Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Transkriptio

1 Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee ja sen Lemma Olkoon a k k= rajoitettu ja positiiviterminen, eli osasummien jono on rajoitettu ja jokainen a k 0. Tällöin kyseinen sarja suppenee. Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

2 Neperin luku Määritelmä Neperin luku e määritellään sarjana e = k=0 k!. Huomautus Neperin luku on hyvin määritelty, sillä sen määräävä sarja on positiiviterminen ja ylhäältä rajoitettu: osasummille pätee arvio s n = n k=0 k! = n < n < + 2 geometrisen summakaavan perusteella. = 3 Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

3 Arvio Neperin luvulle Olkoon s n = n k=0 k! jolloin e s n = < (n + )! + (n + 2)! + (n + 3)! + ( ) + (n + )! (n + ) + (n + ) 2 + = (n + )! n+ = n! n geometrisen sarjan summakaavan nojalla. Siis 0 < e s n < n! n Esimerkiksi 0! 0 = , joten jos Neperin lukua arvioidaan osasummalla s 0, niin virhe on alle 0 7. Näin saadaan arvio e 2, Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

4 Vaihtoehtoinen esitys Neperin luvulle Lause ( e = lim + ) n. n n Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

5 Eksponenttifunktio Määritelmä Eksponenttifunktio exp : R ]0, [ määritellään kaavalla exp(x) = e x, x R, missä e on Neperin luku. Jatkossa käytetään molempia merkintöjä exp(x) ja e x. exp(x) Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

6 Eksponenttifunktion ominaisuuksia Lause (Eksponenttifunktion ominaisuuksia) Eksponenttifunktiolla on seuraavat ominaisuudet: exp(0) = 2 exp(x + y) = exp(x) exp(y) kaikilla x,y R 3 exp(xy) = exp(x) y kaikilla x,y R 4 exp(x) > 0 kaikilla x R ja funktion exp kuvajoukko on ]0, [ 5 Funktio exp(x) on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

7 Esimerkki Esimerkki Ratkaise epäyhtälö e x 2 + > e 2x. Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

8 Logaritmifunktio Koska f (x) = e x on aidosti kasvava funktio, niin sillä on aidosti kasvava käänteisfunktio f : ]0, [ R. Määritelmä Eksponenttifunktion käänteisfunktio on (luonnollinen) logaritmi log(x): log: ]0, [ R. Joskus luonnollisesta logaritmista käytetään merkintää ln x. Koska eksponentti ja logaritmi ovat toistensa käänteisfunktioita, niin kaikilla x > 0 pätee e log x = x ja kaikilla x R pätee log(e x ) = x. Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

9 Logaritmifunktion ominaisuudet Lause log = 0 2 log(xy) = log(x) + log(y) kaikilla x,y > 0 3 log(x y ) = y log x kaikilla x > 0, y R 4 funktio log x on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

10 Eksponentti- ja logaritmifunktion kuvaajat y e x x log y x y Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

11 Funktion raja-arvo Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

12 Esimerkki Mikä on funktion f : R \ {0} R, ( ) f (x) = x sin, x raja-arvo pisteessä 0? 0,05 x sin( x ) Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

13 Raja-arvon määritelmä Olkoon f reaalifunktio joka on määritelty (ainakin) joukossa ]x 0 r, x 0 + r[ \ {x 0 } jollain r > 0. Määritelmä Funktiolla f on raja-arvo a R pisteessä x 0, mikäli kaikilla ɛ > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että f (x) a < ɛ aina kun 0 < x x 0 < δ. Funtion f raja-arvoa pisteessä x 0 merkitään lim f (x). x x 0 Toisin sanoen f (x) saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a, kun muuttuja x on tarpeeksi lähellä pistettä x 0 (muttei pisteessä x 0!). Tässä mielivaltaisen lähelle viittaa lukuun ɛ, joka on mielivaltainen virhetermi (aidosti positiivinen). Vastaavasti tarpeeksi pitkälle viittaa lukuun δ, joka yleensä riippuu luvusta ɛ (ja pisteestä x 0 ). Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

14 Huomioita Funktion f ei tarvitse olla määritelty tutkittavassa pisteessä x 0. Ja jos funktio on määritelty tässä pisteessä, niin lähtökohtaisesti arvolla f (x 0 ) ei ole mitään merkitystä raja-arvon määritelmässä. Jonon raja-arvon tapauksessa muuttuja n lähestyy ääretöntä kuitenkaan koskaan olematta ääretön (lim n a n a ). Nyt muuttuja x lähestyy pistettä x 0, mutta koko ajan x x 0. Jonon raja-arvon tapauksessa N määrää lähestymisen äärettömään (n N). Nyt δ määrää lähestymisen pisteeseen x 0 (0 < x x 0 < δ). Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

15 Geogebra-demo Tutkitaan joitain funktioita ja niiden raja-arvoja geogebralla Apukysymys: Miten valitaan sopiva δ, kun ɛ on kiinnitetty? Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

16 Laskuesimerkkejä Esimerkki Osoitetaan määritelmän mukaisesti, että ( ) lim x sin = 0. x 0 x Esimerkki Osoitetaan määritelmän mukaisesti, että lim 2x + = 3. x Esimerkki Osoitetaan määritelmän mukaisesti, että lim x 2 x = 2. Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

17 lim x 2x + = 3 Nyt (2x + ) 3 = 2x 2 = 2 x. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Edeltävästä muokkauksesta voidaan havaita, että sopiva valinta luvuksi δ > 0 on esim. δ = ɛ/2. Tällöin kaikilla x R, 0 < x < δ pätee (2x + ) 3 = 2 x < 2δ = ɛ. Koska ɛ > 0 on mielivaltainen, niin raja-arvon määritelmä toteutuu ja lim 2x + = 3. x Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

18 lim x /2 /x = 2 Nyt x 2 = 2x x = 2 2 x. x Tutkimme tilannetta, jossa x /2. Kun x on tarpeeksi lähellä lukua /2 niin x > /4. Käytetään tätä arviota edeltävään lausekkeeseen, jolloin saadaan x 2 = 2 2 x < 2 2 x = 8 x /4 2 x. (sillä oletuksella että x > /4). Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

19 lim x /2 /x = 2 jatkuu... Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Edeltävästä muokkauksesta voidaan havaita, että sopiva valinta luvuksi δ > 0 on δ = min{ɛ/8, /4} (jälkimmäinen ehto siksi että x > /4 täytyy saadaan voimaan). Tällöin kaikilla x R, 0 < x 2 < δ pätee ja täten aiemman arvion nojalla x 2 < δ 4 = x > 4 x 2 < 8 2 x < 8δ 8 ɛ 8 = ɛ. Koska ɛ > 0 on mielivaltainen, niin raja-arvon määritelmä toteutuu ja lim x 2 x = 2. Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

20 Raja-arvo pisteessä 0? a = sin( x ) x 0 = 0 ( ) lim sin =? x 0 x Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86

21 Mitä tarkoittaa, että jokin luku ei ole raja-arvo? Se että luku a R ei ole funktion f raja-arvo pisteessä x 0 tarkoittaa sitä, että ɛ > 0, δ > 0 : 0 < x x 0 < δ = f (x) a < ɛ. Toisin sanoen, ɛ > 0, δ > 0, x : 0 < x x 0 < δ mutta f (x) a ɛ. Pekka Salmi FUNK 2. lokakuuta / 86