olemassa I R siten, että yl.ȧ f I ala f.
19 Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. f on siis Riemann integroituva jos ja vain jos on olemassa I R siten, että yl.ȧ f I ala f. Yleensä Riemann-integroituvuus osoitetaan seuraavalla tavalla: Jokaiselle ε > 0, etsitään porrasfunktiot h ja g s.e. h f g, h(x) dx > I ε sekä g(x) dx < I + ε.
20 Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. f on siis Riemann integroituva jos ja vain jos on olemassa I R siten, että yl.ȧ f I ala f. Yleensä Riemann-integroituvuus osoitetaan seuraavalla tavalla: Jokaiselle ε > 0, etsitään porrasfunktiot h ja g s.e. h f g, h(x) dx > I ε sekä g(x) dx < I + ε. Tällöin f on Riemann-integroituva ja f (x) dx = I
21 Yhtäpitävästi: Etsitään jonot alaporrasfunktioita h n, sekä yläporrasfunktioita g n (siis h n f g n kaikilla n), siten että lim h n (x) dx = lim g n (x) dx = I. n n
22 Yhtäpitävästi: Etsitään jonot alaporrasfunktioita h n, sekä yläporrasfunktioita g n (siis h n f g n kaikilla n), siten että lim h n (x) dx = lim g n (x) dx = I. n n Tällöin f on Riemann-integroituva ja I = f (x) dx.
23 ESIMERKKI: Lasketaan 1 x dx. x=0 Merkitään f : [0, 1] R, f (x) = x.
24 ESIMERKKI: Lasketaan 1 x=0 x dx. Merkitään f : [0, 1] R, f (x) = x. Olkoon n N ja jaetaan väli [0, 1] tasaisesti n osaan jaon P = (0, 1 n, 2 n,..., n 1 n, 1) mukaisesti. Tässä siis x k = k n, kun k = 0,..., n ja I k =] k 1 n, k n [. Määritellään porrasfunktio h asettamalla h(x) = f (x k 1 ) = x k 1 = k 1 n kaikille x I k.
25
26 ESIMERKKI: Lasketaan 1 x dx. x=0 Merkitään f : [0, 1] R, f (x) = x. Olkoon n N ja jaetaan väli [0, 1] tasaisesti n osaan jaon P = (0, 1 n, 2 n,..., n 1 n, 1) mukaisesti. Tässä siis x k = k n, kun k = 0,..., n ja I k =] k 1 n, k n [. Määritellään porrasfunktio h asettamalla Tällöin joten h(x) = f (x k 1 ) = x k 1 = k 1 n kaikille x I k. ala f h f, 1 x=0 h(x) dx.
27 Lasketaan: ala f = = 1 x=0 h(x) n l(i k )f (x k 1 ) k=1 n k=1 1 k 1 n n = 1 n 1 n 2 k k=0 = 1 n 2 n(n 1) 2,
28 Lasketaan: ala f = = 1 x=0 h(x) n l(i k )f (x k 1 ) k=1 n k=1 1 k 1 n n = 1 n 1 n 2 k k=0 = 1 n 2 n(n 1) 2 missä viimeinen yhtälö seuraa aritmeettisen summan kaavasta m k = k=0 m(m + 1) 2,.
29 Koska lim n ( 1 n(n 1) n 1 1 n 2 = lim 2 n 2n = lim n 2 1 ) = 1 2n 2, niin ala f 1 2. Määritellään sitten porrasfunktio g siten, että g(x) = f (x k ) = k n kaikille x I k, jolloin g f.
30
31 Lasketaan: kun n. yl.ȧ f = = 1 x=0 g(x) n l(i k )f (x k ) k=1 n 1 k n n k=1 = 1 n n 2 k k=1 = 1 n 2 n(n + 1) 2 = n + 1 2n 1 2,
32 Koska ala f 1 2 yl.ȧ f, niin f on Riemann integroituva ja 1 x=0 x dx = 1 2.
33 Mitä osaamme integroida? Vakiofunktiot. Porrasfunktiot. Monomit f (x) = x m kaikille m {0, 1, 2,..., }.
34 Mitä osaamme integroida? Vakiofunktiot. Porrasfunktiot. Monomit kaikille m {0, 1, 2,..., }. f (x) = x m On opettavaista yrittää integroida myös muita alkeisfunktioita suoraan määritelmää käyttäen. ex dx =? sin x dx =?
35 Mitä osaamme integroida? Vakiofunktiot. Porrasfunktiot. Monomit kaikille m {0, 1, 2,..., }. f (x) = x m On opettavaista yrittää integroida myös muita alkeisfunktioita suoraan määritelmää käyttäen. ex dx =? sin x dx =? Esimerkki ei integroituvasta funktiosta: f : [0, 1] R, { 1 kun x [0, 1] Q, f (x) = 0 kun x [0, 1] \ Q.
36 Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx.
37 Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. 2 λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx.
38 Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. 2 λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx. 3 Jos f g, niin f (x) dx g(x) dx.
39 Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. 2 λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx. 3 Jos f g, niin f (x) dx g(x) dx. 4 Kaikille a < c < b, f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. x=c
40 Seuraus Jos a 0,..., a n R ja p(x) = n k=0 a kx k, niin kaikille a, b R, a < b. p(x) dx = n k=0 a k b k+1 a k+1 k + 1,
41 Seuraus Jos a 0,..., a n R ja p(x) = n k=0 a kx k, niin kaikille a, b R, a < b. p(x) dx = n k=0 a k b k+1 a k+1 k + 1, Todistus. Sovelletaan edellistä lausetta monomin integroimiskaavaan jolloin p(x) dx = x k = bk+1 a k+1 k + 1 n a k k=0 x k dx = n k=0, a k b k+1 a k+1 k + 1.
42 Riemannin ehto Lause Funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva jos ja vain jos kaikille ε > 0 löytyy porrasfunktiot h ja g siten, että h f g ja (g(x) h(x)) dx < ε.
43 Riemannin ehdon avulla osoitetaan Riemann-integroituviksi muun muassa max{f, g} ja min{f, g}, Riemann-integroituville f, g: [a, b] R. Riemann-integroituvan funktion positiivi- ja negatiiviosat (harjoitustehtävä). Monotoniset funktiot f : [a, b] R (harjoitustehtävä). Tulo fg Riemann-integroituville f, g: [a, b] R (harjoitustehtävä)....
44 Jatkuvan funktion Riemann-integroituvuus Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten,että f (x) f (y) < ε aina kun y A ja x y < δ.
45 Jatkuvan funktion Riemann-integroituvuus Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten,että f (x) f (y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Määritelmä Funktio f : A R on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille x A.
46 Jatkuvan funktion Riemann-integroituvuus Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten,että f (x) f (y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Määritelmä Funktio f : A R on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille x A. Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on tasaisesti jatkuva, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten, että f (x) f (y) < ε aina kun x, y A ja y x < δ.
47 Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita
48 Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita δ = ε.
49 Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita δ = ε. f : ]0, 1[ R, f (x) = 1 x on jatkuva,
50 Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita δ = ε. f : ]0, 1[ R, f (x) = 1 x on jatkuva, mutta ei tasaisesti jatkuva: Vaikka 0 < δ < 1 2 valittaisiin miten pieneksi tahanssa, niin luvuille x = δ, y = 3 2δ ]0, 1[, on y x = δ 2 < δ, mutta f (x) f (y) = 1 δ 2 3δ = 1 3δ 2 3. Tasaisen jatkuvuuden vaatimaa lukua δ ei siis löydy arvolla ε = 2 3.
51 Lause Tasaisesti jatkuva funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva. Todistus: Olkoon ε > 0. Tavoitteena on löytää porrasfunktiot h ja g siten, että h f g ja (g(x) h(x)) dx < ε. Tarkastellaan tasvälistä jakoa P = (x 0,..., x n ), missä n N ja x k = a + k n (b a), kun k = 0,..., n. Koska f on tasaisesti jatkuva, voidaan valita δ > 0 siten, että f (x) f (y) < ε kaikille x, y [a, b] joille x y < δ Kun n > b a δ, huomataan että l(i k) = (b a) n < δ, joten tiedämme että f (x) f (y) < ε kun x, y I k.
52 Voidaan siis valita luvut a k, b k R siten, että b k a k < ε ja a k f (x) b k kaikille x I k. Määritellään porrasfunktiot h, g: [a, b] R siten, että Tällöin: h f g ja (g(x) h(x)) dx = h(x) = a k kun x I k, g(x) = b k kun x I k. n l(i k )(b k a k ) k=1 = (b a)ε. Väite seuraa Riemannin ehdosta. n k=1 ε(b a) n
53 Kun osoitamme vielä, että Lause Suljetulla ja rajoitetulla välillä määritelty jatkuva funktio f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. olemme lopulta osoittaneet, että Seuraus Jatkuva funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva.
54 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva.
55 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N.
56 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N. Koska jono (x n ) on rajoitettu, voidaan osajonoon siirtymällä olettaa, että (x n ) suppenee.
57 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N. Koska jono (x n ) on rajoitettu, voidaan osajonoon siirtymällä olettaa, että (x n ) suppenee. Olkoon x = lim n x n.
58 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N. Koska jono (x n ) on rajoitettu, voidaan osajonoon siirtymällä olettaa, että (x n ) suppenee. Olkoon x = lim n x n. Tällöin myös lim y n = lim x n + lim(y n x n ) = x + 0 = x.
59 f on jatkuva, joten 0 = f (x) f (x) = lim f (x n ) lim f (y n ) n n = lim (f (x n ) f (y n )) n lim f (x n ) f (y n ) n lim ε n ε
60 f on jatkuva, joten 0 = f (x) f (x) = lim f (x n ) lim f (y n ) n n = lim (f (x n ) f (y n )) n lim f (x n ) f (y n ) n lim ε n ε... ristiriita.
61 Miten voidaan karkterisoida Riemann-integroituvat funktiot? Määritelmän avulla. Riemannin ehdon avulla. Niin sanottu Lebesguen ehto antaa vaihtoehtoisen karakterisaation funktion f epäjatkuvuuspisteiden avulla. f : [a, b] R on jatkuva jos ja vain jos sen epäjatkuvuuspisteiden joukko on "riittävän pieni". Lue lisää luentomonisteesta...
62 Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1.
63 Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1. Lause Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva, sekä P m välin [a, b] jako kaikille m N siten, että lim P m = 0. m
64 Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1. Lause Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva, sekä P m välin [a, b] jako kaikille m N siten, että lim P m = 0. m Olkoon lisäksi jokaiselle m, ξ k [x k 1, x k ], sekä S(P m ) = n m k=1 kun merkitään P m = (x 0,..., x nm ). f (ξ k )(x k x k 1 ),
65 Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1. Lause Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva, sekä P m välin [a, b] jako kaikille m N siten, että lim P m = 0. m Olkoon lisäksi jokaiselle m, ξ k [x k 1, x k ], sekä S(P m ) = n m k=1 f (ξ k )(x k x k 1 ), kun merkitään P m = (x 0,..., x nm ). Tällöin f (x) dx = lim m S(P m).
66 Riemannin summista on hyötyä erityiseti silloin jos jo etukäteen tiedetään, että f on RIemann-integroituva. Tällöin integraalin f (x) dx arvo voidaan laskea haluamaamme jonoon (tihentyviä) jakoja P m liittyvien Riemannin summien avulla. Huomaa, että pisteet ξ k voidaan vapaasti valita jakoväliltä [x k 1, x k ].
67 TEHTÄVÄ: Mitkä seuraavista funktioista ovat Riemann-integroituvia? Perustele! f : [0, 100] R, 3 kun x ]0, 1[, f (x) = π kun x ]1, 99[, 1 kun x ]99, 100[. g(x) = sin(e x + 80x 2 ), [ 100, 0] R. x f (x) + g( x), [0, 100] R. h: [0, 3] R, h(x) = { 8 jos x on muotoa x = 1 n, n N, x muuten.
68 v: [0, 3] R, x kun x [0, 1], v(x) = cos x kun x ]1, 2[, log x kun x [2, 3]. u: [0, 1] R 1 jos luvun x desimaaliesityksessä on u(x) = äärettömän monta kolmosta, 1 muuten. 1 w, jos w: [a, b] R on Riemann-integroituva. vh: [0, 3] R.
69 Keskiarvo integraalina Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on 1 b f (x) dx. b a
70 Keskiarvo integraalina Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on 1 b f (x) dx. b a ESIMERKKI: Olkoon f : [0, 3] R, { x kun x [0, 1[, f (x) = 3 kun x [1, 3[.
71 Keskiarvo integraalina Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on 1 b f (x) dx. b a ESIMERKKI: Olkoon f : [0, 3] R, { x kun x [0, 1[, f (x) = 3 kun x [1, 3[. Tällöin funktion f keskiarvo on 1 3 f (x) dx = 1 1 x dx dx = 1 ( ) 1 3 x=0 3 x=0 3 x= = 13 6.
72
73 Jatkuva funktio saavuttaa keskiarvonsa Lause (Integraalilaskennan väliarvolause) Jos f : [a, b] R on jatkuva, niin tällöin f (c) = 1 f (x) dx, eräälle c [a, b]. b a
74 Integraalifunktiot Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva. Funktiota F: [a, b] R, F(x) = x y=a f (y) dy, sanotaan funktion f Integraalifunktioksi.
75 Integraalifunktiot Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva. Funktiota F: [a, b] R, F(x) = x y=a f (y) dy, sanotaan funktion f Integraalifunktioksi. ESIMERKKI: Määrätään integraalifunktio F funktiolle f : [0, 3] R, { y kun y [0, 1[, f (y) = 3 kun y [1, 3[. Jos 0 x 1, niin F(x) = x y=0 f (y) dy = x y=0 y dy = x2 2.
76 Jos 1 < x 2, niin F(x) = x y=0 f (y) dy = 1 y=0 x y dy + 3 dy = 1 + 3(x 1). y=1 2
77 Jos 1 < x 2, niin F(x) = x y=0 f (y) dy = 1 y=0 x y dy + 3 dy = 1 + 3(x 1). y=1 2 Tapaukset yhdistämällä saadaan, F(x) = { x 2 kun x [0, 1[, 3x 5 2 kun y [1, 3[. Huomaa, että F on jatkuva (vaikka f on epäjatkuva)!
78 Integraalifunktion yleinen määritelmä Välillä I R määritelty funktio F: I R on funktion f : I R integraalifunktio, jos se on muotoa eräille vakioille C R, c I. x F(x) = C + f (y) dy y=c HUOMAA: Määritelmään sisältyy oletus, jonka mukaan f on Riemann-integroituva yli välin [a, b] kaikille a, b I.
79 Integraalifunktion ja Riemann-integraalin yhteys Lause Jos F on funktion f integraalifunktio välilä I, niin kaikille c, d I on voimassa d y=c f (y) dx = F(d) F(c). Mikäli G on jokin toinen funktion f integraalifunktio välillä I, niin tällöin G(x) = F(x) + C kaikille x [a, b], missä C on luvusta x riippumaton vakio.
80 Primitiivi Olkoon f : I R, missä I R on väli. Funktio G: I R on funktion f primitiivi, jos G on jatkuva ja jos G (x) = f (x) kaikille x I päätepisteitä lukuunottamatta.
81 Primitiivi Olkoon f : I R, missä I R on väli. Funktio G: I R on funktion f primitiivi, jos G on jatkuva ja jos G (x) = f (x) kaikille x I päätepisteitä lukuunottamatta. ESIMERKKI: Funktion f : R R, (eräs) primitiivi on f (x) = x 2 F(x) = arctan x. (koska D arctan x = 1 1+x 2 ). Myös jokainen funktio G(x) = arctan x + C, missä C R on vakio, on funktion f primitiivi. Muita primitiivejä ei ole.
82 Analyysin peruslause: Osa 1 Lause Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f (x) dx = G(b) G(a) kaikille [a, b] I. (1)
83 Analyysin peruslause: Osa 1 Lause Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f (x) dx = G(b) G(a) kaikille [a, b] I. (1) Todistus. Yhtälö (1) johdettiin luennolla Riemannin summien ja differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla.
84 Analyysin peruslause: Osa 1 Lause Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f (x) dx = G(b) G(a) kaikille [a, b] I. (1) Todistus. Yhtälö (1) johdettiin luennolla Riemannin summien ja differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla. Valitaan c I. Yhtälön (1) nojalla funktiolle G saadaan lauseke: x G(x) = G(c) + (G(x) G(c)) = G(c) + f (y) dy, y=c joten G on funktion f integraalifunktio.
85 HUOMAUTUS: On olemassa funktioita f : [a, b] R, jolla on primitiivi, mutta jotka eivät silti ole Riemann-integroituvia. Edellisen lauseen oletus Riemann-integroituvuudesta on siis tarpeellinen...
86 Integroimiskaavoja Analyysin peruslauseen avulla derivoimiskaavoista saadaan integroimiskaavoja: funktio f (x) Integraalifunktio F(x) määrittelyväli I x n 1 x α 1 1 n+1 xn+1 R (n Z \ { 1}) α+1 xα+1 [0, + [ (α R \ { 1}) x log x ]0, + [ a x ax log a R (tässä a > 0) sin x cos x R cos x sin x R 1 + tan 2 x tan x ] π/2, π/2[ 1 1 x 2 arcsin x ] 1, 1[ 1 1 x 2 arccos x ] 1, 1[ 1 1+x 2 arctan x R
87 Analyysin peruslause: osa 2 Aiemman tuloksen nojalla tiedämme, että Riemann-integroituvan funktion primitiivit ovat sen integraalifunktioita.
88 Analyysin peruslause: osa 2 Aiemman tuloksen nojalla tiedämme, että Riemann-integroituvan funktion primitiivit ovat sen integraalifunktioita. Jatkuvan funktion tapauksessa tulos kääntyy (ei päde yleisesti): Lause Jos f : I R on jatkuva ja F on sen integraalifunktio, niin tällöin F (x) = f (x) kaikille välin I pisteille (päätepisteitä lukuunottamatta).
89 Lause Jos f : I R on jatkuva ja F on sen integraalifunktio, niin tällöin F (x) = f (x) kaikille välin I pisteille (päätepisteitä lukuunottamatta).
90 Analyysin peruslause: osa 2 Lause Jos f : I R on jatkuva ja F on sen integraalifunktio, niin tällöin F (x) = f (x) kaikille välin I pisteille (päätepisteitä lukuunottamatta). Analyysin peruslauseen nojalla tiedämme siis, että jatkuvalle f F on funktion f primitiivi F on funktion f integraalifunktio.
91 Määrätty ja määräämätön integraali MUISTUTUS: Merkintä f = F, tarkoittaa sitä, että F on (eräs) funktion f integraalifunktio. Integraalifunktion määrittelevää integraalia F(x) = x y=c f (y) dy sanotaan määräämättömäksi integraaliksi. Sen erottaa määrätystä integraalista y=a f (y) dy se, että integraalin ylärajana on muuttuja x. Merkitään myös / b F(x) := F(b) F(a).
92 Lause (Osittaisintegrointi) Jos f, g: I R ovat derivoituvia ja f sekä g ovat Riemann-integroituvia jokaisella osavälillä [a, b] I, niin fg = f g + fg ja edelleen (2) a / b fg = a f g + a fg kaikille a, b I.
93 Lause (Osittaisintegrointi) Jos f, g: I R ovat derivoituvia ja f sekä g ovat Riemann-integroituvia jokaisella osavälillä [a, b] I, niin fg = f g + fg ja edelleen (2) a / b fg = a f g + a fg kaikille a, b I. Yhtälö (3) kirjoitetaan usein muotoon f g = fg fg. (3) Tämä tarkoittaa sitä, että jos H on eräs tulofunktion fg integraalifunktio, niin tällöin fg H on eräs tulofunktion f g integraalifunktio.
94 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen.
95 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x.
96 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x. Tällöin f (x) = x ja g (x) = 1 x.
97 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x. Tällöin f (x) = x ja g (x) = 1 x. Saadaan log x = x 1 log x = x log x = x(log x 1). x Tuloksen voi tarkastaa derivoimalla ja toteamalla, että D (x(log x 1)) = log x.
98 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x. Tällöin f (x) = x ja g (x) = 1 x. Saadaan log x = x 1 log x = x log x = x(log x 1). x Tuloksen voi tarkastaa derivoimalla ja toteamalla, että D (x(log x 1)) = log x. Siten, esimerkiksi e 2 x=1 log x dx = e 2 (log(e 2 ) 1) (log 1 1) = e
99 ESIMERKKI: Lasketaan vielä log 2 x dx, välillä x ]0, [. Muistetaan, että log x = x(log x 1) ja D log x = 1 x. Osittaisintegroimalla saadaan, log 2 x = (log x)(log x) 1 = x(log x 1) log x (x(log x 1)) x = x(log x 1) log x (log x 1) = x(log x 1) log x x(log x 1) + x ( ) = x (log x 1)
100 Muuttujanvaihto integraalissa Jos g: J I ja h: I R ovat derivoituvia, niin (h g) (x) = g (x)h (g(x))
101 Muuttujanvaihto integraalissa Jos g: J I ja h: I R ovat derivoituvia, niin (h g) (x) = g (x)h (g(x)) Tämä johtaa (välillä J) integrointikaavaan g (x)h (g(x)) dx = h g(x).
102 Muuttujanvaihto integraalissa Jos g: J I ja h: I R ovat derivoituvia, niin (h g) (x) = g (x)h (g(x)) Tämä johtaa (välillä J) integrointikaavaan g (x)h (g(x)) dx = h g(x). Tätä voidaan soveltaa suoraan silloin, kun integroitava funktio on helposti tunnistettavissa muodossa f (x) = g (x)h (g(x)). Esimerkiksi integraaleihin ja φ (x), kun φ(x) 0 φ(x) φ (x)φ(x) α, kun α > 0.
103 ESIMERKKI: Määrätään x x 3 dx.
104 ESIMERKKI: Määrätään x x 3 dx. Integrandi on määritelty, kun x 3 1/3.
105 ESIMERKKI: Määrätään x x 3 dx. Integrandi on määritelty, kun x 3 1/3. Huomataan, että integraali voidaan kirjoittaa muodossa φ (x)φ(x) 1/2, missä φ(x) = 3 + x
106 ESIMERKKI: Määrätään x x 3 dx. Integrandi on määritelty, kun x 3 1/3. Huomataan, että integraali voidaan kirjoittaa muodossa φ (x)φ(x) 1/2, missä φ(x) = 3 + x Siten Esimerkiksi x 2 = x 3 3 φ(x)1/2 = x 3 3 dx. 2 x= 1 x x 3 = 2 3 ( 11 2).
107 Muuttujanvaihto/yleinen tapaus Lause Olkoon f : I R Riemann-integroituva ja olkoon g: [a, b] I sellainen jatkuva funktio, joka on derivoituva välillä ]a, b[, ja jonka derivaatta g on Riemann-integroituva. Tällöin g(b) u=g(a) f (u) du = g (x)f (g(x)) dx. Jos F on funktion f integraalifunktio, niin ylläolevan tuloksen nojalla yhdistetty funktio F g on funktion g (f g) integraalifunktio.
108 TODISTUKSEN IDEA:
109 Sijoitusmenetelmä Merkintöjen ja laskennon kannalta muuttujanvaihtolauseessa on tapana käyttää lyhyempää merkintätapaa: Merkitään u = g(x). Tällöin g (x) = du dx. Siispä g (x)f (g(x)) dx = du f (u) dx = dx f (u) du. (4) HUOMAUTUS: Ylläoleva lasku (4) ei ole täsmällinen todistus, mutta se on hyvä muistisääntö. Sen antama kaava g (x)f (g(x)) dx = f (u) du on kuitenkin tulkittavissa täsmällisesti edellisen lauseen avulla.
110 Toisinaan on kätevämpää esittää sijoitus muodossa x = g(u). Tällöin dx du = g (u), joten dx = g (u) du. Huomaa, että merkitsemällä φ = g 1, tämä voidaan kirjoittaa muodossa du dx = 1 g (u) = φ (x), jolloin päädytään jo edellä esitettyyn kaavaan.
111 Sijoitusmenetelmä käytännössä 1 Integroitavana on funktio f, 2 eli pitää määrätä f (x) dx. 3 Korvataan "sopiva"funktion f (x) lausekkeessa esiintyvä termi g(x) muuttujalla u. 4 Integraalin lausekkeessa termi dx korvataan termillä du g (x). 5 Esitetään f (x) g (x) muodossa h(u). 6 Integroidaan h(u), eli etsitään jokin integraalifunktio H(u). 7 Sijoitetaan saatuun integraalifunktioon H(u) muuttujan u paikalle u = g 1 (x). 8 Jos ratkaistavana oli määrätty integraali f (x) voidaan kohdassa 6. laskea suoraan g(b) u=g(a) h(u) du.
112 ESIMERKKI: Lasketaan dx 1 + e x. Sijoitetaan u = e x. Tällöin du = e x dx = u dx eli yhtäpitävästi dx = du u. Integraali saa muodon ( 1 1 u(1 + u) du = u 1 ) du = log u log(1 + u). 1 + u Sijoittamalla u = e x, saadaan lopulta dx 1 + e x = x log(1 + ex ).
113 Eräiden alkeisfunktioiden integrointia 1 Integraali dx a 2 x 2, kun a 0, palautuu sijoituksella u = x a perustapaukseen = arcsin x. dx 1 x 2 2 Vastaavasti, kun a > 0. dx a 2 + x 2 = 1 ( x ) a arctan, a 3 Integraali 1 + ax 2 dx, ratkeaa sijoituksella sin u/ a = x, kun a < 0 ja sijoituksella x = tan u/ a, kun a > 0. 4 Trigonometristen funktioiden integrointiin ei ole yleispätevää menetelmää. Sijoitus u = tan( x 2 ) toimii monissa tilanteissa.
114 Rationaalifunktion integroiminen Tarkastellaan rationaalifunktiota R(x) = P(x) Q(x), missä P ja Q ovat polynomeja. Tällainen funktio R voidaan integroida pääpiirteissään seuraavasti. 1 Esitetään R(x) muodossa R(x) = p(x) + r(x) q(x), missä p, r ja q ovat polynomeja ja polynomin q aste on vähintään yhtä suuri, kuin polynomin r aste. 2 Muodostetaan osamäärälle r(x) q(x) osamurtokehitelmä, eli esitetään se muotoa α (x β) k ja αx (βx 2 + γx + θ) k sekä α (βx 2 + γx + θ) k olevien termien summana (α, β, γ, θ 0)
115 α 3 Muotoa olevat termit saadaan integroitua (x β) k peruskaavoja 1 (x β) k = { 1 (1 k)(x β) k 1 jos k 1, log x β, jos k = 1, käyttämällä. 4 Muotoa αx (βx 2 +γx+θ) k olevat termit palautuvat sijoituksella t = x + β 2γ integraaliin x (x 2 + a) k = { 1 (2 2k)(x 2 +a) k 1, kun k 1, log x 2 + a, kun k = 1. 5 Muotoa α (βx 2 +γx+θ) k olevat termit voidaan integroida peräkkäisillä osittaisintegroinneilla käyttämällä kaavaa x 2 = arctan x.
116 ESIMERKKI: Määrätään x 5 + 2x x 7 + 2x 5 Integroitava lauseke on määritelty, kun x 7 + 2x 5 = x 5 (x 2 + 2) 0, eli kun x 0. Muodostetaan osamurtokehitelmä x 5 + 2x x 7 + 2x 5 = x5 + 2x x 5 (x 2 = 1 + 2) 2 + x x 5. Integroimalla termit erikseen, x 5 + 2x x 7 + 2x 5 = x x 5 = 1 2 arctan( x 2 ) 1 2x 4.
117 Varoituksen sana Vaikka jatkuvalla funktiolla on aina integraalifunktio(ita), niitä ei läheskään aina voi esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla.
118 Varoituksen sana Vaikka jatkuvalla funktiolla on aina integraalifunktio(ita), niitä ei läheskään aina voi esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla. Esimerkiksi funktioiden g(x) = e x2, f (x) = x r 1 e x, missä r ]0, [\N, g(x) = x tan x, integraalifunktiot eivät ole alkeisfunktioita.
119 Epäoleelliset integraalit: rajoittamaton funktio Olkoon f : [a, b] R sellainen, että kaikille a < c < b, funktio f on Riemann-integroituva yli välin [a, b]. Jos raja-arvo lim f (x) dx, c a + x=c on äärellisenä olemassa, niin epäoleellinen integraali suppenee, jolloin merkitään f (x) dx = lim f (x) dx. c a + x=c f (x) dx Muussa tapauksessa sanotaan, että epäoleellinen-integraali f (x) dx hajaantuu.
120 Epäoleelliset integraalit: rajoittamaton integrointiväli Olkoon a R ja f : [a, [ R integroituva yli välin [a, b] kaikille a < b <. Jos raja-arvo lim f (x) dx b on äärellisenä olemassa, niin sanotaan, että epäoleellinen Riemann-integraali f (x) dx suppenee, jolloin merkitään f (x) dx = lim b f (x) dx. Muussa tapauksessa sanotaan, että epäoleellinen integraali f (x) dx hajaantuu.
121 Epäoleelliset integraalit a x= f (x) dx x= f (x) dx, f (x) dx, missä f on integroituva yli välin [a, c] kaikille a < c < b, sekä näiden yhdistelmät määritellään vastaavalla tavalla.
122 ESIMERKKI: Olkoon h(x) = e x Huomataan, että kaikille 0 < b < on voimassa x=0 Kun b, niin e x dx = x=0 x=0 / b e x = 1 e b. e x dx 1. Siten epäoleellinen integraali x=0 e x dx suppenee ja x=0 e x dx = 1.
123 ESIMERKKI: Tarkastellaan epäoleellista integraalia 1 x=0 x α dx luvun α > 0 eri arvoilla. Kaikille 0 < c < 1, integraali { 1 1 c 1 α x α dx = 1 α, jos α 1, log(c), jos α = 1. x=c Siten { 1 lim h α (x) dx = c 0 + x=c 1 1 α, jos α < 1,, jos α 1. Epäoleellinen integraali siis suppenee jos ja vain jos α < 1, jolloin 1 x α dx = 1 1 α. x=0
124 Lause Suppenemisehtoja Olkoon f : [a, [ R ja g: [a, [ R integroituvia yli välin [a, b] kaikille a < b <. 1 Jos g(x) dx suppenee ja jos 0 f g, niin f (x) dx suppenee. f (x) 2 Jos lim x g(x) R \ {0}, niin f (x) dx suppenee f (x) 3 Jos lim x g(x) =, niin g(x) dx hajaantuu = g(x) dx suppenee. f (x) dx hajaantuu. HUOMAUTUS: Pätee myös muun tyyppisille epäoleellisille integraaleille.
125 Itseinen suppeneminen Epäoleellinen integraali f (x) dx (vast. a x= f (x) dx, f (x) dx, jne.) suppenee itseisesti, jos epäoleellinen integraali f (x) dx suppenee. Jos f (x) dx suppenee itseisesti, niin se suppenee. Suppeneva epäoleellinen integraali ei välttämättä suppene itseisesti. Esim. suppenee, mutta x=1 x=1 cos x x dx. cos x dx =. x
126 7. HARJOITUKSET ENSI VIIKOLLA HARJOITUSRYHMÄT VAIN MAANANTAINA JA KESKIVIIKKONA! TORSTAINA 28.2 EI HARJOITUSRYHMÄÄ!
127 Tentti 5.3 Kertaa harjoitustehtävät. Kertaustehtävät Nopassa (ei esimerkkiratkaisuja).
128 Tentti 5.3 Kertaa harjoitustehtävät. Kertaustehtävät Nopassa (ei esimerkkiratkaisuja). Kertaustehtävä: Alkaen Riemann-integraalin määritelmästä, esitä pääpiirteissään perustelu seuraavalle väitteelle Jos f : R [0, [ on jatkuva funktio F = f ja a < b, niin funktion f kuvaajan, suorien x = a ja x = b, sekä x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on F(b) F(a).
129 Palautetta toivotaan!
Ville Suomala INTEGRAALI
Ville Suomala INTEGRAALI Luentotiivistelmä kevät 2018 Aluksi Tämä on kurssin Integraali alustava luentomoniste/tiivistelmä. Klassisessa mielessä integroinnilla tarkoitetaan usein funktion kuvaajan alapuolelle
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
Lisätiedot4 Integrointimenetelmiä
4 Integrointimenetelmiä 4. Määräämätön integraali Määritelmä 4.. Olkoon funktio f jatkuva välillä I. Tällöin funktion f integraalifunktioiden (välillä I) joukkoa sanotaan funktion f määräämättömäksi integraaliksi
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotMuuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali
Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotYleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Lisätiedotintegraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali
integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedot3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali
50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotVektorilaskenta. Luennot / 54
Luennot 22.09.-27.09.2017 1 / 54 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 2 / 54 Välin mitta
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
Lisätiedot1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
LisätiedotVektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit
Luennot 19.09.-21.09. 1 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) 2 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Tason pisteen P sijainti voidaan karteesisten
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotAnalyysi I (mat & til) Demonstraatio IX
Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku
LisätiedotLuentoesimerkki: Riemannin integraali
Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"
LisätiedotSarjat ja differentiaaliyhtälöt
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
LisätiedotMäärätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio
Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot